（原子与分子物理专业论文）介质腔中场原子相互作用系统的密度算符特性研究.pdf

摘要 本文以克尔介质腔中非关联双模相干光场与v 型三能级原子共振相互作用系统为 理论模型，从密度算符着手，推出了该系统及子系统( 原子和光场) 的纯度和密度算符 间距的数学表达式。利用数值计算和图形分析，首先讨论了对高激发态原子，克尔效应 和初始光场强度对子系统原子( 光场) 纯度演化特性的影响。结果表明：克尔效应和初 始平均光子数对子系统纯度有很大的影响，当光场很强时克尔效应的增强能减弱原子和 光场的关联程度。具体表现为：随着克尔效应的增强，子系统纯度呈现周期性变化，继 续增大克尔效应，其周期性被破坏，子系统纯度的值增大，原子和光场的关联减弱。另 外，为了进一步研究该相互作用系统中两子系统( 原子和光场) 间的信息差异，讨论了 对不同的原子初始态和初始光场强度，克尔效应对系统及两子系统密度算符间距的时间 演化特性的影响。结果表明：首先，当不存在克尔介质时，无论原子初始处于哪种状态， 系统和原子密度算符间距的振荡均呈现崩塌、复原现象。其次，随着克尔效应的增强， ( 1 ) 原子初始态为激发态、初始光场较弱时，系统中原子和光场密度算符间距的演化曲 线呈现周期性变化，且克尔效应越强周期性越明显；但随着初始平均光子数的增大，其 周期性在克尔效应增强到一定程度会被破坏。( 2 ) 原子初态为基态时，原子间距的演化 曲线逐渐变成一条直线，原子末态几乎不随时间变化，处于稳态，光场间距的演化曲线 不断振荡。最后，激发态和基态原子两种情况下，随着克尔效应的增强，原子间距的值 越来越小，即原子末态离初态愈来愈“近 ，表现了克尔介质的态囚禁效应；光场间距 的值增大，即光场末态离初态越来越“远 ，这是光场与克尔介质相互作用的结果；系 统间距的演化曲线保持在1 ，即在正交态附近振荡。 关键词：克尔介质，非关联双模相干光场，纯度，密度算符间距 a b s t r a c t t h em a t h e m a t i c a le x p r e s s i o n so ft h ep u r i t i e sf i n dd i s t a n c eb e t w e e nd e n s i t yo p e r a t o r s ( d d o ) o ft h e s y s t e ma n ds u b s y s t e m s ( t h ea t o ma n df i e l d ) a r eo b t a i n e do nt h eb a s i so ft h et h e o r e t i c a lm o d e lo ft h e i n t e r a c t i n gs y s t e mc o m b i n e db yau n c o r r e l a t e dt w o - m o d ec o h e r e n tf i e l da n dav - t y p et h r e e - l e v e la t o mi na c a v i t yf i l l e dw i t hak e r r - l i k em e d i u mi nt h ep a p e r t h r o u g hn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n sa n dp i c t u r em e t h o d s ， f i r s t l y , t h ei n f l u n c eo fk e r rs t r e n g t ha n di n i t i a la v e r a g ep h o t on u m b e ro nt h et i m ee v o l u t i o np r o p e r t i e so f t h ep u r i t i e so ft h es u b s y s t e m - a t o m ( f i e l d ) f o rh i g h s t i m u l a t e - s t a t ea t o ma r ed i s c u s s e d t h er e s u l t ss h o w t h a t ：w h e nt h ei n t i a lf i e l di n t e n s i t yi sq u i t el a r g e ，k e r re f f e c ti sa b l et od e c r e a s et h ec o r r e l a t i o no ft h ea t o m w i t ht h ef i e l d t os a yi nd e t a i l ：w i t ht h ek e r rs t r e n g t hi n c r e a s i n g ，t h ee v o l u t i o no ft h ep u r i t yp r e s e n t s p