（信号与信息处理专业论文）混沌键控系统的调制与信号同步.pdf

西南交通大学硕士学位论文第1 页 摘要 混沌系统对初值的敏感性会使系统产生不可预见性和内在随机性，这一 特性可以用来隐藏信号，进行混沌通信。混沌通信具有实时性强，保密性高 等特点。但是，混沌通信系统的研究还不成熟，还有许多地方有待改进，需 要深入的研究。 目前，混沌键控系统是混沌通信中研究最多的系统。同时混沌同步的实 现为混沌保密通信提供了理论基础，使得混沌同步及其应用研究成为当代相 关学科的研究热点。 本文首先介绍了混沌相关的基本概念和数学模型。接着对混沌键控调制 系统进行了研究，重点分析了差分混沌键控( d c s k ) ，提出了一种d c s k 改 进方案，新方案的误码率性能有一定的提高。其次，分析了四相正交混沌键 控( q c s k ) ，在信道中加入干扰，研究了该系统的抗干扰能力，并提出一种多 用户正交混沌键控方案，用m a t l a b 仿真结果说明，改进方案的结果和理论一 致。最后，介绍混沌同步定义和混沌同步的发展，浅析目前现有的同步方法 及相应特点，在此基础上提出了时变时滞混沌神经网络的全局指数同步充分 条件，最后举例仿真证明方法的可行性。 关键字：混沌；混沌键控；保密通信；混沌同步；混沌神经网络 西南交通大学硕士学位论文第1 i 页 a b s t r a c t b e h a v i o ro ft h ec h a o ss y s t e mm a yb en o tt h ef o r e s i g h t ，a n di st h ei n t r i n s i c r a n d o m n e s sf o rt h ei n i t i a lv a l u es e n s i t i v i t y , w h i c hc a nb eu s e dt oh i d es i g n a li nt h e s e c u r i t yc o m m u n i c a t i o n c o m m u n i c a t i o nb a s e do nc h a o sh a ss t r o n gt i m ea n d s e c r e c yh i g h e r h o w e v e r , t h er e s e a r c ho nc h a o sc o m m u n i c a t i o ns y s t e mi ss t i l l f e w a tp r e s e n t ，t h e r ea l em a n ys u b j e c t st o i m p r o v ea n dt os t u d yf u r t h e r s i m u l t a n e o u s l y , t h er e a l i z a t i o no fc h a o ss y n c h r o n i z e dh a sp r o v i d e dt h er a t i o n a l e f o rt h ec h a o ss e c u r i t yc o m m u n i c a t i o n t h i st h e s i s ，a tt h eb e g i n n i n g , i n t r o d u c e st h eb a s i ct h e o r yo fc h a o sa n d m a t h e m a t i c a lm o d e l t h e nw ea n a l y z et h em o d u l a t i o nm a n l i e ro fc h a o ss h i f t k e y i n gs y s t e m w ea n a l y z et h ed i f f e r e n t i a lc h a o ss h i f tk e y i n g ( d c s k ) ，p r o p o s e an o v e ls c h e m eo fd c s k u s i n gn e ws c h e m e ，t h eb i te r r o rr a t eo fd c s kw a s i m p r o v e di ns o m ed e c e n t s e c o n d l y , w ea n a l y z et h eq u a d r a t u r ec h a o ss h i f t k e y i n g ( q c s k ) ，t h e ni n t r o d u c e st h ej a m m i n gi n t ot h ec h a n n e l ，w ea n a l y z et h e a n t i - j a m m i n gp e r f o r m a n c eo fq c s ka n dp r o p o s eas c h e m eo fm u l t i p l ya c c e s s q c s k t h es i m u l a t i o nr e s u l ti sc o n s