（基础数学专业论文）一些特殊空间上的分布混沌性.pdf

摘要 内容摘要：几乎所有的混沌定义都有长期行为的不可预测性，但是混沌现象并非 完全相同，不同的混沌定义会在实际分析中有不同的意义。对某些特殊空间的混 沌分析更是有意义的工作。 具体结果是： 1 在符号空间( ，p ) 讨论了存在子系统( s ，o r 9 ) 所诱导的集值离散系统 ( k ( 柳，仃) 的集值映射仃的拓扑遍历性，拓扑双重遍历性，传递性，弱拓扑混合 之间的关系。 2 令僻，l | i ) 为b a n a c h 空间，厂：x x 连续f r e c h e t 可微映射。证明出在b a n a c h 空间上存在一个不可数集人使得，i 是分布混沌的，并且人c a ( f ) 。 3 在某个离散时空系统中给出了系统是按序列分布混沌的定义，并得到了一个按 序列分布混沌的充分条件。 关键词：分布混沌；按序列分布混沌：混沌分析；几乎周期点；拓扑遍历 a b s tr a c t c o n t e n t ：a l t h o u g hn e a r l ya l lt h ec h a o t i cd e f m i t i o n sa r ei n d e t e r m i n a n ti nl o n g - t e r m a c t i o n s ，c h a o t i cp h e n o m e n o no ft h e ma r en o te q u a lt oe a c ho t h e r d i f f e r e n tc h a o t i c d e f i n i t i o n sh a v ed i f f e r e n ts e n s ei na c t u a l a n a l y s i s t h ec h a o t i ca n a l y s i s 0 1 1s p e c i a l s p a c e si sm e a n f u l t h em a i np u r p o s e so ft h i sp a p e ra r ea sf o l l o w i n g ： 1w ep r o v et h a tt h e r ee x i s t sas u b s y s t e m ( 惑，d 3 ) o f ( ，p ) s u c ht h a tt h e s e t v a l u e d m a p 盯i s t o p o l o g i c a l l ye r g o d i c t o p o l o g i c a l l y d o u b l e e r g o d i c ，t o p o l o g c i a u yt r a n s i t i v e a n dt o p o l o g i c a l l yw e a k l ym i x i n gw h e r e 仃i s s e t - v a l u e dm a po ft h es e t - v a l u e dd i s c r e t ed y n a m c i a ls y s t e m ( k ( 跚，) i n d u c e db y ( z , o l g ) 2l e t ( x ，l j i | ) b eab a n a c hs p a c e ，厂：x 呻xc o n t i n u e sf r e c h e td i f f e r e n t i a b l e m a p w ep r o v e t h a tt h e r ee x i s t sa nu n c o u n t a b l es e tas u c ht h a t i ia i s d i s t r i b u t i o n a l l yc h a o t i ca n dac 么( 厂) 3an e wd e f i n i t i o no fc h a o so nr e c u r r e n c ep o i n t ss e ti sd i s c r e t es p a t i o m p o r a l s y s t e m si sg i v e na n do n es u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h i ss y s t e m t ob ed i s t r i b u t i v e l y c h a o t i ci nas e q u e n c ei sd e r i v e d k e y w o r d s ：d i s t r i b u t i o n a lc h a o s ；d i s t r i b u t i o n a lc h a o si nas e q u e n c e ；c h a o t i ca n a