（基础数学专业论文）模糊形式背景下的概念格属性约简.pdf

河北师范大学硕士研究生学位论文 中文摘要 本文研究模糊形式背景下由蕴含算子生成的模糊概念格与变精度概 念格的约简论文主要分两部分 第一部分利用相似关系研究模糊概念格的精确约简与近似约简b e 1 0 h l a v e k 讨论了模糊概念格l ( 以a ，五) 与三( u a ，元) 的相似关系及相应的模糊 形式背景( 以a ，五) 和( 以a ，丘) 的相似关系受此启发，本文引入了可扩充子 背景与不可扩充子背景的概念，并针对这两种不同情况分别定义了( 阢a ，) 与( u ，d ，d ) 的相似关系由此提出模糊概念格的精确约简与近似约简精 确约简是指寻找最小的属性集d 使二( 以a ，) 竺l ( 以d ，d ) ，这等价于二( 以以，) 与l ( u ，d ，易) 的相似关系是1 近似约简是指寻找最小的属性集d ，使模糊概 念格l ( 以a ，) 与工( d ，d ) 的相似关系满足给定的阈值 第二部分利用变精度概念格研究不同精度下的模糊概念格约简讨论 了模糊形式背景的截形式背景，证明了文【2 6 】提出的变精度概念格与相应 精度下的截形式背景生成的概念格l ( 阢以，五) 同构因此，变精度概念格的 约简就转化为工( 阢a ，磊) 的约简这样就可以利用文【3 0 】中的方法对模糊概 念格在不同精度下进行约简 关键词：模糊形式背景，模糊概念格，相似关系，可扩充子背景，变精度 概念格，截形式背景，约简 河北师范大学硕士研究生学位论文 o nt h er e d u c t i o no fc o n c e p tl a t t i c e i nf h z z yc o n t e x t 1 1 a b s t r a c t t h i sp a p e rs t u d i e st h er e d u c t i o no ff h z z yc o n c e p tl a t t i c e si nf u z z yc o n t e x t s f i r s t l y ，w ed i s c u s st h ee x a c tr e d u c t i o na n dt h ea p p r o x i m a t er e d u c t i o ni nac o n c e p t l a t t i c eb yl n e a n so ft h es i m i l a r i t yr e l a t i o n b e h o l a v e ks t u d i e dt h es i m i l a r i t yr e l a t i o n s b e t w e e nt w of u z z yc o n c e p tl a t t i c e sl ( 以a ，1 ) a n dl ( 以a ，如) i n s p i r e db yh i sd i s c u s s i o n ，t h i sp a p e rs t u d i e st h es i m i l a r i t yr e l a t i o nb e t w e e nt h ef u z z yc o n t e x t ( 以a ，) a n di t s s u b c o n t e x t ( u ，d ，d ) t w on e wc o n c e p t so ft h ee x t e n d a b l es u b c o n t e x ta n du n e x t e n d a b l es u b c o n t e x ta r ei n t r o d u c e d ，a n dt h es i m i l a r i t yr e l a t i o n sb e t w e e nt h ef u z z yc o n t e x t ( u ，a ，) a n di t ss u b c o n t e x t ( u ，d ，如) a r ed e 丘n e dr e s p e c t i v e l yi nt h et w oc a s e s t h e n w ep r o p o s et h ec o n c e p t so ft h ee x a c tr e d u c t i o na n dt h ea p p r o x i m a t er e d u c t i o ni nf h z z y c o n c e p tl a t t i c e s t h ee x a c tr e d u c “o ni st h em i n i m a la t t r i b u t e ss e ts u c ht h a tl ( a ，) a n dl ( ud ，而) a r ei s o m o r p h i c i