（应用数学专业论文）关于带未知函数线性附加项的简化boussinesq方程的稳定性.pdf

2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 拣要 本论文运用分层理论，主要对带有未知函数附加顼的简化b o u s s i n e s q 方稃( 在不引起混淆的情况下，以下简称简化的b o u s s i n e s q 方 程) ，以下三个方封的内容展开研究。 1 简化的b o u s s i n e s q 方程的稳定性： 如果一个偏微分方程( 组) 是不稳定的，则它梅成的任何定解闻 题都不可能是适定的f 1 ，因此必须首先研究方程的稳定性。作者在求 出其准本方程和本方程基础上，通过验证横截层非窿，从而得出简化的 b o u s s i n e s q 方程是稳定的结论 2 简化的b o u s s i n e s q 方程初值闻题的适定性 通过对方程遗定性充要条件的研究，可以给出修正方程的理论依 据 1 1 由于简化的b o u s s i n e s q 方程在z ，口，z 方向上是对称的，故只 需在现，两个开集土给出方程适定性的充要条件及其局部解空间构 造。 3 当给出的初值问题适定时，提供了计算解析解的步骤与计算实例和 m a t h c m a t i c a 程序。当初值问题不适定时，则给出了相应有限形式的形 式解作为例证 关键词b o u s s i n e s q 方程，分甚理论，形式解，末方程 本论文得到上海市教委科技发展基金( 0 2 a k 4 9 ) 及上海市科委重点项目( 0 2 d j l 4 0 3 2 ) 资助 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 i i a b s t r a c t t h i s p a p e r ，b a s e d o nt h e t h e o r y o f s t r a t i f i c a t i o n s ，m a i n l yd i s c u s s e st h ef o l l o w i n g t h r e ea s p e c t so ft h es i m p l i f i e db o u s s i n e s qe q u a t i o na p p e n d i n gl i n e a rp o l y n o m i a l so f u n k n o w n f u n c t i o n s ( i nt h ef o l l o w i n g ，i ti ss i m p l yc a l l e db o u s s i n e s qe q u a t i o nf o rt h e s a k eo fc o n v e n i e n c e ) f i r s t ，t h es t a b i l i t yo fb o u s s i n e s qe q u a t i o n i fap d ei sn o n s t a b l e ，a n yi n i t i a lv a l u ep r o b l e mo fi t i si l l p o s e d s ot h es t a b i l i t y o fb o u s s i n e s qe q u a t i o nm u s tb ed i s c u s s e df i r s t l y a f t e rt h ep r e - g r a d u a l l ya s s o c i a t e d e q u a t i o na n dg r a d u a l l ya s s o c i a t e de q u a t i o na r ec a c u l a t e d ，t h ea u t h o ro b t a i n st h e r e s u l tt h a tb o u s s i n e s qe q u a t i o ni ss t a b l eb yp r o v i n gt h a tt h et r a n s v e r s a ls t r a t u mo f d i sn o tn u l l s e c o n d ，t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fw e l l - p o s e di n i t i a lv a l u ep r o b l e m s t h r o u g ht h es t u d yo ft h en e c c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n so fw e l l p o s e d i n i t i a lv a l u ep r o b l e m s ，t h eb a s i so fm o d i f y i n gt h ee q u a t i o nc a nb ep r e s e n t e di n t h e o r y b e c a u s eb o s s i n e s qe q u a t