（应用数学专业论文）在离散时间和具有成比例交易成本下的期权的对冲.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 本文主要考虑在离散时间和具有成比例交易成本的金融市场中期权的最 优对冲策略问题。在具有交易成本时，超复制策略可能优于复制策略。本文主 要应用辅助鞅，获得美式和欧式期权的超复制成本的下界，并且证明当交易成 本足够小时，超复制成本等于复制成本，复制成为最优的对冲策略，此时应用 辅助鞅，将复制成本表示为与不考虑交易成本时相类似的一个期望的形式。 另外在c r r 模型中，获得了一些特殊的结果。 主要结果如下： 欧式期权g 的具有初始持有口。的超复制成本满足： 删- 】) _ s u p eqp)epf l 等坐1( 0 ， 1o j 在假设31 下，对任意可达的欧式未定权益c 。，其复制成本与超 复制成本相等且町表示为 邶) 趔吖坐墨坐 复制策略唯一且为最优的对冲策略。 美式期权厂的具有初始持有目一，的超复制成本满足 亓( ，p 一) _ ) 。，。，s ；u p p ，。，e q l ! ! ( 二1 ：! ：丛；5 二_ 1 _ ：坐( 0 ，p ) p ，r ， 1 。 j 在假设3 1 下，任何町达的美式期权，的复制成本与超复制成本相等且 可表示为 州，“垆盟型掣li r j l 1 j 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 复制策略为最优的对冲策略。 在c r r 模型中，所有的期权都是可达的 关键词：交易成本；鞅；超复制；复制 自融资策略 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t i nt h ep a p e r ，u s i n ga u x i l i a r ym a r t i n g a l e s ，w eo b t a i nt h el o w e rb o u n df o r s u p e r - r e p l i c a t i o nc o s to fa m e r i c a na n de u r o p e a no p t i o ni nad i s c r e t et i m e 是一 n a n c i a lm a r k e tw i t hp r o p o r t i o n a lt r a n s a c t i o nc o s t s u n d e rs u f f i c i e n t l ys m a l l t r a n s a c t i o nc o s t s ，s u p e r - r e p l i c a t i o nc o s ti se q u a lt or e p l i c a t i o nc o s ta n dr e p l i c a t i n gs t r a t e g yi so p t i m a lh e d g i n gs t r a t e g y s i m i l a rt on o c o s t w ed e n o t er e p l i c a t i o nc o s tw i t he x p e c t a t i o n i nt h ec r rm o d e l ，s o m es p e c i a lr e s u l t sa r e o b t a i n e d t h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s t h e s u p e r r e p l i c a t i o nc o s to f t h ee u r o p e a no p t i o nc g i v e nt h ei n i t i a lh o l d - i n g0 1 s a t i s f i e s 责( g ，口一，) _ ，。s u 。，p ；，e 。