（系统分析与集成专业论文）不确定非线性系统的输出反馈控制.pdf

非线性系统的控制问题是目 在有关非线性系统的状态反馈控 而言，在非线性系统的输出反馈控制方面所取得的成果却甚微，许多问题还有待 于进一步研究。特别是具有严格反馈控制结构且带有未知控制方向的一类非线性 系统的输出反馈控制设计问甄和带有常增益率的一类不确定非线性系统的全局 输出反馈稳定问题，我们更需要深一步的加以讨论与研究。本篇论文主要研究的 就是这两种非线性系统的输出反馈控制问题。 论文按照以下结构组织： 第一章：介绍所研究课题的背景知识，国内外相关研究状况和本课题研究的 理论意义和实际应用，并说明本文的主要工作。 第二章：介绍了本篇论文所涉及到的相关基础理论知识。主要包括一些篓本 的概念，相关的理论以及引理。具体来讲主要介绍了控制l y a p u n o v 函数的定义， n u s s b a u m 函数的定义以及相关引理。另外，重点介绍了b a ：k s t e p p i n g 设计方 法在非线性系统中的应用。 第三章：研究了一类带布未知控制方向的不确定非线性系统的输出反馈自适 应控制问题。由于系统的控制方向未定，因而我们引入n u s s b a u m 函数的概念。 n u s s b a u m 函数对于解决这种系统的控制问题有很大的优势 第四章：研究了带有依赖于输出自：】增益率的一类不确定非线性系统的全局输 出反馈稳定问题。该系统更具有一般性，通过设计高增益观测器以及相应的误差 系统分析，利用递归步骤设计出了相应的控制器，从而解决了系统的全局稳定问 题。 第五章：对论文内容进行总结，并提出进一步研究的方i 向 享键诩：非线性系统f 控制方向；输出反馈；高增益观测器； b a c k 一= t c p p i n 3 设计方法；n u s s b a u m 函数：增益率 n o n l i p o tal o t n o n l i n e a rs y t e m s b u tc o r a p a r a t i v e l ys p e a k i n g ，w eh a v eg o tf e w e ri nt h e , l r e ao f o u t p u t f e e d b a c ka d a p t i v ec o n t r o lf o rac l a s so fn o n l i n e a rs y s t e m s ，m o r e o v e gt h e r ea r e s t ! l lm a n yp r o b l c ：n st ob es o l v e d s p e c i a l l y , t h ep r o b l e mo fo u t p u t f e , c b a c ka d a p t i v e c o n t r o lf o rac l a ：；so fn o r l i n e a rs y s t e m si ns t r i c tf e e d b a c kf o r mw i t hu n l m o w nc o n t r o l d ir e c t i o n sa n dg l o b l eo u t p u t f e e d b a c ks t a b i l i z a t i o nf o ru n c e r t a i nn o n l i n c , a r s y s t e m sw i t h c o n s t a n ti n c r e m e n t a la b o u tw i t c hw en e e dt od i s c u s sa n dr e s e a r c hf o r t , h e ni nt i f f sp a p e r , w l l a tw ew i l lt a l ka b o u tt h e s et w ok i n do fn o n l i n e a rs y s t e m s m y t h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s ： c h a p t e r1 ，i xx r o d u c et h eb a c k g o u n do ft h ist o p i c ，i n t e r n a la n do v e r s ：a sr e s e a r c h s i t u a t i o n s ，t h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a ls i ；g t i f i c a n c e ，t h em a i nc o n t r i b u g o n so ft h i s d i s s e r t a t i o n c h a p t c r2 ，i n u o d u c et h eb a s