no t h e rw o r d s ，t h es i m i l a r i t yb e t w e e n 三( 以a ，) a n d l ( d ，如) e q u a lt o1 t h ea p p r o x i m a t er e d u c t i o ni st h em i n i m a la t t r i b u t e ss e ts u c h t h a tt h es i m i l a r i t yb e t w e e n 三( 以a ，) a n dl ( d ，d ) i sn o tl e s st h a nag i v e nv a l u e s e c o n d l y ，w es t u d i e st h er e d u c t i o no faf h z z yc o n c e p tl a t t i c ei naf h z z yc o n t e x t b ye m p k ) y i n gt h ev a r i a b l ep r e c i s i o nc o n c e p tu n d e rv a r i o u sp r e c i s i o n s t h ec u t c o n t e x ti s s t u d i e d i ti sp r o v e dt h a tt h ev a r i a b l ep r e c i s i o nc o n c e p ti si s o m o r p h i ct ot h ec o n c e p tl a t t i c e i n d u c e db yt h ec u t c o n t e x ti nt h es a m ep r e c i s i o n t h u s ，w ec a nc o n v e r tt h er e d u c t i o n o fav a r i a b l ep r e c i s i o nc o n c e p ti n t ot h er e d u c t i o no ft h ec o n c e p tl a t t i c ei n d u c e db yt h e c u t c o n t e x ti nt h es a m ep r e c i s i o n t h e nw ec a nu s et h em e t h o do fa t t “b u t er e d u c t i o n p r o p o s e db y 3 0 】t oo b t a i na l lo ft h er e d u c t si nt h ef u z z yc o n c e p tl a t t i c e s k e yw o r d s ：f h z z yc o n t e x t ，f u z z yc o n c e p tl a t t i c e ，s i m i l a r i t yr e l a t i o n s ，e x t e n d a b l e s u b c o n t e x t ，v a r i a b l ep r e c i s i o nc o n c e p t ，c u tc o n t e x t ，r e d u c t i o n 河北师范大学硕士研究生学位论文 1 引言 概念格，又称g 口f 历s 格，是训e 【2 2 】于1 9 8 2 年提出的概念格是一种有力的形 式化分析工具，它建立在分类基础上，但是比分类具有更大的概括性，它往往在归纳 几个分类的基础上产生一个概念更精确地说，概念格是基于精确的形式背景，根据 数据集中对象和属性之间的二元关系1 4 ，6 ，2 0 】建立对象集和属性集之间的某种对应， 生动简洁的体现了概念之间的泛化与特化关系，其中对象集称为概念的外延，属性 集称为概念的内涵概念将属性与对象作为统一体，更好的反映了人的思维特征概 念格理论现在已经广泛地应用于数据挖掘、信息检索、软件工程、知识获取等领域 但是现实世界中的信息往往是模糊、不确定的，即概念内涵与外延的关系是不 确定的模糊关系例如；“年轻人消费水平高”，这里的年轻人作为对象是一个模糊 集；消费水平高作为属性只能用隶属程度来描述，这样便产生了描述对象与属性之间 隶属程度的模糊形式背景一些学者推广了概念格理论，建立了表示概念内涵与外延 模糊关系的模糊概念格b u r u s c o 等人 7 ，8 最早从模糊逻辑的观点获取了模糊概 念格他们定义了基于t 一模或蕴含算子的求导算子，通过计算求导算子的固定点集 可以得到模糊概念然而，这个求导算子不能形成伽罗瓦联络，经典形式概念的一些 基本性质不再成立最近，b e f d 忍f o 幽【l ，3 】提出了由蕴含算子生成的l 一伽罗瓦联络， 