（基础数学专业论文）非平稳小波在椭圆型方程中的应用.pdf

中山大学硕士学位论文 中文摘要 非平稳小波在椭圆型方程中的应用 专业：基础数学 硕士生：关晓明 导师：林伟教授 摘要 本文主要考虑h e l m h o l t z 方程和l a p l a c e 方程的边值问题的数值解的小波方法。这两 类问题在力学与工程学中都有着广泛的应用。为了解决上述问题，我们将q u a k 三角小 波和g a l e r k i n 方法结合起来求解所得到的自然边界积分方程。 小波分析理论是近十多年来迅速发展起来的一个新的数学方法，它是调和分析发 展的一个突破，在纯粹数学和应用数学中都有广泛的应用。而自然边界元方法是由我 国著名的数学家冯康和余德浩教授所提出的一种新的边界元方法，它除了具有边界元 方法的优点外，还具有许多独特的优点。如双线性型的对称性和强制性，边界积分 方程解的存在唯一性及稳定性等等。本文将小波理论及自然边界元方法结合起来研 究h e l m h o l t z 方程和l a p l a c e 方程的边值问题的数值解。 对于圆外区域求解h e l m h o l t z 方程的问题，我们首先应用自然边界元方法进行归 化，然后应用g a l e r k i n 方法并取q u a l c 三角小波的尺度函数作为基函数对这个问题进行 求解，得到了数值解的算法并给出了数值解的误差估计。我们所得到的刚度矩阵，其 元素有有限的具体表达式，刚度矩阵的结构具有循环、反对称性。这样刚度矩阵系数 的计算量大大减少，计算精度也大大提高。 对于圆域内l a p l a c e 方程的n e u m a n n 边值问题。我们将q u a k d 、波的尺度函数作为基 第1 页 中山大学硕士学位论文中文摘要 函数对所得到的自然积分方程进行离散化并应用积分核级数展开法进行计算，得到了 一个线性方程组。方程组的系数矩阵具有一定的特殊性：循环、对称性。本文针对其 矩阵的特殊结构设计了一种快速解法。实验证明，其求解效率大大提高。 关键词：小波，自然边界元方法，数值解，h e l m h o l t z 方程，q u a l e 角小 波，g a l e r k i n 方法 第1 i 页 中山大学硕士学位论文英文摘要 n o n s t a t i o n a r y w a v e l e ta n di t sa p p l i c a t i o n s t oe l l i p t i ce q u a t i o n s m a j o r ：m a t h e m a t i c s n a m e ：g u a n x i a o m i n g s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rl i nw e i a b s t r a c t i nt h ep r e s e n tt h e s i sw ea r e m a i n l yc o n c e r n e dw i t ht h ew a v e l e tm e t h o d sf o rn u m e r i c a l s o l u t i o n so ft h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fh e l m h o l t ze q u a t i o na n d l a p l a c ee q u a t i o n w h i c ha r ew i d e l ya p p l i e di nm e c h a n i c sa n d e n g i n e e r i n g i no r d e rt os o l v et h e s ep r o b l e m s ， w ew i l ls o l v et h ec o r r e s p o n d i n gn a t u r e d b o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n sb yu s i n gq u a kw a v e l e t a n dg a l e r k i nm e t h o d w a v e l e ta n a l y s i si san e wm a t h e m a t i c a lb r a n c ht h a th a sb e e n d e v e l o p e dt h r i l l i n g l yi n t h el a s td e c a d ea n dh a sb e e na p p l i e d w i d e l yi nm a t h e m a t i c sa n da p p l i e dm a t h e m a t i c sf o r i t