（基础数学专业论文）有关根式扩张和分裂域的一些结果.pdf

有关根式扩张和分裂域的一些结果 专业：基础数学 硕士生：张文华 指导老师：姜小龙 摘要 本文利用域上的g 口如扫理论和域的扩张理论，证明了有关根式扩张 和分裂域的一些结果第1 章简单地介绍了一下本文的写作背景和主要 工作第2 章先定义了几个基本概念：根式扩张、重复根式扩张、单根 式塔、根式塔和重复二次扩张，然后给出了根式扩张是单根式塔的一些 充分条件，以及重复根式扩张是根式塔的一些充分条件第3 章是本文 的主要结果首先介绍了两个基本概念：方程可用根式解和可解群，以 及与之有关的一些基本知识假设，( 工) 是域f 上的次数大于o 的多项 式，e 是厂( x ) 在f 上的分裂域3 2 节证明了在某些条件下，e 是f 的 重复根式扩张或根式塔3 3 节特别考察了当d e g ，( z ) = 3 或4 的情形， 并进一步给出了e 是f 的重复根式扩张或根式塔的一些充分条件和必 要条件 关键词：重复根式扩张：根式塔；分裂域；本原单位根；判别式 s o m er e s u l t so nr a d i c a le x t e n s i o n s a n d s p l i t t i n gf i e l d s m a j o r ：b a s i cm a t i l e m a t i c 8 n 缸n e ：z h a i l gw e n h u a s u p e r v i s o r ：j i a n gx i a 0 1 0 n g a b s t r a c t t h i sp a p e rp r o v e ss o i n er e s u l t so nr a d i c a le x t e n s i o n sa n ds p l i 砸n g f i e l d sb yg 口如括t h e o r ya n df i e l de x t e n s i o n st h e o r y t h ef i r s tc h a p t e r b r i e n yi n t m d u c e s l eb a c k g r o u n da f l dm a i nr e s u l t so ft 1 1 ep a p e r c h a p t c r2 i n 仃o d u c e sp f i m a d l ys e v e r a le l e m e n t a r yc o n c e p 峨a n dt h e ng i v e ss o r i l e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n ss u c h 血a tar a d i c a le x t c n s i o ni sas i 埘l p l er a d i c a lt o w e r a n dt h a tar e p e a t e dr a d i c a le x t e n s i o ni sar a d i c a lt o w e lc h a p t e r3i st h em a i n r e s u ho f t h ep a p e ll e t ，( 工) b ean o n c o n s t a i l tp o l y n o i l l i a lo v e raf i e l d f ，a i i d s u p p o s e 血a t e i sas p l i t t i n gf i e l do v e r ff b r ，( 曲t h ep a p e rg i v e ss o m e s u 瓶c i c n tc o n d i t i o n sa n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n ss u c ht h a tei sar e p e a t e d r a d i c a le x t e n s i o no ff ，a n dc o n s i d e r sp a r t i c u l a r i ym ec a s e 血a td e g r e e o f ，( x ) i s3o r 4 k e y w o r d s ：r e p e a t e dr a d i c a le x t e n s i o n ；r a d i c a lt o w e r ；s p l i t t i n gf i e l d ； p r i i l l i t i v em o t o fu n i t y ；d i s c r i i l l i n a n t i i 第1 章绪论 本章先简单地介绍了一下有关g n z d 妇理论和域论的历史，接着扼要 地说明了本文的写作背景和主要工作 1 1 引言 g 如括理论是近世代数的经典理论之一它对近世代数和数学其 