（基础数学专业论文）对一类非线性项带梯度的椭圆方程解的存在性的讨论.pdf

云南师范大学硕士毕业论文 摘要 本文主要研究非线性项带有梯度的拟线性椭圆方程 ， i 一p 札= ，( z ，让，v u ) z f 2 i “= 0 “l a n 正解的存在性，得到一些正解的存在性定理，其中q 为r 中的有 界、光滑区域， - a p ( 乱) = - d i v ( 1 铲u i ”2 v 扎) ， ，：豆r r n + r 是局部李普希兹连续的特别是第三节中的结 果即使在半线性情形下也是新的 关键词：临界点，山路定理，渐近线性，超线性 云南师范大学硕士毕业论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r jw er e s e a r c ht h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s f o rq u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s 越9 ：第 z q u o n - a n ds o m en e we x i s t e n c et h e o r e m sa r eo b t a i n e d w h e r eqcr i s ab o u n d e dd o m a i nw i t hs m o o t hb o u n d a r y ， 一p ( u )= 一d i v ( 1 v u l p 一2 v u 、 f ：瓦r r _ ri sl o c a l l yl i p s c h i t zc o n t i n u o u sa n di s s p e c i a l l y , t h er e s u l t si ns e c t i o nt h r e ea r en e we v e ni ff o rt h ec a s e o fs e m i l i n e a r k e yw o r d s ：c r i t i c a lp o i n t ，m o u t a i np a s st h e o r e m ，a s y m t o t i c a l l y l i n e a r j s u p p e r l i n e a r i i 独创性声明 y 1 7 4ii4 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做 出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本 声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：同装布 赢年f 月苟日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权云南师范大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文。 学位论文作者签名： 年月日 指导教师签名：望砩 珈舌年j 月2 ，日7 云南师范大学硕士毕业论文 1 引言 我们讨论如下的p - l a p l a c e ( p 2 ) 方程 一9 ：三。 孤v 珏x ： 三鑫 c tz ， 其中q 为r 中的有界、光滑区域， 一口( u ) 一d i v ( i v u l p - 2 v u ) 。 我们席p 4 袭示s o b o l e v 沼界指数，露 - 31 0 和p ( 1 ，硒n + 2 ) 使得 l ，( z ，t ，) i 0 1 ( 1 + l t l ) 比豆，t r ，er 1 ； ( ，3 ) 存在常数秽 2 和t o 0 使得 0 0 使得 f ( z ，t ，) a 2 1 t l 毋一0 3 ，比e 豆，t l t o ，r 1 ( ) 函数，满足以下李普希兹条件 f ( x ，t ，) 一，( z ，t ”，f ) f l l t 7 一t ”1 v z 豆，t 7 ，t ” 0 ，p 1 ，i 引冬p 2 ，( z ，t ，7 ) 一，( z ，t ，”) is 2 f 7 一”l ，v z 孬，t 0 ，p 1 ，i l7 ，i ”l p 2 并且得到如下结论： 定理1 1 如果条件( ，0 ) 一( ，5 ) 成立且a 1 l l + a l 2 0 和p ( 1 j 倦) 使得 i ，( z ，t ，) i a t ( 1 + i t i ) ( 1 + i i ) ，b k 豆，t r ，f r ， 并得到如下的结果： 云南师范大学硕士毕业论文 3 定理1 2 如果条件( ，0 ) ，( ) ，以) ，( ，3 ) 和( ，5 ) 成立且a i l l 。