sf u l li d e a sa n d a n a l y s i sm e t h o d s n a t u r a lb o u n d a r yd e m e n tm e t h o di san e w b o u n d a r y e l e m e n tm e t h o di n t r o d u c e df i r s tb yp r o f e s s o rf e n gk a n ga n dy ud e - h a o b e s i d e st h e a d v a n t a g e so fb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ，t h en a t u r a lb o u n d a r y4 e m e n tm e t h o da sa b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o dh a sm a n ya d v a n t a g e s ，s u c ha 8t h es y m m e t r ya n dc o e r c i v e n e s s o ft h eb i l i n e a rf o r m ，t h eu n i q u ee x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo ft h es o l u t i o no ft h en a t u r a l b o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n ，e t c i nt h i st h e s i sw ea p p l yt h ew a v e l e ta p p r o x i m a t i o na n d t h en a t u r e db o u n d a r ye l e m e n tm e t h o dt os o l v et h e b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fh e l m h o l t z e q u a t i o na n dl a p l a c ee q u a t i o n 第1 i i 页 中山大学硕士学位论文英文摘要 f o rt h eh e l m h o l t ze q u a t i o ni na ne x t e r i o rc k c u l a rd o m a i nw ef i r s tc o n v e r ti tt ot h e n a t u r a lb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o na n dt h e nt a k et h es c a l ef u n c t i o no fq u a kw a v e l e ta s t e s tf u n c t i o nt od i s c r e t i z et h en a t u r a lb o u n d a r ye q u a t i o nb yg a l e r k i nm e t h o d a na l g c - r i t h ma n de r r o re s t i m a t ef o rt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n sh a v eb e e np r e s e n t e d a sar e s u l t t h es t i f f n e s sm a t r i xi sc i r c u l a n t ，s y m m e t r yo ra n t i - s y m m e t r yw h e r et h en o n z e r oe n t r i e s h a v ef i n i t ee x p l i c i te x p r e s s i o n ，s ot h a tt h ec o m p u t a t i o n a lc o s ti se x t r e m e l yd e c r e a s e da n d t h ea c c u r a c yi se x t r e m e l yi m p r o v e d f o rl a p l a c ee q u a t i o ni na ni n t e r i o rc i r c u l a r d o m a i n ，i no r d e rt od i s c r e t i z et h e c o r r e s p o n