（应用数学专业论文）基于半参数回归模型小波估计的若干问题研究.pdf

基于半参数回归模型小波估计的若干问题研究 摘要 本文主要研究了，一类重要的半参数回归模型： m = x , p + g ( ) + 岛，l5i 玎 其中而er i , f 。【o ，l 】， ( ，f ，) ，1 f 拧) 为固定非随机设计点列，是未知待估参数， g ( t ) 为定义在 o ，1 】上的未知b o r e l 函数，其中 q ，l i n ) 为平稳误差序列，且满 足e e l = o ，e e ? = 0 2f = l ，2 ，疗 本文利用最小二乘法和小波方法给出了和g ( f ) 的估计量孱和或0 ) 。并在 误差为口混合序列时，我们获得了估计量孱和磊( f ) 的强相合性：在误差为p 和 n a 序列时，我们获得了估计量l 和磊( ，) 的强相合性和r 阶平均相合性，推广了 现有文献中的相关结果。 关键词：半参数回归模型，小波估计，口混合，p 混合，n a 序列，强相合性， 平均相合性 o nt h er e s e a r c ho fs o m ep r o b l e m so ft h ew a v e l e te s t i m a t i o ni n s e m i p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e l a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ec o n s i d e r sa ni m p o r t a n ts e m i p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e l 乃= 薯+ g ( t t ) + e t ，1s i 刀 w h e r e x ，r i , f ，【o ，1 】， ( 薯，f j ) ，1 f 刀a t e t h ef i x e dd e s i g np o i n t s ，i sa n u n k o w np a r a m e t e rt ob ee s t i m a t e d ，g ( t ) i sa nu n k o w nb o r e lf u n c t i o nw h i c h d e f i n e do n 0 , 1 】，l i 1 “，) 是独立同分布随机设计或固定非随 机设计点列，0 1 ，e i 为同分布随机误差，且如= o ，研= 仃2 0 0 ，g ( t ) 是定 义在r 上的未知函数，是未知的待估参数。 同其他回归模型问题一样，人们对此模型的理论研究的兴趣主要是关于它 的参数分量和非参数分量g ( f ) 的估计的大样本性质。由于此模型既含有参数 分量又含有非参数回归的方法。在文献中，对于半参数回归模型( 1 2 1 ) 的早 期工作大多沿着以下两条路径：一，对非参数分量即未知函数g ( t ) 进行参数化。 即在区间【o ，l 】上选定一组基函数 c i 俨t = 。，使得g ( f ) 亍毛岛，若g ( f ) 具有某种光 i = l 卫 滑性，使得此级数一致收敛，则可用有限和乳( r ) t 包来逼近。此处五是一 i - i 待定的光滑参数。这样将估计g ( t ) 的问题转化为估计有限维参数9 = ( 儡，幺) 的问题，然后使用最小二乘方法或其它类似方法同时估计参数向量和g ( f ) 对 应的参数口，这样得到的估计量以参数化的方法命名。例如偏光滑样条估计， 偏分块多项式估计，偏f o u r i e r 级数估计等。二，两阶段估计：第一步先设已 知，使用标准非参数回归方法，基于 f ，咒一彬) 核估计g ( ，) ，记估计为色( ，) ， 2 第二步再以兢( ，) 代g ( r ) ，使用最小二乘法( 或加权l d , - - 乘法) 找的下述极 小问题的解 月 2 m 一一营五( f ，) - - r a i n ! ( 1 2 2 ) t = l 从而得g ( t ) 的最终估计为9 2 ( ，夕) ，这里五是非参数回归估计中的光滑参数，在 核估计中旯就是窗宽h 。 