并建立了模糊概念格经典概念格的几乎所有性质在这种意义下都成立这种定义 的缺点是从数据中获得的模糊概念非常多，一些概念的意义也是模糊的例如，对任 意的对象z ，l ( z ) 【o 1 ，o 2 】，我们就可得出一个形式概念这些概念的存储需要大量 的时间和空间，在许多实际问题中，我们想获得一些具有代表性的概念 j 乱n ，e z f o u m t 等人 1 0 ，1 4 ，15 】提出了变精度概念格，即利用蕴含算子和一个精 度定义模糊概念格，通过调整精度值可以得到不同精度的概念格变精度概念格去掉 了模糊概念格的模糊性，这样定义的一个优点是生成的概念的数量明显少于模糊概 念的数量【7 】，因此这很利于实际计算 河北师范大学硕士研究生学位论文 2 最近，文 3 0 】研究了概念格属性约简，但是，对于模糊概念格的约简问题尚未见 到有关报道本文在这方面作了一些尝试性的工作，分别从相似关系和变精度概念格 两方面研究了模糊概念格的约简主要内容分两部分 第一部分利用相似关系研究模糊概念格的精确约简与近似约简b e l o h l a v e k 研究 了模糊概念格l ( a ，。) 与l ( u a ，厶) 的相似关系及相应的模糊形式背景( 以a ，t ) 和( u a ，如) 的相似关系，并进一步证明了l ( u ，a ， ) 与l ( u a ，如) 的相似关系等于 ( u ，4 ，t ) 和( 阢a ，屯) 的相似关系本文在这个结论的启发下进一步研究了( a ，) 与它的子背景( 以d ，如) 的相似关系，为了定义它们相似关系文中引入了可扩充子 背景与不可扩充子背景两个新概念，针对这两种不同情况分别定义了( a ，) 与 ( u ，d ，如) 的相似关系其主要思想是把( 以d ，如) 扩充成( a ，) 在这个定义的 基础上研究模糊概念格的精确约简与近似约简精确约简是指寻找最小的属性集 d 使三( 以a ，) 竺l ( u ，d ，如) ，这等价于工( a ，) 与l ( 以d ，b ) 的相似关系是1 ，或 ( 阢a ，) 与( 以d ，如) 相似关系是1 因此只要能找到最小的属性集d 使( 以a ，) 与 ( u ，d ，如) 相似关系是1 即可近似约简是指寻找最小的属性集使模糊概念格l ( u ，a ，) 与l ( u ，d ，如) 的相似关系不小于，也就是( u ，a ，) 与( u ，d ，如) 相似关系不小于 第二部分利用变精度概念格研究模糊概念格的约简因为模糊概念非常多，所以 不容易求得模糊概念格的约简因此我们就想能不能把模糊概念格的模糊性去掉，变 成经典的概念格呢? 文【2 6 】中提出了变精度概念格，而变精度概念格恰好去掉了模糊 概念格的模糊性本文进一步研究在相应精度下模糊形式背景的截形式背景，这样就 去掉了模糊形式背景的模糊性，并且证明了变精度概念格与相应精度下的截形式背 景生成的概念格三( a ，矗) 同构因此求变精度概念格的约简就转化成求三( a ，厶) 的约简，这样我们就可以应用文f 3 0 中的方法进行约简 河北师范大学硕士研究生学位论文 2 基于相似关系的模糊概念格约简 2 1 预备知识 1 模糊形式背景与模糊概念格 定义2 1 6 】完备剩余格是一个代数系统( l ， ，v ，o ，d ，o ，1 ) ，满足 ( 1 ) ( l ， ，v ，o ，1 ) 是完备格i ( 2 ) ( l ，o ，1 ) 是具有交换率、结合率和单位元的幺半群i ( 3 ) o ，_ 构成伴随对，即比，y ，z 厶。o z zss ，_ z 命题2 1 【6 】完备剩余格满足如下性质? ( 1 ) o = 1 _ o ( 2 ) o ( n _ 6 ) _ 6 ( 3 ) o o ( n _ 6 ) 曼6 ( 4 ) ( o 6 ) _ c = o _ ( 6 _ c ) = 6 _ ( o _ c ) ( 5 ) 。引j 吕幻) _ j 驴。) ( 6 ) o o ( b ) ( oob ) 3 jj j ( 7 ) ( ，匕q ) - 6 。，色( q - 6 )。- ( ，色幻) 2 ，台( 。_ 如) jj j3 j3 j 本文我们选择三u 七n 鲥e i c z 蕴含算子进行运算，即 。l6 = f ：一。+ 6 ，：三： 3 o o l6 = 似+ 6 1 ) vo 定义2 2 设( 厶 ，v ，o ，o ，1 ) 是完备剩余格，称( u a ，) 为模糊形式背景，其中 u = 。1 ，勋，z 。) 是非空的有限对象集，a = n 1 ，0 2 ，口。) 是非空的有限属性集， ，l u 为从u 到a 的l 模糊关系，即，：u oa _ l 定义外延内涵算子t ：_ 与内涵外延算子上：一分别为 x ( o ) = 八( x ( 。) 。( 甄n ) ) ，暇l u 河北师范大学硕士研究生学位论文 4 b ( 。) = 八( b ( o ) ( 。