i o ni ss y m m e t r i ci n t h ed i r e c t i o no fz ，y ，z ，t h e n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n sa r eo n l yp r e s e n t e di nt h eo p e nc o v e r i n g so fu 3 a n d j 4 t h i r d ，i ft h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mi ss t a b l e ，t h ep r o c e d u r et og e tt h ea n a l y t i c a l s o l u t i o na n de x a m p l e sa n dm a t h e m a t i c ap r o g r a m m ea r eg i v e n o t h e r w i s e l s o m ee x a m p l e sd e s c r i b i n gf o r m a ls o l u t i o n so fi l l p o s e dp r o b l e m e sa r ep r e s e n t e d k e yw o r d s ：b o u s s i n e s qe q u a t i o n ls t r a t i f i c a t i o nt h e o r y f o r m a ls o l u t i o n ，s e c o n d a r ye q u a t i o n 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。除 了文中特, 知j d e i 以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰 写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：巍鳢i 呈 日期丝! 坐：， 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：趣毙翠导师签名：! i 亟逝堕荨日期： 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 第一章前言 大气方程组的稳定性和初边值问题的适定性在气象学上有着重要的理论意义 和实际意义因为通过对它们的研究，可以给出为什么必须修正方程的理论依据 1 】 1 9 世纪物理学家j b o u s s i n e s q 为求得层结流体控制方程组的合理简化模式而 提出了七点假设【8 】根据他的近似假设应用于大气动力方程组f 7 】，其主要结论 有： 1 在连续过程中不考虑密度的个别变化，即可近似地作为不可压缩流体处理； 2 在与重力相联系的铅直运动方程中要部分考虑密度变化地影响，即存在阿基 米德浮力与净浮力； 3 在状态方程或热流量方程要考虑密度变化的影响，而密度变化( 扰动) 主要是 由温度变化( 扰动) 引起的； 4 空气的分子粘性系数和分子热传导系数可作常数处理 我们把具有以下特点的流体称为b 0 u s s i n e s q 流体【6 如果在质量守恒的方 程中略去密度的个别变化，而在动量守恒方程中，与重力相联系的项，保留密度 变化的重力效应并且，质量守恒方程进一步取： v 矿：0 的无辐散形式，而与重力相联系的密度变化，只考虑热膨胀效应而略去压缩性影 响的流体 为了究局部天气变化，抓住b o u s s i n e s q 流体方程组的主要特征，根据以上近似 原则。可将其简化为以未知函数多项式为动力源的非静力平衡b o u s s i n e s q 方程 但对于这类方程，大部分研究工作都是围绕着某些特定的定解问题，主要用 到的方法有两种 第一种：扩大函数类求解，以求其广义解 8 】 第二种；利用有限差分法，以离散化的微分寻找其近似数值解【2 4 】 对于方程的稳定性和初边值适定性以及准确解问题的研究比较少，但这又恰 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 2 恰构成了数值计算求解的理论基础本文利用分层理论，在伊函数类里，主要对 b o u s s i n e s q 方程的稳定性和初边值问题的适定性进行研究【2 】 分层理论( t h e o r i ed es t r a t i f i c a t i o n ) 是近二十年来形成的一种为求解非线性 方程而建立的全新理论这种理论将方程的求解问题转化为拓扑学问题同时， 又提供了比较完整而且具体的的求解方法与步骤在伊函数类里，我们可以判 定所论方程的c a u c h y 问题及各种边值问题、混合问题的适定性这种理论与方法 并不去限定方程的类型，也不指望扩大函数类以求得结果在适定的情形下，运 用此方法可得到问题的稳定的解析解因而不但为非线性偏微分方程的数值计算 提供了严格的理论根据，更重要的是提供了完整的计算公式( 1 】 本论文共分以下五章： 第一章：对所研究问题的概述 第二章；分层理论的一些基本概念与解题步骤 第三章：简化的b o u s s i n e s q 方程1 在e h r e s m a n n 空间的表达形式以及其准本 方程与本方程 第四章：简化的b o u s s i n e s q 方程的稳定性和初边值问题适定的充要条件以及 局部解空间构造 第五章；当初边值问题适定时，给出计算局部解析解的步骤与例子以及m a t h e m a t i c a 程序，当初边值问题不适定时，提供具体的有限形式的形式解例子 以下如果没有特别声明，简化的b o u s s i n e s q 方程均指以未知函数多项式为动力 源的非静力平衡b o u s s i n e s q 方程 ! ! ! ! 