i ct h e o r yi n v o l v e di nm yt h e s i s ，i n c l u d i n gs r i s i eb a s i c c o n c e p t s ，r e l a t e dt h e o 叮a n ds o m el e m m a s s p e c i f i c a l l yw em a i n l yi n t r o d u c et h e d e f , n i t i o no fl y a p u n o vf u n c t i o n ，n u s s b a u r nf u n c t i o na n ds o m er e l a t e di c m m a s i n a d d i t i o nw em , - k eo u rf o c u so nt h ei n t r o d u c t i o no ft h ea p p l i c a t i o no fb a c k - s t e p p i n g d e s i g ni nn o n l i n e a rs y s t e m c h a p t e r3 ，i n t r o d u c et h eo u t p u t - f e e d b a c ka d a p t i v ec o n t r o lf o ra c l a s so fn o n l i n e a r s y s t e m s 谢t l lu n k n o w nc o n t r o ld i r e c t i o n s b e c a u s eo ft h eu n k n o w nc o n t r o ld i r e c t i o n s ， w ep u l li nt h ec o n c e p to fn u s s b a u mf u n c t i o nw i t c hh a sa na d v a n t a g ei ns o l v i n gt h i s c o n t r o lp r o b l e mf o rt h i sk i n do f s y s t e m c h a p t e r4 ，i n t r o d u c et h ep r o b l e mo fg l o b l eo u t p u t f e e d b a c ks t a b i l i z a t i o nf o r u n c e r t a i nn o n l i n e a rs y s t e m sw i t l lo u ：p u td e p e n d e n ti n c r e m e n t a l o u rs y s t e m si sm o r e g e n e r a lt h a na n yo t h e r s ，b yd e s i g n i n gad y n a m i ch i g hg a i no b s 。n ，e rm a da n a l y z i n g 心e e r r o rs y s t e mb e t w e e nt h eo r i g i n a ls y s t e ma n dt h eo b s e r v e r ，t h e nw eg i v et h ec o n t r o l l e r b a s e do nar e c u r s i v ep r o c e d u r e i i c h a p t e r5 ，s u m m a r i z et i f f sp a p e r sa n dp r o p o s et h ep r o b l e mf o rf u r t h e rr e s e a r c h k e y w o r d s ：n o n l i n e a rs y s t e m ；c o n t r o ld i r e c t i o n s ；o u t p u t f e e d b a c k ；h i g h g a i no b s e r v e r ；b a c k - s t e p p i n gd e s i g n ；n u s s b a u mf 。 n c t i o n ； i n c r e m e n * a 1 3 3 3 控制器设计1 3 3 4 仿真实例18 第四章带有仅仅依赖于输出的增益率的一类不 确 定非线性系统的全局输出反馈稳定控制2 3 4 1 弓i 言2 3 4 2 问题描述2 3 4 3 观测器和误差系统2 5 4 3 1 动态高增益观测器设计2 5 4 3 2 误差系统分析及控制器设计2 6 4 3 3 稳定性分析2 9 4 3 4 控制算法设计3l 4 4 仿真3 2 参考文献：3 5 1 1 课题的研究背景 第一章绪论 非线性控制几乎是和线性控制同时发展的。