（应用数学专业论文）双曲函数展开法和广义kdv方程及kdv方程组的精确解.pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 求精确解偏微分方程的精确解一直是数学和物理学的重要内容，双曲函数 展开法是一种建构偏微分方程精确解最直接有效的方法之一f a n 对此方法进 行推广，在此基础上，e l w a k i le ta l 借助里卡蒂方程= k + 护进一步改进了 这种方法最近，w a z w a z 又借助里卡蒂方程= p + 护) 对这种方法作了进 一步推广本文运用推广的双曲展开法求下面方程的精确解。 ( 1 ) 广义k d v 方程： u t + ( n t ，一p p ) t k + = 0 ， w a z w a z 运用双曲函数展开法求这个方程的精确解，本文运用其它三种推广的 双曲函数展开法求这个方程的精确解 ( 2 ) 运用推广广义的双曲函数展开法求三种方程组的精确解。 k d v 方程组： m k d v 方程组： t t + 6 0 m u z 一2 b v v z + q 20 ， 仇；3 1 3 u v 。, 4 - 卢地。= 0 ， m i 1 + 3 u 2 一i 3 一3 ( 札1 ，) 。+ 3 a = 0 ， 仇+ + 3 w z + 轧一3 u 2 t k 一3 口= 0 ， 和h i r o t a - s a t s u m a - k d v 方程组： 撕一互1 t 一+ 轧t b 一3 ( 伽k = o 仇+ 如一3 u v z = 0 ， w t + t t j z # 一3 t 蚍= 0 ， 关键词：广义k d v 方程，k d v 方程，m k d v 方程组，h i r o t a - s a t s u m a - k d v 方 程组，精确解，双曲函数展开法 西北大学硕士学位论文 a b s t r a c t s e e k i n ge x a c ts o l u t i o n sf o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a sl o n gb e e nam a j o r c o n c e r to fb o t hm a t h e m a t i c i a n sa l l dp h y s i c i s t s o n eo ft h em o s te f f e c t i v ed i r e c t m e t h o d st oc o n s t r u c tt h ee x a c ts o l u t i o n so fp a r t i a ld i f f e r e n te q u a t i o n si st a u h f u n c t i o nm e t h o d f a np r o p o s e da ne x t e n d e dt a n hf u n c t i o nm e t h o d b a s e du p o n t h er i c c a t ie q u a t i o n # r = k + 护，t h i sm e t h o dw a sf u r t h e re x t e n d e db ye l w a k i l 既a 1 v e r yr e c e n t l yt h ee x t e n d e dt a n hm e t h o dw a si m p r o v e db yw a z w a za n d i n t r o d u c i n gg e n e r a l i z e dt h er i c c a t ie q u a t i o n = p ( 七+ 护) i nt h i sp a p e r ，w eu s e t h ee x t e n d e dt a n hf u n c t i o nm e t h o d st os o l v et h e s ee q u a t i o n s ( 1 ) t h eg e n e r a l i z e dk d ve q u a t i o n ： u t + ( 口矿一触鼽) + = 0 w a z w s zu 踯t m hf u n c t i o nm e t h o dt 0s o l v et h i se q u a t i o n i nt