（信号与信息处理专业论文）二维emd方法及其在图像处理中的应用研究.pdf

哈尔滨理丁入学t 学硕f j 学位论文 二维e m d 方法及其在图像处理中的应用研究 摘要 经验模态分解( e m p i r i c a lm o d ed e p o s i t i o n ，简称：e m d ) 方法是近来由 n o r d e neh u a n g 提出的一种全新的多尺度分析方法，在非线性非平稳信号 分析方面有良好的性能。被认为是对以傅立叶变换为基础的非平稳信号分析 方法的重大突破。经验模态分解在一维信号处理上具有比较成熟和广泛的应 用。鉴于e m d 方法在维信号处理的良好效果，国内外学者将它推广到二 维，提出了二维经验模态分解( b i d i m e n s i o n a l e m p i r i c a l m o d e d e c o m p o s i t i o n ，简称：b e m d ) 方法并应用于二维信号处理，取得了一定的 成果。由于二维信号的复杂性，b e m d 方法及其应用还存在许多问题有待 研究。 本文将就b e m d 方法围绕两个方面开展研究，其一是就其实现及理论 方面存在的问题进行研究；其二是就其在实际应用中的问题进行探索研究， 并以二维图像信号分析处理的相关问题为主要应用研究对象。本文的主要工 作如下： 1 本文根据j c n u n e s 等人提出的b e m d 的基本思想，对其各实现 环节进行了讨论。给出了具体的算法实现步骤，针对大量实例，实现并验证 了二维信号的多尺度分解。 2 针对实现b e m d 分解的两个重要环节一极值点提取和包络曲面拟合 做对比研究。针对三角剖分插值的边界问题，给出改进办法；鉴于三角剖分 插值和径向基函数插值的特点，提出基于两种插值方法相结合的二维经验模 态分解思想。 3 针对高分辨率的图像分解，本文基于径向基函数插值的特点，对 b e m d 加以改进，提出一种分块b e m d 和自然缝合相结合的快速分解方 法，避免了求解大型线性方程组以及大矩阵产生，提高了b e m d 分解速 度，同时较好解决了分块所带来的图像边缘误差问题。鉴于本文提出的改进 b e m d 分解方法的实际情况，在分块做b e m d 的过程中，给出新的筛分终 l 匕条件。 哈尔滨理丁人学t 学硕。l j 学位论义 4 针对二维图像信号分析研究尝试了基于b e m d 方法的纹理分析和图 像降噪。同时，根据由b e m d 得到的固有模态函数( i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n ， 简称：i m f ) 的特性，给出基于b e m d 提取特征点的图像压缩思想。 关键词二维经验模态分解；固有模态函数；径向基函数；图像处理 b i d i m e n s i o n a le m p i r i c a lm o d e d e c o m p o s i t i o n m e t h o da n di t sa p p l i c a t i o nr e s e a r c hi ni m a g e p r o c e s s i n g a bs t r a c t t h ee m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ( e m d ) i n t r o d u c e db yn o r d e neh u a n g i san e wm u l t i - s c a l ea n a l y s i sm e t h o d i ti s s u i t a b l ef o rn o n 1 i n e a ra n dn o n s t a t i o n a r ys i g n a lp r o c e s s i n g i ti sc o n s i d e r e da ni m p o r t a n tb r e a k t h r o u g hf o rn o n s t a t i o n a r ys i g n a la n a l y s i sm e t h o d sw h i c ha r eb a s e do nf o u r i e rt r a n s f o r m o n a c c o u n to ft h ee m dm e t h o dh a s g o o de f f e c t si no n e d i m e n s i o n a ls i g n a l p r o c e s s i n g ，a n ds c h o l a r se x t e n di tt ob i d i m e n s i o n a l t h e yi n t r o d u c es o m e b i d i m e n s i o n a le m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ( b e m d ) m e t h o d s ，a n dp r o c e s s b i d i m e n s i o n a l s i g n a l