（通信与信息系统专业论文）混沌理论在雷达通信中的应用研究.pdf

哈尔滨工程大学硕士学位论文 摘+ 要 混沌是非线性动力学系统所特有的一种运动形式，是确定性 的、类似随机的过程。混沌信号具有遍历性、非周期、连续宽带频 谱、似噪声的特性。随着混沌在理论上的深入研究和在物理上的实 现，混沌在雷达通信中的应用研究也引起人们越来越的广泛关注。 雷达要求发射信号具有大的带宽来获得高的距离分辨力，要求 发射信号具有复杂波形来提高信号隐蔽性，混沌信号明显符合这个 发展方向。采用什么样的雷达信号波形，是雷达总体设计的内容之 一，也逐渐成为当今的研究热点和难点问题。 本文在深入分析多种混沌系统的特征、雷达基本理论的基础之 上，对雷达波形信号设计进行深入研究。在研究过程中，将理论分 析、计算机仿真有机结合起来，为混沌系统在雷达波形信号设计上 的应用提供理论基础和实验依据。 以混沌雷达的点目标模型为理论基础，对混沌雷达信号波形的 可行性进行分析研究。以两个较为典型的混沌l o g i s t i c 和t e n t 映射 形成的混沌雷达信号为例，对其自相关、互相关特性以及模糊函数 进行分析，仿真结果表明混沌雷达信号的相关性较好，具有良好速 度和距离分辨率。从而进一步证明混沌雷达波形信号设计的可行性。 本文提出一类由单一混沌映射形成的混合混沌雷达信号。研究 有限个混沌系统构成混合混沌系统的动力学模型，通过仿真分析研 究三种不同混沌雷达信号及其混合混沌雷达信号的相关特性和模糊 特性，仿真结果表明混合混沌雷达信号具有尖锐相关特性和模糊特 性。 关键词；混沌：混合混沌；雷达；模糊函数；波形设计 哈尔滨r 程大学硕七学位论文 a b s t r a c t c h a o si sas p e c i a lm o v i n gf o r mo fn o n l i n e a rd y n a m i c ss y s t e m ，a n d i ti sd e f i n i t ea n dr a n d o ml i k ep r o c e s s c h a o t i cs i g n a lh a st h ep r o p e r t i e s o fe r g o d i c i t y ，n o n p e r i o d i c i t y ，c o n t i n u o u sb r o a d b a n dp o w e rs p e c t r a ，a n d n o i s el i k ee t c a l o n gw i t ht h et h e o r e t i c a l l yt h o r o u g hr e s e a r c ha n dt h e p h y s i c a l r e a l i z a t i o no nc h a o s ，t h ec h a o sa p p l i c a t i o nr e s e a r c ho nt h e r a d a rc o m m u n i c a t i o nc a u s e dm o r ea n dm o r ew i d e l ya t t e n t i o no fp e o p l e t h er a d a rr e q u e s tt h et r a n s m i t t i n gs i g n a lh a sg r e a tb a n dw i d t ha n d c o m p l e xw a v e f o r mt oo b t a i nh i g hr a n g er e s o l u t i o na n de n h a n c et h e s i g n a lc o v e r tc h a r a c t e r i s t i c ，t h ec h a o ss i g n a lo b v i o u s l yc o n f o r m st ot h i s d e v e l o p m e n td i r e c t i o n w h i c ht y p eo fr a d a rs i g n a lw a v e f o r m t ou s e ，i s o n e p a r t o fr a d a rs y s t e md e s i g nc o n t e n t s ，a l s og r a d u a l l yb e c o m e s t o d a y sh o t s p o ta n dd i f f i c u l t yo fr e s e a r c h o nt h eb a s i s o fa n a l y z i n gm a n yk i n d so fc h a o t i cs y s t e mf e a t h e r s a n dt h ee l e m e n t a r yt h e o r yo fr a d a r ，b a s i sr e s e a r c hi sd o n et