（通信与信息系统专业论文）现代基站中速率变换技术研究cdma2000和wcdma多模系统实现.pdf

摘 要 第三代个人移动通信系统是个多技术标准的通信系统， 如欧洲和日 本联合提出的 wc d ma ，美国的i s - 9 5 升级版本c d m a 2 0 0 0 ，还有我国自 主开发的t d - s c d m a 。由于 我国巨 大的 通 信 市 场， 今 后 很 可能 存 在多 个3 g 标 准 系 统 并 存的 局 面。 如 何 减 少 运 营 商的设备重复投资， 同时提高 覆盖率， 并且方便用户， 将是我国今后实际通信系统迫 切需要解决的问 题。 为了解决这个问 题， 各大设备生产商纷纷将多模收发技术作为一 个重点发展技术。 在多模基站中， 射频模拟设备部分的重用率不高， 但是在a / d 采样 以后的数字信号处理部分由于软件无线电技术的应用， 使大量设备可以重用， 从而极 大的减少多模接收设备的成本。 对于数字收信机， 为了使之能够适应不同的通信制式， 要求以较高的采样频率对 接受信号进行采样， 然后在数字域通过软件或者数字信号处理算法完成对不同通信制 式的 解调及后续的相应处理。 为了 使接收机具有接受不同通信制式的能力， 就需要接 收机具有在同一采样频率和不同标准的通信制式的符号速率之间进行速率变换的能 力。 对于数字发信机， 为了使之能够在数字域对基带输出信号进行调制处理，由于一 般调制信号的频率要大于信号输出的采样频率， 因此提高输出信号的采样频率， 使得 调制信号的频率小于采样频率的一半，这就需要发射机具有提高信号采样频率的能 力。 所以 采样速率变换技术是多模技术的关键部分， 本文对不同 情况的采样速率变换 进行了深入的研究， 同时完成了实际的wc d ma和c d m a 2 0 0 0的多模接收机采样速 率变换系统的设计和仿真。 本报告主要分为两部分， 第一部分中对多采样率系统理论做了研究和分析， 第二 部分给出了实际的wc d ma和c d m a 2 0 0 0 多采样速率系统的设计实例。 关键词: 码分多址 采样率 多模基站 ab s t r a c t 3 g s y s t e m s i n c l u d e m a n y s t a n d a r d s , s u c h a s wc d m a p r o p o s e d b y j a p a n a n d e u r o p e , c d m a 2 0 0 0 , w h i c h i s t h e u p g r a d e v e r s i o n o f i s a 9 5 fr o m a m e r i c a n , a n d t d - wd m a d e v e lo p e d b y c h i n a . t h e s e s t a n d a r d s w i l l e x i s t s i m u l t a n e o u s l y , d u e t o t h e b i g c o m m u n i c a t i o n m a r k e t i n c h i n a . i n t h i s c a s e , h o w t o e l i mi n a t e t h e r e - i n v e s t m e n t f o r t h e s e r v i c e c o m p a n y , t o e n l a r g e t h e c o v e r a g e , a n d i m p r o v e t h e s e r v i c e f o r t h e c u s t o m e r s i s t h e e s s e n t i a l p r o b l e m . m a n y c o m p a n i e s r e g a r d t h e m u l t i - m o d e l t e c h n o lo g y a s t h e k e y f o r d e v e l o p i n g n o w . i n t h e m u l t i - m o d e l b a s e s t a t io n , m u c h h a r d w a r e e q u i p m e n t f o r d i g i t a l p r o c e s s c a n b e r e - u s e d s i n c e t h e s o ft w a r e r a