（应用数学专业论文）几类细胞神经网络的稳定性与周期解.pdf

摘要 近年来，细胞神经网络有了长足的发展，在许多重要的领域得到了广 泛的运用。同时现实生活也给细胞神经网络提出了更多的问题，比如脉 冲现象。但是对于具有脉冲的细胞神经网络所具有动力学性质，现阶段 所得的成果还比较少。基于此目的，本硕士论文主要讨论了一类具有脉 冲和一类具有不连续输出函数的细胞神经网络的稳定性与周期解。它包 括四章： 在第一章，介绍了细胞神经网络的历史发展和研究现状，以及本文的 主要工作。 在第二章，讨论了脉冲时滞细胞神经网络 iz ：( ) = 一亿觋( t ) + 口订缈( 巧( ) ) + 夕j ( 巧( 芒一( t ) ) ) + 地， 气 j 2 1 j 2 l 【z ( t m ) = z ( 志) 一z ( 二) ， = t m ， 平衡点存在性和全局指数稳定性，运用m 矩阵理论和l y a p u n o v 函数方 法，推广了相关文献的结果，得到了一个新的结论如下：若下列条件成 l 业 ( h t ) 存在一正数6 ：o 6 0 成立，则该系统必存在一个周期解。另一个定理参见第三章 在第四章，讨论了具有不连续输出函数的细胞神经网络 ，z j = 一7 z 1 + 6 1 1 ( z 1 ( 一n 1 ) ) + 6 1 2 ，2 ( z 2 ( 一7 1 2 ) ) ， 【z ：= 一7 z 2 + 6 2 1 ( z 1 ( t 一丁2 1 ) ) + 幻2 ，2 ( z 2 ( z 一仡2 ) ) ， 其中 c ，= 三1 ，；姜， 的周期解的存在性，改进了相关这类模型的一个方法，并且得到该模型 在6 ，。6 。2 o ，盯。仃。的另一类新的情况 关键词：细胞神经网络，脉冲，时滞，稳定性，周期解 a b s t r a c t t h ec e l l u l a rn e u r a ln e t 、o r kh a u sg r mf a s ti nr e c e n ty e a r s ，i th a sb e e nw i d e l y u s e di nm a i l yi m p o r t a n ta r e a s a tt h es a m et i m e ，t h er e a lw o r l da i l s oa s kc e l l u l a r n e u r a ln e t w o r kt os 0 1 v em o r ea n dm o r ep r o b l e m s ，s u c ha si m p u l s i v ep h e n o m e n o n h 怕v e r ，t h er e s u l t sa b o u tt h ed y n a i i l i cp r o p e r t i e so fc e l l u l a rn e u r a ln e 拥帕r kw i t h i m p u l s ea r es t i ur e l a t i v e l yr a r e f o rt h i sp u r p o s e ，t h i si sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r s ，w h i c hm a i n l y8 t u d yt h es t a b i l i t ya 1 1 dp e r i o d i c i t yo fs o l u t i o n sf o rs e v e r a ll 【i n d s o fc e l l u l a rn e u r a j ln e t 、7 1 7 d r k s i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n ta n dr e s e a r c ho ft h ec e l l u l a rn e u r a l n e