h i sp a p e r 骶u s e o t h e r se x t e n d e dt a n hf u n c t i o nm e t h o d st os o l v et h i se q u a t i o n ( 2 ) w el l 踯t h eg e n e r a l i z e de x t e n d e dt a n hf u n c t i o nm e t h o dt os o l v et h r e e e q u a t i o n s t h ek d v e q u a t i o n s ： t t + 6 a u u x 一2 b v v + q = 0 ， 魄+ 3 卢u v = + 毋u m = 0 ， t h em k d ve q u a t i o n s ： 毗一j l t b 。+ 3 u 2 一百3 t h 一3 ( u t ，k + 3 。= 0 ， 仇+ + 3 v v = + 3 u z v z 一乩2 t k 一3 a v = = 0 ， a n dt h eh i r o t a - s a t s u m a - k d ve q u a t i o n s ： 毗一；u x x z - - 乩一3 ( 删。= o ， 仇+ 一3 u v = = 0 ， 毗+ 峨“一3 t = 0 ， i i 西北大学硕士学位论文 k e y w o r d s ：t h eg e n e r a l i z e dk d ve q u a t i o n ，k d ve q u a t i o n s ，m k d ve q u a t i o n s ， h i r o t a - s a t s u m a - k d ve q u a t i o n s ，e x a c ts o l u t i o n ，t a n hf u n c t i o nm e t h o d i i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者 指导教师签名：雄 聊年f 月华日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名瑶齐叠印 一 7 年6 月白 西北大擘硕士学位论文 1 1 引言 第一章绪论 非线性数学物理方程在物理学和许多非线性科学领域扮演着重要的角色。 许多复杂现象如孤子，湍流，混沌，分形和引子等，都可以用非线性波动方程 简练而准确地描述，如b u r g e r s 方程，k d v 方程，k p 方程，w b k 方程等。寻求 微分方程的精确解，尤其是非线性偏微分方程精确解的构造，一直是数学家 和物理学家共同关注的问题。目前多种求非线性偏微分方程精确解的方法被 提出，例如反散射方法【1 1 ，齐次平衡法陋5 】，孤立波法【6 】，雅可比椭圆函数展 开法f 7 - 9 ，b i i c k l u n d 变换1 1 0 - 1 1 ，f - 展开方法【1 2 - 1 3 ，变分方法【1 4 - 1 7 ，代数方 法皿8 】，对称群方法 1 9 , 2 0 ，6 5 j ，辅助方程方法f 2 l 一2 萄等等。随着计算技术的发 展，尤其是m a t h m a t i c a 和m a p l e 的运用，大大减少了复杂繁琐的计算工作。 相对这些方法，双曲函数展开方法是一种建构非线性偏微分方程的孤波 解最直接有效的方法之一。因为孤子解是局部性质，我们能写非线性方程 的孤波解为双曲函数的多项式。代入方程得到非线性代数方程组。这种方 法首先由h u i b i n ，k e l i n 2 4 和m a l f l i e t 2 5 】提出，又被m a 2 6 ，f a n 2 7 ，y a 2 s ， e l - w a k i l 2 9 ，l i 3 0 和b a i l 3 0 - 叫推广目标是寻求双曲函数型孤波解和更普通 的相似孤波解，目的是简化求方程显式解析解的运算规则。最近，许多研究工 作集中在双曲函数展开法【3 5 - 4 叫的运用和推广，基于里卡蒂方程= r + 扩， f a n 2 7 , 4 1 1 提出广义双曲函数展开法，得到标准双曲函数展开法得不到的新的 行波解。e l - w a k i le t4 4 2 ，4 3 1 修改广义双曲函数展开法，得到新的精确解。 尤其是g a o 和t i a n 4 4 推广双曲函数展开法。