（基础数学专业论文）prekrull整环理论.pdf

p r e - k r u l 整环理论 研究生李庆 基础数学 指导教师王芳贵( 教授) 论文摘要：本文主要运用星型算子来刻画p r e k r u l l 整环首先，讨论了p r e k r u l l 整 环与几类主要整环之间的关系证明了圮睦具有有限特征且满足局部主理 想升链条件的p r e k r u l l 整环当且仅当尼黾k r u l l 整环同时给出若整环r 的每 个扩环都是p r e k r u l l 整环且不是域，则兄黾广义d e d e k i n d 整环也是p r f i f e r 整 环以及在p r m k r u l l 整环上的多项式环的分式环仍是p r e - k r u l l 整环的条件下， p r e k r u l l 整环的每个t l i n k e d 扩环仍然是p r e - k r u l l 整环也证明t p r e k r u l l 整 环在素口一理想局部化之后是离散赋值环此外，给出了若p 是兄1 的任 意u t z ，有尸_ 1 r x 1 ，r 的整闭包兄是p r i i f e r 整环，则r 是u m v 整环其 次讨论了p r e - k r u l l 整环和u m t 整环的多项式环及其w 一维数关系证明 了尼是p r e k r u l l 整环当且仅当r k 墨h 是p r e k r u l l 整环当且仅当冗 咒) m ，是 广义d e d e k i n d 整环当且仅当r k k ) t 是伪主理想整环同时给出r 在满足性 质( p ) 的条件下，若r 是p r e - k r u l l 整环，则r 】1 ，也是p r e k r u l l 整环并且证明了 若尼黾u m t 整环，则叫一d i m r = w d i m ( r ) 最后，在群环中刻画了u m t 整 环、p v m d 以及p r e k r u i l 整环给出若尼黾u m t 整环，则r ；g 1 是u m t 整环 证明了r 是p v m d 当且仅当_ r x ；g 1 是p v m d 当且仅当r x ；g 1 是p v m d 同时给出r 是p r e k r u l l 整环当且仅当r ；g n o 是p r e k r u l l 整环并且证明了 当兄是u m t 整环时，w d i m r = w d i r e r x ；g | 关键词：u 一理想；容度；w 一维数；p r e - k r u l l 整环；u m t 整环；多项式环 第i 页，共3 7 页 t h e t h e o r y o f p r e - k r u l ld o m a i n s p u r em a t h e m a t i c s w r i t e r ：l iq i n g s u p e r v i s o r ：w a n gf a n g g u i a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，w ec h a r a c t e r i z ep r e k r u l ld o m a i n sb yu s i n gg e n e r a l s t a ro p e r a t i o n s f i r s t l y , w es t u d yt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e np r e k r u l ld o m a i n s a n ds e v e r a lo t h e ri m p o r t a n td o m a i n s ，ep r o v et h a tr i sap r e k r u l ld o m a i n o ff i n i t ec h a r a c t e rs a t i s f y i n ga s c e n d i n gc h a i nc o n d i t i o n so v e rp r i n c i p a li d e a l so f t h el o e a l i z a t i o no fri fa n do n l yi fri 8ak r u l ld o r a a i n w ja l s os h o wt h a tc a c h o v e r r i n go fr i sap r e k r u l ld o m a i n ，t h e nri sag e n e r a l i z e dd e d e k i n dd o m a i n a n dp r i i f e rd o m a i n a n dw ei