ot h er a d a r w a v e f o r ms i g n a l d e s i g n i nt h e r e s e a r c hp r o c e s s ，t h e t h e o r e t i c a l a n a l y s i sa n dt h ec o m p u t e rs i m u l a t i o na r eo r g a n i cs y n t h e s i z e d ，p r o v i d e s t h et h e o r ya n de x p e r i m e n tf o u n d a t i o n sf o rt h ec h a o ss y s t e mi nr a d a r w a v e f o r ms i g n a ld e s i g na p p l i c a t i o n t a k et h ec h a o sr a d a rp o i n tt a r g e tm o d e la st h er a t i o n a l e ，c o n d u c t s t h ea n a l y s i sr e s e a r c ht ot h ec h a o sr a d a rs i g n a lw a v e f o r mf e a s i b i l i t y t a k et w ot y p i c a lr a d a rs i g n a lw h i c hf o r m e db yc h a o sl o g i s t i ca n dt e n t m a p p i n g a sa n e x a m p l e ，a n a l y s i s i t sa u t o c o r r e l a t i o n ，m u t u a l c o r r e l a t i o nc h a r a c t e r i s t i ca sw e l la st h ea m b i g u i t yf u n c t i o n ，t h e s i m u l a t i o nr e s u l ti n d i c a t e dt h a tt h ec h a o sr a d a rs i g n a l sr e l e v a n c ei s b e t t e r ，h a sg o o ds p e e da n dr a n g er e s o l u t i o n ，t h u sf u r t h e rc e r t i f i c a t e st h e f e a s i b i l i t yo fc h a o sr a d a rp r o f i l es i g n a ld e s i g n 哈尔滨工程大学硕士学位论文 t h i sd i s s e r t a t i o np r o p o s e sak i n do fm i x e dc h a o sr a d a rs i g n a l w h i c hf o r m e db yt h es o l ec h a o sm a p p i n g s t u d i e st h em i x e dc h a o s s y s t e m sd y n a m i c sm o d e lw h i c hc o n s t i t u t e db yl i m i t e dc h a o ss y s t e m ， a n a l y s i st h er e l a t e dc h a r a c t e r i s t i ca n dt h ea m b i g u i t yc h a r a c t e r i s t i c o f t h r e ek i n do fd i f f e r e n tc h a o sr a d a rs i g n a l sa n di t sm i x e dc h a o sr a d a r s i g n a l st h r o u g ht h es i m u l a t i o n ，t h e s i m u l a t i o nr e s u l ti n d i c a t e s t h e m i x e dc h a o sr a d a rs i g n a lh a si n c i s i v ec o r r e l a t i o nc h a r a c t e r i s t i ca n d a m b i g u i t yc h a r a c t e r i s t i c k e y w o r d s ：c h a o s ；m i x e dc h a o s ；r a d a r ；a m b i g u i t yf u n c t i o n ； w a v e f o r md e s i g n 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导 下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文 献等的引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中 己经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ：盈握盔 日期：年月日 哈尔滨= r = 程大学硕七学位论文 1 1 课题背景 第1 章绪论 1 1 1 论文的选题背景和研究意义 随者现代科学技术的进步与发展，电子技术几乎渗透到我们生活的各个 领域。