l y s i s ； a l m o s tp e r i o d i cp o i n t ；t o p o l o g i c a le r g o d i c 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注 和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本 人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名疆聋 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有权保留并向 国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权辽宁师范大学，可以将 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名： 臣l 刍 指导教师签名： 签名日期： 叩年6 月上日 一些特殊窄问上的分布混沌性 引言 混沌这一名词来自于非线性动力系统。而动力系统这一术语是大数学家 g d b i r k h o f f 在1 8 2 7 年用“动力系统”为名发表专著时第一次提出的，它不仅是 非线性科学的研究对象，而且是研究非线性“复杂性 的有力工具。动力系统描 述的是任意随时间发展变化的过程，这样的系统产生于生活的各个方面，最常见 的气象模型是巨型动力系统的一个例子：温度、气压、风向、速度以及降雨量都 是这个系统中随时间变化的量。e n l o r e n z 教授于1 9 6 3 年在大气科学杂志 上发表了“决定性的非周期流一文，阐述了在气候不能精确重演与长期天气预 报者无能为力之间必然存在着一种联系，这就是非周期性与不可预见性之间的联 系。洛仑兹在计算机上用他所建立的微分方程模拟气候变化的时候，偶然发现输 入初始条件的极细微的差别可以引起模拟结果的巨大变化。洛仑兹打了个比喻， 在南半球巴西某地一只蝴蝶的翅膀的偶然煽动所引起的微小气流，几星期后可能 变成席卷北半球美国的克萨斯州的一场龙卷风，这就是天气的“蝴蝶效应 。这 样，混沌理论基本思想起源于2 0 世纪初，发生于2 0 世纪6 0 年代，发展壮大于 2 0 世纪8 0 年代，被认为是继相对论、量子力学后2 0 世纪人类认识世界和改造 世界的最富有创造性的科学领域的第三次大革命。 自1 9 7 5 年l i y o r k e 首次用严格的数学语言给出混沌定义以来，混沌的研究 对现代科学的影响，不仅局限于自然科学，而且涉及经济学、社会学、哲学及诸 多人文科学，可以说覆盖了一切学科领域。凡是涉及动力学课程的研究领域，大 多都会发生混沌现象，混沌理论使科学家们相信，简单的确定系统可以产生出复 杂的性态，复杂系统也可能遵循简单规律。而对于科学家来说，不论他们所研究 的领域如何，其任务都是了解其学科的复杂性，因此作为具有复杂的不规则动态 行为的混沌现象自然成为各领域的科学家们所共同关注的主要课题之一。然而不 同领域的人，从不同的观点、不同的角度出发，揭示出不同的混沌内涵，进而给 出不同的混沌定义( 1 卜 5 ) ，例如：l i y o r k e 混沌、d e v a n e y 混沌、分布混沌、 r u e l l e t a k e n s 混沌、按序列分布混沌、m a r t e l l i 一混沌、b l o c k c o p p e l 混沌等等。 这就在不同学科的交流中产生许多歧义，这对一切从严格定义出发的数学而言， 显然是不能容忍的。同时，进一步解释混沌的本质，统一混沌的定义，探讨各个 2 一些特殊空间| ：的分布混沌性 混沌概念间的内在联系就是十分有意义的事情了。这里，我们感兴趣的是 l i y o r k e 混沌和分布混沌，前者是最早出现的混沌定义，并且已经被广泛应用， 而后者除了具有前者所具有的长期行为的不可预测性之外，还明显带有统计规 律。从这一意义上讲，分布混沌是概率方法在混沌研究中的一个新的应用。从 1 9 9 4 年s c h w e i z e r - s m i t a l 提出分布混沌的概念以后，围绕分布混沌的研究就引起 了许多学者的注意。因此，研究l i y o r k e 混沌与分布混沌之间的关系是十分有 意义的。为了研究l i y o r k e 混沌与分布混沌的内在联系，文【6 】提出了按序列分 布混沌的定义，并指出了区间映射是l i y o r k e 混沌的当且仅当它是按某序列分 布混沌的。 尽管几乎所有的混沌定义都有长期行为的不可预测性，但是混沌现象并非完 全相同。不同的混沌定义会在实际分析中具有不同的意义。例如，分布混沌具有 定的统计规律，可用概率方法进行研究，d e v a n e y 混沌系统在混沌行为中存在 着规律性的成份，即有稠密的周期点。因此对某些特殊空间的混沌分析是有意义 的工作。 