n d i c a t et h a te a c ht - l i n k e do v e r r i n go fap r e - k r u l l d o m a i ni sa l s oap r e k r u l ld o m a i ni ft h eq u o t i e n tr i n go ft h ep o l y n o m i a ld o m a i n o v e rap r e k r u l ld o m a i ni sap r e k r u l ld o m a i n m o r e o v e r 、w ea l s oi n d i c a t et h a t t h el o c a l i z a t i o no fap r e k r u l ld o m a i na tap r i m ev - i d e a li sad i s c r e t ev a l u a t i o n d o m a i n b e s i d e s w ep r o v et h a tt h ei n t e g r a lc l o s u r er 。o fri sap r i i f e rd o r a a i n w i t hp - 1 r i x lf o ra n yf r a c t i o n a li d e a lpo fu t z ( r ) ，t h e nr i sau m v d o m a i n s e c o n d l y ，w es t u d yt h ep o l y n o m i a ld o m a i n sa n dw d i m e n s i o na b o u t p r e k r u l ld o m a i n sa n du m t d o m a i n s w ep r o v et h a tri 8ap r e k r u l ld o m a i n i fa n do n l yi f r ) i sap r e 。k r u l ld o m a i n ，i fa n do n l yi f 兄【 墨 肌i s a g e n e r a l i z e dd e d e k i n dd o m a i n ，a n d i fa n d o n l yi f 剐 咒洲帆i s a p s e u d o - p r i n c i p a l i d e a ld o m a i n m o r e o v e r w js h o wt h a tr i sap r e k r u l ld o m a i ns a r i s f y i n gt h e c o n d i t i o no ff p ) ，t h e nr 1 i sap r e k r u l ld o m a i n w ea l s oo b t a i nt h a tr i sau m td o m a i n ，t h e nw d i m r = w d i m ( r k 】) f i n a l l y , w ec h a r a c t e r i z e u m td o m a i n s ，p v m d sa n dp r e k r u l ld o m a i n si ng r o u pr i n g s w js h o wt h a tr i sau m td o m a i n ，t h e nr ；g 1i sau m td o m a i n a n dw ep r o v et h a tri sa p v m di fa n do n l yi f 冗f x ；g i sap v m d ，i fa n do n l yi fr x ；g f v o i sap v m d m o r e o v e r ，ri s ap r e k r u l ld o m a i ni fa n do n l yi fr x ；g i m ，i sap r e k r u l l d o m a i nw ja l s oo b t a i nt h a tr i sau m t d o m a i n ，t h e nw d i m r = w d i r e r x ；g 1 k e y w o r d s ： u i d e a l ；c o n t e n t ；w d i m e n s i o n ；p r e k r u l l d o m a i n ；u m t d o m a i n ；p o l y n o m i a ld o m a i n 部分符号说明 v对每一个 j存在 ( 1 。