（系统理论专业论文）几类非线性发展方程的精确解.pdf

关键词：变系数s c h r 6 d i n g e r 方程，m k d v 6 方程，h i r o t a x 2 线性方法， 暗孤子解，b ；i c k l u n d 变换，非线性叠加公式，p 函数形式解 t 呷 i ， _ _ i 丫t l l l f f f l f f 8 u f f l f o l l l l l l 4 l l l l l l 5 l l l l l l 0 1 l l l 5 t l l l l 、 e x a c ts o l u t i o n st os e v e r a ln o n l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n s a b s t r a c t t of i n de x a c ts o l u t i o n st os o l i t o ne q u a t i o n si sa ni m p o r t a n ta s p e c ti n s o l i t o nt h e o r y i ti so fi m p o r t a n ts i g n i f i c a n c ei nu s i n gh i r o t a sb i l i n e a r m e t h o mb i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ，n o n l i n e a rs u p e r p o s i t i o nf o r m u l aa n ds o o nt os e e kt h es o l i t o ns o l u t i o n so ro t h e rf o r ms o l u t i o n so fs e v e r a lc l a s s i c a l e v o l u t i o ne q u a t i o n s ，s u c ha sk d v e q u a t i o n ，m k d ve q u a t i o n ，s c h r 6 d i n g e r e q u a t i o na n d t h ee q u a t i o n sg e n e r a l i z e df r o mt h e m 毗p a p e r m a i n l ys t u d i c st h o s ef o u re q u a t i o n s ：g e n e r a l i z e dn o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o nw i t h t h ev a r i a b l ec o e f f i c i e n t ( v c - n l s ) ，t h em k d l e q u a t i o n ，t h es c h r o d i n g e r e q u a t i o nw i t hd e r i v a t i v e sa n dt h ea k n sh i e r a r c h y sf i r s ta n ds e c o n de q u a - t i o n s t h e s p e c i ew o r k o ft h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t sa sf o l l o w s ： i np a r to n e ，w ef i r s ti n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do ft h es c h r i s d i n g e re q u a t i o n ，t h e nw eb r i e f l ys h o wt h ed e f i n i t i o na n de l e m e n t a r yp r o p e r t i e so ft h e b i l i n e a ro p e r a t o r s i nt h en e x ts t e p ，w ed e d u c et h eb i l i n e a rf o r m so ft h e v c n l se q u a t i o ni nd e t a i l t h e nw eu s et h eh i r o t a sb i l i n e a rm e t h o dt og e t h i r o t ad a r kn - s o l i t o ns o l u t i o n i nt h ee n d ，af e wf i g u r e so fs o l u t i o n su n d e r s e v e r a ld i f f e r e n tc a s e sa r es h o w nw h e na l e a t o r i cc o n s t a n t sa n dv a r i a b l e