t 帕r k o u r 、o r l c sa l s oa r eg i v e ni nt h i st h e s i so fm a s t e r i nc _ h a p t e rt w o ，w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n dg r o b a l l ye x p o n e n t i a l l ys t a b l eo fe q h i l i b r i u mp o i n tf o r t h i si m p u l s i v ec e l l u l a rn e u r a ln e t w o r kw i t ht i m ed e l a y s ，z ：( ) ：一n 兢( ) + 叁。巧乃( 巧( ) ) + t 酬刮蝴一蕞) ， n 劣( ( o j = 1 ( ) ) ) + u t ， = m ， w bi m p r o v es o m el 【n 佣r 1 1r e s u l t ，a j l do b t a i ns o m en e wr e s u l tb yma r r a yt h e o 珂a - 1 1 d l y 印u n o vm e t h o d ：i ft h ef b uo i n gc o n d i t i o n sa r es a t i s f i e d ( h 1 ) t h e r e 咖s tp o s i t i v ec o n s t 疵s6 ：o 6 0 a r es a t i s f i e d ，t h e nt h i s8 y s t e mm u s th a eo n ep e r i o d i cs o l u t i o n t h eo t h e rt h e o r e m i si nt h ec h 印e rt h r e e i nt h el a s tc h 印t e r ，w ei 删e s t i g a t et h ee ) ( i s t e n c e o fp e r i o d i cs 0 1 u t i o nf o rt h i s c e l l u l a rn e u r a ln e t w d r kw i t ht h r e s h o l dn o n l i n e a r i t v i nw h i c h f1 以92 t 二1 ， 吼， 吼， w bi m p r o v et h em e t h o da n do b t i a na n o t h e rc a s ef o rt h i sc l a s s e so fm o d e l k e yw o r d s ：c e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k ，i m p u l s i v e ，t i m ed e l a y s ，s t a b i l i t y ，p e r i o d i cs o l u t i o n i v 、l，、l，、l，、l， 2 2 n 吃 一 一 2 2 z z ，il，l厶如 地 娩 t d l 口 + + 、，、，、l，、l， l 1 n 吃 一 一 1 1 z z ，j，f 1 1巩幻+ 十 1 2 z z r r 一 一 i i = ，1 ，2 z z ，、【 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全 意识到本声明的法律后果由本人承担 学位论文作者签名：；幻广昌哥七多痧7 年月7 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等手段保 存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打“ 力) 作者签名： 导师签名： 洵禺，舭 幡牛 4 9 日期叼年加日 日期：加忤月，日 几类细胞神经网络的稳定性与周期解 1 绪论 本课题产生的历史背景 神经网络是一门新兴的、综合性、交叉性很强的学科，包括实际生物 神经网络与人工神经网络两个方面。