（基础数学专业论文）子群的置换化子对有限群结构的影响.pdf

中山大学硕士学位论文 子群的置换化子对有限群结构的影响 专业：基础数学 硕士生：乔守红 导师：王燕鸣 摘要 在有限群中，正规化子是一个非常重要的概念关于正规化子有很多漂亮的 结论正规化条件就是其中的一种考虑：如果有限群g 的任意真子群都严格小于 它的正规化子，我们称g 满足正规化条件一个重要的结论是：对于有限群，正 规化条件和群的幂零性是等价的 正规化条件的一个自然的推广是要求存在g g h 使得( g ) 日一日信) 对于 群g 的任意真子群h 都成立，这就是所谓的置换条件 对应于正规化子，子群h 的置换化子被定义为：( x g l ( x ) h = h ( x ) ) ，记作 p g ( h ) 本文主要讨论子群的置换化子对有限群结构的影响全文主要结论分为两个 部分： 第一部分考虑一般的情形，得到以下结论： 定理3 i 1g 是有限群，名( m ) = g 对于g 的每一个极大子群m 都成立那 么g 超可解的充要条件是：对于g 的任意正规的极大子群日，昂( k ) = 日对于日 的任意极大子群k 都成立 定理3 1 3g 可解，圪( m ) m 对于g 中指数为素数方幂的子群m 都成 立，则g 的每一个主因子的阶为素数或4 定理3 1 3 是对 2 ，定理3 3 的推广 第二部分考虑商群的情况假定超可解群g 日，对g 和日某些子群的置换化 中山大学硕士学位论文 子做出适当的假设，得到了一些关于g 超可解的充分条件 第二部分是第一部分内容的延伸，但对置换化子的研究提出了新的途径 关键词：有限群p 一超可解超可解置换化子置换条件 i i 中山大学硕士学位论文 i n f l u e n c eo fp e r m u t i z e r so fs u b g r o u p so nt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s m a j o r ：b a s i cm a t h e m a t i c s n a m e ：q i a os h o u h o n g s u p e r v i s o r ：w a n gy a n m i n g a b s t r a c t n o r m a l i z e ri sa ni m p o r t a n tc o n c e p ti nf i n i t eg r o u p s t h e r ea r em a n y e x c e l l e n tr e s u l t sa b o u tn o r m a l i z e r o n ec o n s i d e r a t i o na b o u ti ti sn o r m a l i z e rc o n d i t i o n ，af i n i t eg r o u pgi ss a i dt os a t i s f yn o r m a l i z e rc o n d i t i o n i f 日 - = 日( g ) f o ra n yp r o p e rs u b g r o u pho f g w i t hc o r r e s p o n d e n c et on 。r m a l i z e r t h es u b g r o u p ( xe o l ( x ) h = h ( x ) ) i s d e f i n e dt ob et h ep e r m u t i z e ro fh ，d e n o t e db yp g ( h ) i nt h i sp a p e r ，w em a i n l yd i s c u s st h ei n f l u e n c eo fp e r m u t i z e r so fs u b g r o u p so nt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s t h em a i nr e s u l t sa r ed i v i d e d i n t ot w op a r t s ： p a r t1 c o n s i d e r i n gg e n e r a lc a s e ，w eg e tt h ef o ll o w i n gc o n c l u s i o n s ： t h e o r e m3 1 1l e tgb