，o ) ) ，v b l a n a 定义2 3f 6 】设( 以a ，) 为模糊形式背景，称( x ，日) l u l “为模糊概念，若 x t = b ，b = x 其中x l u 称为概念的外延，b l 称为概念的内涵 用l ( u a ，) 表示( 以a ，) 的所有模糊概念全体，用l 矿( a ，d 表示所有模糊概 念的外延集合，用l ( a ，) 表示所有模糊概念的内涵集合 定义2 4 设( u ，a ，) 为模糊形式背景，( x l ，b 1 ) ，( 砀，b 2 ) l ( 阢a ，) ，称( x 1 ，b 1 ) 是( x 2 ，曰2 ) 的子概念，若x l j ，2 ( 或b 2 b 1 ) ，记作( x 1 ，b 1 ) ( x 2 ，b 2 ) ，则 ( l ( u a ，) ，s ) 是完备格，称为模糊概念格 定理2 1 2 9 】设( 阢a ，) 为模糊形式背景，则有以下性质j ( 1 ) v x l ，x 2 l u ，x l 毪时，x j x ；v b l ，b 2 l ，口l b 2 时，b b ( 2 ) v x 工”，b l 4 有x x ，b b ” ( 3 ) v x l u ，b l 有x t = x t ”，b 4 = b 4 似 ( 4 ) v x l ”，b l 4 ，( x ，x ) ，( b l ，b ) 都是模糊概念 ( 5 ) v x l ，局l u ，b 1 ， 2 l 有 ( x - u 磁) = 斟n 耐， ( 日tu 岛) = 日 n b ( x - n x 2 ) + x j u 趣，( b t nb 2 ) 2b u b 2 相似关系定义及几个重要的相似关系 定义2 5 【6 】设( 厶 ，v ，o ，_ ，o ，1 ) 是完备剩余格，g 是非空有限论域，s ：g g - 称为相似关系，如果满足? ( 1 ) 自反性：s ( 。，。) = 1 ，v z g ； ( 2 ) 对称性：s ( z ，) = s ( y ，。) ，比，毫，g ； ( 3 ) 传递性：s ( o ，g ) os ( 可，。) ss ( o ，z ) ， 比，3 ，z g z g 关于相似关系s 的相似类定义为模糊集合s ( 掣) = s ( z ，g ) 都有 河北师范大学硕士研究生学位论文5 定义2 6 【6 】称相似关系s 与模糊集合a 工g 是协调的，如果对任意的。，g a ( z ) 圆s 扛，s ，) a ) 定理2 2 【6 设s 是g 的相似关系，q = a 三g ，i ，) 是一簇模糊集合，定义 ( z ，) = 八( a ( 。) 寸a 。( ) ) l ， 则 ( 1 ) & 是g 上与所有的a q 都协调的最大相似关系i ( 2 ) s 是g 上与所有的s 都协调的最大相似关系 定义2 7 【6 】设( u ，a ，) 为模糊形式背景，属性集a 上由模糊概念格l ( a ，) 生成的相似关系s 未“ ，乃己4 。4 为7 ，而( o ，6 ) 2八( b ( o ) hb ( 6 ) ) ( 爿，口) l ( u ， ，) 定理2 3 【6 】设( a ，) 为模糊形式背景，则以a ，乃是与l a ( 阢a ，) 中所有集 合都协调的最大相似关系 定义2 8 ( 6 设( 以a ，) 为模糊形式背景，属性集a 上由模糊形式背景生成的相 似关系为 一，水6 ) 2 金( 酏口) + 脚) ) 定理2 4 6 】设( 以4 ，而为模糊形式背景，则a 乃是与所有( + ，。) l ”，。a 都协调的最大相似关系 定理2 - 5 6 l 设( 以a ，j ) 为模糊形式背景，则 ，巧= u ，两 定义2 9 【6 】设( u a ，) 为模糊形式背景，l ( 以a ，) 上由外延和内涵导出的相似 关系s e “、s m 分别为jv g = ( 墨，鼠) l ( 以a ，) ，z = 1 ，2 ， s e “( g l ，c 1 ) = s ( 。y 1 ，磁) = ( x 1 ( z ) 磁( 。) ) s ，n ( g ，g ) = s ( b l ，b 2 ) = ( 曰1 ( o ) + 玩( 口) ) s e “和s m 分别是l ( 以a ，d 上满足如下条件的最大相似关系：忱以。a ， 河北师范大学硕士研究生学位论文 6 y 1 ( 。) os e “( c 1 ，c t ) 磁( z ) b l ( 口) os h 。( g l ，) b 2 ( o ) 引理2 1 【6 】设( a ，西为模糊形式背景，x l ，局l u ，b l ，b 2 l a ，则 s ( x 1 ，拖) s ( 研，面) 且s ( 曰1 ，玩) s ( 巩磁) 由这个引理可得到下面的推论： 推论2 1 设( a ，) 为模糊形式背景，x l ，x 2 l 矿，b l ，b 2 l 4 ，则 s ( x l ，砀) ss ( x p ，。