（课程与教学论专业论文）数学可视化教学及其若干范例.pdf

摘要近年来可视化教学已经引起教育界的关注。国外，许多研究者已经肯定了可视化在数学教学上的作用和地位。国内，研究者也开始了在可视化教学方面的研究。本文在研究国内外关于可视化理论的基础上，对数学可视化的概念进行了界定，探讨了当前引入可视化教学的意义和可能性，分析了数学可视化教学的特点，给出当前中学数学教师在实际教学中较易制作、操作的数学可视化教学工具，主要有几何画板、m a t h e m a t i c a 软件、m a t l a b 以及电子表格e x c e l 。本文又从认知心理学方面、教育学方面以及数学教育学方面总结了数学可视化教学的功能，：它能够激发学生学习数学的兴趣，调动学生学习数学的积极性，让学生在体验中学习数学知识、领会数学原理，旨在促进学生对知识的理解和运用，更好地发挥自己的想象能力和创造能力。本文采用理论研究与行动研究结合的方法。针对目前数学教学，以加涅的知识网络理论、建构主义的自主学习理论和人本主义学习的理念为理论依据，开展了数学可视化教学的研究和实践。通过选取算术、代数、几何、统计、微积分方面的课例，对其进行数学可视化设计，并在条件允许的情况下对部分课例进行了实施与反馈。通过分析，笔者认为利用可视化教学，对于改变教师的教授方式，帮助学生理解数学知识有着积极的作用和影响。在教学过程中，学生通过观察、猜想、验证、证明、推广和应用，不同的人获得不同的情感体验，而且学生的领悟、探索、发现和创造能力都得到了不同程度的提高。关键词：可视化数学教学范例；数学可视化教学及其若干范倒a b s t r a c tn o w a d a y s t e a c h i n gv i s u a l i z a t i o nh a sb e e na t t r a c t e dt h ee y e so fr e s e a r c h e r si ne d u c a t i o n o v e r s e a s ，m a n yr e s e a r c h e r sh a v ea g r e e dw i t ht h er o l ea n ds t a t i o no ft e a c h i n gv i s u a l i z a t i o ni nm a t h e m a t i c s a n da th o m er e s e a r c h e r sh a v eb e g u nt os t u d yt e a c h i n gv i s u a l i z a t i o n b a s e do nt h es t u d yo fv i s u a l i z a t i o ni n c i v i la n da b r o a d t h ep r e s e n tt h e s i sd e l i m i t st h ed e f i n i t i o no fv i s u a l i z a t i o ni nm a t h e m a t i c a le d u c a t i o n 。d i s c u s s e st h em e a n i n ga n dp r o b a b i l i t yo fv i s u a l i z a t i o ni ne d u c a t i o n ，a n a l y s e si t sc h a r a c t e r i s t i c ，p r e s e n t st h ev i s u a lt o o l sw h i c ht e a c h e r sc a ne a s i l yu s ei np r a c t i c e ，f o re x a m p l e ，o e o m e t e r ss k e t c h p a d ，m a t h e m a t i c as o f t w a r e ，m a t l a ba n de l e c t r o n i cs h e e te x c e l t h ew r i t e rs u m m a r i z et h ef u n c t i o no ft e a c h i n gv i s u a l i z a t i o ni nm a t h e m a t i c sf r o mt h ea s p e c t so fc o g n i t i v ep s y c h o l o g yp e d a g o g ya n dm a t h e m a t i c s t h e r e f o r et e a c h i n gv i s u a l i z a t i o ni nm a t h e m a t i c sc a na r o u s et h ei n t e r e s t sa n de n t h u s i a s mo fs t u d e n t st ol e a r nm a t h e m a t i c s ，p u tt h ea b s t r a c tm a t h e m a t i c sk n o w l e d g ea n dp r i n c