eaf i n i t eg r o u ps u c ht h a t 最( m ) 一gf o re v e r y m a x i m a ls u b g r o u pmo fg t h e ngi ss u p e r s o l u h l ei fa n do n l yi ff o re v e r y n o r m a lm a x i m a ls u b g r o u pho fga n d 昂暖) ；hf o ra n ym a x i m a ls u b g r o u p h i 中山大学硕士学位论文 ko fh t h e o r e m3 1 3l e tgb eaf i n i t es o l u b l eg r o u ps u c ht h a t 晶) 肘 f o ra n ys u b g r o u pmw i t hap r i m ep o w e ri n d e xi ng ，t h e ne v e r yc h i e ff a c t o r o fgh a so r d e r4o rap r i m e t h i st h e o r e mi sag e n e r a l i z a t i o no f 2 ，t h e o r e m3 3 p a r t2 c o n s i d e r i n gt h eq u o t i e n tg r o u pg f h l e to i hb es u p e r s o l u b l e i f p u t t i n gs o m eh y p o t h e s e so np e r m u t i z e r so fs o m es u b g r o u p so fga n dh ， t h e nw eg e ts o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa b o u ts u p e r s o l u b i l i t yo fg t h i sp a r ti sa ne x t e n s i o no fp a r t1 ，w h i c hp r o v i d e san e w w a yt os t u d y p e r m u t i z e r so fs u b g r o u p s k e y w o r d s ： f i n i t e g r o u p p - s u p e r s o l u b l es u p e r s o l u b l e p e r m i t i z e rp e r m u t i z e rc o n d i t i o n 中山大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1文中常用符号的说明 hsgh 是g 的子群 h c gh 是g 的真子群 mc gm 是g 的极大子群 h q gh 是g 的正规子群 nc h a rgn 是g 的特征子群 只，h 的石一h a l l 子群 d p ( g )g 的极大正规p 一子群 i g ：h l 子群h 在g 中的指数 a ，b 群a 和b 的换位子群 s 。n 次对称群 4 r 1 次交错群 b 4 k l e i n 四元群 g ，g ，g 有i 个g g 的导群 群g 的中心 g 的f r a t t i r l i 子群 g 的f i t t i n g 子群 g 的自同构群 i g i 的素因子的集合 由元素工生成的子群 l 在g 中的正规闭包 。， p 叭 0 ， q 娜邮 哪舭“ 似r 中山大学硕士学位论文 1 2引言 在有限群中，正规化子是一个非常重要的概念关于正规化子有很多漂亮 的结论正规化条件就是其中的一种考虑：如果有限群g 任意真子群都严格小 于它的正规化子，我们称g 满足正规化条件一个重要的结论是：对于有限群， 正规化条件和群的幂零性是等价的 如果h 司g ，显然有h g g h ，对任意的g g 均成立正规化条件是指， 存在g g h 使得h g = g h 对任意真子群h 均成立很多子群都不满足这个条 件；比如s 。中的s y l o w2 - 子群因为s 。的s y l o w2 - 子群q ：是s 。的极大子群， 若满足正规化条件就会有q ：司s 。，但是我们知道q ：不是s 。