（应用数学专业论文）周期延时神经网络的稳定性条件与性能分析.pdf

摘要 稳定性分析直是神经网络理论研究的重点。很多研究人员在这一问 题付出了自己的努力，得到了大量的结果。本文在这基础上首先证明了一 个更普遍的、对模型有更少限定条件的结果。先前出现的许多稳定性结论 都可以作为推论得到。更有意义的是，文章明确给出了已经得到的- 系列 稳定性判定条件用来判定稳定性能力的比较。他们之问的关系并不像看起 来那么显然。 整篇文章按下面的结构进行组织： 第一- 章，这一章主要是傲一些准冬性的工作。包括三方面的内容：搂型 的介绍、。些必要的定义与引理、已知结果综述。 第二章，主要是个更一般的结果的证明。随后，系列直接的推论被 给出。这些推论摹本上包括了之前出现的所有类似结论。 第三章，明确给出不同稳定性结果之蚓的判断能力比较，以及他们之 脚的包容关系。在对将要使用到的符号做了定义后，首先证明了江i f 条 件l 。条件和l 。口 条辑其实是等价的。然后更进步证明t l t 条件判定能 力要强于l 。口条件。这两个结论理清了不同结论之间晦涩的关系。最后， 本文对不同条件之削的关系作了总结。 关键字：神经网络：周期：收敛性；全局指数稳定：比较 a b s t r a c t n e u r a ln e t w o r k sh a v eb e e nd e e p l yi n v e s t i g a t e dd u et ot h e i rp r o m i s i n g a p p l i c a t i o n i nb o t ha p p l i c a t i o n sa n dt h e o r y ，t h es t a b i l i t ya n a l y s i s i s p r e r e q u i s i t e i nt h i sp a p e r ，ag e n e r a la p p r o a c ht oi n v e s t i g a t eg l o b a le x p o n e n t i a l s t a b i l i t yi sg i v e n s u f f i c i e n tc o n d i t i o n se n s u r i n gg e s 8 x eg i v e n ，t o o c o r n p a r i s o n so fv a r i o u ss t a b i l i t yc r i t e r i aa r eg i v e n m o r ei m p o r t a n t ，i ti sp o i n t e d o u tt h a ts u m c l e a tc o n d i t i o n si nt e r m so fl 1n o r ma r ee n o u g h t h i sp a p e ri so r g a n i z e di nt h ef o l l o w i n gw a y ： i nc h a p t e rl ，s o m ep r e l i m i n a r i e s ，i n c l u d i n gs e v e r a ld e f i n i t i o n sa n dy o u n g s i n e q u a l i t ya 8l e m m a ia r eg i v e n a n dm a i nt h e o r e m so fp r e v i o u sp a p e r a r e i n t r o d u c e dh e r e ， i nc h a p t e r2 ，w ea d d r e s sc r i t e r i ao fg e sf o rd e l a y e dp e r i o d i cd y n a m i c a l s y s t e m si nt e r m so fv a r i o u sl 9 ( 1sp o 为周期的周期函 数。即作如下假定： 初始条件我们定义为 = d 。0 + u ) = a l j ( t + u ) = ( 十u ) = ( f + u ) t 0 ；i ，j = 1 ，2 ，n u i ( s ) = 也( s ) f o r8 一r ，0 】 7 。，璺麓。功 毋l c ( 卜r ，0 1 ) ，i = 1 ，- ，n 为后面叙述上的方便，这里给出如f 定义： 以。 。