d i n gn a t u r a lb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o nw ea p p l yt h es c a l ef u n c t i o no fq u a k w a v e l e ta n de x p a n dt h ei n t e g r a lk e r n e li n t ot h et r i g o n o m e t r i cs e r i e s a sar e s u l t ，t h e s t i f f n e s sm a t r i xi sc i r c u l a n ta n d s y m m e t r y a f a s ta l g o r i t h mf o rt h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s h a v eb e e np r e s e n t e d t h ec o m p u t a t i o n a lr e s u l ts h o wt h a tt h ee f f i c i e n c yi s e x t r e m e l y j n c r e a s e d k e y w o r d s ：w a v e l e t ，n a t u r a l b o u n d a r y e l e m e n tm e t h o d ，n u m e r i c a ls o l u t i o n ，h e l m h o l t ze q u a t i o n ，q u a kw a v e l e t ，g a l e r k i nm e t h o d 第1 v 页 中山大学硕士学位论文 第一章引言 第一章引言 积分方程在数值计算中起着非常重要的根本性作用。积分方程本身大量出现 于工程、力学等自然科学技术中。另外，将微分方程( 包括偏微分方程和常微分 方程) 的数值计算问题化为积分方程的计算问题是微分方程计算最有效的途径之 一。微分方程解的数值计算是科学计算中的一项重要内容，它在弹性力学、断裂 力学、流体力学等领域有着广泛的应用。如何求出微分方程的数值解，更好地提 高计算的精确度、计算的稳定性以及减少计算的运算量一直是许多学者关注的问 题。将微分方程化为积分方程进行计算，不仅可以将问题的维数降低一维，而且 能够把无界区域的问题转化为有界区域的问题。从数值计算的观点来说，这一点 是很重要的。在过去的六十年中，有大量的工程师、物理学家和数学家致力于各 种问题中的边界积分方程的应用并取得了大量的结果。本章就自然边界元方法以 及本文所用的小波等问题进行论述。 1 1 自然边界元方法 许多物理问题通过不同的途径可以归结为不同形式的数学模型，如偏微分方 程的边值问题，区域上的变分问题及边界上的积分方程等等。这些不同的数学形 式在理论上是等价的，但在实践中并不等效，它们将分别导致有限差分方法、有 限元方法和边界元方法等不同的数值计算方法。 边界元方法是在经典的边界积分方程的基础上吸收了有限元离散化技术而发 展起来的一种求解微分方程的数值方法。它把区域内的微分方程边值问题归化为 第1 页 中山大学硕士学位论文第一章引言 边界上的积分方程，然后利用各种离散化技术进行求解。边界元方法的主要优点 是它将所处理的问题的空间维数降低了一维。这对无界区域上的问题特别有意 义，因为它可将无界区域上的问题转化为边界上的有界域上的问题。我们只要求 出了边界上的积分方程的解，那么解函数在区域内任意一点的值都可以得到。边 界元方法也有其局限性，由于数学分析的复杂性，边界元方法对变系数、非线性 问题的应用受到了限制。在数值计算方面，有限元方法所得到的刚度矩阵是非稀 疏的，这增加了计算上的一些难度。尽管如此，有限元方法还是得到了很成功的 应用。目前，边界元方法已经发展成工程数值计算中的最重要的方法之一，被广 泛应用于弹性力学、断裂力学、流体力学、电磁场和热传导等领域的科学研究和 工程技术的数值计算，每年都有大量的文献出版。( 可参见f 1 3 1 ) 另外，边界元 方法和有限元方法的有效结合也使得我们可以解决很多较为复杂的计算问题。 在有限元的应用过程中，往往会导致奇异积分方程的出现。例如，很多力学 问题可化为具有二阶奇性的强奇异积分方程。奇异性的出现增加了计算的难度。 在对边界积分方程的研究中，最主要的困难不在于解的光滑性的丧失( 在研究非 光滑区域上的偏微分方程等问题时会出现解的光滑性的丧失) ，而在于积分核奇 性的出现。由于古典的数值方法不能直接应用于奇异积分方程，因此研究一套有 效的处理奇异积分方程的数值方法是很有必要的。近年来，有大量的研究者从事 这方面的工作，取得了一定的成绩。 自然边界元方法是由我国著名的数学家冯康和余德浩教授所提出的一种 新的边界元方法。