的正规子群 正规化条件的一个自然的推广是要求存在g g h 使得( g ) 日一日任) 对群 g 的任意真子群h 都成立，这就是所谓的置换条件满足置换条件的群被称作 p c 一群满足正规化条件的群显然满足置换条件 对应于正规化子，子群h 的置换化子被定义为：( x e g i ( x ) h = h ( x ) ) ，记 作p 0 ( h ) 人们对满足置换条件的有限群进行了研究，得到了一些很好的结果 张继平在文献 3 中得到： 结论1g 是可解的p c 一群，则 ( 1 ) g 是超可解的当且仅当g 不含截断s 。 ( 2 ) 对任意的奇素数p jg 是p 一超可解 ( 3 ) g 的s y l o w2 - 子群q 正规于g ，且g q 超可解 b e i d l e m a n 和r o b i n s o n 在文献 2 中借助单群分类证明了他们著名的结 果： 结论2每一个p c 一群是可解的，且p c 一群主因子的阶为素数或4 这样就说明结论1 中的条件“可解”是可以去掉的从主因子的阶来看， p c - 群和超可解群是比较接近的，且有结论： g 是奇数阶群，g 超可解的充要条件是g 是p c 一群 2 中山大学硕士学位论文 对于群a ，它是可解的，主因子的阶是3 和4 ，p a 。( a ，) = a ，由a 。是a 。 的极大子群可以知道，结论2 的逆命题是不成立的 b e i d l e m a n 和r o b i n s o n 在文献 2 中又给出了有限群g 是p c - 群的充要条 件，即 结论3g 是有限群，g 是p c 一群的充要条件是下列条件成立 i g 的主因子的阶为素数或4 i i 如果l 是g 的自正规化真子群且l o z ( g ) ，则l 是某子群 x 的极大子群使得d ( x ，l ；) 超可解，其中l ；是l 在x 中的核 群d ( g ) 是1 9 6 7 年由o h k e g e l 在文献【5 】引入的定义如下 a ：g s 。 是满同态 令d 。( g ) 表示b 。在a 下的原象，其中b 。是k l e i n 四元群那么，定义k e g e ld - 子群为 d ( g ) 一n d 。( g ) 如果不存在这样的满同态；l ：g s 。，我们就约定：d ( g ) = g 这些结果都是在g 是p c 一群的假设下得到的。 后来，刘晓蕾和王燕鸣在文献 1 中对结论l 、结论2 中的条件进行了弱化， 他们只考虑有限群g 的部分子群的置换化子，证明了： ( 1 ) g 的每一个极大子群的置换化子都等于g ，则结论1 成立； ( 2 ) 如果p g ( m ) 严格大于m 对于g 的任意几乎极大子群m 都成立，则 g 的主因子的阶是素数或4 在此基础上，本文也给出了关于置换化子的些结论主要结论分为 两部分： 第一部分考虑考虑一般的情形，改进了文献 1 中的一个关于超可解的充要 条件，并给出该充要条件的一个一般形式在这一部分中，我们也给出了 2 ， 定理3 3 的一个推广结论，即定理3 1 3 第二部分考虑商群的情况假定超可解群g h ，对g 和h 某些子群的置换 3 中山大学硕士学位论文 化子做出适当的假设，得到了一些关于g 超可解的充分条件 本文考虑的群均是有限群 4 中山大学硕士学位论文 第二章预备知识 2 1基本概念 定义2 1 1 h g ，子群p o ( h ) = ( x g l ( x ) h = h ( x ) ) 叫做h 在g 中的置 换化子 定义2 1 2 我们称g 满足置换条件是指，对每一个h g 恒有h g ；1 使得i g 。g f i ；p 产，f 一1 2 ，s 根据定义立刻可得：p 是i g l 的最大素因子，e e s f l o ( g ) ，则p q g 定义2 1 1 3 设h 和k 为群g 的正规子群，k s 日那么对每一个x e g f 。：h kb - - h x k ，h h 是日k 的自同构以如( 日k ) 表示这些自同构的全体作成的自同构群 2 2基本引理及部分引理的证明 引理2 2 1 可解群的极小正规子群是初等交换p - 群，p 为某素数 证由( 7 ，i i i ，1 7 ) ，g 可解的充要条件是g 的主因子为素数幂阶的 初等交换群由j o r d a n - h o l d e r 定理，g 的极小阶正规子群同构于g 的某个主因 子，即得证本引理 口 引理2 2 2 p c ( m ) = g 对于任意mc g 都成立，则g 可解 证 由于尼) = g 对于任意mc 。