d i o t e c h n o l o g y i s a p p l i e d o n t h e e q u i p m e n t a ft e r t h e a / d c o n v e r s i o n , t h u s r e d u c in g t h e c o s t . i n t h e d i g i t a l m u l t i - m o d e l r e c e i v e r , h i g h s a m p le f r e q u e n c y s h o u l d b e a p p l i e d o n t h e r e c e i v e d a n a l o g y s i g n a l f o r t h e s u b s e q u e n t d e m o d u l a t i o n a n d o t h e r p r o c e d u r e s . t o o b t a i n t h e m u l t i - m o d e l r e c e i v i n g a b i l i ty , t h e r e c e i v e r s h o u l d h a v e t h e c a p a c i t y o f m u lt i - s a m p l e r a t e f o r p r o c e s s i n g t h e r e c e i v e s i g n a l w it h d i f f e r e n t c h i p r a t e . a s t o t h e d i g i t a l m u l t i - m o d e l t r a n s m i tt e r , t h e b a s e s t a t i o n s h o u l d h a v e t h e c a p a c i t y f o r u p - c o n v e rt . t h e s a m p l e r a t e t r a n s f o r m t e c h n o l o g y i s t h e k e y i n t h e m u lt i - m o d e l b as e s t a t i o n s . i n t h i s r e p o r t , f i r s t l y , w e a n a l y z e t h i s t e c h n o l o g y t h e o r e t i c a l l y . s e c o n d l y , a n a p p l i c a t i o n f o r m u l t i - m o d e l wc d ma信号进行零值内 插 后， 频谱相应压缩，频率大于7 c / i 会出现高频成分 ( x ( e ) 的高频镜像)，因此 要进行相应的抗镜像滤波，滤除其镜像能量。 对于采样速率整数倍的速率变换，就可以利用内插或者是抽取来实现，中间滤 波器的设计将在后面的章节中给于介绍。 1 2 第二章 抽取和内插的两种高效结构 在进行采样速率变换的过程中，为了减少实际处理时的工作量，提高系统运算 效率，通常把相应的乘法运算安排在低采样率的一侧。这种把乘法运算安排在低采 样率一侧进行的网络结构称为高效网络结构。本章介绍了速率变换系统中的一些等 效变换和f i r系统的结构，然后得到了抽取系统和内插系统实现的两种等效结 构。 i 采样速率变换系统中的等效变换 简单的恒等变换 几，1 壮 上少 垂 t 1 c e ) 图2 - 1 一些简单的等效变换 ( a ) 、 抽取与乘常数可以 换位: 先乘以 常数后抽取，与先 抽取后乘以 常数是等效 的。 计算工作量减少为原来的i 。倍，如图2 - 1 ( a ) 所示。 ( b ) 、 零值内 插与乘常数可以 换 位:先 零值内 插后乘以 常数，与先乘以 常数后进 行零值内 插是等效的。 计算工作量减少为原 来的1 / 1 倍， 如图2 - 1 ( b ) 所示。 ( c ) 、 先调制后抽取， 与先分别 抽取后调制是等效的。而先分别抽取后调制的 乘 法计算量较小，如图2 - 1 ( c ) 所示。 ( d ) 、先调制后零值内插，与先分别零之内 插后调制是等效的。而前者的乘法计 算量较小， 如图2 - 1 ( d ) 所示。 ( e ) 、 两个信号相加后抽取， 与 两个信号 先分别抽取然后相加是等效的。 而后者 的乘法计算小较小，如图2 - 议 e ) 所示。 ( d 、 两个信号相加后零值内 插， 与 两个信号 先分别零之内 插然后相加是等效 的。而前者的乘法计算量较小，如图2 - 1 ( e ) 所示。 2 . l t i 系统的转移函 数h ( z ) 与抽取( 或内 插) 级联时的等效变 换 d 倍抽取与h ( z ) 级联的等效变换 图2 - 2 中示出了这种等效变换。在( a ) 中输入输出关系为: y ( z ) 二 h( z ) v ( z ) v ( 习 因此有 y ( z ) = 在图( b ) 中输入输出的关系为 x( z v n wr 二 。: ) 生 n - ix ( z in w )z ) - f 口 = o y , (z ) = 工 s u i _ u u ( z i i u w l ) ( : ) = x ( z ) h ( z n ) 于是 u ( z u d w i 卜x ( z l y , ( z ) d w l ) h ( z u l) w f ) n i = x ( z 0 w ) h ( z ) 所以 = h ( z ) 杏丫x ( z u 0 w l ) d-, - 比 较 () 和 () 式可以看出，所以图2 - 2中的两个模型是等效的，l t i 系统位 于抽取之后是系统实现的高效结构。 x(n (n,) ( a ) h( z ) 图 2 - 2 v ( n , ) x ( n , ) r -一， u ( n , 、 一v , ( n . ) 一石 一 i 兰甘洲丝土 ( b ) 转移函数与抽取级联的等效变换 h ( z ) 与i 倍零值内 插级联的 等效变换 图2 - 3 中 示出了 这种等效变换。 在( a ) 中 输入输出 关系为: y ( z ) = v ( z ) = x ( z ) h ( z ) 在图( b ) 中输入输出的关系为 艺 ( z ) = o ( z ) h ( z ) = x ( z ) h ( z ) 比 较 () 和 () 式可以 看出，所以图 2 - 3中的两个模型是等效的，l t i 系统位 于零值内插是系统实现的高效结构。 x ( n )v ( - , ) 一 -一 ，v ( n)x ( 二 . ) f - - 一 一 叫 个 卜奋 :二 毛 爷 个 u ( n 2 )( n 2 ) h( z ) ( a ) ( b ) 图2 - 3 转移函数与零值内插级联的等效变换 2 . 2 f i r系统的结构与多相表示 f i r 系统的特点是系统的单位冲激响 应h ( n ) 的持续长度是有限的， 其系统函数 可以表示为: h( z )h ( n ) z 洲艺间 一- 假设滤波器的阶数为n ，其中 h( z ) =h ( 0 ) z 0 h ( 1 ) z - h ( 2 ) z - + h ( d ) z - 0 n为d的整数倍，即n / d = q , q为 整数。 + + h ( q 一 i ) d z - (p - ) 0 + h ( d + i ) : 一 n . n + h ( d+ 2 ) z 一 d , 2 ) + 、 二 + h ( q 一 1 ) d + 1 ) z c9 - q d - i h ( d一 i ) z - 2 + h ( 2 d 一 1 ) : 一 d * 2 ) + h ( q 一 i ) d + 2 z - (o- - q (， 一 ， + h ( ( q 一 1 ) d+ d一 1 1 : 一 q - q d - d 十 ， 令 e , ( z ) = 艺 h ( n d + k ) ( z d ) 一 ” h ( z ) 一 艺 z - e , ( z d ) k = 0 式中e , ( z d ) 称为h ( z ) 的多 相分量，( ) 式称为h ( z ) 得多相表示。 为 h ( z ) 多相分解的第一种形式， 这种形式的多相表示适合于抽取系统， 网络结构如图 所示: )式称 其相应的 x ( n ) y ( n ) h ( z ) z-1 与匣;u) 图2 - 4 f i r系统多相表示第一种形式的网络结构 在多相分解中，如果令: q - 1 r n - i- k ( z d ) _ 艺h ( n d + k ) ( z d ) 一 ” 则h ( z ) 就可以表示成 k二0 , 1 , z - ( d - (- m ) r - 一 ， d一i ( z d ) 式 () 称为h ( z ) 多相 分解的第二 种形式， 这种形式得多 相表示适合于内 插系 统，其对应的网络结构如图所示 x ( n ) y ( n ) x ( n ) h ( z ) 图2 - 5 f i r系统多相表示第二种形式的网络结构 2 . 