e r i o d i cc h a n g e ，c o n t i n u ei n c r e a s i n gt h ek e r rs t r e n g t h ，t h ep e r i o d i c i t yi sb r o k e n ，t h ev a l u eo ft h ep u r i t yi s i n c r e a s e do b v i o u s l y , t h ec o r r e l a t i o no ft h ea t o ma n dt h ef i e l di sw e a k e n e d f u r t h e m o r e ，i no r d e rt or e s e a r c h t h ei n f o r t i o nd i f f e r e n c eo ft h es u b s y s t e m s ( a t o ma n df i e l d ) ，f o rd i f f e r e n ti n i t i a ls t a t e so ft h ea t o ma n di n i t i a l f i e l di n t e n s i t i e s ，t h ei n f l u e n c eo f k e r rs t r e n g t ho nt h ed d ot i m e - d e p e n d e n te v o l u t i o no ft h ew h o l es y s t e m a sw e l la st h a to ft h et w os u b s y s t e m si sd i s c u s s e d t h er e s u l t ss h o wt h a t ：f i r s t , i nt h ea b s e n to fk e r r - l i k e m e d i u m ，f o ra r b i t r a r yi n i t i a ls t a t e so ft h ea t o m ( i e e x c i t e da n db a s i ss t a t e ) ，t h ed d oe v o l u t i o no ft h e s y s t e ma n da t o mp r e s e n tc o l l a p s ea n dr e v i v a lp h e n o m e n o n s e c o n d ，i n c r e a s i n gt h ek e r rs t r e n g t h ，( 1 ) w h e n a t o mi si ne x c i t e ds t a t ei n i t i a l l ya n dt h ef i e l di n t e n s i t yi sq u i t es m a l l ，t h ed d oe v o l u t i o no ft h ea t o ma n d f i e l dp r e s e n tp e r i o d i cc h a n g e ，a n dt h el a r g e rt h ek e r rs t r e n g t hi st h ec l e a r e rt h ep e r i o d i c i t yi s b u t , a st h e i n i t i a l a v e r a g ep h o t on u m b e ri n c r e a s i n g ，t h ep e r i o d i c i t yw i l lb eb r o k e nw h e nt h ek e r re f f e c ti se n o u g h s t r o n g ( 2 ) w h e na t o mi si nb a s i ss t a t ei n i t i a l l y ，t h ed d oe v o l u t i o no ft h ea t o ma p p r o a c h e sal i n e ，t h ef i n a l s t a t eo ft h ea t o mr e m a i n su n c h a n g ea p p r o x i m a t e l yd u r i n gt h ei n t e r a c t i n gt i m e ，s t a yac e r t a i ns t e a d y - s t a t e ， l l l b u tt h ed d oe v o l u t i o no ft h ef i e l di so s c i l l a t i n ga l lt h et i m e f i n a l l y ，i nt h et w oi n i t i a lc o n d i t i o n s ( i e t h e