它分支的发展都产生了重大影响它在代数和代数数论中占有重要的 地位如今g h 如捃理论仍然是代数中比较活跃的一个分支，因为即使是 有限如括理论也有许多至今仍未解决的难题可以说，有关函如括理 论的研究层出不穷，不断地可以见到新的研究论文 g 口f d 妇理论源于高次代数方程可否用根式解的问题关于求解多 项式方程的问题，在十九世纪上半世纪及其以前，曾长期是代数学研究 的中心问题有关求解一元二次方程的问题，早在两三千年前的巴比伦 时代就已解决在经过了漫长的时期后，一元三次、四次方程的求解问 题在十六世纪被f e r r d ，协a g l i a ，c a r d a l l 和f e r r a r i 等数学家解决，并找到 了求根公式这样，对于次数不超过四的代数方程，都存在求根公式， 也就是说它们的根能用方程的系数，经过加减乘除和开方运算来表出， 简称为方程可用根式解此后，人们毫不怀疑地继续寻找一般五次方程 和五次以上方程的求根公式许多数学家为此付出了大量的劳动，但都 以失败而告终为此，数学家们开始进行反思1 7 7 0 年，l a g r a n g e 在 关于代数方程解法的思考中指出，用我们所考虑的方法来给出一般 五次方程的解法是值得怀疑的事实上，l a g r a i l g e 的怀疑是完全正确的 十九世纪初期，a b e l 和r u m n i 证明了对于一般五次方程，当玎5 时不 存在求根公式，也就是说不能用根式解但这并不等于说一些特殊的高 第1 章绪论 次方程不能用根式解例如，二项方程x 4 一= 0 就可以用根式解于是 关于方程求解的一个更深刻的问题又提了出来：哪些方程可以用根式 解? 一个方程可用根式解的充分必要条件是什么? 十九世纪三十年代，天才的青年数学家面如括利用置换群和域的 理论彻底地解决了这一问题，并给出了一个方程可用根式解的判定法 则在研究五次和五次以上代数方程的根式解的过程中，g 口如妇创立了 一整套理论，后人称之为“面b 妇理论”正是利用这一理论，g 口如括成 功地解决了长期使不少数学家伤透脑筋的难题事实上，关于高次代数 方程可否用根式解的问题之所以在数百年间悬而未决，其主要原因之 一就是缺乏一种有效的工具而g 口如捃理论正是这样一种行之有效的 工具，它在高次代数方程可否用根式解的问题上显示了强大的威力如 今g 缸幻括理论在当代数学中依然有着重要的应用 域是代数学中最基本的概念之一，有着悠久的历史早在十九世纪 初，渤如括在研究代数方程的著作里就有了域的概念的萌芽后来 d e d e k i n d 和k m n e c k e r 在不同的背景下都提出了域的概念，但域的抽象 定义是由d e d e k i n d 和h u n t i n g t o n 独立给出的系统研究域的理论始于 w j b e r ，而域的公理系统则是由d i c k s o n 和h u n t i n g t o n 分别于1 9 0 3 年和 1 9 0 5 年独自创立的在w | e b e r 等人的影响下，s t e i n i t z 对抽象域进行了 系统研究。于1 9 l o 年发表了论文域的代数理论，第一次对域的理论 作了全面和系统的阐述，奠定了域论的基础 我们知道，通过理想来研究环，这是研究环的基本方法但是，由 于域只有平凡理想，所以无法通过域的理想来研究域因此，要研究域 就必须采用别的方法，其中最基本的方法就是对域进行扩张域的扩张 起源于数域的扩张例如，由有理数域扩张为实数域，再由实数域扩张 为复数域对有理数域来说，有所谓的代数数和超越数之分，而对于一 般的域则有代数元和超越元的区别s t e i n i 娩的一个基本结果是，每一个 域都可以从它所包含的素域出发，经过添加超越元得到一个超越扩张 后，再添加代数元而得到 如扭理论和域的扩张理论有着密切的联系它的基本思想是，用 第1 章绪论 域的自同构群来研究域的构造g d f 。妇理论的核心是g 口f o 括理论基本 定理，该定理在群和域这两种不同的代数体系之间建立了某种对应关 系，将一些有关域的问题转化为关于域的自同构群的研究( 当然也可以 把群中的一些问题转化为域中的问题去考察) 由于群中的许多问题已 经解决，所以这样不仅可以帮助人们更深刻地认识域的结构，而且还能 使许多有关域的问题比较容易地得到解决 1 2 本文的写作背景 本文就是利用域上的勖z d 妇理论成功地解决了一些有关域扩张的 问题设f 是特征为o 的域，( 工) 是，上的次数大于o 的多项式，e 是 ，( z ) 在f 上的分裂域我们知道，如果方程，( 石) = o 在，上可用根式解， 那么e 必含在，的一个重复根式扩张中，甚至e 还可以含在f 的某个 根式塔中( 定理3 1 4 ) 然而，e 不一定是，的重复根式扩张或根式塔( 参 考引理3 1 1 0 后面的例) 在 1 】中，i m i s a a c s 证明了如下结论：设，( j ) 是有理数域q 上的不可约多项式，且在实数域中分裂若，( 工) 有一个 根含在q 的实重复根式扩张中，则，( 工) 的g a z o 妇群是个2 一群，从而 ，在q 上的分裂域是q 的重复根式扩张在f 2 】中，i m i s a a c s 又把 上述结论作了改进：设f 是特征为o 的域，置是f 的扩张且k 包含的单 位根仅有l ，( x ) 是，上的不可约多项式，并在置中分裂若，( x ) 有 一个根含在f 的重复根式扩张l 中，且l k ，则，( 工) 在f 上的分裂 域e 是f 的重复根式扩张在【3 】中，f b 黜r am o r a 证明了在某些条件 下，e 是f 的根式塔那么，在什么条件下，e 是f 的重复根式扩张或 根式塔? 