（应用数学专业论文）退化斜微商问题的估计.pdf

d i s s e r t a t i o nf o r m a s t e rd e g r e e ，2 0 1 1 c o l l e g ec o d e ：1 0 2 6 9 e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y s o l u t i o ne s t i m a t e sf o rt h ed e g e n e r a t eo b l i q u e d e r i v a t i v eproblemsl9erlvatlver ob l e m s m a t h e m a t i c s m a j o r ： a p p l i e dm a t h e m a t i c s s u b j e c t ：p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s u p e r v i s o r ：p r o f x i n g b i n pangt)ma n n a m e ： p e n gz h a n g m a r c h3 0 ，2 0 1 1 学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文退化斜微商问题解的估计 ，是在华东师范大学攻读硕士 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：蛰! ! 咚日期：堡! ! ：苎：兰i 学位论文授权使用声明 退化斜微商问题解的估计 系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师指导下完成的硕 士学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所有本人同意华东师范大学根据相关规定保留 和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和。知网”送交学位论文的 印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学 位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出 版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的。内部”或。涉密一学位论文，于年月 日解 学位论文作者签名：张乌 导师签名： 幸“涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学 位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文膏涉密”审批表 方为有效) ，未经上述 部门审定的学位论文均为公开学位论文此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用上述授 权) 张鹏硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 车丹耳应梭啤乐，怖曳次蕈 主席 侧自 0 ，解都可以从边界项得到1 一e 阶导数的提升这一部分我们用到的主要工具是拟微分算子 的理论，我们要对一些拟微分算子进行很细致的讨论第二部分研究含有奇摄动椭圆方程的退化 斜微商问题，希望通过对这种方程的解的估计，了解退化方程退化斜微商问题这部分是我和陈隽 合作的内容这个奇摄动方程是一致椭圆的，但是其椭圆常数依赖于小参数巴我们估计了解的二 阶导数，得到了这些估计中的常数对的依赖性 关键词：椭圆型偏微分方程，斜微商问题，边界退化，退化椭圆型方程，拟微分算子，解的估 计 a b s t r ，a c t i nt h i sn o t e ，w ec o n s i d e rt h ed e g e n e r a t eo b l i q u ed e r i v a t i v ep r o b l e m t 如n o t ec o v e r s t h ef o l l o w i n gt w ot o p i c s ：o n ei sa b o u tt h ee l l i p t i cg a i no fd e r i v a t i v e sf r o mt h eb o u n d a r y t e r mo ft h eo b f i q u ed e r i v a t i v ep r o b l e mw i t