兰圭塑查兰堡主兰垡垒苎! 第二章分层理论与方法简介 2 1 分层理论的一些基本概念及主要结论 定义2 1 1 e h r e s m a n n 空间 设kz 是两个g o 。微分流形称 ，2 ( v z ) = u砧。( k 孑) 扛，u ) e v z 是v 到z 的k 阶e h r e s m a n n 空间特别的，j o ( k z ) = v x z ，并约定j - 1 ( kz ) ： 矿 定义2 1 2 c a u c h y 问题的初始条件 设( 口，7 ) p ( ，v ) 满足以下条件； o e k o - 1 。7 = 口 2 ，y + ( e ) = o ，垤一1 ( k z ) j i m t d k 。- l 我们称这样的一对c 。嵌入( 口， ) 为方程组d 的c a u c h y 问题定义了一组初始条 件将所有满足以上条件的( e ，7 ) 记为( ，d ) ，这是一个具有c 。诱导拓扑的 p ( s ，v ) xp ( ，j h _ 1 ( ez ) ) 的子空间 定义2 1 3 c a u c h y 问题解 设对应f ：t z ，c “如果在口上f 满足下列条件，就说f 是方程组 d 对应于初始条件( 口，y ) 的一个解： i m j k o f d i 2 j “o 一1 ，。1 7 = 1 定义2 1 4 c a u c h y 问题适定性 设( 口d ，伽) ( ，d ) ，如果它满足以下条件，就说方程组d 对应干o o ，加) 的 c a u c h y 问题是适定的： 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 4 j 这个问题具有唯一的g 。解； 2 在空间，( ，d ) 中，存在( 口o ，仙) 的一个邻域0 0 ，使得对任何( ，7 ) o o ，对 应于( 7 ) 的c a u c h y 问题，都存在着唯一的g o 。解 定义2 1 5 不稳定性 设x o v u 。是d 的一个e 。( k o ) 解，如果对任何e 超曲面x r ”( 一x ) 在点x o 的芽口，口：x k 初始条件构成c a u c h y 问题都是不适定 的，就说d 的这个解“o 在点z o 是不稳定的r 这里的( 口，7 ) 中的，y = j k o 一1 “o 。口) 如果对y 上的所有的点z ，“o 都是不稳定的，就说u o 是d 的一个不稳定解 如果d 的所有e 解( k k o ) 都是不稳定的，就称d 是一个不稳定的方程 定义2 1 6 c a n a n e h r e s m a n n 理想子代数 设d i m v = n ，d i m z = m e h r e s m a n n 空间j ( uz ) 具有一个微分理想子代数，它有驴( kz ) = r “的以下 p f a f f 形式( 局部) 生成： u 。= d “。一p d x j ，i = 1 h 2 价 j = l q x = d 骘- 一( 赋一d x l + + 砖一如n ) ， i = 1 ，2 ，- 一，m ；k 一1 将其记为 ( u z ) ，祢为j 。( u z ) 的c a f t a n e h r e s m a n n 理想子代数 定义2 1 7 链 将拓扑空间( 或微分流形) 以及连续对应( 或同态) 组成的序列x + 称为链： x ：_ x x k1 _ 斗x o 乌x 一1 定义2 1 8 k 的饱和 设k 是x + 的一个子链： y ：_ 圪k 1 一，k 乌n 1 其中k x k ，9 k ： l h ，如果有i m g k = k 一1( k 0 ) ，则称子链k 是饱和的 设k 曼x + 的子链，将k 中的最大饱和子链s ( k ) 称为k 的饱和 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 5 而 定义2 1 9 典则分层 对于纤维丛空间所，k ：蜀k ( d ) 一w z ，k ( d ) 分层如下 e l ，k ( d ) = t oe 。q ( d ) ； q w z ，t ( d ) = u 铱( d ) p ：目 ( d ) 一w 儇( d ) 是局部平凡的纤维丛空间，其纤维的维数等于q 于是 川b ( kz ) = k ( d ) u 五，* ( d ) 其中噩，k ( d ) = 。( u z ) 一蹦，u ( d ) 叫做第( ! ，k ) 阶”陷阱”，称 n ，* = u 成。日。