以计算机为核心的庞大的信息网正在全世界范围内逐渐形成。世界新 军事变革的核心是新的信息技术在军事领域的广泛应用以及由此引起的其它 方面的变化。信息战将成为未来最主要的战争形态，它追求信息技术优势， 夺取信息权是取得战争主动权的关键。扩谱军事通信和具有l p i 性能的雷达 拥有良好的态势感知能力，能够通过影响敌方信息和信息系统并保障己方信 息系统来发挥作用以支援国家军事战略和战术取得信息优势，适应了现代战 争的需要，然而一般方式的电子对抗措施难以适应这些现代技术武装起来的 电子武器。另外，由于斗争的复杂性，电子对抗所面临的电磁环境也非常复 杂，不仅信号本身复杂难以处理，就是信号流量也高得难以处理。美国曾经 在海湾战争中作过测试，战场上脉冲信号的数量高达每秒数百万个。因此， 现代战争的发展使得电子对抗需要新的概念、新的理论、新的技术。 雷达( r a d a r ，是“r a d i o d e t e c t i o n a n d r a n g i n g ”缩写的音译) 是用于发 现目标和测定目标距离、方位及运动状态的电子装置。自二战期间在英国发 明以来，在航空、航天、交通运输、气象预报、大地测量及军事上发挥着越 来越重要的作用。在国防上，雷达作为现代国防的“千里眼”，是一种必不 可少的现代军事电子信息装备，担负着敌方来袭目标预警探测、威胁目标跟 踪识别、己方拦截战机引导、拦截打击武器跟踪制导等重要任务。随着电子 对抗技术的发展，对雷达的作用距离、 高的要求。根据雷达信号分析表明， 分辨力和测量精度等性能提出越来越 在实现最佳处理并保证一定信噪比的 条件下，测量精度和分辨力对信号形式的要求是一致的。测距精度和距离分 哈尔滨工程大学硕士学位论文 辨力主要取决于信号的频率结构；为了提高测速精度和速度分辨力，要求信 号具有大的带宽，测速精度和速度分辨力则取决于信号的时间结构。由于常 规雷达采用单一载频的脉冲调制信号，信号时宽t 和带宽b 的乘积近似为1 。 因此，用这种信号不能同时得到大的时宽和带宽，测距精度和距离分辨力、 测速精度和速度分辨力以及检测能力之间存在着不可调和的矛盾。为了解决 上述矛盾，必须采用具有大时宽带宽乘积的较为复杂的信号形式。近年来出 现的混沌理论给雷达信号波形形式的多样化注入了新的活力，提供了新的契 机。混沌是确定性系统的内在随机性。混沌在演化过程中，原则上未来完全 由过去决定，但实际上以任意小的误差指数放大，使得混沌不可长期预测。 同时混沌系统本身又是确定性的，由非线性系统的方程、参数和初始条件所 完全决定，因此又使得混沌信号易于产生和复制。 1 1 2 混沌在雷达通信中的应用现状 目前，混沌在雷达中的应用主要体现在以下几个方面。一个方面是利用 杂波具有分形特征而具有光滑表面的物体如坦克、飞机等的且标回波没有分 形特征的差别，根据g - p 算法识别目标；二是根据杂波特性对其进行动力学 建模，这个方向以l e t m g 和h a y k i n 为代表”卜“，他们提出了海杂波的混沌 模型，并成功地应用神经网络等技术提取出淹没在海杂波中的小目标；三是 根据混沌信号具有频谱很宽的类噪声特性设计混沌雷达信号“”叫例，设计出来 的雷达信号不仅模糊函数逼近理想的图钉型，具有高距离分辨力和速度分辨 力，而且有很好的l p i 特性，具有广阔的应用前景。 从目前的文献资料中可以看出多种调制技术相结合的混合波形是混合雷 达波形设计的主流，其设计出的混合雷达波形的模糊函数大多数呈现较为理 想的“图钉型”结构，但是二者结合也会使雷达信号波形的形成、发射及接 收信号的处理等环节的难度比一般雷达信号波形要大得多。近年来混沌在物 理上已经能够实现，并且其形成的技术、方法等方面也逐渐成熟，所以有限 个混沌映射的混合也将成为现实。本文将混沌可加性思想引入到混沌雷达信 号波形的设计中，构造一类基于单一混沌映射的混合混沌雷达信号波形并对 其进行了仿真研究，将其与一般的混沌雷达信号波形在各项性能上进行比较 2 哈尔滨工程大学硕七学位论文 分析，表明了混合混沌雷达信号的优越性。 1 2 论文的内容安排 在阅读了大量有关参考文献之后，针对目前的混沌雷达信号波形设计方 法，提出了自己的混合混沌雷达信号波形设计方案，并进行了大量理论研究 以及仿真研究。具体的各章节的安排如下： 第一章简要的论述了论文研究的背景和混沌在雷达通信中的应用现状。 