本文的具体安排如下： 第一章：介绍动力系统的一些基本概念及相关的混沌定义。 第二章：一类集值离散动力系统的拓扑遍历性和混合性 第三章：b a n a c h 空间上的几乎周期性和分布混沌 第四章：c m l 系统中的按序列分布混沌 第一章基本概念 1 1 紧致系统与回复性点集 设z 为紧致度量空间，：x _ x 可以看作是x 上的一个作用：对于觇x 在，作用下生成像点( x ) ，厂 ) 仍然是x 中的点，厂可以对它继续作用，生成 像点厂( 厂 ) ) ；厂2 ) 。此过程可以无限进行下去，设厂o = 谢，即x 上的恒同映 射，1 一厂，2 ；厂。，一般地，对n 苫2 ，“= 厂”1 。厂，其中符号。表示映射的 复合。 定义1 1 1x 上的连续自映射序列 厂o ，1 ，厂“，) 称为x 上由连续自映射厂 经过迭代而生成的离散拓扑半动力系统，记为( x ，) ，简称为动力系统或紧致系 3 一些特殊空间上的分布混沌性 统。 定义1 1 2 设( x ，) 为紧致系统，如果紧致子集瓦c 石对厂不变，即 f ( x 。) cx 。，则把厂在k 上的限制映射厂i ：z 。呻x 。所生成的紧致系统 ( x 。，l ) 或，l z 。，称为俾，厂) 或，的子系统。 子系统在动力系统的研究中扮演着重要的角色。大体而言，给定一个紧致系 统( x ，) ，我们要研究它的动力性状，而( x ，f ) 的每一个子系统的动力性状是 ( x ，) 的动力性状的一部分，且( x ，厂) 的全体动力性状可由它的全部子系统决 定。因而，有时我们要研究一个紧致系统( x ，f ) 的动力性状，只要在它的某个子 系统上研究即可。 对每一点x e x ，x 在厂作用下生成的轨道仁，o ) ，f ”o ) ， ，记作o r b ( x ) 或o ( x ) 。 给定x e x ，易见x 的轨道是对，不变的，因而紧致子集o r b ( x ) ( 即轨道的 闭包) 也对，不变。 动力系统的问题是多种多样的，但其核心问题却是轨道的渐进性质或拓扑结 构，即当n o o 时轨道的极限性质。在x 的所有元素中，只有那些具有某种回复 性的点的轨道才是重要的。 定义1 1 3 对于x x ，如果存在整数n 0 ，使得，“( x ) 一x ，则把x 叫做厂的 周期点，并把使厂” ) a z 成立的最小正整数咒叫做它的周期。厂的全体周期点 的集合记作e ( f ) 。 周期性是最强的回复性，也是最重要的回复性。下面陆续介绍的回复性都是 周期性的推广。 定义1 1 4 对于z x ，如果存在j 下整数递增序列伽；】，使! i m 厂一 ) = z ，即， 对v 0 ，：i n 0 ，使，“ ) y ，) ，这里矿( z ，) = y e xi d ( x ，y ) 0 ，使得对任意，l 0 ， ，“ ，”n v ( x ，占) 一f 2 j ，则称x 为厂的游荡点。如果石不是，的游荡点，即对 v 0 ，：i n 0 ，使，“ ，) ) n v ( x ，f ) 一彩，则称x 为厂的非游荡点。厂的全体 非游荡点的集合记为o ( f ) 。 定义1 1 6 设( x ，厂) 为紧致系统，x e x ，如果存在递增序列饥，使 ! i m 。f 吩g ) = y ，则称点y 为x 的一极限点，并称x 的全体一极限点的集合为 一极限集，记作( x ，厂) 。u ，厂) 中的每个点称为厂的t o - - 极限点，记作 o m ) 。 定义1 1 7 称x 是几乎周期的，如果对任意s 0 ，存在整数 0 ，使得对任 意口0 ，存在整数，- ，q 0 ，使得 s 一些特殊空间卜的分布混沌性 ，“) nv o 。 在引进混合概念之前先熟悉一下记号和规定：用厶表示m 个，的c a r t e s i a n 乘积，亦即厶= ，。对任何z = o 。，石：，z 。) e x ”，规定 厶x ) = ( f ( x 。) ，o ：) ，f ( x 。) ) 。易见厂m ：x ”呻x ”连续。 定义1 2 2 称厂是拓扑弱混合的，如果厶是传递的，亦即对x 中任意非空开集 u 。，u ：，k 和心，存在正整数咒使得厂“。) n k a ，i = 1 , 2 。 定义1 2 3 称，是拓扑混合的，如果对x 的任何非空开集u ，y ，存在正整数， 使得对，”缈) n y f 2 j 对所有的n n 都成立。 设u ，v 为x 的非空开集，令 r ( v ，y ) = n e n l 厂“( u ) n v 乒彩) 定义1 2 4 称，是拓扑遍历的，如果对x 的非空开集u ，y 有 颐扭k 缈n o h 以堋 。 定义1 2 5 称厂是拓扑双重遍历的，如果，2 是拓扑遍历的。 1 3 几种混沌的定义 李天岩和他的导师y o r k e 于1 9 7 5 年在【1 】中给出如下l i - y o r k e 混沌的概念。 