神经网络的研究始于2 0 世纪4 0 年 代，而系统地研究神经网络是上世纪5 0 年代末6 0 年代初开始的。人工神 经网络是利用电路来实现模仿人脑神经网络的结构和功能的系统，如果 模仿做得好，它必定有生物神经网络系统所具有的复杂动力学性质。一 般人工网络动力学性质研究往往是紧跟生物神经网络的动力学研究而进 行的。在数学上，我们通常采用微分方程和差分方程来描述神经网络中 各个神经元的活动状态，通过对这些网络模型的分析来了解其相应的动 力学性态。值得注意的是，在事物变化的某些阶段会出现快速的变化， 为方便起见，在这些过程的数学模拟中，常常会忽略这个快速变化的持 续期间而假设这个过程是通过瞬时突变来完成的，这种瞬时突变现象通 常称之为脉冲现象。脉冲现象在现代科技各领域的实际问题中是普遍存 在的，其数学模型往往可归结为脉冲微分系统。脉冲微分系统最突出的 特点是能够充分考虑到瞬时突变现象对状态的影响，能够更深刻，更精 确地反映事物的变化规律。近年来，最新科技成果表明，这类系统在航天 技术，信息科学，控制系统，通讯，生命科学，医学，经济领域均得到重 要应用譬如，可应用于大型空间航天器的减振装置，卫星轨道的转换 技术；可应用于机器人的研制；还可以应用于神经网络，混沌控制，机密 通讯的研究脉冲微分系统这一新的研究领域极具吸引力和挑战力。在 理论上，它综合了连续和离散系统的特征，但又超出了连续和离散系统 的范围，还存在若干亟待解决的问题由于神经网络的巨大潜在作用， 那么对脉冲神经网络的动力学性质的研究也就至关重要了，也引起了许 多研究人员的兴趣。到目前为止，已经有一些很好的工作，但是这只是 硕士学位论文 一些简单的工作，这都是由神经网络高度的非线性所导致的。 下面就本文研究问题的历史背景做一简要概述。 一脉冲时滞细胞神经网络的稳定性 对于没有脉冲的细胞神经网络模型 z ：( t ) = 一n 毛( t ) + n 巧缈( 巧( t ) ) + 缈( 巧( 一勺( ) ) ) + ， ( 1 1 1 ) j = 1j = 1 = 1 ，2 ，3 礼) 的平衡点的存在性以及全局指数稳定性问题上，许多作者 给出了丰富的结果【3 _ 。】。这时我们自然也想知道具有如下脉冲类型的细 胞神经网络 iz ：( ) = 一甄( ) + o 巧彩( 巧( ) ) + 缈( ( 芒一( ) ) ) + u t ，m ， j - 1j _ 1 l z ( 亡m ) = z ( 袁) 一z ( 二) = 户i 仇( z ( m ) 一z ) ， = m ， ( 1 1 2 ) 是否也有一样的结论。文献 1 9 研究了( 1 1 2 ) 当n 巧= o ( i ，歹= 1 ，2 ，3 礼) 时 的情形。文献【1 1 】研究了系统( 1 1 2 ) 在不同的脉冲项下，一个特殊的情 形 二脉冲时滞细胞神经网络周期解 对于如下细胞神经网络模型的周期解问题，已有很多的结果【 - 2 5 】 z ：( ) = 一兢( ) + 。巧( ) 毋( 巧( ) ) + 6 订( z ) 毋( 巧( 一( t ) ) ) + u t ( ) ( 1 1 3 ) j = 1j = 1 据我们所知，对于具有脉冲的细胞神经网络模型 iz ：( ) = 一n 毛( ) + o 巧( ) 聊( 巧( ) ) + 6 巧( ) 毋( 巧( 一( ) ) ) + u t ( t ) ， i ，- l户1 【z t ( m ) = 五( z ( m ) ，m ) ) ， ( 1 1 4 ) 的周期解问题，则结果相对较少【 ，2 8 ，3 2 1 三二元细胞神经网络的周期解 几类细胞神经网络的稳定性与周期解 对于如下模型 j z ：= 一吼+ 6 1 1 ( z 1 ( 。