它是从g r e e n 函数和g r e e n 公式出发，将微分方程的边界问题 归化为边界上的强奇异积分方程( h a d a m a r d 有限部分意义下的强奇异积分方 程) ，然后把相应的变分问题在边界上离散化求解的一种数值计算方法。但 最早注意到l a p l a c e 方程边值问题可以归化为蒙= 心型强奇异积分方程则可追溯 第2 页 中山大学硕士学位论文第一章引言 n j h a d a m a r d ，但这一强奇异性所带来的困难使得数十年来很少有人对它进行更 深入的研究。直n z o 年代中期，冯康教授才注意到这一类强奇异积分方程及其相 应的变分形式，并从数值计算和应用的角度开始研究，提出了自然边界归化的思 想。 边界元的归化途径很多，可以从同一边值问题得到许多不同的边界积分方 程，不同的边界归化可能导致不同的边界元方法。目前，通常采用的边界元 归化方法分为间接法和直接法两大类。间接法是从基本解及位势理论出发得 至l j f r e d h o l m 积分方程的经典边界归化方法。此时边界积分方程的未知量不是原边 值问题的解而是引进的新变量。直接法则是从基本解和g r e e n 函数出发在不引进 新变量的情况下将微分方程的边值问题归化为边界上的积分方程。这两种归化方 法通常失去了原问题的自伴性等性质，从而离散化后得到的线性方程组的系数矩 阵一般不是对称的。自然边界归化则不同，它保持能量不变，原边值问题许多有 用的性质，例如：双线性型的对称性、强制性等性质均被保持，从而保证了自然 边界积分方程解的存在唯一性和稳定性。这一优点也保证了自然边界元方法和经 典有限元方法能自然而直接地耦合。这正是自然边界元与有限元耦合法与其他类 型的耦合法相比所具有的最根本的优越性。自然边界积分方程也可通过不同的归 化途径，例如：g r e e n 函数法，f o u r i e r 级数法及复变函数论等方法而推得。但与 一般的边界归化不同，自然积分方程是由原边值问题唯一确定，不同的归化途径 得到的是同一的自然边界积分方程。所以说自然边界元法准确地反映了原微分方 程边值问题的本质所在。自然边界元方法给数值计算带来了很多好处，如刚度矩 阵的对称正定性，近似解的稳定性，以及在处理无穷区域时仍保持理想的精度等 等。特别的，当区域边界为圆或椭圆时，自然边界元刚度矩阵有某种循环性，所 以我们并不需要计算所有的刚度矩阵的元素，而只需要计算大约半行元素便可以 了。这样，与一般的边界元方法由于刚度矩阵计算的复杂性使得边界元降维的优 第3 页 中山大学硕士学位论文 第一章引言 点在很大程度上被抵消不同，自然边界元法确实使得计算量大为减少。近十多年 来，自然边界元法已被成功地应用于一些偏微分方程的边值问题的求解，得到了 很好的结果。 1 2 小波 小波分析理论是近十多年来迅速发展起来的一个新的数学方法，它是调和分 析发展的一个突破，在纯粹数学和应用数学中都有广泛的应用，目前已成为国际 上极为活跃的一个研究领域。 小波分析是在f o u r i e r 分析的基础上发展起来的。作为时一频分析方法，小波 分析比f o u r i e r 分析有着许多本质的进步。小波变换继承和发展了窗口f o u r i e r 变换 的局部化思想，它的窗口随频率的增高而缩小，因而符合高频信号的分辨率较 高的要求。小波变换有各种各样的优点，它既保留了f o u r i e r 变换的长处，又弥补 f o u r i e r 变换的不足之处。小波分析在局部时一频分析中具有很强的灵活性被喻 为时一频分析的显微镜。小波分析的快速算法为分析和解决实际问题带来极大的 方便。它的这些特点使得时一频分析的方法和应用得到了辉煌的发展。现在，小 波分析方法已广泛应用于信号处理，图像处理，模式识别，语音识别，地震勘 测，c t 成像，计算机视觉，航空航天技术，故障监测，通信和电子系统等众多 的学科和相关技术的研究当中。由小波分析方法带来的高新技术成果迅速增加， 其研究正向纵深发展。 小波分析之所以得到如此广泛的应用， 完善性。小波分析是泛函分析，调和分析， 义函数论等众多学科知识完美结合的结晶， 第4 页 完全归功于它的数学机理的创见性和 时一频分析，数值分析，逼近论和广 具有完善的理论体系。 中山大学硕士学位论文第一章引言 近年来的研究表明，小波分析为l 2 空间提供了许多新的正交基一小波基。由 于小波能够刻画s o b o l e v 空间并且构成s o b o l e v 空间的一组基，而且小波函数具有 良好的衰减性、光滑性与消失矩等性质，这为小波应用于方程的数值计算提供了 理论上的依据。自八十年代末，小波理论开始运用于数值计算，许多专家、学者 都投身于这方面的研究，形成了一套理论。 参考 1 6 ) 。 v n n ，d i r i c h l e t 核d n ( o ) 和它的共轭核反( 口) 定义如下： 晰掣1 驴n 一_ 警篙三 n - ， 础) ：= 壹。