s a r eg i v e ne x a c tv a l u e s 、 i np a r tt w o ，w ef i r s ti n t r o d u c et h eo r i g i no ft h em k d v 6 e q u a t i o n ，t h e n t h eh i r o t af o r ma n dt h en s o l i t o ns o l u t i o no ft h i se q u a t i o na r ec o n s i d e r e d i nt h em e a n w h i l e n e x t ，w ed i s c u s st h eb 荟c k l u n dt r a n s f o r m a t i o nu n d e rt h e r a t i o n a lt r a n s f o r m ，a tt h es a m et i m es o m er e s u l t sa r ed e r i v e df r o mi t a n d t h en o n l i n e a rs u p e r p o s i t i o nf o r m u l ai so b t a i n e di nf i n a l m t h es o l u t i o no ft h en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o ni nt h ef o r mo f0f u n c t i o ni sm a i n l ys t u d i e di np a r tt h r e e t h ef i r s ts t e pi st oi n t r o d u c et h ed e f t n i t i o no ft h e0f u n c t i o na n ds o m eim p o r t a n tf o r m u l a sd e v e l o p e df r o mt h e c o m b i n a t i o no fh i r o t ao p e r a t o r sa n dt h e0f u n c t i o n s e c o n d l y t h ee x a c t s o l u t i o n so ft h r e ec q u a t i o n su s i n gt h em e t h o da b o v ea l eo b t a i n e d ，i n c l u d i n gt h es c h r i s d i n g e re q u a t i o nw i t hd e r i v a t i v e sa n dt h ef i r s ta n dt h es e c o n d e q u a t i o n so fa k n sh i e r a r c h y d u r i n gt h er e s e a r c hp r o c e s s ，w ec o m et o u n d e r s t a n dt h e 雌r e n tt r e a t m e n t so fb i l i n c a rd e r i v a t i v ee q u a t i o n si nf i n d m gt h es o l i t o ns o l u t i o na n dt h es o l u t i o ni n0f o r m i ti ss h o w nt h a tt h e r e a r em a n yp o w e r f u lt o o l si ns e a r c h i n gf o re x a c ts o l u t i o n so fs o l i t o ne q u a - t i o n s ，a n ds i m u l t a n e o u s l yw ec o m et or e c o g n i z et h ep r o sa n dc o n so ft h o s e k e yw o r d s ：t h es c h r s d i n g e re q u a t i o nw i t ht h ev a r i a b l ec o e f f i c i e n t ， t h em k d v 6e q u a t i o n ，h i r o t ab i l i n c a rm e t h o d ，b i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ， n o n l i n e a rs u p e r p o s i t i o nf o r m u l a ，0f o r ms o l u t i o n 一i p k l 。 