hd e g e n e r a t eb o u n d a r y w ep r o v i d ea ne s t i m a t e o ft h es o l u t i o n u n d e rt h ec o n d i t i o n sg i v e n ，t h es o l u t i o nc a ng e t1 一d e r i v a t i v e sf r o mt h e b o u n d a r yf o ra l l 0 弛m a i n t o o lw eu s ei st h et h e o r yo fp s e u d o - d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r t h e o t h e ro n ei sa b o u td e g e n e r a t eo b l i q u ed e r i v a t i v ep r o b l e mc o n t a i n ss m g u l a rp e r t u r b a t i o nt e r m i nf u n c t i o n w ew a n tt os t u d yt h eo b l i q u ed e r i v a t i v ep r o b l e mw i t hd e g e n e r a t ee q u a t i o na n d b o u n d a r yb ys t u d y i n gt h es o l u t i o ne s t i m a t eo fo u rp r o b l e m i h i sp r o b l e mi su n i f o r m l ye l l i p t i c s i n g u kp e r t u r b a t i o nf u n c t i o na n dt h ee l l i p t i cc o n s t a n td e p e n d so nt h es m a j lp a r a m e t e rs w ep r o v i d ea l le s t i m a t eo ft h es e c o n dd e r i v a t i v e sa n dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ec o n s t a n t a n dt h ep a r a m e t e r k e yw o r d s ：e l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，o b l i q u ed e r i v a t i v ep r o b l e m ， d e g e n e r a t eb o u n d a r yc o n d i t i o n ，d e g e n e r a t ef u n c t i o n ，p s e u d o - d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r ，e s t i - m a t eo fs o l u t i o n s 中文摘要 英文摘要 目录 i n 第一章引言1 第二章预备知识2 2 1 符号说明2 2 2 f o u r i e r 变换与逆变换的定义和性质2 2 3 拟微分算子理论3 2 4 迹定理，砖条件以及一些重要的不等式4 2 5 内插不等式5 第三章边界退化的斜徽商问题解的估计8 第四章奇摄动方程的退化斜微商问题解的估计2 0 参：考文献3 0 j 舌记3 1 华东师范大学硕士论文退化的斜微商问题解的估计 第一章引言弟一旱ji 吾 墨 阻1 ， 1 华东师范大学硕士论文 退化的斜微商问题解的估计 2 1符号说明 第二章预备知识 本文用到的一些符号 1 ：维数为n 的e u c l i d e a n 空间，如果z = ( 2 ：1 ，z n ) ，y = ( 讥，鲰) r n ，有内 ，t 积z - 可= 黾欢且有内积导出的范数i i - = i = 1 2 d a ：q = q 1 ，) 即是一个复指标，若，：舻一舯，则俨，= 蕊， 其中i q i = q l + + 3 仃( ) ：若a 是一个拟微分算子，则盯( a ) 是a 的象征( 象征的定义见预备知识) 4 w 七 p ( q ) ：所有在q 上局部可积的函数u ：q r 构成的集合，且对每一个复指标 q ，七，d a u 在弱导数意义下存在且属于妒( q ) 当1 p o o 时，在七巾( q ) 上有范数， 舭，( 哟一f n l d d 让i p 血) ；la l k 5 矿( q ) = w k , 2 ( q ) 6 d r 如：若，：舻- - = - - 4 r n ，o r # 嘘l 是指，中z 的最高次数 2 2f o u r i e r 变换与逆变换的定义和性质 若函数f l 1 ( 舯) ，定义它的f o u r i e r 变换为 ，( f ) = e 一，( z ) c b ， j i 矗 f o u r i 凹逆变换为 m ) = 赤上。