i n 肌 掣川2 “( 1 。) k 1 【0 ， p 2 7 r z 很明显d n ( o ) ，西。( er n ，r n 表示次数不超过n 的三角多项式组成的线性空 间。令 易矿等，j 0 ，n = o ，k ，+ 1 乩 ( 1 3 ) 定义1 1 ( 尺度函数)n o ，尺度函数定义如下： 掣+ 1 一l 域。( 日) ：= 赤d k ( 0 ) ， 畦。( 口) ：= 赤( 如l ( 口) + 互1 s i n 矿l 目) 定义钙，。( 日) ：= 谚，o p 一白，。) ，n = l ，2 ，2 j “一1 ，i = 0 ，1 而且，v n z ，谚，。( 日) ：= 谚，。0 d 卅。( 口) ，i = 0 ，1 第5 贾 ( 1 4 ) ( 1 5 ) 中山大学硕士学位论文第一章引言 定理1 _ 1 ( 内插性质)n o ，n ，k = 0 ，1 ，2 j + 1 1 ，有 域。( o j ，) = 如。谚。7 ( 吩， ) = 0 ( 1 6 ) 日，。( e j ，k ) = 0砖。( 如，) = ( 1 7 ) 其中如。是k r o n e c k e r 符号。 进一步地，我们可以定义尺度函数空间。 定义1 2 ( 尺度函数空间)坳n o ，定义尺度函数空间巧： 巧：= s p a n 壤。( 口) ，砖，。( 日) i n = 0 ，1 ，2 “一1 )( 1 8 ) 由尺度函数壤。( p ) ，磅，。( 口) 的表迭式及其内插性质( 定理1 1 ) 我们可以证明 下面的定理。 定理1 2 n o ，d i m v j = 2 j + 2 且 巧：= s p a n 1 ，c o s o ，c o s ( + 1 1 ) 口，s i n o ，s i n 2 j + 1 ( 1 9 ) 由定理1 2 ，我们可以得到巧c 码+ 1 u o ) ，如果记u l = o ) ，则有 l 2 0 ，2 丌 _ c l o s e 口( u 巧) j = - i 因此 巧) 器一l 组成了l 2 【o 2 r r 的m r a 第6 页 n 巧= o ) j = - 1 中山大学硕士学位论文 第一章引言 下面我们给出空间巧在空间巧+ 1 上的正交补空间，我们称之为小波空间。 定义1 3 ( 小波函数)坳n o ，小波函数定义如下 织。( 日) ：2 赤c 。s 2 卅1 目+ 丽杀( 3 2 j + 1 一k ) c o s k 0 2 j + 1 ( 1 1 0 ) 112 一 螂：1 3 2 2 j + 1 。篁1 咖叭赤咖z 伸。 ( 1 1 1 ) 螅。( 口) ：= s i 蝴+ 赤8 i n 2 伸日 ( 1 1 1 ) 七竺型+ 1 + 1 一 定义钙，。( 口) ：= 蟛，o p o j ，。) ，n = 1 ，2 ，2 j + 1 1 ，i = 0 ，1 而且，v n z ，蟛，。( 口) ：= 钙。谢计- ( 8 ) ，i = 0 ，1 定义1 4 ( 小f f i ) 切n o ，定义小波函数空间w 0 ：= 跚礼 蠼。( 日) ，螅。( 口)i n = 0 ，1 ，2 j + 1 1 ) ( 1 1 2 ) 那么可知巧o w j = 岣+ 1 ，且有 = s p a n c o s 2 j + 1 0 ，c o s ( 分+ 2 1 ) o ，s i n ( 2 j + 1 + 1 ) 目，s i n2 j + 2 目) 定理1 3 巧+ l 。巧。0 o ) a n d l 2 0 ，2 7 r l = o 凳o j 、波函数有着和尺度函数相似的内插性质。 定理1 4 n o ，n ，k = 0 ，1 ，2 j + 1 1 ，有 鹕。( o j ，) = 蠼。( 白，女) = 0 峨。( 岛，) = 0避。( 巳，) = 如。 其中是k r o n e c k e r 符号。 第7 页 ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 中山大学硕士学位论文第一章引言 引理1 5 对z ，o ，j n o ，n = 0 ，1 ，+ l 一1 ，有：( 可参考【2 7 】) f027rcoskojo 埸( e ) 拈南埸( 口) 硼2 南 f 0 2 ”s i n k o 蠊( 口) d p ；赤 蠊( 口) 枷。赤 掣+ 1 一 1 = 1 + 1 一 1 = 1 ( 2 j + 1 一1 ) c o s o j n 如。 ( 2 j + 1 一z ) s i n l o j 。以2 卜删删1 硼；一赤葛1 。洫阮 j ( c 0 8 枷州删一赤占咖阮 2 | ，r s i n k o 砖) 始；南( , 2 j 蔷+ 1 _ 1 c 吣。聃扣+ 1 ) 从上面的讨论我们可以知道，我们有b 的二组基： b j ：= 妒曼k ( 口) ，妒 ( 口) i o k 2 。+ 1 1 ) 莳：= u j - 。