（基础数学专业论文）推广的马罗陀混沌和一类脉冲神经网络的理论和应用.pdf

中文摘要 摘要 这篇硕士论文共分为三章。第一章中我们介绍了混沌理论的发展历史以及 现实状况，指出了研究混沌理论的必要性。同时对神经网络方程的发展作了介 绍，指出了分析带有脉冲的神经网络的必要性。 第二章主要是马罗陀( m a r o t t o ) 混沌理论的推广。m a r o t t o 混沌理论使得判断 一般的i 2 维映射的复杂动力学行为的存在性成为可能，具有十分重要的理论和现 实意义。受到排斥回归子概念的启发，我们类似的给出了排斥异宿子的概念并 且证明了排斥异宿子同样也意味着混沌f 推广的马罗陀混沌) ，这使我们又得到 了一条判断系统混沌与否的判据。考虑到横截同、异宿轨道在动力系统中重要 作用，我们进一步讨论了推广的马罗陀意义下混沌的非线性映射受到扰动之后 的动力学行为与马蹄映射意义下混沌的关系，给出了一类系统在扰动下保持混 沌状态的条件。 在第三章里，我们首先给出了类脉冲微分方程的混沌模型，利用映射的 扰动理论证明了系统随着参数变化时具有不同意义的动力学行为。考虑到神 经网络模型的实际背景，我们把脉冲j j f i f l - 至l j c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络方程。 这一类的方程目前还很少有人讨论，在现有的几篇文章中，作者的分析过 程或多或少的存在着错误。我们分别讨论了两类没有时滞的和带时滞项的脉 冲c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络，利用压缩映像原理、b r o u w e r s 不动点原理和构 造l y a p u n o v i 甄数方法等，依次分析不动点的存在性、唯一性以及稳定性。 关键词；马罗陀混沌，排斥异宿子，横截异宿轨道，脉冲微分方 程，h o p f i e l d 神经网络，c o h e n _ g r 0 8 s b e 唱神经网络，时滞，l y a p u n o v 函数， 渐进稳定 茎茎塑鐾 a b s t r a c t t h i st h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 , w er e v i e wt h ec h a o s r e s e a r c hb a c k g r o u n da n dd e v e l o p m e n t s b e s i d e s ) t h ed e v e l o p m e n t so ft h en e u r a l n e t w o r k s & r ed i s c u s s e d ，w es h o wi tn e c e s s a r yt oa n a l y s i st h ei m p u l s i v en e u r a ln e t w o r k s c h a p t e r2i st h ed e v e l o p m e n to ft h em a r o t t oc h a o t i ct h e o r yw h i c hm a k e s i t p o s s i b l e t of i n dt h ec h a o t i c d y n a m i c so ft h eh i g hd i m e n s i o n a lm a p p i n g i n m a r o t t o sp a p e r s j h eg i v et h ed e f i n i t i o no fak i n do fc h a o s ：t h ee x i s t e n c eo fo n e s n a p b a c kr e p e l l e ri m p l i e sc h a o s ，w ea n a l o g o u s l yg i v et h ed e f i n i t i o no ft h eh e t e r o - c l i n i cr e p e l l e r sw h i c hc a ny i e l dc h a o sa l s o b e c a u s et h a tt h et r a n s v e r s eh o m o c l i n i c a n dh e t e r o e l i n i co r b i t sa r ei m p o r t a n ti nd y n a m i c a ls y s t e m s ，w ed i s c u s st h er e l a - t i o n s h i pb e t w e e ne x t e n d e dm a r o t t oc h a o sa n dt r a n s v e r sh e t e r o c l i n i