i p l ei n t op r a c t i c a lu s e a tt h es a l t l et i m e ，i ta l s oc a nf o c u so nf o s t e r i n gt h ea b i l i t yt ot h i n ki n d e p e n d e n t l yi no r d e rt oi m p r o v ea p p l i c a t i o no ft h et h e o r e t i c a lk n o w l e d g e ，a c c e l e r a t et h ee x e r t i o no fs t u d e n t s i m a g i n a t i o na n dc r e a t i v i t y t h i st h e s i sa d o p t st h em e t h o do fe m p i r i c a lr e s e a r c hb a s e do nt h et h e o r e t i c a lf o u n d a t i o n s c o n c e r n i n gw i t ht h ec e r t a i np r o b l e m so ft h ed i f f i c u l t i e s ，t h ea u t h o rc o m e su pw i t ht h ep r e s e n tr e s e a r c ha n dp r a c t i c eo ft e a c h i n gv i s u a l i z a t i o ni nm a t h e m a t i c sb a s e do ng a g n e se d u c a t i o n a lt h e o r yo fk n o w l e d g en e t w o r k ，c o n s t r u c t i v i s tl e a r n i n gt h e o r ya n dt h eh u m a n i s ml e a r n i n gt h e o r y s e l e c t i n gs e v e r a ls a m p l e si na r i t h m e t i c ，a l g e b r a ，g e o m e t r y ，s t a t a n dc a l c u l o u se r e ，b yc a r e f u ld e s i g n i n g ，s o m es a m p l e sh a v eb e e np u ti n t op r a c t i c eu n d e ra v a i l a b l ec o n d i t i o n s t h r o u g ha n a l y s i s ，t h ea u t h o rb e l i e v e st h a ti th a sg r e a th e l pt oa l t e r t e a c h e r s t e a c h i n gs t y l ea n dw e l la r o u s es t u d e n t s l e a r n i n gi n t e r e s t s ，s t r e n g t h e ns t u d e n t s l e a r n i n gm o t i v a t i o n ，g i v es t u d e n t sf a v o r a b l ef e e l i n ga n de x p e r i e n c ei nc o m m u n i c a t i o n ，b r i n gu pg o o dl e a r n i n ga t t i t u d e k e y w o r d sv i s u a l i z a t i o nm a t h e m a t i c a lt e a c h i n gp a r a d i g m ；。1 1 第1 章引言1 1 研究背景1 1 1 问题的提出第1 章引言学校教学涉及知识范围较广，除了语文、英语、数学、历史、地理等知识之外，还有化学、物理、生物等实验性强的诸方面内容，一些特定的流程场面，需要专门的演示或资料影片的放映，方能给学生以直观的深刻的印象。这些环节若采用以往的教学模式，从课程的准备、实簏到效果评定等方面均有较大难度。为了解决这些问题，多媒体教学孕育而生，多媒体教学以全新的教学模式，开辟了趣味教学的新天地，对学生的感官形成多种刺激，使教学内容生动活泼，激发在多媒体教学的实践中。随着多媒体技术的发展与普及，在学校教育中广泛地使用多媒体技术，但是多媒体技术并不等于可视化。存在着这样的现象，把课本上的文字、图像一成不变地投影到屏幕上既没有充分发挥多媒体技术与功能，也没体现可视化教学的理念。在这种情况下教师依然是讲解的中心，学生依然是被动的接受者。媒体教材只是文字教材的机械翻版和简单重现，多媒体的使用仅仅成为教学过程的一个点缀。面向计算机的可视化创新教学凡是计算机可简单完成的内容，如图像的展现、数据的计算则以软件操作和软件原理为主；以前没有进行可视化的数学概念、原理和方法现在利用可视化方式教授有助于提高学生思维能力和创新能力。