w i t ht h e s eb e m d b e c a u s eo ft h e c o m p l e x i t y i n b i d i m e n s i o n a ls i g n a l ，t h e g e n e r a lb e m dh a v em a n yd e f e c t sn e e dt ob e r e s e a r c h e d t h ed i s s e r t a t i o ns t u d i e st w o a s p e c t so fb e m dm e t h o d o n ei st h ep r o b l e m e x i s t i n gi nt h et h e o r ya s p e c t ；t h eo t h e ri st h ep r o b l e mi nt h ep r a c t i c a la p p l i c a t i o n ， a n dt h em a i na n a l y s i sr e s e a r c ho b j e c ti st w o - d i m e n s i o n a li m a g es i g n a l m a i n w o r k so ft h ed i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： 1 i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ea n a l y z et h eb e m dm e t h o dw h i c hi si n t r o d u c e db y j c n u n e se ta 1 t h ei m p l e m e n ta p p r o a c h e sa r eg i v e n t h em u l t i s c a l e d e c o m p o s i t i o n sa r ec o m p l e t e df o rag r e a td e a le x p e r i m e n t a t i o nw e l la n dt r u l y 2 r e s e a r c hc o n t r a s t i v e l yt w oc r u c i a lt a c h e so ft h eb e m dm e t h o d i d e n t i f y i n gt h ee x t r e m aa n dg e n e r a t i n gt h e2 d e n v e l o p e b yc o n n e c t i n gm a x i m a p o i n t s ( r e s p e c t i v e l y , m i n i m ap o i n t s ) t h em e t h o d st os o l v et h eb o r d e rp r o b l e m a r ep r o p o s e d a n a l y z ea n dc o m p a r et h es h o r t c o m i n g so f d e l a u n a yt r i a n g u l a t i o n a n dr a d i a lb a s i sf u n c t i o ni n t e r p o l a t i o n t h eb e m dm e t h o dt oc o m b i n et w o i n t e r p o l a t i o nm e t h o d si ss u g g e s t e do na c c o u n to ft h e i ro w nc h a r a c t e r i s t i c 3 t h em o d i f i e db e m dm e t h o di nt h i sd i s s e r t a t i o ni si n t r o d u c e dt op r o c e s s i i i 哈尔滨理t 人学t 学硕i j 学位论文 t h ei m a g e sw i t hh i g hr e s o l u t i o nr a t i ob a s e do nt h er a d i a lb a s i sf u n c t i o n i n t e r p o l a t i o nm e t h o d t h ei m a g ei ss p l i ti n t os e v e r a lb l o c k s ，a n de v e r yb l o c ki s p r o c e s s e di n d i v i d u a l l y t h e nt h e ya r eo v e r s e w e db yn a t u r a li m a g em o s a i c i n g t e c h n i q u e s ow ec a ng e tr i d eo fs o l v i n gl a r g el i n