co r b i t s t h e n w ec a d _ g i v es o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h i c hm a k eak i n do f p e r t u r b e di m p u l s i v e e q u a t i o nm a t a i uc h a o t i c i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ef i r s tg i v eak i n do fc h a o t i ci m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s w ec a np r o v et h a tt h es y s t e m sd y n a m i c a lb e h a v i o ri s c h a n 百n gw i t ht h e v a r i a t i o no ft h ep a r a m e t e ra c c o r d i n gt ot h et h e o r yo ft h ec h a p t e r2 a sf a ra st h e b a c k g r o u n do ft h en e u r a ln e t w o r k si sc o n c e r n e d ，w ea d di m p u l s ei n t ot h ec o h e n - g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r k s u pt on o w ，f e wp a p e r sh a se v e rd i s c u s s e di m p u l s i v e n e u r a ls y s t e m s f u r t h e r m o r e ，t h e r ea r es o m em i s t a k e si nt h ed i s c u s s i o no ft h e s ep a - p e r s w em a k e u s eo ft h ec o n t r a c t i o nm a p p i n g t h e o r y , b r o u w e r sf i x e dp o i n tt h e o r y a n dl y a p u n o vf u n c t i o nt oa n a l y z et h ee x i s t e n c ea n d s t a b i l i t yo ft h e 敛e dp o i n t s f i n a l l y , w eg i v et h er e a s o n a b l ee x i s t e n c ec o n d i t i o n sa n di m p r o v et h es t a b i l i t yo f t h ee q u i l i b r i u m k e y w o r d s ：m a r o t t o c h a o s ，h e t e r o c l i n i cr e p e l l e r s ，t r a n s v e r s e h e t e r o - c l i n i c o r b i t s ，i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，h o p f i e l d n e u r a ln e t w o r k s ，c o h e n - g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r k s ，d e l a y , l y a p u u o vf u n c t i o n ，a s y m p t o t i c a ls t a b i l i t y 2 第一章研究背景 1 1 混沌动力学 第一章研究背景 1 1 1 混沌动力学的发展道路 动力系统是数学科学中十分重要的分支。动力系统的研究不仅具有完备 的理论体系，还具有悠久的发展历史，而这一领域的开创者就是法国的数学 家朱雷一昂利庞家莱。庞家莱为了研究行星轨道和卫星轨道的稳定性问题， 在1 8 8 1 1 8 8 6 年发表的四篇关于微分方程的所确定的积分曲线的论文中，创立了 微分方程的定性理论。他提出了微分方程的解在四种类型的奇点附近的性态。 他提出了根据解对极限环的关系，可以判定解的稳定性。庞加莱还在进一步的 研究中指出了n 体问题中存在复杂动力学行为的可能性f 1 1 。从那以后，动力系统 的研究吸引了无数研究者的热情，同时先后出现了一系列的重要的工具。 