（基础数学专业论文）banach空间及商空间的单位球面覆盖性质.pdf

摘要 2 0 0 6 年c h e n g 1 提出了用一族不包含原点的球去覆盖b a n a c h 空间的单位球 球面，使得该空间的许多性质得到很好的刻画。例如：n 维b a n a c h 空间x 的单 位球面s x 可被2 ，1 个不含原点的闭球对称覆盖；光滑的n 维巴拿赫空间x 的单位 球面s r 可被n + 1 个不含原点的单位球覆盖；每个对称覆盖至少含有知个闭球； 单位球面可以被可数个不含原点的半径小于1 的球覆盖的b a n a c h 空间都是可分 的：球覆盖性质不是同胚不变的，以及g d s 特征，一致非方空间特征等等。 本文在此基础上，进一步阐明了如果其对偶单位球瞰的所有w 暴露点组 成的集合e 不完全包含于r 的有限多超平面，则可被n + 1 个球覆盖；每一个 无限维b a n a c h 空间可重新赋范以使其有一个具有球覆盖性质的无限维商空间， b a n a c h 空间x 有一个无限维可分商空间的充要条件是x 有一个有无限维商空间 的单位球面能被可数个半径 ，v y d ) ) ，工d 定义2 2d 上一个广义实值真函数厂，如果觇，) ，do 2 ，v ，d ，y x ， 则称工为d 的暴露点。 定义2 4 如果x d 且存在x * ex 、 0 l ，使得 最l 枷在d 上形成x 的局部基( 按 范数) 供中= s ( c ，x ，功) ，此时，我们称，是d 的一个强暴露泛函且在点工 处强暴露d ，点工x 被称为是某个非空闭凸集d cx 的强暴露点。 定义2 5 设c 是r 中的w * - 闭凸集，且点，c 被x ex 强暴露，则称，是c 的m 广强暴露点。 定义2 6 设 而，x a ，l 毛lcx ，若 j c l 一而，x 2 - x o , l ，x - x o 线性无关，称 a - c o x o ，x a ，l ，毛 为nl 单形。 定义2 7 若一个空间x 的单位球面& 能被一列不含原点的球覆盖，则称x 具有 球覆盖性质。 定义2 8 x 为b a n a c h 空间，若 ，五声岛，i ，j f nl j o 使得口0 x l l - 纠i 工l 巨0 x l i ，称a 为赋范集。 定义3 2 端点的定义：设a 是实线性空间x 的凸集，e 是a 的子集，若工，y ea ， z = 红+ ( 1 一t ) y ，对某个o o ，在x 上存在一个等 价范数i 1 ，使得 i ) i 圈i | 阵( 1 + ) 1 1 i i ) s ( x 1 1 ) 能够被n + 1 个单位球覆盖。 有了这些预备知识，下面就可以开始论文了。 第三章非光滑的以维空间 的单位球面的球覆盖性质 在【1 】中有定理：若巴拿赫空间x 是光滑的，d i m x = n ，则单位球面可被 ，+ 1 个不含原点的单位球覆盖。进一步延拓可得下面的定理。 定理3 1 x 是刀维巴拿赫空间，若所有的或。的w 。暴露点组成的集合 e 不完全包含于x 的有限多超平面，那么可被n + 1 个球覆盖。 证明：由【l 】中的引理2 1 知b x 。包含有至少2 疗个暴露点 i ，) 使得 b 兰 i ，式) ，包含在bx 内，0e i n tb 。 对于每一个( q ，吒) - 1 ，1 ) ” a ( c r , ，吒) 为 q i ，) 的仿射包 那么彳( q ，) 是一个不包含原点的超平面。 h ，。e x 使得么( q ，吒) = x x ： = 1 ) ， h ( o - l ，) = f f 1 ) 那么，b = n 日( 吼，o - , ) ：( q ，吒) - 1 ，l ” 。e 不完全包含于x 的有限多超平面。 选取e u 么( q ，吒) u 彳( q ，q l 0 ，q + i ，吒) ：q + 1 ) ，i = 1 ，甩) b 是一个吸收集，其边界为： u c ( 吼，q ) ：( 吼，吒) 一1 ，1 ) ” c ( q 吒声o ( 吼x ：吒x ：) ，0 o ，o i 令哆= 击i = o , 1 , - - , n 言睁击喜枷。 