a t o mi si ne x c i t e da n dg r o u n ds t a t e s ) ，w i t ht h ek e r rs t r e n g t hi n c r e a s i n g ，t h ev a l u eo ft h ea t o md d oi s d e c r e a s i n g ，i ti st os a yt h a t ，t h ea t o mi sp r e f e rt os t a yi ni n i t i a ls t a t e ，a n dt h a tr e f l e c t st h et r a p p e de f f e c t so f k e r r - l i k em e d i u m ；t h ev a l u eo ft h ef i e l dd d ob e c o m el a r g e r ，t h ed i s t a n c eb e t w e e nt h ei n i t i a la n df i n a ls t a t e o ft h ef i e l db e c o m e sf a r t h e r t h i sc a s ei sd u et ot h ei n t e r a c t i o no ft h ef i e l da n dk e r r - l i k em e d i u m ；t h ed d o e v o l u t i o no ft h ew h o l es y s t e mm a i n t a i no s c i l l a t i n ga tt h eu n i t y ( i e o r t h o g o n a ls t a t e ) h e r e a b o u t k e rw o r d s ：k e r r - l i k em e d i u m ，u n c o 仃e l a t e dt w o - m o d ec o h e r e n tf i e l d , p u r i t y ， i v d i s t a n c eb e t w e e nd e n s i t yo p e r a t o r s 独创性说明 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意。 虢逾亟吼谰。钽 关于论文使用授权的说明 本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河南师 范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 第一章绪论 1 - 1 问题的提出背景 第一章绪论1 2 0 世纪初，人们对于微观世界的认识取得了巨大进步，诞生了量子物理学，它给了 我们一个不同于经典物理的新规则，测不准原理、量子态叠加原理、量子隧道效应、量 子关联和量子纠缠、相干和消相干等。这就使得人们的认识深入到了微观领域和物质结 构的深层次，由于人们认识了物质的波粒二象性、能够解释元素周期表、化学相互作用 以及物体内电子的波函数，等等，这就为量子光学和量子信息学的到来奠定了坚实的基 础。在经典电动力学中，光波作为经典电磁波满足麦克斯韦方程。在含有介质的空间中， 原子在电磁场作用下会感生电偶极矩，在宏观上可呈现出介质的电极化，极化反过来又 对电磁场产生作用，电磁场因而可能发生色散、吸收或放大。这时，为确定电磁场的状 态，需求解有源的麦克斯韦方程组。光与原子相互作用的半经典理论主要就是处理这类 问题【l 】。在全量子化理论中，应当将电磁场和电子波分别进行一次量子化和二次量子化 1 2 】。近十年来，物理学家又把量子理论和信息科学结合起来，提出了一个令人耳目一新 的概念、原理与方法，于是量子信息学作为新兴的学科便应运而生。目前，国际学术界 所设想的量子信息网络是采用光子( 飞行的量子比特) 传递量子信息，而原子作为静止的 量子比特存储量子信息【3 。5 1 ；反之，原子作为飞行的量子比特，而腔场作为静止的量子 比特进行量子信息处理亦然，这两种模式科学界都给予了极大的关注。特别是随着这一 领域的快速发展，使得原子、光子( 腔场) 以及原子与光场相互作用的地方一微腔组成 的相互作用系统及其量子动力学特性研究已经成为当前国际量子信息领域研究的热点。 随着科学技术的进步，宏观仪器和微观客体间相互作用的研究被迅速推进了现代实验 室，受限小系统中的干涉、耗散、关联和纠缠以及演化控制等问题正经受着各种类型实 验的精确检验。对此理论的研究是新世纪急需的理论先导和支撑。 1 1 1 量子光学的发展历程 量子光学是以辐射的量子理论研究光的产生、传输、检测及光与物质相互作用的学 本研究得到河南省自然科学基金( 编号：0 5 1 1 0 1 0 6 0 0 ) 和河南省教育厅自然科学基金( 编号：2 0 0 61 4 0 0 0 5 ； 2 0 0 7 1 4 0 0 0 6 ) 的资助 介质腔中场一原子相互作用系统的密度算符特性研究 科。