半参数回归模型般研究的主要问题包括： ( 1 ) 的相合估计成立的条件 ( 2 ) 参数分量和误差方差盯2 的估计的渐近性质 这是目前文献中研究最多的，主要包括收敛速度、渐近分布、b e r r y - e s s e e n 界、 估计的渐近有效性等。收敛速度是指几乎处处收敛速度，重对数律；而渐近分 布是研究在什么条件下，所构造的估计量是渐近正态：b e r r y - e s s e e n 界，是指具 有渐近正态的估计量其向正态逼近速度的界限：渐近有效性是指如何构造的 估计量，使其估计效果与当模型的非参数分量己知时的情形，在渐近意义下一 样地良好： ( 3 ) 估计量的稳健性 主要是指如何构造p 的估计量，使当假设模型与实际相符时，具有一些良好的 性质，而当与实际有少许偏离时，其估计性能所受影响也较小，甚至在与实际 情况发生严重偏差时，其性能也仍能过得去。 ( 4 ) 非参数回归函数g ( t ) 的估计量e ( t ) 的渐近性质。 ( 5 ) 其他一些相关问题 诸如估计的b o o t s t r a p 逼。随机加权逼近，推广的半参数回归模型和一些特 殊的半参数回归模型中估计性质等等。 1 3 本文主要内容及意义 半参数回归模型是一个在实用上有重大意义且在理论上富有挑战性的领 域，因而受到许多国内外学者的关注和研究，人们对此课题的理论研究的兴趣 主要是集中在大样本性质上，并自8 0 年代以来取得了丰硕的研究成果。在( 而，t t ) 是i i d 随机样本的情况下，文献已出现研究此模型参数分量和非参数分量 g ( t 1 的估计问题的文章，大都是综合了参数和非参数的方法。其中参数的方法 多为最小二乘法，所不同的是非参数方法，h e c l c m a n ，r i c e ，c h e n ，g a o ，i , i a n g 等学者在文f 2 1 6 1 先后讨论了当g ( t ) 的估计分别取样条估计，核估计，近邻估 3 计时的渐近正态性，强弱收敛速度及渐近有效估计。小波方法作为新兴的方 法在九十年代初被a n t o n i a d s 等人在文7 1 中成功引用到非参数回归估计中，得到 的大样本性质较为理想，所以受到越来越多的统计学者的重视，很多学者都试 着用小波估计来研究回归模型。在最近几年，小波估计已得到了广泛的研究， 1 9 9 9 年，柴根象在文8 1 将小波估计运用到半参数回归模型中，并得到了一些良 好的渐近性质。钱伟民( 1 9 9 9 ) 在文f 9 1 得到了半参数回归模型中未知参数和 函数估计的强收敛速度。钱伟民等( 2 0 0 0 ) 在文n 0 1 又研究了半参数回归模型 的误差方差的小波估计。徐初斌等( 2 0 0 0 ) 在文f 1 1 1 研究了不等方差情形下非 参数回归模型的小波估计。刘强在2 0 0 5 年在文1 2 1 研究了半参数变量含误差函 数关系模型的小波估计。胡宏昌，胡迪鹤( 2 0 0 6 ) 在文f 1 3 1 给出了误差为鞅差 序列下的半参数回归模型小波估计的强相合性。李必文在2 0 0 7 年在文f 1 4 1 研究 了误差为b r o w n 运动情形下的小波估计。刘强在2 0 0 8 年在文f 1 5 1 又研究了误差序 列为缈混合和缈混合序列时的半参数回归模型的小波估计。最近，朱崇军( 2 0 0 8 ) 在文f 1 6 1 研究了误差为m a ( ) 序列的半参数回归模型的小波估计的渐近性质。 受上述文献启发，本文继续研究固定设计下的半参数回归模型： y l = + g ( ) + q ，1 f 力 ( 1 2 1 ) 其中z ，足一，t 【o ，1 】， ( 五，) ，1 f 刀 为固定设计点列，夕是未知待估参数，g ( f ) 为定义在f o ，1 1 上的未知b o r e l 函数，其中误差k ，1 f 拧1 为混合相依序列，且满 足e e l = o ，e e l 2 = 仃2 o o 。