本文继续探讨了这一问题，并利用域上的g 口如如理论，给出了 是f 的重复根式扩张或根式塔的一些充分条件和必要条件 第1 章绪论 1 3 本文的主要工作 本文利用域上的g 口f d 括理论，在前人的基础上，对根式扩张和分裂 域作了进一步的研究主要工作如下： 1 根据单根式塔和根式塔的定义，单根式塔一定是根式扩张，根式塔 一定是重复根式扩张，但反之不一定成立奎塞坌堂i 握式拉张是单揠 式塔的一些充分条件以及重复根式扩张是根式塔的一些充分条件 一一，一一一 2 设，( 工) 是域，上次数大于0 的多项式，e 是，( 工) 在，上的分裂域 若方程，( 并) = o 在，上可用根式解，则e 必含在f 的一个重复根式扩张 中，但e 不一定是f 的重复根式扩张本文给出了e 是，的重复根式扩 、- 、， 张或根式塔的一些充分条件和必要条件 3 特别考虑了当d e g ，( 工) = 3 或4 时的情形，并进一步给出了e 是f 的重复根式扩张或根式塔的一些充分条件和必要条件 第2 章根式扩张和重复根式扩张 本章主要介绍了几个基本概念：根式扩张，重复根式扩张，单根式 塔和根式塔，以及它们之间的关系在本章和第3 章中，如没有特别声 明，f 表示域，q 表示有理数域g z 忸，) 表示e 在f 上的g 功括群 c 砌表示域，的特征( 另外一些符号的意义见附录) 2 1预备知识 定义2 1 1 设置是域，的扩张 ( 1 ) 若存在口置和正整数，l 使得置= f ( 口) ，矿f ，则称置是f 的根 式扩张( m d i c a le x t e n s i o n ) ( 2 ) 若存在子域链f = e 一= 足， 使得e 是，。的根式扩张，i = 1 ，2 ，r ，则称k 是f 的重复根式扩张 ( r e p e a t e dr a d i c a le x t e n s i o n ) 显然，一个域的重复根式扩张一定是有限次扩张 关于重复根式扩张，有以下几个常用性质： 1 ) 若k 是域f 的重复根式扩张，而l 是是的重复根式扩张，则l 也是 ，的重复根式扩张 2 ) 设e 是f 的扩张，k 和l 是中间域若置和l 都是f 的重复根式扩 张，则合成域 ，l 也是f 的重复根式扩张 3 ) 若k 是f 的重复根式扩张，l 是中间域，则置也是l 的重复根式扩 张 注：在3 ) 中，l 不一定是f 的重复根式扩张例如，取，= q ，取 k 是f 的3 次循环扩张，则k ( 叻是，的重复根式扩张，其中棚表示3 第2 章根式扩张和重复根式扩张 次本原单位根但置不是f 的重复根式扩张【3 】 此外，关于重复根式扩张还有如下命题，在第3 章中将用到它 命题2 1 2 ( 【4 】，第五章引理9 3 ) 设置是域，的重复根式扩张，若l 是足在f 上的正规闭包，则l 也是，的重复根式扩张 由命题2 1 2 知，若世是域f 的重复根式扩张，则存在f 的正规重 复根式扩张l ，使得f 呈k l 这样，在证明有关命题时，如果k 是 域f 的重复根式扩张，那么可以不妨设置是f 的正规扩张 定义2 1 3 设置是，的根式扩张，且 k ：用= n 若存在a 彤，使 得k = f ( 口) ，而口“e f ，则称置是f 的单根式塔( s i m p l e m d i c a l t o w e r ) 定义2 1 4 设置是f 的重复根式扩张，f = r e ，r = 置， 若e 是f 。的单根式塔，f - 1 ，2 ，r ，则称k 是f 的根式塔( r a d i c a l “) w e r l 注：设世是f 的重复根式扩张，f = e 如+ 。= 髟，其中 t 。= e ( q ) ，群一q t ，f - 1 ，2 ，r 若，z 。不是素数， 比如 一= 。f ， l f ， l ，令a = 嘶，则e ( 层) e + 。，辟= 日i f ， 嘶e ( 属) 这样，只( 屈) 是只的根式扩张，e + 。是互( 属) 的根式扩张 从而，在f = 疋互一+ ，= 量中，适当地插入一些中间域后， 仍是f 的重复根式扩张特别地当k 是f 的根式塔时，有限。：e 】= n 。， 这时，易知【e + 。：e ( 屈) 】_ ， e ( 屈) ：e 】- 七。，f _ 1 ，2 ，r 这样( 属) 是e 的单根式塔，r 。