定义1 3 1 设( x ，d ) 是紧致度量空间，称连续映射厂：x x 是l i y o r k e 混沌的， 如果存在不可数集dc x ，使得对慨，ye d ，z 乒y ，有 ( 1 ) l i m i n f d ( f ”o ) ，厂“( y ) ) = 0 ； ( 2 ) l i m s u p d ( f “ ) ，厂“( y ) ) 0 。 而称d 是厂的l i y o r k e 混沌集，满足条件( 1 ) 和( 2 ) 的两点x ，y 称为混沌点对。 定义1 3 2 设( x ，d ) 是紧致的度量空间，称连续映射厂：x x 是分布混沌的， 如果存在不可数集dc x ，使得对v x ，y e d ，x 聋y ，有 6 一些特殊空间| ：的分布混沌性 ( 1 ) 了 o ，使得岛 ) = n m 。- i 。n f 砉善柏吣) ( 厂o ) ，( y ) ) ) = o ； n j _ 。 ( 2 ) x u j ：v t 0 ，f 习，o ) = l i m s u p 三西 ( 厂 ) ，f ( y ) ) ) = 1 。n - - p 0 0n俘。 其中新o 0 表示【0 ，f ) 上的特征函数，即当s 【0 ，f ) ，x o , o ( s ) = 1 否则蕊。，) ( s ) = 0 。 而称d 为厂的分布混沌集，满足条件( 1 ) 和( 2 ) 的两点z ，y 称为分布混沌点对。 文 5 把分布混沌限制在一个正整数序列上，得到了按序列分布混沌的定义。 定义1 3 3 设僻，d ) 是紧致的度量空间，仞； 为严格递增正整数无穷序列，称连 续映射厂：x 呻x 是按序列分布混沌的，如果存在不可数集dcx ，使得对 坛，y e d ，x y ，有 ( 1 ) 了 o ， 使得岛( ，仞， ) = 。l i 。r a 。i n f 砉荟讥，似( 厂 ) ，厂以( y ) ) ) i o ； _ 葺一i ( 2 ) 对于 o ，巧o ，仞t ) _ 。l i m 。s u p 寺荟撕， ( 厂 o ) ，厂儿( y ) ) ) ；1 。 月- ”j - 一i 而称d 为厂按序列仞，) 的分布混沌集，满足条件( 1 ) 和( 2 ) 的两点x ，y 称为按序列 分布混沌点对。 定义1 3 4 设僻，d ) 是紧致的度量空间，称连续映射厂：x x 是d e v a n e y 混沌 的，如果 ( 1 ) f 是拓扑传递的； ( 2 ) ，的周期点在x 中稠密； ( 3 ) ，具有对初值条件的敏感依赖性。 定义1 3 5 设伍，d ) 是紧致的度量空间，称连续映射厂：x x 为m a r t e l l i 一混沌 的，如果存在点x 。x ，使得 ( 1 ) o 。，厂) = x ； ( 2 ) o ( x 。) 相对于x 是不稳定的。 7 一些特殊窄间上的分布混沌性 定义1 3 6 设( x ，d ) 是紧致的度量空间，f ：x 呻x 连续，k 为x 的紧子集， 0 ，n 为正整数，称fc z 为k 的相对于厂的0 ，占) 一生成集，如果对 慨k ，3 y e f 使得 d 。o ，y ) = m a x p ( ， ) ，f ) ) if = 0 ，1 ，n 一1 ，s 。 令厶( 占，k ) 表示相对于厂的0 ，) 生成k 的子集的最小基数，则f 的拓扑熵定义为 ( ，) - - - - s u 。p 1 i m l i 翟p 寺1 。g ( ，k ) ，。 1 等式右边的k 取遍x 的所有紧子集。 系统的全部主要动力性态都集中在测度中心上，而弱几乎周期点集的闭包即 为测度中心，因而，在众回复性点集中，弱几乎周期点的定义显得十分重要。 定义1 3 7 x e x 称为厂的弱几乎周期点，如果对v f 0 存在一个正整数 n ， 0 ，使得对 0 ，静( ，70 ) y ，) ，0s ， ) n ，这里释( ) 表示 集合的基数，v ( x ，s ) 表示球形邻域。 ，的弱几乎周期点集合用形( 厂) 表示。 定义1 - 3 8 设省，厂) ，( y ，g ) 都是动力系统，如果存在同胚映射h ：x y 使得对 任何z x ，i i l ( ，o ) ) 一g o ) ) ，则称，与g 拓扑共轭，记作厂= g 称j i l 为从厂到 g 的拓扑共轭。 易知，拓扑共轭是一个等价关系。拓扑共轭的两个紧致系统有完全相同的动 力性状。 命题1 3 2 如果h 是从，到g 的拓扑共轭，则 ( 1 ) | z ( 么( ，) ) = 么( g ) ； ( 2 ) j i l 僻( 厂) ) = r ( g ) 定义1 3 9 设( x ，厂) ，( y ，g ) 都是动力系统，如果存在连续满射h ：x 呻y 使得对 任何x x ，| z ( 厂 ) ) = g ( 厅o ) ) ，则称厂与g 拓扑半共轭，称庇为从，到g 的拓扑 半共轭，厂叫作g 的扩充，g 叫作厂的因子。 8 一些特殊空问上的分布混沌性 在拓扑半共轭的应用中，更多的是通过已知的因子来研究未知的扩充。 命题1 3 1 设僻，厂) ，g ) 均为紧致系统。