本文所研究的可视化教学既不需要考虑多媒体所涵盖的综合处理和控制符号、语言、文字、声音、图形、图像、影像等多种媒体信息，也不需要考虑在软件开发过程中模型的选择，技术平台以及环境的选择等因素，不是简单地利用现成的软件，是从教育方面结合数学特点所做的可视化。在当今的教育领域中教与学正经历着剧烈的变化，教师在传授知识时，尤其在教授抽象理论特别需要“可视化教学”。传统的教学方法在一定程度上不能很好地展现某些知识所特有的动态性和抽象性。这一教学需求使得人们开始研究与开发教育用途的可视化教学素材，将不直观信息转换成直观的图形或图像信息显示出来。在数学教学中引入可视化教学能很好地帮助学生理解课程中较为抽象的概念和难理解的知识。在现阶段，我国可视化的研究数学可视化教学及其若干范例还处于起步阶段，教育可视化在实际中还鲜有应用。在数学教育可视化方面，更是少之又少。本文主要讨论的是可视化教学在数学教学的作用以及在数学教学过程中开发可视化教学素材。1 1 2 研究现状最初对可视化进行研究的并不是教育工作者而是自然科学的研究者。人们在进行科学研究方面面临个现实：庞大的数据缺乏直观、形象的整体信息，远远超出了人脑识别、分析、解释这类数据的能力，影响了科学发现的总结和交流，从而阻碍了科学研究的进展。为此，美国科学基金会( n s f )于1 9 8 6 年1 0 月专t q 召开了一次研讨会，会上提出了“科学计算可视化”或简称“可视化”的概念。以后，可视化研究逐步进入教育领域，许多研究者强调可视化及其可视化推断对学习数学的重要性( g r e e r ，1 9 9 4 ；h o r g a n ，1 9 9 3 ；b a r w i s e 和e t c h e m e n d y ，1 9 9 1 ；d o r f l e r ，1 9 9 1 ；d r e y f u s ，1 9 9 1 ；z i m m e r m a n ，c u n n i n g h a m ，1 9 9 1 ；b i s h o p ，1 9 8 9 ；p r e s m e g ，1 9 8 9 ；r i v a l ，1 9 8 7 ；d a vi s 和a n d e r s o n ，1 9 7 9 1 。在国外，在数学方面研究者对可视化的观点有：有些作者认为可视化指的是现在和历史上那些使用可视模式呈现数学家所进行的工作( h o r g a n ，1 9 9 3 ；d r e y f u s ，1 9 9 1 ；r i v a l ，1 9 8 9 ；d a v i s 和a n d e r s o n ，1 9 7 9 ) ：有些作者认为学生在做数学时可视思考能够成为一个可供选择和有效的资源( b a r w i s e 和e t c h e m e n d y ，1 9 9 1 ；d o r f l e r ，1 9 9 1 ；g o l d e n b e r g ，1 9 9 l ；和t a l l ，1 9 9 1 ) ，这种资源可以打开思考数学的一种全新的方式。几位作者还开发了在问题解决语境当中可视化和可视推断的几个典型的例子。他们当中的大多数尝试按照可视和非可视来化分学习者的解题策略( z a z k i s ，d u b i n s k y 和d a u t e r m a n n ，1 9 9 6 ；g a l i n d o ，1 9 9 5 ；s c h l f i e l d 和k i r b y ，1 9 9 4 ；s h a m a 和d r e y f u s ，1 9 9 1 ) 。其中部分研究者允许在同样的问题一一解决任务中使用“混合”( m i x e d ) 策略，这个策略包含可视策略及其它类似于代数策略的策略( g a l i n d o ，1 9 9 5 ；s h a m a 和d r e y f u s ，1 9 9 1 ) 。z a z k i s ，d u b i n s k y 和d a u t e r m a n n ( 1 9 9 6 ) 描述了个在可视和分析策略之间相互穿叉的模型，他们认为这个模型有时可能比使用可视或者是分析两个孤立的策略更为有效。p r e s m e g ( 1 9 8 6 ，1 9 8 9 ，1 9 9 2 ) 关于可视策略总结了学生所用的一系列视觉表象( v i s u a li m a g e r y ) ，对其分析并做了更迸一步的工作：具体、图形的表象( 在脑中出现图形) ，模式的表象( 以视觉空间格式勾勒出纯粹的关系) ，对公式的记忆，动觉的表象( 包括手的运动和其他的手势) ，和动态的表象( 包括对几何图形的动态转换) 。她还讨论了使用视觉表象的优缺点。她指出，使用具体图形表象解决数学问题，会使学生拘泥于对无关细节的推理而忽视原问题表征中的重要成分，其他的几种表象均有助于问题的解决。有些研究已经在某些方面作了更进一步的研究。例如，软件环境可以帮助减少视觉表象的缺点，尤其是过于依赖单一的图表这一缺点( y e r u s h a l m y 和c h a z a n ，1 9 9 0 ) 。p r e s m e g 在1 9 9 0 年的文章里进一步发展了模式表象的想法，她是这样定义表象的，被漠视的具体细节的表象类型和纯粹的关系都以视觉一一空间图解被描述。