（应用数学专业论文）具有变号扰动的plaplace方程的正解及多重解存在性问题.pdf

硕士学位论文 摘要 q c 础是具有光滑边界的有界区域，( 。) ，= c 。( _ ) o ) ，0 1 ，a 0 ，q ( o ，p 一1 ) u ( p 一1 ，+ o o ) ，a p u = d i v ( i v u l p 一2 v u ) 是p - l a p l a c e 算子。 本文的主要目的是寻找使问题( + ) 具有一个或多个非负解的，0 ) 和q 的充 分必要条件。克服相应困难的主要策略是构造问题( + ) 的非负下解，以及分析当 a _ o 或a - - + o o 时问题( 4 ) 的解u 的渐近行为事实上，通过这些分析，我们 发现问题( 4 ) 的非负解的存在性和下面问题的可解性密切相关 i a p 妒= ，( 卫) ，卫q ， 1 妒o ， 。q ， 【 p = 0 ，x 锄， 三兰耋2i 妒p 一1 妒i | 薹： 关键词：非齐次p - l a p l a c e 方程；d i r i c h l e t 问题；变分法；山路引理；非负解；上 下解方法；p s 条件 a b s t r a c t l e tqc 舻b eas m o o t hb o u n d a r yd o m a i n ，f ( x ) 厂= c 。( 豆) o ) ，0 1 ，a o , q ( o ，p 一1 ) u ( p l ，+ o 。) ，= d i v ( i v u l p 一2 v u ) i ss oc a l l e dp - l a p l a c eo p e r a t o r t h em a i n p u r p o s e o f t h i sp a p e ri st oi d e n t i f yn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n s o nna r i df ( x ) w h i c he n s u r et h ee x i s t e a c e ，o rm u l t i p l i c i t i e so f n o n n e g a t i v e s o l u t i o n s f o rt h ep r o b l e m ( + ) 。t h es t r a t e g yt oo v e r c o m ec o r r e s p o n d i n gd i f f i c u l t i e si st o c o n s t r u c tt h en o n n e g a t i v es u b s o l u t i o no f p r o b l e m ( 1 1 ) a n da n a l y z et h ea s y m p t o t i c b e h a v i o ro ft h es o l u t i o n 札 o f p r o b l e m ( 1 1 ) a sa - 0 o ra _ o 。i nf a c t ，t h r o u g h t h o s ea n a l y s e ，w ef o u n dt h a tt h ee x i s t e n c eo f n o n n e g a t i v es o l u t i o no f p r o b l e m ( 1 1 ) i sc l o s e l yr e l a t e dt ot h es o l v a b i l i t yo ft h ef o l l o w i n gp r o b l e m ： f 一p 妒= ，( t ) ，z q ， 妒0 ，z n ， i 妒= 0 ， z o f 2 ， a l s or e l a t e dt ot h ef o l l o w i n gh o m o g e n e o u sp r o b l e m ： 瞄卜。