3抽取和内插系统直接形式的高效结构 对于 d倍的抽取，为了减少由于信号抽取所带来的混迭，一般在抽取之前要对 信号进行抗混迭滤波。如果系统不进行改进，则滤波器就会工作在高采样速率的一 端，而实际只有一部分的数据被输出，还有一部分的滤波器输出结果都被舍弃了， 这样系统的运算效率就比 较低。而且乘法运算工作在高采样频率的一端， 使得每秒 的乘法次数 ( m p s )增加。为了提高系统的运算效率，减少 m p s ，有必要采用高 效结构来实现。 z - h (n - 1) ( a )抽取的直接实现( b ) 抽取系统直接形式的高效结构 图2 - 6 抽取系统直接形式的等效变换 如图2 - 6 ( a ) 所示， 对于直接实 现的 结构，由 于h ( n ) 工作在高 采样频率， x ( n ) 的 每一个点都要和滤波器的系数相乘，但是结果是每 d个点只要一个，因此有较多 的 乘法浪费。而 2 - 6 ( b ) 图中的结构则相对比 较的合理，所需的乘法数只是( a ) 图的 1 / d， 相应的y ( n ) 和x ( n ) , h ( n ) 的 关 系为 y ( n ) = 艺 h ( k ) x ( d n 一 k ) 对于信号的内插，如果系统不进行改进，其抗镜像滤波器也是工作在高采样速 率的一端，进行卷积运算时会有大量的零参加运算，增加了运算量。同 样也有必要 采样高效结构实现，使得其抗镜像滤波器工作在低采样速率的一端。 h(n -短 z- ( a )内插的直接实现( b )内插系统直接形式的高效结构 图2 - 7 内插系统直接形式的等效变换 如图2 - 7 ( b ) 由于其直接形式的高效结构，乘法器是工作在低采样速率的一端 因 此与直接实现图( a ) 相比 较，就可以 节省不少的运算量。 2 . 4 抽取和内插系统多相表示的高效结构 将f i r系统的多相结构与多采样系统的等效变化结合起来，就可以得到抽取系 统与内插系统实现的另一种高效结构。 信号抽取实现时，将抗混迭滤波器采用多相表示的第一种形式，运用等效变 换，就得到了抽取系统多相形式的高效结构，如下图所示: 一 洲e n _ ( z ) 卜 一 ( a )抽取系统的多相形式 图 2 - 6 : l叫 奋 di一叫几 _ 间 ( b ) 抽取系统多相形式的高效结构 抽取系统多相形式的等效变换 信号内插实现时，其抗镜像滤波器采用多相分解的第二种形式，运用等效变 换，就得到了内插系统多相形式的高效结构，如下图所示: x ( n ) 凡 _ ( = ) 凡 _ 。 ) 州 r i 卜 - - - v ( n )y ( n ) ( a )内插系统的多相形式( b )内插系统多相形式的高效结构 图2 - 7 内 插系统多相形式的等效变换 由于图2 - 6、2 - 7可以看出，对于抽取和内插系统相应的滤波器都是工作在低 速率的一端，这样就降低了系统的运算量， 提高了系统的运算效率。对于多相形式 的高效结构，还可以进一步的简化为开关式的结构，如下图所示: x ( n ) 洲e - ( ) 一 曰 ( a )抽取系统多相形式的开关结构 一 一 洲 “ (= ? 卜 今 ( b )内插系统多相形式的开关结构 图2 - 8 内 插和抽取系统多相形式的开关结构 2 . 5 采样速率变换的多级实现 前面在讨论采样速率变换 ( 抽取和内插)时，都是按单级实现来考虑的，即d 倍内插或抽取均一次完成，如图2 一 9 所示，这从表面看来虽然简单， 时会碰到比较大的困难， 器h ( n ) 的阶数将非常高， 换所存在的问题。 x ( n ) r - - 一 - 一 - ， 特别是当抽取倍数d后内插倍数 i 很大时， 但是实际实现 所需低通滤波 实现的成本将会很高，下面就以抽取为例来说名单级变 h ( n ) x ( n ) 个 y ( n ) h ( n ) ( a ) d = d , * d z ( b ) 1 = 1* 1 , 图2 - 9 抽取和内 插系统的单级实现 x ( n ) h 1 ( n ) 令 d 1 h 2 ( n ) x ( n ) 个 工 t ( a ) d , * d 2 “ d h t (n ) 仁 t iz h 2 ( n ) ( b ) 1 , * 1 2 = i 图2 - 1 0 抽取和内插系统的多级实现 假设输入采样速率为f a = 5 0 mh z ，抽取倍数d为5 0 ,即最终需要得到 i m h z 的采样率，设信号能量的绝大部分集中在 0 . 3 mh z 一下，当使用单级实现时，考虑 其 抗 混 迭 滤 波 器h ( n ) 的 通 带 边 缘 频 率 几为。 