( p 6 0 2 ) 他还指出，模式表象在解决数学问题中起着关键的作用，因为这种表象摈弃了具体的细节，勾勒出一种纯粹的关系。除了以上提到的软件环境以外，许多作者还描述了软件环境对于学生的数学可视能力是有帮助的( b o r b a ，1 9 9 3 ；b a a r w i s e 和e t c h e m e n d y ，1 9 9 1 ；b a t t i s t a ，c l e m e n l t s ，和w h e a t l e y ，1 9 9 1 ；g o l d e n b e r g ，1 9 9 1 ：h e r s h k o w i t z ，f r i e m l a n d e r ，和d r e y f u s ，1 9 9 1 ；t a l l ，1 9 9 1 ) 。致力于软件环境研究的一些研究者并没有特意把学生和他们所用的策略分类，而是针对学生解决问题时需要进行可视化的那些方面作了详细的分析( m o s c h k o v i c h ，1 9 9 6 ；m o n k和n e m i r o v s k y , 1 9 9 4 ；b o r b a ，1 9 9 3 ；h e r s h k o w i t z ，f r i e n d l a n d e r ，d r e y f u s ，1 9 9 1 ；y e r u -s h a l m y 和c h a z a n ，1 9 9 0 ) 。这些研究有助于描述学生利用软件进行思考和没利用软件进行思考时，软件环境所具有的特色( y a c k e l 和w h e a t l e y , 1 9 9 0 ) ，他们都是使用个案研究采进一步描述可视化和可视思考的本质。在国内可视化的研究主要集中于自然科学研究当中，例如医学、化学、地理，t 关于教育方面可视化的研究是寥寥无几，在数学可视化方面更是少之又少。研究方向主要有：课件的设计( 杨泽忠，2 0 0 1 ) ，软件的使用( 罗日才，2 0 0 4 ；庞新琴，刘树宽，2 0 0 4 ) ，复杂知识的呈现( 周东清，1 9 9 7 ；罗弟亚，2 0 0 0 ) 和利用信息技术进行课程开发( 高凌远，李葆萍，2 0 0 4 ) 。文章大多数是通过指出传统教学过程中存在的不足，借助于计算机或者针对特定问题给出建议或者仅几个内容给出具体的解决的方案但并没有就数学可视化教学自身的意义进行探讨。虽然目前在国内可视化的相关研究相对比较少，尤其是在教育领域的应用目前发展还处于探索性的阶段，但随着计算机技术本身的发展，可视化的发展必然呈现出相当的发展态势和前景。数学可视化教学及其若干范例1 2 研究的目的与方法国外在数学教育可视化方面的研究以数学解题策略为主，但如何可以可视化方式呈现数学概念、原理、方法却没有给出具体的范例。国内数学教育可视化方面的研究主要是针对高等数学知识的教学，而关于中、小学数学知识却很少，并且他们的研究主要是把信息技术引入到数学课堂中而对数学知识自身实现可视化却是一个空白。由于目前国内外对数学可视化在教学方面如何实现没有统一的概念所以笔者给出数学可视化概念的界定，分析当前引入数学可视化的意义及可能性，数学可视化教学的特点和功能，数学可视化教学工具等，并在此基础上给出若干范例。为了给数学教学中引入可视化教学提供方法论依据和理论基础，本文在方法上采用理论研究和行动研究( 本文的行动研究指的是为行动而研究r e s e a r c hf o ra c t i o n 。行动者用科学的方法对自己将实行的行动所作的研究，包括可行性研究，检验初始假设，制定行动计划等。) 相结合，为了揭示引入数学可视化教学的理论基础，笔者研究了相关文献，以现代教学论、认知心理学等为依据，对数学可视化教学进行分析论证和理论概括。为了给出数学可视化教学范例，在理论分析的基础上，具体设计教学范例，并在普陀区一所学校进行行动研究。就几例进行了实施，在课堂教学过程中，观察学生的反应，包括观察学生的参与程度、学习方法、情绪与态度等，对于探索性的或创新性的可视化范例让学生课后写成小论文的形式，让学生在课上进行交流报告。( 其中有些小论文已发表并获奖)随着教学技术的发展、教学软件的开发，数学可视化教学已成为可能。现阶段，国内数学可视化教学还仅仅理解为课件的制作，对数学自身知识考虑有所欠缺，本文所给出的范例着重知识本身的可视化。给出的数学可视化范例从分析以往教学过程中所面临的问题出发，给出解决方法，并从教学目标到教学设计给出了详细说明。量：耋曼堡兰主墼兰2 堡竺墼：第2 章可视化与数学可视化教学2 1 可视化概念的界定现代科学技术为人们提供了先进的数据收集手段、复杂的计算模型和强大的计算能力，使得研究者在其各自的研究领域内获得了越来越丰富的数据，这些数据为人们进一步深入科学研究和获取新知识提供了丰富的素材。然而，随着大型科学计算和数据采集技术的发展，在诸如气象学、流体工程、地球物理学、空间探测等一系列的学科领域，数据量的剧增，已经远远超过了人们的处理能力，大量信息因人们无法理解或来不及理解而浪费掉。人们惊呼：“我们能做的工作仅仅是把数据收集贮存起来而己。”