g 都成立，所以存在x g m 使得 g = m 扛) 根据( 4 ，定理1 1 ) ，g 可解 引理2 2 3 群g 是幂零的，1 司g ，贝 je n ，g c ，r n n z ( g ) ，1 特 别地，g 的任一个极小正规子群都含于中一bz ( v ) 之中 证令l n ，对b 1 ，递归地定义 ； j + g 由n 司g 知啊s ， 6 中山大学硕士学位论文 并且ms g 由g 的幂零性，存在正整数c 使得瓯。= 1 ，于是札+ 。2 1 这样 就可推出n 2c l = n 否则，必将得到f = 对于任意的正整数i 均成立，矛 盾又设t 满足m = 1 ，但m 一，一1 则由 m g = m = 1 知f 一。s z ( g ) 又有 f 一，s n ，故n z ( g ) 苫m 一。1 特别地，如果n 为g 的极小正规子群，由 n n z ( o ) 1 知ns z ( a 1 口 引理2 2 4 ( 8 ，i x ，1 1 0 )g 是p 一可解，则g 是p 一超可解的充要条件 是对g 的每一个极大子群m 有g ：m i p 或p 。数 引理2 2 5 ( e 8 ，i x ，1 - 3 3 ) a a ( h i k ) s g c c ( h k ) ，其中 c ：0 丁k ) = 占i g g ， g ，h e k ，v h e h 注 c g ( 日k ) 是概念c g ( h ) 的推广，取k - l u 寸- - 者就是一个概念了 引理2 2 6 ( e 8 ，i x ，1 4 ) 设1 = g 0 qg 1 司司g = g 是g 的主群列，则 0 ( g ) = nc o ( a , + ，g ) 为p 一幂零，且为g 的一切p 一幂零正规子群之积 p i q “坞l 引理2 2 7 ( 1 ) g 是p - 超可解，则g 是p 一幂零的 ( 2 )g 为超可解，则g 是幂零的 ( 3 ) g 为超可解，则g 有s y l o w 塔特别地，若p 为i g l 的最大素因子，则 g 有正规s y l o wp - 子群 证 ( 1 ) 由假设，g 的p 一主因子为p 阶循环群k h 是这样的一个主 因子，s z , 如( k h ) 作为k h 的自同构群的子群是循环的由引理2 2 5 ， 4 ：( h k ) 一g c a ( h k ) 为循环群，因此g s g o ( h k ) 从而由引理2 2 6 得 g s nc o ( a , + 。g f ) = ( g p i g j + i a , l 7 中山大学硕士学位论文 因此，g 是p - 幂零的 ( 2 ) 由于g 是超可解的充要条件是：对于任意的素数p ，g 是p 一超可解由 ( 1 ) 知，对于任意的素数p ， g 是p - 幂零的，故而g 是幂零 ( 3 ) 对g 的阶进行归纳因为g 超可解，所以g 有素数阶正规子群n ， 记| i = q 由于g 是超可解的，根据归纳假设g 有s y l o w 塔特别地，g n 有正规子群p ，其中p s y l o w p ( g ) 若s p ，当然有p a g ，此时证明 已经完成设n 旺p ，由于p 是i g i 的最大因子，那么q 小于p 因为q 阶群的 自同构群是q 一1 阶循环群以及。( ) ( ) 同构于4 眦( ) 的子群，所以p a t 是q 一幂零的从而p n p x n ，推出p 日g ，结论同样成立 口 引理2 2 8 ( 9 ，v i ，4 7 ) 设g = g ，g 2 ，则对任意的素数p ，：f i g 、g 1 、 g 2 的p 一$ f d w 子群p 、号、e ，使得p 一职 引理2 2 9h s g ，l g ：日l 是一个万一数如果存在g 的一个幂零子群k 使得g = i i k ，那么g = i l k ，其中k 是置的一个石一h a l l 子群 证由于k 是幂零的，我们可以令k = 疋k ，其中k ，是置的石- h a l l 子群如果k = 1 ，则引理2 2 9 的结论已经成立故可以令疋 1 ，令 1 s y l o w v ( k , , ，) 由引理2 2 8 及其注，存在日的s y l o wp - 子群日，使得 h ，巧s y l o w ( g ) 既然i g ：日i 是一个石一数，所以日 s y l o wp - 子群以也是 g 的s y l o wp - 子群因此h p 巧= h v ，k v k 对2 j ：h 的“极 大子群足”成立即可 从定理3 1 1 的证明可以看到，对有限群g 的极大子群的置换化子进行某 些限制之后，若g 不超可解，其极小阶反例和s 。