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第08讲 数字谜问题第12讲数字谜综合之三 例1 在图81所示的算式中，每个字母代表一个数字不同的字母代表不同的数字，如果CHINA所代表的五位数能被24整除，那么这个五位数是多少? 答案 17208 分析 观察算式的特点，可以发现一些“地位特殊”的字母：C是和的首位；千位上H与K相加仍为H；十位上两个N相加仍为N这些都是可以迅速突破的点另外O和G各出现了两次 关于整除的条件提示我们，当考虑最后三位数时要用到被8整除的性质，而当只有一个字母未知时可以通过数字和被3整除来将它确定 详解 因为两个加数都是四位数，所以C只能是1 百位两个O相加进位否则千位上应有H+K=10+H，这不可能进位后变为H+K+1=10+H，得K=9 再看十位如果个位有进位，则有N+N+1=10+N，得N=9但已经有K=9，与已知条件相矛盾因此个位肯定没有进位，这时N只能是0因为I是两个O相加的和的个位数字，所以I是偶数由已知，CHINA能被8整除，那么它的后三位INA能被8整除而其中的I100也能被8整除(I是偶数)，于是A也就能被8整除又N已经是0，故A不能为0所以A只能是8，相应地G只能是4 由前面的结论，百位上是有进位的，因此O5而这时只有2、3、5、6、7还可以选取，要使05且2O的个位数字仍在上述五个数字中，只有O=6，I=2 因CHINA能被3整除，则C+H+，+N+A=11+H应能被3整除又H只有3、5、7这三个可能，因此H=7 这样，CHINA代表的五位数是17208 评注 这是一道典型的数字谜综合题，但从解法来看，所运用到的仍然是前面两讲(即五年级07讲和19讲)所提到的解题思路和突破技巧它的难点主要在于如何从错综的条件、思路中把握好每一步的方向，保持清晰的脉络和严谨的层次结构例2 在算式 的每个方框内各填入一个数字，要求所填的数字都是质数，并使得算式成立答案 分析 算式中已知的数字太少，并且难以利用，那我们就来看未知的数中有哪些联系在分数的加减运算中，首先要做的就是“通分母”，因此最终结果的分母应是所计算的各分数分母最小公倍数的约数，这体现出了条件等式中三个分母之间直接的关系详解 记等式为 其中A、B、C、D、E、F六个数字都是质数由得可见两位数EF是AC的约数，而A和C都是质数，所以只能有EF=AC 在一位数质数2、3、5、7中，只有57=35和55=25的各位数字都是质数。因此EF为35或25但A和C都为5时，的分母也是5，不可能等于，所以EF必须是35，A和c中一个是5、一个是7 代入前面的等式得BCAD=1如果C=7、A=5，即7B一5D=1，由于5D+1的个位数字只会是1或6，因此B只能取3，但这时D=4不是质数那么这种情况下没有满足条件的解 故有C=5、A=7，即5B-7D=1经验证，只有B：3、D=2使这个等式成立，所以原算式就是： 评注 本题的等式形式和限制条件都比较特殊当出现这种情况时，应先找到等式中有哪些数之间有直接的联系，再结合限制条件对这些数的取值进行判断如本例中的第一步就是通过三个分母之间的联系来确定出它们例3 在上面的圆圈和方框中，分别填入适当的自然数，使等式成立问在方框中应填多少? 答案 32或36 分析 从条件上看，本题没有太好的突破口但是不难体会，填入的两个自然数不可能都很大，就是说其中至少有一个比较小，否则两个分数的和达不到是这就提供了讨论的可能 详解 记圆圈里填入的是A，方框里填入的是B，那么 不难验证，当A=2,3、4、5时，相应的B都不是自然数，也就不是所求的答案当A6时，得B38又因为显然2百9瓦11，得B 32由原条件，可得等式 将B=32、3338依次代入上式，只有B=32和36时得到的A才是整数，即 因此，方框中填的数是32或36 评注 本题更应该算是一道不定方程的题目，所以解法有些与众不同有兴趣的读者可以试用解不定方程的方法来解本题例4 在上面四个算式的方框内，分别填上加、减、乘、除四种运算符号，使所得到的四个算式的答数之和尽可能大那么这个和等于多少?