( d ) 一u 蹬* ( d ) = w t ，t ( d ) 口 是d 的第( z ，k ) 阶典则分层 1 l 】( e l ，( d ) ，w k ( d ) 的定义参看 1 9 】 定义2 1 1 0 末方程 设u z 是两个c 。o 微分流形，d i m v = n 2 ，d a k o ( u z ) 是一个k o 阶偏 徽分方程组，并假设 已确定 d 。= u d f ( f - 一1 ，0 ，1 ，2 ，) p t ：蜀女( d ) 一m ，k ( kz ) 已分层： m ，m = w * u 正，t ( d ) = ( u 蹬。( d ) ) u i ，* ( d ) q 设d i m x = 1 ，y = 驴( k z ) ，则对每个 s f k ( vz ) w ， ( d ) g ；( t j ( kz ) 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 6 存在唯一的偏微分方程组 e ( 研k ) j 1 ( x ，j k ( vz ) ) 使得c 。浸入j s 。q ( d ) e ( s 。q k ( d ) ) 称作s 。q ( d ) 的末方程 定理2 1 1e z ，o ( k z ) 是 g ? ( t j o ( uz ) ) x j 。( u z ) j l ( uz ) 的子微分流形，其维数为n 十m 十n m + f ( n 1 ) ，而 w ，o ( vz ) 一g f ( t j o ( vz ) ) 其维数等于n + m + f ( n + m i ) ，并且对应 取最大秩对于纤维空间 p t o ：e l ，o ( v z ) 一嘶，o ( u z ) ( 日，o ( vz ) ，晰，o ( vz ) ) 其纤维是，1 ( v z ) 的一个m m f ) 维的子流形 定理2 1 2 设( 口，7 ) l ( ( 。一1 】，d ) 对应于( 口，1 ) 的c a u c h y 问题是适定 的充要条件是： ，m 垦畿吐b 一1 ( d ) 定理2 1 3 存在唯一的解析单一对应( i n j e c t i o 叫 满足 ：畦一s ( d ) j ( 妒。( 亍) ) ( z ) = p ( 亍) 于u ： 并且d 在点x 的局部解析解空间s ( d ) 由，m 妒。的和集完全确定，即 ( d ) = u ，m w g 2 一! ! 竺竺圭塑奎兰堡主兰垡堡茎 ! 定理2 1 4 设l = n 一1 ，n 4 ，k 1 或n = 3 ，k 2 ，那么玩一1 ，( k z ) 与 眠一1 ，( uz ) 分别是t g ：一1 ( t j ( kz ) ) 小( k z ) ，m ( uz ) 以及g 三一l ( t j ( k z ) ) 的( 2 n 1 ) + m c 备k + 1 维与( 2 n 1 ) 一m + m k + l 维的 子微分流形同时，p l 的诱导对应 p ：玩_ l ( v z ) 一w 0 吐k ( k z ) 取最大秩，而纤维空间 ( 丘。一1 ( kz ) ，l k 吐k ( vz ) ，p ) 的纤维是p + 1 ( k z ) 的m 维子微分流形此外，对应 p k ：w j 一1 ，( u z ) 一j ( u z ) 是满对应并且取最大秩，作为纤维空间 ( “( kz ) ，j k ( kz ) ，p k ) 其纤维是一l ，k ( u z ) 的n m 一1 + 7 n n - - 。i 维的子流形，而对应 卢：一1 ，k ( v z ) 一j k + l ( k z ) 也是一个取最大秩的满对应，同时，纤维空问 ( 晶 ( kz ) ，j ( uz ) ，j ) 的纤维是吐( v z ) 的( n 一1 ) 维子流形 定义2 1 1 1 f _ 截口单形 如果一对可微嵌入 7 ：z _ x 满足，07 = o - ，则称( 口，7 ) 是，的1 截口单形 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 8 定义2 1 1 2 c a r t a n e h r e s m a n n 嵌人 设b v 是y 的一个子集，并已具备了g 。分层， ，：b 一( k z ) 是一个连续，单一对应如果，在b 的每一个层s 上的限制厂i 。属于c 。，则称， 是一个b 到弘f kz ) 内的c 。嵌入此外，如果，还满足 a 1 1 。，= l e ，( f l 。) + u = 0 ，v w ( u z ) ， 则称，是一个c 的c a r t a n e h r e s m a n n 嵌人 定义2 1 1 3 混合问题是适定的 设加m ( x ，c ，e ) 如果它满足 1 存在一个对应干伽的c 5 解u o ； 2 在d 的重数意义下，“o 是唯一的； 3 在空间m ( x ，d ，y e ) 中，存在 7 0 的一个邻域f o ，使得对任何7 r 0 满足 上述条件1 和2 ，即c o 一+ 。拓扑意义下的稳定性 则称讹是适定的，也就是说它所定义的混合问题是适定的，反之，则称是不 不适定 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 9 2 2 用分层理论求解偏微分方程的组的步骤 1 根据d 的表达式，确定其本方程d 。 d 。