是有莱种联系的，定理3 1 2 将明确给出它们之间的联系在可解的条件下只对g 的部分极大子群的置换化 子进行限制，得到如下结论 定理3 1 2g 是可解群，且带有一商群遗传的性质p ( p 可为空) ， p v ( m ) ；g 对于g 中任意满足i g ：m i p i 形式的极大子群m 都成立，其中p 为 任意素数，i 2 为整数若g 不超可解，则其极小阶反例只可能为墨 证任取g 的极小正规子群，由引理1 知为初等交换p 一群，其中p 为 整除i g i 的某素因子由引理2 2 1 1 ，6 满足定理的假设，再由g 的极小性 知，g 超可解由于超可解群系是饱和群系，故可假设垂( g ) 一1 ，且是g 的唯一极小正规子群因此存在m t g 使得g = b i n 由于m n q m 且交 换，所以m n 司g ，由n 的极小性及唯一性得m n = 1 ，毗i g ：m i l i 是 1 2 中山大学硕士学位论文 素数p 的方幂，可假设m 的指数大于p 根据定理假设及m 的极大性知，存 在y g m 使得g = ( y ) m 根据引理2 2 9 ，我们可以假设y 为p 一元再由 引理2 2 8 ，存在s 印如( m ) 使得s ( y ) = 剐为g s y l o wp - 子群p h 于- g 的 极小性，根据引理2 2 1 0 得i = 4 考虑g 在m 上的置换表示，由的唯一 性知道m o = 1 因此，g sg m 。同构于只的一个子群，所以g a 墨或g s 4 由 巳似) 一4 且h ：呜i = 2 2 可知，4 不满足题设条件这样便得到只可能有 g g s d 口 推论1如果2 和3 不同时整除g 的阶，则g 超可解的充要条件是 b ( m ) = g 对于任意mc g 都成立特别地，g 的阶是奇数时，上述结论成立 证当g 超可解，由定理3 1 1 必要性的证明知道，g 是p c 一群，故而推 论的必要性成立 反之，令g 是满足推论1 的充分条件但不超可解的极小反例由引理2 2 2 ， g 可解，从而g 满足定理3 1 2 的题设条件，g a 墨但是2 和3 都整除墨的 阶，与推论1 的题设矛盾，因此极小反例不存在，g 超可解 r a 注该推论告诉我们，性质“昂( m ) 一g 对于任意mc g 都成立”和超可 解是很接近的：在2 和3 不同时整除i g l 时，二者是等价 联系定理3 1 2 的结论，定理3 1 1 可以进行如下的改进： 定理3 1 1 ，g 是有限群，尼( 膨) 一g 对于任意mc g 都成立则g 超可 解的充要条件是g 满足某具有商群遗传的性质p ，超可解群满足性质p ，但是 瓦不满足 证明定理3 1 1 ，的必要条件的成立是显然的下面看充分条件 令g 是满足定理3 1 1 充分条件但不超可解的极小阶反例由引理2 2 2 ， 中山大学硕士学位论文 g 可解，根据定理3 1 2 ，g 。s 。但是g 具有性质p ，只却不具有性质p ， 矛盾因此满足命题的极小阶反例不存在，故g 是超可解的 口 推论2 弓( m ) = g 对于任意m m 对于g 中指数为素数方幂的子群m 都成 立，则g 的每一个主因子的阶为素数或4 证采用极小反例的方法，令g 是极小阶反例 任取g 的极小正规子群a ，则a 为初等交换p 一群定理的条件是商群遗传 的，故定理对g 肛成立，所以h ) p ，且当p 。2 时川) 4 进一步假设爿是g 的唯一极小正规子群令n = f ( g ) ，由a 的唯一性知n 为p 一群，且 a s z ( n ) j 丑f n = d 。，( g ) 那么f = n v ，n n v = 1 ，v 为p 。群由f r a t t i n i 论断，g = f = l n ，其中n o ) ；l 因为l n a 司三且4 弓z ( n ) ，故有 l n a q 叫一g 由a 的极小性知n 爿= 1 或a 主l 当a5 工时由于4 司工，v m 根据引理2 2 9 ，可设y 为p 一元素由引理2 2 8 ，存在 s $ 三d k ) 使得s ( ) ) = s n 再根据引理2 2 1 0 得，l n l 一4 考虑g 在m 上 的置换表示，由n 的唯一性知m 。一1 ，所以ga g m o 同构于s 的一个子群因 为g 为极小阶反例，所以gm s 。