（基础数学专业论文）关于自共轭置换子群和ss拟正规子群对有限群结构的影响.pdf

关于自共轭置换子群和s $ 拟正规子群 对有限群结构的影响 摘要 本文的目的是给出自共轭置换子群s n s s 拟正规子群新概念并利用一些热 点的方法讨论了自共轭置换子群s n s s 拟正规子群对有限群结构的影响 主要内容分为三个部分，具体安排如下： 第一章，主要介绍与本文有关的历史背景及发展状况 第二章，在本章，首先给出了自共轭置换子群，p s c 群的定义 定义1 ：设g 是一个有限群，g 的一个子群日被称做自共轭置换的如果h h z = h = h 隐含着日z ：h 定义2 ：设g 是一个有限群，g 被称做一个p s c - 群如果g 的极小子群g j 4 阶 循环子群是自共轭置换的 然后给出了p s c 群，极d , 非p s c - 群，极大子群为p s c 群以及二次极大子 群为p s c - 群的有限单群和有限群完全分类并且利用自共轭置换性给出了可 解弘群的新特征的等价条件和有限群的幂零性和超可解性新的判别准则这 部分内容主要发表在数学研究与评论上和投n j g r o u pt h e o r y 第三章，在本章，首先给出了新的岳拟正规子群的推广s s - 拟正_ 规子群的定 义 定义3 ：设g 是一个有限群，g 的子群日被称作s s 。拟正规子群如果g = h b 并 f 1 日与b 的所有s y l o w - 子群可交换 讨论了群，f i t t i n g 子群以及广义f i t t i n g 子群i j , o s y l o w 子群的极小子群，极 大子群，二次极小子群以及二次极大子群对有限群的p 幂零性，幂零性以及超 可解性的影响和给出了p 幂零性，幂零性以及超可解性新的特征 这部分内容主要发表在j a l g e b r a3 1 9 ( 2 0 0 8 ) 4 2 7 5 4 2 8 7 题目有限群 的s s - 拟正规子群对有限群结构的影响，和发表在c o m m u n i c a t i o no fa l g e b r a 上 题目是，关于有限群的s 孓拟正规子群 关键词：p s c - 子群自共轭置换子群s $ 拟正规子群循环群幂零群 极小子群二次极小子群极大子群二次极大子群幂零群超可解群i 群 分类号：0 1 5 2 1 0 nt h es e l f c o n j u g a t e p e r m u t a b l es u b g r o u p s k n ds s - - q u a i n o r m a ls u b g r o u p st ot h ei n f l u n c e o ft h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ew i l lg i v en e wc o n c e p t so fs e l f - c o n j u g a t e - p e r m u t a b l es u b g r o u p sm a d s s - q u a s i n o r m a ls u b g r o u p sm a dc o n s i d e rt h es e l f - c o n j u g a t e - p e r m u t a b l es u b g r o u p sa n ds s - q u a s i n o r m a ls u b g r o u p st ot h ei n f l u e n c eo ft h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s ，t h e r ea r et h r e e s e c t i o n si no u rr e s u l t s f o rd e t a i l ，a st h ef o l l o w i n g ： i nc h a p t e r o n e ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d sa n dt h ep r e s e n ti n v e s t i g a t i o n so ft h i s p a p e r i nc h a p t e rt w o ，a tf i r s t ，w eg i v en e wc o n c e p t so fs e l f - c o n j u g a t e - p e r m u t a b l es u b - g r o u p sa n dp s c - g r o u p s d e f i n i t i o n1 l e tgb eag r o u p as u b g r o u pho fgi ss a i dt ob es e 乒c o n j u g a t e - p e r m u t a b l e 稚hh 1 = h z hi m p h e sh 2 = h d e f i n i t i o n2 l e tgb eag r o u p gt 3s a i dt ob eap s c g r o u p 对e v e r yc y c l i cs u b g r o u po f go lp r i m eo r d e ro ro r d e r4i ss e t - c o n j u g a t e - p e r m u t a b l e t h e n ，w ec l a s s i f yt h ep s c - g r o u p s ，n o n - p s c - g r o u p s ，f i n i t eg r o u p sw h o s ee v e r ym a x - i m a ls u b g r o u p so fa r ep s c - g r o u p s ，f i n i t es i m p l eg r o u p sw h o s ea l lo fs e c o n dm a x i m a l s u b g r o u p sa r ep s c - g r o u p sa n df i n i t eg r o u p sw h o s ea l lo fs e c o n dm a x i m a ls u b g r o u p sa e p s c - g r o u p s w ea l s og i v en e wc h a r a c t e r i z a t i o no ff i n i t es o l v a b l et - g r o u p si nt e r m so f t h er e q u i r e m e n tt h a tc e r t a i ns u b g r o u p sa r es e l f - c o n j