1 s b o ( 口) ，嚷( 口) i os ks 2 j + 1 1 ) u 妒8 ，( 口) ，l p 6 ， 徊) i 七= o ，1 ) 下面我们给出的两张图像分别是尺度函数妒2 ，o ，妒；，o 的图像，从图像中我们也 可以知道函数i p ；，o 是偶函数，而函数四，o 是奇函数。 第8 页 中山大学硕士学位论文第一章引言 图i - i 尺度函数妒2 o 图1 - 2 尺度函数妒 o 1 3 本文的主要工作 第9 页 中山大学硕士学位论文第一章引言 本文主要考虑h e l m h o l t z 方程和l a p l a c e ；方 程的边值问题的数值解的小波方法。 这两类问题在力学与工程学中都有着广泛的应用。为了解决上述问题，我们 将q u a k e - ) 羁小波和g a l e r k i n 方法结合起来求解所得到的自然边界积分方程。 在第二章中，我们考虑圆域内l a p l a c e 方程的n e u m a n n 边值问题。我们 将q u a k 小波的尺度函数作为基函数对所得到的自然积分方程进行离散化并 应用积分核级数展开法进行计算，得到了一个线性方程组。方程组的系数矩阵具 有一定的特殊性：循环、对称性。本文针对其矩阵的特殊结构设计了一种快速解 法。实验证明，其求解效率大大提高。 在第三章中，我们考虑圆外区域的h e l m h o l t z 方程，我们首先应用自然边界元 方法进行归化，然后应用o a l e r k i n 方法并取q u a k 三角小波的尺度函数作为基函数 对这个问题进行求解，得到了数值解的算法并给出了数值解的误差估计。我们所 得到的刚度矩阵，其元素有有限的具体表迭式，刚度矩阵的结构具有循环、反对 称性。这样刚度矩阵系数的计算量大大减少，计算精度也大夫提高。 第1 0 页 中山大学硕士学位论文 第二章单位圆内求解调和方程 第二章单位圆内求解调和方程 对于圆城内l a p l a c e 方程的n “m a n n 边值问题，余德浩教授( 可参考【2 ) 通过 自然边界元方法将其化为等价的强奇异自然边界积分方程，并运用多项式元对其 进行离散化，成功地得到了刚度矩阵的计算公式。这些系数公式均是由收敛的级 数表出的。在实际的计算中必须进行截断或应用一些近似公式求和，而这样得到 的刚度矩阵是近似的。而林伟教授( 可参考1 3 1 ) 将q u a k e -小波和g a l e r k i n 方 法结合起来对相应的自然边界积分方程进行离散，得到了非常简单的刚度矩阵系 数的计算公式，刚度矩阵系数不再由级数表出，而仅由一项或两项表出，所以在 计算时是非常方便和精确的。而且刚度矩阵具有十分简单的形式，它是一个分块 循环对角阵，即刚度矩阵的4 个相同的子块中，次对角线上的两块是零矩阵，另 外两决皆为循环对称矩阵。这样，一个2 j + 2 2 j + 2 阶的刚度矩阵，我们只需要计 算分+ 3 个系数即可，由此使刚度矩阵系数的计算量大大减少。原来得到的线性 方程组还自然分离为2 个小的线性方程组。在得出线性方程组后，求解方程组的 常用方法是用直接法或迭代法求解之。我们针对所得的刚度矩阵的特殊结构设计 了一种快速解法。 2 1 自然边界积分方程 设n 是单位圆，r 是它的边界，对于l 印l a c e 方程的d i r i c h l e t l 习题： 第l l 页 中山大学硕士学位论文第二章单位圆内求解调和方程 f a u o ，。q 【u 旧= u 0 其中“o 是“在边界上的取值。 对于上面的d i r i c h l e t i n 题，我们知道它的解为 ( 2 1 ) ( n 一) = i ；上2 ”i i ；i ；：j ；d e ，。r t ( z z ) 上面这个式子我们称之为单位圆上l 印l a c e 方程的p o i s 8 0 n 积分公式。 l a p l a c e 方程的n e u m a n n 边值问题 z q z r 其中：嘉是边界r 上的外法向导数，满足相容性条件：矗u 。d s = 0 。 设g ( 。，z 7 ) 为f 2 k l a p l a c e 方程的g r e e n 数，满足下面的方程： 一a 。g ( z ，z ，) = j ( 。一z ) ， c ( x ，z ) = 0 ， z 一q z r 应用g r e e n g ：j 蜮 f f n ( v a u - - u a v 肛z c ”嘉一“跏 可以得到l 印l a c e 方程的p o i s s o n 积分公式： u ( z ) 一z 嘉g ( “) u 蹦 第1 2 页 ( 2 3 ) o = = l血 阢丽 ，l_j(1l【 中山大学硕士学位论文 第二章单位圆内求解调和方程 其中：u o ( x 7 ) = “( z 引r 。 