取a ，6 尸使得( 8 ，功不包 含在r 中的任何高度为1 的素理想中，存在qcf i x 使得q 是a x b 上的极小 素理想，必然句nr = 0 由兄是u m v 整环，故q 是r 暖 的极大 一理想，因此p 不 是r 中的素 一理想，矛盾，故兄中的每个素v 一理想高度为1 反之，若对任意的ue u t z ( r ) ，有u o r i x l ，且r 中的每个素v 一理想高 度为1 则对r 中的任意高度为l 的素理想p ，有u 垡p i x j ，从而对r 中的任意 素”一理想p ，有矿垡p 【羽，因f 比c ( u ) 垡p ，从而4 u ) 。= r ，又因u _ 1 r 瞵 ，所 以只是u m v 整环 1 q o p 8 0 1 6 3 c o m 第1 5 页，共3 7 页 毕业论文 第一章p r e k r u l l 整环的刻画 其次，我们知道u m t 整环就是指该整环中任何u t z 都是极大t 一理想 e h o u s t o n 和mz a f r u l l a h 已经给出例子说明存在有整环是u m v 整环但不 是u m t 整环，同时也说明u m t 整环不一定是u m v 整环从定义我们易 知p v m d 是p 整环，但是e h o u s t o n 和m z a f r u l l a h 也给出例子说明有整环是 一整 环但不是p v m d 下面我们就讨论u m v 整环和u m t 整环以及 整环和p v m d 之 间的关系 众所周知u 一有限型的v 一可逆的素 一理想是一可逆的此外，若只是 一凝聚整 环，则兄中的极大”一理想是极大t 一理想同时我们知道若r 是整闭的u 一凝聚整环， 贝u r x 1 是 凝聚整环于是我们可有以下结论 定理t 46 设冠是u m v 整环，若n i x 中的每个u t z 都是u 一有限型的， 则兄是u m t 整环 证明设p 是r x 】的u t z ，因为兄是u m v 整环，所以p 是n i x 极大口一理想， 从而尸是r 【矧的俨可逆的素 一理想又因p 是 有限型的，于是p 是t 一可逆，由 1 3 ， t h e o r e m1 4 1 ，可得p 是n i x 极大乒理想 定理1 4 7 设兄是u m v 整环且月【x 】是u 一凝聚整环，则r 是u m t 整环 证明 设p 是r x 1 的u t z ，因为r 是u m v 整环，故p 是n i x 极大u 一理想 由兄x 1 是 一凝聚整环，所以p 是n i x 极大t 一理想则忌黾u m t 整环 命题1 4 2 设只是口一凝聚的 一整环，则昆邑p v m d 证明因为尼黾 一整环，则冠是整闭的u m v 整环从而尼黾整闭的价凝聚整 环，于是r x 】是u 凝聚整环由定理1 4 7 有，r 是u m t 整环，又因r 是整闭的，从 而r 是p v m d 众所周知r 是h 整环当且仅当r i x l 是h 整环于是我们有以下结论 定理1 。4 8 设尼黾u m t 整环也是h 整环，则r 是u m v 整环 证明 设p 是r x 的u t z ，则p 是r 】极大t 一理想 因为月是h 整环 则月 x 是h 整环所以p 是r 极大价理想从而尼黾u m v 整环 1 q o p 8 0 1 6 3c o r n 第1 6 页，共3 7 页毕业论文 第二章p r e k r u l l 整环与u m t 整环的多项式环及 其w 维数 本章设 花 是见上的任意个未定元的集合，对，兄( ( 五 ，的系数在r 中 生成的理想，称为，在r 中的容度同样，我们对，兄 】，的系数在r 中生 成的理想，称为，在兄中的容废我们都用c ( ，) 表示，在尺中的容度此外，我们 记飓= ，冗 瓦 l i e ( f ) 。= 埘，于是飓是r x o 的乘法闭集同样我们 也记眠= ，r 【弼 i c ( ，) 。= 础，于是有眠是r 【】的乘法闭集设以是矧约 分式理想，我们用a ，a 分别表示a 在r 上的t 一包络和口包络；若以是r k 五 r 【 。k “或者r x i n o 上的分式理想，我们用a t ，a 矿分别表示a 在r f 五， 兄k ) 】t ，或者r 】 风上的t 一包络和 一包络 2 1 p r e k r u l l 整环上多项式环的等价刻画 从第一章我们知道伪主理想整环，广义d e d e k i n d 整环都是p r e k r u l 整环 下面我们从多项式整环及其分式化方面来讨论它们之间的关系 引理2 1 ，1 【2 】设尼黾整环，则以下各条等价 ( 1 ) r 是p r e - k r u l l 整环 ( 2 ) r 】是p r e - k r u l l 整环 引理2 1 2 1 4 设r 是整环，其中 五) 是r 上的任意个未定元的集合，则阻 下各条等价： ( 1 ) r 是p v m d ( 2 ) 冗f f ) 】肌中的任何主理想都由咒中的理想扩张而成 ( 3 ) r k ) 】肌中的任何理想都由r 中的理想扩张而成 引理2 1 3 1 4 r 是整环，是刷拘任意分式理想，其中 溉) 是r _ 上的任意 个未定元的集合，则有 第1 7 页，共3 7 页 第二章p r e 。