u g a t e - p e r m u t a b l ea n do b t a i nl l e ws u f - f i c i e n tm a dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rs u p e r s o l v a b i l i t ya n dn i l p o t e n c y 1 1 1 a p a r tc o n t e n to ft h i sc h a p t e rw i l lb ep u b l i s h e di nj o u r n a lo fm a t h e m a t i c a lr e s e a r c ha n de x p o s i t i o n ( t oa p p e a r ) b yt h et i t l e ”f i n i t eg r o u p sa l lo f w h o s es e c o n dm a x i m a ls u b g r o u p sa l ep s c * - g r o u p s ”a n ds u b m i t t e dt oj g r o u pt h e o r y b yt h et i t l e f i n i t eg r o u p sw i t hs e l f - c o n j u g a t e - p e r m u t a b l es u b g r o u p s ” i nc h a p t e rt h r e e ，a tf i r s t ，w eg i v en e wc o n c e p to fs s - q u a s i n o r m a ls u b g r o u p s d e f i n i t i o n3 l e tgb eaf i n i t eg r o u p as 的r o u pho lgi ss a i dt ob es s - q u a s i n o r m a l s u b g r o u p ( s u p p l e m e n t - s y l o w q u a s i n o r m a ls u b g r o u p ) 0 1gi lt h e r ei sas u p p l e m e n tbo h dgs u c ht h a th p e r m u t ew i t he v e r ys y l o ws u b g r o u p 吖b t h e n ，w ew i l lc o n s i d e rt h a tt h es s - q u a s i n o r m a l i t yo fm i n i m a ls u b g r o u p s ，m a x i m a l s u b g r o u p s ，s e c o n dm i n i m a ls u b g r o u p sa n ds e c o n dm a x i m a ls u b g r o u p so fs y l o ws u b g r o u p s o fg r o u p s ，f i t t i n gs u b g r o u p sa n dg e n e r a lf i t t i n g s u b g r o u p st ot h ei n f l u e n c eo fp - n i l p o t e n t ， n i l p o t e n ta n ds u p e r s o l v a b l eo ff i n i t eg r o u p sa n dg i v en e wc h a r a c t e r i z a t i o n so fp - n i l p o t e n t n i l p o t e n ta n ds u p e r s o l v a b l eo ff i n i t eg r o u p s a p a r tc o n t e n to ft h i sc h a p t e rw i l lb ep u b l i s h e di nc o m m i na l g e b r a ( 2 0 0 8 9 ) b y t h et i t l e ”o ns s - q u a i n o r m a ls u b g r o u p so ff i n i t eg r o u p s ”a n di nj a l g e b r a3 1 9 ( 2 0 0 8 ) 4 2 7 5 4 2 8 7b yt h et i t l e ”t h ei n f l u e n c eo fs s - q u a s i n o r m a l i t yo fs o m es u b g r o u p so nt h e s t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s ” k e y w o r d s ：s e l f - c o n j u g a t e - p e r m u t a b l es u b g r o u p ；p s c - g r o u p ；f i t t i n gs u b - g r o u p ；s s - q u a i n o r i n a ls u b g r o u p ；c y c l i cg r o u p ；p - n i l p o t e n tg r o u p ；m i n i n l a ls u b g r o u p ； m a x i m a ls u b g r o u p ；s u p e r s o l v a b l eg r o u p ；s e c o n dm i n i m a ls u b g r o u p ；s e c o n dm a x i m a l s u b g r o u p ；t - g r o u p ； m s c ：0 1 5 2 1 g ，日， 厂甜 以 g ag aqg 日垡g d ( a ) c g ( h ) ，g ( 日) h ao rc o r e g ( h ) g ：h i a u t ( g ) h i 上已三k g = h k d 丌( g ) ，a m ( p ) z ( a ) f ( c ) f + ( g ) 圣( g ) 磊 g 7 = gg 】 6 ( g ) lr ) n o t a ti o n g r o u p s c l a s s e so fg r o u p s ai sa s u b g r o u po ft h eg r o u pg ai sa p r o p e rs u b g r o u po ft h eg r o u pg 以i sa n o r m a ls u b g r o u po fg hi si s o m o r p h i cw i t hg m i n i m u mn u m b e ro fg e n e r a t o r so fg c e n t r a l i z e r ，n o r m a l i z e ro fh i ng c o r eo fhi ng i n d e xo ft h es u b g r o u phi nt h eg r o u pg a u t o m o r p h i s mg r o u po fg d i r e c tp r o d u c t s 。 