碹o ) 且s ( b l ，b 2 ) ss ( b r ，b 扩) 推论2 2 设( u a ，) 为模糊形式背景，x 1 ，三u ，b 1 ，b 2 l a ，则 s ( x 1 ，x 2 ) os ( x l ，x p ) ss ( x 。，x ) 且s ( b 1 ，b 2 ) os ( b 1 ，_ b r ) s ( 日l ，b 扩) 定理2 6 6 】设( u ，a ，) 为模糊形式背景，则s 乳= s h 下面考虑模糊概念格的相似关系 定义2 1 0 6 】设( 以a ，五) ，( 以a ，五) 是模糊形式背景，l ( 以a ，五) ，l ( 以a ，五) 是其 模糊概念格，则三( u ，a ，) 与三( u a ，屯) 的定义为j s + ( l ( ua ，i ) ，( 阢a ，丘) ) = v 9 ( ( x l ，曰1 ) ，( 托，曰2 ) ) 【五1 ，廿1 ) l lt 五2 ，日2 j l 2 vs + ( ( x 1 ，b 1 ) ，( x 2 ，b 2 ) ) 其中 e 。，n t ) ，l 1 = 工( 以a ，1 ) ，l 2 = l ( 配a ，如) ，而且 s e 州( ( x l ，b 1 ) ，( x 2 ，上易) ) = s ( x l ，托) s h 。( ( x - ，b t ) ，( 恐，b 2 ) ) = s ( b - ，b 2 ) 下面我们通过模糊形式背景( a ，五) ，( 配a ，五) 的相似关系来讨论两个模糊概 念格的s 如。与s m 的之间的关系 定义2 1 1 6 】设( a ，五) ，( a ，五) 是模糊形式背景，则( 以a ，五) 与( u 4 ，五) 的 相似关系为? s ，( ( u ，a ，五) ，( u ，a ，五) ) = s ( 五，丘) =八五 ，n ) h 五 ，n ) 忙，o ) ，a s 是 ( a ，) i ，l u ) 上使五( 。，d ) 圆s ( 五，丘) s 丘( 。，o ) ，比以口a 的最大相 似关系 河北师范大学硕士研究生学位论文7 引理2 2f 6 】设( u ，a ，五) ，( 以a ，如) 是模糊形式背景，x l u ，b l “，则 s ( 五，五) s ( x 气，x 吃) 且s ( 五，五) s ( b 乜，b 乜) 由引理2 1 和引理2 2 可以得到s ( x 1 ，恐) 圆s ( l ，j ) s ( x ，五) 而且s ( b l ，b 2 ) s ( ，l ，如) 兰s ( b l ，b 2 圯) 引理2 3f 6 】设( 以4 ，1 ) ，( 以a ，2 ) 是模糊形式背景，+ e z t ，m ，则 s ( ( u ，a ，1 ) ，( 以4 ，如) ) s + ( l ( 以a ，1 ) ，三( a ，厶) ) 引理2 4 【6 】设( a ，1 ) ，( 以a ，丘) 是模糊形式背景，t e 。t ，n t ) ，则 s + ( 三( 以a ，五) ，三( 阢a ，五) ) s ( ( 以a ，五) ，( 配a ，五) ) 定理2 7 6 】设( 以a ，j 1 ) ，( 以a ，如) 是模糊形式背景，则 s ( ( a ，1 ) ，( a ，如) ) = s e 州( l l ，工2 ) = s 7 “( l 1 ，l 2 ) 2 2 模糊形式背景与其子背景之间的相似关系 定义2 1 2 设( 以a ，) 为模糊形式背景，v d a ，称( d ，d ) 为( u ，a ，d 的子 背景舆奇j d = j nl u x d 对于模糊形式背景( u ，a ，) 与它的子背景( d ，而) ，我们是否也可以考虑他们 的相似关系呢? 根据定义2 1 1 ，我们只要能把子背景( u d ，易) 扩充成( 阢4 ，) ，使对 象集、属性集相同即可因此关键的问题就是怎样定义( 。，n ) ，口a 一_ d ，z c ，为 此我们把子背景分成两类：可扩充子背景、不可扩充子背景 定义2 1 3 设( u d ，如) 为( 以a ，) 的子背景，如果对v o a d ，都存在o d ， 使，( 。，o ) = d ( z ，o ) ，则称( d ，而) 为( 以4 ，两的可扩充子背景，否则称为不可扩充 予背景 定义2 1 4 设( 以d ，d ) 为( u 月，西的可扩充子背景，则定义( d ，而) 与( u ，a ，) 的相似关系为? s ( ( u ，a ，) ，( 阢d ，如) ) = ( _ ，( 。，n ) + b ( z ，口) ) ( ，( 。，口) + 7 ( z ，o ) ) b dn 一d 定义2 1 5 设( 以d ，易) 为( 职a ，) 的不可扩充子背景，则定义( u d ，d ) 与 ( a ，) 的相似关系为： 塑韭师范大学硕士研究生学位论文 s ( ( a ，) ，( d ，如) ) = ( - ，( 。