（基础数学专业论文）关于几类广义正则半群的研究.pdf

s o m es t u d i e so ns o m eg e n e r a l i z e dr e g u l a rs e m i g r o u p s s h a hp e i - l i n g b s ( h e i b e in o r m a lu n i v e r s i t yo fs c i e n c ea n dt e c n o l o g y ) 2 0 0 8 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e p u r em a t h e m a t i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l l a n z h o uu n i v e r s i t yo ft e c h n o l o g y m a y , 2 0 1 1 册l川2m 9m 5舢8m 8 舢1胛y 兰州理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研 究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名：晕瘫磋 日期：劢，f 年莎月孑日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅 本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文同时授权中 国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过 网络向社会公众提供信息服务 作者签名： 导师签名： 张旌 心冲娟 日期：y t f 年石月f 日 日期：彦，年占月毋日 目录 摘要 a b s t r a c t 第一章引言 1 1 1 半群理论的研究背景及其意义1 1 2 国内外研究现状 1 1 3 本文的主要研究内容3 第二章关于m 单半群的注记4 2 1 富足m 矿单半群4 2 2 主要结论5 第三章半超富足半群的结构7 3 1 半超富足半群 7 3 2 结构映射8 3 3 同态与同构9 3 4 织积1 1 第四章强b 拟富足半群的平移壳1 2 4 1 强b 拟富足半群1 2 4 2 强b 拟富足半群的平移壳1 3 4 3 强b 拟富足半群的平移壳的结构2 1 结论 2 2 参考文献 2 3 致谢 2 5 附录a ( 攻读学位期间所发表的学术论文目录) 2 6 摘要 本文以若干广义格林关系为出发点，研究了若干广义正则半群首先，介绍了 g r e e n 关系，将o - 单( 单) 半群的一些性质推广到了富足0 了+ 一单( 了一单) 半 群上其次，介绍了p - g r e e n 关系，构造了半超富足半群的结构映射，并用此类映射 刻划了半超富足半群的同态与同构以及织积最后，介绍了g r e e n 一关系，研究了强 b 拟富足半群的平移壳，证明了强b 拟富足半群的平移壳仍是强b 拟富足半群， 并进一步研究了强b 拟富足半群平移壳的结构，证明了强b 拟富足半群幂等元半 格的平移壳与强b 拟富足半群平移壳的幂等元半格同构 关键词： 富足0 - 5 + 一单半群；半超富足半群；强b 拟富足半群；结构映射；平 移壳 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ea r ec o n c e r n e dw i t hs o m eg e n e r a l i z e dr e g u l a rs e m i g r o u p so nt h e b a s i so fs o m eg e n e r a lg r e e n sr e l a t i o n s f i r s t l y , w ei n t r o d u c eg r e e n + r e l a t i o n sa n d g i v es o m ep r o p e r t i e so fa b u n d a n t0 - f f * - s i m p l e ( 矿一s i m p l e ) s e m i g r o u p s e c o n d l y , w ep r e s e n tp - g r e e nr e l a t i o n sa n do f f e rt h ec o n s t r u c t i n gm a po fs e m i s u p e r a b u n d a n t s e m i g r o u p ，t h e nt h eh o m o m o r p h i s m sa n di s