目录 摘要 i a b s t r a c t 目录 l 绪论l 1 1 孤立子理论的产生与发展1 1 2 非线性发展方程求解的几种方法介绍2 1 3 论文的主要工作和结构3 2 变系数s c h r i k l i n g e r 方程4 2 1 s c 啪出n g e r 方程研究背景简介4 2 2 双线性导数的定义及性质5 2 3 变系数s c h r 6 d i n g e r 方程的双线性方程6 2 4 用h i r o t a 双线性法求变系数s c h r & l i n g e r 方程的暗孤子解 8 2 5 变系数s c h r & t i n g e r 方程孤子解的几种特殊情况1 1 3m k d v 6 方程1 7 3 1m k d v 6 方程1 7 3 2m k d v 6 方程的双线性导数方程及孤子解1 8 3 3m k d v 6 方程的b i i c k l u n d 变换及其精确解2 0 3 4m k d v 6 方程的非线性叠加公式2 4 4 非线性发展方程的类周期解2 6 4 1秒函数的定义及双线性导数下的公式2 6 4 2a k n s 方程族的第一和第二方程的类周期解2 6 v llr rr-一 o川i 4 3 带导数s c h r i s d i n g e r 方程的类周期解 参考文献3 2 致谢3 8 在学期问的研究成果及发表的论文3 9 学位论文独创性声明及授权声明加 学位论文诚信承诺书4 l v i p 一 ， 0 i 1 绪论 1 1 孤立子理论的产生与发展 非线性科学是近年来在综合各门以非线性为基本特征的科学研究基础上逐 步形成和发展的，旨在揭示非线性系统的共同特征和运动规律的一门跨学科的 综合性科学自从2 0 世纪下半叶开始，非线性科学的研究获得了前所未有的蓬勃 发展，已经成为当今世界各学术团体和研究机构的热门课题我国也在搿八五计 划一把。非线性科学一列为国家十大重大课题之一自2 0 0 1 年起更列为国家重大 基础研究发展规划( 9 7 3 计划特别经费资助) 项臣孤立子与可积系统是非线性科 学研究中的重要分支，它把应用数学与数学物理完美地结合在一起，是最早能在 自然界中观察到，并且可以再实验室产生的非线性现象之一孤立子是一种非常 特殊的孤立波即它可以与相同类型的波发生碰撞却不遭到破坏，依然保持原状 行进这种现象可以通过数值模拟观察到 孤子的发现应追溯到1 8 3 4 年的夏日，英国科学豹s r u s s e l 骑马正沿着一条运 河岸道旅行偶然发现在狭窄的河床中共行走的船突然停止前进，被船体带动的 水团积聚在船头周围并剧烈地翻动着不久。一个圆形且轮廓分明的巨大孤立波 峰开始形成，并急速离开船头向前运动波长约l o 米，高约0 5 米，在行进中波的形 状和速度并无明显变化这次发现的奇特景观促使r u s s e l 开始广泛的水波实验研 究并称它为孤波 近三十年来。其应用已经深入自然科学和工程技术的不同学科，其中包括：流 体力学、等离子体物理、量子场论、光纤通信、化学与生物系统等等在这其 中，涌现出了大量的非线性系统，而非线性偏微分方程则是这些系统的必要描述 载体其中包括等离子体中的非线性薛定谔方程，振子运动的t o d a 链与二维流体 流动的k p 方程等为此对非线性微分方程的研究则成了目前众多学者所关心和 研究的课题它是否较好地描述了要描述的客观现实? 它所揭示的运动规律是如 何演化的? 诸如此类问题的解决都涉及到非线性偏微分方程解的研究，而这也是 本文写作的重点和核心 l i l 一 l l 绪论 1 2 非线性发展方程求解的几种方法介绍 一般来说，寻找非线性偏微分方程的精确解是一件非常困难的事所以对一 般的偏微分方程，在难以求得方程显示解的情况下，我们退而求其次分析解的存 在性、唯一性和稳定性：或者借助于计算数学理论和计算机技术，对解进行数值 模拟和分析尽管未能得到显示解，但在对探索解的过程中同样推动了非线性科 学的发展 多年来，许多数学家和物理学家在探索解的过程中做了大量的研究工作，直 至今日已经成功发现了许多行之有效的求解方法虽然这些方法也不一定能适用 于所有的偏微分方程，但毕竟对解决某一类方程提供了方向和思路常见的有反 散射方法【l 】，b i i c k l u n d 变换和d a r b o u x 达布变换【2 ，3 】，h i r o t a 方法【4 ，5 】，非线性叠加 公式【6 8 】、w r o n s k i a n 技巧【9 ，1 0 等 其中h i r o t 极线性方法是h i r o t a 教授于1 9 7 1 年提出的一种获得孤子解简单直 接的方法其一般步骤为：首先通过引入位势的适当变换，将孤子方程化为双线 性导数方程，然后把扰动展开式代入到双线性导数方程中，在一定条件下该展开 式可以截断至有限项，并可得到线性指数函数形式的单孤子解，二孤子解和三孤 子解等具体表达式，并由此猜测孤子解的一般表达式这种方法的优点在于，它 是一种代数而非解析的方法：而且求解仅与方程有关，不依赖于方程的谱问题 或l a x 对- 具有广泛的适用范围，几乎遍及所有反散射变换可解的方程，虽然该方 法的缺点是对于给出的孤子解不能给出严格的数学证明 b i c k l u n d 变换，是1 8 7 3 年由b i c k l u n d 在研究伪球面时提出的一种变换，如同 逆散射变换一样，已经成为寻求非线性波方程精确解极其有效的工具它通过建 立一个非线性偏微分方程的解与另一个已知的非线性偏微分方程之间的关系或 