符号“：= 挣指的是“定义为 。 基本假定条件： 4 ：g ( ) 日( 即勋6 d 毙v 空间，定义见文献【8 】) ，v 圭 且满足，一阶 ( ， 0 ) l i p s c h i t z 条件； 4 ：矽有紧支撑集；且是g 一正则的，( 即对v 七= o ，1 ，q 和p z ，5 1 q o ，使得 i 伊( x ) l c 肚( 1 + i x l ) 一，v x r ) ，其中q 为正整数 4 ：当孝_ 0 时，i 痧( 孝) 一1i d ( f ) ，其中痧为驴的f o u r i e r 变换； 小m s ，a g x ( s l 一岛一1 ) = o ( n 1 ) ；r n g a 细xli , i - 0 ( 2 ”) ； 4 ：当甩足够大时，c l 毒以c 2 ； 4 ：l 喜五丘e 以j 渺卜力对r 【o ，1 】成立，这里的旯表示可与f 有关的常数。 9 第三章基于口混合误差下半参数模型小波估计的强相合性 3 1 引言及若干引理 考虑固定设计下的半参数回归模型： 乃= 葺+ g ( ) + 毛，1 i 疗 ( 3 1 1 ) 其中毛rz , f ， 0 , 1 1 ， ( 毛，) ，1 f 玎 为固定非随机设计点列，：是未知待估参数， g ( t ) 为定义在【o ，1 】上的未知b o r e l 函数，其中 q ，l o ，使得 嘶刮看爵；t , s e r , m o b 1 2 ， 2 ) 絮f i 已( 柚) 陋 c ( 3 1 3 ) 3 ) 若4 也满足，则 峙 j h 甜鼽艟，甩 ， 证明：见文 17 1 引理3 2 若条件( 4 4 ) 成立，则 1 0 叫s u p l 窆扭；g ( t ) 丘已( ”) 凼一叫2d ( ) + d ( 玎”) ， i 其中= ( 2 ”) 一收，圭 v 吾， 证明：见文 1 7 】的引理3 1 的证明过程。 ( 3 1 5 ) 引理3 3 ( 口一混合的b e r n s t e i n 不等式) 设 五，f n 为口一混合序列满足 口( 疗) = d ( ) ，o p 1 ，瓯= o ，吲1 ；令o 占) q 臼。1e x p 一c ：占y ( 以；盯； ) ( 3 1 6 ) 证明：见文【1 8 】。 引理3 4 设1 ， 1 ) 为口一混合序列，矾= o ，s u p e l & 1 7 o o ，对 某一胪南，口( 胛) = o o 。g - p n ) ，则 证明：见文【1 9 1 吉喜z 扎伽 3 2 主要结论及其证明 ( 3 1 7 ) 定理3 1 设条件( 4 4 ) 满足，且e p 2 ) ，口( 刀) = o ( ) ，0 9 1 ， 2 4 n h b 争0 ， l 纷2 o 6 圭，则 尾专， 拧专， a s 证明：厄一：露z 【i 蜀弓+ n 置磊】， f 。lt - - - i ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 其中磊2 q 一言巳l 既( ，s 灿，磊g ( ) 一言g ( 。) l 已( ，s ， 由( 3 2 2 ) 式可知 危一= 嚣2 【喜葺q 一喜暑芸巳l 玩( f f ，j + 主t = l 暑磊】 ：= b l 。+ b 2 。+ b 3 。 ( 3 2 3 ) 先证 旦。一0 ， a 8 令 l 蜀。i = l 最之蜀qi ：爿k 岛i ， i - ii - i 由条件4 ，4 可知： m a xb 。，1 0 ( 2 ”刀) 记 q = 岛，( i 吃，q i 以 占) 薹- 。 ， h 1 j 0 ，q s 口s ( 3 2 8 ) 综合( 3 2 6 ) ，( 3 2 7 ) ，( 3 2 8 ) 式可知 骂。= d ( 1 ) ， 口鼠 ( 3 2 9 ) j l = 最。2 喜置嘉巳l e q ，s 泌= 喜( 喜爱。2 墨l e q ，s 胁户爿喜瓦勺i ， 由( 3 1 4 ) 式，可知 m a x l 包一胚c 扣2 “等= c 等， 仿照式( 3 2 9 ) 的证明可得 岛。