o m o r p h i s m so fs e m i s u p e r a b u n d a n ts e m i - g r o u pa n dt h es p i n e dp r o d u c ta r ec h a r a c t e r i z e d f i n a l l y , w eb r i n gi ng r e e n r e l a - t i o n sa n dr e s e r c ht h et r a n s l a t i o n a lh u l lo fas t r o n g l ye - q u a s i - a b u n d a n ts e m i g r o u p ， i ti sp r o v e dt h a tt h et r a n s l a t i o n a lh u l lo fas t r o n g l ye - q u a s i - a b u n d a n ts e m i g r o u pi s as t r o n g l ye - q u a s i - a b u n d a n ts e m i g r o u p ，t h ec o n s t r u c t i o no ft h et r a n s l a t i o n a lh u l lo f as t r o n g l ye - q u a s i a b u n d a n ts e m i g r o u pi si n v e s t i g a t e df u r t h e ra n di ti sp r o v e dt h a t t h es e m i l a t t i c eo ft h et r a n s l a t i o n a lh u l li si s o m o r p h i ct ot h et h et r a n s l a t i o n a lh u l lo f as e m i l a t t i c e k e yw o r d s ： a b u n d a n t0 - 了。- s i i n p l es e m i g r o u p ； s e m i s u p e r a b u n d a n ts e m i g r o u p ； c o n s t r u c t i n gm a p ；s t r o n g l ye - q u a s i - a b u n d a n ts e m i g r o u p ；t r a n s l a t i o n a lh u l l 第一章引言 1 1 半群理论的研究背景及其意义 代数学是数学中最重要的基础分支之一它随着人类生活的提高，生产技术的 进步，科学和数学本身的需要不断发展在发展过程中，代数学的研究对象和研究方 法发生了重大变化代数学可分为初等代数和抽象代数两部分，其中半群理论是抽 象代数的分支半群理论源于二十世纪五十年代，现在已经发展成为一个崭新的代 数分支和一类重要的代数系统半群理论在形式语言，自动机等领域都有具体应用 在计算机科学，自动化控制等学科的推动下，半群理论也得到了一定的发展半群理 论的广泛应用性及与其它学科的交叉性和相容性为半群理论提供了更多的研究课 题，也让人们更了解它的研究价值和意义 群论也是抽象代数的分支之一设s 是一个非空集合，“”是它的一个二元运 算称s 为群，若满足：( 1 ) s 的任意两个元素的积是s 的元素；( 2 ) 对s 中任意元 素a ，b ，c ，有a ( b c ) = ( a b ) c ；( 3 ) s 内存在一个单位元素e ，它和s 中任何 一个元素的积都等于该元素本身；( 4 ) 对s 中每个元素a 在s 中都有元素a ，使 a _ 1 a = e 而半群只需满足上述条件的( 1 ) 和( 2 ) 由此可知，半群是一类广义的群 半群有其特殊的研究对象和研究方法，独立于群论之外随着半群理论的研究发展， 半群理论取得了丰富的研究成果，也出现了很多的研究分支，大力推动了半群理论 的发展 1 2国内外研究现状 自半群代数理论得到重视后，国内外许多数学工作者进行着半群理论的研究工 作，关于这方面的研究参见文献【1 4 0 】等一个多世纪以来，正则半群的研究一直 占半群理论研究的主导地位其中，完全正则半群和逆半群最受关注，这两类半群 的研究成果主要集中在m p e t r i c h 2 1 - 矧的 ( c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p s 和 ( i n v e r s e s e m i g r o u p s 两本书中 近几十年来，广义正则半群的研究引起越来越多学者的关注，如：拟正则半群， 毕竟正则半群，g v - 