惩。 8 t ( 2 ) o n ；i = s u p1 8 u ( t ) i o 。 0 t s w 蛤l = s u pl b 0 ( t ) 1 o 。 t u 0 i = 1 ，n 如果满足 堕( 旦尝e 剑g 。；t ：1 ，。 l i 记为：g ( z ) = ( g l ( 。) ，r - ，9 。( z ) ) 7 h 2 g l ，g 。 定义1 2廊量w = 【 l ， 7 0 当且仅当地 o ；i = 1 ，礼 定必，- 1 3如果实厅饥n 勉佯秽= ( ) 满足0t ，j = 1 ，n ，j i 并且它的所有颊亭主子式都是正的郡么称矩阵c 是m 一阵 定义1 4 藩剡h ( ) 、m ，i “( ) ，1 ，l l u ( ) 、。l 定义为j ( ) 和，= 睡刊姒训9 r 慨) - ) = i 基地( ) f i u ( 川 e ，o 。l = m 衅l 毫地( - ) i 这里 u ( ，) = 沁。( ) ，( ) l r 矗 0t = 1 ，n 3 引理1 1 ( y o u n g 不等式) t a r a 0 ，b 0 那么硎不等式，舒是麒 j 五 。6s 鳢p + 了( b e - 1 ) q ( 1 1 3 ) 口 、 遗雳； o ；p ，q l ；1 + ；1 = 1 等号成立当且仅当：( 口e p = ( b e 一1 ) 9 证明 考查辅助函数，( z ) = e 。，显然有，( z ) 0 因此有 ，( o 。十3 y ) o ，( z ) + 3 f ( y ) e 。e 脚。e 。+ 口矿 这里 o 0 ，卢 0 ，o + = 1 ，等号成立当且仅当。= y 让：o = ；i ，口= ；，z = ：i n a e ，g = ；i n b e 一1 有： n 6 s 鳢+ ( b e - 1 ) q 芦q 等号成立当且仅当( o e ) 一= ( b e _ 1 ) a 第3 节已知结果综述 神经网络在信号处理、人工智能、工业自动化等许多领域都有非常多 的应用。对于实际应用来讲，研究神经网络的动态行为是必不可少的步 动态行为的研究主要是研究系统是否有平衡点以及平衡点的性质， 在这方面已经有了许多结果。在【1 5 ，3 1 ，3 2 】，给出了一一些全局渐进稳定 ( g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t y ( g a s ) ) 的条件：在f 3 3 ，3 4 ，3 5 】，则给出了一 4 些全局指数稳定( g l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y ( g e s ) ) 的条件。对于连接 阵对称的情况，【1 6 】给出了强稳定的充要条件。 另外一方面，时间延时在生物领域和人工智能领域都是很常见的情 况。因此对带延时系统的稳定性分析也有非常大的实际意义。对于不变延 时的系统，已经有了大量的结果 1 ，3 6 ，3 ，3 7 ，2 3 ，2 1 ，6 ，8 ，9 ，4 ，2 8 ：特别 是1 1 0 ，1 l 】，给出了保证平衡点g e s 稳定的条件。 下面，列出一些已知的本文涉及到的结果 在 1 0 】( c h e n ，2 0 0 1 ) 中作者给出的以下两个结论最有代表性。其中 定理a 是构造l 。忡数l l u ( ) f ，。o 得到的结果，其中定理b 是构造l l 范 数l i u ( ) l h e 1 ，得到的结果。( 最后我们可以看到定理b 是非常漂亮的结果) 定理a 假定 g ( x ) = ( 9 l ( 。) ，如( z ) ) 7eh 1 g 一，g 。) y ( x ) = ( y d x ) ， ( 。) ) 7e 玩 g ，瓯) n j = m a x 0 ，a i i ) 如果存在正的常数o z ，6i = 1 ，n 使得f 面的一组不等式成立 ( 1 1 4 ) 那么动力系统( 1 2 ) 有唯。的平衡点矿，并且系统( 1 2 ) 的所有解u ( 亡) 满足 i l a c t ) l l ( ，。 = 0 ( e 。口) l ”( t ) 一矿l i ，。i = o ( e - “) 5 ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) nl j | 0 乃一” 6 q n e 白 。础 +g ” n 6 硝 十g + “ 口 & 十 a +也一 定理b 假定 9 ( 。) = ( 9 1 ( z ) ，9 。