一n 1 ) ) + 6 1 2 厶( z 2 ( 2 一n 2 ) ) ， ( 1 1 5 ) iz ：= 一r z 2 + 6 2 1 ( z 1 ( 一见1 ) ) + 6 2 2 庀( z 2 ( z 一吃2 ) ) ， 、7 其中r o ， o 和( i ，歹= 1 ，2 ) 均为常数；r 表示衰减率，嘞表示突触 传输时滞，玩f 表突触连接强度；输出函数，为如下的m a c c u l l o c h _ p i t t s 型 不连续函数 五c f ，= 三l ，f ；姜， c 1 1 6 ， 这里吼为实数，表示阀值。文献 3 4 ，3 5 】考虑了当“6 1 1 = 6 2 2 = o 且6 1 2 6 2 o ” 和1 1 = 6 2 2 = o 且6 1 2 = 一6 2 1 = 6 o ”的特殊情形，文献 3 6 ，3 7 ，3 8 】考虑 了当= 丁，( i ，歹= 1 ，2 ，3 礼) 的情形，但并没有考虑盯，c r 2 的情况，且计 算量非常大 本文的主要工作 本硕士论文基于上述思想，研究和回答了上面问题： 在第二章，我们讨论了脉冲时滞细胞神经网络平衡点存在性和全局 指数收敛性等问题，利用m 矩阵理论，l y a p u n o u 函数法，数学归纳法，给 出了判断平衡点存在和全局指数收敛的一个判定定理。推广了文献 1 1 ，5 0 】 的主要结果。 在第三章，利用重合度理论给出了脉冲时滞细胞神经网络模型( 1 1 4 ) 周期解存在的一个新的结果，再利用g r o n w a l l 不等式给出了这个周期解 指数收敛的一个判定定理。 在第四章，讨论了具有不连续输出函数的二元细胞神经网络周期解 的存在性问题，给出一个判定定理，并且给出了这类模型的一个通用的 简便方法。 ，3 几类细胞神经网络的稳定性与周期解 2 脉；中时滞细胞神经网络的稳定性 众所周知，对细胞神经网络和时滞细胞神经网络的稳定性的研究是 一个重要的理论问题，具有十分重要的理论和应用价值，且对细胞神经 网络已有一些稳定性结果【加。5 】目前，已有许多文献对时滞细胞神经 网络作了较深入的研究，其研究结果已经表明时滞细胞神经网络在模式 识别、记忆与信号处理、图象处理与计算技术等诸多方面具有广泛的应 用背景。 1 9 9 4 年，廖晓听【埔，7 】系统地对细胞神经网络的数学理论进行了研究， 给出了一系列理论性的成果。张强，许进利用l y a p u n o v 函数法和不等式 分析技巧给出了细胞神经网络全局指数稳定的三个判据。张强，马润年， 许进【1 8 】进一步考虑时滞细胞神经网络，利用l y 印u n o v 泛函和r a z u m i l 【h i n 条件得到了全局渐近稳定的两个充分条件。z h a oh ，c a oj 讨论了一类时滞 细胞神经网络，得到了平衡点的存在唯一性和全局指数稳定文献【5 1 l 运 用l y a p u n o v 函数法讨论了变时滞细胞神经网络的全局指数稳定性。z h a n g q 和w ，e ix ，x uj 利用微分不等式，得到了变时滞细胞神经网络的全局 指数稳定性讨论了既含变时滞又含无界时滞的细胞神经网络模型一些 结论，利用矩阵和积分不等式的性质得到了平衡点的存在唯一性和绝对 稳定性条件。 在实际应用中，脉冲是不可避免的，但是对具有脉冲的细胞神经网 络与时滞细胞神经网络方面的研究却很少见。具有脉冲的细胞神经网络 越来越成为学者研究的热点。本章将利用l y a p u n o v 函数以及微分不等式 对脉冲时滞细胞神经网络的全局指数稳定性进行讨论，所得到的结论是 时滞细胞神经网络的全局指数稳定性条件的推广。 2 1 系统的描述 一5 一 硕士学位论文 本章将考虑如下脉冲时滞细胞神经网络系统 iz ：( t ) = 一n 兢( 亡) + o 巧易( 巧( ) ) + 卯( 巧( 一( ) ) ) + u t ，h ， i j - 1 j - 1 【z ( z m ) = z ( 去) 一z ( 二) = ( z ( m ) 一z 4 ) ， = m ， ( 2 1 1 ) 所对应的无脉冲细胞神经网络为 nn z ：( t ) = 一亿墨( t ) + 。