是e ( 属) 的单根式塔从而，在 f = e 二e 三c + 。= 彪中，适当地插入一些中间域后，置仍是， 的根式塔由以上知，可以不妨设m 是素数因此，为了方便，以后常 设，1 为素数 命题2 1 5 若足是域，的扩张，且c 砌席2 ，则 第2 章根式扩张和重复根式扩张 置：，】= 2 = f ( 口) ，曰芒，口2 f 证明：只须证明必要性取d k ，但盘匹f 因为 茁：，】_ 2 ，所 以茁= ，m ) 设口在，上的极小多项式为x 2 + 甜+ 6 ，n ，6 f ，则 佃针拈o _ 所以( 盯+ 詈) 2 = 等也令口= 口+ 詈，贝 j 口仨， 口2 = 车一6 f 从而k = f ( 口) = f ( 口) ，目仨f ，护2 ， 由命题2 1 5 知，特征不为2 的域的二次扩张是单根式塔 注：命题2 1 。5 是本章2 2 节中命题2 2 5 的一种特殊情形这是因 为特征不为2 的域的二次扩张显然是g 口z d 括扩张 定义2 1 6 设胃是f 的扩张，且c 砌伊2 ，若存在域链 f = r e 一= 置，使得【e ：e 一。】_ 2 ，江l ，2 ，r ，则称置是f 的重复二次扩张( r e p e a t e dq u a d r 撕ce x t c n s i o n ) 显然，若x 是f 的重复二次扩张，则每个中间域也是f 的重复二次 扩张由命题2 1 5 可立即得到下列推论 推论2 1 7 重复二次扩张是根式塔 命题2 1 8 设蜀是域f 的g 口f d 括扩张，且c 口厅2 ，则k 是f 的 重复二次扩张的充分必要条件是【彤：f 】- 2 的方幂 证明：显然只须证明充分性设g = g 耐( ，) 因为k 是，的 g d 肠如扩张，所以蚓= 【置：，】_ 2 的方幂，即g 是2 一群由于2 - 群是可 解群( 定义3 1 2 ) ，根据可解群的性质( 定理3 1 6 ) 知，存在子群列 l = g o 日g lq q g “司g ，= g ，其中g ，是瓯l 的正规子群，使得商群 g 。g ，是2 阶循环群，f - o ，1 ，r 1 根据g 钮f d 括理论基本定理，存在 子域链足= r 3 一一。je = ，使得峨：e + 。】- | g 。g j = 2 ， i = o ，1 ，r 一1 于是，是f 的重复二次扩张 关于重复二次扩张，还有如下引理，在第3 章中将用到它 第2 章根式扩张和莺复根式扩张 引理2 1 9 ( 【2 ，定理3 3 ) 设，是特征为o 的域，芷是f 的扩域，且 k 包含的单位根仅有1 ，又m 和是中间域，且m 是f 的重复根式 扩张，而是f 的g a l o i s 扩张，则置n 是f 的重复二次扩张 2 2根式扩张和单根式塔 根据单根式塔的定义，我们知道单根式塔一定是根式扩张，但反之 不一定成立例如，由于善= 三( 一1 + i + = i 而) 是一个5 次本原 单位根，所以q ( 孝) 是q 的根式扩张但【q ( 善) ：q = 4 ，孝4 芒q ， ( i + 一1 0 一2 i ) 4 芒q ，因此q ( 善) 不是q 的单根式塔 下面的定理给出了根式扩张是单根式塔的一些充分条件 定理2 2 1 设茁是f 的根式扩张，蜀= f ( 口) ，盯，口，f ，其中 p 为素数，令d = 【足：f 】，则 ( i ) d = p 或d = ，( s ) ：f 】，其中为一个p 次本原单位根 ( i i ) 当d = 2 且幽口2 时，k 是f 的单根式塔 ( i i i ) k 是f 的单根式塔f ( i v ) 当f = q 且d 为奇数时，置是f 的单根式塔。 ( v ) 当c 施十p 且p 为凡脚f 素数，d 为奇数时，是，的单根式塔 注：& 眦f 素数是指形如2 2 + 1 的素数，目前己知的f e m 8 f 素数 有3 ，5 ，1 7 ，2 5 7 ，6 5 5 3 7 定理2 2 1 的证明需要利用下面几个引理 引理2 2 2 ( 2 】，推论2 2 ) 设，是域，( x ) = 石9 一日，口，其中p 为素数，则，或者在f 上不可约，或者在，中有一个根 下面的引理是 5 】中定理3 5 3 的一个推论 引理2 2 3 设m 为正整数，是域且c 蛔伊十m 若善是m 次本原单 第2 章根式扩张和重复根式扩张 位根，则g z ( f ( 善) ，) 的阶是妒( m ) 的一个因子，其中妒为欧拉函数 引理2 2 4 ( 【6 ，第三章第3 节定理5 ) 设p ，p ：，p 。是不同的素数 妒是欧拉函数，贝0 妒( p ，p ：p i ) = ( p 1 一1 ) ( p 2 1 ) - ( p 。