e a re q u a t i o n sa n dc a l c u l a t i n g h u g em a t r i x i ti sp r o v e dt h a tt h em o d i f i e dm e t h o dh a sh i g hac a l c u l a t i n gs p e e d a n ds o l v e st h eb o r d e rp r o b l e ma sar e s u l to fb l o c k i n g c o n s i d e r i n gt h ef a c to ft h i s a r i t h m e t i c ，w eg i v ean e w c r i t e r i o nf o rt h es i f t i n gp r o c e s st os t o p 4 w ea t t e m p tt oa p p l yb e m dt oi m a g ep r o c e s s i n g ，i n c l u d i n gt e x t u r e a n a l y s i sa n dn o i s er e d u c t i o n a tt h es a m et i m e ，i nv i r t u eo fc h a r a c t e r i s t i co ft h e i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n ( i m f ) ，an e wi m a g ec o m p r e s s i o nt h o u g h ti sp r o p o s e d b a s e db e m d ，w h i c ho n l ye x t r a c ta n dt r a n s f e re x t r e m a ( b o t hm a x i m aa n dm i n i m a ) a n dz e r o c r o s s i n g s t h ee x p e r i m e n t sp r o v et h a tt h i sm e t h o di sf e a s i b l e k e y w o r d s b i d i m e n s i o n a le m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ，i n t r i n s i cm o d e f u n c t i o n ，r a d i a lb a s i sf u n c t i o n ，i m a g ep r o c e s s i n g 1 v 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文二维e m d 方法及其在图 像处理中的应用，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位 期问独立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外 不包含他人已发表或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名： 南，嘶 日期：跏凸年弓月2 8h 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 ( - - 维e m d 方法及其在图像处理中的应用系本人在哈尔滨理工大学 攻读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归 哈尔滨理工大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人 完全了解哈尔滨理工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向有关部门提交论文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨 理工大学可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全 部或部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密囹。 ( 请在以上相应方框内打4 ) 作者签名： 岛，畸 日期：2 加秽年弓月2 箩日 导师虢家主新 日期：炒1 9 f 年专月谚日 哈尔滨理t 人学t 学硕 j 学位论文 1 1 课题背景 第1 章绪论 近几年，由于科学研究及工程实际的需要，信号的时频分析技术和多分辨 率分析技术得到迅速的发展。目前，基于短时f o u r i e r 变换( s h o r tt i m e f o u r i e rt r a n s f o r n a ，简称：s t f t ) 、g a b o r 变换、w i g n e r v i l l e 分布、小波变换 的时频分析及多分辨率分析技术，由于没有摆脱傅里叶变换的束缚，且分解结 果依赖于固定基函数的选取，不具有分解的自适应性，因而对非平稳信号的分 析也难以获得单分量信号。 