三角形压轴题.docx

内装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_外装订线绝密启用前三角形的证明试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三四五总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题（题型注释）第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）评卷人得分三、计算题（题型注释）评卷人得分四、解答题（题型注释）1如图，ABC中，DEAB，EFAB，BED=CEF，（1）试说明ABC是等腰三角形，（2）探索AB+AC与四边形ADEF的周长关系2如图，已知ABC中，BAC=90，AB=ACD为线段AC上任一点，连接BD，过C点作CEAB且AD=CE，试说明BD和AE之间的关系，并证明3如图，在ABC中AD平分BAC，且BD=CD，DEAB于点E，DFAC于点F（1）求证：AB=AC； （2）若AD=2，DAC=30，求AC的长4如图，ABC中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且APB=ABC（1）如图1，若BAC=60，点P恰巧在ABC的平分线上，PA=2，求PB的长；（2）如图2，若BAC=60，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；（3）如图3，若BAC=120，请直接写出PA，PB，PC的数量关系5如图，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E（1）求证：ABD是等腰三角形；（2）若A=40，求DBC的度数；（3）若AE=6，CBD的周长为20，求ABC的周长6如图，在ABC中，BO、CO分别是ABC、ACB的角平分线，求： （1）若A=50，求BOC的度数（2）在其他条件不变的情况下，若A=n，则A与BOC之间有怎样的数量关系？7如上图，AD是ABC的高，BE是ABC的内角平分线，BE、AD相交于点F，已知BAD=40，求BFD的度数8如图，ABC中，AB=BC，BEAC于点E，ADBC于点D，BAD=45，AD与BE交于点F，连接CF（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长9有一副直角三角板，在三角板ABC中，BAC=90，C=60，AB=6，在三角板DEF中，FDE=90，E=45，EF=6将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点A与点F重合，点E、F、A、C在同一条直线上现固定三角板ABC，将三角板DEF以每秒1个单位的速度沿边AC匀速运动，DF与AB相交于点M（1）如图2，连接ME，若EMA=67.5，求证：DEMAEM；（2）如图3，在三角板DEF移动的同时，点N从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿CB向点B匀速移动，当三角板DEF的顶点D移动到AB边上时，三角板DEF停止移动，点N也随之停止移动连接FN，设四边形AFNB的面积为y，在三角板DEF运动过程中，y存在最小值，请求出y的最小值；（3）在（2）的条件下，在三角板DEF运动过程中，是否存在某时刻，使E、M、N三点共线，若存在，请直接写出此时AF的长；若不存在，请直接回答10以点A为顶点作等腰RtABC，等腰RtADE，其中BAC=DAE=90，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD、CE（1）试判断BD、CE的数量关系，并说明理由；（2）延长BD交CE于点F试求BFC的度数；（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由11已知在RtABC中，ACB=90，AC=BC，BMCM于M，且CMBM（1）如图1，过点A作AFCM于F，直线写出线段BM、AF、MF的数量关系是 （2）如图2，D为BM延长线上一点，连AD以AD为斜边向右侧作等腰RtADE，再过点E作ENBM于N，求证：CM+EN=MN；（3）将（2）中的ADE绕点A顺时针旋转任意角后，连BD取BD中点P，连CP、EP，作出图形，试判断CP、EP的数量和位置关系并证明12探究与发现：如图，在RtABC中，BAC=90，AB=AC，点D在底边BC上，AE=AD，连结DE（1）当BAD=60时，求CDE的度数；（2）当点D在BC （点B、C除外） 上运动时，试猜想并探究BAD与CDE的数量关系；（3）深入探究：若BAC90，试就图探究BAD与CDE的数量关系13（12分）（2015秋万州区期末）在ABC中，AB=AC，BGAC于G，DEAB于E，DFAC于F（1）如图1，若D是BC边上的中点，A=45，DF=3，求AC的长；（2）如图2，D是线段BC上的任意一点，求证：BG=DE+DF；（3）在图3，D是线段BC延长线上的点，猜想DE、DF与BG的关系，并证明14（2015秋泰州校级期中）阅读理解：（1）如图（1），等边ABC内有一点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则APB= ，分析：由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将ABP绕顶点A旋转到ACP处，此时ACP ，这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出APB的度数（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图（2），ABC中，CAB=90，AB=AC，E、F为BC上的点且EAF=45，试猜想分别以线段BE、EF、CF为边能构成一个三角形吗？