f 受兰= 生旦1 9 ；半 ( 印，计pl 1 0 u n d e ra s s u m p t i o n3 1 ，f o ra n ya t t a i n a b l ee u r o p e a no p t i o n ，r e p l i c a t i o n c o s ti se q u a lt os u p e r - r e p l i c a t i o nc o s t ，t h er e p l i c a t i o nc o s to fc c 妒w i t h i n i t i a lh o l d i n g0 _ 1i sg i v e nb y 删 1 ) = e q c 堕学 r e p l i c a t i n gs t r a t e g yi su n i q u ea n do p t i m a lh e d g i n gs t r a t e g y t h e s u p e r - r e p l i c a t i o n c o s to ft h ea m e r i c a no p t i o nfg i v e nt h ei n i t i a lh o l d i n g0 - 1s a t i s f i e s 椰，)攀俨f盟型学red ( 0 ，p ) 户，l 1l 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s u n d e ra s s u m p t i o n3 1 ，f o ra n ya t t a i n a b l ea m e r i c a no p t i o n ，r e p l i c a t i o n c o s ti s e q u a lt os u p e r r e p l i c a t i o nc o s t 1t h er e p l i c a t i o nc o s to f | w i t h i n i t i a l h o l d i n g0 - 1i sg i v e nb y 州皿。) _ s 。u p ，e f 盟盟掣 r ji 几 t h er e p l i c a t i o ns t r a t e g yi so p t i m a l i nt h ec r r m o d e l ，a n yc o n t i n g e n tc l a i mi sa t t a i n a b l e k e yw o r d s ：t r a n s a c t i o nc o s t ；m a r t i n g a l e s ；s u p e r r e p l i c a t i o n ；r e p l i c a - t i o n ；s e l f - f i n a n c i n gs t r a t e g y 硕士学位论文 m a sf e r st h f s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究 工作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：拓弧 日期：弦够年，月莎日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许沦文被查 阅利借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 作者签名：援钕 日期：7 噶年孓月i 歹日 导师签名：彳弓每己 日期：矽够年岁月步日 本人已经认真阅读c a l l s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本 人的学位论文提交。c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章 程，中的规定享受相关权益。回童逾塞握童卮道蜃；旦坐生；旦= 生；日三生 蕉_ 鱼! 储弛两铋 导师签名= 。s ，u 曲p ；pe 。f 兰! ! 二旦! ! ；攀 ( 0 垆) pl 儿 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 证明：对任意的( q p ) p 和具有初始持有目一1 的c 的超复制策略 ( 目，日) 4 ，我们有 伊 生学 庐 堕型生磷塑业 3 4复制成本 再i + a 小o ，一一，s 注记3 4 根据d i s c r e t e - p a r a m e t e rm a r t i n g a l e s n e v e uj1 9 7 动中的命题v i - 1 1 ，在x t + 1 中存在一对随机过程( ( t ) ，n n ) 和( ( t ) ，n n ) 使得 s t = s u p f i n ( ) p 一和_ s t = 1 n f u 。( t ) p o s n o 设m = 假s u pn ( t ) ) 响i f ( t ) ) u m i n 轰，警) 辫) 则m 为p 一零测集。 