对上式两边关于x 求法向导数并今x 从q 内部趋于边界r ，即得到了自然积分方 程： 其中： u n ( z ) = k u o ( x ) k 嘶) = 一z 【翥g ( 删h ( 咖s ， 定义空间日 ( r ) 上的双线性型及连续线性泛函分别为 如川：= 一zz f 翥g ( 硼州) 础) d s ，d s 则( 2 4 ) 等价于边界上的变分问题 j ；( ，) ：厂盯d 。 j r ( 2 4 ) 求u o 日 ( r ) ，使得 1 矾。，垆知) ，硎( r ) 。5 定理2 1 ( l a x - m i l g r a m )设c b ( w ， ) 是h i l b e r t 空问日上的一个v - 椭圆，连续双 缌陛泛函，即满足： b ( w ，训m 1 1 w l i h i i v l i h 第1 3 页 中山大学硕士学位论文第二章单位圆内求解调和方程 和 b ( v ，”) i2o f 备 其中：m ，n 是正的常数，令f ( u ) 是一个有界线性泛函，则存在唯一的札h ，满 足： b ( u ， t ) = f ( v ) h 且 上面的定理可参考 2 。 1 1 “1 1 h 曼：l l f i i 即 引理2 2 西( 盯，p ) 为商空间日 ( r ) 蜀上的对称，正定，v - 椭圆，连续双线性 型。即存在正常数卢，使得 西( a ，一) 2a i i 一2 ( f ) 偈，v 一h ( f ) p o d ( 盯，p ) 卢8 口1 1 日女( r ) p o i l 卢0 日 ( r ) 岛，协，p h ( f ) p o 上面的引理可参考【2 】 由上面的引理和l a x - m i l g r a m 定理可以得到下面的定理 d 定理2 3 若“。日j ( f ) = 如h i ( r ) l 片 d s = o ，则上面的变分问 题( 2 5 ) 在商空间日 ( f ) p 0 存在唯一解，且解连续依赖于给定边值u 。上面的定理 可参考 2 j 利用p o i s 8 0 n 积分公式( 2 2 ) ，我们可以得到单位圆上调和方程的自然积分方程 第1 4 页 中山大学硕士学位论文第二章单位圆内求解调和方程 其中 u 。( 口) = k u o ( 8 ) 酬仆一去z 2 ”辫 2 2g a l e r k i n 方法求解 由上一节的内容可以知道，单位圆内区域q 上的l a p l a c e 方程的n e u m a n n 边值 f 司题( 2 3 ) 可归化为边界f 上的h a d a i n r d 型强奇异自然积分方程，其相应于边界上 等价的变分问题为： 其中 像m ( u o , o 竺麓础。 d 小= 一去z 2 一o ”逖s i n 2 警舳 ，2 口 郎) - j ( ( 咿( o ) d o ( 2 6 ) 由定理2 3 知，上面的变分问题在商空间日 ( r ) p 0 中存在唯一解“o ( 口) 。现在 对圆周作有限元均匀剖分，对固定的j n o ，结点为易一= 等，0 n 茎2 j “一1 ， 第1 5 页 中山大学硕士学位论文 第二章单位圆内求解调和方程 试验函数空间巧取为前面定义的尺度函数空间，显然巧( r ) ch i ( r ) ，因此变分问 题( 2 6 ) 的近似变分问题为： j 求诧刚r ) c 讲( r ) 使得( 2 7 ) i 西( 瑶，一) = 詹”一础，v a j ( r ) 由于u 是日( r ) 的线性子空问，l a x - m n g r 哪定理仍然保证了近似变分问题 ( 2 7 ) 在商空间巧角中存在唯一解谣。 下面，我们在巧中的一组基下应用积分核级数展开法来计算刚度矩阵的系 数。为此，对于n o ，令罐( 为咖( 口) 在b 中的g 出e r k i n 投影，即： 2 j + l i l 罐( 8 ) = 【以谚k ( p ) + 3 j ，1 ( 口) 】 ( 2 8 ) k = 0 将上面的式子代入近似变分问题( 2 7 ) ，我们可以得到下面的线性方程组： 其申 。= d ：f d 0 。d 1 。1，d 如：( 勰) ：( d ( ，曝) ) 。 d o , d 1 1 2 删 p ，q = 0 ，1n = 2 j + 1 ，m ，n = 0 ，1 ，分+ 1 1 a j = ( ，j + l - - 1 ) t ，= ( 罐，融+ 1 - - 1 ) t a j = ( ，弓+ ，一。) t ，驴= ( 瑶，咳+ 。一。) t = 詹”( p ) 甥k ( o ) d o ，观= 舻( 口) 磅k ( o ) d o ，0 曼k 2 j + 1 1 第1 6 页 ( 2 9 ) 中山大学硕士学位论文第二章单位圆内求解调和方程 现在我们应用广义函数论中的重要公式 一1 ；妻k = 1 4 。s i n 2 删一；厶8 。“7 将核函数进行展开并且利用引理1 5 得出了刚度矩阵的系数。 