从2 0 世纪5 0 、6 0 年代以来，动力系统的研究更加深入，涉及的研究领域 更加广泛( 主要涉及到分析、微分几何、拓扑和数学物理等领域) 。而研 究方法也在不断的更新变换。动力系统的研究对象不外乎连续的微分方 程，离散的迭代映射以及在流形上群的动力学行为。5 0 - 6 0 年代由前苏联数学 家k o l m o g o r o v ，a r n o l d 与m o s e r 先后完善的理论给出了关于哈密顿系统中完全 可积的系统在受到足够小的扰动后，绝大部分非共振环面仍可以保留下来的， 这一理论被后人称为k a m 理论 2 】f 3 【4 1 5 ；1 9 6 4 年a r n o l d 又进一步构造了在受扰 动的哈密顿系统中，与保留下来的拟周期环面共同存在的还有些非常不稳定 的轨道，而这些轨道在未受到扰动之前是位于振动环面和一些特定的非振动 环面上的，后人称这种现象为a r n o r l d 发散f 6 1 。事实上a r n o r l d 发散很好的补充 了k a m 理论，同时也揭示了保守系统中，确实存在混沌与有序共存的动力学 行为。 与保守系统相对应的是耗散系统。1 9 6 3 年，荷兰科学家洛伦兹在题目为确 定性的非周期流的文章7 1 中数值地揭示了混沌在耗散系统中也是存在的。文章 中的耗散系统被人们称为洛伦兹系统，洛伦兹系统是企图用来预测大气变化而 从对流问题中提炼出一组3 维常微分方程组。洛伦兹在计算方程的数值解的时候 第一章研究背景 发现，常微分方程的初值的微小变化会导致轨道在长时间以后极端不同，即所 谓解对初始值的极端敏感性。无论是k a m 理论的建立，洛伦兹方程的数值研究 揭示了复杂动力学行为在确定性方程解的长期演化中的存在性，还是斯梅尔的 马蹄映射，都为7 0 年代乃至今后3 0 年后的混沌动力学，双曲动力系统的创立和 发展奠定了重要的理论、实验和构想基础。 1 9 7 5 年华裔数学家李天岩和美国数学家约克发表了以周期3 意味着混沌为 题目的的论文i s l ，首先正式地从数学的角度提出了混沌( c h a o s ) 的概念。在 这篇文章里，作者指出简单区间上的连续映射只要具有3 周期点，则一定具 有以任何自然数为周期的轨道。事实上早在1 9 6 4 年，俄国的数学家萨科夫斯 基( s h a z k o v s k i i ) 给出了一个更为精致的定理9 1 ，定理叙述了区间上的连续映射的 周期之间出现的必然次序。无论是李天岩，约克还是萨科夫斯基的工作都揭示 了一维映射的迭代都具有远非简单的动力学行为。作为具有复杂动力学行为的 一维映射，一个十分重要而且典型的例子就是l o g i s t i c 模型，该二次模型本来是 用来描述动物种群的繁衍过程的，美国的生物学家r o b e r t m a y 在他的文章里描 述了这类简单模型中的由周期向混沌演化的复杂动力学行为。从此，混沌动力 系统的研究以及与混沌现象相关联的应用进入了一个全新的发展阶段。 1 1 2 混沌的几种定义 无论是数学家还是物理学家，研究混沌学的首要问题是如何给看见的混沌 作出定义。这定义不仅要求有严格的数学语言，而必要的是合理的解释在计 算机模拟，理论推理中确实出现的动力学行为现象。 1 9 7 5 年，李天岩和约克首先给出了一个混沌的定义i s l 。事实上，这是第一 次用混沌这个词来描述区间上的连续映射所具有的复杂动力学行为。 定理1 2 1 若f ：j l ，是连续映射，j 是豫中的一个闭区间。假设存在。满 足：6 = f ( ) ，c = f 2 ( 。) ，d = f 3 ( o ) ，并且d o c ) ，则 以下性质成立： ( 1 1 对于任意自然数k ，区间j 上具有f 的周期为k 的周期点： ( 2 1 存在个不包含f 周期点的不可数集合scl ，满足对任意的p ，q s ，q p 有： l i r as u p j f ) 一f ( g ) j 0 ，l 蛐i n fj f ( p ) 一f 。( g ) i o ； k 呻o 。 k - 呻。 一d 一 第一章研究背景 ( 3 ) 对于任意p s ，周期点g j 有 l i m s u pi f “( p ) 一p ( q ) l 0 n + o 。 作为定理1 2 1 的一种特殊情形便是具有周期3 的区间上的连续映射具有以一 切自然数为周期的周期点。萨科夫斯基( s h a r k o v s k i i ) 给出了一个更为精致的定 理 9 】，定理描述了区间上的连续映射的周期点的周期出现的一个次序。 定义1 2 2 我们按照如下的方式对自然数进行重新排序，用睁表示不同的数 之间的前后顺序，而按照下列方式排列出来的数列叫萨科夫斯基数列。首先将 自然数中的奇数从小到大进行排列， 3 5 睁7 睁9 1 1 睁一 然后是所有奇数2 的幂次倍数的自然数的升序排列，于是可以得到 3 5 p 2 3 2 5 p2 “，3 2 “5 最后2 的幂次方的自然数都按照降序排列 3 睁5 睁p2 “3 p2 “5 p2 “+ 1 2 “p 2 2 p2 定理1 2 3 若f 是区间lc 刚j 突到& 上的连续函数，如果f 有一个周期为n 的点 并且n 睁，那么f 具有周期为k 的周期点。 