1 讥篓 k e yw o r d s ：i n h o m o g e n e o u sp l a p l a c ee q u a t i o n ；d i r i c h l e tp r o b l e m v a r i a t i o nm e t h o d ；m o u n t a i np a s sl e m m a ；n o n n e g a t i v es o l u t i o n ； s u p s u bs o l u t i o nm e t h o d ；p sc o n d i t i o n i i ，f，、【 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重一i i t j ：所挈交的论文足本人在导师的指导卜i 独兢进行研究所取 得的研究成果。除r 文中特别加以标注0 f 用的内容外，小论文小包含仃i 他个人或集体l ! 经发表或撰- 孤勺成果作 。列本文的研究做j 孵要负献的个 人和集体，均匕在文中以明确力式标明。本人完全意u 到木声明的法律后果 山本人承担。 作肖签私： 髟硝 i 肌伽斗。卜，j 三 学位论文版权使用授权书 小学位沦文作者完全了解学校有关保留、使刚学位论近n 勺规定，同意0 j 校保l ；= f f 许阳家有关部门或机构送交论文的复印f t ：干l l i l i 一纠跛，允许沦文城价 阅砷借阅。本人授权湖南大学1 j ：r 以将本学位论文的伞部或部分i = | 容编入柏+ 天 数据库进行检索，。j _ 以采用影印、缩印或扫捕等复制手段保存和汇编小学位 论文。 小学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权批 2 、不保密囵。 ( 请在以上相应方框内打“”) u 期：枷斗年j j 肛i 。1 日期：圳年岁月日 一、导1掀新 勃故 名名签签者师怍导 硬士学位论文 1 1 引言 第1 章绪论 非线性偏微分方程广泛地出现于数学，物理，化学，生物和环境科学等各个研 究领域，现已成为数学研究的核心之一理论物理和数学中许多重大研究进展都 与某些特定非线性偏微分方程的研究密切相关，例如t 共形几何中y a m a b e 猜测 的证明与y a m a b e 方程的研究有关【1 ；p e n r o s e 正质量猜测的证明与倒数平均曲 率流的研究有关【3 】；p o i n c a r e 猜测的证明与r i c c i 流的研究有关阶1 ；而四维流 形的d o n a l d s o n 理论则极大地依赖于对y a n g - m i l l s 方程或s e i b e r g - w i t t e n 方程的 研究 2 ，4 | 这一切事实表明，对来源于实际问题的非线性偏微分方程及其相关的 问题作深入细致的研究不仅有利于推动偏微分方程理论本身的发展，同时也是极 具科学意义和应用价值的 本文主要研究如下非齐次p - l a p l a c e 方程狄利克莱问题的非负解的存在性和 多重性： = 讣卜 八咄：三 其中qc p 是一具有光滑边界的有界区域，p 1 ，f ( x ) 芦= g ”( q ) o ) ， 0 2 ) 出现在许多非线性现象中例如：非牛顿流体的数学模型、某 些反应扩散问题和多孔渗流问题等等，同时，它还出现在拟正则、拟保角映射等理 论中要了解更多的关于。的物理和数学背景，可参见文献 1 0 , 2 1 , 3 3 , 3 4 , 3 5 , 3 8 】 近年来，人们做了许多工作去研究n 和f ( x ) 满足什么条件时问题( 1 1 ) 才会有 无穷多个解对于一般的有界区域。首先由b a h r i 和b e r e s t y c k i 1 1 】、r a b i n o w w i t z a 6 以及b a h r i 和l i o n s ”j 分别独立地证明了问题( 1 1 ) 在p = 2 ( 即半线性情形) 时， 对于某些特定的指数q 有无穷多个解，这些结果在1 1 3 , 4 1 】中得到了适当的改进最 近，g a r c i aa z o r e r o 和p e r a q la l o n s o 9 把r a b i n o w i t z 的结果推广到了p 2 ( 即 拟线性) 的情形当q 是球且f ( x ) 为径向对称函数时，我们可以把对g 的限制去 除，具体可参见s t r u w e 40 1 、c a s t r o 和k u r e p e r 1 5 , 1 8 1 ( 半线性情形) 、h a c h i m i 和 t h e l i n 2 8 1 ( 拟线性情形) 。