巧毋( 巧( t ) ) + 6 巧易( 巧( 一勺( ) ) ) + u t ( 2 1 2 ) j = 1j = 1 其中( t = 1 ，2 ，3 礼) ，仇，脉冲时刻满足：o o t 1 o ，v o o ，劭= 6 ( ) o ，当妒p c ( 6 ) ，对 定义2 2 3 一个实矩阵a ( n 巧) n 竹称为一个m 矩阵，若满足下列条 c 2 ，t = l 三：j 三i 。，c i = 1 ，2 ，3 他， ( i ) 定义2 2 3 的( 1 ) 成立，且a 一1 o ，即a 一1 是一个非负矩阵。 硕士学位论文 ( i i ) 定义2 2 3 的( 1 ) 成立，且存在一组常数勺 o ，d = 1 ，2 ，3 佗) ，有 n 勺 o j = 1 ( i i i ) 定义2 2 3 的( 1 ) 成立，且任给一组正数= ( f 1 ，已，矗) t ，方程组 a z = 有正数解叩= ( 叼1 ，叩2 ，) t ( i v ) 定义2 2 3 的( 1 ) 成立，且a 仅有正实部特征值。 ( v ) 定义2 2 3 的( 1 ) 成立，且矩阵g ( ) n 其中= ：2 歹，i 歹 lo “ 的谱半径户( g ) 1 ( 即矩阵g 的所有特征值的模小于1 ) 引理2 2 1 非奇m 矩阵，l y a p u n o v 对角稳定矩阵，非奇日矩阵，完 全稳定矩阵和强稳定矩阵都是p 矩阵 引理2 2 2 ( g r o z l w a l l 不等式) 若u ( t ) 与凸( ) 都是 口，6 】上的连续的实函 数，p ( ) o ，在 口，6 】上可积且成立 u ( ) o ( ) + 卢( s ) “( s ) d s ， t n ，6 】， - ，n 则必有 u ( ) q ! ( z ) + p ( s ) q ( s ) e e p ( s - ) 如t d s ， t o ，6 l ， ，口 若加上q ( ) 非减，则成立 u ( t ) q ( 咖e 荆如 在本章中，为了叙述方便，引入如下记号：对于矩阵a = ( ) n b = ( ) n n ，p m = ( p m 巧) n n 记i a i = ( ( i a 订i ) n n ，l b l = ( i i ) n n ，62 ，婴蓥n ) ，p m = 。舞巧) ，一。瑟 ) ，( ；2 盟 吼矗2 黪蚴，r = d 酬r 2 ，) ， 表示单位矩阵。 2 3 稳定性分析 当嘞( ) = 时，我们有下面结论 一8 一 几类细胞神经网络的稳定性与周期解 定理2 3 1 若下列条件成立： ( h ) 存在一正数6 ：o 6 璁n ) ，使得 盔( 一6 ) 如( 1 t i + i l e 6 功) ， j = 1 ( h 2 )设有= i i p m + e l l l ， a 全l i ms u p 器 6 ， n m e 打 其中p = 垫号必，( i = 1 ，2 ，3 死) ，则系统( 2 1 1 ) 的平衡点是唯一且全局 指数稳定的，其指数收敛率为6 一a 要证明系统( 2 1 1 ) 平衡点的存在性和唯一性，只须证明相对应的连 续系统( 2 1 2 ) 平衡点的存在性和唯一性。存在性前面已做说明。现证唯 一性。假设系统( 2 1 2 ) 存在两个平衡点z + ，可，则有 一r ( z + 一矿) + ( a + b ) 夕( z 一可+ ) = o ， 对于( i = 1 ，2 ，3 佗) ，由条件h 1 得 奶( i t l + i i ) 也n ， ( 2 3 1 ) j = l 根据( 2 3 1 ) 式知，存在一个对角矩阵k = 出n 9 ( 尼，克2 ，k ) ，吲1 ，使得 即有如下式子 嘭( i t i + i i l ) i 觑i + 也( n “+ 饥t ) 觑 j = 1 j 产4 嘭( i tj + i ；j ) 也亿， j = 上 嘭( 蚓+ 酬) 也h 一( 。