正是在这一背景下，1 9 9 8 年，n eh u a n g 在一次国际学术会议上首次创 造性地提出了固有模念函数( i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n ，简称：i m f ) 概念和经验模 态分解法( e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ，简称：e m d ) 。再进一步将信号分解 所得的各阶i m f 进行h i l b e r t 变换，形成时问频率能量谱，从而得到瞬时频率， 定义为h i l b e r t 谱。美国n a s a 宇航中心将这种形式的h i l b e r t 变换称为 h i l b e r t h u a n g 变换( 简称h h t ) 。这是一种不同于传统非线性、非平稳信号 分析处理方法。它完全区别于以往信号分析方法的全局分析特点，是一种完全 自适应的多尺度分析方法。e m d 的“基”随信号自适应地产生，不同信号的 基唯一，不需要选择。h h t 方法一出现就受到广大研究人员的青睐，其对非 平稳信号处理方法的优势在海洋潮汐分析、地震信号分析、生物医学信号分 析、故障诊断、语音和图像处理信号分析等众多领域得到体现。 2 0 0 1 年开始国内外研究人员先后幢3 1 将一维e m d 方法推广到二维，提出 了二维经验模型分解方法( b i d i m e n s i o n a le m p i r i c a lm o d ed e p o s i t i o n ，简称： b e m d ) 思想，为e m d 开辟了新的应用领域。同一维e m d 一样，该方法在理 论上还不尽完善，其应用更处于起步阶段，需深入研究探索。图像信号处理作 为信号与信息处理的重要分支成为研究热点。目前图像处理已经发展出很多分 支，包括图像分割、边缘检测、纹理分析、图象压缩等。图像处理技术的发展 有待于二维信号处理技术的发展。鉴于e m d 的优势，相信b e m d 将会给图像 处理等领域提供一种有效的新视角的数据处理方法，有着重要的研究价值。 哈尔滨理| t 人学下学硕f j 学位论文 1 2 国内外相关研究现状 n eh u a n g 于1 9 9 8 年提出h h t ，其核心包括两个部分：经验模态分解和 h i l b e r t 谱分析。该方法首先通过e m d 提取复杂信号在每一个时问局部的振荡 模式，将复杂信号分解为有限个从高频到低频的固有模念函数之和，然后对每 一个i m f 作h i l b e r t 变换，进而计算每一个i m f 的瞬时频率和振幅( 能量) ， 最后将所有i m f 的时间、瞬时频率和振幅的关系形成一个时间一频率一振幅 的三维表示，即h i l b e r t 谱，提取信号的瞬时频率特征。e m d 分析方法开始进 入人们的视野。 经过近几年的研究，e m d 算法逐步形成了独立的理论体系。一维e m d 作为一种新的分析方法在非平稳信号分析中的作用和优势已初见端倪。2 0 0 1 年开始一维e m d 方法先后被国内外研究人员推广n - 维，提出了二维经验模态 分解方法( b e m d ) 思想，为e m d 开辟了新的应用领域。 2 0 0 3 年n u n e s 屯5 刚等利用数学形态学中的形态重建算子和径向基函数提出 了一个二维筛分过程以进行纹理抽取，提取图像的二维i m f ，实现e m d 从一 维n - 维的推广。通过将原始图像自适应地分解为有限数量的子图像，可以将 图像从高频到低频的局部窄带的各个细节清晰地分解出来，残余表示图像趋 势。提取来的i m f 都具有当前图像中局部最高的空间振荡频率，也就是当前 图像的纹理特征。二维e m d 与传统多尺度分析技术区别主要在于：首先，极值 点距离被引入进行局部尺度的确定从而使分解具有自适应和完全数据驱动的特 性；其次，每一成分的提取都使用迭代计算方法，并使用某种准则确定迭代的 终止。由于这些原因，b e m d 在自适应的提取图像符合视觉感知的成分上有其 独特的优势。 与在一维信号处理中所获得的广泛关注相比，二维e m d 分解的研究与应 用还刚刚起步，大多仅有对于使用径向基函数或平面剖分构造二维包络从而进 行二维分解的讨论和对于纹理抽取的应用 峨9 。，还有对与一维e m d 的迭代的 停止标准相对应的二维e m d 的迭代的停止标准的研究。 国内对二维e m d 有一些研究和应用。早在2 0 0 1 年，国家海洋研究所宋平 舰等人就对将e m d 从一维推广n - 维的方法作了研究和探索，并将其应用于 海洋遥感图像处理中幢1 ，实现了将小尺度的波浪信息与中尺度的地形等其他信 息分离开来，为进一步的海浪方向谱分析工作准备合适的数据源。在医学领域 利用它很好地实现了医学图像的边缘检测n 引，较以往的方法提取到的边缘更为 哈尔滨理下大学t 学硕j j 学位论文 精确细致。还有在文字识别中也有其应用的足迹。人们都在试图利用这种全新 的分析方法所特有的优点在各自的研究上取得新的进展1 1 “1 2 1 。 