在上面提到的这些文献中所得到的解可能都是变号解， 因为文中用于获得解的方法并不能提供解的定号性保证 由于实际需要，目前人们越来越关注问题( 1 1 ) 的正解或非负解的存在性以及 墨查壅呈垄塾竺呈：兰竺! 竺! 立墨丝垩苎墨兰墨壁变耋堡旦壁 多重性。有关半线性情形可参见【7 t 8 , 1 8 , 1 9 , 2 0 , 2 1 , ”, 4 2 , 4 4 】，拟线性情形可参见 1 , 3 0 , 4 5 1 。 在现有的文献中，为了应用最大值原理来保证所得到的问题( 1 1 ) 的解是正的或非 负的，人们通常需要假定y ( x ) 0 而当f ( x ) 变号时，由于最大值原理不能直 接用于确保所得到的问题( 1 1 ) 的解是正的或非负的，因而，在这种情况下寻求问 题( 1 , 1 ) 的正解或非负解变得很困难。本文主要是研究当f ( x ) 满足何种条件时， 才能保证问题( 1 1 ) 的正解或非负解的存在性和多重性。克服相应困难的主要策略 是构造问题( 1 _ 1 ) 的非负下解，以及分析当a _ + o 或a _ o o 时问题( 1 1 ) 的解u 的渐近行为。事实上，通过这些分析，我们发现问题( 1 1 ) 的非负解的存在性和下 面问题的可解性密切相关： f 一，妒= ，( z ) 妒o ， 【妒= o ， 上q ， o q o a n 主兰耋2j 砂p 一1 妒i | 塞 1 2 主要结果 ( 1 2 ) ( 1 3 ) 设m = ，l 问题( 1 2 ) 有非平凡的非负解) ，= ，m 本文的头两 个结果可叙述为： 定理1 2 1 ：设0 p 一1 ，f ( x ) m ，则存在a 0 ，使得问题( 1 1 ) 对 v a ( o ，”) 都具有最小非负解“ ，且当a _ 十0 时，i iu lj p ( n ) _ 0 ，而当a a + 时，问题( 1 1 ) 没有非负解 定理1 , 2 2 表明若f ( x ) m ，则问题( 1 1 ) 至少存在一个非负解 且札 是 从问题( 1 , 3 ) 的平凡解分歧而来 由定理1 2 1 和定理1 2 2 我们可知0 0 都有非负解，而后 一种情形则当a 充分大时没有非负解；更为显著的差别是前一种情形在f ( x ) 厂 2 硕士学位论文 时没有正解，而在后一种情形当中只要q p + 一1 且a 充分小则对中的某些 ，( 茁) 问题( 1 1 ) 可能存在正解，其中p + = ：为了更准确的表述这一点，我们 用n ( o f 2 ) 表示a q 的邻域与n 的交集，记 厂= ，芦f 存在n ( a f ) ，使得对y x n ( 0 f 2 ) ，都有，( 。) o ，显然，+ n g 。例如设妒c 铲( q ) 且妒( z ) 0 ，则妒( z ) 芦+ n 使用上面这些记号，我们有： 定理1 2 3 ：假定p 一1 口 0 使 得对v a ( 0 ，a o ) 问题( 1 1 ) 至少有一个非负解钍 ，当 - - + 0 时，乱 一致收敛于 问题( 1 3 ) 的解乱o ，且奴( 极) _ 1 0 ( 9 0 ) ，其中： 厶( 珏) = ；上i v 乱l 一再1 一z ( 矿) 叶1 一a 上，“ 利用带p s 条件的山路引理我们可以得到如下结论： 定理1 2 4 ：假定p 一1 o 使得对v a ( 0 ，a + ) 问题( 1 1 ) 至少有两个非负解。 最后，关于q p + 一1 这种情况我们有； 定理1 2 6 ；假定n 是星形区域，q 矿一1 ，则存在常数a o 0 使得对v a ( 0 ，a o ) 问题( 1 1 ) 至少有一个非负解的充要条件是，( 。) m 。 注1 2 1 ：如果( x ) 0 ，则显然有，( 岱) m 。此外，m 中也包含有变号 函数。事实上，设r n ( x ) l 。o ( q ) ，m 一( 茹) = m n 。 m ( 。) ，o ) 0 ，m + ( z ) = m 。( m ( z ) ，o ) 0 ，o t a n i 和t e s h i m a 在【3 5 中证明了下述特征值问题 i 一p f p = a ，n ( z ) 妒，z f 2 ， 1i p = o ， z a n ， 有第一特征值a 1 0 以及相应的正的特征函数妒1 ( 。) 取f ( x ) = a t m ( z ) 妒1 ( z ) ， 则，( 。) 