( 。) ) 7 h 1 g 1 ，g 。) ，( 。) = ( f l ( x ) ， ( z ) ) 7 月j g - ，- ，g k 如果存在正的常数o ，矗i = 1 ，一，n 使得下面的一组不等式成立 白( 一d j + q ) + 峙j + 6 i 旷g j + 靠e 。q i j 乃 0 j = 1 ，n l j= 1 ( 1 1 7 ) 那么动力系统( 1 2 ) 有唯的平衡点，并且系统( 1 2 ) 的所有解“( t ) 满足 u ( t ) 一u ，l = o ( e ”) 怕( 圳) = o ( e ”) ( 1 培) ( 1 1 9 ) 在( 5 】，作者将( t ) ，b ( ) 和画( t ) 限定为常数，将鲫( z ) ，j ( z ) 限定为有 界的。得到如f = 结论如果 则系统 吨& 崛脚+ ；裂刮+ i 1 矗善钟f + ；只g i b ；扣若碱l 。 ( 1 2 。) 警= 一吐u 鼬) + 壹n 。鲫( 均( 啪+ n6 玎矗( ( t 一) ) + ( n i ：1 ，2 i ，。 j 。l= l ( 1 2 1 ) 有唯的平衡解t 同时任意解收敛十平衡解。显然，这个结果是我们将要 证明的定理的特例这里作者没有给出收敛速度。 6 果。 另外，在f 3 0 j 中。作者给出了相当于上面提到的f 5 j 文中芦= 2 时的结 在此基础上，本文主要做了两部分的工作。 首先使用l p ( 1 p 0 ，o q j ， ，j = 1 ，2 ，n 德得下面的一缉 不等式成立： ( 谢眯l + g t 降。；+ ! p j # i 删吖+ 。1 6 萎讣划“神g + ；只钏”n q 叶扣若f j l b ；j l n 柏加矿吣。 ( 2 _ 1 ) 那么动力系统一砂穹难一的周期平衡，知( t ) = h ( ) ，”。( t ) 】。并直，系 统f j 夥所有8 鲐阢( t ) = 扭- ( t ) ，。( t ) 】7 萄涅 f ，( + j u ) 一吡( t ) l = 0 ( e f ”) ，i = 1 ，一，n( 22 ) 特韵的a 。= = i 1 。鼬条件成为： c 也十e ) 6 地卜+ ；丢泓f + 十1 吾钟纠 + ；只若n 洲一| + 1 唼隅妙 协。) 9 证明 1 ： 以及 磊( 啦u ) ) = 吼( 峨p + u ) ) 一吼( 乱，( ) ) 五( u 。( t ) ) = ， ( u 。0 + u ) ) 一a ( u t 0 ) ) t 0 ) ：e “盈( 甥i = l ，2 ， 定义l y a p u n o v 幽数如下： 邵) 。型她( 帆p 磊矧舭廿删由( 2 4 ) 对它求导，我们得到： ( ) = p 6 f 哦( ) p - l e e t s i 9 n ( t 哦( f ) ) j d ，( t ) 识( ) 十面；( 。) + 。( ) 勇( 唧o ) ) 十b ( t ) 艿( w o 一) ) i = ij = l o + 一i 妻洲吲e q 阻炉屯”训 , j = l 。 o s p 矗卜池一e ) m t 妒+ o * ( t 卿囊( 地( 删姚( ) p + e a l a ；j l l w , ( t ) l - 1 i 西( 嘶( ) ) i + 1 6 ；| e f 。i 五( ( t 一) ) i i 姒( ) l ，。f ，tj 5 1 o + p 6 f j l b , * _ f l e 叫i q ( ) i 一一1 w j ( t 一) h 由对，( 。) ，9 ( 正) 的假定，有 矿l 五( 2 0 ( 一气，) ) f j l w , c t 一7 b ) j e w( 2 5 ) 1 0 e “i 毋( ( t ) ) i = g ( e j ) 1 w a o i ( 2 6 ) 结合y o u n g s 不等式，可以得到 l ( o p 一一e ) 6 t = l 、 嘲陋+ ；萎时”白 十十；1 矗要鹕划“曲 + 喜睁删舯e q t + _ 1 洲旷岛k 响m 枣胪+ 善侈e 咿q + i 洲屹p 加扩卅枣胪 s p 一( 也一e ) 6 i = 1 、 崛卜；驴p 4 白 + + i 1 毛吲卜h + 黜洲妒畔删加扩卅永犷 因此可知道在定理给出的条件下，l ( t ) 是有界的，这说明 是有界的，并且 ( 2 7 ) ( + u ) 一瓴o ) i = o ( e 一“) ，i = t ，一，n( 2 8 ) 现在，定义”( t ) = i u t ( t ) ，( t ) 】7 为 u ( t ) = l i m “l ( t + j u ) j + 由式( 2 8 ) 和 u t ( t + j w m 愈) + 砉扣m ) 一小掷叫m ) = l ， 1 1 p 一札e f 。 