若h 是从，到g 的拓扑半共轭，则 符号动力系统在混沌动力系统领域中占有极其重要的地位，这是因为它作为 一个简单的数学模型却包含着几乎所有典型的复杂动力性态，并因此成为动力系 设s ； o ，1 ，= 缸= m i e s ，f = 0 , 1 , 2 ，。定义：p ：艺_ r ，对 坛，y ，其中x ；x 0 而，y y o y l ， f 0 觏= y ， 以卜协觏批其中k - - m i n 伽k 哦 不难验证p 是上的度量，( ，p ) 为紧致度量空间。称( ，p ) 为具有二个符号的 定义1 3 1 0 s 中，1 个符号的一个有限排列彳= 口o 口。称作s 上的一个长度为 在( ，p ) 上定义一个特殊映射如下：对任意的z = x o x 。x ：， 则是上的连续映射，称为单边符号空间上的转移自映射，故( ，仃) 是一个 命题1 3 2 在单边符号空间上存在不可数集r 满足 ( 2 ) o l r 是分布混沌的。 ( 3 ) 仃i r 有唯一的测度。 9 一些特殊空间上的分布混沌性 第二章一类集值离散动力系统的拓扑遍历性和混合性 众所周知，动力系统研究的核心问题是点的轨道的渐近性与拓扑结构。而空 间中的点作为整体运动状态，有时会更能反映整个系统的动力性质。因此拓扑混 合，拓扑传递和拓扑遍历性一直都是拓扑动力系统关注的对象。然而，由于在处 理数值模拟，吸引子，移民以及物种繁衍等问题时，仅仅知道单个个体( 空间中 的点) 如何变化是不够的。更需要了解某些群体( 空间中的子集) 的变化情况。 因此，对单值系统所诱导的集值系统的研究引起越来越多国内外学者的关注。这 种集值离散系统是由单值系统所诱导，是一类特殊的集值系统，它的动力形态完 全取决于诱导它的单值系统，而它的一些动力性态又不可避免地反映出单值系统 的某些动力性态，二者有着紧密的联系，所以集值离散系统作为单值系统动力系 统性态提供了一个新的途径，近年来国内外许多学者都取得了可喜的成果。 2 1 相关引理 引理2 1 1 设仁，厂) 是紧致系统，则厂：x _ 石是的极小的充分必要条件是对任 意x e x ， ，“( x ) l n 】= x 。 证明：见【8 】。 引理2 1 2 设，厂) 是紧致系统，则下列条件等价 ( 1 ) x e a ( f ) ： ( 2 ) x w ( x ，厂) 目0 4 x ，厂) 是极小集。 证明：见【9 】【1 0 】。 引理2 1 3 设( x ，) 是紧致系统，若厂是拓扑传递的，则，i 而是拓扑遍历的。 证明：设u ，v e a ( f ) ，u ，v 是非空开集，因为厂是拓扑传递的，于是存在，l 0 ， 使得，“) av d 。由条件知，存在xe a ( f ) n 厂”p ) n y，即有 xe vn a ( f ) ，厂”( x ) e u ，即u 是厂“o ) 的开邻域。又由，”的连续性知，对于 厂4 ) 的邻域【厂，存在x 的邻域dcy ，使得厂”( d ) cu ，o a 于xe a ( f ) ，故存 在l 0 ，使得 1 0 一些特殊卒问上的分布混沌性 ，舞f 伽f 厂“缈) n v 力】n 0 ，n l - 1 】 1 l l m - 一苫一 厶_*，lll 即厂l 而是拓扑遍历的。 引理2 1 4 设僻，厂) 是紧致系统，i y ) 是，的极小子系统，若厂i y 是拓扑弱 混合的，则，i y 是拓扑双重遍历的。 证明：首先证明，若( y ，i l y ) 是，的极小子系统，, 贝l j0 r x y ，厂厂i y 。y ) 是厂，的 极小子系统。根据引理2 1 1 ，只要证明对任意o ，y ) e yx y 有 叮厂) “( ，y ) ) = y x y 即可。设o ，y ) e yx y ，则 ，4 ( x ) nm n 一y ， 厂”( y ) k 卜；y ，故 y x y ； 厂4o ) k ，”( y ) ne n = 【厂“ ) k 】 厂“( y ) k 其次证明，对任意( z ，y ) e y x y 都有 ，y ) e a ( f ，) ，根据引理2 1 2 ，只要 证明o ，y ) 【 ，y ) ，厂厂】即可。因为，i y 是弱拓扑混合的，所以对于任何邻域 u x v 都存在n 0 ，使得( 厂厂) ”( t rxv ) n 缈x v ) 一乃，进而存在正整数无穷增加 序列仞； 使得 ! i m ( ，厂) n ( ，y ) ) ； ，y ) l 从而( 石，y ) ( ，y ) ，厂厂) ，由引理2 1 2 知0 ，y ) 彳( 厂厂) 。 最后证明厂i y 是双重遍历的，为此只要证明，l y 灯是遍历的即可。这可根 据上述所得和引理2 1 3 获证。 引理2 1 5 下列条件是等价的 ( 1 ) 厂是拓扑弱混合的； ( 2 ) ，是拓扑弱混合的； ( 3 ) 厂是拓扑传递的； 证明：见【1 1 】。 