2 0 0 5 年，崔峰、沈滨等人n ，刚利用二维e m d 方法实现了将合成纹理图像分 解得到包含不同空间尺度信息的i m f ，从而实现纹理抽取的方法。此外，他们 还提出了一种基于e m d 分解的四元数域无监督纹理分割方法。首先采用二维 可分离e m d 分解提高各图像成份的四元数f o u r i e r 频域特征的分离度，再使用 四元数g a b o r 滤波器组进行解析特征提取，最终实现纹理分割。同年，刘忠 轩、彭思龙等人怕”1 又鉴于图像的方向特性提出一种新的b e m d 框架，称为方 向e m d 分解，并定义了二维h i l b e r t 变换提取瞬时频率和包络特征。 随后徐冠雷引提出基于限邻域e m d ( n l e m d ) 的图像增强方法，二维 n l e m d 是在h u a n g 等人提出的e m d 自适应特性基础上通过设定最大邻域( 时宽) 和采用邻域内局部自适应均值算法代替包络均值算法进行分解，克服以往e m d 分解算法出现的灰度斑现象。同时，也为二维e m d 分解提出了新的视角。 c h r i s t o p h ed 锄e r v a l 一组人n 引和z h o n g x u a nl i u 一组人n 6 也于0 5 年相继提出利用 三角剖分结合分段三次多项式插值和利用张量积减少求解二维i m f 计算量，从 而加快了b e m d 的实现。 e m d 是一种完全数据驱动方式的分析方法，它对图像的频率的描述不依赖 于傅里叶变换意义上的频率，而是与图像的极值点和过零点的距离有关。基于 此，瑞典学者a n n al i n d e r h e d n7 1 8 1 提出了经验模频率( e m p i q u e n c y ) 的概念，代 替以往的基于傅里叶变换意义上的频率来描述信号的振荡情况。由于图像经 e m d 分解所得的各i m f 在不同位置的经验模频率不同，a n n al i n d e r h e d 提出 了一种利用经验模频率控制采样率对各i m f 进行二次采样尝试实现图像压缩 的新方法。第一次明确阐述了将二维e m d 应用到图像压缩领域的分析过程， 为信号传输技术领域开创了新的前景。 图像处理现在已经成为- f q 有着系统理论和广泛应用的学科，其应用领域 相当广泛，包括视频影像处理、医学图像处理、遥感图像处理以及最近得到广 泛关注的生物特征识别技术和视觉监控技术等等。而多尺度特性是自然图像的 主要特性之一，图像处理中现已提出一系列体现图像多尺度特性的方法，如： 基于扩散方程的多尺度技术引，基于形态学运算的多尺度技术幢，基于金字塔 的多尺度分析方法1 2 以及近十年来得到广泛研究的小波多分辨分析框架心2 2 3 1 。 二维e m d 作为一种全新的多尺度分析方法，有其独特的优势，在图像处理上 的应用还较初步，处理方法有待进一步探索和研究。 哈尔滨理t 大学t 学硕i j 学位论文 1 3 本文内容 本文详细阐述b e m d 的原理及其实现方法，就其实现及理论方面存在的 问题和其在实际应用中的问题进行探索研究，并以二维图像信号的分析处理为 主要应用研究对象。共分四章，内容安排如下： 第一章阐述本文研究的意义和课题背景。介绍国内外科研人员在经验模态 分解方面的研究进展。给出本文的主要工作及内容安排。 第二章给出b e m d 的具体实现过程。通过具体信号实例分析，说明二维 e m d 方法的特性。分析讨论b e m d 算法实现中的极值点提取方法。 第三章主要分析讨论b e m d 算法实现及其改进。对插值拟合包络曲面这 一b e m d 分解的重要环节做对比研究；针对三角剖分插值的边界问题给出改 进办法；提出基于三角剖分插值和径向基函数插值两种插值方法相结合的 b e m d 分解思想；针对高分辨率的图像分解，基于径向基函数插值的特点，对 b e m d 加以改进，提出一种快速分解方法。 第四章将二维e m d 尝试应用于图像处理，讨论图像纹理分析、图像降噪 和图像压缩。经分析研究，给出基于b e m d 提取特征点的图像压缩思想。 哈尔滨理丁大学t 学硕l j 学位论文 第2 章二维e m d 算法及其实现 多尺度是自然图像的最主要的特性之一。二维e m d 分解是近来提出的一 个新的多尺度分析方法。与金字塔表示、基于小波和基于扩散方程的经典多尺 度构造方法相比，二维e m d 方法有着独特的性质。根据一维e m d 方法，类 似的把它推广n - 维空间。 2 1 经验模态分解( e 加) 实际生活中得到的大部分信号都是多频分量的信号，多频分量的信号性质 不易分析，但单频分量的信号由于每一时刻仅有一个频率分量，其性质易于分 析。因此，人们希望从多分量信号中提取出能代表原信号特征的单分量信号， 通过对单频分量的分析来了解原始信号的性质。我们首先想到的是滤波。由于 带通滤波器在通带和阻带之间有一定长度的过渡带，所以得不到理想的截止频 率，且通带的幅值不是理想的常值，阻带的幅值也不完全为零，因此通过滤波 的方法得不到单分量信号，且滤波的方法仅适用于平稳信号，不适于对时变频 率信号的分析。为了得到单频的信号分量，1 9 9 8 年h u a n g 根据单频分量信号 本身的特征提出一种提取单频分量的方法一经验模态分解方法( e m d ) ，经验 模态分解能够从时变的信号中分解出保持信号自身性质不变的单频信号分量。 