知u ( t ) 是存在的，并且是以u 为周期的周期函数。而且有： u 。( + j u ) 一仇( 0 l = 0 ( e 一刨)w h e n 了，o 。( 2 9 ) 另外如果“( ) ，“( f ) 是系统的两个解。使用同样的方法我们 很容易得到； i ( + j 叫) 一u 。0 + j u ) i = 0 ( e j 钳) w h e n ，+ o 。( 2 1 0 ) 这说明平衡点是唯。的。定理证明完毕。 第2 节推论与例子 这节里。一系列由上节结果导出豹直接接论将搜绘出。其中些结 果正是一些文章的主要结论。在这里，我们可以看到分别由1 范数、o 。范 数、p 范数构造l 函数得到的不同结果之阳j 的关系。显然的，由p 范数构造 l 函数得到的结果可以推出其他结论，像l ，l 2 ，。等等。他们之j l 白j 的判 断能力比较将在后面作为独立的章给出。 对于动力系统( 1 , 3 ) ，由上节结果我们首先可以得到f 面的结论： 推论2 1 僭砌忙) ，( z ) 栲定9 ( ) = ( g l ( z ) ，乳( z ) ) 1 t 3 g r ，g ，i ) f ( x ) = ( ( 。) ， p ) ) 7 玩 ，r ) 。并盘存旌纽带泵壹ns p 0 ，6 0 ，尚，t ，j = 1 ，2 ，礼使得下面的任意 一组不等式成立： c 也+ e ) & k + ；妒卜i 1 6 蚤钟孙h 珈 + ：只白1 6 ；。i 觑，酽哪+ ；矗毋i 唱| ( 1 一鼬1 9 e ”。0 ( 2 1 1 ) ， j = l y i ；1 1 2 ( 一枷斛q 弦+ ；到妒 + ；1 氐萎钟_ 口 + ；只妻j = l 洲蛳叶石1 6 ；n 碱r 讹q 。 ( 2 1 2 ) m 肘g t 陋+ ；副吖+ 挺喇 + ；置塾妒t + - 1 6 薹n 碱妙 ( 2 1 3 ) ( - d i + e 斛g t p + p 三j # i 洲 + 1 。6 薹钟i + ；e 蚤n 洲一十石1 毫若n 隅f 吣。 ( 2 1 4 ) ( - d i + e ) 侠+ g t 仇。；+ 妻；岛l 哼t + + r 岛l 塔；i e 哪0 ( 2 1 5 ) ( 一哦+ e ) 巩+ g io ；o ；+ + 日l 略i i + 只白i 啄f e 5o ( 2 1 6 ) 。 j o j = 1 ( - d i + e ) 哦+ g i o t 。；+ + o a a ：y j + o j l b ；j l e q 玛0 ( 2 1 7 ) tj = l 那么动力系纺p 。| 少亨难一的周期乎衡点= b ( t ) ，( t ) l 。并且，系 纺p 圳历赢蚴e ( 句= 【u l ( t ) ，( t ) 】# 蕺定 i u ( t + j u ) 一v , c t ) l = o ( e 一灿) i = 1 ，n 证明 ( 2 ，1 1 ) 就是定理中给出的条件，只是为了比较起来方便才在这 里重新列出来。 ( 2 1 3 ) 可以通过让( 2 1 1 ) 中a l j = 岛= ：；i ，j = l ，礼得到， 成立。 ( 21 5 ) 可以通过让( 2 1 1 ) o p a o = 尚= ；1 = 1 ；i ，j = 1 ，n 得 到。 ( 21 2 ) 、( 2 1 4 ) 、( 2 1 6 ) 显然是比( 2 i i ) 、( 2 1 3 ) 、( 2 1 5 ) 更强的 条件，前者能够满足的时候后者也自然成立。结论是显然的。 ( 2 1 7 ) 的证明可以让( 2 1 4 ) 中p 0 0 ，然后使用m 矩阵的性质得 到。其结论在2 0 0 1 年陈天平教授已经独立得到，同时下一章的 比较分析也间接证明了这个结论，这里不再详细证明。 注2 1 ( 2 i 2 1 、( 2 1 4 ) 、( 2 1 6 ) 是比( 2 1 1 ) 、( 2 1 3 ) 、( 2 1 5 ) 更强的条件。 因此( 2 找1 、21 4 ) 、( 2 。i 6 1 判断稳定性韵能力也相虚的比( 2 1 1 ) 、 ( 2i s ) 、f g 。1 5 ) 弱。