以下是量子光学的发展过程： 1 9 世纪，特别在光的电磁理论建立后，在解释光的反射、折射、干涉、衍射和偏振 等与光的传播有关的现象时，光的波动理论取得了完全的成功。 1 9 世纪末和2 0 世纪初发现了黑体辐射规律和光电效应等另一类光学现象，在解释 这些涉及光的产生及光与物质相互作用的现象时，旧的波动理论遇到了无法克服的困 难。 1 9 0 0 年，普朗克为解决黑体辐射规律问题提出了能量子假设，并得到了黑体辐射的 普朗克公式，很好地解释了黑体辐射规律。 1 9 0 5 年，阿尔伯特爱因斯坦提出了光子假设，成功地解释了光电效应。阿尔伯 特爱因斯坦认为光子不仅具有能量，而且与普通实物粒子一样具有质量和动量。 1 9 2 3 年，康普顿利用光子与自由电子的弹性碰撞过程解释了x 射线的散射实验。 与此同时，各种光谱仪的普遍使用促进了光谱学的发展，通过原子光谱来探索原子内部 的结构及其发光机制导致了量子力学的建立。所有这一切为量子光学奠定了基础。 2 0 世纪6 0 年代激光的问世大大地推动了量子光学的发展，在激光理论中建立了半 经典理论和全量子理论。半经典理论把物质看成是遵守量子力学规律的粒子集合体，而 激光光场则遵守经典的麦克斯韦电磁方程组。此理论能较好地解决有关激光与物质相互 作用的许多问题，但不能解释与辐射场量子化有关的现象，例如激光的相干统计性和物 质的自发辐射行为等。在全量子理论中，把激光场看成是量子化了的光子群，这种理论 体系能对辐射场的量子涨落现象以及涉及激光与物质相互作用的各种现象给予严格而 全面的描述。对激光的产生机理，包括对自发辐射和受激辐射更详细的研究，以及对激 光的传输、检测和统计性等的研究是目前量子光学的主要研究课题。 1 1 2 腔量子电动力学的发展历程 量子电动力学是关于电子和光子相互作用的量子理论，是物理学中最成功最精确的 理论之一，并且也能用来描述其它带电基本粒子与电磁场的相互作用，量子电动力学在 研究辐射场及其与物质( 原子、分子或粒子) 之间的各种相互作用时，便形成了当今量 子光学的核心内容。而腔量子电动力学是腔光场原子系统相互作用的最为精确的全量 子理论，旨在研究受限在特定空问，如微光学腔、量子点等中的原子( 离子) 与光场作 用的量子行为。在原子与腔场作用达到一定程度以后，光子和原子相互影响变得很强烈， 第一章绪论 烈，从而导致一系列新的效应，比如原子自发辐射反转、非经典光场等。利用原子冷却 手段，腔q e d 已经在基本物理的研究中引起了人们的广泛关注，它将在各种微型光量 子器件、量子信息科学等获得应用。它的雏形最早可以追朔到1 9 6 3 年，etj a y n e sa n df w c u m m i n g 两人提出的表征单模光场与单个理想两能级原子单光子相互作用的量子动 力学模型，后人称之为标准j c 模型，简写为j c m 6 ，一个理想的两能级原子和单光子 的相互作用哈密顿为： h ，= h g ( a c t + + a 十仃一) ( 1 1 ) g 表示原子和腔场的耦合系数，仃+ ( 仃一) 表示二能级原子的上升( 下降) 算符，口+ ( a ) 表示光子腔场中的产生( 湮灭) 算符。描述了无耗散的封闭的原子和光场的相互 作用模型，它是一个数学上严格精确可解的物理模型。 随后人们围绕着j c m 作了大量的理论和实验研究工作，使人们关于场原子之间相 互作用的理论研究一下子深入到了物质量子化微观结构的深层次，随着研究工作的深 入，伴随着研究方法和研究内容的拓展，以及研究手段的改进和更新，随着微波激射技 术的发展以及单原子微波激射器的成功实现【7 。8 1 ，人们利用j c m 和成熟的实验技术研究 场原子之间相互作用过程中场和原子的各种动力学特性。目前人们能够在微波腔中制 备各种非经典光场，利用单原子微波激射器可以在微腔内再现标准j c m 所预言的各种 物理属性，所以原子微波激射器技术既是标准j c m 的物理模拟和再现，同时又表示了 该理论的正确性。今天的腔量子电动力学领域已经出现了一系列全新的重大突破。j c m 也由原来的标准型推广到了各种各样的原子与光场相互作用形式，例如：1 ) 简并双光 子和简并多光子j c m o 2 1 ；2 ) 缀饰多光子j c m 1 3 1 ：3 ) 依赖于强度耦合的j c m 1 禾1 5 1 ；4 ) 双模或多模腔场与单个或多个多能级原子相互作用的j c m t 幡1 9 】：5 ) 附加克尔介质的 j c m 2 0 - 2 6 ( 也是本文讨论的主要内容) ；6 ) 考虑斯塔克效应的j c m t 2 7 】；7 ) 非旋波近似 下的j c m t 2 8 l ；依赖于空间自由度的j c m 2 9 ；8 ) 单个囚禁粒子的j c m 3 0 3 2 ；等等。从 这些模型出发人们考察了腔场和原子的各种非经典特性。这些研究极大的推动了量子光 学和量子电动力学的发展，也给人们认识光与物质相互作用提供了理论工具和思想方 法，取得了大量的科研成果。