一1 ) 定理2 2 1 的证明：( i ) 假设d p ，则，( j ) = z 9 一口9 在f 上可约 由引理2 - 2 2 知，( j ) 在f 中有一个根，设为f ，则9 一岱9 = o ， 即( 9 = 1 ，故d = 席，其中为p 次单位根若= l ，则 口= f ，这与口芒，矛盾所以f 为p 次本原单位根由于 = f ( 口) = ，( 犀) = ，( ) ，因而d = k ：f 】= 【f ( ) ：f 】 ( i i ) 利用命题2 1 5 ( i i i ) 显然 ( i v ) 设为p 次本原单位根，则当f = q 时，【f ( 纠：f 】- p 一1 根 据( i ) ，此时d = p 或d = p 1 由于d 为奇数，且d 1 ，而p 为素数， 所以d = 弘再由( i i i ) 知，( i v ) 成立 ( v ) 设为p 次本原单位根由c 口印十p 知，多项式互，一1 在f 上 可分显然，( s ) 是工9 1 在，上的分裂域，于是f ( g ) 是f 的g 钮f 0 括扩 张这样，【f ( ) ：f 】- i g n f ( f ( 占) f ) | 由引理2 2 _ 3 知， ，p ) ：f 】整除 烈p ) 由于p 为乃 m f 素数，根据引理2 2 4 ，烈p ) 为2 的方幂从而 【f ( 占) ：f 】为2 的方幂因为d 为奇数，由( i ) 和( i i i ) 知，( v ) 成立 下面的命题2 2 5 是【7 】中定理2 2 8 的一个特殊情形它给出了根式扩 张和循环扩张以及单根式塔之间的某种关系命题2 2 6 和2 2 7 则分别 给出了根式扩张是单根式塔的一个充分条件这3 个命题将会在后面某 些定理的证明中用到 命题2 2 5 设k 是域f 的扩域，且，含有p 次本原单位根，其中p 为素数，则下列条件等价： 第2 章根式扩张和重复根式扩张 ( i ) k 在f 上是g d f d 括的，且【k ：， = p ( i i ) 石= f ( 口) ，口茌，口f 在命题2 2 5 的条件下，由( i ) j ( i i ) 知，若k 是，的p 次循环扩张， 则k 是f 的单根式塔；反之，由( i i ) j ( i ) 知，若世是，的根式扩张，则 k 是f 的单根式塔 命题2 2 6 ( 2 】，引理2 1 ； 3 】，引理3 5 ) 设置是f 的根式扩张， 置= f ( ，f ，令m = 【置：，】，则戤”f ，其中是置中的某个n 次单位根进一步，当，包含k 中的所有n 次单位根时，有口“f ，从 而k 是f 的单根式塔 证明：设，( 石) 是口在f 上的极小多项式依题意，d e g ，= m 令 g ( x ) = z “一e h 工】，则占( 口) = 0 根据极小多项式的性质，( 工) i g ( j ) 由于g ( 工) 的每个根均具有缸的形式，其中善为某个n 次单位根， 故，( 曲的m 个根也都具有上述同样的形式因而这m 个根的积 d = 御1 ，其中仍为某个 次单位根由根与系数的关系知， d = ，( o ) ，这样出”f 显然船“彤因为口“乍k ，所以 s 置，从而f 是k 中的一个n 次单位根 推论2 2 7 设k 是f 的根式扩张，= f ( 饼) ，f ，令 卅= 【k ：用若f 包含n 次本原单位根，则有口“f ，从而置是f 的单 根式塔 推论2 2 8 ( 2 】，引理2 3 ) 设足是f 的根式扩张，且 茁：，】_ p ， 其中p 为素数若置在f 上不是g 口f d 缸的，则置= f ( 口) ，口9 f ，即足 是f 的单根式塔 证明：设置= f ( 口) 由命题2 2 6 知，跗9 ，其中是k 中的某 个单位根显然f f ( ) 世因为k 在f 上不是g n f o 括的，所以 第2 章根式扩张和熏复根式扩张 k f ( s ) 又由于【置：f 】为素数，故f p ) = f 因而f 再由 口9 f 知，货f 2 3 重复根式扩张和根式塔 根据根式塔的定义，显然根式塔一定是重复根式扩张，但反之不一 定成立例如，设k = q ( 3 ，) ，其中是7 次本原单位根，显然k 是q 的重复根式扩张但由于 q ( ) ：q _ 6 ，而s 6 茌q ，所以k 不是f 的根 式塔 下面我们给出了重复根式扩张是根式塔的一些充分条件 利用推论2 1 7 ，容易得到下列命题 命题2 3 1 设k 是域f 的重复根式扩张，如口伊2 ，= r e 只一。e = 置若【e ：只一l 】= 2 ，f _ l ，2 ，r ，则置是f 的根式塔 根据定理2 2 1 ( v ) ，容易证明如下命题 命题2 3 2 设f 是特征为o 的域，是f 的重复根式扩张， f = f 0 五互= 置，其中e 。= e ( 嘶) ，磁茌只，吖f ， 江o ，1 ，r 一1 若【置：f 】为奇数，且见是n 彻f 素数，f - o ，1 ，r l ， 则置是f 的根式塔 利用命题2 2 6 ，容易得到如下命题 命题 2 3 3设髟是域，的重复根式扩张， f = r e c = 足，f + 。= e ( 嘶) ，吖。