答案 分析 为了使四个答数之和尽可能大，应让乘法和加法算式中的第二个数尽量大，而除法和减法算式中的第二个数尽量小 详解 由于四个算式中第一个数都是6，且0.30.31，因此第一个和第三个算式的方框内填上减号或除号，第二个和第四个算式的方框内填上加号或乘号因为 所以第一个方框内应填除号，第三个方框内应填减号同时 所以第二个方框内应填乘号，第四个方框内应填加号，且最终的和为25+29=54 评注 把运算符号填到不同的算式中，考察运算结果的这类题型在近几年有增多的趋势，主要的方式就是考察已给各数间的大小关系 例5把12、37、65、29、46分别填在图82的五个圆圈内，然后在每个方框中填上和它相连的三个圆圈中的数的平均值，再把三个方框中的数的平均值填在三角形中请找出一种填法，使三角形中的数尽可能小问这个最小的数是多少? 答案 31 分析 当圆圈内所填的数的顺序发生变化，三角形中的数也就会改变之所以如此，是因为每个圆圈对三角形的“贡献”是不一样的也就是说，在计算平均值时，有的数被计算了更多的次数为了使三角形中的数尽可能小，就应该让这样的数更小一些 详解 记五个圆圈中的数从左到右依次为A、B、C、D、E 为使三角形中的数尽量小，就要使三个方框中数的和尽量小而这个和的3倍就是 为使上式达到最小值，只有让C为最小，B和D为其余数中的最小的两个因此C=1.2，B和D一个是3.7，一个是2.9再把4.6和6.5分别填入另两个圆圈中经计算，此时三角形中的数为3.1 评注 三角形中的数实际上是五个数的加权平均当学到排序不等式后就会知道普通的结论：欲使最后结果尽可能小，应让权重越大的数取值减小 例6 如图83，六个圆圈之间连接着十三条线，请从0至13中取出六个数分别填入各圆圈内，使每条线段两端点上所填数的差(大数减小数)恰好取遍1至13中的每一个数 答案 第一行从左至右填入1、13、2；第二行从左至右填入6、0、10 分析 为了取到13，所选的数就必须包括0和13又只有131=120=12，所以至少还应有1和12中的一个，不妨设有1 详解 把013之间的数分成如下几组：(1，12)、(2，11)、(3，10)、(4，9)、(5，8)、(6，7)一旦某个数被选中，同组的这两个数就都可以出现在差中由于已经取了1，又为了使每个数都可以在差中取到，因此应该适当地在后5组中选出不同组的3个数 在(2，11)中，如果选了2，那么再选任一个数，该数及其减一、减二都可以由差取到注意到(4，9)、(5，8)中的数都可以由其他两组的数减一或减二得到，因此选出10和6即可 评注 显然分析、详解中不是惟一性的推导，因此本题的答案未必惟一 例7 由三个不同数字能组成6个互异的三位数，这6个三位数的和是2886求所有这样的6个三位数中最小的数是多少 答案 139 。1 分析 对于三个不同的数字a、b、c能组成这样六个互异的三位数：abc、acb、bac、bca、cab、cba每个数字在每个位置上都恰好出现了两次，所以六个三位数的和是222(a+b+c)这样就建立了三位数的和与三个数字的和之间的关系 详解 由已知条件，三个不同数字的和应该是2886222=13 为使三位数最小。其首位应是1那么十位上的数字至少是13-(1+9)=3，且当它是3时个位数字是9 故所求最小值为139 评注 对于各位数字轮换生成多个不同的数，这种字母的表示方法应该掌握此题型也是常见的一种它还有很多变化形式，例如已知其中最大数与最小数的差，或者已知其中最大的三个数的和等等 例8 一个玩具，有一个红色的按钮、一个黄色的按钮和100个能站能坐的小木偶按一下红色的按钮，就会有一个站着的小木偶坐下去；按一下黄色按钮，就可以使站着的小木偶增加一倍现在只有三个小木偶站着，要想使站着的小木偶增加到21个，而且尽量少按按钮，最少需要按多少次?请给出操作方案 答案 5次；依次按黄、黄、红、黄、红色按钮 分析 首先题目中的条件和问题只涉及站着的小木偶的数目，而不涉及木偶的位置等其他因素，所以我们只考虑按按钮对站着的木偶数目的影响变化：红按钮使其减1，黄按钮使其加倍 当站着的木偶数目已知时，我们总可以对它进行红、黄两种操作同时，也完全可以倒推出在此之间的状况注意到按黄色按钮后站着的木偶数目必定为偶数，因此，当某次操作后有奇数个站着时，此操作肯定是按红色按钮这启发我们采用倒推法 详解 记站着的木偶数目为A，则按红色按钮使A减1。按黄色按钮使A变成2倍 假设有一系列操作使A由3成为21由于最后时A是奇数，因此最后一次操作必定是按红色按钮，在此之间A为22 再来考虑再前一次操作若是按红色按钮，则之前A为23，那么再前一次只能还是按红色按钮，之前A为24而每按一次按钮至多使A变成2倍，且3222=24，所以A从3变成24至少要操作3次因此总共至少要操作3+3=6次 另外一种情况，若是按黄色按钮，