无论是李约克还是萨科夫斯基。他们的工作都揭示了一维映射迭代确实具 有远非简单的动力学行为。但是在实际生活中，我们见到的更多的是高维甚至 于无限维的系统。1 9 7 8 年，马罗陀( m a r o t t o ) 1 0 l ：进- - 步将李- 约克的定理推广到 了黔中的连续可微的映射的情形，使得判断一般的n 维映射的复杂动力学行为 的存在性成为可能。下面给出的就是关于马罗陀的定义和定理的描述。 定义1 2 4 如果f 2 m 中连续可微的映射f 的不动点矿满足以下条件： ( 1 ) 如果存在一个实数r 0 ，对于耳( z + ) ( 以点z 为中心半径为r 0 的闭 区域) 中的任意一点茁的雅科比矩阵d f ( z ) 的所有特征值的模( 绝对值) 大于1 ； ( 2 ) 存在岛( 矿) 中的一个点，存在大于1 的自然数n 0 ，使得f ( x o ) = 并且点z o 是退化的，目 1 d e t d f ( z o ) ) 0 ， 则称矿是映射f 的一个排斥回归子。 第一章研究背景 定理1 2 5f ：r “一册是连续可微的映射且具有一个排斥回归子，n z , 以下性质成立： ( 1 ) 存在一个自然数n 满足对于任袁和n ，f 具有周期为p 的周期点； ( 2 ) 存在一个不包含f 周期点的不可数集合s 满足： ( a ) f ( s ) cs ； ( b ) v x y s ， l i m s u pj i f “( z ) f ( 可) j j 0 ； k 。 ( c ) 比s ，y 是f 的任意一个周期点， l i m s u p0 p ( z ) f 。( ) i | 0 ； 一o 。 ( 3 ) 存在s 的子集s 0 ，对于任意x y s o ， 1 1 m i n fi i f ( z ) 一f 2 扫) i i = 0 马罗陀对高维系统混沌的定义，事实上就是按照李一约克定义来的，但是他给 出了一个相对更容易验证的条件。近三十年来马罗陀定理被许多学者用来分 析具体的复杂高维系统的动力学行为。后来的作者也对其证明过程进行了考 证。1 9 9 8 年，c h e n 等人在文章 2 2 】中指出了马罗陀定理证明中存在的错误，并加 以修正。但是应该指出的是，马罗陀定理的错误事实上源自于其对排斥回归子 定义的一个逻辑错误。林伟在其博士论文f 4 1 i 中对此作了具体的分析并给出了易 于使用的判定定理。此外还有学者将马罗陀定理进一步推广到流形上或拓扑空 间上。 1 2 脉冲神经网络的稳定性分析 在过去的2 0 年里，神经网络的研究得到了许多学者的关注和迅猛的发 展。1 9 8 2 ；g ，霍普费尔德( j j h o p f i e l d ) 1 1 1 2 】提出了霍酱费尔德神经网络模 型： 掣一酬讣似删+ z 其中 扎= ( u 1 ，一，) t ，b = d i a g ( b 1 ，一，b 。) ，a = ( ) 。， 6 第一章研究背景 g ( u ) = g l ( u 1 ) ，( u 。) 】t ，j = ( 以，厶) 7 h o p f i e l d 神经模型的提出使人工神经网络的研究有了突破性的发展，他把神经网 络看成是非线性动力系统，引入t l y a p o n o v 数的方法，使网络的收敛性和稳 定性的研究有了明确的判据。1 9 8 3 年，c o h e n 和g r o s s b e r g 给出了另外一种神经 网络方程酚模型的稳定性讨论f 1 3 j 。他们讨论的模型是形如： 在他们的研究基础上，后来的很多作者对这些类型的方程进行了深入细致 的研究f 2 3 ，3 3 3 8 1 。由于神经网络的实际背景，所以模型中不可避免的出现 时滞的现象。带有时滞的c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络在这些年已经得到了广 泛的关注和讨论，得到了很多关于系统稳定的充分条件，这些具体可以参 见 2 4 - 3 2 1 。2 0 0 3 年，t p c h e n 讨论了这样一类具体的模型 2 8 】： ! 铲= 一o i ( 讹( t ) ) 【6 ( 啦( t ) ) 一圣。玎岛( 嘶( t ) ) 一b i j g j ( u j ( t 一吁) ) + 列，i = 1 ，2 ，n 文章用t l y a p u n o v 函数和l m i 方法给出了系统全局渐进稳定还有指数稳定的判 据。但是现实生活中生物学中的演化模型还有经济学中的最优控制问题模型， 他们的明显特征就是系统出现的突然跳跃，这种突然跳跃的现象被称为脉冲。 其实带时滞的的脉冲微分方程的已经引起了一部分人的关注 1 4 - 1 7 1 ，但是对于 同时具有脉冲和时滞的神经网络模型还很少有人讨论。