e ，n 为素数， f _ o ，1 ，r 1 若f 包含置中的所有n 次单位根，f _ o 1 ，r 一1 ，则 k 是f 的根式塔 推论2 3 4 ( 【3 ，推论3 7 ) 设k 是域f 的重复根式扩张，若f 包含 足中的所有素数次单位根，则芷是，的根式塔 第3 章分裂域和重复根式扩张 我们知道，如果方程，( x ) = o 在域，上可用根式解，那么，( x ) 在f 上的分裂域e 必含在f 的一个重复根式扩张中有时，e 还可以含在f 的一个根式塔中然而，e 不一定是f 的重复根式扩张( 见引理3 1 1 0 后 面的例) 在【l 】【2 】中，i m i s a a c s 证明了在某些情形下e 是f 的重复根式 扩张在【3 】中，f - b 蝴m o m 证明了在一些条件下e 是，的根式塔本 章利用域上的g 咖括理论继续探讨了这一问题，并给出了e 是f 的重 复根式扩张或根式塔的一些充分条件和必要条件 3 1预备知识 定义3 1 1 设，( j ) 是域f 上的多项式，e 是，( 工) 在f 上的分裂域 若存在f 的一个重复根式扩张量，使得e k ，则称方程，( 石) = 0 在f 上可用根式解( s o l v a b l eb yr a d i c a l s ) 用这种条件定义“方程可用根式解”是否合理? 设 f = e 疋一c + 。= 置，其中曩。= 只( 啦) ，卵= 口i t ， f _ l ，2 ，r 因为每个e + 。是把硪x 】中的某个吩次方程矿一口i = o 的一 个根啦= 呖。添加到只上而得到的单代数扩张，所以e + 。中的每个元素 都可表为，的多项式，系数属于f ，也就是说，t + 。中的每个元素都可 由e 中的元素经过有限次加减乘除和开，l 。次方运算而得到由于重复 根式扩张是有限次扩张，故彭中的任一元素都可以从f 中的元素出发， 经过有限次加减乘除和开方运算而得到另一方面，方程，( 工) = o 的所 第3 章 分裂域和重复根式护张 有根都在，( x ) 的分裂域e 中，因而也在k 中，于是，( z ) = o 的每一个根 都可以利用，( z ) 的系数，经过有限次加减乘除和开方运算来表出这 恰好是通常所说的方程可用根式解的含义因此上述定义是完全合理 的 定义3 1 2 设g 是群若存在子群列，1 = g oq g lq q g ，_ 司g ，= g ，其中q 是g 。的正规子群，使得商群g 。，g ，是交换群， 江o ，1 ，r l ，则称g 是可解群( s o l v a b l eg r o u p ) 例如，交换群显然是可解群；只和s 。都是可解群，但当n 5 时， 对称群s 。不是可解群；p 一群是可解群，其中p 是素数此外，可解群 的子群仍是可解群 注：在上述定义中，由于正规子群没有传递性，所以g i 未必是g 的 正规予群我们只要求g 。是g 。的正规子群，并不要求g 。是g ，的正规 子群，f - 0 ，l ，r 一1 ，j = f + 2 ，r 定理3 1 3 ( 【4 】，第五章推论9 5 和9 7 ；【5 】，引理3 1 0 1 和定理3 1 0 2 ) 设，( j ) 是域，上的斥次多项式，e 是，( 石) 在f 上的分裂域，令 m = 陋：f 】 1 1 ) 若c 口十m ，则e 是，的国如抽扩张 2 ) 若方程，( 工) = o 在f 上可用根式解，则g 耐( e ，) 是可解群 3 ) 若如n 胛十，l ! 或曲口坩十m ，且g 口z 饵，) 是可解群，则方程，( 工) = o 在f 上可用根式解 定理3 1 4 ( 【8 】，第八章定理n ) 设，是特征为0 的域，( 是，上 的多项式，e 是，( 工) 在f 上的分裂域若g 日f ( e ，) 是可解群，则e 可 以含在f 的一个根式塔中 命题3 1 5 ( 4 】，第五章定理9 4 ) 设k 是域，的重复根式扩张，是 第3 章分裂域和重复根式扩张 定理3 1 6 ( 8 】，第二章定理1 1 ) 设g 是有限群，则g 是可解群的充 分必要条件是存在子群列g = g 。睁g 。p p g 。= 1 ，使得g 。g 。是素 ( 1 ) p5 q 阶群是可解群，其中p 和q 均为素数；( 2 ) 奇数阶群是可解群 定义3 1 8 设，( 工) 是域，上的，z 次多项式，n 。，盘：，日。是，( 工) 的 全部根令d = 兀( d ，一d ) 2 ，则称d 是，( 工) 的判别式( d i s c r i i i l i n a n t ) 例求实系数3 次方程z 3 + 肼+ q = o 的判别式d 解：设方程工3 + 彤+ 鼋= o 的3 个根为_ ，x 2 ，屯 i 上l + 工2 + z 3 = o 石l 石2 + 工2 工3 + j l 工3 = p 【x l x 2 x 3 = 一日 工? + x ；+ x ；= ( z l + x 2 + x 3 ) 2 2 ( x 1 工2 + x 3 + 工2 工3 ) = 一2 p 工? 