k r u l l 整环与u m t 整环的多项式环及其w 一雏数 ( 1 ) ，1 五) 】- ， 托) ， ( 2 ) l ( 咒刖= ， 五) k ( 3 ) k 瓦) _ j 【 恐) r ( 4 ) l 【f 托) 】 ，= ( 【 ) 帆) 矿 ( 5 ) 【( 矗) j 肌= ( ， k 】眠) t 定理2 1 1 设r 是整环，则以下各条等价： f 1 1 r 是p r e - k r u l l 整环 ( 2 ) r 陋 是p r e - k r u l l 整环 ( 3 ) r 瞵】地是p r e - k r u l l 整环 ( 4 ) 月陋】肌是广义p r e - k r u l l 整环 ( 5 ) r 陋k 是伪主理想整环， ( 6 ) 对任何n 1 ，r 噩， 是p r e k r u l l 整环 ( 7 ) 对任何礼1 ，兄1 ， 肌是p r e k r u l l 整环 ( 8 ) 对任何n 1 ，兄 五，五j 肌是广义d e d e k i n d 整环 ( g ) 对任何n 1 ，r l 确，k 是伪主理想整环 证明( 1 ) ( 2 ) ：由引理2 1 1 直接得结论 ( 1 ) j ( 5 ) ：因为尼黾p r e k r u l l 整环，故兄是p v m d 由引理2 1 2 ，r 风的 每个非零理想形式为，阳虬，其中，是r 的非零理想由尼黾p r e - k r u l l 整环，因 此l 是r 的t - 可逆理想由引理2 13 可得( j 【x 肌) y = 厶 心是r 陋 帆的可逆理 想由【1 4 ，t h e o r e m2 1 4 1 ，于是( ，【x 】帆) v 是r i x l _ o 的主理想，从而n i x _ 。是伪 主理想整环 ( 5 ) j ( 4 ) j ( 3 ) ：由定义直接可得 ( 3 ) 号 ( 1 ) ：设，是冗的非零理想，则，闲心是兄f 卅肌的非零理 想因为r 】虬是p r e k r u l l 整环，故( j 【圈帆) y 是t 一可逆的，从而由引 理2 13 有r j 矾= ( ( ，】帆) 矿( f 【捌肌) 。b = ( 厶j - 1 ) f x 】“1 1 1 1 1 4 ，p r o p o s i t i o n2 8 1 有( z o z - 1 ) t = r ，从而r 是p r e k r u l l 整环 ( 1 ) 甘( 6 ) ：r e ( 1 ) 和( 2 ) 等价，易得结论 第1 8 页，共3 7 页 毕业论文 第二章p r e k r u l l 整环- 与u m t 整环的多项式环及其一维数 ( 1 ) 号( 9 ) ：因为尼黾p r e k r u l l 整环，故冠黾p v m d由引理21 2 知， r x 1 ，瓦 肌的每个非零理想形式为j 【x 一，。k 】肌，其中是r 的非零理 想由r 是p r e k r u l l 整环，因此厶是r 的t 一可逆理想f h 引理2 1 3 和 1 4 t h e o r e m 24 ，有( ， x 一，墨 n o ) v = l 局，j 厶】帆是r x l ，置。】肌的可逆理想 1 扫 1 4 ，t h e o r e m2 1 4 1 ，于是有( ， 噩，x 。 n o ) v 是冗 蜀，k j 肌的主理想， 因此兄h 一，) 厶】帆是伪主理想整环 ( 9 ) 辛( 8 ) ( 7 ) 辛( 3 ) ：由定义可直接得到结论 命题21 1 咒是整闭整环，对任意的，g 孔其中 ) ) 是r 上的任 意个未定元的集合，则以下各条等价： ( 1 ) r 是整闭整环 ( 2 ) 对任意f ，g k h ) 0 ) 1 1c ( ，9 ) 。= ( c ( ，) c ( 9 ) ) 。， ( 3 ) 任意，g r 【 ) ，存在+ 一算子使c ( f g ) + = ( c ( ，) c ( 9 ) ) + ( 4 ) 对任意0 f 兄【 五) 】，f k x a 】n 兄 ) 1 = f c ( f ) _ 1 兄 瓦，】 证明 ( 1 ) j ( 2 ) ：由 4 ，t h e o r e m 2 8 3 】得，存在凡z + 使得c ( ，) ”+ 1 c ( 9 ) = 4 f ) “e ( f g ) 显然c ( ，) “是有限生成的，由于冗是整闭整环，而我们知道整闭整环 是u 一整环，因此c ( ，) ”是u 一可逆的，所以( c ( ，) c ( g ) ) 。