水m ) 鹰 今后，( f ) 都表示函数，扛) 的f o u r i e r 变换 下面是f o u r i e r 变换的一些性质： ( 1 ) 线性性： ( 口，+ 幻) = a f + 增； ( 2 ) 卷积的性质： ( f 木9 ) = f o ； 2 华东师范大学硕士论文退化的斜微商问题解的估计 c 3 ) 【r i e m a n n - l e b e s g u e ) i 投玳) = o ； ( 4 ) i f i l l i i 川1 ，是连续的； ( 5 ) 5 ( 差一白爪) ； ( 6 ) ( 一t 匆肛髻； ( 7 ) 如果夕( z ) = a n ，( a 一1 z ) ，贝9 鸯( ) ：，( ) ； 2 3 拟微分算子理论 定义2 1 对于给定的满足条件0 6 p 1 的实数p ，6 以及实数m ，若函数a ( x ，f ) 俨( 嘤x 鼍) ，且对任意重指标q ，p ，成立 i 磋n ( z ，f ) i c 乙( 1 + l 引) m p i a i + 6 例， 其中q ，卢是常数，则称n 蹄 本文用到了空间 定义2 2 若函数口( 。，f ) ，则可以定义s ( p ) 一s ( 舻) 的线性连续映射a 为 胤( z ) = 两1 弘( 玳) 绯) ， 其中s 为速降函数空间我们称a 为拟微分算子似仇类拟微分算子) ，并记a 为n ( z ，d ) 称 口( z ，f ) 为a 的象征，记为盯( 4 ) 或 定义2 3 设吩( z ，p ) 辨( 嘤哕) ，叻单调下降趋于一0 0 ，若口( z ，p ) 对于任意的k 成立 口一吩伊， j 七 则称口( z ，口) 具有渐近展开式墨1 叼( 口，口) ，并记作口一凳l 吩 3 华东师范大学硕士论文退化的斜微商问题解的估计 定理2 1 ( 拟微分算子的复合) 拟微分算子a = a ( x ，d ) ，b = b ( x ，d ) 的复合bo a 也是拟微 分算子，且它的象征有渐近展开 叼a 一刍笔叼( z ，f ) 霹( z ，f ) 定义2 4 若a 为妒m ( q ) 拟微分算子，如果a 的象征仃( a ) ( z ，f ) 满足下面的条件，对任一紧 集kcq ，有常数瓯与j 5 c ，使得 1 盯( a ) ( z ，f ) i g ( 1 + i i ) 仇，z kl f i r 成立，则称a 为椭圆型拟微分算子 我们会用到下面两个定理，可以参看【1 4 】 定理2 2 若仃( 口扛，d ) ) 蹄，0 6 p 1 ，m ，s 取，则a ( x ，d ) ：h 。( p ) 一日卜m ( 舯) ， 即口( z ，d ) 是h 8 ( p ) 到三p m ( r n ) 的有界算子 定理2 3 如果a ( x ，f ) 咒，0 6 0 ，1 p 0 ，r 一 0 矿，使得对z r ，i x 一暑，i 7 有 口( f ( z ，r 一) ) 0 ，口( f ( z ，j 矿) ) 0 并且下面两个不等式成立： 莉r 啊坳r c 南加啪出 其中o q p 7 胪，且譬口( 亏( z ，q ) d t = 层口( 彳( z ，t ) ) m ； 高j f al a ( q ( z , t ) ) l ，r c 击肌你凇 其中冗一 q p 7 o ，且j ：i 口( 彳( z ，t ) ) l d t = j 了i 口( 彳( z ，t ) ) l d t 广义h 6 l d e r 不等式( 参见【5 】) 如果乃【1 ，) ，暑丐1 = 1 ，则有下面的不等式成立 l ，i u l i 血o u l o 伽( 岬o t ，l o 伽( m ) j m 1。、。 当m = 2 时，就是通常我们用的h s l d e r 不等式 m i n k o w s l d 积分不等式( 参见【3 】) 给定两个可测空间分别为( x ，p ) ，( kl ，) ，且它们是t y 一有限可测的则有下面的不等式成 立 ( 上i 上，c z 川血c 们i p 毗c z ，) ；上( 上似z i p 蛳c z ，) ；血c 订 2 5 内插不等式 设b 1 和场分别是带有范数1 1 0 b 。