= u d i ( z = 一l ，0 ，1 ，2 ，) 2 构造y 到z 的s 一典则系统岛，k ( v z ) ，m ，k ( k z ) e l ， ( kz ) g ；( t j 2 ( vz ) p ( u z ) ，+ 1 ( vz ) ) 眦，k ( kz ) = i m p l t e , 。( u z ) c ；( t j 。( kz ) ) 和d 的s 一典则对应系统： 日k ( d ) = 目，d v , z ) n ( g ；( t d k ) ) x j k ( v , z ) d k + z m ( d ) 一p l ( 蜀，k ) ， 这里p - 代表第一投影： g ；( t j ( kz ) ) p ( u z ) j + 1 ( vz ) _ g ；( t j ( v z ) ) 3 对肼， ( _ d ) 一k ( u z ) 分层 设分层结果为： 嘶t ( uz ) = ，f ，t ( d ) u 丑m ( d ) = ( us t ( d ) ) u 正，* ( d ) q 于是得到了若干个形如以下纤维空间： 卢 k ( d ) = 觑- “iq q k ( d ) ) _ 呻蹬 ( d ) 对于纤维空间( e z 。( d ) ，s q ( d ) ，p ) ，其纤维的维数等于q ，这里p ，k2 p ，i e , ， ( uz ) 以下设l ：n 一1 ，d j k o - 1 ( u z ) 是一组解析偏微分方程组。 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 0 4 设( a o ，7 0 ) i o ( a ，1 ，d ) ，即( 口o ，7 0 ) 是一组解析初始条件，这一对解析嵌入满 足以下的条件 d 譬1 。7 0 = 咖； u = 0 ，( v 厶。一l ( u z ) ) ， l m w o = d b l ， 如果伽的诱导对应响：。一口一g ：一l ( t j 如“) 使得： ，m 响s t 卜l ，一l w 0 一l ，b 一1 ， ( 十) 那么初始条件( 唧，饰) 是适定的( 即( 印，7 0 ) 对所对应的c a u c h y 闯题是适定) 条件( + ) 等价于加是横截层s ，t1 向一1 ( d ) 的末方程e ( 畿“k 。一1 ( d ) ) 的一个 解，如图l ： 图1 在初始条件( 印，7 0 ) 适定的条件下，则存在解析嵌入序列 咄) ( i 1 ) u 。：。一1 一j 2 0 “。1 ( u z ) 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 使得 fo 野”1 。m = 印，o b l 。_ + i - 1 。m = 岫， 霄u = 0 ( 鼬厶0 + l 一1 ( u z ) ) ， ( 2 11 ) 【，m 麓d k e “一1 最后，求解末方程f ( & 知+ ( d ) ) ，即可得到d 的一收敛幂级数形式表现的 解析解，这个过程可用图2 表示 图2 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 2 第三章关于带未知函数线性附加项的简化 b o u s s i n e s q 方程 3 1 简化的b o u s s i n e s q 方程 本文抓住大气方程的主要特征，应用分层理论讨论以未知函数线性多项式为 动力源的非静力平衡b o u s s i n e s q 方程其形式是： 祟+ 。嬖+ 。尝+ 。掌十三窖一f ( 1 ) ：0 瓦+ “蕊+ “苟+ ”瓦十五荔一f ”。 祟+ u 宴+ 。宴+ w 祟+ ! 宴一f ( 2 ) = o 瓦+ “瓦+ ”丽+ 瓦+ ；磊一f ”k o 警伽筹+ ”筹+ w 象+ ；塞一p ，= o c s ， 瓦+ “面枷面+ 瓦+ 石赢一一”o l 丝o t + u 鬈十”赛+ w 塞一芦，一。 褰+ 裳+ 笔= 0 其中u ，”， 为风速在z ，y ，z 方向的三个分量；p 为压力；目为位温，它们均 为未知函数p 是空气密度，它是常数f ( ”，f ( 2 ) ，f ( 3 ) 和f ( 4 ) 是未知函数的多 项式，即 f ( 2 = 。? + o j “+ 。；秽+ a 3 w + 口知+ n ? 目，i = 1 ，2 ，3 ，4( 3l2 ) n i = a f ( z ，y ，z ，t ) ，i = 1 ，2 ，3 ，4 ；j = 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5( 3 1 3 ) 这个模式是对局部天气变化模式的一般化比如令： a = 一女，a = 一，霹= ，鹂= 一女，a i 一女，鹋= 一9 ，其余= 0 则方程组变为； 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 3 i o u + u 五o u + 五o u + 叫豢+ 兰宴一如+ 七u = o 丽+ “瓦+ ”面+ 瓦+ ；云一，”+ 触2 o 尝+ 。祟+ 关十尝+ 三矣+ y u + 枷：o 瓦+ “瓦+ ”巧十”瓦+ 石面+ + 肋2 ” 警+ “筹+ ”筹+ ”掣+ ；笔一g + e w = o c a ， 百f + “百；+ 甜百万+ 叫百i + 五瓦一十尤叫= u l j 。