是变号函数且，( z ) 2 , 4 注1 2 2 ：若，( ) m ，则至少存在一点奶q 使，( z o ) 0 。反之若不然， 则，( z ) 0 在整个n 上，故此 f 一p 妒= ，( z ) o ，o q ， 1 妒：o ，z 弛， 3 具有变号扰动的p l a p l a c e 方程的正解及多重解存在性问腰 由比较原理知妒0 在整个n 上。这与，( z ) m 矛盾又由s ( x ) 的连续性知 存在n ( x o ) cn 使得对v x n ( x o ) 都有，( z ) o 注1 2 3 ：设o u ( x ) w 1 , p ( q ) nl 。( n ) ，若对v i p 卵) ，等式 fl v u l p - 2 v u v 妒= 上u q w + ) 、f f l f 妒 恒成立，则称( 正) 是问题( 1 _ 1 ) 的非负解，其中c 铲( q ) 表示紧支集在q 中的所 有光滑函数的集合 注1 2 4 ：如果没有特别指出，文章中的积分均表示在区域q 上进行 注1 2 5 ：本研究得到国家自然科学基金( n o ，1 0 1 7 1 0 2 9 ) 的资助，在此表示感谢 硕士学位论文 第2 章次线性情形 在这一章里，我们将证明下述定理； 定理2 1 1 ：设0 0 ，令 v ( x ) = a i 暑妒( 茹) ， 则 f 一p 口= a ，( 。) 雷9 + a ，( 。) ，z q ， 【u = 0 ，z a q ， 因此v ( x ) 是问题( 1 1 ) 的一个下解。 设妒( $ ) 是问题 j 一锦妒= 1 。q 【妒= 0 z a q 的解，由强极值原理知：对q ，都有妒( z ) 0 。 又由0 q p 一1 可知0 1 ，对v a 1 ，应用h s l d e r 不等式和y o u n g 不等式以及嵌入定理有 i i v 幻川呈p ( n ) = i 入警# z 协r 1 + 上，( 正) 协i a 与学( 鲫；d z ) 宁i q l 2 乒+ | l ，il l , j f 叫 i l ， j n 扣v 虮。) + c ( s ，n 其中c ( a ，】 0 且仅与q 和，有关所以有 | i v 叫 怯( n ) c ， 由靴带技巧及 2 s l 中椭圆正则理论可知 i | 伽 i l 牌( n ) sc ， 1 1 叫 l j f - a ( n ) c ， 这里c 均表示与a 无关的正常数故可假设存在子列仍记作 删 ( 墨) ) 以及妒( z ) 0 满足当a _ o o 时 训 ( z ) _ + 妒( z ) ( 一致地) 又由于叫 是问题( 2 1 ) 的解，所以对均错( q ) 有 上i v 叫舻句v 叫a v 町= a 臀z 伽；叩+ z ，( z ) 叩 ( z 2 ) 成立 在( 2 2 ) 式两端同时令a _ o o ，可得 y妒ij-2v(pv露=jj 似hn 这说明妒是问题( 1 2 ) 的非负解，故，( z ) m 。至此，我们完成了定理2 1 1 的 证明 硕士学位论文 第3 章超线性情形 本章将证明下述定理： 定理3 1 1 ：假定q p 一1 ，( z ) 川，则存在a + 0 ，使得问题( 1 1 ) 对v a ( 0 ，a ) 都具有最小非负解让 ，也即对问题( 1 1 ) 的任意非负解删 都有 叫 u 0 ，且当a _ 0 时， | | 钍 | j 肛( n ) _ + 0 ，而当a a + 时，问题( 1 1 ) 没 有非负解。 为了完成定理3 1 1 的证明，我们首先证明下面几个引理： 引理3 1 1 ：假定q p 一1 ，( z ) a d ，如果a = a 时问题( 1 1 ) 有非负解， 则对v , k e ( o ，a ，问题( 1 1 ) 都有非负解。 证明设u 1 ( 3 7 ) 是问题( 1 1 ) 对应于参数a = a 时的非负解令 札1 = a 寿。叫l 则 l 满足 f 一芦删。= a 与孕叫 + ，( z ) ，。q ， 【w l = o ，x a q ， 因此对( 0 ，a 】，伽l 是下列问题的一个上解t 卜，训= a 臀卅m ) ，z ( 3 1 ) 【w = 0 ， z a q 、。 另一方面，因为f ( x ) m ，故可设问题( 1 2 ) 具有非平凡非负解v ( z ) 且妒( 。) 