在初期阶段，由于技术水平的限制，我们 研究的仅仅是一些特殊的，基本的系统。而相应的研究方法主要有绝对稳定性理论，描述 函数法，像平面法n 1 ，李亚普诺夫稳定性理论等【2 】。在现实社会生活中，由于大多数系统都 带有非线性特征，故近几十年来，人们越来越关注非线性系统的发展，并且在该控制领域 取得了相当惊人的成就。其中一些重要的控制方法有变结构控制方法，反推设计法 ( b a c k - s t e p p i n g ) ，微分几何方、法【3 一。5 1 ，微分代数方法3 。这里我们着重介绍一下反推设计 法，反推设计法产生于上个世纪9 0 年代，是由k o k o t o v i c 及其合作者共同研究出来的一 种控制设计方法，它后来在一些实际应用中( 例如：飞机及导弹控制系统设计) 发挥了重 要的作用。“反推设计法是一种非线性系统的递推设计方法，它对系统的非线性要求较宽 松，可以不具有有界性，它的控制方法是从离控制输入最远的那个标量方程开始向着控制 输入递推的方法”。因此，反推设计法具有更强的处理能力 7 】，相比其他的控制方法更具有 有效性。 近年来，不确定非线性系统的自适应控制有了很大的发展。自适应控制可以分为状态 反馈控制和输出反馈控制。然而这两种控制方法对系统的要求是不一样的。首先，状态反 馈控制要求系统的所有状态都是已知的或者是可测的，这种要求对我们的系统可以说是比 较严格的。但是，由于在实际应用中大部分的系统只有输出是可以测量的，而它的所有状 态不是全部可测的。因此，我们可以用输出反馈控制来解决这- 类的控制问题。 本文研究的是一类带有未知控制方向的不确定非线性系统的输出反馈自适应控制，这 一类系统结构更加的复杂切难以控制，人们对于这类系统也进行了大量的研究并且取得了 很大的发展。不同于单纯的不确定非线性系统的输出反馈控制，由于系统的控：括0 方向未知， 因此，用于控制单纯的不确定非线性系统的方法已不适用于这类系统。为此，人们引入了 n u s s b a u m 函数的概念，并且结合控制l y a p u n o v 函数以及b a c k - s t e p p i n g 设计方法来解决 这类系统的稳定问题。结果证明该种方法取得了良好的控制效果。虽然，在针对这类系统 的控制上，所取得的相应的控制方法还不是很广泛，但发展空间相当大，有待我们进一步 的研究。 1 2 自适应控制发展概述 “所谓自适应一般是指系统按照环境的变化调整其自身，使得其行为新的或者已 经改变了的环境下达到最好或者至少足容许的特性和功能。这种对环境变化具有自适应能 力的控制系统称为自适应控制系统【8 】，。 自适应控制系统是针对那些存在不确定性，例如：不确定性参数，线性或者非线性干 扰以及其它不确定性的系统。这种控制的前提是在控制系统自身的运动过程中实现的。“通 过对系统的输入，状态，输出或者性能参数进行不断的测量，达到了解和掌握系统的基本 特点，根据测量过程中所得到的基本信息，然后针对对系统的控制要求进行控制设计，以 便在某种意义下使得控制效果达到最优或者次最优，或达到某个预期的目的”。这就是自 适应控制的基本设计思想。 在自适应控制系统中，除了输入，状态，输出性能参数以及控制对象外还包括三部分： ( 1 ) 参数估计部分，该部分用一对受控对象进行实时在线监测，求得当前的动态特征。( 2 ) 控制决策部分，根据所能得到的系统信息，按照所要求的控制目标，实时在线的求出所需 的控制器。( 3 ) 可调控制器部分。由于系统中的结构和参数是可调的，因而可以通过控制 决策对其进行调整，使其具有良好的自适应能力。 自适应控制系统具有很多类型，主要包括( 1 ) 自校正控制系统。( 2 ) 参考模型自适 应控制系统。( 3 ) 自寻最优控制系统。 1 3 非线性系统控制概述 1 3 1 非线性系统 “所谓非线性系统，既系统的数学模型是用非线性方程所表示的”，因而非线性系统 也存在不同稳定性的概念阳h 们，包括稳定，渐近稳定，不稳定，还可能有极限环以及混沌 和分叉等。我们知道的系统有线性系统和非线性系统之分。其实在自然界中，线性系统是 非线性系统的例子，非线性系统是最一般的例子。非线性系统的研究可以为人类改造自然 界以及在社会各种活动中的决策提供科学依据。 近年来，非线性系统控制一直是控制领域中倍受关注的一个研究方向，因为在像飞机 和宇宙飞船控制，机器人学，过程控制，生物医学工程，电力系统等这些领域内都存在着 2 强烈的非线性。近些年来，我们在非线性系统控制上也取得了许多优秀的成果，许多有效 的控制方法应运而生。例如：基于l y a p u n o v 稳定性理论的控制方法n h1 “1 ，基于微分几何 理论的输入输出反馈线性化n 引，基于微分几何理论的输入状态反馈线性法，直接反馈线 性法以及b a c k s t e p p i n g 方法。但是，需要指出的是这些理论成果依赖于系统的精确数学 模型，而对多数实际系统来说很难做到。 