和i i i i b , 的两个b 础空间，x 是一个拓扑向量空 间，岛和岛连续嵌入其中，玩和b 2 的向量和为 赋以范数 岛+ 场= 6 1 + 6 2 x ：, 1 b 1 ，1 , 2 岛 工；b 1 + b 2 0 = 讥f ( 1 1 6 l l l 曰。+ 0 6 2 0 岛i 玩鼠，6 1 + 6 2 = u ) 5 华东师范大学硕士论文退化的斜微商问题解的估计 是b m 卫l c h 空同 令1 p 0 0 ，对每一个实数t ，令表示定义在【0 ，) 的实值函数t c t ) = 矿，0 t 用( p ，t ，；b 1 ，b 2 ) ( 当不致引起混淆时用w ) 表示从【0 ，) 到b l + b 2 内的满足条件 t f 汐( o ，o o ；b 1 ) 且矿，驴( o ，o o ；b 2 ) 的可测函数f ( 的等价类) 的空间，表示f 的广义导数空问w 赋以范数 0f1 1 w = l i ，；w 0 , ， ；b 1 ，场) l i = m 驭( 0t f ；y ( 0 ，o o ；b 1 ) 矿f l ；口( o ，o o ；b 2 ) l i ) 是b a t m c h 空间 引理2 1 设f w ，则存在b b 1 + 玩在( 0 ，) a e 满足 m ) _ 6 + r ，( 丁) 缸 因此f 几乎处处等于一个从( 0 ，) 到研+ 励内的连续函数 引理2 2 假设( 1 p ) + 口 1 ，则 m + r 加) 缸 式右端当t _ o + 时在马+ 玩中收敛其极限就定义为，在t = 0 的迹，( o ) 给定实数p 和 ，1 p o o ，口= ( 1 p ) + u 1 ，我们用t ( p ，v ；b z ，岛) ( 或简单地用t ) 表 示w = 0 ，t ，；b 1 ，岛) 中的函数的迹f ( o ) 所组成的空间，它称为w 的迹空间，t 赋以范数 i i l i t 2 州i n f ( o ) i i 川w u = 儿u j , f e w 定理2 4 假设毋n 岛在玩和岛中稠密，设直，扇和j 是与上面历，岛和x 有同样性质的 三个空间设l 是定义在b 1n b 2 ，取值在百1n 岛的线性算子，又设对于任意的u b 1n b 2 有 i i l v l l a l 所l l v l i b 。， i i c l l a , 鲍i 岛， 则l 具有唯一的到b 1 和岛( 从而到历+ 岛) 分别满足上面两个不等式的连续延拓( 仍然记 为l ) ，满足 0 三牡0 直n 反m 强( 所，鲍) 0 t 0 日。n 焉 6 华东师范大学硕士论文退化的斜微商问题解的估计 若0 日= ( 1 p ) + l ， 1 ，则对任意的u t = t 0 ，正，；b 1 ，b 2 ) 我们有l u 于= t o , ，| ，；雪l ，岛) 且 i i 眈峙磷- 0 研i i i i t 口 令空间b 1 = w 1 p ( q ) ，b 2 = x = 妒( q ) ，对0 口 1 令 ，沪( q ) = t o ，l ，；w 1 巾( q ) ，妒( q ) ) ， 其中l ，+ ( i p ) = 口，i p _ w = w ( p ，z ，；w 1 p ( q ) ，妒( q ) ) ，定义u 在p 舻( q ) 中的范数 ”嵋咖川i 。孽) 一“z 叫陟。川片棚鳓m “o 洲陟x 句”p 嗡珈 设s 0 任意，若s = m 是一个整数，我们定义v p p ( q ) = m p ( q ) 若s 不是一个整 数，记s = 仇+ 盯，m 是一个整数，0 盯 1 在这种情形，我们定义空间w 。p ( q ) 由所有这样 的函数u w 吼护( q ) 所组成，其广义导数俨u ( 任意= m ) 属于t 1 一口p ( q ) 则w 。p ( q ) 赋 以范数 i l u i j 。p ，n = 0 札o ：p ，f l + 0 d a u ；t 1 一口护( q ) i i p 1 加 i 1 - - - m 是b a n a c h 空间 对0 口 1 ，1 p ，令尹巾( q ) 表示这样的函数u 的空间，对于它，范数 ；忆；尹妒( q ) i i = l l 仳幅, p , f l - j r 上上苦竺辨出由 1 p 有限，+ ( 1 p ) = 口一， 引理2 3 空间尹护( r n ) 同b a n a c h 空间p p ( p ) 重合，两个空间的范数等价 插值性质和插值不等式假设r ，巩，r 8 是实数，0 0 ，t 0 ， = 0 ，t = 0 ， c l l 中，三是一个椭圆算子，让在锥c l 中可以从h 得到一阶导数的提升，在锥c 2 = h 0 ，c d 只依赖于d ，使得对于所有 次数小于等于d 的单变量多项式g ，和所有的实数t ，r ，下面的不等式成立： i 矿( t ) i i t t ，i j + 1 c - di z r l 夕( s ) i 幽l ，j = 。