引理2 1 6 设僻，厂) 是紧致系统，则下列条件是等价的 一些特殊空间上的分布混沌性 ( 1 ) 是拓扑双重遍历的； ( 2 ) 对任意n 苫2 ，厅重c a r t e s i a n 乘积，“z ，厂，是拓扑遍历的： 都有厂“) n u 彩和，”) n y 一彩同时成立。 证明：见 1 2 1 。 命题2 2 1 设( ，p ) 是具有两个符号的单边符号空间，仃是上转移映射，则 存在一个极小集惑c a ( 们，使得仃1 3 是拓扑弱混合的。 证明：根据【1 3 】可构造一个不可数集s = ( 口，d ) ，口彳p ) ，惑c4 p ) 使得仃1 3 ( 1 ) ，是拓扑双重遍历的； ( 2 ) ，是拓扑双重遍历的； ( 3 ) f 是拓扑遍历的。 证明：( 1 ) 号( 2 ) 设u ，v 是k ( x ) 的两个任意非空开集，存在x 的非空开集 u 1 ，u 2 ，u ，k ，k ，使得b 。( u 。，u ，) cu ，b 2 似，k ) cv ，不妨设 置2 膳，点戛毫 昕宅s 慧三b 由厂的双重遍历性和引理2 1 6 知，厂的2 s 重c a r t e s i a n 积厂( 2 j ) 是遍历的。故有正 上密度集jc n ，使得对任意n j ，都有厂“( 只) nq 。g ，k = l 2 ，压。于 是存在x t 只，使得厂”( 坼) 姨。令e 一缸，z ：，z ，) ，f = 仁州，x 州，x 2 ，) ， 则cu ，fc v 。并且7 “但) = 厂”0 。) ，f ” ：) ，厂“ ：，) u ， 一些特殊守问上的分布混沌性 7 “伊) 一 厂“ 州) ，厂“ ：) ，厂2 “o ：，) 】y 进而7 “( u ) n u ，彩，7 4 ) n y 乒1 2 j ，由引理2 1 6 知，7 是拓扑双重遍历的。 ( 2 ) 专( 3 ) 显然。 ( 3 ) 号( 1 ) 任取非空开集u ，vcx ，因为7 是拓扑双重遍历的，所以 存在正上密度集，cn ，使得对任意，l j 都有7 ”( b 。，y ) ab ：缈) 乒彩。于是 有ee b 。缈，y ) 使得7 4 ( e ) e s ：缈) 。任取工nu ，ye eov ，则厂“ ) ， 厂“( y ) 7 “但) cu 。从而厂”) g ，且厂“缈) nu 乃。由引理2 1 6 知，厂是 拓扑双重遍历的。 。 定理2 3 1 设( ，p ) 是具有二个符号的符号空间，o r 是上的转移映射，则存 在一个极小集sc 。由( s ，o r 3 ) 所诱导的集值离散系统( k ( 惑) ，盯) 的集值映射 具有下列性质 ( p 1 ) 孑是拓扑传递的。 ( p 2 ) 孑是拓扑弱混合的。 ( p 3 ) 孑是拓扑遍历的。 ( p 4 ) 孑是拓扑双重遍历的。 定理4 3 1 的证明： 根据命题2 2 1 知单边符号空间( ，p ) 的转移映射o r ，存在一极小集c a ( 仃) ， 使得仃1 3 是拓扑弱混合的。再根据引理2 1 5 知，仃i 置。9 ) 是弱拓扑混合的和拓扑 传递的。又根据引理2 1 4 知，o l x ( 9 ) 是拓扑双重遍历的。再根据命题2 2 2 知， 仃l k 。3 ) 是拓扑双重遍历的和拓扑遍历的。证毕。 第三章b a n a c h 空间上的几乎周期性和分布混沌 3 1 相关定义与引理 这罩我们研究b a n a c h 空间上f r e c h e t 连续可微映射的性质。为方便，记 b a n a c h 空间( x ，| j i | ) 中以z 为中心的闭球和开球分别为 可( z ) = xe x ：忙- z l is ， ，b r ( z ) = 缸x ：忙一z l i ， 1 3 一些特殊空间上的分布混沌性 设l ：x _ x 为线性映射，并记 i 陋| i o = i n f 陋l i ：z x ，忙0 = 1 。 定义3 1 1 如果线性映射l ：x x 具有有界线性逆映射，则称为可逆线性映 射。 定义3 1 2 设( x ，d ) 为度量空间，f ：x _ x 为映射。( 见【1 4 】的定义2 1 2 6 ) ( 1 ) 称点z x 为，在b ，( z ) 上的一个扩张不动点，其中， 0 为某常数，如 果f ( z ) iz 且存在常数a 1 ，使得 d ( f o ) ，厂( y ) ) 苫a d ，y ) ，v x ，y b ，( z ) ， 其中b ，0 ) = 缸x ：d ( x ，z ) s ，) 是以z 为中心的闭球，常数a 称为厂在曰，g ) 上的 一个扩张系数。进一步，如果z 是厂限0 ) ) 的内点，则称z 为厂在b ，0 ) 上的正则 扩张不动点。 ( 2 ) 假设z e x 是，的一个正则扩张不动点。设u 是z 的满足下述条件的最大 开领域：对每一点x s u ( x z ) ，存在正整数k 1 ，使得f k ) 圣u 并且对每一点 x e u ( x z ) ，厂“o ) 在u 内有唯一定义且当甩一时，”o ) 呻z 。u 称为厂 在点z 的局部不稳定集，并记为毗( z ) 。 ( 3 ) 假设z e x 是，的一个正则扩张不动点。