，o ) 历( 茁，n ) ) ( ，( z ，口) o ) b d o 一d 定理2 8 设( 以d ，d ) 为( 以4 ，) 的可扩充子背景，则 s ( ( 以a ，) ，( u d ，如) ) = 1 证明：由定义2 1 2 和定义2 1 4 很容易得证 定理2 9 设( 以d ，d ) 为( 以a ，局的不可扩充子背景，则 s ( ( u ，a ，) ，( u d ，如) ) 1 证明：由定义2 1 2 和定义2 1 5 即证 8 定义2 1 6 设( d ，d ) 为模糊形式背景( a ，) 的子背景，v ( x ，口) l ( a ，) ， ( y c ) l ( u ，d ，如) ，则( x ，b ) 与( g ) 由外延导出的为j s 如( ( x ，b ) ，( y ) g ) ) = s ( x ，y ) = ( x ( z ) hy 忙) ) 由内涵导出的为? ( 1 ) 若x = 则 s h 。( ( x ，b ) ，( kc ) ) = ( n ( c ( n ) hb ( n ) ) ) ( ( b ( o ) hb ( o ) ) ) o d 口一一d ( 2 ) 若x 则 s h 。( ( x ，b ) ，( y i g ) ) = ( n ( g ( 口) b ( o ) ) ) 八( ( b ( o ) + o ) ) o d o d 定理2 1 0 设( 以d ，d ) 为( u ，a ，) 的子背景，v ( x ，b ) 三( 以a ，) ，( y 1 g ) l ( ud ，如) ，若x = y ，则( x ，b ) 与( y c ) 由内涵导出的相似关系为： s m ( ( x ，日) ，( y g ) ) = 1 证明：由定义2 1 6 可得 定义2 1 7 设( u d ，d ) 为( 以a ，旬的子背景，l 1 = l ( u a ，) ，l 2 = l ( 以d ，d ) 是相应的两个模糊概念格，则l 1 与l 2 的定义为j s + ( l l ，l 2 ) = ( v s ( g 1 ，q ) ) ( vs + ( g ，g ) ) c l l lq l 2 仍l 2g l l 1 其中 e z ，n t ) 定理2 1 1 设( u ，d ，d ) 为( a ，) 的子背景，则 s ( ( a ，西，( u d ，五) ) = s ( l ( 以a ，) ，l ( u d ，而) ) 其中 e z ，m ) 河北师范大学硕士研究生学位论文 9 证明：由定义2 1 4 及定理2 7 即证 2 3 模糊概念格的精确约简 模糊概念格的精确约简，是指在保持对象集不变的条件下，寻找最小的属性集， 它能够完全确定模糊形式背景上的概念及其层次结构，也就是说由这个最小的属性 集确定的模糊概念格与用全体属性集确定的模糊概念格同构 定义2 1 8 设l ( a ，) 是模糊形式背景( 以a ，) 的模糊概念格，其所有概念外 延的集合为l u ( 以a ，) 如果对于两个模糊概念格三( 明，j 4 1 ，1 ) 和l ( 巩，a 2 ，如) 有 l ( 阢，a 1 ，厶) = l u ( 巩，a 2 ，厶) 则称l ( u 1 ，a l ，1 ) 与l ( 魄，a 2 ，厶) 外延相等，记作l ( “，a l ，1 ) = ，l ( 巩，a 2 ，厶) 显然，如果l ( 仉，a 1 ，1 ) = l ( ，a 2 ，厶) ，贝i 必有l ( 仉，4 l ，1 ) 型l ( 巩，a 2 ，如) ， 定义2 1 9 设( 以a ，) 为模糊形式背景，若存在d a ，d o ，使 切( u a ，) = 如( d ，如) 则称d 为模糊形式背景( 以a ，) 的协调集 如果d 的任何真子集都不是模糊形式背景( 以4 ，) 的协调集，则称d 为( 4 ，) 的约简集 定理2 1 2 设( 以a ，) 为模糊形式背景，d a ，d ，则 d 为协调集错s ( 己( ，a ，d ，l ( 以d ，如) ) = 1 其中 e z t ，n t ) 证明：因为d 为协调集，所以l ( 以a ，j ) = ，l ( 以d ，幻) ，由p 定义知9 ( l ( 以，) ， l ( 以d ，如) ) = 1 反之，因为( l ( u ，a ，) ，l ( ( ，d ，场) ) = 1 ，所以由s 定义知对任意的( x ，b ) l ( a ，) ，在l ( d ，如) 中必存在一个概念，设为( y i g ) ，使s ( ( x ，b ) ，( c ) ) = 1 ，即 x = y ；同理，对任意的( y ，c ) l ( 以d ，而) ，在三( 以a ，) 中必存在一个概念，设为 ( x ，) ，使s ( ( x ，b ) ，( y ，g ) ) = l ，即y = x ，所以l ( u ，a ，) 与l ( u d ，d ) 外延相 同，即d 为协调集d 河北师范大学硕士研究生学位论文 1 0 定理2 1 3 ( u ，a ，) 为模糊形式背景，d 为协调集，则对任意的模糊概念g ，q l ( u ，a ，) ，都存在q ，q l ( 弘d ，易) ，使q ，q 的外延分别与g ，g 的外延相同，且 ( 以 ，巧( a ，g ) 2 吒( u l d 站) ( q ，蟛) 怎样求模糊概念格的约简呢? 