半群等p m e d w a r d s 在文献 2 】中研究了毕竟正则半群，罗彦 峰1 1 8 - 1 9 1 对毕竟正则半群上的同余进行了研究，文献【2 8 】中研究了g v - 半群上的 同余关系 由于广义正则半群不具备正则半群的许多优良性质，对广义正则半群的研究有 很大困难为了研究广义正则半群，j b f o u n t a i n n 定义了广义格林关系g r e e n * 关 系，从而开始了对富足半群及其子类的研究这类广义正则半群吸引了中外学者的兴 1 关于几类广义正则半群的研究 趣，并试图把正则半群上的某些结论推广到富足半群上，j b f o u n t a i n 的a b u n d a n t s e m i g r o u p ) ) 中有很多这方面的优秀成果，郭小江1 8 _ 1 2 ，3 2 】对富足的多个子类进行了 研究并研究了富足半群上偏序关系的相容性陈益智例将性质相似的完全m 单半 群与本原富足m 了+ 一单半群相比较，根据文献 1 6 】中的完全0 一单半群的4 个等价 条件相应引入了3 个条件，研究了本原富足0 一了+ 单半群与其它3 个提出条件的 相互关系，用实例证明了完全正则半群中的结论并不能完全推广到富足半群中，进 一步说明了富足半群自身的特殊性，郭聿奇【1 3 - 1 4 】等专家都在这一领域做了很多工 作 半群结构的研究就是用一种方法对半群进行刻划或构造，方法的选择由半群的 性质确定a h c l i f f o r d 1 】最早证明了完全正则半群的结构定理：一个半群是完全正 则半群当且仅当它是完全单半群的半格j b f o u n t a i n 将这一结论推广到富足半群 的子类超富足半群上，给出了超富足半群的半格分解结构定理：半群s 是超富足的 当且仅当s 是完全歹单半群& ( q l ) 的半格，且对任意o l l ，z & ，有 e ( s ) = e ( & ) ，磁( s ) = 慰( ) 2 0 0 9 年，孔祥智1 1 7 , 3 3 - 3 4 l 定义了p - g r e e n 关系， 对p 富足半群及其子类进行了研究，并将超富足半群的结构定理推广到p 富足半 群的子类半超富足半群上，得到了半超富足半群的半格分解结构定理：爿p 是同余的 p 富足半群s 是半超富足的当且仅当s 是完全了p 一单半群& ( o l l ) 的半格，且 对任意口l ，z & ，有鹾( s ) = l g ( & ) ，磁( s ) = 磁( & ) 另外，孔祥智，袁志 玲提出了g - 强半格分解，在半群的半格分解推广方面做出了许多成果构造结 构映射也是刻划半群的一个重要方法，李师正嘲构造了带的结构映射，毕晓东例 构造了完全正则半群的结构映射，田振际【3 9 】等人构造了g v - 半群的结构映射，仇 九平删构造了g v - 逆半群的结构映射完全正则半群的有各种不同的代数结构， 其中最优美的是p e t r i c h 定理任学明阻- 2 6 】借助可消幺半群上r e e s 矩阵半群的 半格建立起了超富足半群的代数结构，给出了超富足半群的一种构造方法，推广了 关于完全正则半群结构的p e t r i c h 定理 上世纪六十年代，半群平移壳的研究受到广大学者的重视m p e t r i c h 在1 9 7 0 年提出了关于平移壳的基本理论及研究成果关于各类半群平移壳的研究人们主要 关注的是某类半群的平移壳仍为同类型的半群目前关于半群平移壳的主要结果有： 逆半群的平移壳仍是逆半群，适当半群的平移壳仍是适当半群，型a - 半群的平移 壳仍是型a - 半群，强右型a 半群的平移壳仍是强右型一a 半群，半格的平移壳仍 是半格2 0 0 7 年，彭西芹c 3 6 - 3 7 】等人定义了g r e e n 一关系，将g r e e n * 关系进一步推 广，同时将富足半群推广到拟富足半群，研究了一类特殊的拟富足半群强b 拟富足 半群上的同余丁月1 3 1 】称这类广义g r e e n 关系为弁一g r e e n 关系，并定义了咒孝关 系，将超富足半群推广到咒孝富足半群，研究了7 l f 社富足半群的半格分解结构。文 献 17 】中称这种广义g r e e n 关系为g r e e n “关系，定义了正规密码竹富足半群， 2 硕士学位论文 并给出了正规密码觅富足半群的半格分解结构 1 3 本文的主要研究内容 本文中，我们介绍了广义格林关系( g r e e n + 关系，p - g r e e n 关系，g r e e n 一关系 ) ，对几类广义正则半群( 富足0 了单半群，富足歹+ 一单半群，半超富足半群，强 b 拟富足半群) 进行了研究在第一章中，介绍了半群理论的发展背景和半群理论 在代数学的发展过程中所起的重要作用，以及广义正则半群的研究现状在第二章 中，研究了富足0 - 歹+ 单半群，将0 - 单( 单) 半群的的性质推广到了富足0 _ 矿单 ( 富足了单) 半群上在第三章中，给出了半超富足半群的结构映射，并用此类映 射刻划了半超富足半群同态与同构及织积在第四章中，研究了强b 拟富足半群的 平移壳，证明了强b 拟富足半群的平移壳仍是强b 拟富足半群，并进一步研究了 强d 拟富足半群平移壳的结构 3 第二章关于o 歹木单半群的注记 本章主要研究富足0 - j + 一单( 矿一单) 半群，将m 单( 单) 半群的一些结论 推广n t 富足o - g 4 一单( 了+ 一单) 半群中 2 1 富足。