为此，科学研究急需一种能有效地辅助研究者理解数据、发现大量数据中所蕴含的自然规律的数据表示方法和工具，科学计算可视化( v i s u a l i z a t i o ni ns c i e n t i f i cc o m p u t i n g ) 就是在这一要求下应运而生的。它根据计算机图形学的理论和技术，将科学计算及测量所产生的大规模数据转换成直观的图形、图像显示。借助交互式图形图像系统从大量复杂的数据中抽取有意义的信息，帮助科学工作者及工程技术人员洞察数据内含信息，并对各种物理现象更直观，更深刻，更全面地进行了解，从而摆脱直接面对大量无法理解的抽象数据的被动局面。同时，科学工作者们可以通过这种直观的形式与他们的同事进行合作交流，并且进一步地共享合作成果。“科学计算可视化”这科学术语正式出现于1 9 8 7 年2 月美国国家科学基金会( n a t i o n a ls c i e n c ef o u n d m i o n ，简称n s f ) 召开的一个研讨会上，研讨会发表的总报告给出了科学计算可视化的定义、它覆盖的领域以及近期与长期的研究方向 1 1f m c c o r m i c h ，1 9 8 7j。科学计算可视化( v i s u a li ns c i e n t i f i cc o m p u t a t i o n ，v i s c ) 或简称为可视化( v i s u a l i z a t i o n )是对计算及数据进行探索，以获得对数据的理解与洞察，把计算中所涉及的和所产生的信息转变为直观的、以图形或图像信息表示的随时间和空间变化的物理现象或物理量，同时还提供视觉交互手段。美国c e p 在v i s c 报告中对可视化的定义是：“可视化是一种计算和处理的方法它将抽象的符号( 数据) 表示成具体的几何关系，使研究者能亲眼看见他们所模拟和计算的结果，使用户看见原本不能看见的东西。” 1 】作为理解复杂现象和抽象数据的数学可视化救学及其若干范例重要工具，可视化自它提出以来得到了广泛重视。它通过强烈的视觉效果来揭示事物的本质和变化规律，从认知科学角度对人的思维产生影响。从可视化涵义的角度来描述，可视化是将不可见或抽象的信息用有意义的图像、视觉效果或图片来表示，使这些信息在人们的感觉和想象中可视( 牛津英文词典，1 9 8 9 ) 。按照潘云鹤的观点，可视化的基本含义是运用计算机图形学或者一般图形学的原理和方法，将科学与工程计算等产生的大规模数据转换为图形、图像，以直观的形式表示出来。直观地讲，可视化是研究如何把科学数据转换成可视的、能帮助科学家理解的信息的计算方法。其目的首先是为了高效地处理科学数据和解释科学数据，因为科学数据越来越多，人们来不及处理：其次是因为目前信息交流手段贫乏，可通过视觉化信息来弥补语言符号信息交流之不足。可视化教学是随着现代教育技术的发展而形成的基于计算机的教学。目前，现代教育技术已从通常的黑板教学发展到幻灯机、投影、电影、录音、电视、彩色闭路电视等多种形式的教学，其中可视化教学是最活跃的，可视化的结果是为了帮助学生理解他们获取知识、概念和数据，可视化教学远远不只是图形的表示，它包括了获得洞察以及对问题求解过程的理解。可视化教学就是把教学过程中的数据( 信息) 映射到图形表示，或映射到动态图像表示，或映射到一个简明清晰的显示屏幕上。随着计算机技术的发展，可视化已经引起大量从事数学教育者关注，尤其是计算机技术能够在很大范围上使得视觉显示成为可能。关于可视化在教育方面的涵义虽然尚没有定论，但许多学者和专家根据研究的侧重点对之也作出了各自不同的解释。把可视化放到视觉思考的主体背景当中，许多作者给出的是一些比较灵活的定义，但是他们都强调的是视觉表象的理解和操作，是与听觉、触觉、味觉或者嗅觉信息相对的。当研究者尝试对学生的可视化过程约束时，就要考虑是否有必要描述视觉表象存在于学生的内部智力还是外部智力。例如，p r e s m e g ( 1 9 8 6 ) 似乎把视觉表象定位于内部智力；一个视觉表象是一个用来描述视觉信息或者空间信息的智力图解，并且她解释说这种智力图解能够在被可视化的知觉物体的存在与否下消失。另一方面，许多作者似乎把可视化定位于文字工作或者是研究计算机生成图像。z i m m e r m a n 和c u n n i n g h a m ( 1 9 9 1 ) 定义可视化“是一种过程，这种过程是引出或者使用几何的或绘画的表示法来呈现数学概念，原理，或者问题，不管是否是手写还是计算机产生的”( p 1 ) 。有些作者已经尝试描述这种过程为外部图像和头脑中的信息之间所产生的联系过程。s c h n o t a ，z i n k 和p f e i 疏r ( 1 9 9 5 ) 把量! 量至堡竺耋塞兰至堡些鍪兰可视化描述为把视觉一空间映射在智力模型上的构造一绘制过程。z a z k i s ，d u b i n s k y 和d a u t e r m a n n ( 1 9 9 6 ) 认为可视化是否发生完全是在视觉者的头脑中或者是它必定牵扯到图画，目标或者计算机产生的图像。他们提供一个更准确的定义：可视化是一种行为，这种行为是个人建立在内部构造和通过感觉所获得知识之间强大的联系。可视化行为可能由目标或者过程的任何智力解释组成，这个目标或者过程是个人把她或他外部获得的目标或事件联合起来。作为选择。