i s t e n tt ot h a to ft h et h e o r ya n a l y s i s f i n a l l y ， t h ed e f i n i t i o no fc h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o na n dt h ec u r r e n ts i t u a t i o n so ft h ec h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o na r ei n t r o d u c e d t h em e t h o d so fc h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o na n dt h e i r c h a r a c t e r i s t i ca l ea n a l y z e d b a s e do nt h i s ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rg l o b a l e x p o n e n t i a ls y n c h r o n i z a t i o no fac l a s so fc h a o t i cn e u r a ln e t w o r k sa l ep r o p o s e d ， a n a l y z e dt h i sc h a o ss y s t e ms y n c h r o n i z a t i o ns t a b i l i t y f i n a l l y , s o m ec h a o t i cn e u r a l n e t w o r k sw i t ht i m e v a r y i n gd e l a y sa l eg i v e na se x a m p l e sf o ri l l u s t r a t i o n k e y w o r d ：c h a o s ； c h a o s s h i f t k e y i n g ； s e c u r e c o m m u n i c a t i o n ； c h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o n ；c h a o t i cn e u r a ln e t w o r k s 西南交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书； 2 不保密d ，使用本授权书。 ( 请在以上方框内打“4 ) 学位论文作者签名： 日期：2 0 0 8 5 6 指导老师签名： 日期：2 0 0 8 5 6 渤珧 西南交通大学学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工作所 得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均己在 文中作了明确的说明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本学位论文的主要创新点如下： 1 根据d c s k 的特点，提出了一种改进方案。在发送端发送一个参考信 号之后，利用w a l s h 的正交性调制2 个比特的信息信号，接收端的相关器和判 决门限不变。理论分析可知，在信噪比相同时系统的误码率性能有一定的改善， 同时由于发送一个参考信号之后，传送了2 个比特的信息信号，系统的信息传 输速率也得到了极大的提高。 2 浅析q c s k 系统，研究了它的抗干扰能力，同时，提出一种多用户系 统方案，推导了理论公式，利用m a t l a b 进行了验证其正确性。 3 介绍了混沌同步的定义之后，浅析了混沌系统同步的几种方法，利用驱 动响应同步的要求，利用反馈法，提出一种全局指数同步的充分条件法则。利 用m a t l a b 对时变时滞细胞神经网络的仿真，验证了该充分条件的正确性。 西南交通大学硕士学位论文第1 页 1 1 课题背景 第1 章绪论 非线性科学是一门研究非线性现象的共性的基础科学，它是2 0 世纪6 0 年代以来在各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的一门综 合性学科，被誉为2 0 世纪的“第三次大革命”1 1 j 。科学界认为有关非线性科 学的研究不仅具有重大的科学意义，而且具有广泛的应用前景，它几乎涉及 到自然科学和社会科学的各个领域，并正在改变人们对现实世界的传统看法。 在非线性科学的研究中，已涉及对确定论与随机性、有序与无序、偶然性与 必然性、量变与质变、整体与局部等范畴和概念的重新认识，它将深刻地影 响人类的思维方式，并涉及现代科学的逻辑体系的根本性问题。 混沌是非线性动力学系统所特有的一种运动形式，他的渊源最早可以追 溯到1 9 世纪2 0 世纪初法国科学家庞特来，他在研究天体力学，特别是三体 问题时发现了混沌现象的存在。