+ a i l 2 0 ，1 p r a i n 硒n + 2 ，n - 2 一( 2 a ( + 时1 ) 1 4 - ) 2 cj 、，r ( o ，1 ) 使得 l f ( x ，t ，) l a l ( 1 + 1 t l p ) ( 1 + l 引) v x 豆，t r ，r ， 并得到了如下的结果： 定理1 3 设q 是c ，一区域，假设或者有0 o 1 。此外假若( 矗) ，( ，1 ) ，( 彤) ，( ，3 ) ( ，5 ) 成立且 = 生+ _ 兰! 1 ， s ( q 忍c ) 1 、唇瓦百琢= 顼一 则方程( 1 2 ) 在w 二( q ，q 8 ) 中有一个正解和一个负解，其中 s ( q ，。，c ) = i n f ( q 。，。( ) ：盯讳0 2 ( q ， z l 一2 8 ) ，可o ) ， 叫归揣繇，”耐2 ( 叫“加舢。 丁n - 2 注1 2 为了叙述的方便，我们将( 2 】、( 3 】中的条件和结论叙述照 原意作了轻微的调整；同时，也为了保持原文献的意思，我们对原 文中存在的一些问题未进行更正，而在此以评注的方式指出。 云南师范大学硕士毕业论文 4 注1 3 文献【1 、 2 】中的条件( 厶) 、( ，4 ) 是相容的，事实上，( ，3 ) 蕴含了( ，4 ) 。由文献 3 】叙述的时指出了这一点。 注1 4 文献【1 】定理2 ( 即定理1 1 ) 中的条件a i l 。+ a ；l 2 0 使得 0 0 使得比豆，当t 7 ，t ” 0 ，p z ，蚓p 2 时，有 l ，( z ，i f , ) 一，( z ，) l l ，。i t 7 一 一1 ， 当t 0 ，p l 】，俐，i p ：时，有 l ，( z ，t ，7 ) 一，( z ，t ，”) l ，：7 一”i ，一1 ， 则称f ( x ，t ，) 分别关于t 和满足具有指数为p 一1 的局部h o l d e r 条 件 以下将空间p ( q ) 的范数记为1 1 ，记f ( z ，t ，) = 菇，( z ，s ，) d s ，则 对每任意取定的w w i ，9 ( q ) ，方程 一：三参z ，札，v 加l 二二q c - t ，。 有相应的能量泛函为 l ( “) = ；上l v “i 出一上f ( z ，t ，v 鲫) 出 ( 2 1 ) 云南师范大学硕士毕业论文 一6 并且有l c 1 ( 删”，r ) ， ( 圪( u ) ，h ) = f a i v u l v - 2 v u v h d x - z , u , v w ) 出v u ，h 埘”- ( 2 2 ) 我们求方程( 1 1 ) 。的一个弱解，也就是求泛函l ( u ) 在懈。中 的临界点喇( q ) 中的范数记为 n u l l ，= ( i v “i ，d z ) ；d z j n 下面的命题出自文献【9 】 命题2 1 当p 之2 时，存在常数c p 0 使得讹， 孵) ，有 ( v u l p 2 v u i v 1 9 2 v v ) ( v u v v ) d x c p l l u 一 f 曙 j n 我们记a 。，为如下特征值问题 卜掣气# z q u i a o 的第一特征值，其中，q ( z ) l 。则a o , a = i n f f n l v u l 9 d x ： u 孵，( q ) ，f q q ( z ) l u l ，d z = l 且a 可由某个满足正q ( z ) l 妒a l d x = 1 的 妒a 0 达到( 见【6 】) 屯 p 、，p m 叭 = = 仳 让 题 问 一 直f i 征特 是 a 记 云南师范大学硕士毕业论文7 3 没有( a r ) 类条件的方程( 1 1 ) p 解的存在性定理 在没有( a r ) 类条件下，我们需要以下条件： ( 凰) ，c ( 豆r r 1 ；兄) ，对所有的z 豆和r v 有f ( x ，o ，f ) ； 0 ，且当t 0 时， f ( x ，t ，f ) ( ) o ；当t 0 时， f ( x ，t ，f ) i0 ( 吼) ；觋等掣= p ( z ) 对几乎所有的z q 和r 一致地成 立，且 一豫，丛掣。