特别值得一提的是，1 9 9 7 年诺贝尔奖颁发给了对原子捕获 和冷却做出贡献的科学家f 3 3 】。在二十世纪上半叶，s t e m g e r l a c h 实验技术以及后来的光 泵技术允许分析和准备大量原子集合的内部量子态【粥5 1 ，该技术的发展最终导致受激辐 介质腔中场一原子相互作用系统的密度算符特性研究 射微波放大器及激光器的发明。 同时，以腔、原子和光场组成的系统集离子捕获或中性原子和光学系统于一体，是 一个非常典型的量子信息处理系统。自从上世纪最后十年建立量子信息理论以来，科技 工作者都在努力从理论上和实验上研究各种简单的量子信息处理器，提出了许多物理系 统模型，其中最具有竞争力的就是我们以上所说的腔量子电动力学系统。因为，该系统 中包含中性原子和光子，原子具有相对简单的内部结构，且具有量子信息存储能力，光 具有很好的传播特性，且人们对其特性比较熟悉，在高q 腔这个原子和光耦合的锲合点 上实现原子与光场之间的相互作用，达到量子信息按照人们的意愿演化的目的，所以该 系统是一种自然的选择，并有望在量子信息处理中发挥巨大作用。 有关腔量子电动力学描述的光与物质相互作用系统中量子态的特性及其变化规律 在过去的4 0 年中已有了大量的研究成果。空间不同位置间量子态的传递最近也进行了 大量的研究，像r y d b e r g 原子和微波腔、光学微腔或光子晶体、半导体腔、量子点、线、 谐振子微球、介质腔等都可以说是基于腔量子电动力学描述的量子信息处理系统，它们 在量子信息处理和量子计算中占据着重要的位置，并取得了大量的研究成果3 6 。3 引。本文 就是从腔量子电动力学着手，主要讨论介质腔中场一原子相互作用过程中量子特性的演 化规律。 1 2 选题意义 首先，在量子系统中人们最关注的是量子体系的信息关联和纠缠问题，但怎样来描 述这些量子物理现象，成为物理学家们急需解决的问题，熵、纯度、保真度和密度算符 间距等概念相继提出。其次，在量子态的传输过程中，人们都力求被传输的量子态具有 很好的可靠性和稳定性，需要知道输出与输入信息之间的差异，所以，需要一种测量两 个量子态接近度的方法，密度算符间距就经常被采用。它还被广泛应用到量子克隆、量 子态重构和量子门的实际操作等领域。研究表明，熵表示一个量子体系的混乱度，在j c m 中，若子系统( 光场和原子) 初始时刻无关联地处于纯态，则光场一原子相互作用系统 的熵s 为零，且不随时间变化，说明整个系统始终处于纯态。而子系统( 光场和原子) 的熵相等，随时间而变化。纯度则正好与熵相反，初始时刻系统的纯度最大，等于l 。 密度算符间距是利用系统及子系统的密度算符表示其在演化过程中量子态的变化情况， 即末态和初态的量子态信息差异。和保真度刚好相反，密度算符间距较大时说明量子态 4 第一章绪论 在传递或演化过程中的保真度比较小，反之亦然。我们弄清它们之间的关系后，着重讨 论了纯度和密度算符间距，实质上，我们相当于讨论了上述四个方面。为此类量子系统 模型中量子信息的研究和利用提供了进一步的科学依据。 1 3 课题研究的主要内容 ( 1 ) 推出了非关联双模相干光场与v 形三能级原子在克尔介质共振相互作用系统 中纯度和密度算符间距的数学表达式。 ( 2 ) 讨论了原子初始态为高激发态时，克尔效应和初始光场强度对纯度演化特性 的影响。结果表明：克尔效应对纯度有很大的影响，当初始光场较强时，随着克尔效应 的增强，原子( 光场) 的纯度增大，原子与光场的相互作用越来越小，两者的的关联程 度减弱。 ( 3 ) 讨论了对不同的原子初始态，克尔效应和初始光场强度对密度算符间距演化 特性的影响。结果表明：原子初始时刻为激发态时，随着克尔效应的增强，原子和光场 的密度算符间距成周期性变化；而初始为基态的原子末态几乎处于一稳态。另外，初始 平均光子数对密度算符间距也有很大影响。 第二章理论基础 2 1 密度算符 第二章理论基础 场的密度算符能给出关于电磁场的全部信息，量子光学在很大程度上就是求解在各 种相互作用问题中场的密度算符3 9 1 。 众所周知，厄密算符的本征态 i ) 构成一正交完备集。当系统处于算符b 的本征 态k ) 时，对此系统测量力学量b ，则每次均能给出确定的值( b 在k ) 态的本征值) 。 但若对此系统测量另一个力学量彳，则每次测量的结果就未必是确定值，彳的期待值为 ( 彳) = ( 甜。i 彳k ) ( 2 1 ) 若系统不是处于某个本征态i ) ，而是处于态i9 ) ，则可将态i9 ) 在 1 ) ) 表象中展开， i 矿) = c 。p 一毗k ) ( 2 2 ) 显然，i c , 1 2 表示态矢l 叩) 处在本征态i ) 的几率，在此系统中测量彳的期待值为 ( 缈i 彳i 缈) = zzc ；，c 七( 扰。，i 彳l 甜。) p 嘶一吼弘 ( 2 3 ) 量量 可见，即使系统的状态完全确定，对此系统测量某个力学量，一般说来只能求出系统平 均值，这是量子系统本身固有的特征。 可以用确定态矢量描述的系统状态称为纯态。一般地说，未必有足够的信息来确定 一个系统处于某特定状态i 叩) 。