他把动力学系统和拓扑学两大领域结合起来， 证明了周期轨道的存在，指出了混沌存在的可能性。之后，前苏联概率大师 a n k o l m o g o r o v 将香农提出的信息论引入到混沌理论的研究中，做出一定贡 献。1 9 6 3 年，美国气象学家l o r e n z 在研究大气时发现，当选取一定参数的 时候，一个确定的三阶常微分方程组描述的大气对流模型，变得不可预测了， 这就是有趣的“蝴蝶效应 【2 j 。 混沌学研究的第一个重大突破，发生在以保守系统为研究对象的天体力 学领域，k a m 定理被公认为创建混沌学理论的历史性标记。7 0 年代，众多 的科学家都开始了在各自的研究领域发现和研究混沌现象。1 9 7 5 年，李天岩 ( t y l i ) 和j a y o r k e 在他们著名的论文“周期三意味着混沌” 3 d p ，给出了 闭区间上连续自映射的混沌定义，在文中首先提出c h a o s ( 混沌) 这个名词，并 为后来的各国学者所接受。1 9 7 7 年在意大利召开的关于混沌研究的第一次国 际性科学会，标志着混沌科学的诞生。1 9 9 0 年，美国海军实验室的p e c o r a 和c a r r o l 提出了一种混沌系统同步的方法1 4 】【5 l ，并在电子线路上首次观察到 混沌同步的现象。这一开创性的工作，极大地推动了混沌同步的理论研究， 拉开了混沌应用于通信领域的序幕。在这之后2 0 几年，混沌科学就开始不断 西南交通大学硕士学位论文第2 页 地与其他科学相互渗透，无论是生物学、心理学、数学、物理学、化学电子 学，还是天文学、气象学、经济学等领域，混沌都得到了广泛的应用，在现 代科学技术中起着十分重要的作用。 混沌信号的非周期性、宽带频谱、类似噪声的特性，使它具有天然的隐 蔽性。另外，混沌信号对初始值敏感的特性使得混沌信号具有长期不可预测 和抗截获能力，因此把混沌信号应用在通信领域有广泛的应用前景。i e e e 出 版了混沌方面的专辑睁引，之后还出版了混沌学在电子与通信工程中应用的专 辑p j ，展示了众多科学家的研究成果与混沌通信研究的重大进展和潜力。目 前混沌通信包括混沌模拟通信与混沌数字通信两类，自1 9 9 5 年以来，人们逐 渐认识到混沌通信的应用前景在于混沌数字通信，混沌数字通信实用化的可 能性最大，使致力于混沌数字通信的研究学者急剧增加。通信系统发送端的 信息载波是由迭代方程的离散混沌系统产生的信号来构成，而对于时间连续 混沌系统，它一般是用模拟电路来实现，在进行通信时，要实现和保持发送 端与接收端完全一致的模拟电路是很困难的，而且混沌对系统的初始条件又 十分敏感，稍有不同就会产生完全不相关的混沌信号，因此利用离散混沌系 统发展混沌数字通信是必然的趋势。 混沌数字通信系统主要有：基于混沌键控( c h a o s s h i f t k e y i n g ) 基础上的 混沌键控调制通信系统；基于混沌序列的扩频通信系统；混沌参数调制数字 通信系统与混沌掩盖调制通信系统。混沌键控调制通信系统主要有混沌键控 ( c s k ) 【l ，及基于c s k 衍生出的许多混沌键控调制方式，例如差分混沌键控 ( d i f f e r e n t i a l c s k ) 1 1 j ，四相正交键控系统( q u a d r a t u r e c s k ) 1 1 2 j ，调频。差分混 沌键控( f r e q u e n c ym o d u l a t e d d c s k ) 1 1 3 j 等通信方案。由于混沌信号对初始条 件的极端敏感性，利用信道传输引起畸变的信号驱动接收端系统实现混沌同 步，进行可靠的通信，仍然存在较大困难。为此，不需要混沌同步的非相干 混沌通信技术就成为了现今国内外研究的热点。 混沌同步方法研究是当前学术界的一个研究热点，混沌同步也是实现混 沌通信的关键所在1 1 4 。1 副。近年来，混沌的同步控制理论开始成熟，为混沌在 通信中的应用奠定了理论基础。 1 2 国内外研究发展状况 利用和控制混沌是现今科学研究的重点课题之一。1 9 9 0 年美国海军试验 西南交通大学硕士学位论文第3 页 室两位学者p e c o r r a 和c a r r o l l 在电子线路上首先实现了混沌同步，这一研究 使混沌这一理论应用于通信系统成为可能。 目前，将混沌同步理论应用于通信主要有以下几种方法：1 、混沌掩盖； 2 、混沌扩频；3 、混沌键控；4 、混沌参数。此后，如何围绕这四大类混沌通 信体制进行理论分析、仿真和实验研究己成为信息科学界关注的热点。在这 四大类混沌通信体制中，混沌键控占有重要的地位，具有较高的发展前景与 应用价值，主要包括c s k ，d c s k ，f m d c s k ，q c s k 等，目前已提出了有 关这方面的初步理论与实现方法。 d e d i e uh n 们于1 9 9 3 年在国际上首先提出了混沌键控的原理与方法。在此 基础上文献n 卜”1 先后提出了改进型混沌键控数字通信制式。按接收端的解调 方式混沌键控又可分为相干解调与非相干解调两大类。相干解调需要混沌同 步，但难以建立，此时则宜用非相干解调。非相干解调不具有保密性，但其 方法简便，易于实现，电路简单。