1 4 j 0 00 00 00 0 瓦+ “瓦+ ”瓦+ ”瓦2 o o u踟o w 一 瓦+ 瓦+ 瓦2 o 其中，是科里奥利力，k 是瑞利摩擦力系数，这说明方程组具有：无粘，不可 压。绝热，耗散和水平无辐散的性质 为了用分层理论研究方程( 3 1 1 ) ，还必须将它转化为e h r e s m a n a 空间的表 示形式 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文1 4 3 2 简化的b o u s s i n e s q 方程在e h r e s m a n n 空间 的表示形式 因为v = 酽，z = r 5 都是实解析流形，根据分层理论，可将方程看作e h r e s m a n n 空间j 1 ( u z ) 的子集d j 1 ( k 刃为方便起见，令： ( 。，y ，。，) = ( z l ，z 2 ，x 3 ，x 4 ) r 4 = u( 3 2 1 ) ( n ，v ，w ，p ，臼) = ( u 1 ，u 2 ，u 3 ，u 4 ，t 正5 ) r 5 = z( 3 2 2 ) 使用j 1 ( kz ) 的局部坐标，可将方程( 3 1 1 ) 转化为： ( d ) ：p 4 1 十“1 p 1 1 + “2 疠+ u 3 p 十：1 p ；一f ( 1 ) = 。 ，2 ：p ：+ u p i 十u ：p ；+ “饿+ 1 一f ( 2 ) = 。 ，3 ：霞十“z p ：+ “妒；+ u 3 p ；+ 五1 地4 一f 3 ) = 。 1 3 2 3 ) ：斌+ u 1 衍+ u 2 p l + u 3 p i f ( 4 ) = 0 ，5 ：p i + p ；+ p i = 0 这样就给出了b o u s s i n e s q 方程作为e h r e s m a n n 空间子集的表达形式，在以后 的讨论中为方便起见，用d 代表此方程组 3 3 d 的准本方程与本方程 先计算准本方程饯，由于： i m o e l l ( d ) = v = ， j m 。j ( d ) = j o ( vz ) = v z ， 所以，对于f = 一1 ，0 ，1 ，2 有： 厶1 ( i m a l l ( d ) ) = l f ( 1 m 弼( d ) ) 一，( uz ) 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 5 于是 d ! l = j - 1 ( u z ) = v = r 4 ， d ：= ，o ( k z ) = y z ， d i = j 1 ( v z ) = d = v ( ，2 ，3 ，4 ，5 ) ， d ；= ，2 ( u z ) = y ( ，l ，止，3 ，f 4 ， ，e ；( 疗) ) d ：= v ( 岛。，。，。一。( i a ，e i 。，i k - 2 ( 疗) ，一，力) ， 其中 1s i 4 ， 1s j 5 ，i l ，i 2 ，- i k 一2 = 1 ，2 ，3 ，4 i l i 2si 3s - k 一1 ，e o ( f ) = e 。( e j ( ，) ) 根据准本方程的定义【l 】，准本方程为 联= u d ：( f = 一1 ，0 ，1 川2 ) ( 3 ，3 1 ) 定理3 3 1 对任何o ，有n l 一1 ( d ：) = d ：_ 1 证明对阶数k 作数学归纳 t d 二l = ud j = d o ( u z ) ，d i = v ( ，2 ，3 ， ，f 5 ) ，k = 0 ，l 时，有：。l 一1 ( d ：) = 磁一1 当k = 2 时，d ；，2 ( kz ) ， d 2 = v ( f j ，e f ( 办) ) ，f = 1 ，2 ，3 ，4 j = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 6 即 e ，( ) ：p 玉+ u l 硪1 + “2 如4 - u a p j a 4 - e ；( ，2 ) ：p 刍+ u l p 矗4 - u 2 2 4 - u 3 p i 2 a + j p 4 i l _ 妒牡。 私一妒牡o e 。( ，3 ) ：p 3 4 + u l p ? l + u 2 p 毳4 - 1 3 碡+ 拯一妒掣= 0 色( ，4 ) ：p 矗+ 札l p 嚣+ 乱2 p 毳+ “3 p 是一妒5 ：= 0 ：问：v l p ：h u l + p 竺4 - 之耋j u 。3 p ；4 - ；j - n 4 一f ：0 c 。- z ， + iu 2 p ；+j = p l f 1 ) = ，2 ：p ：+ u l p ；+ 唧；+ 邺；+ 扣一f 但= 0 ：硝4 - u m p ；4 - u 2 p + u 3 砖+ ：p i f 。= 0 厶：p i + “】衍+ “2 遵+ u 3 芦i f ( 4 ) = 0 ，5 ：p i + p ；4 - p i = 0 在3 3 2 式中，以p 。，p 乞，砖4 ，西4 ，p 扎，p ；。，p ；。，砖4 ，p 扎，p 敖，p 函，硝。，p 毛，p 毛，确3 堍，p i 4 ，p i 。