一矿单半群 1 9 7 9 年，j b f o u n t a i n 定义了g r e e n + 关系下面我们给出口关系和7 扩关系 的等价定义令s 是半群： c = ( z ，y ) s s ：( v u ，钞s 1 ) z 让= x v 兮y u = 可u ) ， 冗4 = ( z ，y ) s s ：( v u ，v s 1 ) u z = 口z u y = v y j b f o u n t a d n 还定义了其它g r e e n * 关系：矿= pv 冗+ ，h = a 冗。一般 的，记包含茁的( 冗) - 类为e ( 毯) 称半群s 是富足的，若s 的每个p - 类，冗一 类都含幂等元称半群s 的左( 右) 理想，为左( 右) 木一理想，若对任意元z ， 有优，( 尼i ) 称半群s 的子集，为木一理想，若j 既是左木一理想又是右 宰一理想注意到富足半群的木一理想也是富足半群称半群s 的所有非零木一理 想集合的极小元为s 的0 极小，- c 一理想记包含z 的最小木一理想( 左木一理想， 右木一理想) 为j ( x ) ( l + ( z ) ，r + ( z ) ) 定义z 了4y 当且仅当j ( z ) = j ( 秒) 称 含零元的半群s 是m 矿一单的，若s 2 o ) 且s 只有 o 和s 两个木一理想称 半群s 是歹一单的，若s 没有真$ - - 理想显然，含零元的半群s 是m 了一单的当 且仅当s 2 o ) 且s 只有 o ) 和趴 o ) 两个了+ 一类，半群s 是了+ 一单的当且仅 当了+ = s s 引理2 1 1 【4 】设s 是富足半群若i 是s 的左木一理想，j 是s 的右卑一理 想，则i j = inj 引理2 1 2 【4 】设s 是半群，x ，y s 则y j ( x ) 当且仅当存在z o ，x l ，z n s ，u o ，u l ，u n ，v l ，v 2 ，v n s 1 ，使得x = x o ，y = x n 且( x i ，饥观一1 仇) 扩， 其中i = 1 ，2 ，扎 文献 7 】中定义了g r e e n 关系上的偏序关系： ( 1 ) l ：l ；，若l + ( z ) l 4 ( 剪) ； ( 2 ) 成r ；，若r + ( z ) r 4 ( ) ； ( 3 ) 以占，若j + ( z ) ，( 可) 易证，对任意u ，v s 1 ，有l 乞e ，慰。呓，圪。尤 4 硕士学位论文 2 2 主要结论 命题2 2 1 设s 是富足半群则对任意正则元z s ，有j ( z ) = s x s 证明显然，s x s 是s 的理想由z 正则知，存在z v ( z ) ，使得z = z z z = ( z z ) x ( z z ) s x s 设y e 由口的定义知，y = y x z = ( y x 7 ) z ( z z ) s x s ， 故e s x s 同理可证，磁s x s 从而，s x s 是s 的包含z 的木一理想因 为，( x ) 是s 的包含z 的最小木一理想，故j 0 ) s x s 设z s x s ，则存 在u ，u s ，使得z = 让z t ，故( z ，乱z 口) d + 由引理2 1 2 知，z j + ( z ) ，故 s x sc j + ( z ) 从而，j + ( z ) = s x s 由0 了一单半群及歹+ 单半群的定义易证得下述两条结论： 推论2 2 1 设s 是含零元的富足半群则s 是o 矿单半群当且仅当对任意 非零正则元x s ，有s = s x s 推论2 2 2 设s 是富足半群则s 是了。