可视化的行为可能由目标或事件的解释组成，在例如报纸，黑板或者计算机屏幕这些外部媒介中，这个目标或事件个人可能已经在他或她的头脑中确定下来( 1 9 9 6 ，p 4 4 1 ) 。这个定义除了比前文叙述的更准确外，它并没有把可视化局限于学习者的头脑，也没有把可视化局限于外部媒介，而是把可视化定义为穿梭于两者之间的通道。”v i s u a l i z a t i o n ”词，来自英文的“v i s u a l ”，原意是视觉的、形象的，中文译成“图示化”可能更为贴切。事实上，将任何抽象的事物、过程变成图形图像的表示都可以称为可视化。本文对数学可视化的定义劳没有作过多的限制，而是从更广的范围内来定义，任何被用来描述或者帮助想象抽象的数学概念或关系的图像或自然界中客观存在的对象、现象、过程的展现称为数学可视化。黑板上画出以3 4 5 为边的三角形，一堆豆用来解释5 + 3 = 8 ，用图像表示某一具体的概念，如对称、黄金分割，电脑制作的椭圆图像的形成过程所有这些都称为数学可视化。然而，并不是所有的可视化都能帮助学生理解数学知识。考虑在电子数据表格中填进去的不同的一列数，123 l o 和1l 一+ 12 爿+ 1 9 a + l 。两者产生同样的结果一一数字l 到i o n 列数。前者仅仅是简单的静态的数字，而后者通过改变爿的值能转变成无数不同数列。这种表示方法是动态的因为它允许使用者去修改而且它能生动地传达内在的数学关系。学生越能以更多的方式改变和转换它，可视化所起的作用就越能体现出来。所以，数学教学可视化应该是帮助学生联想数学概念、原理和方法。利用可视化进行学习的一个重要的门户就是视觉，但并不是进入到视觉的所有图像、文字均是可视化的对象。本文所说的“可视化教学”是指学校、教师借助相应的工具和合理的方式精心组织起来的一种教学“通道”，以可视化元素为载体，实现信息在外部世界和学生大脑之间的“穿梭”。而且，本文所说的可视化元素特指图形、图像或者是文字、符号系统经过处理后所展现的图像或动画，而不包括数学可视化教学及其若干范例未经处理的文字、符号系统。2 2 当前引入可视化教学的意义从宏观上看，现代电子传媒时代，信息的瞬息万变，知识的不断更新，以令人难以置信的速度增长着，形成“信息爆炸”，“知识爆炸”的时代景观。以电子传媒、机器复制技术为代表的“读图时代”的到来，图像以一种扩张性的趋势冲击着人们的生活，改变着人们传统的接受方式。我们生活在信息是以视觉符号包围传输的世界当中，技术的支持使得交流也以可视的形式出现。尽管“自从雕刻一画画时代，人们已经开始使用图像记录和交流信息，新技术或许看起来不仅仅是古老实践的提升。但是可视文化代替印刷文化的潜在性的想法已经暗示了这个想法如同口头文化转移到印刷文化一样具有同样深远的意义。” ij 。我们已经与文字信息发生越来越少的关系，而与图像一杂志中的照片，录像带，电影等等发生了更多的关系，而且这些图像也正在改变我们思考和学习的方式。丹尼尔贝尔在7 0 年代，就敏锐地指出，当代文化是一种视觉文化，即它是以眼睛的可视功能作为文化传输的基本途径。在视觉文化中，它是以感官的“可视”作为核心。从某种意义上说，可视化已经渗透到我们生活的每一个角落包括教育方面。课堂中教授知识最初的方式就是讲话，但是当学生生活在一个充满视觉媒体的社会中和随着电子媒体在校园中越来越普遍，我们有必要以可视的方式来讲授内容。从认知角度来看，人的视觉输入数据通道的带宽估计可达每秒2 g b 。人脑中有一半的神经原细胞用来处理视觉输入信息，可视化就是充分利用人的眼脑系统速度最快、频带最宽的功能来传递、处理和理解各种信息。学生在接受信息时，主要是通过眼、耳去看、听，即通过刺激视听觉来引起学生的注意和兴趣，提高学习效果。可视化教学通过教学设计，以可视化的信息作用于学生，使学生在最佳的学习条件下进行学习，形成直接对学生视觉和听觉器官共同进行作用的情况，适合学生的认识过程，利于学生学习。在传统教学模式中作为教学内容与学习者之间桥梁的教师发挥了重要的作用，其它教学媒体如录音机、幻灯机、实物等也拥有其广阔的发挥空间。教师既是k i r r a n e ，d e ：1 9 9 2 ，v i s u a ll e a r n i n g t r a i n i n ga n dd e v e l o p m e n t4 6 ( 9 ) 5 8 6 3课堂活动的组织者又是课堂教学的参与者，既是导演又是演员。在经验丰富的教师的引导下，师生互动，课堂气氛也可活跃生动，但通常模式的先天不足在于无法为学生提供丰富的视觉和听觉刺激，信息输入有限难以全面调动学习者的全部感官参与学习，时间长了，学生容易厌倦，便难以取得持续良好的教学效果。可视化教学能把众多可视化的信息集于一体，向学生提供一个丰富多彩、生动友好、方便灵活的界面，使学生的各个感官能够同时接受到教学信息，从而起到良好的教学效果。耶鲁大学教授e d w a r d t u g t e 在解释为什么最有效的信息传播媒介是图像而不单单是靠听觉时指出：“信息图像化本身就满足了每一位学生的不同需要，使其能以各自不同的方式和各自不同的进度来对图像化的信息进行个别化与理性化的筛选和理解，图像化的信息本身就给学生提供了一个同步进行的可控宽频带通道，而单纯口授是无法达到这点的。”可视化教学就是充分调动学生的视听器官，从而获得最佳的认知效果。可视化教学过程也可看成是由信息和信息载体，即教学内容和教学传媒两要素构成。