硼出这三个条件并没有很多实际意义只是为7 后 面的比较能得翻1 个清礅的结果才s 在这里。实际上只有2 i l 、f g j l 3 1 、 ( 2 1 5 ) 、( 21 ) 是主要的结论( 2 i 3 ) 、2 i s ) 、( 2 1 7 ) 也是在其他文章中 以不同的形式陆续出现过的。 另鲫简单的让p = 2 或其他值还司。以得勤另外些结果，但通过第三 章的讨论知道他们并没有更多的意义这里就不在到出。 相应在另外一些文章中看到的那样，我们还可以写出另外些结论。 他们是前面定理和推论的另一个形式或在更具体的系统上的表现形式。仅 为大家更方便的比较而列在这里，没有更多理论的意义( 其中些同早些 的结果是完全一样的，适用系统可能宽了些，可能也没有) 。 1 4 推论2 , 2 疟 定9 ( 。) ，( z ) $ 自：足9 ( z ) = ( 9 1 ( z ) ，- ，g n ( z ) ) r h 1 g l ，r t g n ，( z ) ：( ，。( z ) ，厶( z ) ) 7 也( f l ，一，r ) a 并且存在一绍带条魏兰 p o ，q 讲，i ，j = 1 ，2 ，n 使得下面的在意一绍不 等式成立： 诋拖陋+ ；p 喇叫+ 扣丢吲妒1 圳4 l ，辑 o ，却 + ；r 萎n 洲鼢h ；1 矗蚤碱p 加钏 诋地弦+ ；丢泓叫+ 丢g 水扩咖h + ；只刭嗉h 吾删n 呐。k 。 诋舯。融+ ；驴略i + + 1 薹g 小。 + 扣挚啄一1 6 妄删刘 诋硒弦+ ；驴刮+ 聂鼬割 十；只p n 引+ 荨喜删 。 一d 4 0 i + g ； 0 成+ 善蚓j + 最驴划剁 一d i o i + g i 巩赜+ + 以 略| l + 最如l 啄i o 使得( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 、 ( 2 1 a ) 、( 2 1 4 ) 、( 2 1 5 ) 、( 2 1 6 ) 、( 2 1 7 ) 相对应的那组不等式 满足。推论成立。 在第一章的最后一节我们列出的结果多是适用于常系数系统。很显然， 系统( 1 3 ) 是常系数系统( 1 2 ) 的更一般形式。现在所得到的结论同样可以用 在系统( 12 ) 上面。系统( 1 2 ) 中的常系数可以看成是具有任意周期的周期函 数，那么相应的周期解 0 ) 也就是具有任意周期的函数，因此是常数平 衡点u = ，畦】t 。具体的，我们有以下结论： 推论2 3 宿f 砌( 。) ，( z ) g 馒9 ( z ) = ( g l ( 茹) ，- ，g n ( 。) ) 7 日1 g l ，g 。) ，( z ) = ( ( 。) ，厶( z ) ) ? 竭 f l ，f n ) 。并且存在绍考系萄缸s p 0 。昏 0 。o m8 m t ，j = 1 ，2 ，n 使得下面的任意 缦不等式成立： ( - d i + e 埯+ g t 卜+ ；副叫一十i 1 6 萎跏“神q 。，却 1 7 如缸 十；只萎引”产既q 叶扣蚤聃扩h q 列 ( 2 ) ( - d i + e 肼g t 陋+ ；1 驴铲9 专萎g 删“曲 + 扣蚤n 洲蛳矿球+ 和；n 骗p 蝴e 唧。 ( 2 搿) 1 6 ( - d i + e ) + g 卜a “+ ；妻；白i q i + + i 1 6 a j l n “l + ；噻洲一1 6 蚤n 陟q 。 ( 2 拶) ( - d i + e 胁g t b 。：+ ；1 a 。l i + 嘉g 小“i + ；只蚤n 洲e q 1 。6 喜黜唧。 仁拶， ( 一哦+ e ) 吼+ g ；o i 啦；+ 如i q ，1 1 + + 只妻如i i 。e ms o ( 2 1 5 ，) ，t o j = l ( 一画+ e ) o i + g l i 吼畦+ 嘭j 町t i l + f 岛b i e 啊o ( 2 1 6 ) o j l o j = x ( - d ：+ e ) o i + 口。口嘉鼠+ 毋l 。“j 岛+ 巳1 6 j e 毋0 ( 2 1 7 ”) j 弗j = l 那么动力系统1 2 ) 有难的硒期平衡点矿= 扣；，。v ：r 。并且，系 统一缈所赢勃自轧( t ) = 【u 1 ( t ) ，u n ( t ) 觥 j “t ( t ) 一嵋l = o ( e 1 ) ，i = 1 ，n 推论2 4 罐默白( z ) ，( $ ) ，游定g ( z ) = ( 9 l ( 窖) ，9 。