经验模态分解是一种完全自适应的分解过程。e m d 方法中的信号要满足 一定的条件：( 1 ) 数据信号中至少包含一个极大值和一个极小值两个极值点； ( 2 ) 特征尺度用极值点之间的时间间隔定义；( 3 ) 当整个数据序列没有极值 点，而只有拐点时，它能够在进行一阶或者几阶的求导运算后重建极值点，最 后可以将各模态积分得到各成分。其基本思想是：假如一个原始数据序列x ( t ) 的极大值或极小值数目比上跨零点( 或下跨零点) 的数目多2 个或( 2 个以上) ，则 该数据序列就被认为是非平稳的，需要进行平稳化处理。这种非平稳特性是由 不同尺度波动叠加造成的，e m d 方法的目的就是将数据中这些不同的特征尺度 加以分解区分开来，把复杂的信号分解为从高频到低频的若干阶简单的单分量 固有模态函数( i m f ) 的组合。各i m f 需要满足下列两个条件： ( 1 ) 在整个信号长度上，一个i m f 的极值点和过零点数目必须相等或至多 只相差一点。 ( 2 ) 在任意时刻，由极大值点定义的上包络线和由极小值点定义的下包络 哈尔滨理t 大学t 学硕十学位论文 线的平均值为零，也就是说i m f 的上下包络线对称于时间轴。 满足上述条件的i m f 就是一个单分量信号。对于给定的信号，h u a n g 所 介绍的e m d 方法是： 首先找到信号的极大值和极小值，通过三次样条拟合，从而获得信号的上 包络曲线p 玎v 咄和下包络曲线e n v m 计算上下包络曲线的平均值曲线： m l ：( e r l v m a x + e y v m i n )。( 2 1 ) 2 设分析信号为x ( f ) ，则： x ( f ) 一m l = h 1 ( 2 2 ) 从理论上讲，j l z i 即为第一阶i m f 分量，但由于样条拟合矗不一定满足i m f 的条 件，把红作为原始数据，重复上述步骤，反复减均，直到满足i m f 的条件。 i m f 的条件很难达到，h a n g 定义了标准偏差s d ( s t a n d a r dd e v i a t i o n ) 作为判定 过程何时结束的标准。 s d ：y t 险婆丝遁( 2 3 ) 智 雏1 ( ，) 、7 一般取s d = 0 2 - - 0 3 。然后，从原始信号中减去髓即可获得信号的逼近分量 兄。 x ( f ) 一扛= r i( 2 4 ) 对兄重复上面的过程，就可以获得第二阶i m f 分量。通过e m d 方法对信号进 行一次次的筛分，就可以获得信号的多个i m f 分量和一个逼近分量尺。，从而 信号可由下式表示： l x ( t ) = 忍+ 兄 ( 2 - 5 ) i = 1 因此对任何一个信号x ( f ) ，可以将其分解为，z 个固有模态分量和1 个残余分量 r 之和，其中，分量如，红，包含了信号从高到低不同频率段的成分，且这 些成分在频域相互正交， r 。表示了信号x ( f ) 的整体趋势。 上面的分解过程可以解释为时空尺度滤波的过程，每一个i m f 分量都反 映了信号的不同特征尺度的分量，代表着信号的非线性非平稳信号的内在模态 特征。e m d 分解得到的各i m f 分量符合类似高斯平稳过程中需要窄带的条 件。固有模态函数是基于信号的局部原始性质，由此而获得的瞬时频率具有相 对应的物理意义。它将瞬时频率需要的全局性变为局部性，而且瞬时频率表现 了由于波形对称而产生的振荡，这也让h i l b e r t 谱得到了实际的应用。e m d 分 解与h i l b e r t 变换相结合被称为h i l b e r t - - h a n g 变换，简称h h t 。各阶i m f 满足 哈尔滨理t 大学t 学硕一l ：学位论文 h i l b e r t 变换的前提条件，可以对它们作h i l b e r t 变换： y ( ，) ：土+ i 蚴f 万三t f x o ) 鼐iy ( t ) 形成一复共轭对，则其解析信号z ( f ) ： 幅值函数： ( 2 6 ) z ( ，) = x ( t ) + i y ( t ) = a ( t ) e 旧( 2 - 7 ) 口( f ) = x 2 ( f ) + y 2 0 ) 相位函数： 一阳留器 在对相位函数求导即得i m f 分量的瞬时频率为： 缈( f ) ：d o ( t ) 衍 得到信号的h i l b e r t 谱： ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 - 1 0 ) h ( c o ，) = r e q ( 咖巾“瑚 ( 2 11 ) 更进一步，通过对时间积分可获得信号的h i i b e r t 边际谱： h ( a o = ih ( c o ，t ) d t ( 2 1 2 ) 实验中选取三个正弦函数( 一个频率较低且幅值较大，另两个频率较高且 幅值较小) 和一个阶跃函数的叠加信号，对其进行四层e m d 分解。如图1 所 - - 一y ，从左到右、从上到下依次是原始信号、第一层到第四层i m f 分量及四层 姜。卜n 叫萎。卜胁删忡蝴删叫 1nl j ，j - j5l - - j l j j j 01 0 02 叩340001 0 02 0 03 0 04 0 0 薹善：2堂!