教师通过传媒把信息传递给学生，学生则通过教学传媒接受信息。可视化教学以非语言形态提供的信息则较具体、直观，利于学习和回忆。另一方面，现代教育教学改革的重点、难点是教学内容和教学方法的改革。教育和教学目的、任务的达成是通过教学方法和手段的现代化实现的。改革通常的教学方法和手段，已提到个相当重要的议程上来。如果没有科学有效的教学方法，再合理的人才培养模式，也很难达到预期效果。采用以讲授为主的传统教学方法，黑板使教学活动仅仅局限于课堂，信息传递效率低；课本以文字作为信息载体，形式呆板，内容有限，这种授课形式往往会产生教师只能从形式上完成教学任务，而给学生留下的仅仅是些肤浅的印象或干巴巴的知识，很容易被遗忘，造成教学效率低、效果差、信息传递量少。而可视化的教学方法的；r 入，使传统的教育教学方式发生了变革，由于可视化教学能在有限的时间内可以提高教育信息传递的效率和质量，在课堂教学中使学生能利用多种感知手段获取各种表象，从而丰富自己的想象力，促进创造力的形成，提高学习效率和教学效果，扩大学生的信息量。因而从某种程度上说是教学方法的进步，可视化教学会促进教学手段的现代化，引发教学观念与形式的更新，并且通过其引发的教学模式的改变，达到对学生认知过程的再认识，从而促进教学内容的重组与更薪。现代教育技术是以现代教育理论为基础，运用现代简单扼要成果和系统科学提高教学效益，优化教育教学过程的理论和实践的技术。它通过研究学墼堂旦塑丝整兰墨苎董主翌塑习过程和学习资源来解决教育教学问题，即解决“如何教”和“怎样教好”的问题。可视化教学是电子计算机应用阶段的一种形式。现代教育技术对于实现感知可视化、想象可视化、推理可视化、创意可视化、思想可视化、观念可视化等提供了技术支持，从而实现信息来源的多样化，学习方式的个性化，学习过程的主动化，学习结果的创新化，为优化课堂教学提供了现实可能性。2 3 当前引入可视化教学的可能性任何科学实践的发展也必然是以一定理论作为基础和后盾，可视化的提出和应用也是如此。从2 0 世纪五、六十年代以来，学习理论经历了从行为主义到认知主义的发展，直到今天以建构主义为基础的认知学习理论对学习产生了主要的影响。以生动的图形化来实现对数学知识的处理，所借鉴的理论基础主要是认知心理学和建构主义理论、人本主义学习理论。一、认知心理学认知心理学认为，个体知识分为陈述性知识与程序性知识。8 0 年代后期，加涅提出知识网络的概念，他主张知识是整体的表征。只是在处理不同问题时表现出不同表征，两大类知识的关系是产生式镶嵌在命题网络之中，共同构成知识网络。安德森则进一步解释了两类知识是如何相互作用的，他认为两类知识学习的各个阶段并非相互独立、截然分开，而是互为条件、互相促进。产生如下的关系图。知识网络是两类知识在脑内系统化的存储方式。知识网络具有两个重要的特点：一是网络联系的多维性，二是网络的开放性。在知识网络中，每个知识点多方向对外发出联系，知识点之问通过不同的连线与其它知识相联系同时每两个知识之间也并不只是种联结方式；知识网络的开放性则是说无论是知识网络中的已有知识还是它们之问的联系都是不断变化、无限扩展的。薪的各类知识可以源源不断地补充到原来的网络中去。包括陈述性知识兰：耋要鎏竺主蝥兰要：坠茎兰的增加，更好的程序性知识对旧有联系方式的替代。对于个人来说，脑内的知识网络仍在不断地变化之中。通常的教学方式都是文字教材、录音教材、录像教材，其信息组织结构都是线性和有顺序的，然而人类的记忆是网状结构，线性结构限制了人类自由联想能力的发挥，而可视化则是把文字、图像、动画集成在一起。在可视化的过程中，要求研究者以现有的知识为基础，结合环境信息实现创新。在这个过程中，人是信息的宿主，信息活动主要体现为个人的活动，因此我们有必要研究人的“获取信息”、“使用信息”的过程。可视化面向的对象主要是学生。因此在设计和使用过程中，我们要合理的利用使用者的己有知识网络，对每一环节的设计都应该考虑到使用者对象的差异，以他们原有的知识基础作为设计的基础。二、建构主义的自主学习理论建构主义理论认为学习是一个动态的适应过程，是学习者在一定的情境下通过与所要掌握知识相关的经验来储存和获取知识。学生通过积极主动的活动来进行有意义的知识建构，通过将新知识与更广泛的知识经验相联系来合成为完整的知识体系。学生并非简单的理解和记忆现成的结论，而是通过理解问题，并通过自己的知识经验进行分析判断来形成真正掌握的知识。因此，可以说建构主义理论的重点之一是学生的自主学习和有意义的建构知识。自主学习本身强调学生自主探索，建构知识，学生在学习过程中借助一定的反馈信息来形成对客观事实的认识并解决实际问题，在自主学习的过程中虽然可能有教师的指导。但更重要的是学生自主探索过程，当面临特定学习任务时，首先要利用己有的知识对任务特征和要求进行解释，并设定特定的学习目标，确定学习方向，判定学习的进展情况，选择和调整学习过程和策略，对学习任务进行加工并生成最后的学习结果。学习者在可视化的环境中能较顺利地进行信息处理，是因为可视化的环境利用了它们本身认知结构中己经掌握的日常知识，通过将信息环境与已有知识经验联系结合来构建符合学习者心理特点的信息环境，并使学习者能在这种信息环境中自主学习。三、人本主义学习理论人本主义心理学源于2 0 世纪5 0 年代的美国，其创始人是马斯洛和罗杰斯。