单半群当且仅当对任意正则元 z s ，有s = s x s 定理2 2 1 设，是富足半群s 的0 - 极小宰一理想则要么1 2 = 【0 ) ，要么， 是o - 矿一单半群 证明由引理2 1 1 知，2 是s 的木一理想又由j 2 ，及j r 的极小性知，要么 1 2 = o ) ，要么1 2 = ，设1 2 = i ，则1 3 = i 设x ， o ) 且z 是正则元由命题 2 2 1 知，s x s 是s 的 l c 一理想且s x sc i 又因为，是s 的m 极小木一理想，故 s x s = i 从而i x i s x s = i = 1 3 = i ( s x s ) i = ( i s ) z ( s i ) i x i 故i = i x i 由推论2 2 1 知，j 是0 歹+ 一单半群 命题2 2 2 设s 是富足半群则s 要么没有极小宰一理想，要么有唯一的极 小木一理想 证明设，j 是s 的极小木一理想由引理2 1 1 知，j 是s 的木一理想又 由，j j ，j j 冬，及，j 的极小性知，i j = i = j 称富足半群s 的唯一极小木一理想为s 的木一核，记为k = k + ( s ) 推论2 2 3 设s 是富足半群若s 有木一核k + ，则k 是单半群 命题2 2 3 设j 是富足半群s 的真木一理想a 表示s 的包含j 的所有术一 理想的集合，b 表示纠，的水一理想的集合则映射口：j _ ，( j a ) 是从a 到b 的保包含双射 证明设p = 卯j ) 是纠，的牛一理想令j = ziz 朋p ) 对任意 l8 s ，( 仃) ( s 以) = t s p l 由于t p ，p 且p 为酬j 的理想，故( t p l ) ( s m ) p ， 5 关于几类广义正则半群的研究 即t s j ，则证得j 是s 的理想由于p 为s j 的理想等价于p 为s 刃的 理想且j 是纠朋的零元，故，p ，即i p x p 船) 则有j j 设t j ， 夕e 因为p l = ( ixi ) ul s ，故需分以下四种情况讨论：( 1 ) 鲫= ，t p l = ；( 2 ) y p t ，可i ，t p i = z ；( 3 ) y p t ，箩i ，t p l ，t j ；( 4 ) 秒以= 夕，t p i ，t ，当情况 ( 1 ) 成立时，有y p l l 劫，由t p z p 且p 为酬，的木一理想知，l 易，冬p ，故 y p x p ，则秒，从而e j 同理可证，碍，当情况( 2 ) 或情况( 3 ) 成立 时，有! ，j 则e ，同理可证，冠j 当情况( 4 ) 成立时，因为j 是s 的 木一理想，故q j 且冠，以上四种情况都表明j 是s 的 l c 一理想又因为 j i = , i p i = j p l ，j j ) = p ，故b 中的元素是j i 的形式，从而口是满射对 任意 ，, 1 2 a ，假设j 1 i = 如x ，即以，u o ) = 如vu o ) 则 v = 如v 从而 八ji = 如jui ，即五= 如从而证得口是单射对任意以，也a ，设 s 如，即以jui = , 2 ，ui 则有 ，以，从而 ju o ) = 如，u o ， 即 j 如j 即证得口是保包含的 由上述命题及定理2 2 1 可知下面结论成立： 推论2 2 4 设，j 是富足半群s 的木一理想若，c ，且不存在s 的幸一理 想b ，使得icb cj ，则, 1 i 要么是0 - 了一单半群，要么是 o ) 设s 是富足半群若尤是s 的极小了一类，则，( 3 7 ) 是s 的极小宰一理 想，即s 的木一核k + ( s ) 设可， ) 由，( 可) 是包含的最小宰理想知， ，( y ) ，( z ) 又由，( z ) 的极小性知，( 掣) = ，( z ) 故( z ，可) 了从而 以= j + ( z ) = k + ( s ) 若龙不是s 的极小歹4 一类，则p ( z ) = 可，( z ) ，占 以) 非空其实， i + ) 是s 的：i c 一理想设可i + 0 ) ，让，口s 则占 以，蠕占 j ：故 u y ，y v p ( z ) ，从而p ( z ) 是s 的理想设z q 则z 龙故尤= 占 龙从 而l ；r ( z ) 同理可证，蟛i 。 ) 于是，我们有， ) = 露ur ( z ) ，i + ( z ) = u 占：乃 露) 设b 是s 的木一理想且，4 ( z ) bc 一，0 ) 设夕b 则，( 可) b 故 ，( y ) c ，( z ) ( 即名 髭) 从而可p ( z ) 即b = p ) 由推论2 2 4 知， ，( 。) i ) 要么是。一了。单半群，要么是 o ) 于是我们得到下面的定理： 定理2 2 2 设s 是富足半群，z s 则要么 ( 1 ) 尤是s 的卑一核，要么 ( 2 ) 1 4 ( z ) = u 0 ：占 = _ 【( 入e ) + p 】e ) p p 2 = ( 入+ e ) p p 2 = e p + j d 2 f h g i 理4 1 3 知，p * p p l = p + p 2 又由弓l 理4 1 4 知，( 入a 入1 ，p * p p 1 ) = ( 入+ 入入2 ，p * p p 2 ) 反之，若( a 入1 ，矿j d l ) = ( a + 入入2 ，p * p p 2 ) ，则等式两边左乘( a ，p ) 得 即 ( a a + 入入1 ，p p + p p 1 ) = ( 