若能，试判断这个三角形的形状15（2015秋孝感月考）如图，在RtACB中，ACB=90，ABC=30，AC=1，点D为AC上一动点，连接BD，以BD为边作等边BDE，设CD=n（1）当n=1时，EA的延长线交BC的延长线于F，则AF= ；（2）当0n1时，如图，在BA上截取BH=AD，连接EH设CBD=x，用含x的式子表示ADE和ABE求证：AEH为等边三角形16（1）如图1，ABC和CDE都是等边三角形，且B，C，D三点共线，连接AD，BE相交于点P，求证：BE = AD；（2）如图2，在BCD中，BCD120，分别 以BC、CD和BD为边在BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，连接AD，BE和CF交于点P，下列结论正确的是 （只填序号即可）AD=BE=CF；BEC=ADC；DPE=EPC=CPA=60；（3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE评卷人得分五、判断题（题型注释）试卷第7页，总7页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案1(1)说明见解析；（2）AC+AB=四边形EFAD的周长【解析】试题分析：（1）由平行线的性质可得EAD=F，BAF=E，进而再通过角之间的转化得出结论；（2）由平行线的性质可得EAD=F，BAF=E，由于BED=CEF，得到C=CEF=BED=B，于是得到EF=CF，DE=DB，即可得到结论试题解析：（1）DEACBED=C，EFAB，CEF=B，BED=CEF，B=C，ABC是等腰三角形；（2）AB+AC=四边形ADEF的周长，理由：DEAC，BED=C，EFAB，CEF=B，BED=CEF，C=CEF=BED=B，EF=CF，DE=DB，AC+AB=CF+AF+AD+BD=EF+AF+AD+DE=四边形EFAD的周长考点：1.等腰三角形的判定与性质；2.平行线的性质2BD=AE，AEBD；证明见解析.【解析】试题分析：先证ABD=CAE，再证ABDCAE即可得出答案试题解析：BD=AE，AEBD；证明：ABCE，BAC=90，ACE=90，在ABD和CAE中，ABDCAE（SAS），BD=AEABD+EAB=CAE+EAB=90AEBDBD=AE，AEBD.考点：等腰三角形的性质.3（1）详见解析；（2）4.【解析】试题分析：（1）根据角平分线的性质可得DE=DF，再根据HL证明；根据全等三角形的性质可得，即可证得AB=AC；（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得，在RtADC中，AD=2，DAC=30，即可求得AC的长试题解析：（1）证明：AD平分BAC，DEAB，DFAC，DE=DF在RtADC中，考点：角平分线的性质；全等三角形的判定及性质；直角三角形的性质.4（1）BP=4；（2）PA+PC=PB；（3）PA+PC=PB【解析】试题分析：（1）AB=AC，BAC=60，证得ABC是等边三角形，APB=ABC，得到APB=60，又点P恰巧在ABC的平分线上，得到ABP=30，得到直角三角形，利用直角三角形的性质解出结果（2）在BP上截取PD，使PD=PA，连结AD，得到ADP是等边三角形，再通过三角形全等证得结论（3）以A为圆心，以AP的长为半径画弧交BP于D，连接AD，过点A作AFBP交BP于F，得到等腰三角形，然后通过三角形全等证得结论试题解析：解：（1）AB=AC，BAC=60，ABC是等边三角形，APB=ABC，APB=60，又点P恰巧在ABC的平分线上，ABP=30，PAB=90，BP=2AP，AP=2，BP=4；（2）结论：PA+PC=PB证明：如图1，在BP上截取PD，使PD=PA，连结AD，APB=60，ADP是等边三角形，DAP=60，1=2，PA=PD，又AB=AC，ABDACP，PC=BD，PA+PC=PB；（3）结论：PA+PC=PB证明：如图2，以A为圆心，以AP的长为半径画弧交BP于D，连接AD，过点A作AFBP交BP于F，AP=AD，BAC=120，ABC=30，APB=30，DAP=120，1=2，又AB=AC，ABDACP，BD=PC，AFPD，PF=AP，PD=AP，PA+PC=PB考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质5（1）证明见解析；（2）30；（3）32.