，1 ，d 推论3 1 在引理3 3 的条件下，我们有 l 踊驯小卅1 q 咖i 幽1 证明：不妨设在t o i t , 明处，l 矿( 口) l 取得i t , 明上的最大值，且i t o 一纠；i e t 1 此时， l 踊裥卜i 一矿j 升1 = i f ( t o ) l l t t l 舟1 2 d + 1i 矿( 幻) i i t o t l j + 1 q 厂i 幽 q 厂叭s ) f 加 i j l 理3 2 的证明：本引理的证明想法是将f 进行泰勒展开，并由引理3 3 得到证明将f c t ) 在 i 中任意一点8 处泰勒展开，我们有 ，( t ) = ，( s ) + 厂( s ) 。一s ) + + 竺二专学+ 掣 华东师范大学硕士论文退化的斜微商问题解的估计 p ( t ) = ，( s ) 一5 ) + + f ( k - 1 可) ( f 8 ) = ( i ；可- - 厂8 ) k - - 1 ， r ( t ) = f ( k ) ( o ) r ( t - 一s ) k 对多项式p ( t ) 应用推论3 1 ( 取夕= p , j = 1 ) ，有以下估计 蹦即m 絮掣c k m a 酌p e l t , , , 艺i i p ( o ) i 下面我们选取包含8 的小区间s 使得 s c j 且吲= m m i s l ，6 ) ， 6 ：竺竺! ! 垒型地! ) 二魁皇 m s , x t e ii ，( 七) ( t ) i 三 利用( t ) 我们就有 f c s ) 叫躯q 芈 q 塑幽坚糌蛐 q ( 些掣+ 些酱幽) 若i 艿则蚓= i s l ，有由i s l k 一1 0 ，使得 i 晰f t t , b 一( o 盯) d o 、e ， 其中s f ，t 】，矿【0 ，司 1 3 华东师范大学硕士论文 证明 退化的斜微商问题解的估计 结论见【6 】，但【6 】中没有给出证明，这里给出引理的详细证明 ：设 则b ( t ，0 ) 是6 ( t ) 的原函数， 用( t ) 我们有 以s 胚踊i 掣i q 鬻删坩一圣蹦扩湃) 因为b ( o ) 俨，所以在矽，t 】上我们有 l b ( k - z ) ( 钏鲰鬻鲰 由此，我们得到 瞅s 胚c 功( 鬻) 1 。v 七 现在取七充分大，并使得壬 ，则有 州m 以a x 泸i ( s ) 1 - c 6 ) ( 篱) 1 - - e ( 篱) 卜 姗6 ) ( 篱) 1 。芒 引理得到证明口 下面我们来估计象征e - - 髟b ( 一) 珊和b ( t ) l f l e 一口咿) d o 引理3 5 对于任意的非负整数8 1 ，占2 实数( o ，t ) ，1 我们有 矽，司，应 i 霹1 蟹罐( 6 ( 钏i 瑚) i g 。加从1 + 蚓) 。l + 却一例( f 6 ( 钏f l 瑚) + 1 ) ， i 霹1 肇笔e 咄i d 咿棚| 1 时，不等式是显然的，因此只需要讨论s 1 + s 2 + 1 ，即 8 1 = 8 2 = 0 的情形通过直接的计算，利用条件蚓1 ，我们有 l 笔6 ( ) 腓咄i 口即) 棚f = 陋) 笔排喇口6 ( 咖i l 。 i 眇) 笔1 阶节e 圳id6 叫 i 圳+ 性l 印 i i 2 p 川蒹卅1 ) 1 - i 剐( 1 圳一| 剐( 蚓t b ( o ) d 旧- i - 1 ) e - 吲加棚| i 胁i + 快i 邛 i 由引理3 4 ，我们就得到 i 笔6 ( ) 蚓e - - 蚓d 咿) 棚j 鲰6 ) ( 哗半) 1 。e ( 1 叫唯l 知肌1 ) e 州脚瑚 c ，6 ) i t t i l l 一c ( 1 + i f i ) 一i 纠 上式第二个不等式是因为 ( 蚓厂础) 瑚) 2 一e - l 引脚) 棚c v ( 0 这样就完成了( 3 ) 式的证明引理得证r l 引理3 6 n 在妒( r m 扛) ( o ，c ) ) 上是有界的 证明：设”( z ，t ) 妒( r m p ) x ( o ，c ) ) 虽然n 依赖于参数矿，t ，但是盯( ) 霹三，n 是从 驴( r m 扛) ) _ 驴( r - ( z ) ) 的有界算子，且与参数t ，t ，无关记 1 ( 矿，t ，d ) v ( z ，t ) = ( 2 7 r ) 一mf e 缸e 一蚓口b ( 一徊台( f ，) 必 ，r “( 1 5 华东师范大学硕士论文退化的斜微商问题解的估计 则我们碉 ，c， ! i ( t ，) ( z ，t ) l p 如出 d o ，r m ( 霉) = r l ir ( 啪川印恤，| p 蛐 r 上唯，ir ( ( 加，仇m ( 印l p 副( z 。