二二!：；三三三三三罩。茎圣；1里堕三三三三三三三罩。 馨 乏卜1 莳1 打1 亩_ o 罂。1 1 亩1 亩1 蔚o 基：| 匝三一萎童匾翌一 基。炉一州藿。八v 0 5 卜商广1 莳茹广弓。口击卜布广百矿赢r 弓o 哈尔滨理t 人学工学硕i j 学位论文 信号经e m d 后得到了从高频到低频不同频率段成分，残余代表信号的主 要趋势，大量实验结果证实了这一点。如果两个相对高频的正弦函数成分为噪 声，那么得到的残余成分非常接近于能量较大的低频正弦函数成分和阶跃函数 成分的叠加。如图2 1 中最后一个波形，实验结果很明显地反映了e m d 的去 噪作用，而且这种去噪是种完全自适应性的处理，效果理想。从图中也可看出 一维e m d 存在边界效应，现在已经有一些研究人员提出了解决办法，如 h u a n g 提出的用特征波c w 对原始信号进行延拓的方法心引、线性外延方法、端 点镜像方法心引、多项式拟合方法幢引、基于神经网络技术对数据序列进行延拓的 方法乜引、基于a r 模型的l e v i n s o n d u r b i n 算法的线性预测的方法f 2 引以及采用最 大熵谱( 即b u r g ) 估计进行边界延拓的方法，一定程度上避免了边界效应。 2 2 二维经验模态分解( b e m d ) 2 0 0 1 年开始国内外研究人员先后将e m d 方法从一维推广到二维，提出了 二维经验模型分解方法思想，为e m d 开辟了新的应用领域。本节介绍了二维 e m d 分解的基本思想，给出了算法的具体实现步骤，准确实现了二维信号的 多尺度分解。 与一维相似，二维e m d 分解实现过程流程图如图2 2 所示。 二维e m d 方法的实现过程： 步骤1 ：对所给图像曲面，。一求取曲面局部极值点，包括所有局部极大值和 极小值。 步骤2 ：求取均值包络曲面。极值点找出来之后，要对各极大值点和各极小 值点分别进行曲面拟合，经插值后得到极大值点曲面包络e 。和极小值点曲面 包络e 。矿将两曲面数据求平均得到均值包络曲面数据e 肌删。 步骤3 ：用原始曲面减去均值包络曲面。 步骤4 ：与一维相似需计算终止条件，计算终止条件： s d ：y xy y 【互= 兰! 学! 二互继( 2 1 3 ) 备每 纪。( z ，y ) 重复步骤l 步骤3 ，直到满足给定的终止条件得到第一层二维固有模态函数 i m f l ，用原图像减去第一层模态函数得到第一层残余( r e s i d u e ) ，。，。对残余重 复步骤l 步骤4 ，依次得到图像的n 层固有模态函数和第n 层残余。 哈尔滨理t 大学下学硕l j 学位论文 塑) i 输入信号如一，i r = i o h 1 r 9 5 ：i r 门：0i 上 生习 i + 提取i r 9 5 的所有局部提取，e 5 的所有局部 极大值点 极小值点 + 插值计算极大值包络曲面马猷 插值计算极小值包络曲面z h m i + 计算包络曲面的平均值马竹e 口 = ( 岛搬x + e m m ) 2 + j y 9 5 = l r e 5 一点k g 矗m 龠f 生i + 断，e ；是否满足终止条们 一 支 ( 是、) 丫 知d 幽= ，e 5 ，n = n + l ，i r = r 一，r e 5 一 世0 断厶是吾曲此箱上l 节1 叫守 匿萝。 图2 - 2b e m d 分解框图 f i g 2 2t h ed e c o m p o s i t i o ns c h e m eo fb e m d 下面是对c a m e r a m a n 标准图片做五层b e m d 分解实例，如图2 3 所示。 b e m d 的分解过程实现了图像从低频到高频的自然尺度分离过程。首先分解 出来的固有模态分量i m f l 是图像所含有的最高频率分量，该分量的各处频率都 对应着图像在各处的局部最高频。原图像减去第一层固有模态分量得到第一层 残余；对第一层残余在分解得到第二层固有模态分量得到第二层残余，每一层 固有模态分量都有上一层残余分解得到，如图2 4 所示b e m d 分解示意图。标 准图片l e n a 的b e m d 分解的四层i m f 和最后一层残余如图2 5 所示，对应网格图 如图2 6 所示。e m d 没有确定的基，它的“基 是根据信号而自适应产生的， 堕堡堡竺三皇兰三兰塑：，兰堡耋圣 这使得它不仅具有很高的分解效率，同时也具有良好的时频局部性。各固有模 忐分量之间是相互正交的。圈2 7 为l e n a l 蛋像b e m d 分解的从高频分量到低频分 量的频谱。 m l m f l e 1i m f 4oi m f 5 g ) r e s i d u e 图2 3c a m e r a m a n 图像的五层b e m d 分解及其残余刮像 f i 9 2 3 c a m e r a m a n i m a g e i sd e c o m p o s i t i o nb y b e m d i n 5 m o d e s a n dar e s i d u e i m a g e 园曾膏膏一 划2 - 4b e m d 分解示意图 f 啦- 4 t h e d i a g r a mo f b e m d o 堇! 一 一。r 画 、。