说+ ) 吼 j = 1 j t 由引理2 2 1 可得d e t r 一( a + b ) 卅o ，唯一性得证。 9 一 硕士学位论文 不妨假设= o ，当o t 1 时，令暇( t ) = e 疵k ( ) 一z 引0 = 1 ，2 ，3 n ) ，则 d + m ( z ) 一( n 一6 ) 暇( ) + i ( ) + i i e 6 以( 一) 1 j n1 j s n 考虑l y a p u n o v 函数 y c t ，眦，= 喜吐 m c t ，+ 喜1 6 玎i e 6 仁勺c s ，d s y ( 屯眦) = 吐lm ( ) + i p ( s ) d s 1 待1 l t = 1 “一。” j y ( t ，m ) 关于的右上导数满足 d + y ( ，毗) 妻引一( 旷6 ) 比( t ) + 蚓( ) d + y ( ，毗) 盔 一( n 一6 ) 比( t ) + ：i n 巧1 ( ) + m e 嘞( t 一嘞) + 吲e 阮，( ( ) 一( 一) ) 】 = 芝吨【_ ( n 一6 ) + 妻( 蚓+ 酬) e 】w ( t ) = 吨【_ ( n 一6 ) + ：( i t i + i i ) e 6 勺】w ( t ) 由( h 1 ) 式可知d + y ( t ，m ) o 因此，当o z 1 时，有 y ( ，瞰) y ( o ，7 乇) m e 6 幻l | z ( ) 一z 4j i r 其中m 为一正整数。可令 m = c ；( 1 + 凡打e 6 丁) ， 妒是解z ( t ) 的初始函数，一z 。i i r = s u p ( p ) 一矿m 又 一r p s 0 w ( ) y ( t ，m ) m e 6 幻愀t ) 一z + 忆 l = 1 因此 魂e 以瞰t ) 一z 叫m e 以。m ) 一z 帆 t = 1 1 0 几类细胞神经网络的稳定性与周期解 故当o t t 1 时有， i i z ( t ) 一z + i l p i l z ( t ) 一z 4 | l7 e 一6 ( t 一幻) ， 其中p = m z1 i n 下面，我们将证明，当一1 z 七，尼时 i i z ( t ) 一z + l | 伽7 7 1 吼一1 p 七| j 妒一z j j7 ，e 一乳 很显然当尼= 1 时，由( 2 3 2 ) 式知( 2 3 3 ) 式成立。 假设当忌= m 时，( 2 3 3 ) 式成立，即当一1 t 时 i l z ( ) 一z i i 叩0 7 7 1 一1 p m i l 妒一z + i i ，e 一& ， 由( h 2 ) 有 z ( 土) 一z 4 = ( e + p 仇) ( z ( 二) 一z 4 ) ， i i z ( 轰) 一z + | i i i ( e + p m ) i ( z ( t 二) 一z ) i l = i i ( z ( 瓴) 一z 。) | l ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 叩0 7 7 1 叼m l 矿i l 妒一z l l r e 一& 所以，当t m 一下袁时 陋( t ) 一z + l f m a x 叩0 叩1 一1 矿一z 忙一， 伽叼1 一1 p m i i 妒一z + | i 下e 一6 ( 。m 一下) = 伽叩1 叩m 一1 矿怕一z 。怕一 与( 2 3 2 ) 式的证明类似，可得到当亡m + - 时 i i z ( ) 一z + i i p 伽叼1 一1 矿l i 妒一z + i l r e 一乱， 由数学归纳法，不等式( 2 3 3 ) 对任意的m 成立再利用条件( h 2 ) 可得 i i z ( ) 一z + l l p e a ( 2 1 一。) e a ( 。2 一。1 ) e a ( 。一。