3 m h z , 阻 带 边 缘 频 率人 为0 .5 m h z 设 计滤波器时，要求滤波器的 通带 误差容限为5 , = 0 .0 1 ， 阻带误 差容限为 氏二 。 0 0 1 ， 如果设 计滤波器用 f i r最佳等波纹的 设计方法 ( 最佳一致逼近) ， 则 滤波器的阶数n可用下面的公式近似估计。 n 兰 d ( 5 , 气 s ) .人一 几 只 、 f (8 , - s 三 竺- f , ) 十 1 f , 式中 d m ( s n , s . ) = a , ( 1g 8 p ) 2 + a , 1g 凡+ a 3 lg , , + a 4 ( ig 气 ) ， + a , lg b n + a 6 其中 a , = 0 .0 0 5 3 0 9 ，a 2 = 0 .0 7 1 1 4 ，a ; = - 0 .4 7 6 1 ，a 4 = - 0 .0 0 2 6 6 ， a s =f (s , 9 4 6 ，a 二 一 0 .4 2 7 8 = 1 1 .0 1 2 1 7 + 0 .5 1 2 4 4 ( 1 g s ， 一 ig s ) 按照上面的公式进行估算，得到滤波器的阶数 n为:6 3 7 。可以看出，由于滤 波器的阶数很高，相应的实现成本很大，解决这一问题的方法是采样多即实现。对 于 本 例， 假设由 两 级 抽 取 来实 现 ， 抽 取 率 分 别 为 :d , = 5 , d , = 1 0 o 对于第一级实现抽取 5 ,采样频率为f a = 5 0 m h z ,通带边缘频率几 ， 为 0 .3 m h z ， 阻 带 边 缘 频 率 人 ， 为5 m h z ， 其 通 带 误 差 容限 s p ， 一 s p / 2 一 0 .0 0 5 ， 阻 带 误 差 容限民 。 = (5 , = 0 .0 0 1 ， 相 应估 算出 来的 滤 波 器阶 数 为n , 为: 3 1 . 对于第二 级实 现抽取 1 0 ， 采 样频率为f i= 1 0 m h z ， 通带边缘频率九 2 为 0 .3 m h z ， 阻 带 边 缘 频 率f 2 为0 .5 m h z ， 其 通 带 误 差 容 限8 , 2 二 9 p / 2 = 0 .0 0 5 ， 阻 带 误 差 容限氏 : 二 对于第二级抽取 1 0 ，每秒的乘法次数为 二二 一二 二 2x5 0 3 7 e 6 ( m p s ) ，整个两级实现系统 中的每秒乘法次数为: 凡一入兀一几 汁一d尸-d n一zn一2 1 5 5 + 3 7 = 1 9 2 e 6 ( mp s ) o 由于分级实现时抽取率的分配方案很多，对于上面所举的例子中，分配方案不 一定是最优的。 可见分级抽取后，滤波器的阶数大为减小，而且每秒抽取的乘法次数也可以 减 少。所以采用多级抽取可以大大降低对滤波器的设计要求，同样对于内插，分级也 可以达到相同的效果。 本章小结 在多采样系统中，我们总是设法把乘法器运算安排在低采样率的一侧以 使得每 秒钟内的 乘法次数( m p s ) 最少。 但是在 抽取器和内 插器中滤波的 卷积运算都 在采 样率较高的一侧，本章中，介绍了采样速率变换系统中的一些等效变换和f i r的 结构，得到了抽取和内插实现的等效结构，使得其滤波器工作在低采样速率一侧， 这样就大大减少了系统的运算量，提高了系统的运算效率。 此外，本章还介绍了采样速率变换的多级实现，相对于单级实现采样速率变 换，多级实现可以大大降低滤波器的设计的要求，滤波器的阶数也会大大减少，同 时多级实现也可以减少系统的运算量。 对于速率变换，多级实现无疑是一个很好的 设计思路。 第三章任意倍速率变换 多采样速率数字信号处理技术近十几年来发展很快，已 经广泛的应用与许多领 域。本章着重研究了分数倍速率变换的技术，其中包括任意倍的速率变换的研究， 对于一些速率变换的实现方案进行详细的介绍，分析了各自的优缺点。 3 . 1引言 在软件无线电基站中，为了适应多标准的接收和发射信号处理，分数倍速率和 任意倍速率变换技术是至关重要的。对于整数倍的速率变换，我们可以使用抽取和 插值来实现，但是在实际应用中，往往会要求进行分数倍速率的变换，如何简单有 效地来进行分数倍速率变换也是近几年来通信系统实际设计的关键问题。使用内 插 和抽取的合理组合可以实现分数倍采样率转换，但如果用这种方法来实现任意倍的 采样率转换就会使结构非常复杂，从而增加成本。多项式插值和分数时延滤波器是 实现任意倍速率转换的另外两种有效手段。 信号的重建可以看作是信号进行无穷倍 插值的过程，重建过程的好坏直接与其插值函数有关。