工；+ z ；z ；+ z 7 = ( z l x 2 + x 2 x 3 + x 3 ) 2 2 工1 x 2 2 3 ( 石l + 工2 + x 3 ) = p 2 ( z l x 2 ) 2 = ( x l + 善2 ) 2 4 x l 工2 = ( + 石2 ) 2 4 p 一工3 ( j l + 工2 ) 】 = ( 一工3 ) 2 4 p 一工3 ( 一工3 ) 】 = _ 4 p 一3 x ； ( _ 一工3 ) 2 = 4 p 一3 工； ( z 2 一j 3 ) 2 = 4 p 一3 j ； 第3 章分裂域和重复根式扩张 于是方程z 3 + 彤+ q = 0 的判别式 d = ( z l 点2 ) 2 ( x l x 3 ) 2 ( 工2 一j 3 ) 2 = ( 4 p 一3 z ；) ( 4 p 一3 x ：) ( 4 p 一3 z ；) = 6 4 p 3 4 8 p 2 ( 工；+ 工；+ 工；) 一3 6 p ( x ? x ；+ 石? x ；+ 上；茸) 一2 7 工? 工；工； = 6 4 p3 4 8 p 2 ( 一2 p ) 一3 6 p p 2 2 7 鸟2 = 4 p 3 2 7 q 2 即x 3 + + 目= 0 的半4 别式d = 4 p 3 2 7 窜2 根据判别式的定义，容易证明下面的命题 命题3 1 9 设f 是实数域的子域，( 工) 是，上的3 次不可约多项式 d 是，( 戈) 的判别式，则 1 ) ，( x ) 仅有1 个实根镑d o 引理3 1 1 0 ( 【1 1 】，定理4 4 3 ) 设f 是实数域的子域，( 工) 是，上的 3 次不可约多项式，d 是，( 曲的判别式，e 是，( 曲在f 上的分裂域若 j d o ，则e 不可能被包含在f 的某个实重复根式扩张中 例如，取f = q ，( x ) = x 3 4 工+ 2 f 【x 】 利用e i s e n s t e i n 判别法，易知，( z ) 在f 上不可约由于它的判别式 d = 1 4 8 o ，所以根据命题3 1 9 ，( z ) 有3 个实根，从而分裂域e 被包 含在f 的某个实扩张中再由引理3 1 1 0 知，e 不可能是f 的重复根式 扩张( 注：由于d e g ，= 3 ，所以方程，( 工) = o 在，上可用根式解) 下面的命题给出了3 次方程的一个求根公式 命题3 1 1 l 设，是域且曲r ，2 ，3 则f 上的3 次方程 工3 + 肜+ 鼋= o ( p o ) 的根为 石= ) ，一务，其中y 取遍一詈+ j 等+ 等的三个立方根j v z y 斗 z ， 第3 章分裂域和重复根式扩张 证明：设工= y + z ，把它代入x 3 + 艘+ q = o 得 y 3 + z 3 + ( 3 ) ，z + p ) ( ) ，+ z ) + q = o 群霉 卜詈+ 孵 卜詈一隅 显然y 和z 各有3 个值，但必须满足3 粥+ p = o ，即z = 一- 兰( 由于 、， p o ，故y o ) 于是，工= y + z = y 一兰，其中) ，取遍 j v 一旦+ ，f 旦二_ + 竺j 的三个立方根 2v42 7 注：显然当p = o 时，方程工3 + 彤+ 口= 0 的根很容易求出来对于 一般的3 次方程f 3 + f 2 + 所+ c = o ，通过代换f - x 一詈，则可以变为 a 妒。，其中一譬地q = 等一警+ c 扩域，且口在，上的极小多项式为，( x ) = x 3 + 雎+ 鼋( p o ) ，d 是，( 石) ，( 功= f ( 多) ，3 f 甘d = 一3 掰3 ，m f 定义3 1 1 3 设，( 工) 是域，上的4 次不可约多项式，c 妇伊2 ， 第3 章分裂域和重复根式扩张 y = ( n 。+ n 。) ( ：+ 吧) ，以口，y 为根作一个多项式 譬( j ) = 一口) 0 一卢) 一y ) ，则称g ( z ) 为，( x ) 的3 次预解式( r e s o l v e n t 显然，g ( z ) f 【z 若，( x ) = j 4 + 彤2 + 掣+ r ，则容易求出 g ( x ) = z 3 2 彤2 + ( p 2 4 r h + q 2 ，而且易证g ( 工) 的判别式等于，( x ) 的 判别式 命题3 1 1 4 ( 【8 】，第八章定理6 ) 设，( 工) 是域，上的4 次不可约多项 式，如n 2 ，g 是，( z ) 在，上的g d z d 妇群，g ( z ) 是，( 上) 的3 次预解 式，d 是g ( j ) 的判别式 1 ) 若g ( 石) 在f 上不可约，则当石盛，时，g = 5 。；当石，时， g = a 2 ) 若g ( j ) 在，上可约，则g 同构于y ，d 4 或z 。中的某一个，其中y 是 四元群 ( 1 ) ，( 1 2 ) ( 3 4 ) ，( 1 3 ) ( 2 4 ) ，( 1 4 ) ( 2 3 ) ，d 4 是8 阶二面体群，z 4 是4 阶循环群 3 2 一般多项式的分裂域和重复根式扩张 在本节中，设f 是域，( 曲是f 上次数大于o 的多项式，e 是 ，( 耳) 在f 上的分裂域，【e ：州= n l 定理3 2 1 设砌4 坩十，l ，若1 ) g 耐( e ，f ) 是可解群；2 ) 且包含| 口。