如果x 哦( z ) o 乒z ) ，且存在 n 1 ，使得，“o ) = z ，则称x ex 是关于z 的一个同宿点。如果对同宿轨道上的 每一点z 。均存在正整数，l 与地，使得 d ( 厂 ) ，厂( y ) ) l u , d ( x ，y ) ， v x ，y b 10 。) ， 则称x 的同宿轨道( 由同宿点x ，向后轨道 ，- j ( x ，m o o 及向前轨道 厂0 ) ”：构成) 是非退化的。如果对轨道上每一点，存在正整数厂2 ，使得对每一个正常数 ，sr 2 ，f ( x 。) 是f ( b ) ) 的内点，则称同宿轨道为正则的。 引理3 1 1 设( x ，i | i | ) 是b a n a c h 空间，映射，：x 呻x 有一不动点z x ，假设 1 4 一些特殊空间上的分布混沌性 ( 1 ) f 在z 的某邻域内f r e c h e t 连续可微，巧( z ) 是可逆线性映射，且满足 i 阿( z ) 旷 1 ； ( 2 ) ，存在关于z 的同宿轨道r ，在r 上任一点x 的某邻域内连续可微， 巧o ) 是可逆线性映射，而且满足 憎删。 0 ， 则对z 的每一个邻域u ，存在正整数行和一个c a n t o r 集人cu ，使得，”：人呻a 与符号动力系统o r ：；_ ；拓扑共轭。 。 证明：见 1 6 1 。 引理3 1 2 令x 是带有d 的紧致度量空间，：x 呻x 是连续映射，且 0 ， 则厂是分布混沌的当且仅当厂是分布混沌的。 证明：见【1 7 】。 3 2 王要定理和证明 定理3 2 1 设( x ，l i 1 1 ) 是b a n a c h 空间，映射，：x 呻x 有一不动点z x ，假设 ( 1 ) ，在z 的某邻域内f r e c h e t 连续可微，d 厂q ) 是可逆线性映射，且满足 0 0 f ( z ) 卜1 ； ( 2 ) ，存在关于z 的同宿轨道r ，在r 上任一点x 的某邻域内连续可微， 巧o ) 是可逆线性映射，而且满足 l i o f 0 ， 则厂有不可数的分布混沌集且在混沌集中的每个点都是几乎周期的。 证明：由引理3 1 1 ，存在同胚h ：人_ 和正整数，l 使得对任意x e a ho 厂4 0 ) = o ro h ( x ) 这里acx 是康托集，为了方便，设g = ，”。通过命题1 3 2 ，存在不可数分布 混沌集fca ( o r ) 具有惟一的遍历测度u 。对yef ，由引理1 3 1 ，存在x a ( g ) 1 s 一些特殊空间上的分布混沌性 使得h ( x ) = y 。令 d - - x ix 彳( g ) ，办 ) = y a n d y n 于是dc 人且d 是不可数集。为了完成这个证明，需要证明出d 是对g 的分布混 沌集。 首先，我们证明出对任意而，z ：e a ，如果对某个t ，f p ，h ( x 。) ，h ( x ：) ，t ) = 0 ， 那么对某个s 0 ，f ( g ，x 1 ，z 2 ，s ) = 0 。因为g = 厂4 ，ng ：人_ a ，仃：_ 是 连续映射。对给定的t 0 ，由h 的一致连续性，存在s 0 使得对任意p ，q e a ， 若i k 一训 s 则j d q 0 ) ， ) ) f 。我们可以容易看出j l l 。g 一仃。h ，则可有如果 p ( g o 。) ，g o ：” 0 ，f ( g ，z 。，z ：，t ) ；1 。因为办是同胚，h - 1 ：_ 人是连续满射。由前 面的证明，我们有 邑p ，h ( x 1 ) ，h ( x 2 ) ，s ) s ( g ，x 1 ，工2 ，f ) 这也就是说 f + ( g ，z 1 ，z 2 ，t ) = 1 ( 3 2 ) 由( 3 1 ) ，( 3 2 ) 和x 。，x ：的任意性，我们可推断出d 是对g 的不可数分布混 沌集。因此，厂”是分布混沌的。 由引理1 3 2 和a ( f ”) = a ( f ) ，我们证明出厂有在a ( f ) 中的不可数分布混沌 1 6 一些特殊空间上的分布混沌性 集d 。 证明完毕。 第四章c m l 系统中的按序列分布混沌 4 1c m l 系统介绍 在c m l 系统( 见【1 8 】) 中 山一1 - ) ，帆，。) + 0 5 s ，川) + f ( x m 州) ) ( 4 1 ) 其中朋o - t o ，1 2 ，) ，n e z - t ，一1 , 0 ，1 ，) ，占【o ，1 】为常数，且，：尺呻r 是个 函数。 令 ff f i t ，t + 1 ) ， 。这里整数te z ，记 q = ( o ，n ) l n z = ，( o ，- 1 ) ，( o ，o ) ，( o ，1 ) ，) 。 对定义在上的任何序列妒； 丸。 ，易构造一个双向序列 z - ( x 。一m s 0 , 1 , 2 ，刀一，一1 , o ，1 ，) 。它等价于q 上的初始条件，并且在。r 上满足系统( 4 1 ) 。