对任意的“q “，我们可以取u ? ) 五) 和u ) 五) ， 使其满足 m i n 渊，揣) 等 并要求对任意的“1 ，u 2 n m ，如果厶( u 1 ) = 厶( u 2 ) 则u ；( u - ) = “；( u 。) ，e = u ，d 对任意的取实值的f 适应过程 m ，t = 0 ，t ，定义如下过程 ( f ，昭) ) = ( k + ，( w ( u ) ) ，k + ，( u ? ) ) ，对任意的u n m 当“j m 时取任意值，对任意的t ：0 ，t 一1 在这个模型下，我们有以下结论： 硕士学位论文 m a s t e r s e s i s 随机过程 最，t = 0 ，t 一1 ) 和 s l ，= 0 。，t 一1 ) 是 五，t = 0 ，t 一 1 适应过程 随机过程 霹，t = o ，t 一1 和 掣，t = 0 ，t 一1 ) 是 五，t = 0 ，t 一1 适应过程 对任意的r l ，r 2 1 一卢，1 + 刈，u n m ，r l 掣一r 2 母 0 t = 0 ，t 一1 。 定理3 2 在假设3 1 下，对任意可达的欧式未定权益c 羔4 ， 成立： ( i ) 存在唯一的自融资复制策略( 叩，日) a 复制c ； ( i i ) 具有初始持有9 一t 的c 的复制成本为 俐_ ：e q c 盟学 有以下结论 ( 3 4 ) 其中q c 是n 上的测度，其定义为 q g ( a l 五) ( u ) = ( u ) 1 扣? 仙) a ) + 【l 一彭( u ) 1 。 ( 。) a ) ( 3 5 ) ：罢塑尘z 笔娑c 二篙学三尝雾，t ：，? 一1 对任意的。n m 蚍一曲( 8 7 一吼) 霹一西( 鲫一巩) 剐1 。 1 。”。 ( 3 6 ) 当u m ，萨取 0 ，1 】上的任意值。对任意的a 五+ 1 西= 咖( e 1 一野一1 ) ( i i i ) 对任意的c c 岛。，目一1 r ，我们有 亓( g ，口一1 ) = 7 r ( g ，8 - 1 ) 因此，最优的对冲策略为以上唯一的自融资复制策略 证明：( i ) c c e l 4 的任意的复制策略( q ，日) a 满足下面的非线性系统 r 仇= z h + 1 + 咖( 岛十1 一巩) & + 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s r t r = c o ，o t = c 1t = 0 ，t 一1 p n 8 ( 3 7 ) 根据 ( 垮，搿) t = 0 ，丁一1 ) 的定义，可以得到 r r h = 硝+ ( 鳄一巩) 霹 r t h = 程+ 咖( 酲一巩) 掣t = 0 ，t 一1 p o s ( 3 8 ) 应用后向递归，由( 卵t + ，巩+ 1 ) 确定( 聍，卵) 和( 程，础) ，再由非线性系统( 3 6 ) 解出( 蚴。下面的函数皿吼+ ，( z ) 的性质保证了解的唯一性 zv - + 日。+ ，( z ) = ( 鳄一z ) 霹一( 印一z ) 掣 ( 3 9 ) 此函数当且仅当 霹彰 ( 雕一z ) ( 皑一z )即( ：。+ 。( z ) o ) 时对任意的巩+ 。严格递减，而以上条件由假设3 1 可直接得到。 注记3 5 以上的证明提供了一个在假设3 1 下，任意的欧式未定权益c c 。 的复制策略的递归算法： 巩= 皿五j ，( 记一瞻) r 仇= 孵+ ( 赁一巩) s ；，e = u ，d ，t = 0 ，t 一1 ( 3 1 0 ) 终端条件为( 竹，野) = ( c o ，c 1 ) ( i i ) 为证明( i i ) ，我们先证明以下引理： 引理3 1 在假设3 1 下，对c 8 的具有初始持有口一，的唯一的复制策略 ( q ，口) a ，贴现价值过程 业 堕譬t ：o ，t r t 777 盟亟笔坠坚，扛吣一 r t 1 n 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( 伢，野) = ( c o ，c 1 ) 是q g 鞅 证明：根据q o 的定义， f 逝等监i 五 = 毋牮+ ( 1 瑚掣 = 西( o r 一0 t 一1 ) & 同理可证 型堂学l 叫= 州讯氓溉& 下面我们证明( i i ) 7 r ( g ，0 1 ) = r o + 庐( 日。一口一1 ) 岛 = r o + 西7 ( o o 一0 - 1 ) 舶s j 一曲( 一0 - 1 ) 目一l 氐 = 目日。 旦! 二! j ! ：! ! ；竽 一( 一一一，) 一一- 5 b = e q 。 里二兰里；i 丝 一咖( 氏一一一) 一一- s 0 = c + p c c l s r 卜酽 簪卜 = 盟学 ( i i i ) 由( 3 ，1 ) 可知，我们只需证明亓( g ，0 - 1 ) ( e0 _ 1 ) 。 