在 2 0 i 和【2 l 】中，g u a n z h i h o n g 分别在h o p 丘e l d 型神经网络和自适应神经网络中引入了脉冲，其具体 模型为 c i d x 产一斋砜+ t t j y j d v j + 驯= ”一，几， ” j = l 和 掣一叩 + _ 薹。玎f j ( x j ) ) d u j + 薹( 卜州d w j + 引，i = 1 ，2 ，n 作者在文章中讨论了不动点的存在性并且用h a l a n a y 硝i 等式和v 函数的方法证 明了不动点的指数稳定性。在证明存在性的时候，作者是g t 一1 ，t k ) 时 和t ：“时满足的两个方程组成的方程组求解不动点的存在条件。可是由 n2l | | z 勺 。岸 一茁 p z0 = z 第一章研究背景 于k = 0 ，1 ，2 ，作者所得到的关于不动点的存在条件是非常苛刻的，在实际 应用中也是不可行的。因此给出这类脉冲神经网络系统的合理分析是十分必要 和有实际意义的。 第二章推广意义下的m a r o t t o 混沌和横截异宿轨道 第二章推广意义下的m a r o t t o 混沌和横截异 宿轨道 2 1 推广意义下的m 盯o t t o 混沌 根据马罗陀所给出的排斥回归子的定义，类似给出排斥异宿子的概念。 定义2 1 1 我们称z l ，z 2 是映射f 的排斥异宿子，如果以下三个条件成立： ( 1 ) z l ，。2 都是映射f 的不稳定的平衡点，即对于每一个不动点都存在局部 不稳定流形w 急( x d i = 1 2 ； ( 2 ) 存在均大于1 的自然数尬 1 ， 如 1 以及玑( z 1 ) ，驰w 盏( 。2 ) 满足： f m ( y 1 ) = 2 ，f 耽( 抛) = x l ； ( 3 ) d e t f m ( y , ) j 0 ，i = 1 ，2 。 定理2 1 _ 2 若离散映射f ：口n 一胛t 具有一对排斥异宿子，那么以下性质 成立： ( 1 ) 存在自然数n 满足对任意整数p n ，f 具有周期为p 的周期点； ( 2 ) 存在两个不包含f 周期点的不可数集合& ，i = 1 ，2 ，s l n s 2 = d 满足： ( a ) f ( & ) c 最，i = 1 ，2 ； ( b ) v z y 鼠， l i r a s u p1 i f ( 茹) 一f ( 训i 0 ； k _ ( c ) v z & ，y 是f 的任意一个周期点， l i m s u pi i f ( z ) 一f “( ) | 1 o ； j + ( 3 ) 存在& 的子集母，i = 1 ，2 满足对任意。，y s , 0 ， 1 i m i n fi t f ( 。) 一f ( 们= 0 。 一9 一 第二章推广意义下的m a r o t t o 混沌和横截异宿轨道 证明定理证明的关键在于对给定的自然数，对于任何一个p n ，总可以 在任何一个排斥不动点的不稳定流形中寻找一个集合，并且在这个集合上构造 一个不变映射，从而保证在这个集合中存在映射f 的周期p 点。 因为 f m i ( 9 1 ) = d e t f m l ( y 1 ) 】0 ， 则一定存在z 。的一个邻域， b 1 ( x 2 ) ci 喵。( z 2 ) ， 和玑的一个邻域， 岛( y 1 ) c 仉馁( z - ) ， 存在映射： f m 1 ：b 1 ( z 2 ) b 2 ( 1 ) 而且f - m 1 在b l ( 。2 ) 上是连续的而且是1 1 的 类似地存在z 1 的邻域b 3x 1 ) 和2 的邻域b 4 ( 2 ) 满足 f 一恤：b 3 ( 茁1 ) 一目( 9 2 ) 而且f m 2 在b 3 ( 石1 ) 上是连续的而且是1 1 的。 因为b 2 ( 可。) ci 铊。( 石。) ，根据不稳定流形的定义，我们可以找到一个自然 数旷 0 。当肛2 旷，我们有 f 一”( b 2 ( 9 1 ) ) cb 3 ( z 1 ) 既然f 一尬：b 3 ( z 1 ) 一玩) ，令 a 掣f 一恤 f 一一( 岛( 9 1 ) ) 】cb 4 ) cw t o c “( x 2 ) 同理我们可以得到自然数矿 0 。当u 矿， f 一”( a ) cb l ( 。2 ) 定义映射 冗“。= f 一”f 一地f 一”f m 1 ：b l ( z 2 ) b l ( 茹2 ) 一1 0 第二章推广意义下的m a r o t t o 混沌和横截异宿轨道 根据映射的构造过程，易验证映射r ，e b l ( z 2 ) 上是连续且1 1 的。根 据b r o u w e r 不动点原理，存在p f “( a ) 亡b 1 ( x 2 ) 满足： 吼，。( p ) = p 即 f ”) = f ” r p p ( p ) = f m 2 f 一“f - m i ( p ) 也就是 f m l + 尬+ p + ”( p ) = p 当b - ( 。