例如有两组谐振子，在f = 岛分别处于态i 纯) 和i 纯) ，设 两组振子数目分别为口和m ，并假定这两组中的粒子彼此不发生相互作用，那么，对 由这两组粒子混合而成的系统测量力学量彳，其期待值应为 = 尸口 + p 。 ( 2 4 ) 其中p = j ( m + m ) 是每个振子用态矢i 仍) 表征的几率。因此，如果一个系统可能用 其中一个这样的态函数来描述时，算符的期待值为 = 尸。i 彳l 妒。 ( 2 5 ) 7 介质腔中场一原子相互作用系统的密度算符特性研究 其中只是系统由函数i 体) 表述的几率。这些态函数可以是或不是正交的。如果对该系统 进行足够多次的测量，便可以确定，但一般地说，测量是不可能充分的，因此有必要 用概率统计理论来计算这个几率分布。 当然几率与前面讨论过的几率i q l 2 不同，后者表示态按本征态分布的特征，此时 系统被认为处于确定态i 叩) ，它按l q l 2 几率分布在本征态l ) 上，此几率的出现并非来 源于我们缺乏对系统的了解，这纯粹是量子力学固有的，而且是无法消除的。另一方面， 几率只则是由于我们缺乏关于系统可能出现状态的足够信息，因此，这个平均是在经典 意义上的统计平均，原则上是可以通过足够多的测量消除的，然而实际上一般做不到。 我们称这种无法用某确定态矢描述的量子态为混合态，它是可能量子态的加权的混合。 因此，对这样的量子系统的期待值应该求两类不同性质的平均。 为此，我们引出密度算符这一物理量来统一的描述量子系统中这两类性质不同的统 计平均。 p 暑p 。i 伊。 缈。i ( 2 6 ) 这样一来，( 2 - - 5 ) 式就可以写为： = ( 2 7 ) ( 2 7 ) 式表明，任何力学量彳的期待值是乘积在 l ) 表象中对角矩阵元之和，将 这个求和定义为求迹，并记为乃，则有， ( a ) = t r ( p 么) ( 2 8 ) 任何算符的期待值都可由上式来计算，因此，密度算符p 包含了有关此系统的所有物理 上有意义的信息。求解量子力学问题实际上就归结为求出系统的密度算符p 。 密度算符p 在 l ) 表象中的对角矩阵元如为： p = 只i c 可1 2 ( 2 - - 9 ) 一 如果系统是由两个子系统尺和r 构成的，总系统的密度算符为p ，子系统丁的密度 算符所定义为 8 第二章理论基础 p ，= t r r p = ( 只i pl u r ) ( 2 1 0 ) 称所为约化密度算符。上式中的 j ) 是子系统r 的某完备空间集。在( 2 1 0 ) 式中， 所己不再含有子系统r 中的任何算符，但它仍然是个依赖子系统丁的算符。若计算子系 统丁中任意力学量彳的期待值，则有 ( a ) = t r p r a 约化密度算符在研究光场与原子体系相互作用时尤其有用。 密度算符有两个很重要的性质 i 密度算符p 是厄密算符。 2 t r p = 1 ，且系统为纯态时 p = p 混合态时 越性。 t r p 2 。 i 原子初始态是高激发态1 2 ) 时，t 时刻，系统在相互作用绘景中的态矢量为 i ，o ) ) i f n ，n 2 e x p - i 门2 g 1 + l h f 】 囟：g ，z ：，f ) 1 2 ，刀。，船：) + b 。g 。，z ：，f ) i l ，力。+ l ，z ：一1 ) + b 。g ，刀：，o o ，即，+ 1 ，刀：) 】 ( 2 - - 2 0 ) 将( 2 - - 5 ) 式代入薛定谔方程 t f d lk l l l ( t ) ) = h ，i _ ( f ) ) ( 2 2 1 ) 可得药i b 2 ( 胛。，刀2 ，t ) - - 壹彳，h 一( xn 。+ 1 ) ) 五，一9 2 2 刀2 】p r 名，f ， t = l b l ( f ) = g 。g ：厄瓦司壹彳，e 2 ， b o ( 翰f ) = 9 1 6 雨量爿，( _ 旯，+ x ( ，n + 1 ) ) p 其中 1 彳l2 瓦i 瓣 1 彳3 = 瓦i 瓣。 彳22 瓦i 翮 r 芝一一 l 4 桕；i ， 拢= 三a r c c 。s 掣( 譬) 专 ，五，= y ，一；，b = - x ( m + n z + 1 ) , c = 一9 2 2 2 - - g ；g l + 1 ) + x 2 2g 1 + 1 ) ，d = g ；玎；x + g ；b 1 + 1 ) 2 x ， b 2 p = c - 了 当q 0 时 胪2 s 卜务 m 劫c 。扣势 胪2 瑚s 卜封 y ：= 2 ，c 。s ( 甜一詈) ，y ，= 2 厂c 。s g - - 7 ) i i 原子初始态是次激发态1 1 ) 时，t 时刻，系统在相互作用绘景中的态矢量为 y ，o ”= f n , m e x p - i 加g 2 + 1 】 ，2 i 玎2 囟2 ( 殉，胛i ，f ) 1 2 , n l - 1 ，疗2 + 1 ) + b 。l , n 2 , f ) 1 1 ，刀。