第二章主要介绍混沌系统的历程、定义、基本特征以及三种典型的混沌 系统。 第三章雷达的基本理论知识。 第四章研究混沌雷达波形的设计。对混沌雷达信号波形设计的可行性进 行分析研究，并以l o g i s t i e 和t e r l t 两个典型映射为例做了仿真验证，证明了其 可行性。 第五章根据多种调制相结合构造混合波形技术在雷达信号处理上造成 一定困难，利用混沌可加性思想构造一类基于混沌映射的混合混沌雷达信号， 并进行大量的仿真分析。 最后对全文内容进行总结。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 高i i j i ；i i i i i i ；i ；i ；i 葺i f i i ；皇i i j i i i i i ；j i 第2 章混沌时间序列的基本理论 2 ，1 混沌的本质 混沌是非线性动力学系统特有的一种运动形式，隶属于确定系统却不可 预测，隐含于复杂系统但又不可分解，看似“混乱无序”却又颇有规律。筠 单地说“混沌就是有秩序的无序”，它使得描述某个确定系统的长期行为必 须借助于概率论的方法。所谓“确定系统”是指描述该系统的数学模型是不 包含任何随机因素的完全确定的方程。 混沌是具有随机性的非周期振动。当系统作通常的规则运动时，无法避 免的涨落所引起的初始条件的微小变化一般只引起运动状态的微小差别，即 初始状态接近的各个轨道始终是接近的，从而人们可以对系统的运动做出预 测。混淹刚不然，它具有对初始条件的敏感依赖性，即初始条件的微小差剐 使轨道按l y a p u n o v 指数分离，时间不长时，两轨道非常接近，但随着时间增 长，两轨道相距越来越远，而且很快就变得完全不一样。真所谓差之毫厘， 失之千里。洛伦兹戏称混沌运动对初始条件的敏感性为蝴蝶效应”。 2 2 混沌的定义 从文献 2 1 中可以看出由于混沌系统的奇异性和复杂性至今尚未被人们 彻底了解，因此至今混沌还没有一个统一的定义。目前，己有的定义是从不 同的侧面反应了混沌运动的性质。 1 l i - y o r k e 的混沌定义 l i y o r k e 定义是影响较大的混沌的数学定义，它是从区间映射出发进行 定义的，该定义可描述如下。 l i - y o r k c 定理：设( j ) 是【如】上的连续自映射，若厂( 工) 有3 周期点， 则对任何正整数以，f ( x 1 有n 周期点。 混沌定义( l i y o r k e ) ：区间i 上的连续自映射f ( x 1 ，如果满足下面的条 4 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 件，便可确定它有混沌现象： ( 1 ) ，的周期点的周期无上界； ( 2 ) 闭区间i 上存在不可数的子集s ，满足 ( i ) 对任意x ，y e s ，x y 时，舰s u p l r ( x ) 一厂”( y ) i 0 ( i i ) 对任意工，y e s ，慨i n f l ，”( x ) 一f “o ) | - o ( i i i ) 对任意x s 和厂的任意周期点) ，有l i m s u p l ”( x ) 一f ”( y ) i 0 根据上述定理和定义，对闭区间i 上的连续函数f ( x 1 ，如果存在一个周 期为3 的周期点时，就一定存在任何正整数的周期点，即一定出现混沌现象。 用李天岩的话来说，只要有周期3 就“乱七八糟”的，什么周期都有。 该定义准确的刻画了混沌运动的几个重要特征： ( 1 ) 存在可数无穷多个稳定的周期轨道： ( 2 ) 存在不可数无穷多个稳定的非周期轨道； ( 3 ) 至少存在一个不稳定的非周期轨道。 2 m e l n i k o v 的混沌定义 在二维系统中，最具有开创性的研究是s m a l e 的马蹄理论。马蹄映射f 定义于平面区域d 上，v ( 0 1 c d ，其中d 由一单位正方形s 纵向压缩( 压缩 比小于1 2 ) ，同时横向拉伸( 拉伸比大于2 ) ，再弯曲成马蹄形后放回d 中。 h e n o n 映射就是马蹄映射的一个实例。已经证明，马蹄映射的不变集是两个 c a n t o r 集之交，映射在这个不变集上呈混沌态。因此，如果在系统吸引子中 以现了马蹄，就意味着系统具有混沌。 由h o l m e s 转引的m e l n i k o v 方法是对混淹的另一种严格的描述。概括起 来可表述为：如果存在稳定流形和不稳定流形且这两种流形横截相交，则必 存在混沌。m e l n i k o v 给出了判定稳定流形和不稳定流形横截相交的方法，但 这种方法只适合于近可积h a m i l t o n 系统。 3 d e v a n e y 的混沌定义 在拓扑的意义下，混沌定义( d e v a n e y ) 为：设v 是一度量空间，映射，： v 斗v ，如果满足下面3 个条件，便称厂在v 上是混沌的。 ( 1 ) 对初始敏感依赖。存在万 0 ，对任意的g 0 和任意的x v ，在x 的 哈尔滨1 r 程大学硕士学位论文 i 邻域内存在y 和自然数玎，使得d ，”( x ) ，f ”( y ) 万。 ( 2 ) 拓扑传递性。对v 上的任意对开集x 、y ，存在k 0 ，广( x ) n y ( 如一映射具有稠轨道，则它显然是拓扑传递的) 。 ( 3 ) 厂的周期点集在v 中稠密。 对初值的敏感依赖性意味着无论x 和y 离得多近，在厂的作用下两者的 距离都可能分开较大的距离，并且在每个点x 附近，都可以找到离它很近而 在厂的作用下终于分道扬镰的点y ，对这样的f ，如果用计算机计算它的轨 道，任意微小的初值误差，经过多次迭代后将导致计算结果的失败。 拓扑传递意味着任一点的邻域在，的作用之下将“遍撒”整个度量空间 v ，这说明厂不可能细分或不可能分解为两个在厂下不相互影响的子系统。 周期点集的稠密性，表明系统具有很强的确定性和规律性，决非混乱一 片，形似混乱而实则有序，这正是混沌的耐人寻味之处。 2 3 混沌运动的基本特征 混沌运动是一种不稳定有限定常运动，即为全局压缩和局部不稳定的运 动，或除了平衡、周期和准周期以外的有限定常运动。这里所谓有限定常运 动，指的是运动状态在某种意义上( 以相空间的有限域为整体) 不随时间而 变化。这个定义指出了混沌运动的两个主要特征：不稳定性( 该性质可用平 均l y a p u n o v 指数精确刻画) 和有限性。 混沌运动是确定性非线性系统所特有的复杂运动形态，出现在某些耗散 系统、不可积h a m i l t o n 保守系统和非线性离散映射系统中。如前所述，至今 科学上仍没有给混沌是一个完全统一的定义，它的定常状态不是通常概念下 确定性运动的三者状态：静止( 平衡) 、周期运动和准周期运动。它有时被描 述为具有无穷大周期的周期运动或貌似随机的运动等。与其他复杂现象相区 别，混沌运动有着自己独有的特征，主要有： 0 时，它们之间的距离在下一时刻以指数e “分离。当口 0 时， 其距离按指数e | 砷减小。当a = 0 时，则相邻轨道之间永远保持不变。显然， 在耗散系统中，状态变量x 不能趋于无穷。一般来说，x 是矢量，a 是雅可比 矩阵，且依赖于所给定的线性化点。该矩阵的特征值则决定了两个相邻点之 间的伸长或压缩，其速率可能在相空间中各点不同，只有对运动轨道交点的 伸长或压缩的速率进行长期平均，才能刻画动力系统的整体效果，这就是 l y a p u n o v 指数的概念。在这里应该指出，正的l y a p u n o v 指数是刻画混沌系统 的主要特征。例如： 对于一维映射 而。= 厂k ) ( 2 - 2 ) 由于在一维映射下只有一个拉伸或折叠的方向，因此可以考虑初值和 i o 哈尔滨：t 程大学硕十学位论文 它的近邻值+ 瓴。由式( 2 2 ) 的映射作一次迭代后，这两点之间豹距呙为 砰+ 8 x o ) 一他) | - 笪笋慨 即) n 次迭代后，这两点之间的距离则变为 j = l 川( 而+ a x o ) 一町( ) i ；贮攀砜( 2 - 4 ) 叫。6 x 。 此式说明这两点要以指数分离，这就是敏感的初始条件，如图2 1 所示。式( 2 4 ) 中l e 称为l y a p i l i l o v 指数。 一日卜一! l 一 而+ 瓯 广( )，p ( + 瓴) 图2 1l y a p u n o v 指数的定义 由式( 2 4 ) 可得 肚吉m 鲁刊掣l p s ， 厅d 甩 积 l 有 式中 所以e 代表相邻点之间距离的平均辐射率。利用复合函数的微分规则 ! 幽：幽型剑! 必 出血出出血 那么式( 2 5 ) 变为 或 毛= f ( x o ) ，恐= 厂 ) = 产“) 肚i | 伊n - i ( ) r 1 n - ih ) i ( z - 6 ) 哈尔滨丁程大学硕十学位论文 =舰=1n-ilel l l 叭l ：l i m 一，l l l l ，f 五m 胛篙。、“ 一维映射只有一个l y a p u n o v 指数，它可能大于、等于或小于零。对于二 维映射的混沌同样可用l y a p u n o v 指数来表征。这罩就不一一赘述。 上面讨论的映射，由于一些重要的物理过程多半由微分方程来描述的， 因此人们更为关心微分方程中是否会出现与离散映射不同的混沌行为。下面 讨论一个n 维的动力系统： 导= z ( ，毛，毛) ，i = 1 ，2 ，九 ( 2 7 ) 式中r 为时间， ，i = 1 ，2 ，甩 是一个n 维状态变量，并由它构成了一个”维 相空间，z ( i = l ，2 ，”1 是一个聍维非线性向量。式( 2 7 ) 的解在相空间形成 - 条轨道x ( t ) 。若初始值x ( o ) 有偏差w ( o ) ，则由工( o ) + ( o ) 出发就形 成了另一条轨道x ( t ) + 矽( t ) ，如图2 2 所示。 “0 ) + 职0 ) 工( f ) + w ( o 职t ) 图2 2 混沌轨道的指数分离 为了分析w ( t ) 随时间t 的变化规律，设w ( t ) 的第n 个分量在t 时刻的偏 差为彬( f ) ，将 彬( f ) ，f = 1 ，2 ，珂 所构成的空间称为切空间，只要 彬( f ) 足够 小，且d a ( 2 - 7 ) 表示的系统是耗散的，则偏差w ( t ) 的增长率应满足线性微分方 程坼：鹏，f = l ，2 ，捍，式中，就是式( 2 7 ) 表示系统的j a c o b i a n 阵。 