= o ( 1 ) ， 由条件呜和引理3 2 可知： 陬i - - l 之黔吨m a 朝xl i = o ( 甩1 ) + d ( ) ， 口j ( 3 2 1 0 ) ( 3 2 1 1 ) 综合( 3 2 3 ) ，( 3 2 9 ) ，( 3 2 1 0 ) ，( 3 2 1 1 ) 式，有( 3 2 1 ) 式成立，定理证毕。 定理3 2 设条件( 4 一以) 满足，且e l q l p 2 ) ，口( 胛) = d ( ) ，o p l ， 军扎 1 2 ，则 刀 喜。( t ) - - , g ( ，) ，f 【o ，1 】 口s ( 3 2 1 2 ) 1 3 证明：或 ) 一g ( f ) = ( g n 0 ) 一营( f ) ) + ( 官( f ) 一堙o ) ) + ( 点軎( r ) 一g u ) ) ：= 。+ 厶。+ 厶。， ( 3 2 1 3 ) 因为厶。= 喜( 一厦) l 瓦( f ，s 灿，所以由条件4 ，和( 3 2 1 ) 式即得 l 。一0 ， a s ( 3 2 1 4 ) 又因为i 厶：i = 陲ql 已( 舢冲i 而由( 3 1 4 ) 式知 m 。g a 如x ll 已( f ，s 灿| - o ( 2 ”刀) 所以仿( 3 2 9 ) 式可得厶。专o ， 口j ( 3 2 1 5 ) 又由引理3 2 知 l 磁( f ) 一g ( 叫= 陲g ( ) l 已 一出一g ( ) l j 。，【o ，1 】( 3 2 1 6 ) 结合( 3 2 1 3 3 2 1 6 ) 式知( 3 2 1 2 ) 式成立。故定理证毕。 1 4 第四章基于多混合误差下半参数回归模型的小波估计 4 1 引言及若干引理 考虑固定设计下的半参数回归模型： 咒= x j f l + g ( ) + q ，1 f 丹 ( 4 1 1 ) 其中工，er 1 ，f ，【o ，l 】， ( 薯，) ，l f 疗 为固定非随机设计点列，卢是未知待估参数， g ( f f ) 为定义在【o ，1 】上的未知b o r e l 函数，其中 e i , 1 f 力) 为同分布卢混合序列， 且满足e e , = o ，；= 0 29 i = l ，2 ，刀 定义1 设 置，f n ) 是概率空间 q ，& ，尸) 上的随机序列。n = 1 ，2 ，) 只= 仃( z ，i scn ) 为盯一域，在& 中给定盯域f ，r ，令 p ( f ，r ) = s u p c o r r ( 手，7 7 ) ；孝厶( f ) ，7 7 厶( r ) ， 定义混合系数：对k 0 ，令 p ( 七) = s u p 尸( b ，辱) ；有限子集s ，t c n ，上1 d i s t ( s ，丁) k ，其中d i s t ( s ，t ) 表示集合 s ，t 的距离。若存在k o 1 ，使b ( k o ) 1 ，则称 五，f n ) 为p 混合序列。 以下给出若干引理： 引理4 1 设9 & ，且条件( 4 4 ) 成立，则有 1 ) 霉肛( 柚) 陋妃 2 ) 看4 也满足，则 忙n s 净h 甜弘墟，刀 喜( l 咖) 2 = 。 证明：见文 1 7 】 引理4 2 若条件( 4 4 ) 成立，则 恕l 喜g ( ) ee ( 抽) 凼一g ( f ) l = 。( ) + 。( 以1 ) ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) 其中= ( 2 册) - v + v 2 , v 吾， 证明：见文【1 7 】的引理3 1 的证明过程。 引理4 3 设 z ，i e n ) 为同分布卢混合序列，0 a l ，e x ! = o ，e i x , i 兄 ， 川c - - 6 , 0 万 o ， 则t o = a n ，z 。o ， n - - - o o ， ( 4 1 6 ) 证明：见文【2 0 】 引理4 4 设 以，玎1 ) 为同分布声混合序列，瓯= o ，e l x 。