q ( z ) o t pt 一十o 。一+ o 。 一l7 对几乎所有的z q 一致地成立，其中，0sp ( z ) ，g ( z ) l o 。( q ) 且 俐j 。，i q l l 。 a 1 ，p 另外，我们还需要下面的引理，它是【5 中的定理- 引理3 1 设e 是一个实的b a n a c h 空间，c i ( e ，r ) 且 m 。z ) ，m 1 ) 。 p 定义 r = 7 c ( 【0 ，1 】，e ) ：，y ( o ) = o ，7 ( 1 ) 2 札1 ) ，c27 i n 。f ，m 。a x 。j i ( 7 ( 7 _ ) ) 则c 之卢，且存在序列 牡。) ce ，使得l i m ，( 扎。) = c 卢且l i m ( 1 + n n o o i l u 。i i ) 1 1 1 7 ( 让。) l i e = 0 本节主要结果如下： 定理3 1 如果条件( 凰) 和( 凰) 成立且a 0 使得对所有的( t ，) r 兄，有不等式： i 紫i m 眦z q ( 剐 f ，t ，) 曼；( 怕l l o 。+ e ) 护+ a z t 矿 a e z q ( r 。) f ( z ，t ，) ；( 1 l q t 。+ e ) 矿+ a 。t 。，e z q ( r 。) 证明：由条件( 凰) 可知：对任意的 0 ，存在5 = 5 0 和充分 大的m 6 ，使当6 时，有 ( x ，t ，) ( | | p i i 。+ ) l t l 9 1a , e z q ， 当t m 且m 时，有 ( x ，t ，) ( 1 1 9 1 l o 。+ e ) t 9 1 a e x q 再由f c ( 豆r r n ；r ) 知，存在正数b ，使当6 sm ，m 时，有 i f ( x ，t ，) 1 b ( r ，) 由上面的三个不等式不难得到 为得到( n 2 ) ，对第二个和第三个不等式作进一步的估计如下： i ( x , t , ) + 洲= 川m ，2 ip 篇一l l m ，t ，淝6 = 孵b 咿一1 再b 旷一1 因此有 i ( x ，) i ( i 旧i i o 。- t - ) l t i p 一1 + m 3 l t l p 一1 ， v ( t ，) r r ， 口e z q ， 云南师范大学硕士毕业论文9 其中，尬2 茄+ 南 0 由上式在f 0 ，t 上积分可得( 而) 为得到( r 。) ，则须对第一个不等式作进一步的估计如下： l ( x ，t ，) l ( 1 1 p 1 1 。+ s ) l t l 9 1s ( 1 l p l l o 。+ e ) 护一1 因此有 1 ，( z ，t ，) i ( 1 i q l i o 。+ ) 9 1 + 矗， v ( t ，f ) r r ，口e x q ， 其中，m 4 = ( 恻i o 。+ e ) 6 叫+ b 0 由上式在【o ， 上积分可得( 岛) 引理3 3 若条件( 且) 和( 凰) 成立，则有： ( a ) 存在p ，卢 0 ，使得对所有的u w d 9 ( q ) 当i l u l l ，= p 时，有 l ( u ) 卢 ( b ) 若a 0 使得当州j ，= p 时，l ( 乱) p 为某正常数) 从而( a ) 得证 下面再证( b ) ，因为a 0 使得t o l l 蛳| | p 且毛m ) 0 为常数注意到i l q l 。+ 1 ，则由上式不 难得到i | u 。i i ，q 于是，由【7 中引理7 2 2 的处理方法可证 “。) 在 喇9 ( q ) 有收敛子列收敛于“。 显然，“。为方程( 1 1 ) 舭的一个解而由弱极大值原理，我们知 道u 。 0 ，i e 札。是问题( 1 1 ) 。的一个正解 现在来证存在正数c - ，c 2 使得v w w j ，( q ) 、方程( 1 ，1 ) 。的解u 。 满足c 1 l l u 。| | c 2 先证i i u 。i i c i 事实上，由u 。为程( 1 1 ) 。的解，从而有 i l u u i i ；= ，( 。，札。( z ) ，v w ) u 。d x 由( r 。) 的证明估计上式得 (1一擎)瞻g謦a1 ，p 注意到p + p ，从而有i i u 。| | c 。且c 。 0 与w 无关 再证u i i c 。由c 的定义可知l ( u w ) 糟l ( t ) 由于 些l ( m ) = 一o 。关于w 眦。