实际上，由( 4 1 ) 可知，对任意n e z ，利用初始条件妒，可以对 任意m 1 ，都可计算出序列z 。= x m , n 汪。= ( 一，z 枷，1 。，工。，1 ) 。由此，对任何 所l ，都可以计算出戈。= ( x m , n 垃。，以此得到满足系统( 4 1 ) 的序列 z = k 讲m = 0 , 1 , 2 ，甩；，一1 , o ，1 ，) 称为由初始条件得到的系统( 4 1 ) 的解。 设尺：为一维实序列集，即尺：= 0 。囊一。一( ，口小口。，口，i a 。尺，l z ) 。 显然可以在聪上定义若干不同的度量，例如，对任意两个序 列，一= x l , n 囊一。，z ：= x 2 , n ) 尺：可以定义 盔吣：，：妻畦掣 2 ， d ：“，= n s m u - - p 。o x 2 ) 仙一一吃一：n - - - - ，- - 2 ，一1 , 0 ，墟) ( 4 3 ) 容易证明d 。，d ：是尺：上的两个度量，且似：，d 。) 和( 尺：，d ：) 是完备的度量空 间，当然d 。不等价于d ，。 1 7 一些特殊空间卜的分布混沌性 设，为r 上一个子集，令，：= ( 口。汪。一( 一，口中口。，口1 ，k 。，ne z 。显然 ( e ，d ) 也是度量空间，且( e ，d ) 是( ，d ) 的度量子空间。 令，：j - - , , i 为一个函数，且z = g 。me n o , n z ) 为初始条件 妒= 丸= 九讲) ：。t j 黝( 4 1 ) 的一个解，这里对任意_ ，l z ，九，。记 x 。= b 。一) = ( ，z 。，一，x 。，。，z 。，。，) ，对v 籼= 0 , 1 , 2 ， 设x 。+ 。一( 一，x m + l - 1 + l 。，x 。+ 。，。，) = f o 。) ( 4 4 ) 当m e n o ，i 驴= 缸o 。) 二一。且： + l 。；( 1 一s ) ，。) + 0 5 e f ，。一1 ) + 厂一+ 。) ) ，m e n o ，n 6 f z 那么，可得系统( 4 1 ) 等价于 + 1 ；f 饥) ，j ：尺三，m o ，1 , 2 ， ( 4 5 ) 系统( 4 5 ) 中的映射被称为由系统( 4 1 ) 或系统( 4 1 ) 中的函数厂诱导的，且 ( 厂，f ) 是系统( 4 1 ) 与系统( 4 5 ) 中的一对相伴映射。显然，双向序列 g 。一i m e n o , n z ) 为系统( 4 1 ) 的解，当且仅当g 。一 m e n 。，咒z ) 为系统( 4 5 ) 的解。 4 2 基本定义和引理 定义4 2 1设，为r 上子集，厂：，_ ，上函数，且( e ，d ) 为度量空间，令 f ：e _ e 为( e ，d ) 上由系统( 4 1 ) 的诱导映射。若映射f 在e 上混沌的，即系 统( 4 5 ) 在( e ，d ) 上混沌的，则系统( 4 1 ) 在( e ，d ) 混沌的。特别地，若f 在( e ，d ) 上是按序列分布混沌的，则系统( 4 1 ) 称为在( e ，d ) 上是按序列分布混沌的。 引理4 2 1 设厂是，= o ，1 】上的连续函数。厂是l i y o r k e 混沌的当且仅当存在序 列 仇】，p 。_ 0 0 ，使得厂是按序列仞。) 分布混沌的。 证明：见【1 9 】。 引理4 2 2 设，是，= 0 ，1 上的连续函数。若厂有正拓扑熵，则厂是有不可数分 1 8 一些特殊空间卜的分布混沌性 布混沌集r ，且丁ca f t ) 。 证明：见 2 0 l 。 4 3 主要定理和证明 定理4 3 1 设m e o ，n f f z ，cr ，：，呻，是连续函数，f ：e 呻e 是由 系统( 4 1 ) 中的函数，诱导的映射。若函数厂是l i - y o r k e 混沌的，则系统( 4 1 ) 是在( e ，d 1 ) 和( e ，d ：) 上按序列分布混沌的，这里盔由( 4 2 ) 定义的度量，d ：是 由( 4 3 ) 定义的度量。 定理4 3 2 设m e o ，n e z ，cr ，厂：，呻，是连续函数，f ：j ：一e 是由 系统( 4 1 ) 中的函数，诱导的映射。若函数，有正拓扑熵，则系统( 4 1 ) 有不 可数的分布混沌集且在混沌集中的每个点都是几乎周期的。 定理4 3 1 的证明：由引理4 2 1 ，函数，是l i - y o r k e 混沌的，则函数厂是按序列 ) 分布混沌的。 在给定的定义下，存在不可数子集d i 使得对v x ，y e d ，x y ，有 ( 1 ) j 6 o ， 使得岛 ) = 1 1 凹f 吉荟所。棚 ( ，啊 ) ，厂啊( ) ，) ) ) = o ； _ 卅 ( 2 ) 对于 o ，f 掣o ) ；1 1 罢詈p 去z m ) ( ，砷 ) ，竹( y ) ) ) i 1 n - ，l 篇。 定义子集ec ，：如下：e 。缸。口) n m 一