人本主义学习理论把学习分为两种类型，认为一种学习类似心理学上的无意义音节的学习，在这类学习过程中学习者要记忆无意义音节是一项困难数学可视化教学及其若干范倒的学习过程：另一种学习则是意义学习。这种学习是一种使个体行为、态度、个性产生变化的学习，是一种与个人经验相融合的学习过程。人本主义学习理论认为学习是一个情感与认知相结合的整个精神世界的活动，它对教育的一个主要认识就是：在教育、教学过程中，在学生的学习过程中，情感和认知是学习者精神世界的不可分割部分，是彼此融合在一起的。学习不能脱离学习者的情绪感受而孤立迸行。在学习者的学习过程中，知识技能的学习和人格的培养同样重要。在适当的条件下，每个人所具有的学习、发现、丰富知识与经验的潜能和愿望是能够被释放出来的。因此，在进行可视化教学设计时，应充分信任学生的潜在能力，以他们为中心，激发他们高层次的学习动机，从而使他们能够对自己进行教育。罗杰斯认为，如果要使学生全身心地投入学习活动，那么就必须让学生面临对他们个人有意义的或有关的问题。在当今的教学活动中，学生与生活中所有的真实问题还存在很大的隔阂，这对学生的意义学习造成了很大的损失。为此，如果我们通过可视化的方式为学生创设各种真实的问题情境，那么学生有可能更好更快地接收并应用知识。p c 机的出现使教育技术领域的革新前进了大步。p c 机价格相对便宜，越来越多的学生在家也能访问与教室p c 机同样的软件系统。a p p l ei i 和m a c i n t o s h 计算机上所配的图形功能和友好的用户界面受到人们的青睐，早期的教育专家也选用它们。针对这类计算机的教育软件像雨后舂笋地研制出来。到了2 0 世纪8 0 年代中期，研究人员又开始利用实用化的动画软件来提高教育软件的质量。与此同时，计算机处理器变得越来越快。运算能力越来越强，硬盘容量越来越大，换代的计算机音频功能越来越强，大型软件系统很方便地通过c d 盘出版，图形语言和显示系统逐步发展，计算机输出投影系统改善了，都为可视化教学的研究提供了物资基础，也有助于可视化教学软件的研制，这一发展历程显示了人们对于可视化教学所做的努力，表明了其教学应用方面的巨大潜力，也吸引着更多的人们进行可视化教学的研究。随着计算机技术和网络技术的发展，大量开发、制作和应用教学软件已大势所趋。课件教学方法的引入，为传统教学注入了新的生机与活力，具有传统教学手段所没有的优势。可视化教学是随着现代教育技术的发展而形成的基于计算机的教学。目前，现代教育技术已从通常的黑板教学发展到幻灯机、投影、电影、录音、电视、彩色闭路电视等多种形式的教学。其中可视化教学是最活跃的，可视化的结果是为了耀助学生理解他们获取知识、概念和数据。可视化教学远远不只是图形的表示，它包括了获得洞察以及对问题求耋：耋：堡兰主茎：卫堡些氅兰解过程的理解。可视化教学就是把教学过程中的数据( 信息) 映射到图形表示，或映射到动态图像表示，或映射到一个简明清晰的显示屏幕上。大多数教师已经学过或能独立制作过课件，这为进行数学可视化教学提供了人力条件。2 4 数学可视化教学的特点通常的课堂教学由于单纯的文字教材无法让学生接触真实的教学情境，教学的及时性、反馈性、全面性一定意义上受到限制。运用可视化手段可以把时间和空间有效地结合起来，使课堂情景化远为近、化静为动、化抽象为形象，激发学生兴趣和思维活动，发展其心理素质的非智力因素。可视化教学能够使学生对抽象与直观、静态到动态、平面与立体等关系有更形象的理解。同时，也可使学生从死记硬背、死读书、读死书的学习方法中解脱出来，更快地掌握学科的主要内容。( 1 ) 利用可视化进行教学，帮助学生理解抽象性的内容，使内容直观、生动、易于理解。可视化可以帮助学生理解抽象的概念，无法直接观察的现象，多维抽象空间中的函数等。任何抽象的概念都与具体的事物有着某种内在的联系，将抽象的东西用具体的东西进行形象化，有利于学生对知识的理解和掌握。可视化能够将教学内容中抽象的知识变具体，把复杂教学过程简化明了，使学生更容易接受。体现一个抽象过程的最好办法之一是赋予它直观而现实的意义，也正是基于这一点，可视化教学显示出了不同凡响的表现功能，有着突出的优势。在数学中，从低级到高级，逐步实现了从具体到抽象的转化，因此抽象概念特别多。把抽象概念以可视化图形的方式表现在计算机屏幕上，随内容的复杂可以诠释它们的变化行为。可视化教学可使原来抽象、枯燥的学习内容通过图形、动画等表现形式而变得直观、易懂。如定积分、重积分和线、面积分的概念是高等数学教学中的重点和难点，它是用一个极限抽象来定义的。利用可视化教学工具将定义中的“任意分割、任意选取”制成动画形式给学生播放。使学生对积分的“大化小、常代变、近似和、取极限”的精髓就会有个更加直观、深刻的理解，使抽象的概念变得具体而生动了抽象的概念、定理、公式得到了理解与掌握，学生学习高等数学的兴趣也增强了。又如又如在学习雪花曲线自相似性抽象概念时学生可按屏幕上的图像变化来分析几何体结构的细节，用图像来展示参数增加时雪花曲线的交化，数学可视化教学及其若干范倒使雪花曲线自相似性的抽象概念在教学中得到充分的展现。而在概率论的教学中，古典概率模型部分是难点。特别是难以正确应用垒概率公式和贝叶斯公式计算概率。在概率论教学中引进概率树法，不仅可以使复杂的概率计算变得简单直观，而且可以使学生较容易地掌握这些公式。( 2 ) 可视化教学能展现运动过程