与双曲函数展开法相比，他有 广泛有效地运用：( 1 ) 非行波孤子性质，( 2 ) 涉及多种双曲函数，( 3 ) 系数函 数。p a r k e s 和d u 野指出，除了一些简单的偏微分方程，运用双曲函数展开法 手算方程的解还是比较困难的。于是，他们运用计算软件m a t h m a t i c a 得到自 动的双曲函数展开法1 3 6 】。l i 和y a o 根据w h 方法并运用计算软件m a p l e 得到 自动的双曲函数展开法【3 9 ，删，我们的注意力还应该放在运算方法的详细分析和 1 西北大学硕士擘位论炙 符号计算能有效的增加计算机准确规则的接近解析式的能力。因此，双曲函数 展开法足值得研究的。 1 2 方法介绍 一双曲函数展开法 给定偏微分方程，m a l f i e t 2 5 、f a n 和h o n 4 5 1 提出双曲函数展开 法。w a z w a z 4 6 概括双曲函数展开法为如下步骤： 1 w a z w a z 首先考虑通常形式的非线性偏微分方程 p ( - ，t t ，u x ，钍。，钍。) = 0 ，( 1 1 ) 2 为了寻找方程( 1 1 ) 的行波解，他引入了一个波变量f = 扛一a t ) ，使得 u ( x ，t ) = u ( f )( 1 2 ) 这里a 是局部行波解的行进速度，它们有如下导数变换： 瓦0 = 一 歪d ，瓦2 一 歪， ad 瓦2 歪 昙= 孬d 2 ， ( 1 s ) 如2 一d p 7 a 3d 3 丽2 丽， 这里其它的导数用相似方法可以得到。将式( 1 3 ) 代入方程( 1 1 ) 变换方程( 1 1 ) 为常微分方程 q ( u ，扩，u m ，) = 0 ，( 1 4 ) 3 如果常微分方程( 1 4 ) 各项都含有关于的导数项，我们对这个方程两 边积分，取积分常数为0 ，得到简化的常微分方程。 4 我们引入一个新的自变量： y = t a n h ( ) ( y = c o t h ( f ) ) ， ( 1 5 ) 2 西北大学硕士学位论文 这导致如下导数变换： 妥- ( 1 一y 2 霄d 筹= - 2 y ( ，万d + ( 1 - y 2 ) 。岳， 丢= 2 y ( 1 - y 2 ) ( 3 y 21 。d 歹- 6 y ( 1 - y 2 ) 2 皋十( i - y 2 ) s 矛d 3 ( 1 6 ) 未= 一s y ( 1 y 2 ) ( 3 y 2 _ 2 ) 万d + 4 y ( 1 一舛( g y ：- 2 ) 皋 一- 2 y ( 一y 2 ) 3 未”一竹未， 其它的导数都可以用相似的方法求得。下面引入另一个新的自变量【4 1 我们给出它们的导数变换 y = t a n ( ) ( y = c o t ( f ) ) ，( 1 7 ) 妥_ ( 1 + y 2 需d 丢= 一2 y ( 1 + y 2 ) d + ( 1 m 2 嘉， 丢= 2 坤+ y 2 ) ( 3 y 2 + 1 ) 万d + 6 y ( 1 + y 2 ) 2 两d 2 ”+ y 2 ) 。嘉n 8 ) 杀= 8 y ( 1 + y 2 ) ( 3 y 2 + 。) 品+ a y ( 1 + 埔2 ( 9 y 2 + 2 ) 未 + 1 2 y ( ，+ y 2 ) s 未+ ( 1 + y 2 ) t 嘉， 同样它们的导数可以用相似的方法求出。 5 我们运用下面的有限级数展开 f u ) = s ( y ) = 啦p ， ( 1 9 ) i = o 这里m 是一个正整数并且多数情况下能被确定，然后将式( 1 6 ) 和式( 1 7 ) 代 入常微分方程( 1 4 ) 得到关于y 幂的方程。 6 我们通过平衡结果方程中最高阶线性项和最高阶非线性项确定参数m 。 令结果方程中y 幂的系数等于0 ，得到关于参数o “= 0 ，m ) ，a 的代数方程 组，解代数方程组得到各个参数。运用式( 1 9 ) 找到方程( 1 1 ) 的闭型解析解。 3 西北大学硕士学位论文 从孤子理论中我们知道，许多非线性常微分方程和偏微分方程的行波解都 能表示为关于双曲函数和椭圃函数的多项式。例如，在流体动力学，等离子 体、电路学、化学反应和生物遗传学中的钟形双曲正割函数解和链形双曲正切 函数解。 二广义的双曲函数展开法 这一节是对标准双曲函数展开法的推广，方法步骤相同。