满足 f 一p 妒= ，( z ) a 写掣妒4 + ，( 。) ，z q ， 【妒= 0 ， z a q 这说明妒( z ) 是问题( 3 1 ) 的一个下解。 此外由比较原理可知：对v x n 都有妒( z ) w l ( z ) 这样，由上下解方法 可知对v a ( 0 ，a 】，我们可找到问题( 3 1 ) 的非负解w x ( x ) 。 显然钍 ( z ) = a 肃叫 ( z ) 是问题( 1 1 ) 对应于参数a 的非负解证毕! 引理3 1 2 ：假定q p - 1 ，( z ) a , t ，则存在一有限正数r ，使得对v 入”， 问题( 1 1 ) 都没有非负解 证明设( z ) 0 是问题( 1 1 ) 的非负解。对垤 0 ，令 u 。( 口) = u ( x ) + 具有变号扰动的p l a p l a c e 方程的正解及多重解存在性问题 设妒c 矿( q ) 是一待定的检验函数，d 0 ，对( 3 5 ) 式右边再次应用带参数的y o u n g 不等 式可得 讽融+ a 鳓拼i , 。1 1 ， i v u l 噬a - i 妒s ；u 少m 妒如+ 碥筹 ( 3 6 ) 由于q p 一1 ，故可选择k = a ! + p - - l 1 1 ，则( 3 6 ) 式可化作 | 舻州z + xm 咄+ w l 畸z 一专l 曙瑚_ 甓 ( 3 7 ) 令 忍= 上”9 妒一上u ：怕妒 代入( 3 7 ) 式可得 ；铷+ a 胁出+ 魁2j 俩阳? - 坳d x + 见弛，fi v 妒l 刊 叫3 8 ) 一8 一 硕士学位论文 在方程( 1 1 ) 两边同时乘以妒并在q 上积分，再利用h 5 1 d e r 不等式可得 u q ( p d x + a 如d x p 一1 ，所以a 1 取a 使得 ：+ 古= 1 对( 2 9 ) 式右端应用h s l d e r 不等式得 fu p d x + a f 油 0 。b 5 ( x o ) = 扛i z x o l 0 。 假定6 c ”( 兄+ ) 且 蜘r 蓦g c 。 再设f 曙( q ) ，( 。) = 矗( 1 葛争) 且l v 引 0 。令妒= p ，则a f f u 矗o d x o ( o ) 因此从( 3 8 ) 和( 3 1 0 ) 式可知 铲妒如+ a ，妒出( i v u l v e - i 妒出) 宁( 钍：扣妒嘲毒( 罢鲜删专 蛔厶警舻( 厶簪如吲埘 ( 3 1 2 ) 又因为 r = z 钍。妒一z 让：+ n 妒 应用泰勒展开可知存在0 一 p 一1 ，( z ) 州，则存在九 0 ，使得对枞( o ，九) ， 问题( 1 1 ) 至少有一个有非负解 证明设妒。( z ) 是问题( 1 2 ) 的非平凡非负解对v a 0 令 w o ( z ) = a 寿p o ( z ) 易验证v o ( x ) 满足 0 翟一“奶卅v o q ， o d q 所以v o ( x ) 是问题( 1 1 ) 的一个下解为了得到问题( 1 1 ) 的一个非负解，我们只 需找到问题( 1 1 ) 的一个上解叫o ( z ) 使得v o ( x ) w o ( x ) 为此，设妒( z ) 是下述问 题的解： i a p 妒= 1 ，。n ， i 妒= o ， 。a q 由强极值原理可知对v x q 都有妒( 卫) 0 1 0 硕士学位论文 令 w = m i 与妒( z ) ， 则 j 一p w = m ，z q ， l 留= 0 ， 茗勰 选择 0 充分小使得 她舻糌帅) + 舻搿j m ) f ， 则 w o ( x ) = m o p 。1 妒( z ) 满足 ，一p 伽。= m o 叫3 ( z ) + a 瑶占，扛) ，z n ， iw o = 0 ，刃a n 这就说明对v a ( o ，m 产) ， o ( z ) 是问题( 1 1 ) 的一个上解此外，如果我们适 当选取a o 使得 a p 妒o ( z ) 冬 4 孑与妒( 岱) ， 令a 2 m i n a o ，肘孑_ 1 ) ，由迭代法我们可得：对v a ( o ，_ 】问题( 1 1 ) 都有非负 解u ( x ) 且v o ( x ) ( 茁) w o ( x ) ， 定义 九2 s u p ai a 0 ，对鼢( o ，习，问题( 1 1 ) 至少有一个非负解 ， 则对v a ( 0 ，a + ) ，问题( 1 i ) 至少有一个非负解。证毕! 