( q ) 一致地成立，知存在一个常数 k 0 使当t 时，有l ( t m ) 0 使得 l ( u ) 1 甚警l ( 妒 ) m 故剀u 忙一矗f ( x ，“。，v w ) d x s m 从而类似于证u 。的有界性有： 扣洲；上即胁，v 州蚪m 炒警i i 吣+ v i i 。i i ，+ m p a l ，p 。 因而由掣警 0 与w 无关，使得i l u 。i i ，sc 2 , 云南师范大学硕士毕业论文 1 2 我们构造一个序列 1 2 。c 喇。( q ) 作为方程 一荔三：为u m v 札n - 1 ) ：i 三q c - ，。 在定理3 1 中由山路定理得到的解，其中“o 螂，( f 2 ) n c ，( 孬) 任意取 定使用( 1 1 ) 。及( 1 1 ) 。+ l j 我们可以得到 v u n + 1 1 p - 2 v u 。+ i ( v u n + 1 一v u 。) d x = ，( z ，札蚪l ，v u 。) ( u 1 一u 。) d x j n j n 弄口 v u 。i p - 2 v u 。( v 札州一v u 。) 如= ，( z ，让。，v u n _ 1 ) ( u n + 1 一z t n ) d z n j n 并且进一步可得 ( 1 v u n + 1 i p - 2 v u 。+ 1 一| v 札。1 9 2 v u 。) ( v u 。+ 1 一v u 。) d x j n = 上m ，u 州，v ( u n + 1 - - u n ) 出一上，( x , 1 z n , r u n _ 1 ( u n + l - - l t n ) 拙j nn 于是由命题2 1 可得 c p l l u 。+ 1 一u 。l | ； ，( z ，扎。+ 1 ，v u 。) 一，( z ，u 。，v u 。) ( u 。+ 1 一u 。) 出 j n + 【，( z ，u 。，v u 。) 一，( 。，u 。，v u 。一1 ) ( 让。+ l 一札。) d z j n 因非线性项，满足具有指数为p 一1 的局部h o l d e r 条件，使用s o b o l e v c p i l u n + l - - u n 临厶，fl u n + l - u 。1 9 出+ l p 2 上i v 让。一v u 。一p 1t z n + - - a n l 出 l p l a i ；i i 让。+ 1 一u 。i 懵+ l p ：a l , p i l u 。+ 1 一“。| | p i i 让。一u n - 1 i l ；一1 云南师范大学硕士毕业论文 1 3 变形后可得 ，喵旷茎蕊l p 2 a i p _ ；1 u , n - - z t n _ 1 旧 由于三，a 舀+ l ，。a 0 0 ，b 1 0 和p 一1 0 使得 0 0 使碍 f ( z ，t ，莓) a 2 d b 2 ，v x 孬，i t t o ，r 注4 2 由) ，和注3 1 知秽口+ 1 ( 见 7 ) 本节的主要结果如下 定理4 1 如果条件( s o ) ，一( 厶) ，成立，则存在正常数c - 和c 2 ，使得 对每个伽明( q ) ，方程( 1 1 ) 。有一个正解z t 。满足c 。| l “。l l c 。 定理4 2 在定理4 1 的条件下，若非线性顶，( z ，t ，) 关于t ，还分 别满足具有指数为p - 1 的局部h o l d e r 条件且a 东0 ，+ c l p 2 p 一1 ，因而有结论成立 第二步，证明v u 嚼9 ( q ) 取定u o 嘲9 ( n ) 使得 i u 。忆= 1 则 存在一个与叫无关的t 0 ，使得v t t ，有i 。( t u o ) 0 由注3 1 可得 如下估计 加u 沪；1 肚上聊，v 州。 墨i t p _ 三几。 t u o i 。山2 ) 如 ppj n 再由注4 2 ，使用s o b o l e v 嵌入定理，从而有 l ( t 扎。) ：护一n 2 ( c ) 。i t l o + 6 2 其中，c 是由螂9 ( q ) 嵌入p ( q ) 的嵌入常数。注意到毋 p ，我们可 取到与札。和似无关的常数丁，使得v t t ，有i 。( t u o ) 0 成立。事实 上，第一、二步表明泛函l ( ) 具有山路的几何结构。 第三步，由( 厶) ，和( 矗) ，通过一个标准的讨论，容易证明泛函 l ( 让) 满足p - s 条件。 云南师范大学硕士毕业论文 1 6 第四步，由山路定理，我们可以得到泛函l ( 让) 的一个临界点“。 