因此，非线性控制系统理论的发展正面临新的挑战，现代科学技术领域( 如航天技术 革命，制造工业革命，信息技术革命等领域) 正面临着一些重大的变革，这就要求非线性 控制系统的思想和方法能够处理更为复杂的控制问题，为我们面临的这些实际问题提供有 效的使用控制策略，进而建立可行的计算方法，突破“线性化”的研究模式，数学方法和 计算机的高层次的结合将作为非线性控制系统思想与方法研究中的重要手段，为控制理论 在工程上的应用开辟了新的途径。在挑战和机遇面前，非线性控制系统理论有可能获得更 大的进展。 1 3 2 不确定非线性系统 上个世纪9 0 年代以来，国内外控制领域对不确定非线性系统的控制方法已经做了大 量的研究。后来微分几何理论的提出，加强了对不确定非线性系统控制方法的研究。至今， 虽然在该系统的控制方法问题上已经取得了不少的成果，但是总的来说，还处于发展研究 阶段。我们对不确定非线性系统控制方法的研究不是在研究一般的广义的不确定非线性系 统上发展起来的，而是通过对一个个具体的从简单到复杂，从特殊到一般的不确定非线性 系统的研究而逐步发展起来的。迄今，“不确定非线性系统的控制方法有：( 1 ) 相对阶与 反馈线性方法。( 2 ) 自适应逆控制。( 3 ) l y a p u n o v 函数的递推设计。( 4 ) 鲁棒自适应控制。 ( 5 ) 模糊控制。( 6 ) 神经网络控制 。而我们本篇论文主要应用的是l y a p u n o v 函数的递 推设计 1 4 。 不确定非线性系统要比线性系统以及一般的非线性系统复杂得多，因为它本身含有非 线性项，比如可能会含有不确定性干扰项或则含有其它的一些在目前来看是无法测到以及 得多。研究领域已有不少的 研究情况还是非常有限的， 加以研究与发展。 第二章基础理论介绍 在本篇论文中，我们用到了有关控制l y a p u n o v 函数，b a c k s t e p p i n g 设计方法， n u s s b a u m 函数等概念以及它们的一些性质及相关的定理。因此，在解决问题之前我们将对 这些相关概念进行阐述。 2 1 控制l y a p u n o v 函数 考虑以下的时变系统 圣= f ( x ，“) ，x 尺”，“r ，f ( o ，0 ) = 0 我们的任务就是为控制变量“设计一个输出反馈控制律a ( x ) 从而使得闭环系统 文= f ( x ，晓( x ) ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 的平衡点x = 0 是全局渐进稳定的。我们选择一个l y a p u n o v 函数v ( x ) ，它沿袭轨迹( 2 1 2 ) 的导数满足矿( z ) 一( x ) ，其中( x ) 是一个正定的函数。因此，我们需要寻找一个a ( x ) 保 证对于v x r ”有 _ o v ( x ) 厂( x ，a ( x ) ) 一( x ) ( 2 1 3 ) 这是一个比较困难的工作。能够使得( 1 ) 稳定的控制律可能会存在但是不一定满足 ( 2 1 3 ) ，因为很难选择合适的y ) 和肜o ) 。一个系统如果它对于y ( x ) 和w ( x ) 具有好的 选择性那么我们就称它具有一个。我们给出以下的定义 定义2 1 一个光滑的，正定的且径向无界的函数v ：r “寸足称为系统( 2 1 1 ) 的控制 l y a p u n o v 函数，如果它满足 骤掣似) o ) 。但是，在该系统中髻仅仅是一个状态变量而并不是控 制，因此，作为它的“期望值我们定义 毒抽= 一c i x c o s x = a ( x ) 令 z = 髻一专如= 髻- a ( x ) = 考+ c i x + c o s x 我们称考为虚拟控制，且它的期望值是一个稳定性函数。变量z 为相应的误差变量。从而 在新的坐标( x ，z ) 下的系统表示为 文= - - c | x x 3 + z 三= 善一= u 4 ( q s i n x ) ( 一c i x x 3 + z ) ( 2 2 2 - b ) b a c k s t e p p i n g 设计方法的第一个重要特征就是我们不用微分器来实现( 2 2 2 - b ) 中的吱。 由于0 c ( x ) 是一个已知的函数，所以很容易解析的完成他的时间导数如下： & ：_ t 弓t zx = 一( q s i n x ) ( 一c i s m e l i x 3 一z )a = _ x = 一【q 一 一 一x 。一z ) 现在我们需要为系统( 2 2 1 ) 选择一个控制l y a p u n o v 函数屹。我们试着在y ( ) 的基 础上增加一项有关误差变量的平方项： 圪( 硝) = m ) + i 2 2 2 = i 2 x + 三( 毒+ c i x + c o s x ) 2 则v o ( x ，专) 的导数为 吃( x ，考) = - q x 2 - - x 4 + z 【x + 甜+ ( c l - s i n x ) ( - q x - x 3 一z ) 】 通常情况下，我们会令吃为关于砧的显函数从而设计u 使它满足不等式 娑厂( x ) + 婴g ) a ( x ) 一( x ) ，其中( x ) 是一个正定的函数。