只是广义双曲函数 展开法1 4 7 】允许下面的有限级数展开 mm u = s ( y ) = 吼y + 兢y 一 ( 1 1 0 ) i - - - - oi = 1 这里y = t a n h ( f ) 或y = c o t h ( f ) ，m 同样是正整数并且多数情况下能被确定。 当b i = 0 ，1 i m 时，展开式( 1 1 0 ) 变为标准双曲函数展开法1 4 7 ，4 8 】。将展 开式( 1 1 0 ) 代入常微分方程( 1 4 ) 得到一个关于y 的代数方程。 我们通过平衡结果方程中最高阶线性项和最高阶非线性项确定参数m 。令结果 方程中y 幂的系数等于0 ，得到关于参数啦，b i ，o = 0 ，m ) ，a 的代数方程组， 解代数方程组得到各个参数。运用式( 1 1 0 ) 找到方程( 1 1 ) 的闭型解析解。 相对于伪谱方法、反散射方法、h i r o t a ，s 双线性方法和潘勒韦截尾方法广 义的双曲函数展开法的优点在于大大减少了计算工作量，适用于许多非线性偏 微分方程。 三改进广义的双曲函数展开法 为了说明改进广义的双曲函数展开法的基本思想，我们考虑两个自变量的偏 微分方程( 1 1 ) ，我们首先考虑它波变换 u ( z ，t ) = u ( f ) ， = z + a t ，f = z a t ，( 1 1 1 ) 那么方程( 1 ：1 ) 变为一个常微分方程( 1 4 ) ，我们寻找方程( 1 1 ) 的解为如下形 式： mm “( f ) = n o + m 咖任) + 机砂健) 一， ( 1 1 2 ) i = li = 1 4 西北大学硕士擘位论文 其中( ) 满足里卡蒂方程 妒( ) 7 = k + 妒( ) 2 ，( 1 1 3 ) 这里m 是一个参数并且能被确定，”是关于的导数。我们通过平衡方程( 1 4 ) 中的最高阶线性项和最高阶非线性项来确定m 的值。将式( 1 1 2 ) 和( 1 1 3 ) 代 入常微分方程( 1 4 ) ，取妒( ) 的系数为0 ，得到一个关于参数a ，玩，k ， 的代数 方程组。在m a p l e 的帮助下我们能确定出那些参数的值。里卡蒂方程( 1 1 3 ) 有 如下通解： ( a ) 如果七 0 1 砂= 一手 ( 1 1 5 ) = 狐t a n l 诹l ， 砂= 娠o d t i 瓜i ， ( 1 1 6 ) 将各参数的值和里卡蒂方程( 1 1 3 ) 的解代入式( 1 1 2 ) 得出方程( 1 1 ) 的解 四推广广义的双曲函数展开法 推广广义的双曲函数展开法概括如下对给定的非线性偏微分方程( 1 1 ) 可 以不明确所含自变量的个数。我们仍然运用波变换 u ( z ，t ) = u ( ) ， = z + a ，f = z a t ，( 1 1 7 ) 5 西北大学硕士学位论文 这里a 是波速在变换( 1 1 7 ) 下，方程( 1 1 ) 变为常微分方程( 1 4 ) 。 推广广义的双曲两数展开法关键的一步足引入一个新的t q 变量( ) ，它是里 卡蒂方程 的一个解，这里p ，k 是常数。 方程( 1 1 8 ) 有下面的解： ( f ) = p ( ( ) 2 + k )( 1 1 8 ) = 一灭1 ，膏= 。， ( ) = 瓶t 觚( p 瓜) ，k 0 ， ( f ) = 、七c o t ( u v 僵o ，k 0 ， ( 1 1 9 ) 嬉) = 一、一| | t w l l l 似、一k ) ，k 0 ， ( ) = 一、一膏o o t h ( p 、一 ) ，k o ，p o ) ： 心 t ) = ；渊( 1 士 t a n ( 丽南一云端( 外意罴备们湃，( 2 5 8 )协可丽v 一而雨产+ 而卉府”p 弘勺剐 西北大学硕士学位论文 u ( 蹦) _ 舞葛( 千 o o t ( 丽1 一责端( 卅高舞岛堋) ，( 2 5 9 )喊可丽v 一而可严+ 而而i i i 砑”胪删j 由第一组参数解得出广义k d v 方程( 2 1 ) 的链型行波解 0 ，p 0 ，k o ，p 0 ) ： “( z ，f ) = 丽o l ( 2 n + 1 ) 1 士 ；t a n c 南产揣c 蚪斋需纠士j 劬而v 一丽协+ 而了丽 ) ；o o t ( 南产揣( 蚪斋臻鲁堋珐( 2 6 2 )j 喊可再酉v 一万i 再可p + 而书：i 再碍 胪 【j 第三组参数解得出广义k d v 方程( 2 1 ) 的链型行波解似 0 ，卢 0 ，k 0 ，方程组( 3 2 ) 的周期行波解是 u ( 为幻= n 。