= c ( ，9 ) 。 ( 2 ) 毒( 3 ) ：显然 ( 3 ) 母( 1 ) ：由已知任意未定元都满足条件，故可特定取一个未定元设为x ， 因此v f ，g n i x ，存在 一算子使c ( ，9 ) 产( c ( ，) c ( 口) ) 。由 1 5 ，t h e o r e m l 6 得，尼黾 整闭整环 ( 1 ) 辛( 4 ) ：由 4 ，t h e o r e m 3 4 9 1 得结论 ( 4 ) 寺( 2 ) ：首先，i 扫f c ( f ) 。r 【 j 0 ) j = f k x a 】f 3 r x o 2 ，9 k 【( 五) 】n 剐 瓦) 】 = f g c ( f g ) - 1 r 瓦所以g c ( f g ) _ 1 r k k ) 曼 c ( ，) 。兄 托) 1 因此c ( g ) c ( f g ) - 1cc ( ，) ，从而c ( ，) c ( g ) c ( ，g ) - 1 c ( 门c ( ，) 。 r ，故c ( f g ) 。( 4 f ) 4 9 ) ) ，因此( c ( ，) c ) 。c ( f g ) 。显然c ( f g ) c ( f ) 4 9 ) ， 贝0 c ( ，g ) 。c ( c ( ，) c ( g ) ) 。所以c ( ，g ) 。= ( c ( ，) c ( 9 ) ) 。 命题21 2 设r 是整闭整环，b 是r 【 ) 】的t 一理想，其中 ) 是r 上的任意 个未定元的集合，若曰nr 0 ，则b 可以由r 扩张而成 1 q o p 8 0 1 6 3 c o m第1 9 页，共3 7 页毕业论文 第二章p r e k r u l 整环与u m t 整环的多项式环及其w 一维数 证明设日是r 甄】的t 一理想，若日n r 0 ，取0 a b n 尺，任 意f b 显然( o ，厂) b 所以b - 1 垦( o ，) r 1 k 咒 取乜( a ，) ， 则“，兄【 h 由命题21 1 ，得c ( f ) c ( u ) ( c ( ，) c ( “) ) 。= c ( ，u ) 。 只，故c ( ，) ( n ，) 一1 兄【( 1 ，从而c ( f ) ( ( o ，) 1 ) 一1 = ( 0 ，) 。b ， 则c ( ，) b n r ，因此f ( b n 兄) ) ，所以b ( b n 兄) 【 k 又因 为( b n r ) 【 k ) j b 显然成立，从而b = n r ) ( 设t 托) 。r 是兄上的任意个未定元的集合，设a 是r 【 k ) 】的任何非零t 一理 想，从而存在有限集 n 1 ，0 l 2 ，o 。) r ，使得a n r f 五。，k ：，。k 。 0 我们记磁= r 陬，屁一，五。j ，其中n z + ，即有a n r 0 记= f n 。，o n ，同时r 五) 哪】- 焉【 兄 甜吣。“= r 知k e ， 为了书写方便，我们直接写成冗f x 。 = 蜀f ( 知 若兄是p r e - k r u u 整环，由定 理2 1 1 ，我们有也是p r e 。k r u l l 整环，由引理1 1 1 ，r 是完全整闭整环，从而 是整闭接环，又因为a n 岛0 ，由命题21 2 ，a = ( a n 巩) 从而由 引理2 13 ，有a 是r f 恐) 】的t 一理想( * 理想) 当且仅当a n 岛是r 的t 一理想( 一理 想1 定理2 1 2 设月是整环，其中 弱) 。e r 是且上的任意无限多个未定元集合 x l ，托，) 是兄上的可数无限个未定元集，则以下各条等价： ( 1 ) 兄是p r e k r u l l 整环 ( 2 ) 兄 k ) 】是p r e - k r u l l 整环 ( 3 ) r 【 ) 肌是p r e - k r u l l 整环 ( 4 ) 只 ( 咒) i 肌是广义d e d e k i n d 整环 ( 5 ) r ( x o i n o 是伪主理想整环 ( 6 ) 磁 x 1 ，x 2 ，) 】是p r e k r u l l 整环 ( 7 ) r x 1 ，x 2 ，) 帆是p r e k r u l l 整环 ( 8 ) r f 噩，尬， i n o 是广义d e d e k i n d 整环 ( 9 ) 兄 x 1 ，x 。，) 1 帆是伪主理想整环 证明 ( 1 ) 号( 2 ) ：设r 是p r e - k r u u 整环，且是兄 五) 的任意非零理 想，则存在有限集 。，a 2 ，o 。) ，使得b n r 0 ，由昆黾p r e k r u l l 整环 l q o p 8 0 1 6 3 c o i t i 第2 0 页，共3 7 页毕业论文 第二章p r e - k r u l l 整环与u m t 整环的多项式环及其w ，维数 以及定理2 ，1 1 ，可知心是p r e k r u l i 整环记e = f o l ，0 2 ，n 。) ，所 以兄 甜】_ r ( ) 耐。