我们引进一个新概念 定义2 2 0 设( u a ，) 为模糊形式背景，由( 以a ，) 上属性相似关系为1 把a 分 成的等价类记为 u 乃= 】讹硒( n 舯) = 1 ) 从每个等价类中任选一个属性组成集合爿，则称( ，) 为( u ，a ，两的属性简化背 景，其中7 ：，n l u 定理2 1 4 设( u a ，j ) 为( 以a ，两的属性简化背景，则( 矾，) 为( 以a ，j ) 的 可扩充子背景 证明：由定义2 1 3 及定义2 2 0 即得 推论2 3 设( 阢a ，) 为( 以a ，) 的属性简化背景，则 s ( ( a ，而，( 以a ，) ) = l 推论2 4 设( u ，) 为( 配4 ，乃的属性简化背景，则 s ( l ( 以a ，两，l ( a ，) ) = 1 其中 e n t ，礼) 定理2 1 5 设( 以，) 为( 以a ，西的属性简化背景，则爿为( a ，) 的约简集 证明；由推论2 4 可知9 ( l ( 以a ，西，l ( 以4 ，) ) = 1 ，根据定理2 1 2 知a 为 ( 以a ，而的协调集 下面只需再证v 0 ，一 口) 不是协调集即可 由属性简化背景定义知比a ，a 一 8 ) 都不是( u a ，而的属性简化背景，显然 不是( u ，a ，) 的可扩充子背景所以 s + ( l ( u a ，两，l ( 以a 一 n ) ，只，一f 。) ) ) l 即爿一( n ) 不是协调集口 河北师范大学硕士研究生学位论文 下面我们讨论模糊形式背景中属性的分类 定义2 2 l 设( a ，) 为模糊形式背号，皿是约简集，7 - ，r 为指标集，则属性 可分为如下三类j ( 1 ) 绝对必要属性( 核心属性) b ：b nn ( 2 ) 相对必要属性c jc ud 一nd ( 3 ) 绝对不必要属性d ? d a u 历 其中非核心中的属性称为不必要属性c jc a nd 。 定理2 1 6 对于任何模糊形式背景( a ，j ) ，约简集一定存在 证明：类似于经典形式背景的情形可证 推论2 5 核心是约简锑约简唯一 推论2 6o a 是不必要属性铮a 一 。) 是协调集 推论2 7o a 是核心属性舒a 一 o ) 不是协调集 2 4 模糊概念格的近似约简 由于模糊形式背景生成的模糊概念非常多，精确约简的条件太苛刻为了得到比 较实用的约简，我们不妨放松要求，寻找最小的属性集使两个模糊概念格的相似关系 大于一个阈值，其中e ( o ，1 】 定义2 2 2 设( 以d d ) 为模糊形式背景( u ，a ，) 的子背景，如果v g l ( 以a ，) ， 存在g 上( d ，厶) ，使s + ( g ，g ) s ，且v q l ( 以d ，易) 存在a l ( u ，a ，d ， 使9 ( g ，g ) ，则称l ( 以a ，j ) 和l ( 以d ，如) 一近似相等，记作l ( u a ，) z 。 ( 以d ，d ) ，其中+ e m ，礼t ) 定理2 1 7 设( 以d ，d ) 为模糊形式背景( u ，a ，) 的子背景，l ( 以a ，) 、l ( u d ，d ) 一近似相等，则等价于 s + ( l ( 以a ，) ，l ( u d ，d ) ) s 其中十 e z t ，耐) 证明：一方面，由定义2 2 2 知三( 以a ，) 与l ( 弘d ，五) 5 一近似相等，则va 河北师范大学硕士研究生学位论文 1 2 l ( u ，a ，) ，存在q 三( 以d ，d ) ，使s + ( g ，q ) ，且vg l ( 以d ，易) 存在q l ( 以以，) ，使( q ，a ) e 由定义2 1 7 及下确界的性质可知p ( 以a ，) ，三( 以d ，如) ) 另一方面，由于9 ( l ( u a ，) ，l ( u d ，d ) ) ，根据下确界的性质可得v q l ( u 4 ，乃，存在0 l ( 以d ，易) ，使p ( a ，g ) e ，且v 0 三( ud ，d ) 存在g l ( 以a ，妁，使p ( g ，g ) e 所以l ( 以a ，而与l ( 以d ，d ) e 一近似相等 定义2 2 3 设( 阢j 4 ，) 为模糊形式背景，若d a ，d 毋，使 l ( 以a ，) 。l ( u d ，d ) 则称d 为模糊形式背景( u ，a ，) 的近似协调集 如果d 的任何真子集都不是( 以4 ，) 的近似协调集，则称d 为( 以a ，) 的 近似约简集 定理2 1 8 设( u ，a ，) 为模糊形式背景，若d 4 ，d 0 ，则 d 为近似协调集甘( 以a ，) ，l ( 以d ，如) ) e 其中 e 耐，n t 证明：由定义2 2 3 可知 d 为s 近似协调集 = 争l ( 以a ，) 。