s e m i d i r e c tp r o d u c to fha n dk ，w h e r ehi sn o r m a li ng m a x i m a ln o r m a lz r - s u b g r o u po fg s y m m e t r i c ，a l t e r n a t i n gg r o u p so fd e g r e en t h es e to fa l lm a x i m a ls u b g r o u p so ft h ep - g r o u pp c e n t e ro fg f i t t i n gs u b g r o u po fg g e n e r a l i z e df i t t i n gs u b g r o u po fg f r a t t i n is u b g r o u po fg c y c l i cg r o u po fd e g r e e1 1 d e r i v e ds u b g r o u po fag r o u pg t h en u m b e ro fc o n j u g a t ec l a s s e so ft h en o n - c y c l i cs u b g r o u p s g r o u pp r e s e n t e db yg e n e r a t o r sx ，a n dr e l a t o r sr 广西大学学位论文原创性声明和学位论文使用授权说明 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的成 果和相关知识产权属广西大学所有。除已注明部分外，论文中不包含其他人已经 发表过的研究成果，也不包含本人为获得其它学位而使用过的内容。对本文的研 究工作提供过重要帮助的个人和集体，均已在论文中明确说明并致谢。 论文作者签名： 砸g 年厂月扩日 学位论文使用授权说明 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文的研究内容； 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 请选择发布时间： 酬口时发布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 敝储虢懒新虢劫荡，纠年6 月岍 广西大掌硕士掌位论文关于自共轭置换子群和s 口拟正期子群对有限群结构的影响 c h a p t e ri i n t r od u c ti o n i nt h i sc h a p t e r ，w ef i r s t l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d sa n dt h ep r e s e n ti n v e s t i g a t i o n s o ft h ep r o b l e m s i n c et h ec l a s s i f i c a t i o no ft h ef i n i t es i m p l eg r o u pf i n i s h e d ，t h es t u d i e so ft h es o l v a b l e g r o u ph a v eb e c o m ea f o c u sd i s c u s s e d s of a r ，t h e r eh a sb e e ns om a n yr e m a r k a b l er e s u l t s h o w e v e r i ti sa ni m p o r t a n tm e t h o do fs t u d yo fg r o u pt h e o r yt oi n v e s t i g a t et h e s t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p sb ym e a n so fs o m es p e c i a ls u b g r o u p s w eo f t e nc o n s i d e rt h e s e s u b g r o u p s ，s u c ha sm a x i m a ls u b g r o u p ，m i n i m a ls u b g r o u p ，c y c l i cs u b g r o u p ，p - s u b g r o u p a n ds oo n t h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p si sc l o s e l yr e l a t e dt ot h ep r o p e r t i e so fm i n i m m s u b g r o u p a n dt h e r ea f em a n yp r o b l e m sw h i c hc a l lb es o l v e do n l yb yad e t a i l e de x a m i - n a t i o no ft h er e l e v a n tm i n i m a ls u b g r o u p s t h eh i s t o r yo ff i n i t eg r o u pt h e o r ys h o w st h a t t h ei n v e s t i g a t i o no fm i n i m a ls u b g r o u p si so n eo fi t sm o s tp o w e r f u lm e t h o d s m i n i m a ls u b g r o u pi st h ep r i m eo r d e rg r o u p i ti so fi n t e r e s tt oi n v e s t i g a t et h es t r u c - t u r eo f 缸沁g r o u p sb ym e a n so fm i n i m a ls