国内的研究注重于系统整体上降低系统的 误码率，比如在接收端加入向量机纠正接受端信号的错误n 钔，修正通信调制 n 5 3 方式等。 国外的研究主要是围绕m p k e n n e d y 和g k o l u m b a n 一j 两个人的研究 成果进行的。m p k e n n e d y 在i e e e 等权威杂志上发表了较多关于混沌键控 调制方式的论文，对混沌键控调制方式进行了系统的论述，并且对混沌键控 进行了基本的理论推导，例如c s k 、d c s k 、f m d c s k 等调制方式，并且 m p k e n n e d y 和部分学者还对混沌键控调制方式在多经干扰情况下的误码 性能进行了简单的讨论。有的学者在m p k e n n e d y 研究的基础上，提出了 一些简单的提高误码性能的方法n 6 - 1 8 1 。例如：香港理工大学的c h ik t s e ，w a i m t a m 等学者在此基础上做出的改进，使系统的性能有一些进步，如c d s k 和g c d s k n 叫系统。目前国际上提出混沌脉冲定位调制( c p p m ) 心们的基本原理， 提出一些基于混沌同步的混沌脉冲定位调制( c s c p p m ) 的实现方法，并称为 最新的混沌调制系统，但是每一类都有其优点和缺点，需要更多的学者更加 深入的研究和将其实用化。 所有这些工作都为我们开展下一步工作，为我们把混沌通信从理论阶段 到实际应用阶段打下了坚实的基础，同时也提出新的问题。随着国际上相继 提出了各种混沌制式及其理论与方法，混沌通信成为现代通信领域的一个新 的分支和热点。 自从p e c o r r a 和c a r r o l l 实现了混沌同步到目前为止，混沌同步研究已经 西南交通大学硕士学位论文第4 页 取得了很多成果。人们已提出了多种混沌系统同步方案，从早期的驱动一响 应同步法、主动一被动同步法、耦合同步法与反馈同步法等，到近几年的自 适应同步法、基于状态观测器方法的同步法、脉冲同步等等，这些同步法时 相互联系，各有优缺点。 进入二十一世纪后，混沌同步研究除对已有同步方法进行改进，还将先 进的控制理论与技术引入混沌同步研究，如将自适应控制、模糊控制、遗传 算法、神经网络、状态反馈应用于混沌同步研究，取得了良好的效果比卜2 2 1 。 研究对象由连续混沌系统转向离散混沌系统，由低维一般混沌系统转向高维 混沌系统。由于混沌系统本身的复杂性，在进行混沌同步研究时，将面临大 量的理论和技术上的难题。解决混沌同步应用于保密通信中所面临的实际困 难等，是将来的研究所要考虑的问题。 1 3 论文的研究工作与章节安排 基于混沌键控( c s 目的非相关调制模型提出，随着研究的不断深入，学 者们提出了很多扩展调制方式，包括d c s k ，f m d c s k ，c d s k 和q c s k 等 等。对这些调制方式的研究基本上都是针对单用户的，本文主要研究混沌键 控系统的调制及两个混沌系统之间的信号同步问题。 本论文的安排如下： 第一章介绍了本课题的课题背景和研究意义，以及混沌调制与同步的 研究方向。 第二章讨论一些有关混沌的基本概念，包括混沌的定义、属性、发生 通道和主要测度，并介绍了几种典型的混沌映射。 第三章简要介绍混沌保密通信的调制方式，提出改进的d c s k 方案， 仿真证明新方案理论分析的正确性。 第四章在研究四相正交混沌监控( q c s k ) 系统的基础上，讨论其抗干扰 能力，同时提出一种多用户q c s k 方案，并给出其理论推导公式。从理论和 仿真两个方面对多用户q c s k 方案与多用户d c s k 方案进行比较。 第五章本章介绍了混沌同步的定义，浅析几种同步方法后，重点研究 了状态反馈同步，同时提出一种基于反馈的混沌神经网络全局指数同步的充 分条件，并通过m a t l a b 仿真证明充分条件的正确性。 最后全文作了总结，给出了结论及其展望。 西南交通大学硕士学位论文第5 页 第2 章混沌系统理论基础与分析 本章着重介绍混沌的定义，混沌的主要特性及测度方法，并介绍几种常 用的混沌映射，为后续章节提供理论基础。 2 1 混沌的相关概念 2 1 1 混沌定义 迄今为止，由于混沌系统的奇异性和复杂性至今尚未被人们彻底了解， 学术界对混沌还没有统一和普遍接受的一般定义。现在已有的定义只是从不 同侧面反映混沌运动的性质。 数学上常用的定义包括：离散动力系统( 映射) 的l i y o r k e 意义下的混沌 ( 高维空间中有相应的m a r o t t o 定理) 、d e v a n e y 意义下的混沌和连续动力系统 ( 流) 的s m a l e 马蹄意义下的混沌。物理和工程上常用的混沌判据是其有界性 并存在正的l y a p u n o v 指数或正的测度嫡。 l i y o r k e 定义是影响较大的混沌数学定义，它是李天岩( t y l i ) 和 j a y o r k e 在他们的著名论文“周期三意味着混沌 【3 】中提出的，而在文中首 次提到的c h a o s ( i l g 沌) 这个名词，也被后来的学者所接受。