，。“= 两k e 】，为了书写方便，我 们直接写成r ) = 凰 知) i 由心是p r e - k r u l l 整环，则r 是完全整闭整环 由于b n o ) ，故由命题2 ，12 ，有玩，可以由r 扩张而成记b y = a 知) 】1 其中a 黾玩的非零理想，由引理2 1 3 ，a 也是峨的非零肌理想故( a a 。) 。= 风 从而( b v b _ 1 ) t = ( a 昂) 】( a 【 昂) j ) - 1 ) t = ( a a - 1 ) t f ( 知 】= 心 ( 西) 】= r 【 ) 】因此r 咒】j 是p r e k r u l l 整环 ( 2 ) 辛 ( 1 ) ：设咒 ) 】是p r e - k r u l l 整环，是刷 勺任意非零理想， 由r 墨) 】是p r e k r u l l 整环以及引理2 13 ，有r 恐) 】 = ( ， ) 】v ，f ( 甄 ! - 1 ) r = 她f f 咒 j i - 1 忍如r = ( 厶，1 冰忍 ，则，- 1 ) ：= r ， 故兄是p r e k r u l l 整环 ( 2 ) 辛( 6 ) ：显然 ( 6 ) 令( 1 ) ：设是吲 勺任意非零理想，由r f 五，x 2 ，) 】是p r e k r u l l 整 环，于是有n x l ，蜀，) = ( h ，尥，) 】y ( j 【 x 1 ，砀，) j ) - 1 ) r = ( d - 1 ) t 【 置，x 2 ，) 】，因此( l ，- 1 ) t = r ，从而r 是p r e k r u l l 整环 ( 1 ) 辛( 3 ) ：r 是p r e k r u l i 整环，显然尼是p v m d ，因此r x 。 】肌中的 任何理想由r 扩张而成，所以r 【 五) 】肌中的理想可写成， 五) 】帆，其 中，是r 中的理想设，【 “是兄【 咒川肌中的任意非零理想尼黾p r e k r u l l 整 环，贝u ( r d 。) t = r由引理2 1 ，3 ，于是( ( 【 帆) y ( ， 五) 肌) - 1 ) r = ( d 。) t k ) 肌= r 【 咒h 肌，从而r 【 墨) 】帆是p r e k r u l l 整环 ( 3 ) 兮( 7 ) ：显然 ( 7 ) j ( 1 ) ：设j 是兄的任意非零理想，由r x 1 ，x 2 ，) 】帆是p r e k r u l l 整环以及引理21 3 ， 于是得到，_ 1 ) t x ，x 2 ，) 肌 = ( ( ( x 1 ，磁，) j 肌) y ( j x t ，如，- ) 】帆) 。) r = 兄 x l ，x 2 ，- - ) 肌，由 1 4 ， p r o p o s i t i o n2 8 ，所以，- 1 ) t = r ，从而r 是p r e - k r u i l 整环 ( 1 ) = ( 4 ) ：r 是p r e k r u l l 整环，则r 是p v m d 故兄 墨) j 帆中的任何理想 由r 扩张而成，所以咒 k ) 】帆中的理想可写成，【 噩) i 帆，其中，是r 中的理想 设珊墨h 肌是r 【 墨) 帆中的任意非零理想，由于r 是p r e k r u l l 整环，则l 是扣 可逆的由【1 4 ，t h e o r e m2 4 】，可得( ， ) 肌) y = l 墨) 帆是冗 五) 】肌的 l q o p 8 0 1 6 3c o r n 第2 1 页，共3 7 页毕业论文 第二章p r e k r u l l 整环与u m t 整环的多项式环及其 一维数 可逆理想因此由广义d e d e k i n d 整环的定义，结论成立 ( 4 ) j ( 5 ) ：由f 1 4 ，t h e o r e m2 1 4 】可知r 墨h 肌中的可逆理想都是主理想 因此由广义d e d e k i n d 整环和伪主理想整环定义，易得结论 ( 5 ) ( 9 ) ：显然 ( 9 ) = ( 8 ) ( 7 ) ：由定义直接可证 2 2 p r e k r u l l 整环上形式幂级数环的局部化 我们说环r 有性质( p ) ，是指r 满足条件( p ) ：若v ，g r n 其中 记r = r 】0 ，有c ( f g ) 。= ( c ( ，) c ( g ) ) 。 