在假设3 1 下，我们有0 1 ，因此0 c 是一个概率测度，而且0 c 对p 绝对连续和有有界的密度函数型d p 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 设雄= 毋慨一鼠一t ) ，= 0 ，7 由引理( 3 1 ) 得簪是q g 一鞅 记p g = 彭，= 0 ，丁) ，则( q c ，p c ) p 3 。5c r r 模型中的欧式期权的对冲 设n = u ，d ) t 且d 冗 r 1i a r 1+ 与定理( 3 2 ) 相比较，我们可以得到更进一步的结果： 定理3 3 ( i ) 任意的欧式未定权益都是可达的。在假设3 1 下，复制策略是唯 一的，且对任意的日一1 r 和c 斋，总有亓( g 口一1 ) = 丌( e ，口一1 ) ，最优的 对冲策略为此唯一的复制策略。 特别地，在对交易成本没有任何约束的情况下，有以下的结果 ( i i ) 欧式看涨期权的复制策略的初始组合需要买入股票。且股票价格的上 涨都需要另外的股票的买入，反之则卖出股票欧式看涨期权的复制策略是唯 1 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 一的欧式看涨期权e 的具有初始持有0 一i 复制成本为 删_ = e q c 盟学 慨 其中q c 是q 上的概率测度，其定义为 q c ( & + ，= 岛u i = & 一- “) = 爷 写笔端 q g ( 鼠+ 。= & i = & 一- d ) = 芒 蔷端 缛= 忙：制囊泼 而且亓( g ，o 一1 ) = 7 f ( c ，o 1 ) ，因此最优的对冲策略为此唯一的复制策略。 证明：( i ) 在二叉树模型下，系统( 3 5 ) 和( 3 6 ) 是等价的，且皿口。的值 域是r 。因此复制策略总是存在。其它的结果由定理( 3 2 ) 直接得到。 ( i i ) 前半部分来自于 4 】中的系3 1 ，后面则为定理( 3 2 ) 的特例。 1 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 弘美式期权的对冲 4 1相关定义和基本椎 美式未定权益f 定义为一对f 适应过程( ，0 ) = 饶( 对，五) ，t = 。 ，t 且满足( ( ) ，矗( ) 最) 三1 ( p ) xl i ( 尸) ，t = 0 ，t 。其中( ( t ) ，2 ( o ) ) 分别表示若在时间t 执行期权则应付给期权的买者的无风险资产和股票的份 数， 称对冲策略( 叩 口) 4 超复制未定权益，如果 一1 ( t ) + 妒( 丘( t ) 一巩一1 ) 鼠，t = 1 ，t 和卵一1 ( 0 ) + 毋( 丘( o ) 一o - 1 ) 岛 未定权益，的具有初始持有0 l 的超复制成本定义为 费( 上8 一i ) = i n f 刁o + 曲( 如一9 一】) 岛：( q ，口) a 超复制， 称对冲策略( 卵，p ) a 复制未定权益，如果 r 硗一l a ( t ) + 咖( ，2 0 ) 一以一1 ) & ，t = l ，r 和叩一- 芝a ( o ) + 咖( ，2 ( o ) 一0 - 1 ) s 0 ；且对如下定义的停时 住= 伊p = 17 ，n 篡刺：淼慧 有p ( 住 ，。们s ；u p p ，；，e qf 型! 立_ = ! ! i ；7 t ! 二! _ 二旦二监 ( 4 1 3 ) ( 口，p ) p ，jl o j 证明：对任意的( q ，p ) p 和，超复制策略( 叩，口) a ，我们定义如下 的随机过程z ： 勿= f l ( t ) + p t ( f 矿2 ( t ) - 一o - 1 ) s t 磊= m a x 盟旦写警幽，e 。( 五川五) ) ， 用归纳法证明 磊璺二上竺丛产，t = o ，t q n s 由( 9 r ，蛔两) q ，l ( r ) ，f 2 ( t ) s ，) 得 卵f l ( t ) + 册( ，2 ( t ) 一b ) 岛 1 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 因此， 勿贮笔乒坐 假设对某一个t o ，t 一1 ) 有 由z 的定义得 堕地訾掣q s z t _ m a x 盟丛笋些 根据引理( 4 2 ) 础业迦等芈1 帅s z t m a x 盟型掣 丛学 q s彤i 因为( g c ，岛) q 巩& ) nq ( ) ，矗( ) & ) ，所以 磊。x 【 从而 k ( t ) + 风( ，2 ( z ) 一日一1 ) r h + m i 鱼二! ：! ! 兰 盟学q _ 0 s 五g , + p t ( 面h t - 一p - 1 ) s t t = 。