引理3 1 4ta 。= a 证明直接应用引理3 1 1 可知对v a 九，问题( 1 1 ) 没有非负解，也即 九= ”证毕i 引理3 1 5 ：对v a ( o ，”) ，问题( 1 1 ) 具有最小解坝，当a - 0 时， l l i k * ( n 】- 0 证明设咖( 口) 是问题( 1 2 ) 的非负解则坝= a 击伽( 。) 是问题( 1 1 ) 的一个 下解由引理3 1 3 已知问题( 1 1 ) 具有非负解u ( 石) ，所以有 让- - ：a p 叭u = ：, t t q 0 ，“动卜驴v 扛l ：器 ( 3 1 5 ) i 让= ” = ，z a q 。 。j 由比较原理知： 对比q 都有 t t 、 1 1 具有变号扰动的p l a p l a c e 方程的正解及多重解存在性同题 构造迭代 - - a ，。+ 1 = u s + a ，( z ) ， 让o = v x 显然该迭代满足：u 。tu 且u 是问题( 1 1 ) 的一个解。 下面将说明u 是问题( 1 1 ) 的最小非负解事实上，如果叫 是问题( 1 1 ) 的 某个非负解，则显然w , k 坝且埘 是问题( 1 1 ) 的一个上解因此对于任意n ，都 有u 。叫 这也就说明了珏 w , x 下面开始证明当a _ 0 时，l iu 1 i 驴( n ) _ 0 由前已知v o ( x ) 是问题( 1 2 ) 的非负解，v , k = a 奇i p o ( z ) 是问题( 1 1 ) 的一个 下解设叫。是下述问题的解： ：筝l ：纛 则w m = m 奇叫。满足 伽- - m a p ： t u m 。，= m ：i 募 对垤 0 我们可选择尬充分小使之满足 m o 埘i 。l l a x 。w 3 + m a r c i f ( x ) 1 和 嘟。搿伽o ” n ” 则对v a ( 0 ，m 孑“) ，叫胁= 肘了- 1 w o 是问题( 1 1 ) 的一个上解 此外，对v a ( 0 ， 臂。1 ) 都有 即 = a ；三i 妒o ( 石) t u f o ( z ) = 留一1 叫o ( 2 ) 这是因为坝和z o m o ( x ) 分别满足下述方程； 一a p 呶= a ，( z ) i 一p 叫 f 0 = 如 所以有 一， 蛳2 如朋孑m 2 n x i s ( x ) t 再由假设a ( 0 ，懈_ 1 ) 可知 一，叫胁蝣m 。a 。；t s ( z ) 伦a m 。a x 。l f ( z ) l a m ) 硕士学位论文 l 这也就说明对v a ( 0 ，m o “) 。都有 一p 叫m o 一a p 所以由比较原理可知对v a ( o ，肘产) ，都有 叫 如 由上下解法知对a ( o ，们产) 问题( 1 1 ) 具有非负解u ( 霉) 且坝札( 卫) 叫。 再由的选择可知 舻伽。( z ) 舻搿叫。( 茁) s 所以对v a ( o ，m 产) 都有 o “ ( z ) e 亦即，当e - 0 时，a - + 0 且j ju ajj 驴( q ) _ 0 。证毕! 综合上述5 条引理，我们完成了定理3 1 1 的证明 一1 3 具有变号扰动的p - l a p l a c e 方程的正解及多重解存在性问题 第4 章超线性次临界情形 4 1 两个定理 在这一节里，我们给出下面这两个定理： 定理4 1 1 ：假定p 一1 口 0 使 得对v a ( o ，) 问题( 1 1 ) 至少有一个非负解钍 。且当a - - 4 0 时。u 一致收敛 于问题( 1 3 ) 的解让o ，且厶( u ) _ 如( 让o ) 定理4 1 2 ：假定p 一1 口 0 使得对 v a ( 0 ，九) 问题( 1 1 ) 至少有两个非负解 4 2 两个引理 为了完成这两个定理的证明。