若记碑o = ，本1 = d ，其中：r = i m 一礼l ，0 r 2 1 + i 一1 ，则 斧： 吾( 1 - - 南) 一o ( 2 1 0 ) i 一莽知s i n 一2 白+ l ，i r 茎2 j + 1 1 f ”f 帕一1 ) 勺矿 【一洳 r = 0 ( 2 1 1 ) 1 r r 时，有： 第2 0 页 卿舢 上何上何 = | | 吻 卿 脚 ，一 = 中山大学硕士学位论文第二章单位圆内求解调和方程 _ a f 叫= 寺唧e 等e ! 宁 8 = 0p = 0 = 专唧e 等e 警 s = 0p = 0 = 嘉n p e 学 s = 0p = 0 2 嘉p = 0 唧薹e 学i = 专( 吻e 芈+ a n - d n ) p = 0 。叶a # n 8 = 0 2 寿( o 一d ) = n d 上面的最后一个等式是利用了( 2 1 5 ) 的结果。当f r 时，有： 第2 l 页 中山大学硕士学位论文第二章单位圆内求解调和方程 足 f a f 叫= 丙1 唧e 等e 串 s = op = o 2 专三唧e 哿y - i e 帮 2 斋三蚤唧e 芈 。专萎唧。学 吲i 毫。v - i 唧i 萎v - i e 学) = 丙1 ( 。d ) = a d 从而，证明了定理。 定理2 6 前面我们定义的矩阵f = “f 】，女h 。是非奇异对称矩阵，且满 f ：f 一1 证明：若记= e 静i ，n ：0 ，1 ，n 一1 则有 f ：三 0 n l u u ； 1 u ，_ 1 世_ 1 1 w n 一1 嘻一1 叫二； 第2 2 页 叫 吨 1 l l 中山大学硕士学位论文第二章单位圆内求解调和方程 上式右端的矩阵称为v a n d e r m o n d e 矩- 阵，其行列式为 由的定义可以知道 当m n 时， 那么 同时，又由于 那么 从而我们就证明了定理。 d e t f = ( 一u 。) 0 ( n m u 三= 四 u m d e t f 0 丽= 啄1 r ， 1 ”3 【0 ，n j f - = j ，( i 是n 阶单位矩阵) 于是我们利用定理2 5 ，2 6 ，那么线性方程组 第2 3 页 暝 域 。吨 m 嚣脚 一 一 = = ”司 中山大学硕士学位论文第二章单位圆内求解调和方程 等价于： 0 u = b f a f u = b = 争a f u = f b 那么我们就只要先求出f 6 ，而a 是对角矩阵，将f 对应的行除以h ( 不 为。才能除) ，就可以得到新的一列记为y ，最后只需要再求两就可以得到所需 的结果。其中：f b ，f y 的计算可以用f f t 算法完成。 法。 2 4 数值例子 在这一节中，我们将举一个u m a n n 边值问题的例子来说明上面的快速算 例子单位圆上的n e u m a u n i t 题 0 r 1 ，0 s 口s2 r o 口 2 7 r 用尺度函数空间巧的一组基岛，将由自然边界积分方程导出的变分问题离 散化求解。同时，为了保证所得到的线性方程组的解的唯一性，我们附加条 件西+ 。一1 = 0 。然后用对线性方程组采用g a u s s s e i d e l 迭代法求解。精确解。o 与 第2 4 页 口 叽 1 l c ， = 日 f ，l r 如 乩| 苦 ，j(1【 中山大学硕士学位论文 第二章单位圆内求解调和方程 近似解碚之间的误差由下面的表给出。其中：上面问题的精确解为 “= r c o s 口，0 r r( 3 3 ) 其中p 定义如下： 1 ，2 口 削忙嘉j ( i ：- - 0 0 g 忙i ( k r , k r ) c o s 邮一帆( 9 矽 ( 3 4 ) 中山大学硕士学位论文第三章圆外区域求解h e l m h o l t z 方程 g 如剐= 糍，删，k ( 3 s ) 两1 ( z ) 是第一种h a n k e l 函数在( 3 4 ) 中a - r 求导，并- 4 - r r + 0 ，可以得到自然积分 方程： ( 口) = k u o ( 0 ) ( 3 6 ) 其中： 1 - ，2 口 o 。 吼“2 云上 。三h i n j ( k r ) c o ( m ，) d 矿 ( 3 7 ) 上面的求解利用到： 嘶) ：一学硝k ) ，n = 0 , 1 下面给出一些函数级数的表达式 g 。( 七r ，r ) = i 譬 ” 1 + o ( ：) ) ( z ) = ；t 1 + o ( 嘉) 3 2c a l e r k i n 方法求解 ( 3 8 ) ( 3 9 ) 下面我们将为( 3 6 ) 建立等价的变分问题： ，耋眯粤，使得埘1 1 讯蝴) ：( ，。锄( r ) 1 唧 第2 9 页 中山大学硕士学位论文第三章圆外区域求解h e l r n h o l t z 方程 其中 5 ( u o ，) = k 为( 3 6 ) 定义的自然积分算子，而 ：，乱 d s j r 下面我们要开始考察变分问题的解的存在唯一性。 引理3 1 线性算子k 是日8 ( r )