从而，交叉项及就可以与甜归 o x积 到一起了。因为u 与z 的乘积还取决于圪的选取。这是b a c k s t e p p i n g 设计方法的第二个 重要的特征。现在我们来选取“使得吃为负。取 故吃的导数为 甜= - - c 2 z x 一( c l s i n x ) ( - c , x - x 3 ) ，c 2 q + l ( 2 2 3 ) 吃= 一c i x 2 一一- ( c 2 - - c ! + s i n x ) z 2 从而在( x ，z ) 坐标下的系统形式为 6 ( 2 2 4 ) 量 = ( 一c i m 。x 2 一乞+ c ：一s ；n x ) 三 积分反步设计作为一个普遍的设计工具是建立在以下假设之上的： 假设2 2 1 考虑下面的系统 童= 厂( x ) + g ( x ) u ，厂( o ) = 0 其中x r ”是状态，, r 是控制输入。则存在一个连续可微的反馈控制律 u = q ( x ) ，a ( o ) = 0 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 和一个光滑的，正定的，且径向无界的函数v ：r ”一r ，满足 一y x 【厂( x ) + g ( x ) a ( x ) 】一w ( x ) 0 ，v 工r ” ( 2 2 8 ) 其中矽：r ”_ r 是半正定的。 在该假设下，把控制( 2 2 7 ) 应用到系统( 2 2 6 ) 中去则能够保证x ( f ) 的全局有界， 并且，通过l a s a l l e s 定理，有 l i m l 矿( x ( t ) ) = 0 利用l a s a l l e s 定理以及q = r ”我们能够得到一个更强的收敛结果：x ( r ) 收敛到包含 在集合e = x r “lw ( x ) = 0 ) 中的一个最大不变集m 。很显然，如果w ( x ) 是正定的，则控 制( 2 2 7 ) 使得x = 0 是系统( 2 2 6 ) 的一个全局渐进稳定平衡点。 如果我们把上面的系统推广到一般的非线性系统，则可得到以下定理 定理2 2 1 ( 积分反步设计) 我们把系统( 2 2 6 ) 进行扩展如下： 文= f ( x ) + g ( x ) 毒 ( 2 2 9 一a ) 善= 甜 ( 2 2 9 一b ) 且假设该系统满足假设条件2 2 1 ，考r 作为它的控制。 ( f ) 如果w ( x ) 是正定的，则 圪( 硝) = m ) + 争毒一吣) 】2 ( 2 2 1 0 ) 是系统( 2 2 9 ) 的控制l y a p u n o v 函数，则存在一个反馈控制“= a 。( x ，考) ，它使得x = 0 ，考= 0 7 是该系统的全局一直渐进稳定平衡点。该反馈控制可以表示为 ；一c ( 考一a ( x ) ) + 罢兰( x ) 厂( x ) + g ( x ) 考】一昱：；( x ) g ( x ) ， c o 出cx ( j i ) 如果( x ) 仅仅是半正定的，则存在一个反馈控制满足圪s 一呒( x ，考) s0 ，从向有 呒( 五考) 。对于任意的形( x ) 。或考a c x ) 。这个可以保证系统状态医 的全局有界以及 收敛到包含在集合疋= 喜 r 斛1 i ( x ) = 。，考= a ( x ) ) 里的最大不变集a 乞。 证明引出误差变量 z = 考- a ( x ) 则系统( 2 2 9 ) 转变为 戈= f ( x ) + g ( x ) 口( x ) + z 】 ( 2 2 1 2 一a ) 三：材一罢兰( x ) 【厂( x ) + g ( x ) ( a ( x ) + z ) 】 ( 2 2 1 2 一b c x 利用( 2 2 8 ) ，则可以得到( 2 2 1 0 ) 沿着( 2 2 1 2 ) 的解的轨迹的导数为 吃：娑( 厂+ g a + g z ) + z 【材一粤( + g ( a + z ) ) 】 出伙 ：娶( 厂+ g a ) + z 【甜一罢( 厂+ g ( a + z ) ) + i 8 vg 】 出c戗 一形( x ) + z 陋一罢( 厂+ g ( a + z ) ) + 娑g 】 c 戗 从上式可以看出含有z 的项都集中在一块了。根据l a s a n e y o s m z a w z 定理，对于常量的任 意选择，只要满足吃s 一呒( x ，考) - w ( x ) ，且当z = 考- a ( x ) 时呒是正定的，则就可以保证 毛z ，号= z + 口 ，的全局有界性和对矽c x c 嘞以及z c ，的调整。而且，可以保证 三 三 收敛到 包含在鼻；合 习尺肘1 i ( x ) = 。，z = 。 里的最大不变集。 