，tq s 特别地，疡墨g o + p o ( h o 一良1 ) 岛g o + ( 。一口1 ) 岛，由注记( 4 6 ) ( i i ) ( i v ) 得( 叩岫0 - 1 s o ) o c ( 细， 0 岛) 和( 叩_ l 口一1 s o ) o c ( 慨o o s o ) ，因此 卵一1 = r o + 妒( 一目一1 ) 岛= g o - 4 - 庐( o 一日一1 ) 函 磊s 啦+ 咖( 岛一日一1 ) 岛 由z o = s u ，p 。e q 丛塑业噜蚪逊 ，得到所需结果- 1 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 4 3复制成本 仍应用( 3 2 ) 节中的模型。这节主要应用f 2 中的结果。 对期权，和复制策略( 叩，0 ) a ，定义过程 以，t = 0 ，t ) 如下 文( u ) = 曲 ( h t - y t - 1 ) ( w ) ：。) h t ( ( 。w ) ) ：y 玑t 一- ，l ( ( u w ； 对任意的u q 和t = 0 ，t 。显然 文，t = 0 ，t 是f 适应过程。 定理4 5 在假设3 1 下，对任何可达的美式期权，的具有初始持有0 一t 复制 策略( q ，p ) 4 ，有如下的结果； ( i ) ( 叩，0 ) 的初始成本为 丌( ( 叩，日) ，口一。) ：号e 。7f ! ! ! ! ! ：! ! 二! ；：l 二二j ! 二监1 ( 4 1 4 ) r j l 几 j 其中q 7 是q 上的概率测度，被定义为 q y ( a l z t ) ( w ) = ( u ) 1 山 ) a t + 【l g f ( ( l ) ) 1 。舢) a ) ( 4 ，1 5 ) 西= 黼，t = 。，t 1 ，“n m ( 4 1 6 ) 当u m 时，d 取( 0 ，1 ) 上的任意值，对任意的a $ - t + 1 。 ( i i ) 对任意可达的美式期权，有 膏( ，0 1 ) = 7 r ( ( ”，p ) ，0 _ 1 ) 对任意的口一l r 因此在假设3 1 下，所有具有初始持有p l 的，的复制策略( 卵，0 ) a 的初 始成本都相等于，的复制成本等于7 r ( ，0 - 1 ) ，即7 r ( ，日一) = 仃( ( 7 7 ，既日一1 ) = 膏( l 口一1 ) 复制策略为最优的对冲策略 1 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( i ) 的证明需要f 2 中的以下引理 引理4 3 设q 是一个关于p 绝对连续的概率测度且有有界的密度盟d p 。 五l 1 ( p ) ，t = 0 ，t 是一个f 适应过程，过程z 定义如下： 历= x t z t = m a x x t ，e q ( 瓦1 i 五) ) ，t = 0 ，t 一1 随机变量y l 1 ( p ) 关于厅可测且y j 矗q a 8 定义过程z + 如下： z = y 召= m a x x t ，e 口( z h 。l 五) ) ，t = 0 ，t 一1 设7 _ = m i n t = 0 ，t ：五e q ( z 4 1 f 五) ) ( 设碍+ 1 = y ) 如果q 竹 。) = l ，则有等式 z o = z i 成立。 引理4 4 如果策略( r ，0 ) a 是可达未定权益，的复制策略，亍定义如下； f = m i n t = 0 ，t ： ( t ) + 文，2 ( t ) & 2r t + 以巩) 则p ( f o 。) = 1 引理4 5 过程 也& 尼，t = 0 ，t ) 是一个q 7 一鞅。对，的复制策略 ( 叩，0 ) a 有 e q 7 望l 至挚i 五 = 吼+ 民巩& t = 。，r 一， 引理4 6 设溉，沈) ，( l ，驰) j 乎和沁l ，口2 ) 为基本榷吼融沪：) n q q ；, q 2 的顶 点。则有 t 正1 + f 珏2 = m a x p 1 + 妇2 ，g l + f 仰) ， 1 一肛，1 + a ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 证明定理( 4 5 ) ( i ) ： 定义过程如下 苟= 9 t + 6 t 1 ( h t r - - 一o - i ) s t 互= m a x 盟巡掣，( 引五) 由引理4 5 和引理4 6 得 刃= 鲢学 特别有瑶= 9 0 + 8 0 【h o 一目一1 ) 岛 因为徊一1 ，口一1 岛) o c ( 舯， 。