【解析】试题分析：（1）根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证； （2）首先利用三角形内角和求得ABC的度数，然后减去ABD的度数即可得到答案； （3）将ABC的周长转化为AB+AC+BC的长即可求得试题解析：（1）AB的垂直平分线MN交AC于点D， DB=DA， ABD是等腰三角形； （2）ABD是等腰三角形，A=40， ABD=A=40，ABC=C=（180-40）2=70 DBC=ABC-ABD=70-40=30； （3）AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE=6， AB=2AE=12， CBD的周长为20， AC+BC=20， ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的判定与性质6（1）115；（2）BOC=90+A【解析】试题分析：（1）根据三角形的内角和得到ABC+ACB=180-A=130，由于BO、CO分别是ABC的角ABC、ACB的平分线，得到OBC=ABC，OCB=ACB，根据三角形的内角和即可得到结论；（2）根据ABC与ACB的平分线相交于点O，得到OBC=ABC，OCB=ACB，于是得到OBC+OCB=（ABC+ACB），根据三角形内角和即可得到结论试题解析：（1）A=50，ABC+ACB=180-A=130，BO、CO分别是ABC的角ABC、ACB的平分线，OBC=ABC，OCB=ACB，OBC+OCB=（ABC+ACB）=65，BOC=180-（OBC+OCB）=180-65=115；（2）ABC与ACB的平分线相交于点O，OBC=ABC，OCB=ACB，OBC+OCB=（ABC+ACB），在OBC中，BOC=180-（OBC+OCB）=180-（ABC+ACB）=180-（180-A）=90+A，即BOC=90+A考点: 三角形内角和定理765【解析】试题分析：先根据三角形内角和定理求出ABD的度数，再由角平分线的性质求出ABF的度数，由三角形外角的性质即可得出结论试题解析：ADBC，BAD=40，ABD=90-40=50BE是ABC的内角平分线，ABF=ABD=25，BFD=BAD+ABF=40+25=65考点: 三角形内角和定理8（1）见解析；（2）2+【解析】试题分析：（1）先判定出ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出CAD=CBE，然后利用“角边角”证明ADC和BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AE，从而得证；（2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF，然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解（1）证明：ADBC，BAD=45，ABD是等腰直角三角形，AD=BD，BEAC，ADBCCAD+ACD=90，CBE+ACD=90，CAD=CBE，在ADC和BDF中，ADCBDF（ASA），BF=AC，AB=BC，BEAC，AC=2AE，BF=2AE；（2）解：ADCBDF，DF=CD=，在RtCDF中，CF=2，BEAC，AE=EC，AF=CF=2，AD=AF+DF=2+9（1）证明见解析（2）（3）不存在【解析】试题分析：（1）只要证明MED=MEA=22.5，即可利用AAS证明DEMAEM（2）如图2中，作FGCB，垂足为G设AF=x，则CN=2x，想办法构建二次函数，利用二次函数性质解决问题（3）不存在假设存在，推出矛盾即可试题解析：（1）如图2中，EMA=67.5，BAE=90MEA=90EMA=9067.5=22.5，MED=DEAEMA=4522.5=22.5=MEA，在EMD和EMA中，DEMAEM（2）解：如图2中，作FGCB，垂足为G设AF=x，则CN=2x在RtABC中，C=60，AB=6，AC=，CF=2x，在RtCFG中，FG=CFsin60=2x）=3x，y= =ACABCNFG，=262x（3x）=x23x+6=（x）2+，y的最小值为（3）不存在理由：解：如图3中，作NHNH于H当E、M、N共线时，NHAM，解得t=2，不合题意不存在某时刻，使E、M、N三点共线考点：1、三角形综合题、2、全等三角形的判定和性质、3、二次函数、4、勾股定理、5、平行线性质10（1）CE=BD，理由见解析；（2）90；（3）成立，理由见解析【解析】试题分析：（1）根据SAS证明EAC与DAB全等，再利用全等三角形的性质解答即可；（2）利用全等三角形的性质得出ECA=DBA，进而解答即可；（3）根据（1）（2）中的证明步骤解答即可解：（1）CE=BD，理由如下：等腰RtABC，等腰RtADE，AE=AD，AC=AB，在EAC与DAB中，EACDAB（SAS），CE=BD；（2）EACDAB，ECA=DBA，ECA+CBF=DBA+CBF=45，ECA+CBF+DCB=45+45=90，BFC=18090=90；（3）成立，等腰RtABC，等腰RtADE，AE=AD，AC=AB，在EAC与DAB中，EACDAB（SAS），CE=BD；EACDAB，ECA=DBA，ECA+CBF=DBA+CBF=45，ECA+CBF+DCB=45+45=90，BFC=18090=90考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形11（1）AF=BM+MF（2）证明见解析；（3）CP=PE且CPPE【解析】试题分析：（1）根据全等三角形的判定定理AAS推知ACFCBM，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换，即可