者通过建立一个非线性偏微分方程两个不同解之间的联系，然后由己知解，也叫 种子解，来导出新的解虽然b i c k l u n d 变换能把一个很复杂的方程的解和一个简 单的方程联系起来，但是这种变换的系统方法依然很难找到本文的b i i c k l u n d 变 换建立在双线性导数方程的基础上双线性形式的b i c i d u n d 变换可以用来产 生逆散射方法里用到的删、新的孤子方程，以及m i u r a 变换一个双线性形 式的b i i c k l u n d 变换对应于一个双线性算子的交换公式同时，迄今为止，所有 的b i c h u n d 变换都可以约化为p f 碉试恒等式且通过比较可以认识到b i c k l u n d 变 换和双线性导数方法在求解方程孤子解中的异同点 2 v j r -月 l 1 绪论 基于双线性导数方法和b 自i c k l u n d 变换，我们还可以构造非线性叠加公式来求 解方程的精确解 当然求解非线性发展方程的方法还有很多，比如说w r o n s k i a n 技巧，7 - 一函数方 法。非线性化方法等等这些方法都有其优点和缺点，针对不同的方程他们发挥着 不同的作用而本文的主要方法即是上面所详细提到的三种 1 3 论文的主要工作和结构 本论文主要是在双线性导数方法和b i i c k l u n d 变换的理论指导下，配合使用 非线性叠加公式以及0 函数的特殊性质，深入研究了几类具有代表性的非线性 偏微分方程全文内容共分四章其中第一章为绪论，简单介绍了非线性科学 的背景和非线性偏微分方程求解的主要几种方法第二章内容主要围绕变系 数s c h r o d i n g e r ( v c - n l s ) 方程本章首先介绍双线性导数的定义和基本性质其次 详细推导v c o n l s 方程的h i r o t 极线性导数方程；接着利用h i r o t a 方法求解该方程 的暗孤子解：最后通过求解r i c c a t i 方程的特解，给出了该方程几个解的特殊 情形，并附图比较第三章的主题则是最新发展方程k d v 6 方程的推广m k d v 6 方 程的相关内容包括：m k d v 6 方程的产生过程；m k d v 6 方程的双线性导数形式， 孤子解，b i i c k l u n d 变换，推广的b i i c h u n d 变换、非线性叠加公式等；最后一章我 们求解的是几类方程其他形式的精确解类周期解主要方程是a k n s 方程族的两 个代表方程和带导数s c h r 6 d i n g e r j y 程主要方法是将双线性导数和p 函数的特殊 性质相结合 3 k 2 变系数s c h r 6 d i n g e r 方程 孤子方程也可称为具有可积性的方程，它具有一系列的基本性质，利 用h i r o t a 双线性方法求出孤子方程的一孤子解也是其具有可积性的重要条件之 2 1 s c h r 6 d i n g e r 方程研究背景简介 非线性s c h 埔d i i l g e r 方程( m l s ) i q t + q 船+ 仃i q l 2 q = 0 ， ( 2 1 ) 其中o r 取值的正负决定着我们求得的一孤子解的两种不同类型，我们分别称它们 为暗孤子和亮孤子该方程在光纤通信传播等很多物理领域起着非常重要的作 用 1 1 1 7 】近年来，随着科技的发展，一般常系数的标籼方程已经满足不了现 实的需要，因而变系数n l s 方程则应运而生比如说有 1 s 2 1 】 讹+ 忆+ 2 9 ( ) i 矽1 2 矽+ 主譬妒= o ， ( 2 1 1 ) j u t - i - 去u 嚣+ i u l 2 t l x ( b + c s i n w o u = 0 ( 2 1 2 ) 到2 0 0 7 年时，s e r k i a 推广并命名之为非自治变系数n l $ 方程 2 2 】 f q t + 掣+ 州t ) i q l 2 q 一( 2 q z + 掣z ：) q - 0 ( 2 1 - 3 ) 该方程在很多领域都起着重要的作用，尤其光纤通信的分散管理方面 2 3 2 7 对e q ( 2 1 1 ) 学者梁等人【2 8 】已经通过d a r b o u x 变换得到了一族亮孤子解，张 和杨【2 9 】通过推广的t a n h 函数法得到了该方程的单暗孤子解和单亮孤子解 对e q ( 2 1 2 ) ，学者们则是应用经典的反散射方法得到了该方程的单暗孤子解和单 亮孤子解 2 1 1 4 u t - 一 “qj 2 变系数s c h r b d i n g e r 方程 前不久，印度学者k | u n d u 【3 0 】则将上述几类方程再加以推广得到以下方程， i 西。+ 竺箬石船+ 仃冗( 亡) i 辛1 2 百一( 2 a ( ) z + ! 