我们首先需要证明下面这两个引理： 引理4 2 1 ：设p 1 q p + 一1 ，u 是问题( 1 1 ) 相对于参数a 最非负小解， ，( 。) m ，则存在正数凡使得对枞( 0 ，a o ) 都有厶( 钍 ) = q 0 证明因为u 是非负的，所以 i = u ， 且 她炉；1 z i v 叫一击z “卜a z 风， 上i v 叫9 = z u 卅a 上地 由( 4 1 ) 和( 4 2 ) 式可得 狮肛( ；1 _ 1 ) 上i v 划9 ”一击) 上u 由s o b o l e v 嵌入定理可知存在与a 无关的常数c 使得 g ( z ) 南上】v 训9 注意到( ；一1 ) 0 ，由( 4 3 ) 和( 4 4 ) 式可得 i a ( u a ) ( ，一# j ) z “妒1 一e ( 一；) ( 上钍j + 1 ) 南 ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) 硕士学位论文 又因为当a _ + 0 时，l “ j f p ( n ) _ + 0 ，所以我们可选择a o 充分小使得对v a ( 0 ，a o ) 都有 ( 上u 紫 坠警j nq 对于这样选择的a o ，再结合( 4 5 ) 式可知对v a ( 0 ，a o ) 都有 c = i ( u x ) 0 至此我们完成了引理4 2 1 的证明 引理4 , 2 2 ：假定p 一1 0 充分小，n 0 ，e + 隹瓦凰使得对v a ( 0 ，a 1 ) 都有 厶( u ) 1 8 b b 。o 0 厶( e + ) p ，所以我们可选择风充分小使得 五1 叫。p 一南路1 = 口t o ， 厶( u ) | a 口确a 1 一岛ai i ，i f 巴， 2 丽2 c e j f 州o 。 厶( 让) l a b o 罢 具有变号扰动的p - l a p l a c e 方程的正解及多重解存在性问题 再由( x ) 的性质可知：存在x 0 q ，卵 0 ，b ”x o ) = x qli 。一x o i 0 。令 f i 耥 旺两- 2 - - j 二两1 芦 “。= p ( 。) 巩， 其中 出) = x - x 。o j l 0 ，令 e = t u e ， 则 讯) = 吾上i v 计i 一而t q + l 似) q + l - - a t 上f 易知存在t + 0 充分大与a 无关使得 5 ( e + ) = 5 ( t + u 。) 0 由带( p s ) 。条件的山路引理可知存在让l 满足 c = i ( u 1 ) 一】6 一 硕士学位论文 z q o a q 用 p o 表示问题( 1 2 ) 的非负解，则0 v o = a 奇妒。满足 高一m ：景 所以 钍- 。a ：p u l _ 砘a f 一蛳：i 曼 由比较原理有 u 1 v o 0 这也就说明让l 满足 高一汁坝珐：盎 因此u l 是问题( 1 1 ) 的非负解，又由于厶( u ) 0 可知u 1 让 。 至此我们完成了定理4 1 2 的证明。 4 4 定理4 1 1 的证明 下面开始证明定理4 1 1 ： 分两种情形证明： a ：f ( x ) 州 由定理1 2 2 知存在a o 0 ，使得问题( 1 1 ) 对姒( o ，a o ) 都具有非负解 u 设 姒 是对应于参数a 时问题( 1 1 ) 的非负解，因此对于v 妒c 铲等式 上i v 钍- l 一2 v u a - v 妒= z u ；妒+ a 上，妒 ( 4 7 ) 恒成立 利用嵌入定理、h s d l e r 不等式和y o u n g 不等式易知 ) 在蝴弗( 中是有 界的，也即 l fv ij l ，c ， 一1 7 z ， + 户上1 = 吼 呜一 ，、【 和 具有变号扰动的p l a p l a c e 方程的正解及多重解存在性问题 故存在弱收敛子列，不妨仍记为 u ) ，当a _ o 时，设其弱极限为u 0 。再由靴 带技巧和椭圆正则性理论【2 3 】知 | | “ i i l k ( n ) c ， 且 | | 1 1 0 - ，n ( n ) c 在( 4 7 ) 式两端同时令a _ 0 ，则对v 妒曙，有 上j v 咖 p - 2 v u o v 妒= 伽妒， 也即u o 是问题( 1 3 ) 的解。又由于 脚肛；上i v 蚶i 一而1 上) 口+ 1 一a 上风， 在( 4 , 8 ) 式中令入- 0 ，则： 厶( 钍) 一+ ；上i v 让。i9 一再1 1 上( 乱j _ ) 什l = 如( u 。) ( 4 8 ) 所以当，( z ) m 时，定理4 1 1 的结论成立。 接下来我们证明第二种情形： b ：，( z ) 厂n ，+ 由引理4 2 2 可知：存在a ， 0 和t o 0 均与a 无关使得对枞( o ， ，) t 如都有 厶( t u 。) 0 ，以( 札 ) = 0 下面证明钍 是非负的。 