定理2 2 1 设r 是整环，s 是月 【x ”的乘法集，设蹦邑刷 g 非零理想，则 ( 1 ) ( ，r 】 _ 1 ) s = 1 - 1 【捌】s = ( j 】r 1 ) s ( 州x 】 s ) ，若r 具有性 s t ( p ) ，s 风，则后面相等 ( 2 ) 若r 具有性质( p ) ，s 眠，则( 州x 】v ) s = ( ( ，r 【捌】) y ) s = l x s = ( 川x 】 s ) y = ( r f x 璐) y ， 证明( 1 ) 前半部分的证明参见 1 6 ，t h e o r e m 3 4 】下面证明若r 具有性 质( p ) ，s 曼眠，则( 叫圈】s ) - 1 = ( 州x 】_ 1 ) s 设v g ( 碰捌 s ) ，v 0 b 1 ， 则b g 且 f 矧】s ，所以b g = 丢，其中，n i x j ，t o s ，故c ( t o ) 。= r ，t o b g = f v 0 n i ，a f = b ( o g ) t o ，a g r 【x ”s ，贝1 a g = 等，其中9 7 r 【 x ) h s 所以c ( ) 。= r ，a f h = b g t o ，a c ( f h ) = b c ( g t o ) ，因此a e ( f ) a c ( f ) 。= o ( c ( ，) c ( 九) ) 。= a c ( f h ) 。= b c ( 9 7 t o ) 。= 6 ( c ( g ，) c ( 亡0 ) ) 。= 6 c ( 9 仉冬b r 由。的 任意性，可知z c ( f ) 至b r ，所以c ( ，) b i ，从而f b i - 1 【 x 】，则6 。f 1 - 1 f i x ，g = 譬1 - 1 i x i s ，故( x 】 s ) - 1 i - 1 i x i s = ( 叫x 】一) s ，所 以( 州x 】 s ) 一1 = ( 川x 】- 1 ) s ( 2 )由( 1 ) 司知( j 月【 x 】 ) 矿= l i x 】= 圈i v ，故( ( ，r 】 ) y ) s = l 】 s = ( 叫圈 y ) s ，因为r 具有性质( p ) ，s ，由( 1 ) ，( ， x 舳) 。= ( 川x | 。) s ，所以( ， x 】s ) v = ( ( 州x 】 s ) - 1 ) q = ( 1 - 1 【i x i s ) 。 = ( ( j 。) 。) i x i s = l i x i s ，类似( ( j r 】 ) v ) s = ( j r 【x 】s ) y q o p 8 0 1 6 3 c o m 第2 2 页，共3 7 页毕业论文 第二章p r e k r u l i 整环与u m t 整环的多项式环及其w 一雏数 推论2 21 若满足定理2 2 1 中( 2 ) 条件，则兄 f x 】s ) y = ( ，r x 必) v 证明因为i o r i x l s l f x 】j s ( 兄 f x 弘) 矿显然( i n x l l s ) v ( l 兄 s ) v ：( ，r f x 】s ) y ，从而( l 兄 s ) v ( l 冗x 】s ) v ，所以( j 兄 x 】 s ) y = 定理2 2 2 若r 具有性质( p ) ，r 是p r e - k r u l l 整环，则r 陋】 肌中每个理想可 以由r 扩张而成 证明设 r x i i + ，由尼黾p r e - k r u l l 整环，则( c ( ，) 。c ( ，) - 1 ) 。= r 又 因为4 f ) - 1 是同拘 一理想，于是c ( 厂) - 1 是 一有限型的从而存在ie ，( r ) 使 得c ( ，) - 1 = l ，同时，存在ge 吲使得c ( g ) = i ，于是有c ( ，) = c ( 9 ) 。 因此( c ( ，) 。4 9 ) 。) t = r ，故( c ( ，) c ( g ) ) 。= r 设b r 0 ，b i ，则b ger 吲， b c ( f g ) 。= c ( ，( b g ) ) 。= ( c ( ，) c ) ) 。= 6 ( c ( ，) c ( 9 ) ) 。= b r ，因此c ( 如) 。= r ， 贝l j f g 眠 v ae c ( ，) ，n = 马挚，其中叼r 陋】故。， r 圈j 帆， 从而c ( ，) f r x i n ，所以( c ( ，) r h 吲】风) y 冬，r h x 】 由定理2 2 1 ， c ( ，) 。h x 】帆= ( c ( ，) r 陋 】帆) y ，所以，兄 】肌c ( ，) 羽 帆c ( ，) 。 】虬= ( c ( f ) r x j i n 。) v f r i x l l i v ，由推论2 2 1 ，于是有f r i x j 肌= c ( 川 】肌= c ( ，) 。