解答；（2）如图2，过点A作AGCM于G，反向延长GA交EN于H，由四边形GMNH为矩形，得到AHEN，根据三垂直得：CMBAGC，AEHEDN，利用全等三角形的对应边相等得到相等的线段，即可解答（3）取AB的中点M、AD的中点N，连接PM、CM、NE、PN，则可构造PNECMP，结论不言而喻解：（1）AF=BM+MF，ACB=90，ACF+BCM=90又AFCM，ACF+CAF=90，CAF=BCM在ACF和CBM中，ACFCBM，BM=CF，AF=CM，CF+MF=BM+MF=MC=AF，即AF=BM+MF故答案为：AF=BM+MF（2）如图2，过点A作AGCM于G，反向延长GA交EN于H，四边形GMNH为矩形AHEN根据三垂直得：CMBAGC，AEHEDN，CM=AG，EN=AH，MN=GH=GA+AH=CM+EN（3）如图3，取AB的中点M、AD的中点N，连接PM、CM、NE、PN，BCA与AED均为等腰直角三角形，CM=BM=AM，CMBA，EN=AN=DN，NEAD，P为BD中点，PN=AM=BM=CM，PNBA，PM=AN=DN=NE，PMAD，AMPN是平行四边形，BMP=PND，PMC=ENP，PNECMP（SAS），CP=PE，CMAB，PNAB，CMPN，CPPE，综上所述，CP=PE且CPPE考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质12（1）30；（2）BAD=2CDE（3）BAD=2CDE【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质得到CAD=BAD=60，由于AD=AE，于是得到ADE=60，根据三角形的内角和即可得到CDE=7545=30；（2）设BAD=x，于是得到CAD=90x，根据等腰三角形的性质得到AED=45+，于是得到结论；（3）设BAD=x，C=y，根据等腰三角形的性质得到BAC=1802y，由BAD=x，于是得到DAE=y+x，即可得到结论解：（1）AB=AC，BAC=90，B=C=45，BAD=60，DAE=30，AD=AE，AED=75，CDE=AED=C=30；（2）设BAD=x，CAD=90x，AE=AD，AED=45+，CDE=x；（3）设BAD=x，C=y，AB=AC，C=y，BAC=1802y，BAD=x，DAE=y+x，x考点：等腰三角形的性质13（1）AC=6；（2）见解析；（3）DEDF=BG见解析【解析】试题分析：（1）连结AD根据ABC的面积=ABD的面积+ACD的面积，以及AB=AC，即可得到DE+DF=BG，然后根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；（2）连结AD根据ABC的面积=ABD的面积+ACD的面积，以及AB=AC，即可得到DE+DF=BG；（3）连结AD根据ABC的面积=ABD的面积ACD的面积，以及AB=AC，即可得到DEDF=BG解：如图1，连结AD则ABC的面积=ABD的面积+ACD的面积，即ABDE+ACDF=ACBG，AB=AC，DE+DF=BG，D是BC边上的中点，AD平分BAC，DE=DF=3，BG=6，A=45，AGB是等腰直角三角形，AB=BG=6，AC=6；（2）证明：如图2，连结AD则ABC的面积=ABD的面积+ACD的面积，即ABDE+ACDF=ACBG，AB=AC，DE+DF=BG；（3）DEDF=BG，证明：如图3，连接AD，则ABC的面积=ABD的面积ACD的面积，即ABDEACDF=ACBG，AB=AC，DEDF=BG 考点：等腰三角形的性质；三角形的面积14（1）150，ABP；（2）BE2+CF2=EF2则三角形是直角三角形【解析】试题分析：（1）此类题要充分运用旋转的性质，以及全等三角形的性质得对应角相等，对应边相等，得出PAP=60，再利用等边三角形的判定得出APP为等边三角形，即可得出APP的度数，即可得出答案；（2）利用已知首先得出AEGAFE，即可把EF，BE，FC放到一个三角形中，从而根据勾股定理即可证明解：（1）将ABP绕顶点A旋转到ACP处，BAPCAP，AB=AC，AP=AP，BAP=CAP，BAC=PAP=60，APP是等边三角形，APP=60，因为B P P不一定在一条直线上连接PC，PC=PB=4，PP=PA=3，PC=5，PPC=90，PPC是直角三角形，APB=APC=APP+PPC=60+90=150，BPA=150；故答案是：150，ABP；（2）把ACF绕点A顺时针旋转90，得到ABG连接EG则ACFABGAG=AF，BG=CF，ABG=ACF=45BAC=90，GAF=90GAE=EAF=45，在AEG和AFE中，AEGAFEEF=EG，又GBE=90，BE2+BG2=EG2，即BE2+CF2=EF2则三角形是直角三角形考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理15（1）2；（2）ADE+60=x+90，ABE=ADE=x+90；见解析【解析】试题分析：（1）根据三角形内角和定理求出BAC=60，再根据平角等于180求出FAC=60，然后求出F=30，根据30角所对的直角边等于斜边的一半求解即可；（2）根据三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用CBD表示出ADE=30+CBD，又HBE=30+CBD，从而得到ADE=A