，p i 。确。，p j ，霸，胡，p i ，碡为未知量的系数矩阵m 2 ( 2 5 2 5 ) 为： 尬= ( 3 33 ) 0 o 0 0 0 m 0 0 n 0 欧0 o 0 o 巩o o o o q o 0 o o 岛o o 巩。 如o 0 o o 其中 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 7 m l = a 2 = 岛= d 2 c 2 = g 2 = 凰 易= 足= 100 o0 010o0 0 01 0 “3 o0010 、j 0 0 0 1 o 0 l o o 0 咖 o 1 0 0 机 o，一 o l | 、0 0 0 0 1 c c(、lli0 o 0 0 0 0 o 0 0 o l 0 o 1 一p 蝴 0 0 0 o o 0 ， o 0 0 0 o 1 0 她 o o 0 l 0 l o o 0 如0 0 ，。一 1 0 o 毗 = 1 0 0 0 ，一啦o o o ，f。 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 8 则3 3 2 式的系数行列式d e t m 2 = 0 ，即m 2 取最大秩 只要p j ，磺，p 2 ，旗满足 ，2 ，3 ， ，5 时，就可由( 3 3 2 ) 式解出其余未知量 哦4 ，衍3 ，赢，鸹3 0 = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，j = 1 ，2 ，3 ，4 ) 也就是说对任何p d ：j 1 ( v z ) ，3 声d ：j 2 ( k z ) ，使得a ( p ) = 卢同 时。如果卢j 1 ( z ) ，且帮d i ，则显然筇珥，使得a ( 卢) = 卢 这就证明q ( 嘎) 一d i 当= 3 时有： 其中 d ；= y ( e 。：( 矗) ，e 。( 厶) ，矗) l l ，i 2 ；l ，2 ，3 ，4 ，n i 2 ，j = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 在瞒的表达式中，选取：p ；1 4 ，p 2 4 ，p p 4 4 p ；2 4 ) p 5 3 4 ，芦 4 4 ，p 5 3 4 ，砖4 4 ，p j 4 4 ，蠢1 4 ，砖2 4 ， p i 3 4 ，p 扎4 ，建2 4 ，p 炙4 ，p 1 4 4 ，p 玉4 ，p a 4 4 ，p i 4 4 ，p i l 4 ，p a 一2 4 ，p 扎4 ，p i 4 4 ，p ；2 4 ，p 2 3 4 ，p i 4 4 ，p 毛4 ，商4 ，吨4 ， p i l 4 ，p i 2 4 ，p i 3 4 ，p 4 4 ，p 耋2 4 ，p 2 3 4 ，p 2 4 4 ，砖3 4 ，p 氩4 ，p i 4 4 ，p 3 1 3 ，p 2 3 ，胡2 3 ，p i 3 3 ，p 玉3 ，p 4 3 3 ，p 1 3 3 ，p ；3 3 t 碟3 。，p 4 4 。，p ；，p k ，p ，砖4 ，衍。，递。，p ；。，地，p 2 。，p ；。，砖。，癌4 ，霸3 ，p 2 3 3 ，朐3 。，p 4 3 ，硝4 ，p s 4 ，鸸n ，p 乱 p j ，p i ，p i ，p 2 ，p 2 为未知量，在去掉重复的方程可得方程组矩阵m 3 ( 7 5 7 5 ) 为： = a 3 0 0 b 3 00 00 g 3 h 3 00 00 00 g 0 0 d a 00 00 00 00 b 0 00 岛0 0 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 9 其中 a 3 = 口3 = d 3 = 目= 岛 10o 10 女$ 1 十十 00 00 00 _ - oo 0 0 00 00 l0 1 ( 它们的阶数都为1 0 1 0 且o = i 或n 2 ；) 从而得知系数矩阵m 3 的行列式d e t m 3 0 与k = 2 时的理由一样，可得 n 2 3l “3 t ) = q 假设在小于k 一1 时，有o l l ( 磁) = 磁。( k o ) 以下证明在女时。结论都成立 设d ：驴( uz ) ，d ：一，由一族n 个线性无关的函数，n 的零点所定义； 厶：j k - 1 ( k z ) 一r “ 那么9 。= ，t i 。o l 一。与h = e z ( ) ( 1 ，2 ，3 ，4 ) 也是线性无关，并且由它们定义了 域一1 假设已证明了o k 一- - 2 il “t) = 哦。即在d ：一l 的函数关系厶中，按上述方法选 定了未知量并以吼一，x f k 一1 阶满秩阵m k 一1 为系数矩阵，那么，以巧1 吩。，劣办。，巧3 - 3 p 4 。3 4 。：( = k 一1 ，i a l i + i a 2 i = k 1 ) 为未知量再加上已选定的未知量的系数矩 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 2 0 晦m k 为 其中 胍= a k 00000 0 鼠0 000 00c k0r0 000d k00 g th k 00 瓯0 00000m k o a k = b k = d k = & = f k = c k a0 0 十a0 a #$ 1oo 10 $1 十 十 00 0 0 0o a0 0o 00 oo l0 1 当k = 4 时，a 4 ，鼠，q ，d 4 ，日，g 4 ，风的阶数为q + 四 + 四锘 当k 5 时，a k ，b k ，c k ，d k ，取，g k h k 的阶数为 暖+ 四戗一。