定理l 还可以应用到积分链式的系统中去，由此我们得到以下的定理 定理2 2 2 假设系统( 2 2 6 ) 满足假设条件1 ，且有a ( x ) = a 。( x ) 扩展到一系列七积分从 而“被毛所代替，而”成为系统最后一个方程的状态 叠= 厂( x ) + 2 ( z ) 己 8 考i = ( 2 z 1 3 ) pp 缸一l2 龟 邑= “ 。 对于这个系统，我们应用定理1 ，其中考。，邑作为虚拟控制，则相应的l y a p u n o v 函数为 驰，驴。，釉= m ) + 圭圭l = l 呜q - l ( 螈甜( 2 2 1 4 ) 对满足吃一呒( x ，髻。，色) 0 ，且v o ( x ，髻l 一，缸) = 0 当且仅当( x ) = 0 ， 与c a ( x ，考。，考h ) i = l ，k ，的反馈控制的任意选择则可以保证【，( f ) ，考，( f ) ，色( f ) 】r 全局有界性以及收敛到包含 在集合 包= 【，考l ”，缸】r r 肘i 缈( x ) = o ，考，= a “( x ，考。，4 1 - 1 ) ，i = l ，盼中的最大不变集心 而且，如果w ( x ) 是正定的，也就是说如果通过对考l 的设计x = 0 是g a s 的，那么( 2 2 1 4 ) 是( 2 2 1 3 ) 的一个c 矿，而且可以通过对“的设计使得平衡点x = o ，毒1 = = 袅= 0 是倒s 的。 2 3 n u s s b a u m 函数 定义2 3 1 如果连续函数，( j ) ：r r 满足条件： ( 1 ) l i m s u p ( 1c ( x 巧) = + o o( 2 ) l i m i n f ( 1f ( ) d g ) = 一 j _ cw 5 _ cw 则称o ) 为n u s s b a u m 函数。 例如，f 岭2c o s ( 硝2 ) ，f h ( + 1 ) e o s ( 4 h a ( + 1 ) ) 是n u s s b a u m 函数。从上面的定 义可以看出，并没有规定n u s s b a u m 函数是奇的或是偶的。因此，在本篇论文中选择哪一 种n u s s b a u m 函数我们将视情况而定。 下面给出n u s s b a u m 函数的性质 引理2 3 1 已知矿( ) ， ( ) 都是 o ，) 上的光滑函数，且有矿( f ) 0 ，v t o ，t f ) ，( ) 是 n u s s b a u m 函数，如果下列不等式成立： 9 v ( t ) c o + f ( g 7 ( ) + l 泻必， v ， 0 ，f ，) 其中，g 是个非零常数，c o 是个合适的常数，则有f _ g ( f ) ，f y ( f ) ，f _ f ( y 在【o ，t 1 ) 上是有界的。 1 0 第三章带有未知控制方向的一类非线性系统的 输出反馈自适应控制 3 1 引言 自从反步设计方法推出以来n 副，人们就开始利用调谐功能n 6 1 ，非线性阻尼n 引，神经网 络n 引，努斯鲍姆函数n9 圳以及其他的一些方法对构造性控制设计进行了一系列深入的研 究。 在上个世纪末，带有未知控制方向系统的控制问题已经引起了很大的关注。当控制方 向的系数未知时，控制问题就会变得非常困难了，因为在这种情况下，我们无法确定控制 操作过程将沿着那个方向。努斯鲍姆函数的介绍使得一阶线性系统的这种控制问题得到了 突破性解决。通过利用努斯鲍姆增益方法，一阶非线性系统的自适应控制问题得到解决 2 2 3 。 在研究高阶系统的第一阶段中，利用努斯鲍姆函数的反步设计方法解决了二阶系统的 控制问题1 ，然后，这种方法又成功的解决了任意阶具有三角构架形式且带有常数控制系 数的系统中汹_ 。近年来，大量的结果也推广应用到带有未知非线性函数的系统中去。 通过比较在状态反馈控制领域中取得的大量的成果，我们发现，对非线性系统的输出 反馈控制问题方面我们取得的成就却很少，而且，还存在许多问题。与状态反馈相比，控 制方向的符号未知将会在做输出反馈的观测器设置上带来很大的困难。目前，这个问题仅 仅在只含有一个未知控制系数的这类特殊非线性系统中得到解决嘲瑚1 。 在这一章中，我们将考虑这样的一类非线性系统的输出反馈自适应稳定控制设计。该 系统为n 阶的但是不带有零动态，其形式为严格反馈形式，但是含有未知的扰动和未知的 控制方向。我们将把 2 4 中只含有一个未知控制系数的情况推广。首先，我们介绍一个线 性状态转移，通过这一步，系统中那些未知的控制系数及扰动将会聚集在一起作为一个整 体。从而，原来的系统将被转换成为一个新形式的非线性系统，如果我们对这个新的系统 进行稳定性设计将会容易多了。然后，我们将设计一个降阶观测器及一个估计器分别对状 态以及参数估计。最后，利用积分反步设计我们将给系统设计一个控制器，使原来的系统 达到稳定。另外，在设计过程中我们利用调谐函数方法来消除过参数化。设计结果表明在 和缓的条件下，控制设计能够确保原系统的状态渐进收敛到零，且闭环系统的其它状态是 有界的。 