1 彬) 号出出 c o c o i i 扛，) o p 旷惮。叫，t 多出7 出 硎t ，( z ，e ) l l p c r - ( = ) ( o ，c ) ) 口 引理3 7 k 是从v 酽i p ( p ( z ) c o ，c ) ) 一汐( p ( z ) ( 0 ，c ) ) 的有界算子 证明：k 带有参数t ，矿，且k 是从w 6 p ( r m ( z ) ) - + 妒( p ( z ) ) 的有界算子，算子的范数与 t ，r 有关设t ，( z ，t ) 酽p ( p 扛) ( o ，c ) ) 记 k ( e ，t ，d x ) v ( x ，t ) = ( 2 r ) 一mfd 妇( t ，) 蚓e 一蚓口酞一) 棚。馐，) 必， ，r ”化) 我们有 i k ( v ) l p d x d t j o ，l 咿( 葫 7 0l 。而( r 俐 帅 圳彬) p 如出 z c l r ( 南) 弓( 南) 趾川巾 圳出， p 如出 r 上。功r ( f 高再) 弓p ( 加，见m 叫】p 彬( r 乒高再d t 7 ) 乡出出 s c f ol ( 苦杀) 押i i u 俐瑚讹 ，c c i l t , ( t ) l l w t ，渺缸) ) 出 d o _ 1 y 。 叫) 2 弘| 1 2 1 删 由盯( k ) 的估计我们可得盯( k 7 ) 的估计，对r ( t o ，t ) ，蚓1 我们有 露1 蟹霹笔盯( ) g 。幻叩陆一t ，l 一1 + ( 1 + 。，+ 。2 + 掣一例托+ ； 由此我们可知k 妒是一个从w e 一 p ( p ( o ，c ) ) 到w 一巾的有界算子 由引理3 6 ，3 7 以及上面的讨论，我们有下面的估计： i i p 0 备一- 扫0 r - 一t ) c 2 l i g 0 备一，。+ 。( 1 卜一，) ( 3 7 ) 定理3 1 的证明 证明： 现在回到我们的问题，由( 3 4 ) 以及( 幸宰) 知 p ( x l ，一1 ) = q 0 1 g + k ( 骺1 g ) + ( b 回 u ( z ) = ( 2 丌) 一协一1 f e i 1 王“卢( ) 世 ，r “q 健) 华东师范大学硕士论文退化的斜微商问题解的估计 忆( 刮i 之。畔) = 上：m 圳2 血 = 厂l ) ( 南l 。舡似。甸2 8 ， = 厂厶e 刊舡悯世血n 一 岛厶- l ( 。南卢2 ( f ) 上面第三个等式是应用i l f l l 护c r - 一- ) ) = i i v 1 1 驴c m , - 一t 馐) ) 于，( f ) = e - i l z n 乒( f ) ，其中为参数 由定理中条件( 3 3 ) ，( 3 7 ) 知： 上。一，( ) 高口2 ( f ) 世i l p i i 刍一墨a i 。一- ) ( 3 9 ) 刚g 咯h p 一。) - 由( 3 8 ) ，( 3 9 ) 以及迹定理我们得到解的估计 i i l l u - 一c ( r 芊) c l i g i i h k ( r ；) 其中c 与化，r ，c o ，q i l ， b ，k ) 有关口 1 9 华东师范大学硕士论文退化的斜微商问题解的估计 第四章奇摄动方程的退化斜微商问题解的估计 目前我们见到的研究斜微商问题的文献中，方程都是非退化的在应用问题中，需要研究 退化方程的退化斜微商问题这一部分我们研究一类奇摄动椭圆型方程的退化斜微商问题， 其椭圆常数依赖于小参数，当e = 0 时，该方程是退化的我们希望通过对这个问题的解的 研究以了解退化的方程退化的斜微商问题的解的性质这部分是和陈隽合作的工作 下面我们对奇摄动方程的退化斜微商问题进行一些讨论这部分我们研究的问题如下： 其中 a ：r 1 l ，( z ，t ，- ) 有紧支集，s u p p cq ，l 2 ， u t 2 p o ) ， r = o ) ， ( 4 1 ) r = t = o ) ， l ， 定理4 1 对于问题4 1 ，当口( t ) 满足带条件，且解u 的迹p 满足条件 上州( 。南p 2 ( f ) 必i 巴一j 渺+ 1 ) ， 我们有下面的估计成立： i 1 0 2 = ，u ( z ，t ，r ) l l l 。( r ，) c 协，p ) e 一1 i i ( = ，t ，) i i 弘( 哆z ) ， l i d 2 。