+ a + 2 3 n a o a ( 、t 她( 犀( z + a t ) ) ) z + 学( c o t ( 孚( 川堋。， ( 3 。) 哪卜雩佩士亟警剑( 州犀a + 3 a o c l ( 川啪肟 学c c o t c 孚c 川堋。， 和k 0 ，方程组( 3 2 ) 的周期行波解是 t ( z ，t ) = 伽+ a + 互3 _ a o a t n ( 扛+ a ) ) 2 蝴) ；一雩痂士v 2 v 石掣( 3 a o a ( t n ( 和k 0 ，方程组( 3 2 ) 的周期行波解是 ( 叫) = n o + 竽( c o t ( 巾，归一孚佩千亟警型( c o t ( 1 v 压匦8 a 和k 0 ，方程组( 3 1 4 ) 的周期行波解是 缸( 删= a o 一丛2 翌 ( t a n ( 牮( 川t ) ) 刮牮( 川t ) ) ) ， ”( 州) = 。+ o 厢 ( t a n ( 牮( 川啪一c o t ( 牮( 川啪) ，( 3 - 1 8 ) 和k 0 ，方程组( 3 1 4 ) 的周期行波解是 t ( z ，t ) = n o + a 一3 0 3 c o t ( a 一乩3 + a ) ) ， ”( z ，f ) = a + 口。、j i ：二j 磊c 。t ( 、x 。：= _ 赢( z + a ) ) ， ( 3 2 1 ) 和k 0 ，方程组( 3 1 4 ) 的周期行波解是 ( 3 2 3 ) 钍( z ，t ) = n o 一万磊t 柚( 万磊( 计枞 ”( 马f ) = 口+ 2 咖万二磊( t n ( 万二磊( 外) ) ， ( 3 2 4 ) 和k o , a 一3 伽 0 ，方程组( 3 2 6 ) 的周期 行波解是 “( z ，t ) ：d 0 + a f - 3 a o ( t a n ( ； 两磊扛+ ) ) ) 2 + ( ：、而磊扛+ ) ) ) 2 ) ， 钞( 。，站：b o 士a o b o c o ( 3 a o - a ) ( t ( ：、页。= i 石扛+ a f ) ) 士。o t ( ：、页。二i 瓦扛+ a t ) ) ) ， ( 3 3 6 ) 埘( 卫，t ) ：国土v a o b o c o t ( 3 a o 一- a ) 珊 ( t ( ：、气二。瓦i ( z + 她) ) 士c o t ( ：、5 二。瓦i ( z + a t ) ) ) ， 和k 0 ，a 一3 a o 0 ，方程组( 3 ，2 6 ) 的链型行波解足 “( z ，t ) = 0 + 下3 a o - - a ( ( t a n h ( ； f 瓦( z 糊) ) ) 2 + ( c 劬( ； j 再( z 州) ) ) 2 ) 口扛，f ) ：b o 千v a o b o c o ( a - 3 a o ) c o 西北大擘硕士学位论文 ( t 缸h ( ；瓶了j ( z 仙) ) 千矾( ；瓶习( 卫糊) ) ) ， ( 3 3 7 ) 喇) = c o q ：逦x a o b o 孚c o ( a - 翌3 a o ) ( t a n h ( ； 面j ( 抖猢) 千c o t h ( ；厢了j ( z 州) ) ) ， ( 3 ) 第三组参数解为 t 1 2 = 缸。， n 一3 a o ) 2 舢2 矿， b i 士薏扣丽， 6 3 = + a 8 - - 印3 a oj - 6 0 c o ( a + a o ) ， ( 3 3 8 ) c - = + 嚣j - b o c o ( a + a o ) ， c 3 = 士a 8 - 肛6 0 3 a ov - b o 匈( a + a o ) , 后= 一可a - 3 a o ， a o ，b o ，印，a ，p 是任意常数b o c o ( a + a o ) 0 ，a 一3 a o 0 ，方程组( 3 2 6 ) 的 周期行波解是 牡( z ，t ) = 0 0 t a - - 3 a o ( 测鲁丽( ) 2 + c o t ( 等缸i j ( z 糊) ) 2 ) ， 口( z ，t ) = 6 0 士v 2 b o c o ( a - 瓦3 a o ) ( 一a + a o ) ( t a n ( 雩 i 再( z 铷) ) 士酬雩瓶i j ( z 州) ) ) ，( 3 3 9 ) 叫0 ，t ) ；匈士x 2 b o c o ( a _ - _ 3 a o ) ( a + 一a o ) 4 0 0 ( t a n ( 孚咖i 忑扫+ m )