使得 圪( 让”) = o ， l ( u ”) 2 穗 罢葡l ( 7 ( 丁) ) ， 其中，r 一 - 7 c ( 【o ，1 ，n 名9 ( q ) ) ：1 ( o ) = o ，? ( 1 ) = t u o 第五步，证明ij 乱。i | c ，由于u 。为方程( 1 1 ) 。的解，从而我们 可得 上| 如= f f ( x , u 。, v w ) u 。虹 使用( 1 ) ，和( ，2 ) ，估计上式右端，有 ! j “”1 9 d z s ( i u 。j 9 d z + c 。zl u 。1 8 + 1 d z 再次使用p o i n c a r e 不等式和s o b o l e v 不等式得 ( 1 一) j 让。旧驯钍。扩1 a 1 口 从而可得结论 第六步，证明i i u 。 冬c 。由第四步的证明知 l ( u w ) r 搿l ( t u o ) 我们使用注3 1 估计i 。( t u o ) 可得 l ( t ) 万t p 一。z 。上i u 。i 。如+ 6 2 h 垒危( n 则h ( t ) 的一个最大值可以在某个t o 处取得从而危( t 。) 可以取为c 2 ， 且易知它与叫无关 定理4 2 的证明与定理3 2 的证明一致 注4 3 本节主要结果将【1 】中的结果从p = 2 推广到了p 2 的 情形 云南师范大学硕士毕业论文 参考文献 【1 】d d ef i g u e i r e d o ，m g i r a z d i ，m m a t z e u ，s e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s w i t hd e p e n d e n c eo nt h eg r a d i e n tv i am o u n t a i n s p a s st e c h n i q u e s d i f f i n t e g r a le q u1 7 ( 2 0 0 4 ) ，1 1 9 1 2 6 【2 】m g i r a r d i ，m m a t z e u ，p o s i t i v ea n dn e g a t i v es o l u t i o n so fq u a s i l i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o nb ym o u n t a i n sp a s sm e t h o da n dt r u n c a t u r et e c h n i q u e s ， n o n l i n e a ra n a l5 9 ( 2 0 0 4 ) 1 9 9 2 1 0 3 f r i e d e m a n nb r o c k ，l e o n e l oi t u r r i a g a ，p e d r ou b i h a ，s e m i l i n e a rs i n g u l a r e l l i p t i ce q u a t i o n sw i t hd e p e n d e n c eo nt h e 口a d i e n t ( i np r e s s ) 4 z h o uh u a ns o n g ，a na p p l i c a t i o no fam o u n t a i np a s st h e o r e m ，a c t am a t h s i n c a ，e n g l i s hs e r i e s ，1 8 ( 1 ) ，( 2 0 0 2 ) 2 7 - 3 6 5 c o s t ad g ，m i y a g a k io h ，n o n t r i v i a ls o l u t i o n sf o rp e r t u r b a t i o n so fp - l a p l a c i a no nu n b o u n d e dd o m a i n s ，j m a t h a n a l a p p l i c a t i o n s ，1 9 9 5 ，1 9 3 ，7 3 7 7 5 5 f 6 】m c u e s t a ，e i g e n v a i ep r o b l e m sf o rt h ep - l a p l a c i a nw i t hi n d e