十四雠一。+ 四嚷一。 从这里，很容易看出系数矩阵慨，可以化成下三角矩阵，并且d e t m a 0 即地是满秩的 所以，和= 2 时的理由一样，就可以证明对任意的k 3 ，都有l 一1 ( d ：) = 珥一。成立 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 2 l 根据本方程的定义【l 】，本方程就是准本方程的最大饱和，故由定理3 3 1 ， 可以很容易得到以下推论： 推论3 3 1 d 的准本方程d ：与本方程d + 是重合，即d = ( d ：) “= d ： 在求出了b o u s s i n e s q 方程的准本方程和本方程，将在第四章利用典则分层的 方法，讨论方程d 的拓扑性质 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 第四章d 的典则分层及广义初值问题 4 1d 的典则分层 对于v = r 4 ，z = r 5 ，k l 有一个开覆盖，它由g ；( t j “1 ( v z ) ) 的四个开 集以( t = 1 ，2 ，3 ，4 ) 组成： w 3 卜t ( uz ) _ u - u u 巩u 砜 其中 自2l ，巩= h 一1 ( k ) ，( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) ， h = h 3 一1 。h 卸。h 3 ，：g ；( t j “1 ( ”z ) ) 一g 3 ( t v ) 而h 1 k ：g ；( t j ( vz ) ) 一g i ( t j 2 1 ( uz ) ) 并且k g 3 ( t v ) ， ( t 2 1 23 ，4 ) 是g 3 ( t y ) 的开集，它由v 在点z = ( z l ，x 2 ，x 3 ，x 4 ) v = r 4 的切空间t v 的横 截于 去= o ) ， 。= 1 ，2 ，3 ，4 ) 的那些超曲面r 组成 当考虑g 。( t r 4 ) 的如下局部图： 商妒1 ：r 4 r 3 _ r 4 g 3 ( r 4 ) = g 3 ( t r 5 ) 并且m = ，m 最= j m 妒1 ( ”1 ) ，超平面”l 由k i t ：- - 个向量生成 其中 将这样的7 r - 记为 类似的可得 妒1 ( 0 2 ，0 3 ，0 4 ) = ( 。2 ，1 ，0 ，o ) ，( 0 3 ，o ，1 ，o ) ，( n 4 ，0 ，0 ，1 ) ) k = ，m 画( 2 ) = m 妒2 ( 7 r 2 ) 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 v 3 = l m 瓦( ”3 ) = ，m 妒3 ( 3 ) ， k = j m 两( 4 ) = m 妒4 ( f f 4 ) ， 且”2 ，”3 ，丌4 分别由以下三组类型的向量生成： 妒2 ( 6 l ，b 3 ，b 4 ) = “1 ，b l ，0 ，o ) ，( 0 ，6 3 ，1 ，o ) ，( 0 ，b 4 ，0 ，1 ) ) ， 妒3 ( c 1 ，c 2 ，c a ) = ( 1 ，0 ，c 1 ，o ) ，( 0 ，1 ，c 2 ，o ) ，( 0 ，0 ，c a ，1 ) ) ， 伽( d 1 ，d 2 ，d 3 ) = ( ( 1 ，0 ，0 ，a 1 1 ) ，( 0 ，1 ，0 ，如) ，( 0 ，0 ，1 ，d 3 ) ) ， 这里( b 1 ，b 3 ，5 4 ) 印，( c i c 2 ，c 4 ) r 3 ， ( d a ，d 2 ，d 3 ) r 3 对于”m “= 1 ，2 ，3 ，4 ) 分别用； ( a 2 ( ”) ，a 3 ( 7 r ) ，a 4 ( ”) ) r 3 ， ( b a ( ”) ，b ( ”) ，b 4 ( 7 r ) ) r 3 ， ( c 1 ( 7 r ) ，c 2 ( ”) ，c 4 ( ”) ) r 3 ， ( d l ( 7 ) ，d 2 ( 7 r ) ，如( 口) ) 萨， 代表四类不同的实数组，分别生成上述四类超平面孤( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 设r g ；( t j k - 1 ( vz ) ) ，对于典则投影： p ：c ；( t j “1 ( uz ) ) 一j k - 1 ( vz ) ， 它的像p ( r ) 记为： p ( r ) = ( x l ，x 2 ，x 3 ，x 4 ，讽，武 ) 根据方程组d 的形式，讨论它的典则分层时，只需讨论r u 3 的情形( 对于 r u 1 ，r 情形，可类似的讨论) 引理4 1 1 j 当r u 3 时，有以下恒等式： p ；= 西：( f ) 一6 f 踮， ( 411 ) 办：= 秀- (