1 4 o ，则存在 仅依赖于g 和卢的常数c ，使得对v n 1 ，v 口0 ，有 rrd + 、 lc e i x , i 叮 ，o 2 l ll = 口+ l 1 2 a + lj d 4 - n 聘 其中鼠( 口) = 置特别，当a - - 0 时，记瓯竽瓯( o ) 2 五- 证明：见文【2 1 】 4 2 主要结论及其证明 定理4 1 设条件( 4 叫满足，且 1 ，毕专0 , 2 m - - o 1 ， o 万 ，则 8 n _ 9 一一 证明：厄一= 嚣2 【墨莓+ 墨蚕】， j 。li f f i l 1 6 ( 4 2 1 ) ( 4 2 2 ) 其中毒。弓一蔷巳l 已( ，s ，磊2 9 ) 一善g q ) l e ，j 地 由( 4 2 2 ) 式可知 虞一p = 爵2 【j i i q 一n 置1 1 巳瓦( ，5 灿+ 艺暑亘】 i = l i = ll “l 1 l ；1 - b 1 月+ 曰2 h + b 3 n 。 先证 q 。一0 ， 口j 令l 且。l 爿文屯j i f qi ：- - f l 包，qi ， 由条件4 ，4 可知： 懋i - 0 ( 2 ”力) ( 4 2 3 ) ( 4 2 4 ) ( 4 2 5 ) 蚓理4 1 可得，啡i ，喜( l2 j z 以册占， c a 引理4 3 可知： 蜀。0 0 ， a s ( 4 2 6 ) i 岛一i = & 。2 l = l 暑蔷巳l 既( ，s 灿2 芸= 1f k ，喜量t 霉- 已 ，咖b 户：爿言i = 1 瓦勺i ， ，= l 。o 悟l 一 由( 4 1 3 ) 式，可知 m a x i b 一, i c 扣2 ”等= c 等薪嘭占， 喜( 瓦) 2 = 喜( 喜帮霉l e ( 力出) 2 喜( ，z 2 肺i 1 l 瓦 凼) 2 = 2 2 ”砉( l 眦埘i 鲁薪 由引理4 3 可得： = io ( 1 ) ， 口j 由条件呜和引理4 2 可知： f 3 ”，y 。，i 曼, i 。瞵鼢d ( 珂7 ) + d ( ) ， ( 4 2 7 ) 综合( 4 2 3 ) ，( 4 2 6 ) ，( 4 2 7 ) ，( 4 2 8 ) 式，有( 4 2 1 ) 式成立，定理证毕。 定理4 2 设条件( 4 一以) 满足，且o 口 l ，2 3 m _ 力一a 2 - s 寸o ，2 册：d ( 刀- 一口) ， 力 1 7 ( 4 2 8 ) o 万 a o ，2 腑= o ( n t - 口) ， 则 e i 厦一吖j o ( 4 2 - 1 4 ) 证明：由反的表达式，易见 磊一= 2 蜀岛+ 爵2 霉( ( g ) 一季( ) ) ：= 五+ 1 2 f = li = l 对，1 ，由c r 不等式知： e l 反一i ， 2 h ( e m + e m ) 由引理4 4 知： e i z , r _ 0 ， 口j ( 4 2 1 7 ) 埘( 翻帚( 蹦i ，：f ) - 槲i ) 形) 7 ( 芝陪嚣2 1 ) ， m a b e l g ( ) 一剐l ，( 4 2 1 8 ) 再由c r 不等式知： m ，a 。xe i g c t , ) 一季( ) l r o ，2 ”= o ( n l - a ) ， 则 e i 磊( f ) 一g ( f ) i ，一。 证明：由c r 不等式知： e i 季o ( r ) 一g ( r ) 卜3 h e i 磊( ，) 一刖1 7 + e 鼬) 一露( r ) | ，+ i 藤( r ) 一g ( r ) l ，) 因为 i 磊( ，) 一雪( r ) l = l 嘉l 毛 , s ) d s x j l1 1 反一i j 臣 。 l 故由条件以和( 4 2 1 4 ) 知： e l 或( f ) 一喜( f ) 卜c e i 厦- p 1 7 _ o 眯一聊) i ，= e 陲l 眦毗l ， 仿定理4 3 的证明日j 得： e i 季( f ) 一露( f ) i ，专。 