本论文选择该定义 解释说明，此定义描述如下： l i y o r k e 定理：设f ( x ) 是【a ，b 】上的连续自映射，若f ( x ) 有3 周期点， 则对任何正整数n ，f ( x ) 有n 周期点。 混沌定义( l i y o r k e ) ：区间j 上的连续自映射，0 ) ，如果满足下面条件， 便可确定它有混沌现象。 ( 1 ) 厂的周期点的周期无上界； ( 2 ) 闭区间，上存在不可数子集s ，满足 ( i ) 对任意x ，y s ，x y 时， l i r n s u p i ，8 ) 一厂“( y ) l 0 ( 2 1 ) n 田 ( i i ) 对任意x ， y s ， 西南交通大学硕士学位论文第6 页 l i m i n fi ，“g ) 一厂”( y ) l = 0 ( 2 2 ) 月。田 ( i i i ) 对任意xe s 和厂的任意周期点y ，有 l i ms u p l ，4 0 ) 一厂“( y ) i 0 ( 2 - 3 ) 玎田 根据上述定理和定义，对闭区间，上的连续函数f ( x ) ，如果存在一个周 期为3 的周期点时，就一定存在任何正整数的周期点，即一定出现混沌现象。 就如同李天岩所讲的，有周期3 就什么周期都有。通过上面三个极限等式可 以看出，混沌运动存在无数无穷个稳定的周期轨道，存在不可数无穷多个稳 定的非周期轨道和至少一个不稳定的非周期轨道，且轨道不重叠。 混沌系统的另一个定义为：一个非线性系统的行为对初始条件的微小变 化具有高度敏感的依赖性。该定义描述了混沌系统局部的极度不稳定性，常 常被形容为蝴蝶效应。这种高度的不稳定性是指在相空间中的初始值极其接 近，随着时间的演进，轨道间的距离迅速分离，但不会发散，它会在有限的 空间内反复折叠，伸缩，逐渐分布整个相空间，形成奇异吸引子。 图2 1l o g i s t i c 映射的倍周期分岔 2 1 2 混沌的基本特征 混沌运动是一种不稳定有限定常运动，即除了平衡，周期和准周期三种 确定性运动以外的有限定常运动，也是确定性非线性系统所特有的复杂运动 状态。这里所讲的有限定常运动是指运动状态在某种意义上( 以相空间的有限 域为整体) 不随时间而变化。一般认为，与其他复杂现象比较，混沌具有下列 的一些特征： 西南交通大学硕士学位论文第7 页 ( 1 ) 有界性。混沌是有界的，它的运动轨线始终局限于一个确定的区域， 这个区域称为混沌吸引域。 ( 2 ) 遍历性和混合性。遍历性是一个在物理学中经常使用的概念，在动力 学中，混沌运动在其混沌吸引域是各态经历的，即随着时间的推移，轨道是 可以任意的接近它所经过的状态。混合性是指系统初始状态的选择，不会影 响轨道的统计特性，其定义为：若不变集s 上的映射，是混合的，则对于s 中的任两个子集彳和口满足 l i r a 肛俨p ) l 爿) = 口) p ) ( 2 4 ) i 。 式中，肛( ) 表示概率。式右侧表示s 上随机任取两点分别落入集合a 和b 的 概率；左侧表示以概率肛) 落入集合曰中的点随着时间趋向无穷时会以多大 的概率落入集合a 中。若等式成立，系统是混合的。 ( 3 ) 随机性特征。一定条件下，系统某个状态出现与否不确定，就认为该 系统具有随机性。不同于常见的周期性运动，混沌运动在表面上总是呈现随 机混乱的现象，不是以固定的周期经过某些状态，但是不发散，而是不定期 无限接近相空间的各个状态。图2 2 可以看出，混沌运动在时域上表现为一 种非周期的运动，这种非周期性与随机运动及其相似。由于混沌系统的 l y a p u n o v 指数大于o ，因此相邻很近的轨道间存在着指数分离现象，这种分 离导致初始条件中很小的测量误差迅速扩大，使确定性的动力系统完全失去 长期预测能力，所以混沌系统长期不可预测。 图2 - 2 映射轨道的指数分离现象 ( 4 ) 分维性与标度性。分维性是指混沌的运动轨线在相空间的行为特征。 西南交通大学硕士学位论文第8 页 混沌系统在相空间中的运动轨线，在某个有限区域内经过无限次折叠，不同 于一般确定性运动，不能用一般的几何术语来表示，而分维数正好可以表示 这种无限次的折叠。而标度性是指混沌运动是无序中的有序态。 2 2 混沌的主要测度 混沌拥有不同于一般系统的特殊性质，通过对这些性质的了解与掌握， 对混沌系统的深入了解与分析打下基础，以下介绍混沌的几种测度。 2 2 1 混沌吸引子 在对动力系统的研究过程中，学者都希望了解随着时间的演进系统的特 性如何变化。在此基础上引入吸引子的概念，即吸引子是一个不变集，不断 “吸引着周围的状态。 常见吸引子通常分为以下四类： ( 1 ) 这种吸引子收敛到一点，即存在一个不动点，系统随时间的演进最终 会收敛到该点上。这是一个零维的吸引子，它表示系统在做平衡运动。 ( 2 ) 做周期运动的吸引子称为极限环，这是一个一维的吸引子，它对应着 周期运动。 ( 3 ) 二维环面吸引子，也称准周期吸引子。系统轨道在状态空间的环面上 绕行，它有两个不可公约的运动频率，一个是沿截面方向运动的，一个是沿 纵切面运动的，所以无法将运动轨迹锁定在一个固定的周期上。 ( 4 ) 混沌吸引子，大多数时候称为奇怪吸引子，一般不加以区分。