( z ) ) 7 h l g l ，g 。) ，( z ) = ( ( $ ) ， ( z ) 严h 2 f t ，r ) 。并且存在一一组考系麴 p 0 ，艮，i ，j = 1 ，2 ，n 街得下面的任意瑚不 等式成立； 嘶硒b n “+ ；妒小吾p 删) _ 1 7 十；只喜洲卧垮1 善n 骗一唯加 。 z - ”) 也i + g i 陋+ ；池矿”i + ；6 钟扩h。 j t 。 1 j + p i f i j = l6 i 如t i 岛。+ ：6 j = lb f 6 “p 一h 。 诋襁p ；1 影训+ + 挺g j f + ：曩白吲+ ：6 乃酬 o j = i q 7 _ 1 诋+ 岛卜+ ；萎| + 扣萎鼬u i + ；只j = l 白l b t f 十；1 6 j = l 毋i 幻i 。 ( 2 ，1 2 ”) ( 2 1 3 ”) ( 2 1 4 ) 一d i 巩+ g t 吼。n + 要如1 t i + + 只姜巳| 如t i 。 ( zt s ) 一魂吼+ g 。j 哦。j + 岛i q ，l + 只n e l 如；f o( 2 1 6 ”，) o j o i = 1 一d l 吼+ 吼畦g ，+ o l n q i q + 0 1 6 u i 毋 o 德缛系统r j 缈所有序捞阮( t ) = 【u - ( t ) ，u 。( 纠满足 u d t ) 一 ? l = 0 ( e “) ，i = 1 ，n 为了验证我们得到的结论。这里给出一个直观的数值例子。在这个例 子里面，连接权是随时问周期变化的，激发函数是无界的。 牺1 考虑f 面的系统： i 吐1 ( ) = 一8 e 1 + 鲥“。 l ( ) + u 2 ( t ) c 0 8 + u 1 0 0 1 ) s i n t + u 2 ( t o 1 ) c o s t + s i l iu 2 ( t ) = 一7 e 1 + 。“u 2 ( t ) + u 1 0 ) s i n t + u 1 ( 一o 1 ) c o s t + u 2 ( t 一0 1 ) s i n t + c o ( 2 1 8 ) 列出系统量d 。a ，b ，i r g t 相直的值： d l ( t ) = 8 e 1 + 8 “2 ，d l = i n f d l ( t ) = 8 d 2 ( t ) = 7 e 1 + “，d 2 = i n f d l ( t ) = 7 ( u 1 ) = g l ( u 1 ) = u l ，五( 抛) = g a ( u 2 ) = u 2 月= f 2 = g 1 = g 2 = 1 j l ( t ) = s i n t ，厶( 幻= c o s t ，s u p 。1 l ( t ) a2 l 8 “p 0 2 l 婶j s u p c o s t ，o1 s u p o 2ito ( 2 1 9 ) b = ( 唧s u p b 。l ( t ) s u p b l 2 ( t ) ) = s u p s i n t = ) = ( ：) ( 22 0 ) 对于这个铡予保证全局指数稳定的充分条件是： 一( d l 一1 5 1 l i f 1 ) 8 l + i o 】1 g 1 8 l + 0 2 a 2 1 g 】j + 如1 幻l j f l = 一7 8 1 + 2 8 2 0 一( d 2 一i b a 2 i 如) 臼2 + i a 2 2 g 2 日2 + p 1 i n l 2 i g 2i + p 1 6 1 2 i r 这两个不等式对8 t 如是鸯解嚷( 3 馋虢煎说裁翻可以拽弱一组实 数使得验证条件褥弱潢足因此我钠断定这个系统罴指教稳定的。凰m 数 德模拟的结豢。 1 9 o np 吼 云 叩 8 ， l | 、 地 盟 0 0 p p u u 8 8 拿 一 f i g u r el ：系统( 2 1 8 ) 全局指数收敛到唯一一周期解 第三章不同稳定性条件的判定能力 比较 在上- 节我们证明了一个更般的、对系统条件有更少限制的全局指 数稳定性的充分条件( 2 1 ) 。 有这个充分条件我们可以得到一。系列推论。在这些摧论里面，一些在 已发表的期刊上作为作者的主要结论已经给出。 现在，一个很明显的问题已经出来了：我们通过主定理得到的这一系 列条件，或者说不同作者在不同文章里分别得到的各神结论之问除了我们 上章给出的逻辑推理上的关系外，他们在对稳定性的判断能力上有什么区 别昵? 