入入+ 入入2 ，p p + p p 2 ) ， 硕士学位论文 ( a 入a 1 ，p p p 1 ) = ( 入入入2 ，p p d 2 ) 下面接着证瓦( q ( s ) ) 是左同余 由引理4 2 4 知，( 入+ ，p + ) 瓦( a ，p ) 由瓦和右同余定义知，需证对任意( ，7 ) q ( s ) ，( a 3 ，p 3 ) ，( a 4 ，p 4 ) e ( q ( s ) ) ，有 ( a 3 ，伪) ( ，) ( 入，p ) = ( a 4 ，m ) ( ，) ( 入，p ) 争( a 3 ，p 3 ) ( 入”，) ( a + ，p + ) = ( 入4 ，粗) ( 入”，p ”) ( a + ，p + ) ， 即 ( 入3 a ，p a p ”p ) = ( a 4 a ”入，p 4 p p ) 铮( a 3 a ”妒，朋矿) = ( a 4 a ”矿，p 4 p ”矿) 若( a 3 a ”入，朋p ) = ( a 4 a ”入，p 4 p ”p ) ，则入3 入= 入4 入”入对任意e e ，有 a 3 入”a e = 入4 入”a e ，从而 入3 入”( 入e ) + 】( a e ) = 【入4 入”( a e ) + ( 入e ) 因为s 的每个瓦一类仅包含一个幂等元且冗+ 瓦，( 入e ) 瓦( a e ) + ，故( 入e ) + 冗+ ( 入e ) 由冗+ 定义知， 【a 3 入”( 入e ) + 】( 入e ) + = 入4 入”( 入e ) + 】( a e ) + ， 即 a 3 a ”( 入e ) + = a 4 a ”( a e ) + 特殊的，令e = ( e p ) 则 a 3 a ”【a ( e p ) + 】+ = 入4 入” a ( e j d ) + 】+ 注意到 e a ( e p ) 】= ( e p ) ( e p ) = e p 由引理4 1 2 及引理4 2 1 知， e a ( e p ) 】+ = e p + 则 a 3 入”入+ e = ( a 3 a ”) ( 入+ e ) = a 3 a ”( e p + ) = 入3 入” e a ( e p ) + 】+ ) = a 3 a ” 入( e p ) + 】) e = a 4 a ” a ( e p ) + 】+ ) e = a 4 a ” e 入( e p ) + 】+ ) = a 4 a ”( e p + ) = a 4 a ”a + e 由引理4 1 3 知，a 3 a ”入+ = a 4 a ”a + 又由引理4 1 4 知，( a 3 a ”入+ ，p 3 p ”矿) = ( a 4 a ”入+ ，以矿) 反之，若( a 3 a ”入+ ，p 3 p + ) = ( a 4 a ”妒，p 4 p ”矿) ，则等式两边右乘( 入，p ) 得 】9 关于几类广义正则半群的研究 即 我们定义 ( a a a ”a + a ，p a p + p ) = ( 入4 入”a + a ，p 4 p + p ) ， ( a 3 a ”入，p a p p ) = ( a 4 a ”a ，m 7 j d ) 皿( s ) = ( a ，p ) q ( s ) ，a eue p e ) 引理4 2 6 皿( s ) 中的元素都是幂等元 证明设( a ，p ) 皿( s ) ，e e 则 a 2 e = 入( a e ) = a ( a e ) e 】= a e ( 入e ) 】= ( a e ) ( a e ) = a e 由引理4 1 3 知，入2 = 入又由引理4 1 4 知，( 入2 ，p 2 ) = ( a ，p ) ，即( a ，p ) 2 = ( 入，p ) 引理4 2 7 田( s ) 中的元素可交换 证明设( a 1 ，j d l ) ，( 入2 ，p 2 ) 皿( s ) ，e e 贝u a 1 a 2 e = a i ( a 2 e ) = a 1 ( a 2 e ) e 】 = a i 【e ( a 2 e ) 】= ( a l e ) ( a 2 e ) 一m ( a 2 e ) ( a l e ) = a 2 e ( a l e ) 】 = a 2 【( a 1 e ) e 】= a 2 a l e 由引理4 1 3 知，入1 入2 = a 2 a 1 又由引理4 1 3 知，( a i a 2 ，p l p 2 ) = ( 入2 入1 ，0 2 9 1 ) ， 即( a 1 ，p 1 ) ( a 2 ，p 2 ) = ( a 2 ，p 2 ) ( a i ，p 1 ) 由引理4 1 5 ，引理4 2 6 ，引理4 2 7 知，皿( s ) 是半格 引理4 2 8e ( q ( s ) ) = 皿( s ) 证明显然，皿( s ) e ( q ( s ) ) 另一方面，设( a ，p ) e ( q ( s ) ) 因为( a ，p ) z ( ”，矿) ，( 入，p ) 瓦( 入+ ，矿) ， 由引理4 1 1 知，( 入+ ，p + ) ( a ，p ) = ( ”，矿) ，( 入，p ) ( 矿，p + ) = ( ”，矿) 特别的有， p * p = p ，入入+ = 妒对任意e e ，有 ( a e ) 2 = ( 入a + e ) 2 = 【入( e p - ) 2 = 【入( e p + ) 】 入( e p + ) = 入 ( e p ) 【入( e p ) ) 一ma ( e p + p ) ( e p + ) 】= a 【( e p + ) ( e p + ) = 入( e p 4 ) = a a + e = a e e ， ( e p ) 2 = ( e j d 十p ) 2 = ( e 矿) 纠2 = ( 入+ e ) 纠 ( 入+ e ) 纠= ( a + e ) 【入( 入+ e ) 】) j d m ( 入+ e ) ( a 入+ e ) 】p = 【( a + e ) ( 入+ e ) 】p = ( a + e ) p = e p + p = e p e 硕士学位论文 从而，e ( q ( s ) ) 皿( s ) 于是我们可以得到以下结论： 推论4 2 1e ( q ( s ) ) 是半格 由引理4 2 3 ，引理4 2 4 ，引理4 2 5 及推论4 2 1 可以得到以下定理： 定理4 2 1 强b 拟富足半群的平移壳是强d 拟富足半群 4 3 强b 拟富足半群的平移壳的结构 引理4 3 1 嘲半格的平移壳是半格 定理4 3 1 设s 是强b 拟富足半群则f l ( e ( s ) ) 竺e ( q ( s ) ) 证明由引理4 3 1 知，q ( e ( s ) ) 是半格定义从半格q ( e ( s ) ) 到半格e ( q ( s ) ) 的映射： 口：q ( e ( s ) ) 一e ( q ( s ) ) ， ( a ，p ) - ( al e ( 研，pl e ( 研) 显然，ai e ( s ) 6 人( e ( s ) ) ，pi e ( s ) 6p ( e ( s ) ) ，且入i e ( 研和pi e c s ) 是联结的故 ( ai e ( s ，pi e ( s ) ) 6q ( e ( s ) ) 从而口是良定义的，且入i e ( 研，pi e ( s ) 是幂等的 由上节知，s 满足条件( m ) 根据引理4 1 3 容易验证，口是单射，且满足对任意 ( a ，p ) ，( a 1 ，p 1 ) q ( s ) ，入入li e ( s ) = 入i e ( s ) a 1i e ( s ) ，p p li e ( s ) = pi e ( s ) p li e ( s ) 由 于限制在半格e ( s ) 上的平移可由定义诱导出q ( s ) 上的幂等元，故口是满射设 ( a l ，p 1 ) ，( a 2 ，p 2 ) 6e ( n ( s ) ) 贝u ( a 1 ，p 1 ) ( 入2 ，j 9 2 ) 】口= ( a i a = ，p l p = ) o = ( x i x 2i e ( s ) ，p l p 2i e c s ) ) = ( 入1i 刀( s ) a 2i 刀( s ) ，p li e ( s ) p 2i e ( 研) = ( a ii e ( s ) ，p li e ( s ) ) ( a 2i e ( s ) ，p 2i e ( s ) ) = 【( a i ，p z ) 刎【( a ：，p 2 n 故口是同态映射从而8 是同构映射，即q ( e ( s ) ) 兰e ( q ( s ) ) 2 1 r r 。一 结论 本文主要研究了若干广义正则半群首先，把m 单( 单) 半群的一些性质定理 推广到富足0 一矿单( 了+ 单) 半群上，即推论2 2 1 ( 推论2 2 2 ) 和定理2 2 2 其 次，定义了一类映射，并运用此类映射刻划了半超富足半群的结构，即定理3 2 1 ，进 而用此类映射刻划了半超富足半群同态与同构及织积，即定理3 3 1 ，推论3 3 1 和 定理3 4 1 最后，研究了强b 拟富足半群的平移壳，证明了强b 拟富足半群的平 移壳仍是强b 拟富足半群，并进一步研究了强b 拟富足半群平移壳的结构，证明 了强d 拟富足半群平移壳的幂等元半格与强b 拟富足半群幂等元半格的平移壳 同构，即q ( e ( s ) ) 垒e ( q ( s ) ) 相信随着研究的不断深入和发展，有关广义正则半群的研究会越来越丰富，越 来越完善，还有更多的东西有待于我们去思考，去挖掘 2 2 参考文献 【1 】1a h c l i f f o r d ，g b p r e s t o n t h ea l g e b r a i ct h e o r yo fs