2 ) 充分小的时候，f 1 ( a ) nf 1 + 1 ( a ) = d ，于是 p f 一”( a ) ，p = f m i + m 2 + p + ”( p ) 隹f 一”+ 1 ( a ) 所以p 是周期为慨+ 尬+ p 十u 的周期点，则我们可以把n 取成m + + 矿+ 矿。 其他的性质可以类似于马罗陀定理的证明。同样，我们也可以考虑并证明t 在 邻域b a ( x 1 ) 上的映射及相应的周期点及其他性质。定理2 1 2 得证。一 在以后的讨论中称由扫# 斥异宿子产生的混沌为攉广的m a r o t t o 混淹。 2 2 横截异宿轨道 同宿轨道和异宿轨道无论是在离散动力系统还是连续动力系统地分析中都 是十分重要的研究课题。如果离散系统存在横截同宿点，那么其有限次迭代与 符号动力系统中的双边移位算子是拓扑共轭，丛而可以知道映射在不变集上具 有混沌动力学行为。马罗陀意义下的混沌映射与符号动力系统中的有限性移位 算子是拓扑共轭的，在林伟的博士论文 4 1 中他讨论了马罗陀混沌映射与横截同 宿轨道之间的关系。下面进一步推广马罗陀定理，讨论马罗陀混沌映射和横截 异宿轨道的关系。 下面利用一个推广m a r o t t o 意义下混沌的离散映射f ：郧“一席n ，专句造一个 新的2 m 维的映射： j 吣l 2 f ( 茁n ) + a g ( x n ，鼽 ( 2 1 ) iy n + 1 = b x 。+ 打( z 。，) 、。 其中a ，b ，c 均为常数，ye 胛，g ：r mx 舻一妒，t ：r 仇r m 一舻是 充分光滑的函数而且均不依赖于斫口c 。考虑在怎样的条件下，这个映射还是具 一1t 一 第二章推广意义下的m a r o t t o 混沌和横截异宿轨道 有复杂的动力学行为。下面提到的横截异宿轨道是指一个不动点的局部不稳定 流形和另一个不动点的稳定流形横截相交。横截异宿轨道的定义可以参考横截 同宿轨道 3 9 。首先给出一个引理： 引理2 2 1 假设o = b = c = 0 ，f 有一对排斥异宿子。则存在r o 满足系 统的( 2 1 ) 的r 次迭代具有横截异宿轨道。 证明因为b c0 ，则系统( 2 1 ) 可以写成 t ：( 嚣，y ) 一( f ( z ) ，0 ) 不动点( z l ，0 ) 和( z 2 ，0 ) 的稳定流形分别是曲面z = x l j f g x = x 2 ，它们都和平 面v = o 是垂直的。所以3 ( 乱，o ) 和w 5 ( x 2 ，o ) 都和平面= o 横截相交。 由于映射f 是推广的m a r o t t o 意义下混沌的，故存在 y l l 矿诺。( 。1 ) ，y 2 i 矿& ( z 2 ) 和整数 m l 1 m 2 1 满足： f m l ( 可1 ) = 茁2 ，f m 2 ( 可2 ) = x l ， 而且 d e t f m ( y | 1 ) 0 ，i = 1 ，2 令r = m a x ( m 1 ，埘j ) ，不失一般牲，我们假设a 矗兰a 磊，则 r = m 1 ，f ( y 1 ) = x 2 ，f 7 ( ) = x l ； 而且 d e t f ( 9 1 ) - d e t f m i ( 9 1 ) 0 ， d e t p ( 现) ! = d e t 【f 慨( 现) ld e t 【f r - 地 1 ) 1 0 于是有 f ( ) c ( z ，y ) r ”r “i y = o 与w 5 ( z 2 ，0 ) 横截相交， f ”( 比) c ( z ，y ) r ”品“i 可= 0 ) 一1 2 第二章推广意义下的m ”o t t o 混沌和横截异宿轨道 与w 3 ( 。l ，o ) 横截相交。也就是说个不动点局部不稳定流形上的一个片断与另 一个不动点的稳定流形是横截相交的。而 t y 8 ( z 1 ，o ) ，u 佬。( 。1 ，0 ) 和w 3 ( 。2 ，o ) ，w 0 ( z 2 ，0 ) 仍然是映射p 相应的稳定和局部不稳定流形。而且 ( ，) ( 玑) 一x 2 ，( f ) 2 ( 抛) 一x l ，( t 一+ o 。) ； ( f ) 2 ( 9 1 ) 一x l ，( f 7 ) 。( 耽) 一z 2 ，0 一一o o ) 于是引理2 2 1 得证j 根据双曲流形的可微依赖性f 4 0 j 可得如下定理： 定理2 2 2 若映射f 是推广m a r o t t o 意义下混沌的，存在充分小的正 数n ，6 ，d 满足当 a ，l b i 0 ，系统( 2 1 ) 的r 次迭代具有横截异宿轨道。 证明对任意b ，令 i = 卢z 。 i = 卧 则系统( 2 1 ) 变成 卜+ 15 譬 归。1 卜矾引( 2 2 ) 【玑“2 百 易见映射h 仍然是推广m a r o t t o 意义下混沌的。于是根据定理2 2 2 ，存在充分小 的6 ， 0 以及充分大的r 0 ，当i 丢i 粤即可，而且上述变换显然是可逆的线性变换，所以系 统( 2 1 ) 的r 次迭代具有横截异宿轨道，定理2 2 3 得证。 