他们的关系是我们看到的那么显然吗? 是否推论的判定能力就。定 弱于主定理昵? 他们是有一定的包容关系，还是相互之间不可替代的呢? 这些条件在使用的复杂程序上也有很大的区别，有一些条件是线性 的，我们很容易对适用的系统进行全局的精确的验证；而另外一些条件则 是复杂的非线性的。不容易得到好的使用方法。因此，我们对这些条件的 稳定性的判断能力的比较不仅是显然的也是有非常大的现实意义的。 第1 节符号介绍 让我们再回到上一章给出的结果。在上一章我们得到了的四组类似的 2 1 结果： i ( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 、( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 、( 2 1 5 ) 、( 2 1 6 ) 、( 2 1 7 ) i i ( 21 1 7 ) 、( 2 1 2 ，) 、( 2 1 3 ，) 、( 2 1 4 ，) 、( 2 1 5 ) 、( 2 1 6 ，) 、( 2 1 7 ) i i i ( 2 1 1 ”) 、( 21 2 ”) 、( 2 1 3 ”) 、( 21 4 ”) 、( 2 1 5 ”) 、( 2 1 6 ”) 、( 21 7 ) i v ( 21 1 w ) 、( 2 1 2 辨) 、( 2 1 3 删) 、( 2 1 4 ) 、( 2 1 5 卅) 、( 21 6 w ) 、( 21 7 卅) ，他们是不同的表达方式，或是在更具体系统上的不同表现形式，本质上 没有区别。因此，不失普遍性，这里拿第三组推论结果进行相互之间的比 较。即我们这里只比较：( 2 1 1 ”) 、( 21 2 ”) 、( 2 1 3 ”) 、( 2 1 4 ”) 、( 21 5 ”) 、 ( 21 6 “) 、( 21 7 ”) 之洲对稳定性判定能力的强弱。 这里条件( 2 1 1 ”) 即对应主定理中得到的( 2 1 ) 。其代表的全局指数 稳定性结论现在看来是我们得到的最一般的结论，姑且称之为l 。d 条 件。l 。8 条件它具有更多的可调节参数，而且简单看来每个可调节的参数 都在起作用。如果让这些参数取不同的特殊值我们得到的就是另外1 些 结论。因此我们期望条件( 21 1 ”) 在让我们付出更多计算代价的同时能带来 更强的判断稳定性的能力。 定 但结果是让我们非常失望的。为了更好的说明这个问题，作如卜- 约 1 ( 2 1 1 ”) 、( 2 1 2 “) 、( 21 3 ”) 、( 2 1 4 ”) 、( 2 1 5 ”) 、( 2 1 6 ”) 、( 2 1 矿) 对应的 局指数稳定性判定结论称为m 口条件、i 工”口i 条件、4 条件、i 岛i 条 件、条件、1 l - 1 条停、l l 。o j 条件 即： l 口条件( 2 1 1 ”) ： ( 谢媳幅卜+ ；丢叫+ + ；1 & 夏l l 咖 2 2 + ；e j = l 洲4 i j p e e r 3 1 _ _ 扣善即“1 岛k 矿q i l p 为书写上的方便，将本节的主要结果归结为如f 两个引理。 引埋3 1 馈定c l 0 ，g 0 ，j ； 0 ，c i j 0 ，如0 ，e i j 0 ，i ，j = 1 ，n - 如果赢堍 0 ，a 衄，p l ，q 1 ，i 1 + ；1 = 1 搠脚一 组不等式 嗡+ ( ；萎酽g 甜石1 萎c k q 针) + g 毋4 们白+ ：萎露啦加e 麟+ ) 剑 成立，郡么可以找蓟。组实数8 。 0l i = 1 ，呐使得f 蕊的一组不等 式成立 一q 巩+ g ；o c j 。 证明 m = m j ) + f i 毋由q ；0 m ：i = 一q + i 1 三c “( 1 - - a i j ) q g j + i 1e ；- o , s ) q e l j f j j 产o，产l i = l ，一n r n j = 搭c l j ”g 。+ ；礞。e 一只 i ， 那么，( 3 1 ) 可以写成m s0 。 由m 一阵的性质知道，一定存在”= ( q 一，) 7 ，哺 0i = 1 ，n 使得m r 目s0 成立 即 一( c t 一：要c ：1 j ) q g j - ；萎甾呐加粥) 讯 + ：( 豸护q 十学叼毋) 啦0 1 f 蕾i ( 3 3 ) ( 3 2 ) 成1 0 得使 l = 十 l p l q 1 p 岛 ” a0 6在 存果日 d ： 女立记 整理+ 下，得到 引聂( + 矽1 g ，) + 若( ：西咱加粥仇+ d 鲁i j p e l j 马啦) 。 ( 3 4 ) 由引理1 1 可以得到： ：砖1 神4 岛维+ ；1 c 9 g ，嘶勺g j 帮1 孵1 ( 3 5 ) 因此 ：d ：一如抽e 玎弓研+ ；学9 e d 弓如e 。弓w t 够2 , ( 3 - 6 ) 一q 哺十已霄1 谚1 + j i d 。e 巧。卉毋o i ：1 j 让：g = w ，( i = 1 ，n ) ，可以得到 飞6 + 白勺q +白如e ，乃 1 ，口 1 ，；1 + ；1 = 1 c - 0 ，g i 0 ，只 0 托j = 1 ，n ) 如果翩 0 “= 1 ，n ) 谚得 一q 氏+ 瓯毋锄+ e 乏二易由t 白ts 0 ，i = 1 ，- 一，竹 ( 3 7 ) j 牟j 硝 威立。那么可以拽至蛾 0 ，0 【：j ，使得下面的一组不等式成立 一嘶+ ；萎毋护g 南+ ；萎毒9 q 6 + ；萎毋9 只6 + ；笱- b ：j ) q e 1 2 ， 0 ( i = 1 ，n ) 使得( 37 ) 成立。由m 一阵的性 质，存在g 满足： 一q 6 + q 臼j g j + j q d , j e 玎毋0 ( 3 9 ) = 1 + l n l a o l ( 耐) 慨划 则( 3 5 ) ，( 3 6 ) 等号成立。因此，我们有： 嘲t + 萎( 妒珈+ q 啦) + 要( 弦引q e 泓十汐鹕协) = 一岛仇+ g j 霄1 谚1 + 幻e ，毋蠢哥 j 1 j q 渊g s s ，+ 善编毋如) 。 j 1j t 7 g p m 7 ”0 再次使用m 一阵的性质，存在f = k 一，靠】7 0 满足m fs0 。b 1 1 ( 3 8 ) 成立。 证明完毕。 ( 3 8 ) 、 一唧 。啊 ，、 ： n 煅 n 1 一p ， i i t l o | | 口 | | 吼 让 ， ；孵 简单的做一些估计和替换，我们可以得到以下想要的结果： 芷埋3 - 1 【l l l l 泶仟2 l p 口口j 兼1 年) 橱p - l b , i 同时，在引理3 1 ，作如下替换 q = 函一e g i b h l 一最i k i ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) = i o 玎i ，d i j = i b ，= e q ( 3 1 3 ) 定理即可得证。 定理3 2 ( 1 l 1 i 条件l l 脚l 条件) 嫂息p 0 巩 0 t = 1 ，2 ，n 德m l i 条件2 1 6 f ) ( - d i + e ) + g 。卜畦+ 帅刘1 + 只妻吼胪i ，- o 艘立 则可以找至峨 0q t i ，8 q ，t ，j = 1 1 2 ，札使搠l p e 条件( 2 1 秽) ( - d i + 胁g t 陋+ ；舻p + 扣萎铀“h 幽 + ；只蚤n 洲& j p e e r j i + 百1 嘻矾r 柏加扩删 威市 证明 同定理3 1 证明类似。使用引理3 2 及( 3 h ) ，( 3 1 2 ) ，( 3 ，1 3 ) ，定理 即可得证。 定理3 3 ( f l l i 条件 l l ，l 条件) 融芦 0 ，巩 0 ，i = 1 ，2 ，n ，使得i l l i 奈佯p ， ( 一血+ e ) 吼+ g i0 1 。嘉+ o i 町t i + 最岛j “i e 。o 媾定。 但这不能保证能拽至蜒i 0 , c l i j ，p i j t ，j = 1 ，2 ，n 。使褥l p l 条件( e 1 矿) t 嘶洮硒b n ：+ ；若洲 + 1 暑i 得勤满足， 证明 + ；只；n 洲一_ 1 嘻黜。 由引理3 2 证明中的( 3 9 ) ，( 3 1 0 ) 已经可以看到这一点。对此定理 的严格证明只需要一个反例。这个例子在本节的最后将给出。 结合定理3 1 、定理3 2 可以得到： i l l i 条件= l l 衄口i 条件。 结合定理3 1 、定理3 3 则可以得到： i l ，i 条件 l l p l 条件。 另外，我们还可以得到f 面 的结论。 工l i 条件= l 。条件 定理3 4 ( i l l i 条件= l 。条件) 艄p 0 ，e t 0 i = 1 ，2 ，n 使得l t 条件( 2 。l ) ( 一吐+ e ) 巩+ g f 巩。：+ 白圳+ 只驯一1 曼0 。 j 。 j = l 满足 鼬可以找勤另并。组正实数e 0 哦