，刀2 ) + b o g ，玎2t 1 0 , n l , n 2 + 1 ) 】 同样代入( 2 2 1 ) 式得到 b 2 ，鼢f ) ：9 1 9 2 而了i 面壹舭眠 i = 1 局g ，刀2 ，f ) ：3 彳，l ；一g g 2 + 1 ) ) 旯，一g ；协 f - l ， b 。h i , n 2 , f ) = 9 2 厨壹彳。卜名，+ x ( 门2 + 1 ) ) p r 允， 1 = 1 其中的参数6 = 一x g l + 刀2 + 1 ) ，c = 一g ；甩l g ；( 门2 + 1 ) + x 2 n l ( 挖2 + 1 ) ， d = 9 1 2 ，z x + g ；g 2 + 1 ) 2 x 其他参量均属情况i 所述。 ( 2 2 3 ) m 原子初始态是基态f o ) 时，t 时刻，系统在相互作用绘景中的态矢量为 i g z l o ) ) = f n , n ：e x p - i m 2 x t 】 刀l 玎2 囟2h i , 1 2 , ，) | 2 ，瑚一1 ，刀2 ) + b 。n 。，胛2 ，】1 ，刀。，刀2 一1 ) + b 。g 。，甩2 ，f 】o , r l l , r 1 2 ) 】 同样代入( 2 2 1 ) 式得到 1 2 b 2h i , ? 2 , f ) = g l 石圭彳，( _ 名，+ 硼) p 吮r ， ，= l ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 第二章理论基础 b 。 1 ，7 2f ) ：9 2 磊壹彳，( 一允，+ x 刀2 ) p r 五， i = 1 b 。h i , n 2 , t ) = ，z ：。a t h 一xn l + n 2 ) 名r x 2 加船2 】p f 允， ( 2 2 6 ) 其中的参数6 = 一x ( 刀l + 门2 ) ，c = 一9 2 l ，z l 9 2 2 刀2 + x 2 ，z l ，z 2 ， d = 9 2n 2 x 2 一以2 2 x 其他参量均属情况i 所述 根据 p = l 沙 l 由( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) 式可知 初始时刻，光场原子系统密度算符及子系统原子和光场的约化密度算符为 p s ( o ) = 刀l 门2 p a ( o ) = 愀 乃( o ) = ，疗l ， 2 i i 凡舱f m 胁i , n m 2 ) ( f ，所2 f m 俄：f 刀。刀：f 踊，n 2 ( m 。，所z f 朋l n 2m j m 2 其中f = o ，1 ，2 对应三种不同的原子初始态。 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 任意t 时刻，由光场原子耦合体系在相互作用绘景中的态矢量( 2 2 0 ) 、( 2 2 3 ) 及( 2 2 5 ) 式可得整个系统的密度算符及子系统原子和光场的约化密度算符 原子初始态为1 2 ) 时 夕。o ) il 妙歹o ) ) ( 沙，( f ) i = ，嚣托尸荔，册：e x p - i ( n ：g ，+ 1 ) - - m ：，+ l 啦，】 疗l , ，打i 厅1 2 b 2 ( n l ，n 2 ，t ) b ；h 1 ，m 2 ，t 】2 ，n l ，n 2 ) ( 2 ，m 1 ，m 2 i + b 2 ( r 勃，绝，f ) 薪，m 2 ，纠2 ，功，月：) ( 1 ，m j + l ，m 2 - - 1 + b 2 ( n ，绝，) 成( 肋， 2 ，f 】2 ，功，刀：) ( o ，优。+ 1 ，m ：i + 局，胁，f ) 崩( 珊，砌，f 】1 ，功+ 1 ，疗：- 1 ) ( 2 ，珊，所：i + 蜀( 刀。，胁，) 研( 珊，聊：，f 】1 ，功+ l ，刀：- 1 ) ( 1 ，m 。+ 1 ，m z 一1 i + 易( 功，胁，) 成( 珊，所：，f 】1 ，n l + l ，门：- 1 ) ( o ，脚，+ l ，朋z i 扁如，h 2 ，t ) b 2 ( r m ，所：，, i o ，确+ 1 ，刀：) ( 2 ，坍，朋：f + 介质腔中场一原子相互作用系统的密度算符特性研究 b o ( n , ，耽，0 b ；( m 。，脚：， 0 ，砌+ l ，耽) ( 1 ，砌+ 1 ，m 2 - - 1 + b o ( r 乃，胁，f ) 成( m l ，肋，, 1 0 ，胁+ 1 ，胁) ( o ，m ，+ 1 ，耽i ) p 口o ) = r r 光场 v 。o ) 】= l f n l n 2 r b e ( n l ，甩2 ：f ) f 2f 2 ) ( 2 f + h t n ) f 脚刀，f ：l _ l , n 2 + l b 2 g ，刀2 ，f ) b i ( 加一1 ，以2 + 1 ，t ) e x p i ：刀- 一”2 h f 】i f 所胛：f 缸”：b ：h i ) 1 1 2 ) t ) b o ( n 。