岛) ， 卵一l = r o + ( 一0 - 1 ) s o = g o + 咖( o 一目一1 ) s o = 召= 7 r ( ( 叩，目) ，0 1 ) 设 历= 鲤型嗥坐 互= m 敬 盘垡l 生坠穹攀, e q i ( z t + l 五) ) ，t = 。，? 一， r = 1 1 1 i 雌- o ，丁：趔盟警型坐2 ( 列础( 设矾= 绵) 由( g t ，h t ) = ( t i t ，o t ) 和引理4 5 得 于= m i n t = 0 ，t ：a ( t ) + 魂，2 ( t ) 讯+ 文巩& ) = 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 由引理4 4 p p o o ) = 1 0 ，关于p 绝对连续且有有界的密度，因此 q 7 ( _ r o o ) = 1 由引理4 3 ，z o = 召。 从而 丌( ( q ，p ) ，p 一。) = ，s u ；p ，e q 7i ! ! ：l ! 二! ! ! ；出r 丁 l 儿。 ) 与定理( 3 2 ) 的证明类似。 注记4 7 与定理( 3 2 ) 不同的是，在假设( 3 1 ) 下，可达的美式期权的复制策 略不是唯一的。因为，的复制策略满足t 对任意的t = 0 ，t t q h t ) = q 0 。s 。) nq ( ) ，2 ( t ) 剐 r 仇= g e 十1 + ( 冲i 一吼) s t + 1 r r h = 仇十1 + ( 以+ 1 一巩) a + l 但是 ( 卵，h t ) = ( t i t ，o t ) = ( r 竹一1 ，o t 一1 ) q ，( t ) ，1 2 ( t ) s t ) 不被唯一确定。 4 ，4c r r 模型中的美式期权的对冲 应用3 3 节的模型，有如下的结果： 定理4 6 对任意的美式期权，都存在复制策略即任意的美式期权都是可达 的 2 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 注记4 8 在c r r 模型和假设( 3 1 ) 下，由定理( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 。6 ) 知，对任何美 式期权，的具有初始持有口一1 复制策略( q ，口) ，我们有： 亓( ，目一。) = ，s u 。p ，e q if ! ! 二l 二! j ! 二! j ；：世f ， l 1 0 j 因此复制是最优的 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s 后记 本文所讨论的是对在执行时对标的资产进行实物交割的期权的多头的对 冲和最优的对冲策略问题。最优的对 申策略为初始成本最小的策略，此最小的 初始成本可作为期权的卖者的价格，即所谓的期权的卖价。值得注意的是，对 执行时采取现金交割的期权的对冲与实物交割的期权对冲并不致在b l p s 的研究中曾经证明在c r r 模型中。对进行实物交割的期权，复制是多头欧 式看涨期权的最优对冲策略，在交易成本足够小的限制下，复制成为其它欧式 期权的最优对冲策略。而对进行现金交割的期权的多头和空头看涨期权的对 冲，超复制策略可能是最优的因此，本文的一个重要的发展方向是对进行现 金交割的期权的对冲的研究，比如利率期权、期货期权等 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 1 史树中，金融经济学十讲，上海人民出版社，2 0 0 4 年7 月 【2 】2 m a r c kk o c l g s m ，p r i c i n go ft h ea m e r i c a no p t i o ni nd i s c r e t et i m eu n d e rp r o p o r t i o n a lt r a n s a c t i o nc o s t s ，m a t hm e t ho p e rr e s ( 2 0 0 1 ) 5 3 ：6 7 - 8 8 3 s t y l i a n o sp e r r a k i s ，j e a nl e f o l l ，o p t i o np r i c i n g a n dr e p l i c a t i o nw i t h t r a n s a c t i o nc o s t sa n dd i v i d e n d s j o u r n a lo fe c o n o m i cd y n a m i c s c o n t r o l 2 4 ( 2 0 0 0 ) 1 5 2 7 - 1 5 6 1 4 】m r u t k o w s k i ( w a x s z a w a ) ，o