l ( u ，d ，d ) 由定理2 1 7 可得 l ( u ，a ，乃。l ( u ，d ，站) 错s + ( l ( u ，a ，旬，l ( u ，d ，而) ) 2e 口 推论2 8 设( a ，) 为模糊形式背景，若d a ，d 0 ，则 d 为近似协调集铸s ( ( 以a ，) ，( 以d ，如) ) e 下面给出求一近似约简集的方法 定理2 。1 9 设( 以a ，) 为模糊形式背景，则 d = a 一 o a i ( 。，口) 1 一，v z u 为( 以a ，) 的g 一近似约简集 河北师范大学硕士研究生学位论文 1 3 证明：首先证d 为s 一近似协调集 由于d = a 一 n ai ，( z ，o ) 1 一s ，u ) ，很容易看出( d ，五) 不是 ( u a ，而的可扩充子背景根据定义2 1 5 可得 s ( ( 以a ，) ，( d ，如) ) = ( ，( z ，n ) 如( z ，o ) ) ( z b ) u 口 ( ，( z ，口) ho ) 扛，n ) u ( a d ) = ，( z ，n ) h0 ( z ，8 ) u ( 且一d ) = ，( z ，o ) _ 0 ( 。，b ) u ( a d ) 因为v n a d ，z u ，( 。，o ) 1 一，所以，扛，n ) _ 0 = 1 一，( 。，。) ，即 s ( ( a ，乃，( d ，厶) ) 故d 为一近似协调集 下面证明v d cd 不是一近似协调集 因为d cd = a 一 o j 4j ( z ，o ) s1 一e ，v z u ) ，我们不妨设 d = a 一 n al ，( z ，n ) s1 一口，v z 。( o ，e ) ) 由上面的证明可知 s ( ( a ，两，( 以d ，己) ) n 故是a 一近似协调集，不是一近似协调集 口 3 利用变精度概念格求模糊形式背景下概念格的约简 3 1 预备知识 设u 是有限非空论域，l 是完备格，u 上所有模糊集记作，当己= 【o ，1 】时，记 为f ( u ) 对任意的模糊集x 1 ，尥l u ，x l 尥仁号以x i ( z ) 恐( z ) ，则 ( ，) 是序集特别的，( 【o ，1 九) 和( o ，1 ) ，) 都是序集 河北师范大学硕士研究生学位论文 1 4 定义3 1 【2 6 】设( l ，) ，( l 参，) 是两个序集，映射，： ，斗l 参与g ：l 参l p 构成的序对( ，9 ) 称作三p 与l 参之间的伽罗瓦联络当且仅当 x 9 ( b ) 钳b ，扛) ，v x l y ，日l 争 x ，b 可以是经典集，也可以是l 一模糊集 定理3 1 【2 6 设( 碍，) ，( l 参，) 是两个序集，：三 ，斗l 乎，9 ：l 参l p 是映 射，则对任意的x 1 ，碣，x l ，b l ，b 2 ，b l 参，下面几条等价? ( 1 ) ( ，9 ) 是l y 与l 手之间的伽罗瓦联络i ( 2 ) x 1 磁= ，( x 2 ) ，( x 1 ) ，口1 b 2 = = 辛9 ( b 2 ) 9 ( b 1 ) x 9o ，( x ) ，b ，。9 ( b ) ； ( 3 ) ，( x ux 2 ) = ，( x 1 ) n ，( 局) ，9 ( b 1ub 2 ) = 9 ( b 1 ) n g ( b 2 ) ， x 口o ，( x ) ，b ，0 9 ( b ) 定义3 2 2 6 】设( l ，) ，( 上参，) 是两个序集，_ 厂：y _ l 参，9 ：l 参- 邵是映 射，v x l ，b l 参，若，( x ) = b 且g ( b ) = x ，则( x ，b ) 称作概念，其中x 称作概 念的外延，b 称作概念的内涵所有概念的集合记成二( u ，a ，9 ) 定理3 2 2 6 】设( l y ，) ，( l 参，) 是两个序集，( ，9 ) 是上f ，与l 争之间的伽罗瓦 联络，则l ( 以a ，9 ) 是完备格 3 2 变精度概念格 设( ua ，) 是模糊形式背景，u 的幂集记成p ( u ) ，a 的幂集记成p ( 4 ) u 中所有 模糊集的类记成f ( u ) ，a 中所有模糊集的类记成f ( a ) 下面我们规定完备格l = ( 【o ，1 】， ，v ，o ，1 ) 有交换剩余对( ，- ) 定义3 3 2 6 】设( 以a ，) 是模糊形式背景，对所有的x p ( u ) ，b p ( a ) ，o 6 1 ，我们定义算子： 协( x ) = n aj 八( x ( z ) _ 反正，n ) ) 6 ) o x 砒( b ) = 。vf 八( b ( o ) - ( z ，a ) ) 6 ) 8 b 河北师范大学硕士研究生学位论文 1 5 定