u b g r o u p s i t 5 【21 】s h o w e dt h a t ： t h e o r e m1 1l e tgb ea no d do r d e rg r o u p 1 a l lm i n i m a ls u b g r o u p s o ga r e 诚 t h ec e n t e ro g ，t h e ngi sn i l p o t e n t t h i si so n eo ft h em o s tt y p i c a lt h e o r e m sa b o u tm i n i m a ls u b g r o u p s s i n c et h e n ，p e o - p l eh a v ed o n eal o n gs e r i e s o fg e n e r a l i z a t i o n sa n ds t u d i e sa b o u tt h ea b o v er e s u l t t h e f o l l o w i n gt w os i d e sa x ev e r ys i g n i f i c a n t ： i n1 9 7 0 ，b u c k l y 【9 】9s h o w e dt h a t ： t h e o r e m1 2 1a l lm i n i m a ls u b g r o u p so a no d do r d e rga r en o r m a l 伽g ，t h e n g 话s u p e r s o l v a b l e d e f i n i t i o n1 3 ag r o u pgi ss a i dt o b eap n g r o u p 讨i t sm i n i m a ls u b g r o u p sa r e 广西大掣硕士掌位论文 关于自炭瓶置换子l i 巾s 孓拟正规子群对有限群结构的影响 a l ln o r m a l m o r eg e n e r a l l y , g a s c h u t z 【4 ，v i ，5 7 s h o w e dt h a t ： t h e o r e m1 4 a l lp n g r o u p sa r es o l v a b l ew i t ht h ef i t t i n gl e n g t ha tm o s t3 t h i sg e n e r a l i z e dt h er e s u l to fb u c k l yi n 【9 】 i n1 9 8 0 ，s a s t r y 3 9 】c l a s s i f i e dt h em i n i m a ln o n - p n - g r o u p s ( n o n - p n - g r o u p sa l lo f w h o s ep r o p e rs u b g r o u p sa l ep 一g r o u p s ) t h e o r e m1 5 1 1g i san o n - p n - g r o u p t h e ngp o s s e s s e s o u rt y p e sa s o w l l o w s ： ( 珏) gi sad i h e r d r a lg r o u po o r d e r8 p ，g = ( a ，z ：扩= z p = l a n d x - 1 a x = 0 1 + p n 。1 ) ，pa no d dp r i m e 化，g = ( n ，b ，z ：a p n = 6 p = 矿= l ， o rs o m ep r i m ep ，k ，a 1 = ba n d 【a ，6 】= 【b ，z 】= 1 ) 一e ，g = m x ) 竺知磊， a ，z 】= ba n d 【z ，6 】= 1 j a ne l e m e n t a r ya b e l i a np g r o u p ，qi sac y c l i cs u b g r o u p i n1 9 9 8 ，s r l i 2 6 】i n t r o d u c e dt h ef o l l o w i n gc o n c e p t ： ( d ) g = p q w h e r ep i s d e f i n i t i o n1 6l e tgb eaf i n i t eg r o u pa n dxas u b g r o u po fg b yx gd e n o t et h e n o r m a lc l o s u r eo xi ng w ec a l lxa nn e s u b g r o u p0 fg 时x = n g o x 、n x g d e f i n i t i o n1 7a f i n i t eg r o u pgi sc a l l e dap e g r o u pi ie v e r ym i n i m a ls u b g r o u po f gi sa nn e s u b g r o u p i ns a l 2 1 ep a p e r ，s r l is h o w e dt h a t ： t h e o r e m1 8l e tgb eap e g r o u p t h e nt h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sa r et r u e ： ( a ) t h e r ee x i s t sas u b g r o u pk i ngw h i c hi s 伍p n g r o u ps a t i s f y i n gg = k f ( g ) w h e r ef ( g ) d e n o t e st h ef i t t i n gs u b g r o u po g j ( b ) gi ss o l v a b l e ； ( c ) g 1 f ( v 1 、) i sn i l p o t e n t0 1o d do r d e r , h e r eg 1i sd e r i v e ds u b g r o u po lg i n p a r t i c 广西大学蟠页士掌位论文 岩产自共轭置搦旺f 群和s d 拍c 正坝子群对有限群结构的影响 u l a r , t h ef i t t i n gh e i g h to la n yp e g r o u pi sb o u n d e db y3 t h e o r e m1 9 i | gi saf i n i t en o n pe g r o u p ie a c ho | w h o s ep r o p e rs u b g r o u pi s a p e g r o u