多项式 ( 或者是分段多项 式)插值虽然不是最优的插值方式，但是多项式插值滤波器可以用一特殊的 f i r 滤波器结构来实现 ( f a r r o w结构)，这种结构简单高效，实际任意倍速的速率变 换大部分都是基于多项式插值。 3 . 2分数倍速率变换的研究 对于整数倍的速率变换，我们可以直接运行信号的整数倍抽取或内插来实现， 对于信号的抽取和内插，在第一章中，已经对他们的时域上和频域上的影响进行了 详细的分析，并且也给出了相应的解决对策。但是在实际的速率变换处理过程中， 往往会出现非整数倍即分数倍的情况，这个时候就要进行分数倍的速率变换。 假设分数倍速率变换的变换率为: r=ii d 对给定的 信号 x ( n ) ， 若希望 将其采样速率转换为原来的i j d ， 可以 通过内 插和 抽取的 结合来实现。 先对x ( n ) 作d 倍的 抽取， 再作i 倍的插值来实 现: 或者是 先 作 i 倍的插值，再作d倍的抽取。一般来说，如果先对x ( n ) 作d倍的抽取，会产生 信 息的丢失，因此，合理的方法是先对信号进行插值，然后再抽取，如图3 - i 所示。 需要注意的是，在对信号进行内插和抽取的过程中，为了防止镜像和混迭现象发 生，就必须对信号在内插之后进行抗镜像滤波，在信号抽取之前进行抗混迭滤波。 在实际的处理过程中，由于两个滤波器是连在一块的，因此可以 用一个综合滤波器 来实现。其综合的滤波器的要求如下: i w 1_ m i n ( 二 / d ， 二 / i ) 其他 n曰 产!j、1 一工 尸 口 h(. x ( n ): . 一仲 f s: v ( n ) : - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一y ( n ) .:u(n): 个 h 1 ( n )h 2 ( n ) 吝d 插值 抽值工 * , f s / d :il*rs. ( a ) x ( n ) v ( n )u ( n ) y ( n ) h (n ) 卜 ， 咨。 ( b ) 图3 - 1插值和抽取的级联实现 ( a ) 使用两个低通滤波器; ( b ) 使用一个综合的滤波器 例如， 对于一个单音信号， 假设原来的 采 样频率f为 3 m h z ， 信号的 频率f 为 0 .2 m h z ，即，x ( n ) = s i n ( 2 n n f / 人 ) ， 如果 我们希望 进行速率变换以 后， 信号的 采样 频 率厂 变为4 m h z ，由 于 它 们 之 间 的 采 样 速 率 变 换厂/ 五= 4 / 3 ， 不 是 简 单 的 整 数 倍变换，需要进行分数倍变换。 速率转换的时候，先对信号进行4 倍速内插，然后 再进行 3倍速的抽取，从而得到 4 m h z的输出采样频率。由于信号的频率只有 0 .2 m h z ，远小于原采样频率的一半，因此设计抗镜像和抗混迭滤波器时，没有必 要按照式 ( )来设计滤波器，设计时考虑一定的余量，通带边缘频率取为 0 . 5 m h z ，由于插值后第一个镜像是在 2 . 8 m h z 处，阻带边缘频率取为 2 . 5 m h z ， 这 时相应的采样频率应该为 1 2 m h z ，设计出 1 7 阶抗镜像和抗混迭的滤波器，其频响 如图3 - 2 ( c ) 所示。 ( a )输入的单音信号 ( b ) 速率变换之后的输出单音 信号 ( c )抗镜像、抗混迭滤波器的 频响 图3 - 2 速率变换前后的信号和相应的滤波器频响 对于用先内插再抽取的方式来实现分数倍的速率变换，原理上比较简单，也是 比 较容易理解，但是对于这种方法也是存在着很大的局限性，即它会产生一较高的 中间 采样频率， 如图3 - 1 ( a ) 所示。 其中间 采样频率f 为 输入 信号 采样频率f in 和输 出 信号 采样频率f o u t 的最小公 倍数。即f = l c m ( f i n , f o u t ) a 对于一些简单的情况，如上例中 4 ! 3倍的速率变换，可以通过先对信号进行 4 倍速的插值，然后在进行 3倍速的抽值，由于其中间采样频率为输入采样频率 f i n 的4 倍，不是高。因此对于一些实际情况还是可行的。 但是对于一些较为复杂的情况，如 1 3 7 / 1 5 1 倍的速率变换，由于其中间的采样 频率为f in的 1 3 7 倍，中间采样频率很高，在实际的处理过程中很难实现，对于任 意倍速的速率变换就更加不用说了。对于这种情况可以 通过时变滤波器来实现。 1 . 