箬z 2 ) 石+ ( t ) + t 6 ( t ) ) 奄：o ，( 2 1 4 ) 并且通过各种变换证明了上述方程可以转换成标准n l s 方程 3 1 3 4 1 其中q ( t ) 和口( t ) 是关于t 的任意函数，k ( t ) 代表群速度色散参量，r ( t ) 是非线 性参量，7 ( t ) 是围谐势参量，最后6 ( t ) 表示收益分配函数也就是说通过恰当的变 换可以从e q ( 2 1 4 ) 退化到上述三个方程( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) 甚至其他 我们都知道仃在n l s 方程中起着至关重要的作用口 0 和仃 2 ，( n ) = 9 ，即级数被截断从而 我们得到方程的单孤子解为 帆牡 吴聊) 等群， ( 2 4 9 ) 其中m ( t ) = e x p ( i m l x 2 + l ( t ) x + h ( t ) + 丁( t ) ) 同样，类似上述过程，我们可以得到方程的双孤子解设 夕( 1 ) = e x p ( z ( t ) z4 - h c t ) ) ( a le 】( p l + a 2e x p 舌2 ) ，( 1 ) = e x p f a + e x p 已， ，( 2 ) = a o e x p ( f l + 巳) ，夕( 2 ) = b o e x p ( 1 ( t ) x + h ( t ) + 荨l + 巳) ， 6 = ( t ) z + h a t ) ，叼= e x p ( 2 i o j ) o = 1 ，2 ) ， ( 2 4 1 0 ) 其中f j ( ) 和h a t ) 类似满足e q ( 2 4 8 ) ，a o 和b o 为未知复常数 将e q ( 2 4 10 ) 代入上述方程，并记 唧a - 2 = ( 霜s i n s 乒2 - 学) 2 ， ( 2 4 1 1 ) 我们得到 a o = e x p a l 2 ，b e = e x p ( a x + a 2 + a x 2 ) ( 2 4 1 2 ) 从而双孤子解形式为 讹归伽坐煎笔牿慧等裳蒜鬻瓮等堕型 ( 2 4 1 3 ) 由此我们可以得到暗孤子解如下 讹归偿m ) 导 ( 2 4 拖) 1 0 1 - 一叫卅iii_ 其中 g ( z ，t ) = e x p ( 脚( 白+ 2 l 岛) + 助肌知) ， p = o ，1j f f i l t j o r a 0 讹) = 可- 2 i a 丽( ae x 丽p ( 2 m ) + b ) 川t ) - 等( 意端) 2 ( 2 5 2 口) 啪) = 采端一4 as i n 可o jex硒p(at)矿(exp(2at)4-b)， t a t ) = s m 如焉篙岛! ( j = 1 , 2 , - - - , n ) ( 2 5 2 b ) ( 2 5 2 c ) 情形3 ：指数型( 即分式型中取a = 0 ) 类似地，k = 2 ，兄( t ) = 2 e x p a t ，y 2 = 一尝m l ( t ) = 一害，给出以下参函数的 显示表示： ：t 弩川= 一万4 c t 2 i t ， b ( 亡) = s i n 2 0 j t e x p 一( 2 a t ) 一8 a s i n 可o je x p ( a t ) ， t a t ) = 2 s i n 0 了e x p ( a t ) ，0 = 1 ，2 ，n ) ( 2 5 3 a ) ( 2 5 3 b ) ( 2 5 3 c ) 情脱：双曲正切函数型 k = 1 ，r ( t ) = 1 + t a n h w t ，f = 2 ( t a n h w t 一1 ) 护，m l ( ) = ( t a n h w t 一1 ) u ， 其中埘是任意常数 m ) = 嘞印+ t 跚h 一笔( t a n h t a t - 1 ) ，琊) = i 知 ( 2 5 叫 1 2 【 一 卜u p 2 变系数$ c h r 6 d i n g e r 方程 b ( 亡) = 2 s i n8 j ( 1 + t a n h a p t ) ，b ( t ) = s i n2 0 # ( 1 + t a n h o j r ) 2 + l t t j ，o = 1 ，2 ，n ) ( 2 5 4 6 ) 情形5 ：正弦函数型 k = 1 ，r ( t ) = 1 + m s i n c a t ，m l ( t ) = 示卷舞糯，这里m 为任意常数 m ) 二秘却+ m s i n 优) 志出，抓) = tf ， ( 2 5 5 口) t j c t ) = 2 s i n o # ( 1 + m s i n w t ) ，b ，t ( t ) = s i n 2 0 j ( 1 + m s i n a t ) z + d t t j ，d = 1 ，2 ，n ) ( 2 5 - 5 6 ) 情形6 ：幂函数型 k = 2 ，r ( t ) = t p ，m l ( t ) = 一是，这里p 是任意常数 l ( ) = 两2 i a t ，= 一骊4 i a 2 t s ， ( 2 5 6 口) tj(t)=f；iri易，7lj()=siiin阿20#t2p+i_ii篇，ijf=j，2，；)(2566) 接着考虑b ( t ) o 情况：较前一种来说，后者寻找融c c a t i 方程的解更有难度， 为此这里我们只列出了一种比较容易找到的幂函数型而相应前种情况所对应的 其他类型的解，有待日后加以完善和补充 。 取k = 2 。