再由引理4 2 可易得： i e g ( t ) - g ( t ) 1 7 一。 综合式( 4 2 2 3 ) ，( 4 2 2 4 ) ，( 4 2 2 5 ) ，( 4 2 2 6 ) 可得 e 悟。( t ) - g ( t ) 1 7 一o 。定理证毕。 ( 4 2 2 2 ) ( 4 2 2 3 ) ( 4 2 2 4 ) ( 4 2 2 5 ) ( 4 2 2 6 ) 第五章误差为n a 序列时半参数模型的小波估计 5 1 引言及若干引理 考虑固定设计下的半参数回归模型： 咒= x , p + g ( ) + e i ，1 f ( 5 1 1 ) 其中_ r i , r 。【o ，l 】， ( 薯，) ，l i n ) 为固定非随机设计点列，是未知待估参数， g ( ) 为定义在【o ，1 】上的未知b o r e l 函数，其中 e ll i n ) 为同分布n a 序列， 且满足e e , = o ，e e ? = 0 - 2i = i ，2 ，刀 定义5 i 称随机变量x l ，x 。伽2 ) 是n a 的，如果对于集合 1 ，2 ，丹) 的任 何两个不相交的非空子集彳。和a ：，都有c d l ，( z ( 置，i 4 ) ，五( 一，歹4 ) ) o ，其中z 与五是任何两个使得协方差存在的对每个变量均非降( 伙同为对每个变量均非 升) 的函数。称随机变量序列 x j ，- ，) 是n a 序列，如果对任何刀2 ，x l ，x 。都 是n a 的。 以下给出若干引理： 引理5 1 设伊& ，且条件( 4 4 ) 成立，则有 哿肛( 加) 郾c - 2 ) 若4 也满足，则 ”j p l = 0 ( 舟孙m ，聆 证明：见文【17 】 引理5 2 若条件( 4 4 ) 成立，则 哪s u p m 窆。比) l 啪一西- g ( r ) l 叫) + 。( ，z 一7 ) ， 2 1 ( 5 1 2 ) ( 5 1 3 ) ( 5 1 4 ) 其中= m - * + 1 2 ，互1 v 吾， 证明：见 1 7 的引理【3 1 】的证明过程。 7 1 理5 3 设五，一，以为n a 变量，4 ，厶是集合 1 ，甩) 的两两不相交的非空子 集，记q = 撑( 4 ) ，其中群( 4 ) 表示集合a 中的元素个数，如果z ：r 嘶jr ，f = 1 ，m 是 历个对每个变元均非降( 或同为对每个变元均非升) 的函数，则 石( ，_ ，4 ) ，厶( ，如) 仍为m 变量。 证明：见文 2 2 1 7 1 理5 4 设 x ，) 为m 序列，对p 2 及一切_ ，n ，有吼= 0 ，el i p o 。， 则有 w c 融训+ r 窆= 1 叫 ，其中c 仅与p 就 证明：见文 2 2 】 7 1 理5 5 设 五，f ) 为同分布的n a 序列，记最= 五，则对o p 2 ，使得 ( 最一刀6 ) 拧 jo ，口j 成立的充要条件是：el 五i ， ，且当0 p 证明：见文【2 4 】 引理5 7 设弛，f 1 为同分布的n a 序列，且e lqi p 0 ) 若记 z2 q 乞岛i o ) + d 古l 妒o ) 一百j i 白。一o ) ，n q i d ，) ( 白 d )( 白一d ) z = q 一一= ( e i - - e f 1 ) 白州 r ) + ( e ，+ 占芦) 白p 剧古) ， l 岛田ji 唧、， ( 5 1 5 ) ( 5 1 6 ) 其中占为任给的某个正数，则 巧) ，矗) 都仍为n a 变量，且i l 口矗收敛。 f i i 证明：见文【2 5 】 5 2 主要结论及其证明 定理5 1 对模型( 5 1 1 ) ，若条件4 4 满足，2 册= d ( i l o g n ) 贝t j p n 啼8 ，a 。s 若添加条件以，则 色o ) j g ( ，) ， f 【o ，l 】 a s 证明：厦一：爵：【窆葺弓+ 窆置磊】， i = li = 1 其中亏= e 一一嘉巳l 已( f ，s ，磊= g ( ) 一主j - ig ( 。) l 已( f j ，s ， 孱一= 译 善霉q 一善量( 蔷巳l 毛 ，占沙) + 善n 墨削 il n + i2 + i3 n 先证 il 。