奇怪吸 引子是相空间中无穷多点的集合，它里面包含着无穷多条不稳定的周期轨道 和非周期轨道；在相空间中总存在着不稳定的周期轨道，随着系统的演化， 混沌轨道中有许多或长或短的片段，它们时而十分靠近这条不稳定的周期轨 道，时而分离。而前三种都是平庸吸引子，它的空间维数是整数，而奇怪吸 引子的维数则是非整数，也叫分数维。混沌吸引子较前面三种吸引子有几个 特点：混沌吸引子的运动对初始条件高度敏感；相邻运动轨迹互相排斥，而 且按指数的速度分离；混沌吸引子具有分维的性质；混沌吸引子的空间是非 连续地随参数变化的，在小扰动下，空间位置变化较大。 下面以r o s s l e r 混沌为例，该系统的动力学方程为： 西南交通大学硕士学位论文第9 页 工一一q + ) ，) y 。x + a y z b + g - c ) z ( 2 5 ) 式中a ，b ，c 为常数。 这是混沌学研究中最简单的连续时间混沌系统，其演化轨迹如图2 3 所示： 2 2 2 不变测度 图2 3r o s s l e r 混沌吸引子 不变测度p ) 描述了混沌映射迭代产生的点在状态空间上的分布情况， 其定义式为： p o ) 2 牌专荟6 0 _ ) ( 2 - 6 ) 如果不变测度p o ) 与初始值x o 无关的话，就称这个混沌系统在状态空 间上有遍历特性。 l i 和y o r k e 证明了序列 工七) 遍历特性，对于普遍意义上的f ( 工) ，若 满足以下3 个条件： ( 1 ) f ( x ) 是连续的； r o x _ 西南交通大学硕士学位论文第1 0 页 ( 2 ) 除了个别点外，厂( x ) 都是二次连续可微的； ( 3 ) 无限的，( x ) 1 ，则存在某个密度函数p ( x ) ，满足 熙亩1 ( 缸r ) 落在【口，6 】中的个数) p o 在满足遍历性的条件下，可以把混沌序列 x 。】的函数g ( z ) 的时间平均写 成基于不变测度上的集合平均 i mm 昙 v = g = 熙专= g ( ，) = fg ( x ) p ( x ) d x ( 2 - 7 ) 我们可用不变测度来表示一维混沌映射相应的时间演化方程。给定初值 x 。，概率密度函数为6 ( 工一x 。) ，经过一步迭代演变成f ( 工。) ，概率密度 函数为6 ( 石一厂( xo ) ) ，文献【3 l 提到可以将一阶非线性确定差分方程看成是 某个特殊的马尔可夫过程，其一步转移概率函数为p ( xiy ) 一6 ( x 一厂( y ) ) ，所 以有 6 0 一厂o o ) ) ；l 二6 0 一，( ) ，) 弘( y 一石。) 方( 2 - 8 ) 把它一般性的写成迭代次数为k 时的任意密度函数p 。0 ) 的演化形式： p k + lo ) 2 f 几( y 矽。一f ( y ) ) a y( 2 - 9 ) 这就是f r o b e n i u s p e r r o n 方程，应该注意的是，只有当密度函数p ( x ) 独立于 迭代次数k 时，遍历性才有意义，也就是不变测度必须是平稳的，所以 p ( x ) = p ( y ) 6 0 f ( y ) ) a y( 2 - 1 0 ) 对于普遍意义上的f ( x ) ，存在唯一解，从而可以得到混沌映射的不变测 度，用它来表示序列点在状态空间上的分布。图2 4 是l o g i s t i c 混沌映射的 不变测度图。 西南交通大学硕士学位论文第”页 2 2 3 相关函数 图2 4l o g i s t i c 混沌映射的不变测度 相关函数是描述随机和类随机过程的很重要的一个尺度，混沌序列的相 关特性对混沌键控系统性能来说是很重要的一个因素。 从初始点而开始迭代，得到混沌映射的一条轨迹 以；k = 0 ，1 ，2 ，它 的时间均值为： 互tl i ml e 一 - 1 以 (211)n 0 j 、 自相关函数( 严格讲是自协方差函数) 为： 爿c 伽) 2 牌志= 。1x k - - 砒m 司( 2 - 1 2 ) 归一化自相关函数，即自相关系数： a c ( m ) = a c 沏) a c ( o ) ( 2 - 1 3 ) 对于混沌映射来说直接计算自相关函数是十分困难以至于是不可能的， 但是如果我们能够假设混沌序列的遍历性，那么我们就有可能解出它的不变 测度p o ) ，进而把上述的时间平均转换为几何平均来计算，也就是 孑；触吉罗肌k = 0 1 x 。f x p ( x ) d x ( 2 - 1 4 ) 轴牌万2 t 2 j 口 在此考虑序列 i l k ；k = 0 ，1 ，2 ) 和 石2 上；k = 0 ，1 2 ，其互相关函数 为： c c 。：) 一恕言：1 ：( j + 圹五) 西南交通大学硕士学位论文第1 2 页 = f f 置劈o ：) n ：o 。，z ：) 出。出：一磊 如果两个序列是统计独立的，那么 p 1 2 g 1 ，z 2 ) 一p ，0 1 ) p 2 0 2 ) 则互相关函数为零，归一化互相关函数，即互协方差函数为： c c 。： ) ；c c ，：如) ( 厕厮) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 在这里以c h e b y s h e v 混沌映射( 见2 3 节) 为例，做其有限长序列的自相 关函数和互相关函数如图2 - 5 所示。