次 本原单位根，其中n 是，l 的全部不同的素因子，江1 ，2 ，j ，则e 是 ，( ) 的根式塔，其中是p l p ：几次本原单位根，从而e 是，的重复 根式扩张 注： 在定理3 2 1 的条件下，若e 是，的重复根式扩张，则e 不一 1 7 第3 章分裂域和重复根式扩张 定包含p ，次本原单位根例如，取，= q ，( 石) = x 7 2 兀乩则 e = f ( 砺，f ) ，其中是一+ 个7 次本原单位根显然e 是，重复根式扩 张。n = 2 3 7 ，而且g 谢( e ，f ) 是可解群，但e 不包含3 次本原单位 根 证明：因为e 是i 厂( 工) 在f 上的分裂域，且出口十h ，所以e 是f 的有限g a l o i s 扩张设b 是p f 次本原单位根，f - l ，2 ，5 ，令 s = q 岛，m = p ，p ：儿，则s 是m 次本原单位根由于e 包含， 故e 也包含s 令k = f ( ) ，根据g 口埘s 理论基本定理，g 饼( e k ) 是 g 耐( e ，f ) 的子群因为可解群的子群仍是可解群，所以g = g 甜陋，k ) 是可解群于是有合成群列1 = g 0q g 司g 。司g ，= g ，使得g i q 。 为素数m 阶循环群，f = l ，2 ，r ，在g n 如妇对应下得到子域链 e = 置。k 。2 kr _ 1 世，= k ，其中墨与g j 对应，并且置f - l 在世f 上是g 口f d 括的， 【k ：k j 】= n i ，i = 1 ，2 ，r 由 置f - l ：足f 】| 【e ：f 】得到 吩l ，z 因为，l ；为素数，所以吩等于n ，p ：，p ，中的某一个显然置。包 含m 次本原单位根占，f _ 1 ，2 ，r ，从而也包含乃次本原单位根， j = 1 ，2 ，量这样置。包含h 。次本原单位根由引理2 2 5 知，茁。是k ， 的单根式塔，因此e 是k 的根式塔又因为置= ，( 占) ，而“= 1 f ，所 以置是f 的根式扩张，于是e 是，的重复根式扩张 推论3 2 2 设c 砌厅2 ，若，l 是2 的方幂，则e 是，的根式塔 注：从定理3 2 1 的证明过程中容易看出，推论3 2 2 的结论可以更 强些，即若以口腰2 ，则e 是f 的重复二次扩张当且仅当n 为2 的方幂 这也可以由命题2 1 8 推出因为由定理3 1 3 的1 ) 知，层是，的函f d 括 扩张 第3 章分裂域和重复根式扩张 推论3 2 3 设c 蛔r f 十n 令m 是h 的全部不同的素因子之积若 f 包含m 次本原单位根，则目是f 的根式塔当且仅当g 耐( f ) 是可解 群 证明：充分性利用定理3 2 1 必要性利用命题3 1 5 定理3 2 4 设咖d 腰十h ，若e 是，的根式塔，则e 包含见次本原 单位根，其中n 是n 的全部不同的索因子，f = 1 ，2 ，s 证明：设f = f 2 f r + 。= e ，其中 e + l ：】= n ； 1 ， e + 。= c ( 啦) ，钟r = 以。e ，f _ 1 ，2 ，r 若h ，不是素数， 设 n 。：，f 。，女； 1 ， 1 ，令屈= 科，则f 只( 屈) ge + 。，= n ，e ， 叫z e ( 屈) ，且【r 。：鼻( 屈) 】= f ；，【只( 虞) ：e 】_ ，故不妨设 为素数 由ff f + 。：e 】- h 。知，i ( x ) = 工一d 。在上不可约因为c _ | b r f n ，而 h 。in ，所以c n 伊十n i ，从而工( z ) 在e 上可分，这样正( x ) 有个不 同的根啦，q 啦，p 。q ，其中为n 。次本原单位根由于e 在f 上正 规，所以在只上也正规且包含五( 硎拘一个根q ，因此后包含五( z ) 的 全部根，从而包含又因为九= 陋：f 】- 【一+ 。：t 】【只：】_ n ，啊， 所以氆，h ：，n ，就是n 的全部素因子( 可能有相同的) 于是e 包含见 次本原单位根，f _ 1 ，2 ，s 定理3 2 5 设c 妇坩十n 1 ) 若n = 2 5 p ，其中j 为非负整数， 为正整数，p 为n 删r 素数，则e 是f 的根式塔当且仅当e 包含p 次本原单位根 2 ) 若h = 计p p ，其中p 。，p ：，n 是不同的n 删f 素数， f 。，f ：， 均为正整数，则e 是f 的根式塔当且仅当e 包含p ，次本原 单位根，扣1 ，2 ， 第3 章分裂域和重复根式扩张 证明：1 ) 必要性由定理3 2 4 可知下证充分性依题意，e 是， 的有限g 口如括扩张，所以i g 耐( ，f ) l = n = 2 5 由引理3 1 7 知， g d f ( e f ) 是可解群，根据定理3 2 1 ， e 是，( ) 的根式塔，其中是 2 p 次本原单位根由c 砌胛十n 知