作为上述定理的一个应用，将在第3 章讨论一类脉冲微分方程的混沌理论时 给出。 一1 3 第三章脉冲微分方程 第三章脉冲微分方程 带有脉冲的动力学现象普遍存在于许多的系统之中，有的系统因为具有脉 冲而周期振荡，有的则因脉冲而紊乱异常，这些现象普遍存在于生物神经网络 系统之中。在这一章中，首先讨论一种特定的周期脉冲输入系统的混沌现象； 而后给出两类实际的c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络模型在加入定脉冲后不动点的 稳定性分析。 3 1 脉冲微分方程的混沌模型 根据第2 章的结论，可以给出一类脉冲微分方程产生混沌动力行为的充分条 件。这里所说的脉冲微分方程的基本定义可以参见文献【1 8 】，【1 9 】。 定义3 1 1 考虑如下常微分方程的初值问题： 鲁训柚) ， iz ( t o + 0 ) = x o ， 其中，( t ，z ) ：【0 ，+ o 。) d r ”。如果存在卢 0 ，对于任何【0 ，十o 。) 与z o d ，使系统( ，) 在( t o ，t o + 卢) 上都存在唯一解 ( ；t o ，如) ：( t o ，t o + 卢) 一胛 而且虿关于初始值z o 是连续依赖的，那我们称初置问题( + ) 是可解的。特别 的，当f 不显含时间t 时，称( ) 是自治可解的。 定义3 1 2 若初值问题可解，我们考虑如下系统： i 象一f ( t ，z ) ，t ，k = 0 ，1 ，2 一， 血( t ) = 厶( t ，z ( ) ) ，扣t k ，= 0 ，1 ，2 ， ( 3 1 ) 【z ( o + 0 ) = 。+ 其中 f ( t ，。) ： 0 ，十。o 】d 一砂， 厶( t ，z ) ：【0 ，+ o o d 一砂，k = 0 ，1 ，2 ； 脉冲时间序列： r ) 嚣。一o o ，( r 7 _ - oc 【 o ，+ 。) ) 苎三童壁i ! 墼坌立型 是- - 歹, j 严格单调递增的序列。而且 s u p t k + i 一亿) 反a x ( t ) = z ( t + 0 ) 一茁( ) ， 则称( 3 1 ) 是可解的脉冲微分方程。当+ l 一三t ，( 3 1 ) 称为周期脉冲输入函 数。 当常微分方程被加入特定的脉冲信号后，可能会产生混沌动力学行为。 假设( 3 1 ) 自治可解，且是周期为t 的脉冲输入系统，脉冲周期输入函数具 有如下形式： 厶扛) = 日( 玑+ s 。) 一z ，t = 靠，k = 0 ，1 ，2 - ，( 3 2 ) 其中 冁) i 荫2 = y k + l = g ( y k ) ，k = 0 ，1 ，2 ，e 是个实数。p o i n c a r e 栅栏为： ( t ，x ) l x d ，t = k t ，= 1 ，2 ， 记系统的积分曲线和p o i n c a r e 栅栏的交点坐标为( t ，z k ) ，k = 1 ，2 下面要确 立。t 和5 9 k + l 的关系。 根据脉冲微分方程的定义，有： x x = z ( 亿+ ) 一z ( ) = 日( 弧+ 。( “) ) 一z ( ) ， 所以z ( h + ) = h ( 玑+ e z ) ) 。当亿= k t ，根据自治系统解的定义： x k + l = 。( ( + i ) t ) = 万( + 1 ) t ；茁( 南t + ) ，k t ) = 烈丁；z ( t + ) ，0 ) 磐皿t ( t + ) ) = 皿t ( h ( 玑+ 。( k 丁) ) ) = 田r ( 月( 玑+ 5 z k ) ) d = e f ( 挑+ 船k ) 于是 = 三篙 根据微分方程解的理论，皿t 是一个同胚；而如果假设日也是同胚，那么k 也是 同胚当h g l ( e l 是充分小的正数) ，对( 3 3 ) 的第一式在鲰处进行展开： 2 ：k + l = k ( y k ) + e d k ( 口) z k + 5 d ( 0 嚣k 1 1 2 )( 3 4 ) 因为k 是同胚， k = g ( ! 肌一1 ) = g ( k 一1 ( 。k ) 一e z 一1 )( 3 5 ) 第三章脉冲微分方程 由( 3 4 ) 和( 3 5 ) 得到： k + 1 = k ( g ( k 一1 ( z 女) 一z k 1 ) ) + d k ( y k ) x k + s 2 0 ( 1 l x k | | 2 )( 3 6 ) 当h e 3 = m i n ( 1 ，e 2 ) ( 其中e 2 是使k g 可以在一1 ( z ) 展开的充分小的正数) 将( 3 ，6 ) 在k _ 1 ( 茁k ) 展开后，有 x k + l = k g k 一1 ( z k ) 一e d ( k g ) ( k 一1 ( 。) ) z k l + d k e ( k 一1x k ) 一e x k 1 ) z k + 9 2 0 ( 1 l x k l l 2 ) + e 2 0 ( 1 1 茁h 令z k = z k l ，贝f j p o i n c a r e 映射可以写成 三b 汁州，引 慨， 当= 0 ， z k ) ， 玑) 具有相同的动力学行为，因为它们是拓扑共扼的假设 玑 是推广m a r o t t o 意义下的混沌，那么 z k ) 也是推广m a r o t t o 意义下的混沌。