王 一 一盎詈咏一“_一 喊 a ) l e n a 原图 l ；麟 一_ 、 。 隰 瘸藩鹦 l 皖 憾 繇i g ) r e s i d u e 3 r 1 i i 蓥 囊 b 聚； 滋，。! 舢i m f 4nr e s i d u e 4 图2 5l e n a 图像的四层b e m d 分解及其残余圉像 f i 9 2 - 5l e n a i m a g e i sd e c o m p o s i t i o nb y b e m d i n 4 m o d e sa n d ar e s i d u e i m a g e 兰玺鎏垩三奎耋三：竺：= 堡兰苫 e 1l e s i d u e 4 囝2 6l e n a 图像的b e m d 分解分量网格幽 f i 9 2 4 5 t h e m e s h d i a g r a mo f t h e b e m d r e s u l t so f l e n a i m a g e 哈尔滨理工大学工学硕士学位论文 c 、i m f 3 d ) i m f 4e ) r e s i d u e 4 图2 7l e n a 图像b e m d 分解分量的频谱 f i g 2 7t h ef r e q u e n c ys p e c t r u mo fb e m d r e s u l t so fl e n ai m a g e 二维e m d ( b e m d ) 在实际的实现中也存在着类似与一维e m d 实现中的情 况，但由于所处理的对象不同，二维e m d 在实际的实现过程中还存在着新的 问题。现存的问题主要是极值点的求取问题、二维散乱数据点的插值问题、边 界问题以及筛分停止条件的确定问题等心9 驯。本文就这些问题都进行了探讨。 2 3 局部极值点选取 关于局部极值点的求取本文在实验研究中先后采用了两种方法。方法一， 在像素点的8 领域中寻找极值点，即与8 领域点做灰度值比较确定极值点；方 法二，利用数学形态学方法寻找极值点。 2 3 1 领域点比较确定极值点 在分析灰度图像时，所谓图像的极大值点就是灰度值比周围8 个相邻像素 点灰度值都高的点，灰度值比周围8 个相邻像素点灰度值都低的点就是图像的 极小值点，其他都不是极值点。对于一般边界数据的处理，因为只有在一半的 哈尔滨理工大学工学硕士学位论文 邻域内有数据，所以只能在1 2 的邻域区间内寻找极值点。对于四个角处的数 据处理，考虑1 4 邻域区间。对于任意的一幅灰度图像，如图2 8 所示，图像 中的像素点设为，( f ，) ，可能有三种情况如图2 - 9 所示 ( 1 ) 图像的内部点，如图2 - 9 ( a ) 所示； ( 2 ) 图像的一般边界点，如图2 9c o ) 所示； ( 3 ) 图像的角点，如图2 9 ( c ) 所示。 口 _ _ 图2 - 8 灰度图像栅格图 f i g 2 8t h eg d dd i a g r a mo fg r a yi m a g e ；：垂l ：j - 1 ) i 氇j 1 )碓l ，j i ； ；1 6 一i 。j ) 至( i ：j )王盱1 ；势 ：i 眭：二l ji g 0 1 )二：a - ：) a ) 图像内部点示意图 ：王刨一1 ) i 铲l j - 1 ) - 二 ” 1 6 & ! l ( i - i j i 一_ 、 ；i ( l j 一1 ) 二r ：f ) b 1 图像边界点示意图 c 1 图像角点示意图 图2 9 图像中各种点的不葸图 f i g 2 - 9t h ed i a g r a mo fp o i n t si ng r a yi m a g e 针对不同的情况，需要将像素点( i ，j ) 的灰度值与对应的邻域的像素的灰度 值相比较，这三种情况分别要将i ( i ，j ) 的灰度值与其周围的8 、5 、3 个邻域点 比较。最容易想到的方法是逐行扫描整个图像的每一个像素点，分以上三种情 况进行灰度值的比较，分别确定出图像的极大值点和极小值点。这种方法简 单、检出的极值点完全，但计算量较大，需要时间相对长。使用该方法对 l e n a 图像提取局部极值点，提取的结果如图2 1 0 所示， 哈尔演理工大学工学硕士学位论文 a ) l e n 涠像 b ) 极丈值点 c ) 极小值点 图2 - 1 0l e n a 图像和极值点图像 f i 9 2 - 1 0 l e n a i m a g ea n de x t r c m a i m a g e 2 3 2 数学形态学简介 数学形态学是一门新兴的学科，它主要以积分几何、集合代数及拓扑论 为理论基础，此外还涉及到随机集论、现代概率论、近世代数、图论等一系列 数学分支。数学形态学是分析几何形状和结构的数学方法，是建立在集合代数 基础上的，用集合论方法定量描述几何结构的科学。 由于形态学具有完各的数学基础，这为形态学用于图像分析和处理、形 态滤波器的特征分析和系统设计奠定了坚实的基础。近年来，在图像分析和处 理中形态学的研究和应用在国内外得到了不断的发展。数学形态学现在已经应 用在多门学科的数字图像分析和处理的过程中。例如在医学和生物学应用数学 形态学对细胞进行检测、研究心脏的运动过程及对血管瘤图像的特征提取：在 工业控制领域应用形态学进行食品检测和电