采样速率变换的时变分析 对于图3 - 1 ( b ) 中的分数倍速率变换结 构 v(m )= 犷 (m !i)0“ = 0,1i,12i,a l 又由于 u ( m ) = v ( m ) * h ( m ) = 艺 v ( k ) h ( m 一 k ) = 艺 x ( k ) h ( 二 一 i k ) 而 输出的y ( - ) = y ( d n ) ， 这样可以 得到 输入x ( m ) 与输出y ( m ) 之间的 关系: a m ) 二 u ( d m ) 一 艺h ( d m 一 i k )x ( k ) 令 式中l p j d m k= 一” li 表示求小于或等于p 的 最大 整数， 这样， 式 () 可以 表示成 y ( - ) = y h ( d - - 刀 阴 ， _ 、 d m i u +n j ) x ( i 一n ) lij li ， ，_ d m _ _，_ 田丫u m一! 11=u m mo a t = , lij 因 此可以 得到x ( m ) 与y ( m ) 之间关系的 表达式: (脚 卜 ，鑫 h(n，二 d m 一 )、d mx( 1 一 ， 由 上式可以 看出， a m )可以 看作是将 x ( m ) 通过一个时变滤波器所得到的 输 出 。 记该 时 变 系 统的 单 位抽 样响 应为g ( n , m ) ， 即 g ( n .m ) = h ( n i + ， )一 二 n , m1)l/m 1 = 0 , 1 , . . . , l 一 1 图3 - 3 l / m倍采样速率转换结构 由式 () 或图3 - 3 可以看出，在进行分数倍的速率变换时，运用时变结构，可 以 避免较高的中间采样频率的产生，对于一些简单的场合如4 / 3 倍速率变换，也是 行之有效的。但是同样对于一些复杂的速率变换，如2 1 3 / 2 3 7 ，虽然运用时变的结 构可以 避免很高的中间频率，但由 于其抗镜像、 抗混迭滤波器h ( n ) 的 长度将会很 长， 实 现的时 候会消耗许多 存储资源， 在h ( n ) 很长的 情况下， 几乎可以 说 用上面 的时变结构式不可实现。对于这种情况，可以用后面将要介绍的另外一种时变结构 来实现。 3 . 2任意倍速的速率变换 任意倍速的速率变换包括下面三部分的速率变换:整数倍、分数倍、无理数 倍。前面分析的是简单的整数倍速率变换和分数倍的速率变换。对于整数倍的速率 变换，我们可以 通过简单的抽取或者是内插来实现。对于分数倍的速率变换，理论 上可以通过向内 插然后在进行抽取的过程来实现，如图3 - 1 所示，但是对于这种方 法，会产生一较高的中间采样频率，因此对于许多实际的情况，先插值再抽值的方 法根本不适用。对于这种情况可以通过时变滤波器来实现，如图3 - 3 所示。 对于无 理数倍的速率变换，前面所提到的方法就不适用了，同样他也只能通过时变的滤波 器来实现。 在采样率满足抽样定理的前提下，从概念上讲， 任意倍速的速率变换可以通过 将一定采样频率的 输入信号经过数模转换器 ( d / a c ) 变成模拟信号， 然后再 进行重 新采样得到另一个采样频率的输出信号。但是对于任意倍速的速率变换也不一定要 通过转换成模拟信号然后再进行重新采样来实现，我们同样可以通过数字信号处理 的方法来模拟上述的过程，从而实现任意倍速的速率变换。 1 . 离散信号的重建 假设一连续信号x ( t ) 经过采样得到离散信号x ( n t , ) ，x ( t ) 的傅里n 一卜 变换为 x ( j p, x ( - t ) 的 离散傅里n -1 变换为x ( e l ) ，由 采样理论可知: x (e ， 一 s (i n ) 一= 7 ,5 y- x (i 。 一 i m s ) 式中， t s 为 采样时间间隔，. : 二 2 1 r/ t s = 2 1e f s e 由 上式可以 看出，x ( e j ) 的 频谱是x ( j q ) 的周期延拓。 x ( i q ) 一 t z s一 s t s / 2 0 4s / 2 s t s x ( e ) 一 。 。一 q s / 2 0 s t s / 2 4 s 图3 - 4 信号采样图形导出 由于图 3 - 4可以看出，对于用离散信号重建出模拟的信号，需要一理想的低通 滤波器滤除其延拓的频谱，其频率响应是 h( j q ) q q 、 l 2 。卜k2 s / 2 兀o rlwe. - 令信号x ( n t ,. ) 通过该低 通滤波器， 其输出为y ( t ) , 得到的 频域关系: x , ( j q ) h ( i 5 2 ) = y ( i ki ) 由 图可以 看出，h ( i q ) 与x ., ( j k 2 ) 相乘的 结果是截了x , ( i n ) 的 一个周期， 则 x ) , y ( r ) 二 y( ( n , + p t ) t , ) , h ( k , u ) 应该 是 最 优的 。 ( b ) 优化设计可以根据时域上的准则或者频域上的准则来设计。 ( c ) 插值滤波器应该能够用f a r r o w结构来实现。 滤波器设计和分析的一些问题 ( a ) 设 计 能 够 根 据不同 的 f i r ， 实 时 计 算 相 应y ( 1) 的 滤 波 器。 ( b ) 分析设计出来滤波器的性能。由 于声 ， 是一变量， 所对应的滤波器也应该是 时变的，因此直接分析其离散滤波器的性能比较的困难。 一些解决的途径 ( a ) 由于h ( k , ,u , ) 其实是一分数时延p ， 的滤波器，理想的情况频域响应为 e - p ，可以设计相应 f i r滤波器使得频域响应和。 - j - n , 的偏差最小 ( 在一 定阶数的条件下)。 ( b ) 运用一些经典的 插值方 法来实时计算y ( l) ，如拉格朗日 插值、 样条插值等， 可以看出这种方法是时域上的近似，设计时以时域上的分析为主。 ( c ) 利用输入信号经过重建在采样的模型来设计插值滤波器，这里的插值滤波 器主要用于离散信号的重建。这种方法主要以频域上的分析为主。 分数时延的滤波器 对于分数时延e r w e , ，所对应的单位冲激响应可以通过离散傅里叶反夺换得到 h ;, ( n ) 一 土 一一2ir 介 - , , e d w = s i n ( 7 r ( n 一 k r ) l l r ( n 一 ,u , ) = s i n c ( n 一 p r ) 式中 一 ， n u + ) 其中c ,. ( k ) = c . ( k ) , c , - , ( k ) ， 一c , ( k ) 叭x c m ( k ) 甲 ， 二 p i , u iw - 1 , . . . . . . i i 飞|尸|上 广leseses.esesresesj 一工 令 ti p 甲c - 1 c o e f ( k , u o ) c o e f ( k , u) c o e f ( k , u _ ) 叭巴叭: c o e f ( k , u r_ ) 尸lesesj口es.，jresesj 一- 则 有t t x c m ( k ) = c o e f ( k ) 由 上式， 根据矩阵运算就可以 就算出 相应的 多 项式系 数c m ( k ) o 下面是根据上面描述的方法， 对应于滤波器的长度为8 , 通带边缘频率为 0 .6 7 r ,m 科，最终求得的多项式系数如下: 、 . k = 0k =1k = 2 k = 3 k = 4 k = 5k = 6k = 7 m = 4 一 一 。 0 3 9 9一0 . 1 6 8 2 - 0 .3 4 5 0一0 . 3 4 2 9 一0 . 1 0 7 4一。 . 0 7 9 9一。 0 8 1 0 - 0 .0 2 6 8 m = 3 一0 .0 6 8 6 - 0 .2 4 5 80 . 2 2 2 9 一0 .3 4 6 1一。 8 2 5 8 1一。 .6 4 4 8 一。 .2 6 5 5 0 . 0 6 9 3 m = 2 0 .0 1 6 3 - 0 . 1 2 2 80 . 8 5 9 8 - 1 . 5 1 7 7一0 . 8 9 3 7 - 0 . 1 5 8 0 0 .0 3 3 3 一 。 加3 7 m = 1 0 .0 4 5 40 .2 0 5 3 一 。 . 7 5 5 3- 0 . 1 3 8 3 1 一1 . 0 0 4 3 1一0 . 3 8 4 5 1一0 . 1 4 2 9 10 .0 3 7 2 m = 0 一 。 0 0 0 0- 0 .0 0 0 0一。 . 0 0 0 1 , 0 .9 9 9 80 .0 0 0 3 一 。0 0 0 2 0 .0 0 0 1 1 - 0 _ 0 0 0 0 根据这些系数求得的一些分数时延的滤波器系数的幅频响应和相位时延特性如 下图所示: 一污 一一一 一 d 二0己 z 二 e从摘布 ( a )分数时延滤波器的幅频响应( b )对应的相位时延 图3 - 1 4 不同时延下对应的幅频响应和相位时延 一些经典的插值方法 对于离散信号的重建， 最简单的方法是通过零阶保持器，另外一种简单的方法 是通过线性插值，有时又称一阶保持，即把相邻的样本点用直线直接连起来。对于 零阶保持器 ，其冲激响应h a l t ) 为: (