由定 理2 2 3 ，系统f 3 7 ) 的足够大次迭代具有横截异宿轨道。于是根据流形的可微依 赖性，一定存在4 ，当h 0 ，当o h 0 ，我们对系统( 3 9 ) 加入脉冲，使得系统 n a i ( x i ( t ) ) f b i ( x t ( t ) ) 一eq j f 3 ( x j ( t ) ) d u j + j ， ( 3 1 0 ) j = 1 其中 d u ，= 1 + 巯( ( t ) ) d ( t 一“) ， k = o t o t l 0 满足亟o 。( 甄( t ) ) s - ： ( e b ) 6 ( ) c 1 ( r ，r ) ，胁兰6 ：2 “ 0 ，而且6 i 1 局部l i p s c l l i t z 连续； ( 凰) 存在如 o 满2 ：l j ( x ) 一f a y ) i l j x 一hl 厶( z ) i 坞，v x ，y r 其 中己，i j o 是常数。 ( 日5 ) i i ( 1 + ) l j 一咋 0 ，j = l ，n - 对于上面给出的方程( 3 ，i o ) ，不动点= ( z ：( ) ，。；( t ) ，。：( t ) ) 满足： z ：( f ) ) = z 鑫，t p k ，t k + 1 j ，k = 0 ，l ，2 ，一， ( 3 l i ) 和 0 = b i ( x * k ) 一。订矗( 。氟( 1 + 岛k ) - 4 - 厶，i = l ，2 ，n ；k = 0 ，1 ，2 ，一- ( 3 i 2 ) j = l 定理3 2 1 假设条件( 日1 ) 一( 风) 都成立，则系统( 3 1 1 ) 存在唯一不动点轨= z ：。 证明为y i , t n ( 3 1 0 ) 不动点的存在性，我们可以首先证明系统( 3 i o ) e e 间te 【t k , t a + l 】内存在唯一不动点。证= 。纛a 令 对妒= 1 ，q o 。) r n i i 足： 只 ( 妒，) = 6 i ( 协) 一办( ) ( 1 + 岛k ) + 五，i = 1 ，一，n ；k = 0 ，1 ，。一( 3 1 3 ) j = 1 定义映射： 氐：妒1 妒一；r ( 妒) ，妒彤， 一1 8 第三章脉冲微分方程 | | a k 妒2 一a 妒l i i = | i 妒：一妒。+ ；r ( 妒1 ) 一；r ( 妒2 ) | | 钏纩纩；掣( i 啪州 钏e 一；掣l 妒2 - - c ，o i i i 其中e 是。单位矩阵，竺坠盟：( 笔生) 。满足： d 妒d 零瓣徽 l i e - jd f 。k ( ) i i 口，o a l ， ( 3 1 4 ) z ：= ( z 和一，z 款) r r “ l i e - ；警忙器( 扣一( 嘞( 1 协) ) 1 + l c t j ( 1 + 岛k ) ( 白) 1 ) ) 1 0 ，则得到： 旧一z 1 百d f k ( ) 膦 妒州吲1 州阱。三，i 蚓( 1 圳) 。船咿1 一屹+ l i 0 ，由假设条件知： 丽1 ( p u + i ( 1 + a j ) i l j ) 0 ， 一2 0 一 ( 3 1 7 ) ( 3 ，1 8 ) 第三章脉冲微分方程 则系统( 3 1 1 ) 1 拘不动点是全局渐进稳定的。 证明系统( 31 0 ) 不动点的全局稳定性，其实就等价于系统( 3 1 7 ) 平凡不动 点的全局稳定性，为此考虑l y a p u n o v 函数 。 矾譬) 忡) 2 赤如 则对于系统f 3 1 7 ) 有 咖姒啪= 耋揣警 = 玑( t ) 【也( t ) ) + q ( 1 + 岛砸( t t k ) ) 妒，( 驰( ) ) 】 i = 1j = 1 = u nnn十 = 一玑( t ) 也( 玑( t ) ) + 玑( t ) c = f j ( 1 + 岛西0 一“) ) ( 聊( t ) ) l = 1t = lj 皇lk = 0 nn n十o o 一m ( 轨( t ) ) 2 + 。嵇( 1 + e 岛r d ( 一t k ) ) y i ( t ) 妒j ( y j ( t ) ) i 1看1j = 1 ；o 一e ( 鼽0 ) ) 2 + ( 1 + 九) f l ；撕2 0 ) n 8 l# l + 句i ( 1 + ) 易l y d t ) l l u j ( t ) j 8 1 m 却。 一( 鼽( t ) ) 2 + i c “( 1 + a , ) i l , y 2 ( t ) ) i 3 l 8 1 + ；1 c j ( 1 + b ) i ( 诉0