3 2 问题描述 我们考虑以下形式的非线性系统 f 毫= 蜀一+ l + g l r z ( y ) ，f = l ，n - 1 矗= g n u + 0 n 7 五( y ) ( 3 2 1 ) 【y = 五 其中x = 而，x 。 2 e r n , uer ，y r 分别是系统的状态，输入和输出；初始状态x ( o ) = ； g j i = 1 ，刀称为控制系数，它们都是未知的常量；9 尺竹，；n ，f = l ，门是未知的常量 参数；z ：rjr _ ，f = 1 ，刀是仅仅关于系统输出y 的回归矩阵函数，它是已知的。 系统( 3 2 1 ) 是一种三角构架的形式，当该系统的控制方向为已知的时候，它就是 一个参数严格反馈的形式，这种情况在 1 6 中已经研究过了。但是，当系统的控制方向未 知的时候，我们的控制设计过程将会变得很困难。本章中我们将利用努斯保姆函数来辅助 我们解决这个问题。 假设3 2 1z c 。( r ；r 一) 其中z ( o ) = 0 ，对于任意的i = l ，疗，g l 0 注1 假设3 2 1 表明原点是系统( 3 2 1 ) 的平衡点，g ，是不为零的，从而满足了我们系 统的控制条件。而且该假设对我们的控制问题是非常标准的。 3 3 输出反馈自适应控制设计 以下设计过程中，我们分为三步。首先，通过一个线性状态转移使得原来的系统转变 为一个新的系统，使得新的系统的控制系数是确定的。然后，利用已取得的成果我们对新 的系统进行观测器的设置。最后，利用反步设计方法我们给出整个闭环系统的输出反馈控 制设计。 3 3 1 状态转移 设o ，= q i - i ：，g j 且f ，= _ i - i ：。，g f i = 1 ，n ，从而有 f 善，= ，卅+ o z a ( y ) ，f = l ，刀一i 1 巾 【 。= 材+ o ：z ( y ) 1 2 ( 3 3 1 ) 在系统( 3 3 1 ) 中所有的控制系数都是已知的，而且系统是低三角的形式，g ? z ( 少) 是仅 仅关于y 的函数。如果系统( 3 3 1 ) 中的所有状态都是可测的，那么我们的控制设计将 会很容易的实现，但是，由于该系统中的状态都是不可测的，所以我们需要设计一个观测 器。 2 7 中已经给出了全阶的观测器，这里我们将设计降阶的观测器。 3 3 2 观测器设置 我们考虑降阶观测器别 j 气，= “l + 岛+ l y 一向( 2 + k 2 y ) ，= 2 ，3 ( 3 3 2 ) 【。= u - - 吒( 9 2 + k 2 y ) 其中砖是待定的常数设计参数，且初始状态量( o ) = 。i = 2 ，n 。我们定义 乎= 幺，】7 ，且f = 一f 是观测误差。y , j 7 7 y 便，我们定义+ 。= “，+ 。= o 。 由以上设定，我们可以得到观测器误差动态方程 f = 爿f + a7 f ( y ) + k 0 ，满足 3 3 3 控制器设计 a r q + q a = 一i ( 3 3 3 ) 在这一部分，我们开始对系统进行输出反馈自适应稳定控制设计。整个系统包括观测 器形式如下 f = 么f + a7 f ( y ) + k 2 + 心j ， j ：2 虿( 乎：+ 袅) + 钾：( y ) ，季= 兀：。g ， ( 3 3 4 ) 善，= 善，+ 。+ k j + 。y 一向( 善：+ 艺y ) ，i = 2 ，3 。= “一屯( 2 + k 2 y ) 以系统( 3 3 4 ) 为起点，我们利户日及步议计万法进行控制议计。整个设计程序包括n 个 步骤，需要指出的是我们以下所给出的设计步骤都是在初始条件以及小时间区域 o ，t ) 上 的。 步骤0 这一步可以看作整个设计步骤中最重要的一步。我们定义 ：尺”jr ，( f ) = 善7 q f ， o 满足( 3 3 3 ) 。则有 吃= - 1 ：1 1 2 + 2 f 7 q ( o7 f ( y ) + k ：+ g y v f 【o ，o ) ( 3 3 5 ) 百j 假设1 我们可以得出f ( y ) = 妒( y ) ，r ，其中o ( y ) 是光滑的矩阵函数，我们定义它为 y 一乒( y ) = f o f ( y ) o s l ，。掣d a ，从而有 2 f7 7 f ( y ) - i 4 i i ( 旷+ 4 1 1 q 1 1 24 1 1 r 2 ( y ) 1 1 2j ，2 ( 3 3 6 ) 2 f r q k ：l 4 2 + 4 1 1 q k , 1 1 2 兀二。爵 ( 3 3 7 ) 2 彳7 必y l 4 2 + 4 1 1 0 x ：1 1 2y 2 ( 3 3 8 ) 将以上三个不等式带入( 3 3 5 ) ，有 圪一言0 f 2 0 + ，( 2 + 8 f ( y ) 0 2 ) j ，2 ( 3 3 9 ) 其中y = 4 m a x ( 1 1 _ 0 1 2 孝，若，面i i q k , i i ，i i q k , 1 1 2 ) ，弘满足o s t o 被称为自适应增益 矩阵。 