p ，t h e n7 r ( g ) i 2a n do n e 吖t h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t si st r u e ： ( q ) gi sd i h e r d r a lg r o u p0 | o r d e r8 p jg = ( o ，z ：a p = 护= l a n d x 一1 a x = 口1 + 矿一1 ) ，pa no d dp r i m e 如，g = ( a ，b ，z ：扩= 6 p = c p 兰1 ，1 0 rs o m ep r i m ep ，扛，e l = ba n d 【a ，6 】= 【b ，z 】= 1 ) 一e ，g = m x ) 垡z z p ，a ，z 】= ba n d 【z ，6 】= 1 ， p q ，pi sc y c l i ca n dpa c t si r r e d u c i b l yo nq ， r e c e n t l y , y l i 【3 1 】s h o w e dt h a tt h eg r o u pg i sas o l v a b l et - g r o u p ( as o l v a b l eg r o u p i nw h i c ht h en o r m a l i t yt r a n s i t i v e ) i fa n do n l yi fe v e r ys u b g r o u p ( c y c l i cs u b g r o u p ) o fgi s a nn e - s u b g r o u p i ns a l t l ep a p e ry l is t u d i e da l s ot h en o n - s o l v a b l eg r o u p sa l lo fw h o s e s e c o n dm a x i m a ls u b g r o u p sa x ep e - g r o u p s f o r 气g r o u pg 。a s u b g r o u ph o fgi ss a i dt ob ec o n j u g a t ep e r m u t a b l ei fhh 1 = h zh f o ra n yz g t h i sc o n c e p t 麟i n t r o d u c e db yf o g u e li n 【1 7 】t h ec o n j u g a t ep e r m u t a b l e s u b g r o u p sh a v em a n yi n t e r e s t i n gp r o p e r t i e s ，e s p e c i a l l ygi saf i n i t eg r o u p i n 【1 7 ，f o g u e l s h o w e dt h a tf o raf i n i t eg r o u pa n yc o n j u g a t ep e r m u t a b l es u b g r o u pi ss u b n o r m a l 17 ，c o r o l - l a x y1 1 】t h i si sa l li n t e r e s t i n gr e s u l t r e n c e n t l y , s h i r o n gl ii n t r o d u c e dt h ef o l l o w i n gc o n c e p t ，t h a ti s 3 广西大爿瞒暇士掌位论文 岩吒f 自爿目j 邑j ：换弓啊糊口s s - 扣u e 规子群对有限群结构的影响 d e f i n i t i o n1 11 l e tgb eag r o u p as u b g r o u pho lgi ss a i dt ob es e 班c o n j u g a t e p e r m u t a b l ei lj ，上i ，。= h 。hi m p l i e sh 。= h t h i si st h ed u a lo ft h ec o n c e p to fc o n j u g a t ep e r m u t a b l es u b g r o u p s o b v i o u s l y , a s u b g r o u pho fg i sn o r m a li fa n do n l yi fhi sc o n j u g a t e - p e r m u t a b l ea sw e l la ss e l f - c o n j u g a t e - p e r m u t a b l e i ti se a s yt os e et h a tf o ra f i n i t eg r o u pg ，a l lo fw h o s em a x i m a l s u b g r o u p sm a dh a l ls u b g r o u p sa k es e l f - c o n j u g a t e - p e r m u t a b l e i no r d e rt od e v e l o pt h et h e o r yo fs e l f - c o n j u g a t e - p e r m u t a b l es u b g r o u p s f o rt h ec o n - v e n i e n c e ，w eg i v et h ef o l l o w i n gd e f i n i t i o n s d e f i n i t i o n1 1 2 l e tgb eag r o u p g 诂s a i dt ob eap s c g r o u p 矿e v e r yc y c l i cs 仳b g r o u p o | g0 1p r i m eo r d e ro ro r d e r4i ss e l f - c o n j u g a t e - p e r m u t a b l e w en o t i c et h a tam a x i m a ls u b g r o u pa 4o fa 5 t h e r ei sa s u b g r o u po fo r d e r2b u t s e l f - c o n j u g a t e - p e r m u t a b l ei na 4 s on e i t h e ra 5n o ra 4i sp s c - g r o u p b u ta l ls e c o n d m a x i m a ls u b g r o u p so fa 5a r ep s c - g r o u p s t h i