一0 ，a s 因为 i ，。i = i 爵2 暑q1 - i 既，e t i ( 5 2 1 ) ( 5 2 2 ) ( 5 2 3 ) ( 5 2 4 ) ( 5 2 5 ) ( 5 2 6 ) 对v 占 0 ，令z ，zn ( 5 1 5 ) ，( 5 1 6 ) 式( 取p = 2 ) ，再记 e n ，= 既心一e e ) = 酩( p 。一e e ) + 一e e ) ：= 础+ 由引理5 3 知 ) 和 2 ) 都是 n a 变量，且磁= o ，( 七= 1 ，2 ) 。又由条件4 ，4 式知 一)l2刚i2maxmax l 已 2 1 + 刚p l 4 e x p - 比2 2 ( 2 c n + i t c 5 e ( 1 0 9 n ) q ) 】) 4 e x p 一2 【c 6 掣( 1 0 9 刀) 一1 】) 4 n - 2( 取0 ) ) ( 5 2 8 ) ( 5 2 9 ) c n - * 2 ( 1 0 9 ，z ) 一s - l i q 陀e ( q ) 2 k 一， c 刀圳2 ( 1 0 9 n ) - 1 f - 1 坨c ( 1 0 9 n ) 一1 ( 5 2 1 0 ) 结合( 5 2 8 ) 一( 5 2 1o ) 式知 i 。h + 氏，e ；- e b ：e ；f - - + 0 ，仉豇 所以( 5 2 5 ) 式得证。 再证 厶。j o ，a 矗 ( 5 2 1 1 ) 因为 il h 丢r l ( 善n 帮ile ( ，s 灿) 巳l 爿善瓦勺i ， 又由条件4 和引理5 1 得 m 叫a ，x i b ； ( m 驯a ，x il 瓦纯，s 冲1 ) ( 帮善i 墨1 ) = 0 ( 2 ”力) = o ( n - l 2 ( 1 0 9 以) 。1 ) ， 喜( 磅) 2 喜( 踹il 毛( ，5 灿i ) 2 ( 舒喜旧霉i ) 2 c 力( 2 “以) 2 c ( 1 。g 以) - 2 所以仿( 5 2 5 ) 式的证明，即可证得( 5 2 1 1 ) 式成立。 最后由引理5 2 知 i _ ( m a xi 营f 1 ) ( 舒善l 口j 置1 ) 专o ， 伽 ( 5 2 1 2 所以结合( 5 2 4 ) ，( 5 2 5 ) ，( 5 2 1 1 ) ，( 5 2 1 2 ) 艮p 知( 5 2 1 ) 式成立。 再证( 5 2 2 ) 式，对任意f 【0 ，1 】， 磊o ) 一g o ) = ( 雪。( f ) 一宫( f ) ) + ( 营( f ) 一互垂p ) ) + ( e 营( ，) 一g o ) ) ：= 噩。+ 马。+ 岛。， ( 5 2 1 3 ) 因为马。= 喜薯( 一磊) l 已( r ，s 砂，所以由条件以，和( 5 2 5 ) 式即得 民专o ，口矗 又因为l 厶。 = l 喜q l 瓦l j f ，s 迹i 而由( 5 1 3 ) 式知 m 。鲥a 如x l l 已，s ) d sl = 0 ( 2 用n ) 所以仿( 5 2 5 ) 式可得 岛。专0 ， 口豇 又由引理5 2 知 i 磁( ，) 一g ( f ) i = l 喜g ( ) l 已( ，回西一g ( f ) i 专。，口j 结合( 5 2 1 3 5 2 1 6 ) 式知( 5 2 2 ) 式成立。故定理证毕。 ( 5 2 1 4 ) ( 5 2 1 5 ) ( 5 2 1 6 ) 定理5 2 对模型( 5 1 1 ) ，若条件4 4 满足，2 4 = d ( i l o g n ) ，h s u p e e i1 7 o o ， 厂22 ，则： e l 尾寸1 7 0 ， 若添加条件以，则 e i 包o ) 一g ( f ) 1 7 专0 ，t o ，1 】 证明：由厦的表达式，易见 竹 n 反一夕= 嚣2 置岛+ 霹2 置( ( g ( 乓) 一季“) ) = 厶+ 厶