m i i 砂一z 4 i i r e 一& =f l 妒一z 8 l l 丁e 一( j a 弦 一11 硕士学位论文 定理2 3 1 证毕。 定理2 3 2 若下列条件成立： ( h 3 )入1 + 入2 o ，m + 1 一t ， t 为正实数，m + ， ( h 4 )+ 7 入2 ) ( 1 + 丁a 2 ) e 2 ( a 1 + a 2 ) t 1 ，p + 丁入2 ) e ( a 1 + a 2 ) t o ，| 6 = ，设妒p c ( 6 ) ，z ( z ) = z ( ，幻，妒) 是系统( 2 1 1 ) 过( ，妒) 的解，则只须证明对耽，有 m ) 一z 引 ( 2 3 5 ) 讧：1 在该定理的证明中，为叙述方便，记y ( ) = y ( t ，z ( t ) ) ，恢t l l = s u p 恢( 抖鲋， 一r 曼t 0 n k = 恢。l l ，乞( ) = 毛( t ) 一z l 考虑l y 印u n o v 函数 i = 1 n y ( ) = 雠) | ( 2 3 6 ) 扛= 1 当t 时，y ( ) 沿系统( 2 1 1 ) 的轨迹求右上d i n i 导数，可得 y + ( ) = s 夕礼( 乞( ) ) 【1 ( 旎( ) ) + 。巧，( 勺( t ) ) + ，( 乃( 一幻( ) ) ) 】 扛= 1 j = 1j = 1 nn ，l 1 i 乞( t ) i + 蚓l 勺( ) i + 吲i 勺( t 一幻( t ) i ) 仁1 j = 1j = 1 nn nnn = 一亿i 乙( ) i ) + 蚓l 勿( ) i + 1 6 巧愀t 一锄( ) ) i t = 1t = 1j = 1i = 1j = 1 nnnn = 一+ 蚓( ) i + m i 乞( 一幻( ) l i = 1 歹= 1 t = 1j = 1 佗 n 入) i + 入z 雠一幻( t ) 1 一1 2 几类细胞神经网络的稳定性与周期解 两边从( o ，1 积分得： 即) rw 砂( 卜) 砒+ 呻手) ( a 1 + 入2 ) y ( t ) 出+ ( 1 + 7 _ a 2 ) k 。， 由引理2 2 2 得，当( 知，t 1 】时 ( 1 + 7 - a 2 ) k 。e ( a 1 + a 2 ) ( 。) ( 1 + 7 - a 2 ) e ( 入1 + a 2 ) t k 。 当( t 1 ，t 2 】时 帅) rw w ( 川删出+ 呻：_ ) ( 入l + 入2 ) y ( t ) 班+ ( p + 7 a 2 ) k 。， 根据引理2 2 2 知 y ( )p + 7 a 2 ) k 。e 丁e ( a l + 把) ( 一k ) + 7 a 2 ) ( 1 + 下入2 ) e 2 ( a l + 入2 ) t 。， 利用条件( h 4 ) ，可得 y ( ) 。 对于( m = 2 ，3 ) ，两边在区间( ，m + ，】上积分，得 叫z ) ( w 出+ 石w ( 川删出+ 帅j ) ( 入1 + 入2 ) y ( ) d t + + 下a 2 ) k 。， 再由引理2 2 2 可得，当( ，t m + 1 】时 y ( ) 0 + 7 - a 2 ) k e ( a 1 + a 2 ) ( 2 一“) 0 + 7 - a 2 ) e ( a 1 + a 2 ) t 1 3 硕士学位论文 由上述推理可以判断，当亡。时有 即有 定理2 3 2 证毕。 y ( ) ， 瞰) 一z 引k 。， 耽1 i = 1 2 4 例子 ( 2 3 7 ) 考虑如下例子 r 22 p d n 置 ) + 暑以姒d ) + 暑 咱”机“缚，( 2 4 1 ) 、，= lj 2 ll 二上， i z ( z m ) = p 仇( z ( m ) 一z + ) ， = m 其中r = ( 苫兰) ，a = ( 二1 ：) ，b 1 ，= 1 4 m ，( m = 1 ，2 ，3 ) 主 ：) ，户m = ( ；兰) ，。 