si n f o r m a t i o ns h o u l db ev a l u a b l ef o rc h a r - a c t e r i z i n gs o m ef i n i t eg r o u p sb ym e a i so fs e l f - c o n j u g a t e - p e r m u t a b l es u b g r o u p s b a s e do nt h i si n f o r m a t i o n ，i ts h o u l db ea p r o b l e mo fn a t u r a li n t e r e s tt of i n do u ta l l f i n i t eg r o u p s a l lo fw h o s es e c o n dm a x i m a ls u b g r o u p sa r ep s c - g r o u p s t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st os o l v et h i sq u e s t i o nc o m p l e t e l y a g r o u pg i sc a l l e dat - g r o u pi fe v e r ys u b n o r m a ls u b g r o u po fgi sn o r m a li ng t h e r ea r es e v e r a lc h a r a c t e r i z a t i o n si nt h el i t e r a t u r eo ff i n i t es o l v a b l et - g r o u pi no r - d e rt os t a t et h e m ，w en e e ds o m ea d d i t i o n a ln o t a t i o n s ag r o u pgi sa c p - g r o u p ( w h e r e p 7 r ( g ) ) i fe v e r ys u b g r o u po fas y l o wp - s u b g r o u pp o fgi sn o r m a li nn v ( p ) t h ec l a s - s i c a lw o r k sa x eg i v e nb yw g a s c h u t z 1 8 】a n dr o b i n s o n 【3 8 1 i fgi sas o l v a b l et - g r o u p i fa n do n l yi fgh a sa l la b e l i a nn o r m a lh a l ls u b g r o u plo fo d do r d e rs u c ht h a t g li sa d e d e k i n dg r o u pa n dt h ee l e m e n t so fgi n d u c ep o w e ra u t o m o r p h i s m si nl 4 关于自共轭置搦卜群和s 孓j s u e 规子群对有限群结构的影响 l e t 厂b eac l a s so fg r o u p s w ec a l l 厂af o r m a t i o np r o v i d e dt h a t ( i ) i fg ， a n dn 里g ，t h e ng n 厂，a n d ( i i ) i fn 1 ，n 2 里gs u c ht h a tg 1 ，g 2 厂，t h e n a l ( n 1nn 2 ) 厂af o r m a t i o n 厂i ss a i dt ob es a t u r a t e di fm e c r u ) 厂i m p l i e st h a t g 手i nt h i sp a p e r ，u ，nw i l ld e n o t et h ec l a s so fa l ls u p e r s o l v a b l eg r o u p sa n dt h ec l a s s o fa l ln i l p o t e n tg r o u p sr e s p e c t i v e l y a sw e l lk n o w nr e s u l t s ，甜，a l es a t u r a t e df o r m a - t i o n s l e t ，b eas a t u r a t e df o r m a t i o n an o r m a ls u b g r o u pno fag r o u pgi ss a i dt ob e 歹 - h y p e r c e n t r a li ngp r o v i d e dn h a sac h a i no fs u b g r o u p s1 = n 0 塑1 旦塑r = n s u c ht h a tn t h 汹ti sa l l 歹 - c e n t r a lc h i e ff a c t o ro fg t h ep r o d u c to fa l l 歹 - h y p e r c e n t r a l s u b g r o u p so fg i sa g a i na l l9 r - h y p e r c e n t r a is u b g r o u po fg i ti sd e n o t e db y 勿( g ) a n d c a l l e dt h e 歹 - h y p e r c e n t e ro fg f o raf o r m a t i o n 厂e a c hg r o u ph a sas m a l l e s tn o r m a l s u b g r o u pn s u c ht h a tg ni si nf t h i su n i q u e l yd e t e r m i n e dn o r m a ls u b g r o u po fgi s c a l l e dt h e 歹- - r e s i d u a ls u b g r o u po fga n di sd e n o t e db yg ，f o rt h ef o r m a t i o nn 。s o m e a u t h o r sp r e f e rt ow r i t e ( g ) a s a n d 瓦( g ) a s 勖( g ) ( s e e 【2 1 】) t h e g e n e r a l i z e df i t t i n gs u b g r o u pf + ( g ) o fg i st h eu n i q u em a x