1 8 ( 4 9 ) 所以 s u p i ( s 蚓m 吣a x ，i ( r u e l u , o j ) t 0 因此存在与a 无关的常数c l 使得对v a ( 0 ，a ，) ，都有 c 。旦衅，厶( t 啦) c 1 t 【0 1 0 】 又因为u 满足方程( 4 9 ) ，所以 氓叫= ；上刚k 击肛r la z 胁 = ；上刚”一击( 上1 v 划k 上风上旭 伽9 c ；一而1 ) 加一”两1 ，a 肛 应用嵌入定理、h s d l e r 不等式和y o u n g 不等式知： i ( 1 - 南) a 上椭出1 轴( 1 一而1 川川训h 忆， 5i iv u 怯+ c ( s ) i i 川己， 适当选择可找到与a 无关的正常数岛使得对倾( 0 ，a ，) ，都有 v u 0 2 ，曼岛 由靴带技巧和椭圆正则性理论 2 3 】知存在与a 无关的正常数g 和a ，使得对 v a ( 0 ，a ，) ，都有 i 锹l l 泸( n ) s g ， 且 1 lu 1 1 g 1 , 4 ( n ) q 因为，( z ) 尹，所以存在a n 的邻域( a n ) 使得对v 。( a q ) 都有： f ( x ) 0 令：= 西两丽i ，下面证明存在知 0 使得对鼢( 0 ，知) ，。q o ， 都有“ ( z ) 0 1 9 具有变号扰动的p l a p l a c e 方程的正解及多重解存在性问题 反证。若不然，则存在 如) ，_ + o ( j _ 。) ， q ) cn o 使得：仳( ) 0 ， j = 1 ，2 ， 又因为i l 让如i i c , , o ( n ) q ，故可设 且札。满足 0 苫叫对户黑 注意到 ”如_ o ( 一致地) ( 4 1 0 ) 岛= 矗( 乱。) = ；zi v 蚓一万1iz ( u 手) 叶l = l i m a ，a 0 ， j - + 。 。 这也就说明u o 0 由强极值原理知：对比q ，都有u o ( x ) 0 所以对比q ocn ，有 u o ( x ) 0( 4 1 1 ) 又因q o 是有界闭域，可设j - 2 to o 时，巧x o n o ，u ( x j ) 叶 o ( x o ) 由极限的保号性有o ( z o ) 0 ，这与( 4 1 1 ) 式矛盾 下面证明对v a ( 0 ，a o ) ，比n o n ) 都有“ ( z ) 0 。因为 仳- - 。h ：p u 。1 ，= u 王4 + a ，z l z x ea n q ( o n 所以对v a ( 0 ，a o ) ，比n ( o n ) 都有 一。u 0 此外，当z a q 时札 ( z ) = 0 ；而当$ o n ( 0 1 2 ) 一a q 时钍 ( 。) 0 ，所以 由强极值原理知：对v ( 0 ，k ) ，慨n ( 0 1 2 ) 都有 u ( z ) 0 综上可知，珏 扣) 0 ，对姒( 0 ，a o ) ，。q 成立证毕! 注4 4 1 ：在这一节里。我们其实是证明了存在常数如 0 使得对v a ( 0 ，如) 问题( 1 1 ) 至少有一个正解u 硕士学位论文 第5 章临界情形 在这一章里我们将证明q = p + 一1 时时问题( 1 1 ) 的第二个非负解的存在性 此外，由于失去了紧性，p s 条件很难验证，我们将采用不带p s 条件的山路弓理 来完成定理的证明 5 1 预备引理 引理5 1 1 ：设札 是问题( 1 1 ) 在q = p + 一1 时的最小非负解，则存在a o 0 使 得对任意a ( 0 ，) - o ) 都有坝b 硒( o ) ，且i ( u x ) 0 ， 1 o 充分小，a 0 ， e 岳葛k 使得对枞( 0 ，a - ) 都有 厶( 札) j 8 b 确o l 0 ， 厶( 矿) 0 和t o 0 与a 和无关，使得使得对任意a ( 0 ，a o ) ，s ( 0 ，e d ) 和t t o 都有嗽+ t o “, e 譬b 确( o ) ，且厶( 赶 + o 珏。) 0 和s o 0 使得对垤( 0 ，印) ，枞( 0 ，h ) 都有 0 c s u p 厶( 札 + t 札。) 0 n ( 5 3 ) 其中u j , 是问题( 1 1 ) 在g = p 4 1 时相应于参数a 的最小非负解，敛= 最( 弧) ， s 是最佳s o b o l e v 嵌入常数 为了完成引