从图2 - 5 中可看出c h e b y s h e v 混沌映射 有优良的相关特性，自相关旁瓣趋于零，互相关趋于零( 归一化幅值) 图2 5 归一化自相关与互相关特性图 2 2 4l y a p u n o v 指数 非线性系统，由于其复杂的稳定性、对初始条件的极端敏感性及不满足 叠加原理等，使人们对它的研究远没有对线性系统透彻。在大多数情况下， 对于非线性动力系统，其解析式都无法得到精确解，所以需要用定性分析方 法近似求解系统的状态，但近似解是否收敛于真实解，能否真实反映系统的 状态却难以证明。所以通过数值计算对系统进行定量分析，弥补定性分析的 不足，l y a p u n o v 指数就是进行定量分析时最常用到的方法。正的l y a p u n o v 指数时是目前公认的确定性系统进入混沌状态的判据之一，同时找到系统处 于混沌状态的参数范围。 l y a p u n o v 指数定量地刻画混沌系统相邻的两点相互分离的快慢。以一 西南交通大学硕士学位论文第1 3 页 维离散动力系统+ ，一( x 。) 为例进行讨论。 假设初始点为x 。，x 。与x 。的偏差为缸。，而经过n 次迭代后，之间的偏 差设为断。，则： 出。4l ( x 。+ 岔。) 一l ( x 。) i | 堡j 盟出。e 摊。m 舐。( 2 - 1 8 ) 式中，a 为李亚普诺夫指数，当珂一，& 。- 0 时，由于： 够“o o ) i 丌矽i 瓦一1 l l 石i 出“”出“ 川im却n焉掣l-lim昙：砌l厂to川(2-19)i-paa n - p 0 0 疗zx以一” 根据李亚普诺夫指数的定义，为了指数值稳定，需要足够长的迭代，从 而估算出一维系统李亚普诺夫指数a ，从式( 2 1 9 ) 可以看出，一维空间只有一 个a 值，而在n 维空间有n 个a 值，用九，i 。l ，2 ，n 表示，每个值沿相空间 的不同方向，而且每个值不同。九 0 代表不稳定、相邻轨道迅速分离，对初值敏感， 而在整体稳定性的作用下，不断回旋，形成混沌吸引子。对n 维系统，只要 有个指数九为正，就可以判定该系统存在混沌轨道，为正的指数凡越多， 系统的不稳定性就越强，时间序列的伪随机性就越大。所以，l y a p u n o v 指数 作为系统是否混沌状态的一个定量指标。 2 2 5 信息维，广义信息维和嵌入维数 信息维是一种标度关系，它表达了确定空间中某一点所需要的信息和关 于该点位置信息的精确程度。在混沌系统中引入信息维的概念是为了更好的 描述混沌吸引子的复杂程度和其在相空间中的几何形态。假设为了确定空间 中某一点的位置，用体积为的超立方体将空问划分为不同的部分夙，则空 间中任一点落入e 的概率为只- ( e ) ，该概率由动力系统在相空间的分布 决定，在该概率分布下的熵为 h ( ) = 一罗只l o g p j ( 2 2 0 ) 7 信息维【2 0 1 的定义为：d ，。l i r a 一旦盟( 2 2 1 ) r 。o l o g 7 西南交通大学硕士学位论文第1 4 页 式( 2 2 1 ) 表示在测量精度为e 的条件下，从测量中获得关于动力系统信息 的能力，一l o g e 看作每次测量所能得到的信息量。 广义信息维的定义维： 小击l 删i m 警( 2 - 2 2 ) 式中，( ) 表示统计平均。 广义维是将信息熵的概念推广为r e n y i 熵 h 异2 去l o g ( 俐p 。) ( 2 - 2 3 ) 再利用式( 2 2 1 ) 求取其信息维 混沌吸引子在高维的动力系统中的维数可能十分有限，为了简化高维动 力系统的分析，将吸引子“嵌入 到低维系统模型的低维空间上运动，而这 个空间的维数就是嵌入维数。吸引子的一部分嵌入，最小维数为坍，当全部 嵌入到低维空间。该空间的维数肘满足不等式：2 m + 1 苫m 之n l 2 2 6 测度熵 由于混沌信号对初值的高度敏感，初始条件的微小差异，随时间的推移， 轨道间出现指数分离现象。所以可以认为随着混沌运动，关于混沌轨道信息 会不断产生，所以一次测量不可能获得混沌系统以后运动的全部信息，所以 需要不断的测量来获取所需信息。由此为了衡量混沌系统产生信息流的能力， 引入测度熵。测度熵是熵h 。随时问增长的速率，设时间间隔为址，测量方 法为卢，则速率定义为 j l ts u p 忑n m ( 2 - 2 4 ) 式中，日。一一p ( s 。) l o g p ( s 。) ，s m 是相空间在设定精度下划分的不同区间， 在相同时间间隔下对轨道测量得到的一串符号序列， s m 。) 一屯，屯。 稳定态和周期运动系统，根据定义，其测度熵为零。而对于混沌系统，其测 度熵大于零。所以测度熵是否大于零，是判决动力系统是否处于混沌状态的 有力证据。 西南交通大学硕士学位论文第1 5 页 2 3 典型的混沌信号 虽然混沌现象十分复杂，但是产生混沌的非线性系统却并不如人们所想 象的那样深不可测。如果选择适当的非线性方程，合理调整方程参数使其处 于混沌区，就可由非线性迭代方程x ；+ ，l i bf ( x 。) 产生合适的混沌信号。 近几年来，人们建立了多种混沌系统的模型，如：l o g i s t i c 映射，c h e b y s h e v 映射及t e n t 映射等。