由于4 整除h 的阶，那么必有：hs & 、日a 4 或日e b 但是这些都与定理对h 的假设矛盾，因此极小反例不存在，g 超可 解口 定理3 2 2 g h 超可解，对于g 的任意极大子群m ，日m 或日n m 为 日的极大子群，昂( k ) ；日对于彤c h 均成立，则有以下结论成立 ( 1 ) p 为整除i g l 的素因子且p ) 2 ，则gp 一超可解 ( 2 ) 1 日i 为季数时，g 超可解 ( 3 ) o e s w o w a a ) ，则qq g ，且g t q 幂零 ( 4 ) h 有s y l o w 塔，且日不含截断毋，则g 超可解 中山大学硕士学位论文 证根据引理2 2 2 ，h 司解，凼此g 司解 ( 1 ) 若g 不p 一超可解，设g 为极小阶反例任取g 的极小正规子群， 为初等交换g 一子群，口为素数( g i n ) i ( h n i n ) a u l h n 为超可解的r 且 ( 王w ) s h i ( h q n ) 同样满足定理对日的假设由引理2 2 1 1 ，g n 满足定 理的假设，所以c n 是p 一超可解的从而推出：g = p ，n 为g 的唯一极小 正规予群，n s h ，且中( g ) 一1 这样就必存在m t g ，使得n 不含于m ，因 此g = m n ，且m n ；1 根据d e d e k i n d 恒等式得h h n 刎一n ( 1 1 n m ) 根 据假设，h n m 为h 的极大子群，l 黼y e h 使得日= ( ) ，) ( 日n m ) 根据 引理2 2 9 ，可令y 为p 一元素，再根据引理2 2 8 ，存在s e s y l p ( n m ) 使 n s = s ) 为1 1 的s y l o wp 一子群，根据引理2 2 1 0 得i n i = p 极小阶反例不 存在故当p ，2 ，g 为p 一超可解 ( 2 ) 这是( 1 ) 的推论 ( 3 ) 由( 1 ) 知g 是p 一超可解的，对于p 2 根据引理2 2 7 ，g 是p 一幂零 的因此，如果q e s y l 2 ( g ) ，则q 包含于g 的正规p 一补子群之中，p ，2 因 此qc h a r g ，q a g g 7 0 的幂零性是显然的 ( 4 ) 若g 不超可解，设g 为极小阶反例由定理3 1 1 的推论3 知h 是超 可解的任取g 的极小正规子群，为初等交换p _ 子群，由于a l n 满足定 理的假设条件，所以结论对g 成立从而推出是g 唯一的极小正规子群， 且s h 由于超可解群系是饱和群系，进一步可得垂( g ) = 1 这样就必存在 m 2 ， p 司g 任取g 的极小正规子群，为初等交换p 一群由于定理对g 成立， 所以g i n n g n ，从而可以推出n 为g 的唯一极小正规子群且n s p 由于 m ( g ) = 1 ，存在m g 使得g m n ，且m n = 1 从而有：h h n ( n m ) 一 n ( hr i m ) ，n n ( h n m ) s n n m = 1 ，所以旧：口n m ) l 为p 的方幂根据题 设条件及引理2 2 9 知，g - 宅e p 一元素y h 使得日一( y ) 僻n m ) 所以，存在 s $ f d w p 饵n m ) 使得船a ( y ) s 根据引理2 2 1 0 得，i n l a p ，由归纳假设 得g 超可解，完成证明 口 推论1 g h 超可解，如果日所有的s y l o w 一子群均循环，则g 超可解 特别地，当日的阶不含有平方因子，g 超可解 最后，由定理3 2 3 证明过程可得如下推论： 推论2 若日所有的s y l o w 一子群均循环，则日超可解 中山大学硕士学位论文 参考文献 【1 】x i a o l e i l i ua n dy a n m i n gw a n g i m p l i c a t i o n so fp e r m u t i z e r so fs o m e s u b g r o u p s i nf i n i t e g r o u p s c o m m u n i c a t i o n s i n a l g e b r a 3 3 ： 5 5 9 5 6 5 2 0 0 5 【2 】b e i d l e m a n j c ，r o b i n s o n d j s o n f i n i t e g r o u p ss a t i s f y i n gt h e p e r m u t i z e rc o n d i t i o n j a l g e b r a 1 9 1 ：6 8 6