u ( z ，t ，r ) 0 伊( r ，) c ( n ，p ) l l ( = ，t ，r ) i l p c r y + ，) ，2 i n + 2 原方程为 也。z 。u + ( 1 + e ) 如。2 ，u + + ( 1 + ) 如。王。u + ( 1 + ) 如。巍u + ( 1 + ) 如，“u = ，i np o ) ( 丞) 取v ( z ，t ，r ) = 最“( z ，t ，r ) ，其中e 表示关于算子也。王，+ ( 1 + ) 晚。勘+ + ( 1 + ) 如。+ ( 1 + ) 如。氟+ ( 1 + ) a k 的e t d n 位势，凡= ，x ( r o ) ，记u 1 ( z ，t ，- ) = u 一口则有 絮扛毛 u u 乳缸l 、j 口印姐乩 订 幻眙引。吡扛毛 幽r k 似 华东师范大学硕士论文退化的斜微商问题解的估计 id i v ( e i + a ) v u l ( z ，t ，) = 0 ， l ；1 1 ( z ，t ，- ) = 侥u 1 ，t ，7 ) 一口o ) 屏u 1 扛，t ，) = 一而扛，t ，r ) ， lu l ( x ，t ，f ) = - v ( x ，t ，7 ) ， 方程为： p o ) ， p = o ) ， p = t = o ) ， 哦，。，u l + ( 1 + ) 以。z 。l g l + + ( 1 + e ) 如。如似1 + ( 1 + ) 2 。u l + ( 1 + ) a 0 ，蓦r 让l 对前礼+ 1 个变量作f o m 5 e r 变换， 一卜鲁+ c 1 + e ，c 鲁 = 2 要求解u l 在r _ 时趋于0 ，故 1 + 户) i j = 0 ，p o ) ， 砬1 ( f ，l r ) + ( 14 - e ) a 砬1 ( f ，一，) = 0 ， 比如) ：厶+ 1 e 似酃- r = ae ( 一t i v q 酉i d ) u ( z ，t ) 同理，由v ( z ，t ，f - ) = e ，+ ( z ，t ，r ) 在 r ( 彘酲+ 量等) ；) 中，l 是椭圆算子，可应用标准的椭圆理论 在锥矿= h ( 雨e 1 2 + 妻g ) 中，三不是椭圆算子，我们要选取函数口1 ( t ) = b ( a c t ) ) ，l 1 = 袅+ a l c t ) 倜，其中 使得： ：2 西荀如- - + 巩。劫+ + 如。互。， 盟：! 型圭坐叫 一口r c l l ) i 却蓊2i “一1 只要取6 ( ) 使得昂等在( o ，o ) 某领域内俨 故将 下= 西瑚( 熹聍+ 三尊诤 2 2 华东师范大学硕士论文退化的斜微商问题解的估计 代入 因此 = 0 b c a ) = 当v f f + a 2 垒。1 ( t ) 同理，我们需要考虑q = 一爰a - 口1 ( t ) 匹可 ，三1 p 扛，t ) ：三i l ，o ，) 全危扛，t ) ，( z ，t ) r 1 ) 【p ( z ，o ) = 一l ，( z ，o ) 。 ：篓：哆心归讯 p ( 毒，亡) ：e 一启口1 南器+ 量露硼一痧( 己o ) + 厂元( f ，t ，) e 石口1 彘船+ 壹管硼d 胡 o ，0 j p ，t ) ：上。 r e 一 彘日+ 妻露j = ：t a l ( 0 ) d o 九( 耐一e 一素针壹霹f ：a l ( 0 ) d o 多( 0 ) 世 = k h ( x ，t ) 一b ( 1 ，l p ) ( z ，t ) = k l ；y ( x ，t ) 一b ( v a n ) ( z ，t ) ， 其中 b ( 哳i ) ( z ，t ) ： 水e 一忙针邑器肭伽痧( 越 华东师范大学硕士论文 退化的斜微商问题解的估计 k l ：v ( z ，t ) ：上。，厩胁气心啪嘶 ：上。水睁厩脚) 硼怫怕 = 叫叫印m 一厨f ：a , ( 0 ) d o 比栅小 e 一厨z 2 2 胁球叫鸳 = 一l ，b ，t ) + b ( v i r 。) 扛，t ) + 2 k ( 口1 倜) 王，扛，t ) 其中 酢倜) 巾 t ) = 厶e 域r 。( ) 于是我们得到 k e ) d e d f e 一厣z2 函2 胁硼昧t ，越 p ( z ，t ) = 一( z ，t ) + 2 k ( a 1 圻硒) l ，( z ，t ) ( 丰) 引理4 1 当d 1 满足砖条件时，k ( 口l 倜) 是w 8 p ( 舻+ 1 ) 到w 。p ( 俨+ 1 ) 有界算子，且算 子的范数与e 无关 证明：令，7 l = 再，7 i i = 矗， 2 i n ，记i v l ：( 妻骨) ；，则： i = 1 k ( a 1 圻硒) z ，( z ，t ) = 上。水厢柄一抿) 伽圳小柏咖嘲庠