q = 0 ， ，y ( t ) 亍云， ( 2 5 7 口) = 一t 14 - v i - 8 e ，荆= t 一峄 ( 2 5 7 b ) 这里值得注意的是e 要足够小且满足e i ，则e q ( 2 3 2 ) 等价于 i q t + - t 峄蚓2 q 一嘉瑚一i 学q = o 1 3 1 2 变系数s c h r f i d i n g e r 方程w 根据已知条件计算得到 m 1 ( t ) = t 14 - v r f - 8 e 删刮币南厂( 1 士佣+ l ，t c t ) 刊一峄， ( 2 5 7 c ) f 一( 1 士川= 目+ 11 1 h j c t ) 2i 翥而( 圭伽易+ 2 i c s i n 易) ， ( 2 置7 d ) 其中c 为任意常数 ( 1 1 ) t a t ) ：s i n o j t 一峄，g = l 川2 ，1 ) ( 2 5 7 e ) m _ 卜! 婴一 f i g 1 单孤子解，其中参 数k = 2 ，b ( ) = o ，r ( t ) = 2 e x p ( a t ) ，铲= 一萼，m l ( ) = 一言，a = 0 1 ，0 1 = 1 5 ( i - 1 ) ：曲0 3 ；( 1 2 ) ：a - - - - 0 q 1 一一q 国 _ 、 f i g 2 双孤子解的相互作用，此时k = 2 6 ( t ) = o ，r ( t ) = 2 e x p ( a t ) ，7 2 = 一譬，m l ( t ) = 一鲁， 入= 0 0 5 ，0 1 = - 1 ，如= 1 5 ，o t = 0 0 0 5 ( 3 - 2 粼i u i 洲u 1 1 i ( 3 - 3 ) 、 v - _ _ f i g 3 单孤子解，此时k = l ，6 ( t ) = o ，r ( t ) = 1 + m s i n a r t ，m l ( t ) = m w c 璐t o t 2 ( 1 + m s i n 以) ， m = 0 1 ，( i t = 0 ，0 1 = 0 5 ，u = 1 1 4 t i 0 b ， 卜 、 2 变系数s c h r 6 d i n g e r 力。程 j ： l l f i g 屯双孤子解的相互作用过程，此时k = l ，6 ( t ) = 0 ，r ( t ) = 1 + m s i n w t ， m l ( t ) = ，n u c 优2 ( 1 + m s i n 以) ，m = o 1 ，0 , = 2 ，口= o ，8 z = 0 5 ，如= 2 ( 5 h 9 3 参数分别 为k = 1 ，b ( t ) = 0 ，r ( t ) = 1 + t 舡l h ( 以) ，m z ( t ) = 1 2 ( t a n h ( w t ) 一1 ) u ，q = 0 ，以= 1 ( 5 i ) w f f i 0 0 8 ； ( 5 - 2 ) u = 0 8 时的单孤子解 ( 6 - 1 )、 汀 - _ - - ( 6 2 ) 正 、厂 ( 6 - 3 r f - f i g 6 未发生碰撞的双孤子解，此时k = 1 ，b ( t ) = 0 ，r ( t ) = l + t a n h ( 优) ， m z ( t ) = 1 2 ( t a n h ( a t ) 一1 ) w ，q = o u = o 0 8 ，口l = - 0 8 ，如= 1 5 f i g 7 单孤子解，此时k = 2 ，b ( t ) = 0 ，r ( t ) 二蕾p ，m 1 ( t ) = 一磊，p = 0 0 2 ，0 1 = 0 5 ( 7 - 1 ) ：= 0 0 1 ；( 7 - 2 ) ：c r - - 0 1 飞n ( s - 3 f i g 8 反方向发生碰撞的双孤子解，此时k = 2 ，b ( t ) = 0 ，r ( t ) = t p ，m l ( t ) = 一岳，a = 0 1 ， ( 9 - 2 ( 9 - 1 ) 、： ，厂 v ( 9 3 p = 0 0 2 ，0 1 = - 0 8 ，如= 1 5 一 、厂 左 v - 、 - 厂。 | 。 协 f i l u ( 9 - 5 k 厂 一 f i g 9 双孤子解的变化碰撞此时k = 2 ，6 ( t ) = 一( 1 + 、t = - - - 磊) s t ，r ( t ) = t - ( 1 + 佣一， m l ( t ) = 一( 1 + 、i r = 夏) 8 t ，- r ( t ) = , t 2 ，c l = 电，e = o 0 1 ，c = 2 0 1 = - 2 ，0 2 = o 8 1 6 ， 皇 一 3 1m k d v 6 方程 3m k d v 6 方程 k d v 6 方程是最近的一个热门方程文献 3 6 - 4 1 等都对该方程进行了一定的 研究它的形式是这样的 铭搬+ 2 0 地也锄+ 4 0 嚣+ 1 2 0 记t k + t 删+ 8 + 4 t 正t = 0 ，( 3 1 1 ) 而这个方程的另外一个等价表示形式则为 ( 键+ 8 以+ 4 ) ( t t + 嚣+ 右遽) = 0 ( 3 1 2 ) 观察e q ( 3 1 2 ) ，我们不难发现它的右端是位势k d v 方程 因为k