f 瞵】 帆= ( 4 i ) r x j k ) 矿一( g ( ，l 兄f x l l o ) v 因为尼是p r e - k r u l l 整环，由 定理2 ，1 1 ，则r 捌肌是伪主理想整环所以c ( ，) 。a x b , o = f 7 r 】肌，其中，7e r x t 因此c ( ，) 。引1 】屿= ，冗【x i 虬，故f r x i i n = ( 4 f ) 。兄【 j 峨) y = ( ，7 r 【x 】帆) v = ，7 r i x b , o 由冠黾p r e k r u l l 整环，当然r 是p v m d ，所 以，7 r x i 肌= a r x i n o ，其中a 是刷约理想从而f r 】j 虬= 厂7 冗 】肌= ( ，7 r 帆) r x 】肌= a r 【x 】批因此捌 x 】肌的任意主理想扩张于r ，易 知r i x i n 的任意理想扩张于兄， 定理2 2 3 若兄具有性质( p ) ，月是p r 争k r u l l 整环，则n x 1 n o = 搿，其 中硪= 矧厂，ge 兄嘲】1 4 1 ) 。c ( 9 ) ”) 证明v f ，ge 兄【nr 具有性质( p ) ，r j c ( f g ) 。= ( c ( ，) c ( 夕) ) 。所c a r 。有意 义显然兄【捌j 帆垦r 。另一方面，若o ；r ，其中，1 9 r f 圈r 且c ( 厂h l q o p ；0 1 6 3 c o r n 第船页，共3 7 页毕业论文 第二章p r e k r u l l 整环与u m t 整环的多项式环及其w 一维数 c 国) 。由尼黾p r e - k r u l l 整环，则r i 拘任意 一理想是v 一有限型于是有c ( g ) 1 = 五 其中j 是r 的有限生成理想可取h k 1 使得c ( ) = j ，因此c ( g ) _ = e ( ) 。 从而r = ( c ( 9 ) c ( 9 ) _ 1 ) 。= ( c ( 9 ) c ( 忍) 。) 。= ( c ( 9 ) c ( ) ) 。= 4 9 h ) 。，所以j = 等 其中g he 眠又因c ( ，九) 。= ( c ( ，) c ( ) ) 。= ( c ( ，) 。c ( 危) ) 。( c ( 9 ) 。c ( ) ) 。= ( c ( g ) c ( ) ) 。= r ，故c ( ， ) c ( f h ) 。r ，因而h 兄【 捌 ，因此；= 等 r 【 风，从而屈冗 肌，所以兄。= 月 j 风 推论2 2 2 设r 是p r e _ k r u l l 整环，则兄】帆= 形，其中彤= 引 g n i x + ，c ( ，) 。垦c ( 9 ) 。) 证明证法类似于定理2 2 3 定理2 2 4 若r 具有性质( p ) ，r 是p r e k r u l l 整环，则冗 帆一r 。是伪主理 想整环，从而科【x 】 肌= r 。是p r e - k r u l l 整环 证明任取j 是r f i x 】脯的非零理想，由定理2 2 2 知j = a r i x 】帆，其 中a 是尉 勺非零理想，故由定理2 2 1 ，矗= ( a r i x ”肌) y = a 。【 捌】帆 因 为凡是r 的v 一理想，r 是p r e - k r u l l 整环，因此a 。是刷拘 一有限型的理想于是存 在b ，( r ) 使得a 。= b y ，从而j v = a “ 羽】肌= 玩 】 帆= 旧r 【x 】 心) v ， 所以矗是冗 陋1 ，= r o 的有限型的v 一理想由 1 5 知即是完全整闭的b 6 z o u t 整 环，则如是r 【 】1 = 群的主理想，于是得到r 【 圈】“= 印中任何”一理想都是 主理想故月 i x 】 m ，= r o 是伪主理想整环，从而是p r e - k r u l l 整环 推论2 23 设w d i m r = 1 ，若兄是p r e k r u l l 整环，则r 【 羽】肌= r 。是伪主理 想整环，从而兄h 吲】肌= 帮是p r e k r u l l 整环 证明 由【1 6 ，p r o p o s i t i o n 3 3 】以及由定理2 2 ，4 易得结论 2 3u m t 整环与其多项式环之间的w 维数关系 众所周知，若_ p 是r 的素理想，我们称rcr 一1 cp 1c 岛= p 为月中的长度为n 的素理想链，这样的n 的上确界称为素理想p 的高度，记 l q o p 8 0 1 6 3 c o m 第2 4 页，共3 7 页毕业论文 第二章p r e k r u l l 整环与u m t 整环的多项式环及其一雏数 为h t p 由 是r 上的星型算子，兄的鲫一理想集合中的极大元称为r 的极大w 一理 想，并且极大廿理想是素理想我们把r 中极大w 一理想的集合记为”一m a x ( r ) ， 而且我们知道 一m “(