在切空间上，若初始时刻的长度为l 吵( o ) t 时刻的长度为i 吵( f ) 0 ，由 于对初始条件的敏感性，使j a c o b i a n 阵的特征值给出了某确定时刻其长度在 该特征方向上的指数变化率。设 哈尔滨工程大学硕十学位论文 1 1 w ( t ) l l = , “1 1 w ( o ) 0 ( 2 8 ) 则可得以维的李雅普诺夫指数： 舱= l i r a i ，i n 删 ( 2 - 9 ) e 代表相邻轨道在相空间的平均指数辐散率。 在h 维切空间中，若( ，) 在每个基底上有分量，由于l e 是针对系统的 运动轨道而言的，所有切空间的每一个分量都有一个三，通过得到n 个l e 后，从大到小排列：e l2 l e 2 l e ，称这甩个数为李雅普诺夫特征指 数的谱，其中e 称为最大的皿，它决定了非线性系统的很多重要性质。三e 的个数通常等于相空间的维数。在三e 0 的方向轨道以指数率分离，对初始值十分敏感，呈混沌运动状态； 在e = 0 对应于稳定边界( 分岔点) ；因此具有正的l e 可作为混沌行为的 判据。以三维系统为倒，按l e 的符号对吸引子分类如下面的表2 1 所示： 表2 i 三维系统的吸引子分类 l e 指数符号吸引子类型运动类型吸引子维数 ( - - ，一，一) 不动点平衡态 o ( 0 ，一，一) 极限环运动周期 1 ( 0 , 0 ，一) 二维环面准运动周期 2 ( + ，0 ，一) 奇怪吸引子混沌分数维 2 混沌吸引子 通常人们把与外界有物质和能量交换的开放和远离平衡态的这种系统称 之为耗散系统。在耗散系统中的整体状态用吸引子来描述是比较容易的。在 耗散系统中常有四种吸引子：定常吸引子、周期吸引子、拟周期吸引子和混 沌吸引子。混沌吸引子是在三维或三维以上的一种吸引子，它不同于其他三 种吸引子，是一种在相空间中具有分数维数的吸引子。通常混沌吸引子具有 分形结构，因此称为奇异吸引子。实际上混沌吸引子是一种动力学的概念， 而奇异吸引子则是一种几何上的概念。由于混沌吸引子可以不具有分形结构， 而具有分形结构的吸引子未必是混沌吸引子，所以它们之间未必有必然的联 系呲1 。但是研究表明，混沌吸引子往往具有非整数维数，因此往往是奇异吸 哈尔滨r 稃大学硕十学位论文 引子。它具有如下主要特性： ( 1 ) 奇异吸引子上的运动对于初始条件极为敏感。 ( 2 ) 奇异吸引子作为相空间的子集合，通常具有分数维。 ( 3 ) 奇异吸引子的结构即使原来的微分方程连续地依赖于参数，它也完 全不是连续地随参数而变化，即整体结构会突然变化。 ( 4 ) 奇异吸引子空间结构十分复杂，这来自于轨道的无穷伸长、压缩和 折叠。 ( 5 ) 奇异吸引子具有无穷嵌套的自相似结构。 ( 6 ) 奇异吸引子具有一切混沌的通有性质( 如倍周期分贫中的费根包姆 普适常数) 。 ( 7 ) 奇异吸引子具有分数维、正的l y a p u n o v 指数、正的测度熵以及功 率谱是连续的等统计特征。 2 5 3 吸引子功率谱 在许多实际问题中，人们往往只能观测到如下的离散时间序列 x ，工：，x r ，x 。 ( 2 1 0 ) ( 其中时间间隔为a t ) 。由于它反映了实际非线性动力系统和运动状态，而 吸引子正是这种状态的归宿，因此吸引子的信息就包含在这一对间序列中。 大家知道，实验中可以直接测量的对象之一就是时间序列( 2 10 ) 的功率谱。 功率谱可表示复杂时f b j 序列的特性“”，它把时间序列分解成不同频率的正弦 震荡的叠加。对e 作傅立叶变换： 乏= 击喜e 半一墟， - ， g n g n n n a f 2 去。对此序列加上边界条件+ * 2 ，然后计算时间序 列置的自相关函数： 甲。2 去善w ，( 2 - 1 2 ) 哈尔滨i 稃大学硕士学位论文 自相关函数的傅里叶变换就是功率谱阵l ： 瓯斟= 虹t = lc o s ( 半) p 柳 式中：最说明第七个频率分量对_ 的贡献，其意义就是代表单位频率上的能 量。 另一种方法是直接计算x 的傅立叶系数： c o s c o s 衫是 仃 可t ，l ( 2 1 4 ) 然后计算： 瓦= + 配 ( 2 1 5 ) 选择多组x 计算一批 平均后即可逼近前面的功率谱。周期变量的功率 谱呈现分离尖峰结构，尖峰对应的频率之间存在公倍数；拟周期变量对应的 各尖峰间无公倍数现象；混沌和噪声的功率谱在宽的频率范围内都呈现出连 续性，因此，若系统的功率谱是连续的时候，说明系统具有混沌特征的可能 性。 非周期函数的功率谱与周期和拟周期运动的离散谱线不同，它是连续的 谱。但关键问题是区分随机白噪声和确定性的随机混沌的功率谱，因为白噪 声的谱也是连续的。不过白噪声是有大量的独立因素产生的，因此其功率谱 的振幅与频率无关，即具有没有任何声音的谐波结构，其功率谱应为连续的 谱。但对于混沌而言，虽然它的非周期性，所以它的功率谱仍是连续的。