七是x 的良序集，由定理1 4 知，在s x 中存在时1 个点 t ) 使得 ti i ，= # ，i = 0 ，1 ，刀，岛= b ( a ，j - j 一) ，i = 0 ，1 ，刀，_ ， s 工u 岛：o 0 存在魂嘎毫 x x ： = o 使得y = a x k + 吃 若y 哦，j n ，则： j - j q 马ii x , - yi mj ( _ ，一口) 五一魄i i 可得：丫t 岐塑掣一口，：士，：2 ，3 f j 一口 当专时，有oq i 1 1 ( 魂) 一口= 一口= - - 0 c 矛盾，由 岛 的单调不 减性可以得出被时1 个球覆盖。 6 第四章商空间的单位球面覆盖性质 b a n a c h 空间理论的一个长期著名的问题是，是否每一个无限维空间都有一 个无限维可分商空间呢? 本文证明了每一个元像维b a n a c h 空间都可以重新赋范 以使其有一个无限维商空间具有球覆盖性质，即设( x ，i ) 是一个亮馕维b a n a c h 空间，则对v g 0 ，在x 上存在一个等价范数i i 和一个闭子空间y 使得 i ) i ，俐i i - - - ( 1 + 占) l - i ； i i ) x y 具有球覆盖性质；因此 i i i ) x 具有可分的无限维商空间，等价于该空间存在一个具有球覆盖性质的 无限维商空间x i y ，且其球覆盖的半径小于1 ；特别地，无限维自反空间有一 个无限维可分商空间。 引理4 1 x 为巴拿赫空间，v s o ， 瓴，z ) 三为一个正规化的双正交系统， 系统常数k l + c 则存在一个等价范数| | ，使得 i ) ( 1 + s ) 一1i x i 马i x f | ( 1 + 占) l x i ，x x i i ) i 毛i = l 爿x j l f ，歹，i , j m i i i ) 1 | 对 薯) 刍f r 6 c h e t 可微，f r 6 c h e t 导数，l 毛ik # i v ) l 夕i = ( 1 + 占) 一i l y l l ，少【 巧) 名l 】t 釜y = z x ： = o ， 歹= 1 ，2 ，m 。 证明：c 为 ) ：。的w 一闭凸包。 令d = ( 1 + 占) b r ( 这里b z ，是x 毒的单位闭球，对偶范数 1 ) b = 历”( c u d ) 范数i 1 ：x r l x l = s 1 j p 。e 矿 x x i ) 和i i ) 显然 7 i i i ) 充分性 由定理1 4 ：每一个_ ，n ，j m ，彳是的w 一强暴露点，且_ 是w 幸一强 暴露。 历”( c u d ) = c o ( c u d ) = 见c + ( 1 2 ) d ：c c ，d d ，五 o ，l 】) c 和是凸w 一紧集。 = 以+ ( 1 一五) b 。 使得 专 = 1 则 = + ( 1 一五) 以 0 ，在x 上存在一个等价范数| i 且有x 的一个闭子空间yd i mx 肛使得 i ) ( 1 + s ) 一i x i 马j x i i ( 1 + 占) i x ix x i i ) 商空间x y 具有球覆盖性质。 证明：不妨设x 是不可分的，x 具有球覆盖性质。 给定的任意可分的无限维闭子空间x 0cx ，v s ，0 0f u n d a m e n t a l a n dt o t a l b i o r t h o g o n a l s e q u e n c e s b o u n d e d b y l + e ， s t u d i a m a t h 5 5 ( 1 9 7 6 ) ，2 9 5 3 0 4 1 2 w e nx u a ns h e n ，i n t r o d u c t i o nt os i m p l e xt h e o r y ( i nc h i n e s e ) ，h u n a nu n i v e r s i t y p r e s s 2 0 0 0 致谢 三年来，程立新教授言传身教，在学业和生活等方面，给予了我 许多关心，支持和帮助，使我得以顺利完成学业他渊博的知识， 开阔的思维，严谨的治学态度，宽容、平易近人的为人让我在学业 和生活上获益匪浅他传授给我的