一1 ，t ) e x p - i m x t i2 ) ( o l + 2 ) ( 1 i + ，、i f n t - l , n ：+ l f n m ：b 。g 一1 ，以：+ 1 ，f ) b ；( 胁，刀：，t ) e x p - i ( n l - 门：) x t l 1 ) ( 2 l + i f n l n 2 1 2b 1 ( n l 彬) 1 2i1 ) ( 1 + f n 。- l , h 2 + l f - 】， ：b 。( 。一1 ，门：+ 1 ，t ) b o ( n 。- 1 ，刀：，t ) e x p - i 确x f 】i f n , q , n , f ；z 川：b 。h i 一1 ，胛：，f ) b ；( 确，胛：，t ) e x p i n 2 x dio ) ( 2 l + f n , - , , m f n i - l , # , , + l b 。g 。一1 ，即：，f ) b ；g 。一1 ，刀：+ 1 ，, ) e x p i n l x t i f n l n 2 m o ( 仲忪f ) 1 2o ) ( 0 1 ) b 2 ( 栩，门2 ，f ) 庑( 聊1 ，聊2 ，f ) i 确，力2 ) ( ，川，聊2 l + 1 ) ( o l + o ) ( 1 | + + 1 ) - - m 2m 。+ 1 ) ) x t 】 b 1 ( n l ，也，t ) b ；( m a ，加2 ，t l r n + l ，n 2 - 1 ) ( m l + l ，m 2 一l i + 劢，也，f ) 岛( 硼，朋2 ，t ) i r n + l ，n 2 ) ( n n + 1 ，聊2 1 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 原子初始态为1 1 ) 时 依o ) = i ，o ) ) ( ，o ) f = f n , n , f m 。肌：e x p - i ( n - g 2 + 1 ) 一所2 + l 渺幻 1 4 ，z i 疗2m i ，刀2 b l ( 胁，刀2 ，t ) b i ( n n ，m 2 ，f ) 1 1 ，n l ，n 2 ) ( 1 ，加，朋2 i + b 1 ( 加，刀2 ，) b ；m l ，册2 ，, ix ，n ，n 2 ) ( 2 ，m z + 1 ，7 加一1 i + b l ( 栩，刀2 ，f ) 威( 嗍，历2 ，f 】1 ，确，耽) ( o ，朋2 + 1 ，栩i + b 2r 1 ，地，f ) 研m l ，所2 ，) f 2 ，瑚一1 ，刀2 + 1 ) ( 1 ，栩，脚2 i + 第二章理论基础 b z ( n 1 ，刀2 ，f ) 磷( 聊1 ，耽，0 2 ，r a - 1 ，n 2 + 1 ) ( 2 ，瑚一1 ，聊2 + 1 i + b 2 ( n 1 ，也，t ) b ；( m l ，m 2 ，纠2 ，r n - 1 ，r e + 1 ) ( 0 ，m 2 + l ，硼 - b o ( r 订，f ) 研( 历l ，耽，f ) l o ，n 2 + l ，r a ) ( 1 ，彻，耽i + b o ( n l ，乃2 ，o b ；( m l ，m 2 ，f ) l o ，n 2 + 1 ，r n ) ( 2 ，加一1 ，朋2 + l i + b 0 ( f 1 ，r o ，t ) b * o ( m l ，肌2 ，f ) i o ，刀2 + 1 ，肋) ( o ，r m + l ，历l i ) 以o ) = 乃光场防。阱 i f n l n 2 g 1 ，秘f 】2 1 1 ) ( 1 l + r h r , f 川，”, - 1 , r h + lb i ( 1 7 1 ，n 2 , t ) b ；( n l + 1 ，聆2 1 ，t ) e x p i ( n 2 一刀- ) x t l1 ) ( 2l + f m 行：f b l ( f ) b ；( 门2 1 , n l ，t ) e x p - i 胁射】1 1 ) ( o l + f n 。+ l , n - i f * n 。，甩：b 2 ( 甩一+ 1 ，刀2 1 ，f ) b i g l , n 2 , t ) e x p i ( n - 一m ) x t 1 2 ) ( 1 + l f n l n 2 m 2 ( 仲蚴f 】21 2 ) ( 2 1 + f n t + l , n 2 - 1 尸二m ：一l b 2 g - + 1n 2 - - 1 ，f ) b ；g l , n 2 - 1 ，t ) e x p - i n 2 x t 1 2 ) ( o l + f n , , n 2 - 1 f 二川：b oh i ，n 2 - - 1 ，f ) 研g i , n 2 ，1 ) e x p i 加x t l o x l l + f n , , n - i f ：，, + l , h _ 1b 。h i ，1 2 - - 1 ，f ) b ；( 瑚+ l ，刀2 一l ，f ) e x