但 因为混沌运动的复杂性，使混沌的功率谱不是平谱，即谱中出现了噪声背景 和宽峰。从l o g i s t i c 映射序列及其自相关函数的傅立叶变换就可以看出混沌 信号的频谱及其功率谱的特点也不完全相同于白噪声，见图2 3 ( a ) ( b ) 。 x x ，y爿，p厶川 一以一 哈尔滨工程大学硕士学位论文 ( a ) 功率谱 ( b ) 频谱 图2 3l o g i s t i c 映射序列的功率谱及频谱 2 5 4 混沌运动的关联维数 一个有限点集的维数是0 ，线的维数是1 ，面的维数是2 ，但是具有分形 特征的吸引子维数不是整数。描述吸引子维数的方法很多，其中使用最多的 也是非常重要的是吸引子的关联维。确定性混沌运动的关联维数与随机过程 中相关函数的概念相对应。因为混沌体系可用奇异吸引子的不规则轨线来描 述，而它具有分形结构。分维数可对吸引子的几何特征及集于吸引子上的轨 道随时间的变化的情况进行数量上的描述，因此吸引子的混沌程度可以进一 步的细分。分维数的大小反映了奇异吸引子所占空间的程度，它的值越大， 它占有的空间越大，其结构越紧密，系统越复杂；反之结构越稀疏，系统也 越简单。 6 0。雌“一 l吲_l； 州滞i汹罐 ii；i二j*”憾一 ii砸帮晴怫 0烈萎 哈尔滨工程大学硕士学位论文 描述分维数的方法很多，其中使用最多的也是非常重要的是吸引子的关 联维。因为一般情况下系统的复杂性使其具体的相空间维数很难得知，在实 验中定多也就是测量采集一两个变量的数据序列来进行研究，而这种算法可 以在未知相空间维数的情况下，仅通过对单一数据序列来提取维数的信息， 被称之为关联维数，所以当系统的关联维数是分数维的时，它也可成为判别 系统是否为混沌的特征量。关联维数因作为混沌行为的测量参数而得到了广 泛应用。这种方法的基础是首先进行相空日j 重构。 首先从实验中测得一组数据序列， 而，而，t ， 其中：鼍第f 时刻测量得到的实验值 由于不知道实际的相空间维数有多高，于是先用这些数据支起一个m 维 的褶空闯，得到一组相空阃矢量： 在由实验数据进行相空间重构的基础上，则有相关积分的计算式子 ) 2 丽1 。乩州h ( ，一卜_ f ) 赤p 1 6 ) 式中圩是h e a v i s i d e 函数，即 ) = 譬鬟 ( 2 - 1 7 ) ，取适当的值，c ( r ) 会随着，的增大呈指数倍地迅速增加。关联维数定义为： d ，：一l 疏坐盟 ( 2 一1 8 ) ，呻o i n 在计算中随着嵌入维数d ( 时间序列相空问重构时的嵌入维数) 的变化， 在对数l n c ( r ) l n r 图曲线束中，互相平行的直线段的斜率就是关联维数仍， 该方法为研究维时间序列信号提供了有力的工具，被广泛采用。例如l o r e n z 混沌系统参数盯= 1 0 ，m 8 3 ，r = 2 8 的时候分维是2 0 6 ，h e n o n 映射萨1 4 、 b = 0 3 的时候分维是1 2 6 。 2 6 典型的混沌系统 从表述形式上，混池系统可分为连续的和离散的两种。前者由非线性的 哈尔滨【：程入学硕士学t i ) = 论文 微分方程( 组) 来描述，典型的有：l o r e n z 系统、蔡式电路、b u f f i n g 振子、r o s s l e r 系统等：后者用差分方程表示，包括l o g i s t i c 映射、h e n o n 映射、t e n t 映射 等。下面就几种典型的混沌作以介绍。 2 6 1 l o g i s t i c 映射及特。性分析 1 l o g i s t i c 映射 设系统所有可能状态的集合( 相空间) 为q ，在一维情况下q = 【口，b 】， a , b r 其中r 为实数，多数状态落入开区间q = ( a , b ) 中。给出初态x 0 q 之 后，系统在时刻，的状态被和，确定，即 薯= f ( t ，x o ) ，x o q ，t ( ，+ o o )( 2 一1 9 ) 若取f = l ，记，( x ) = f 0 ，秭) ，则 而= f ( x o ) ，恐= ( ( x o ) ) = 厂( 气) ，矗 - i ( i ( ( 厂( ) ) ) ) = ( 铀) ( 2 - 2 0 ) 、- - - - - - ，- - - - - - 、，- j 般 并记= f ”( x o ) ，其中f 的指数n 表示h 次函数迭代，即 广( x o ) - - - ，厂，( ) ( 2 2 1 ) 面一 其中“”表示两函数间的复合运算，则由式( 2 一1 9 ) ，式( 2 - 2 0 ) 给出函数厂的迭 代序列为，f ( x o ) ，f 2 ( 而) ，3 ( 而) ，厂”( ) ，并记为序列 “ ：。 现定义为对称的l o g i s t i c 映射，其基本表达式为： ( x ) = p x o ( 1 一矗) ，【0 , 4 1 ，工【o ，1 】 ( 2 2 2 ) 改进形式： ( 工) = 1 一门2 1 ，【o ，2 1 ，x 【- 1 ，l 】( 2 2 3 ) l o g i s t i c 映射的基本形式的研究表明： ( 1 ) 当0 l 时，该离散动力系统的动力学形态十分简单，除了不 动点x o = 0 外，再也没有其它的周期点，且x o = 0 为吸引不动点。 ( 2 ) 当l 3 5 时，l y a p u n o v 指数大于零的概率明显增大，这说明在这一区间，系 统很容易出现混沌。若欲将l o g i s t i c 序列作为雷达波形，显然希望具有最大 l y a p u n o v 指数，以便使其具有最大的随机性，故取尸4 ，从而获得典型的 l o g i s t i c 映射： + 1 = 4 x , ( 1 一x n )( 2 2 5 ) 此时的l y a p u n o v 指数为： 三e = l n 2 = 0 6 9 3 1 2 l o g i s t i c 映射特性分析 在本章中只对l o g i s t i c 映射的相关性质作直观的分析，详细的分析见第 四章。图2 6 、图2 7 、图2 8 分别为l o g i s t i c 映射的混沌序列、自相关函数 和互相关函数。 ：。一扣。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 ( 1 ) 基本形式 删 俐l j渊 图2 6l o g i s t i c 映射混沌序列 ( 2 ) 改进形式 n h ( 1 ) 基本形式( 2 ) 改进形式 图2 7l o g i s t i c 映射的自相关函数 月 ( 1 ) 基本式的互相芙函数 ( 2 ) 改进式的互相荚函数 图2 8l o g i s t i c 映射的互相关函数 从以上三个图可以看出，l o g i s t i c 混沌的改进形式的自相关函数和互相 关函数都要比l o g i s t i c 基本形式的自相关函数和互相关函数的效果要好。所 以在以后的讨论中我们都采用l o g i s t i c 混沌的改进形式。 2 0 哈尔滨丁程大学硕十学位论文 2 6 2t e n t 映射及特性分析 在郝柏林的著作1 中t e m 映射被称之为人字映射或帐篷映射，由于该映 射的时间序列具有均匀的概率密度和功率谱密度和理想的相关特性，所以受 到人们的广泛关注。其定义为： 矗“= 口- 1 - 1 x f ，( 1 l 时，l e 0 ， 此时系统处于混沌状态。当口= 2 时，t e n t 映射可获得最大l y a p u n o v 指数， 工e 。= i n 2 ，此时的t e n t 映射被除数称之为中心t e m 映射，其表达式为： 矗“= 1 - 2 1 x o t ，( 一l i ) ( 2 2 8 ) 由于系统存在字长效应，所以在实际仿真实验中，口的取值尽量接近2 ， 但是不要取2 。在本文的仿真中，口= 1 9 9 ，这样得到t e n t 映射的迭代公式： h l = o 9 9 一1 9 9 1 石o l ，( 一l 矗 盯p + 6 + 3 ) p b 1 ) 时，l o r e n z 系统均处于混沌态乜力。 在混沌区域内选择系统参数盯= 1 0 ，b = 8 3 ，= 2 8 ，取系统的初始状态为i x ( 0 ) ， “o ) ，反0 ) 】【1 0 ，1 0 ，1 0 】，此时，系统为一混沌系统。 ，v w一：x + a 叫一矿 i | j l = k渺坛 哈尔滨工程大学硕士学位论文 图2 1 0 、图2 1 l 、图2 ，1 2 分别是l o r e n z 方程组相空间图，混沌吸引子 和混沌解的时间曲线。 ( a ) x 哆相图 ( b ) x - z 相图 ( c ) y - z 相图 图2 1 0l o r e n z 方程组混沌解的相空间 哈尔滨工程大学硕七学位论文 1 e 1 。 s 胃o 图2 1ll o r e n z 吸引子的运动轨道 图2 1 2l o r e n z 系统各分景随时间f 的变化曲线 从以上的图可以看出，此振荡曲线与完全随机的噪声不样，它似乎有 一定的规律。无论时间多长，它都不会完全重复以前某时刻的振荡，即此时 振荡具有非周期性和随机性。这些轨迹被限制在相平面( 空间) 的有限区域 内，即动力系统吸引子。总体上，l o r e n z 吸引子由左右两个环套而成，每个 环绕着一个不动点，它实际上是一条双螺旋的曲线，就像以十分灵巧的方式 交织起来的一对蝴蝶的翅膀。这个吸引子中的环和螺线有无穷的深度，它们 之间可以无限靠近，但永远不会相交，仅占据有限的空间，具有无穷嵌套的 复杂结构。例如，随着时日的演化，每一个环都靠得很近的无穷多层，每层 上都密密麻麻的排列着无穷多个螺线，它代表系统的相点在右侧转几圈后又 ”；”j”5口 s n 哈尔滨t 程大学硕七学位论文 跳到左侧转几圈，运动轨道无法预钡盱r 么时候从这一侧过渡到另一侧，并且 轨道绕各自中心的方式和圈数也是个明显的随机数，这就是混沌状态。 2 7 本章小结 本章主要介绍了研究混沌系统的发展历程，混沌的定义，分析混沌的基 本特征。重点论述了混沌系统的数学分析方法，尤其是混沌系统的定量描述 参量l y a p u n o v 指数和混沌吸引子做了详细的论述，这是本论文以后工作的基 础。研究了l