这几种混沌映射都属于离散时间混沌系统，是目前研究 较为集中的几种映射。本节主要研究这几种混沌映射的动力学行为，下面简 要介绍这几种混沌映射。 1 ) l o g i s t i c 映射 l o g i s t i c 映射又称抛物线映射，是一维映射中最常用的映射，其差分方 程描述如下： + l r x ( 1 - x )( 0 3 5 时，l y a p u n o v 指数大于零的概率明显增大，说明在这一区间很容 易出现混沌。为了获得最大的随机性，取y = 4 。从而获得典型的l o g i s t i c 映 射： + 。一4 x ( 1 - x ) ( 2 2 7 ) 此时的l y a p u n o v 指数为九= 1 n 2 = 0 6 9 3 1 0 。 改进型l o g i s t i c 满映射，也称为零均值l o g i s t i c 映射，表示如下： 工t + 1 = 1 一卢；x i ( 一1 + 1 )( 2 - 2 8 ) 当。2 时，改进型l o g i s t i c 映射工作与混沌状态。 l o g i s t i c 映射的概率密度函数可由p e r r o n f r o b e n i u s 方程求出，因为 y = 厂 ) = 4 x 0 - x ) 可以得到方程的两个根： 西南交通大学硕士学位论文第1 6 页 ， 一1 _ 1 历- y 五，：。丁 p ( 半) p ( 半) 则，以力。_ 寺+ _ 厂( 2 - 2 9 ) 根据对称性可得： p ( y ) ；1 葡y ( 。，1 ) ( 2 - 3 0 )删；葡y u ，u 拈m l 5 恕专荟 p ( x 渺却 ( 2 - 3 1 ) 设“一厂帆) 为一维迭代映射，可以得到相关函数： r x 媾、| ll x 乒。+ k p q 。，x m + k ) d xd x “ 2 l x m lq n o p q 汕m ( 2 - 3 2 ) 若( 口，6 ) ( 一1 ，1 ) ，对应改进型l 0 9 i s t i c 映射，p ( ) ，) 2 而1 ， y ( 一1 ，1 ) ， 贝u ： 尺，c 七，5 伊”厂 _ ) p 。m ) i 仃2 ：二兰 仃2 一v a r i x f ie 以2 m = 至，p o 皿；j 1 由式( 2 3 2 ) 与式( 2 3 3 ) ，仁； 的均值与方差为： 艄。2 p o 皿专 ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 西南交通大学硕士学位论文第1 7 页 v a r 【x 2 】= 卜e2 【x 2 】；“4 一i 1 e x 4 f xp ( x ) d x 一言 ( 2 3 6 ) - 1 v a r 【】=卜e2 【x 2 】； 4 一i2 言 ( 2 v 噍 0 图2 - 6l o g i s t i c 混沌序列，自相关及部分相关函数 2 ) c h e b y s h e v 映射 z 阶c h e b y s h e v 映射的表达式为 g zo ) = c o s ( x c o s 。1o ) ) ( 2 - 3 7 ) 当z 2 2 时，该映射是混沌与遍历的，且具有正交性。当石取2 或3 时，可得 二阶和三阶等式，分别如下： 9 2 0 ) = 2 x 2 1 ，9 30 ) = 缸3 一缸( 2 - 3 8 ) c h e b y s h e v 映射概率密度函数与零均值l o g i s t i c 映射相同： 删；甚引小l ( 2 - 3 9 ) 1 0其他 下面讨论三阶等式特性。 怒嘲兰薹黜 二iii_u_jii?， 西南交通大学硕士学位论文第1 8 页 e x i 】= 仰( x ) 出；0 ( 2 4 0 ) 一 们；争2 州= 争2 杀尹畦 p 4 1 ， v a 妒m 一e 2 旧= 4 p 。渺一i 1 ；言 ( 2 - 4 2 ) c o v 睇，工三】= e 陋确2 一e 睇】e 【z i 1 一哇) 2 ；o ( 2 - 4 3 ) 在后续的章节中会多处用到c h e b y s h e v 序列缸。) 与仁；】的均值和方差。 3 ) t e n t 序列映射及其参数特征 该映射公式为：吒+ 。一口- 1 - a x n i ( 1 1 时，a 0 ，此时系统处于混沌状态。当a 一2 时， k = n2 ，此 时的映射被称之为中心t e n t 映射 t e n t 映射的概率密度函数，由y - 1 - 2 1 x l ，可得： 二舄；主 p 4 6 ， 由l 厂 ) | - 2 与p ( y ) 为偶函数，可得： m ) 咖洋) + p 呼) 】2 = 1 2 ( 2 - 4 7 ) 由此可知，t e n t 映射具有均匀的概率分布。 该映射特性如下： 取】专弘一_ 2 1j l + l x d x 。 ( 2 - 4 8 ) e i x 2 ，= 2 刖= 丢2 出弓 p 4 9 ， 西南交通大学硕士学位论文第1 9 页 v a m 旧一番4 出a 4 5 ( 2 - 5 。) 图2 7t e n t 映射的混沌分权图 4 ) 其他映射 二进制移位映射( b e r