取6 = 1 ，也= 1 ，d 。= 2 ，则可验证条件h 1 成立 经计算可得= 4 ，m 3 0 ，卢3 0 ，l n 卢 7 ，拦 e 打 由此可知h z 成立。所以( 2 4 1 ) 式的平衡点指数收敛。 一1 4 几类细胞神经网络的稳定性与周期解 3 脉冲时滞细胞神经网络的周期解 多数被广泛研究和使用的神经网络可以被分为连续和离散两类。最近 一类新的神经网络一脉冲神经网络出现了，它们既不是纯粹的连续， 又不是纯粹的离散。这种第三类神经网络显示了一种连续时间和离散时 间系统的结合【加， q 5 1 在文献 2 8 】中，作者研究了带有可变时滞和无 界时滞自治脉冲神经网络的周期解的存在性和全局指数稳定性。在本章 中，我们将研究如下一类带有变时滞和脉冲的非自治神经网络周期解的 存在性和全局指数稳定性，得到了一个新的结果。 3 1 系统的描述 本章将考虑如下脉冲时滞细胞神经网络系统 iz ：( ) = 一n 黾( ) + o 巧( ) 乃( ( t ) ) + ( ) 乃( 巧( 一( t ) ) ) + 钍i ( t ) ，t ， i j 1 j 爿 i z t ( 亡m ) = 厶( z ( m ) ，艺m ) ) ， t = m ， ( 3 1 1 ) 所对应的无脉冲细胞神经网络为 z ：( ) = 一亿( ) + a 订( ) 缈( ( ) ) + ( ) 缈( 巧( t 一( ) ) ) + ( t ) ( 3 1 2 ) j = 1j = 1 其中( i = 1 ，2 ，3 n ) ，m ，脉冲时刻知满足：o o 1 ， 其中z ( 幻) = z o 是初始值。 证明首先( 3 2 1 ) 式显然成立，其次证明( 3 2 2 ) 式成立。为此考虑方 程 毖聂筹孥m ( 3 2 3 ) 几类细胞神经网络的稳定性与周期饵 不失一般性，取初始时刻幻= o 因此方程( 3 2 3 ) 满足玩( o ) = 孔( t ) 由 ( 3 2 3 ) 式得 引归引0 ) + 舶s 冲+ 。三。q m 由戤( o ) = 翰( 丁) 得 知圳s + 圭c 一 另一方面，令 叫归c o + 知班一。三。 其中c 0 是任意常数，那么容易验证z ( ) 是( 3 2 3 ) 的解，且z ( o ) = z ( t ) ，因 此 i k 一，：知冲+ 塾= 。) 取投影算子q ：y _ y 如下 q ( 犰，龟1 ，龟七) = t 删s + 塾加，。) 对每个( 犰，龟1 龟七) ( 为y 的第i 个分量) ，令 忍= ( 酊，龟1 ，q 七) = ( 玑，q 1 ，白七) 一q ( 玑，q 1 ，q 南) ， 因为 知s 灿+ 塾- o ， 所以z i m l ，因此y = i m l + 尼，其中眉= ( c ，o ，o ) ，c r ) ( 冠为彤 的第i 个分量) ，由于i m l nr ，_ o ) ，所以 d i m k e r l = d i m j = 礼= c o d i m i m l 硕士学位论文 很明显，i m l 是闭的，这样己是零指标的n e d h o h 算子 令gc 舻是有界开子集， q o = z x ，z ( t ) ，z 他) g ，z ( 砖) ，z 他去) g ，亡 o ，明) ，那么q o 是x 中的 有界开集。 引理3 2 2 在蕊上是l 一紧的。 证明定义投影算子 尸( z ) = z ( 0 ) ，z x ， 那么酢：i m _ k e r p n d o m 三可定义为，v ( 玑，q 1 ，白七) = 旎， k - p 乞= k ，p ( 犰，白1 ，q 南) = 知s 胁+ 。三。 事实上， v ( 玑，c f l ，q 七) ，其中( 可，c ) i m l ，有 c 吲掷，= l 蚺。象。龟m ) = ( 玑( ) ，q 1 ，q 知) = 旎( t ) ， 比d o m lnk e r 尸，我们有z ( o ) = o ，这样 ( j o l ) z t ( z )