因此，k 沿着轨迹( 3 3 4 ) 的时间导数为 破= 圪一6 r r ：1 3 + z 。( 季( + 己) + 印石( y ) ) 1 4 一搁| 2 + v ( 2 + 愀琊) y 2 珂r ：1 占+ 毛( 弛。+ z 2 + 彘) + d - z ( 蝴吲o ，o ) 由于上式右边的毛砭这一项含有未知的常量增益虿，由y 的定义我们可以得到 z l 蔬q 2 + 0 5 v 彳 从而有 y ( 2 + i i 户( y ) 1 1 2 ) j ，2 + 萌最+ z 。印彳( j ，) q 2 + z i u v 。( y ) 其中i f ，t ( y ) = o 5 y + ( 2 + i l f ( 少) i j 2 ) y ，o ，石r ( y ) 】7 ，令q = 石1 一q ，如果s ， i 1 ，则q 为正 数，把这些带入( 3 3 1 0 ) 式，有 砖一q 2 6 r r ：1 方+ g l o r l t 。( j ，) + z m 蚕a 。+ 萝。z 2 ( 3 3 1 1 ) 在( 3 3 1 1 ) 式中由于未知参数岳的存在，我们需要在设计过程中引入以下的努斯鲍姆函 辑! 陋。= ( 考) y ( z l ，6 ) 善= z 。，( 毛，6 ) 【矿= 磊毛+ 6 r y l ( y ) 其中，( 考) 是光滑的偶努斯鲍姆函数，我们给出它的具体形式为髻_ 毒2c o s ( g 考1 2 ) ，磊是 一个待定的设计参数。很显然，a 。是一个关于o ，毒，6 ) 的光滑函数，且当y = o ，眚= 0 时它也 是零。 将( 3 3 1 2 ) 代入( 3 3 11 ) ，则有 砖一qi l 乎1 1 2 6 r r ：1 ( 艿- o - 。) 一磊毛2 + ( 科( 考) + 1 ) 善+ 盈。z 2 ( 3 3 1 3 ) 其中仃。= r ，y ，z l ，q ( f = 2 ，n - 1 ) 在后面的步骤中我们称之为调谐函数。它在自适应控制设 计中可以避免过参数化。 注2 在( 3 3 1 3 ) 中我们可以看出，第一项和第三项是稳定的，而第二项可以通过设计 转换律使其稳定，第四项我们将会利用引理1 来具体分析。而最后一项中因为存在未知参 数虿，所以我们的设计过程将不可能再遵循以往的设计方法。不过，根据之前对于u 的定 义，我们可以把虿归到参数u 中去，从而用调谐函数对参数进行估计将会很容易的解决问 题。 步骤2 令乞= 一a i ( y ，袅，考，6 ) ，善：= 幺7 。由c 3 3 4 ) 我们很容易得到毛的动态描述。 定义：r ”r 2 ，= k + 芝1z 。2 ，则吒的时问导数满足 吃= 破+ 圭z ：2 - c , l 1 2 r - l ( 苗1 ) 妃2 + ( 到( 卅1 ) + 脚： + z ：( z 3 + a ：+ k 3 y 一如( 幺+ k 2 y ) 一孕( 虿( 受+ 幺) l ， + 印触沪鼍善一鼍6 ) ， 吲o ，。) d cd u 。 分析l 3 3 1 4 ) 瓦甲阴呆些坝，田日回阴知识，找1 i jh j 以得剑以卜一些利夭阴式于 一塑o y 砭z 2 眯2 婚v 矽o a l 2 z ：2 z 2 k , y z 2 6 2 6 2 ) - - - - z 2 ( ( 3 一如如) 虿磊+ z 2 ( k 3 一尾：屯) 袅 ( 毛一岛蛳磊z 2 s - 2 + 兰( 毛一k 2 k 2 ) 2 乞2 又 虱乞一是导袅盈：= 虿( 毛一- = 0 0 _ 1b a 2 ) 乞 鲫鲫 盈。z ：一孥彘弘+ ( 岛一如如) 硝z ：= g ( z 。一c 3 a c z _ _ l ，：+ ( 岛一如如) 砭) z 2 咖卵 一一 有以上的式子，我们可以得到 翰乞一孕袅敦+ ( 岛一如如) 繇矿挚卵石( y ) z 2 + 等砭z 24-z2(k30y o y 一乞蛳磊 跏 一 2 l 2 + 乞u r g f 2 ( 3 3 1 5 ) 其中y ：= 丢( 等) 2 2 2 ，丢( 岛一乞屯) 2 2 2 , 三一等彘乞+ ( 毛一七2 q ) 6 2 ，一堕0 3 , 们7 关于它的变量是 光滑的。 设计虚拟控制a ：= 一占：z 2 + 如幺一6 r i f ，：+ 鲁菩+ 万o r 2 1 r ：，其中叮：= 仃。+ r ，y ：z 2 。 令c 2 = c 1 2 s l ，则有 1 ) 2 - c 2m 2 邓儿( 鲁) 7 动7 止- l ( 6q ) q 彳t 矿2 ( 斟( 卅1 ) + z 2 2 3 1 6 l o , t s ) 步骤2 已经完成，剩下的步骤我们可以用递妇的方法来完成。 步骤i ( i = 3 ，n )假设巧( = 2 ，i - 1 ) 为相应的第j 步对应的l y a p u n o v 候选函 数a 为相应的虚拟控制，z j + l = + 。一a ( y ，方，毒，6 ) ，o j , c j ，y 为相应的量，假