e m i g r o u p s p r o v i d e n c e ：a m e r i - c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y , 1 9 6 1 【2 】p m e d w a r d s e v e n t u a l l yr e g u l a rs m i g r o u p s b u l l e t i no ft h ea u s t r a l i a nm a t h e m a t i c a l s o c i e t y , 1 9 8 3 【3 】l n e z e a k o o np r i m i t i v ea b u n d a n ts e m i g r o u p sa n dp a b l o c k e dr e e sm a t r i x8 即小 g r o u p s l e o n a r d oj o u r n a lo fs c i e n c e s ，2 0 0 7 ，6 ( 1 1 ) ：6 1 - 6 8 【4 】j b f o u n t a i n a b u n d a n ts e m i g r o u p s p r o c e e d i n g so f t h el o n d o nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y , 1 9 8 2 ，4 4 ( 3 ) ：1 0 3 - 1 2 9 【5 】x g u o ，k p s h u m o nt r a n s l a t i o n a lh u l l so ft y p e - as e m i g r o u p j o u r n a lo fa l g e b r a 2 0 0 3 ，2 6 9 ( 1 ) ：2 4 0 - 2 4 9 【6 】x j g u o ，k p s h u m as t r u c t u r et h e o r e mf o rp e r f e c ta b u n d a n ts e m i g r o u p s a s i a n - e u r o p e a nj o u r n a lo fm a t h e m a t i c s ，2 0 0 8 ，1 ( 1 ) ：6 9 - 7 6 【7 】x j g u o ，y f l u o t h en a t u a r a ip a r t i a lo r d e r so na b u n d a n ts e m i g r o u p s a d v a n c e si n m a t h e m a t i c s ，2 0 0 5 ，3 ( 3 4 ) ：2 0 7 - 3 0 8 8 】x - j g u o ，y q g u o t h et r a n s l a t i o nh u l lo fas t r o n g l yt y p e - as e m i g r o u p s c i e n c ei n c h i n a ( s e r i e sa ) ，2 0 0 0 ，4 3 ( 1 ) ：6 - 1 2 9 】x j g u o ，k p s h u m o nt r a n s l a t i o n a lh u l l so ft y p e - as e m i g r o u p j o u r n a lo fa l g e b r a 2 0 0 3 ，2 6 9 ：2 4 0 - 2 4 9 1 0 x j g u o ，k p s h u m ，l z h a n g r e g u l a rf - a b u n d a n ts e m i g r o u p s c o m m u n i c a t i o n si n a l g e b r a ，2 0 0 5 ，3 3 ( 1 2 ) ：4 3 8 3 - 4 4 0 2 11 】x j g u o a b u n d a n tl e f tc - l p pp r o p e rs e m i g r o u p s s o u t h e a s ta s i a nb u l l e t i nm a t h e m a t i c s ，2 0 0 0 ，2 3 ：4 1 5 0 【1 2 】x j g u o f - a b u n d a n ts e m i g r o u p s j o u r n a lo fj i a n g x in o r m a lu n i v e r s i t y ( n a t u r a ls c i - e n c e s ) ，2 0 0 5 ，2