（机械制造及其自动化专业论文）基于matlab优化工具箱的机械产品形状误差评定系统研究.pdf

摘要 跫6 8 口 基子n i a t l a b 优化工具箱的机械产晶形获 误差评定系统研究 税城魏撩及其鲁动诧专业 研究生陈永鹏指嚣教师殷国富教授 形傲误差对机械零件质量有熬露的影晌。襁坐标测量机上进行测试形像误 论釉其评定方法的研究，具有十分重要的工程应用价值。本文根据嗣标的 靼译宠挺准，剩瘸m a t l a b 软件稳是的魏纯工其耱，提出一秘蘩予 l a b 豹澎狡诶差谱定方法，并开发据应豹互程痘雳较释系统。逶过对形状 评您系统的研究，有以下成果和结论： ：1 ) 椴摆圜家标准中形状误菱( 纛线度、平蕊度、圆度、圆柱度) 蛇定义翻 掾狻，建立了形凝误差译定戆伐纯求簿数学模鍪。对蔫维形状误整( 颡 主 任意方向妻线菠) 作了相盛的简化，降低了优化求解的滚度。 ：2 ) 根据结构化程序开发和砸向对象程序开发的耍求，将彤状误差评息软件 分躲为器子系统：塞线度求嬲蓉绫、乎蘑嶷求勰系统、强度求鼹系统、露 隶解系统，然后爵绷分为备功髓模块。最艏完成在m a t l a b 环境下软件的 3 ) 针对形状误差评定系统中戆关键霹题：饯纯冀法翡选雳及英露试、平蘸 瑟校菠数豢胃援纯润题、鳃簿琴| j 翔m a t l a b 旬裰銎彩摄念帮功笺安凌鬻澎 缉和演染。逐一给出了解决方案，而最后的运行结果也表明了方案的有效 4 ) 参照三黛翡瓿影状误差谨定软静，开发爨了器嚣友露、爱瘸方溪、馁予 穗人飙界嚣。最霜，针对其传实例，以三臻标枫求解结果为参照，瓣鬣线 f 谳度、圆度、蹦柱度求解子系统进行了逐一测试。求解结果表明，该系 军续聚正确、求解效率也较怒。 毫键词：形状误惹，c m m ，忧化算法，m a t l a b a b s t r a c t r e s e a r c ho nf o r mt oie r a n c ee v a iu a tio ns y s t e mo f m e c h a n i c a lp r o d u c tb a s e dm a t l a bo p t i m i z a t i o nt o o i b o x m a j o r ：m e c h a n i c a lm a n u f a c t u r i n ga n d a u t o m a t i o n m a s t e rd e g r e ec a n d i d a t e ：c h e ny o n g p e n g , s u p e r v i s o r ：p r o f y i n6 u o f u f o r mt o l e r a n c ei sv i t a l l yi m p o r t a n tt ot h eq u a l i t yo f m a c h i n e r yp a r t s a n d t h es t u d yo ff o r mt o l e r a n c em e a s u r e m e n tt h e o r i e s ，a sw e l la si t se v a l u a t i o nm e t h o d s o nc m m ，i so f g r e a ts i g n i f i c a n c ef o rt h ee n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n an e we v a l u a t i o n m e t h o db a s e d0 1 1t h eo p t i m i z a t i o nt o o l b o x e so fm a t l a bi sp r e s e n t e di nt h i sp a p e r i na c c o r d a n c ew i t ht h ed e f i n i t i o na n de v a l u a t i o nc r i t e r i o no ff o r mt o l e r a n c e ，a sw e l l a st h ec o r r e s p o n d i n ge n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o ns o f t w a r e t h em a j o ra c h i e v e m e n t sa n d c o n c l u s i o n sa r eg i v e i li nt h ef o l l o w i n g ： ( 1 ) am a t h e m a t i c a lr n u m e r i c a l ) m o d e li ss e tu pf o ro p t i m i z a t i o ns o l u t i o no f t h e f o r mt o l e r a n c ee v a l u a t m ni na c c o r d a n c ew i t h 也ed e f i n i t i o na n de v a l u a t i o ne r i t e r i o n o ff o r mt o l e r a n c es t i p u l a t e di ng b l l 8 3 - 8 0 ( s t r a i g h t n e s s ，f l a t n e s s ，a n dc i r c u l a r i t y ) b e s i d e s ，t h em o d e lc a l lb ea l s o u s e dt of a c i l i t a t et h e o p t i m i z a t i o n s o l u t i o nb y s i m p l i f y i n gt h eh i g hd i m e n s i o n a lf o r mt o l e r a n c e ( c y l i n d r i c i t ya n dr a n d o m d i r e c t i o n s t r a i g h t n e s s ) ( 2 ) a c c o r d i n g t ot h e r e q u i r e m e n t s o fs t r u c t u r e d p r o g r a m m i n ga n do b j e c t o r i e n t e dp m g r a m m i n g , f o r mt o l e r a n c ee v a l u a t m ns y s t e mi sr e s o l v e di n t os e v e r a l s u b s y s t e m s ：s t r a i g h t n e s se v a l u a t i o ns y s t e m ，f l a t n e s se v a l u a t i o ns y s t e m ，c i r c u l a r i t y e v a l u a t i o ns y s t e m ，a n dc y l i n d r i c i t ye v a l u a t i o ns y s t e m t h e n , t h e s es u b s y s t e m sa r e d i v i d e df u r t h e ri n t of u n c t i o n a lm o d u l e s a n df i n a l l y , t h ep r e l i m i n a r yd e s i g ni s c o m p l e t e d ( 3 ) s o l u t i o n sa r eg i v e nt ot h ei m p o r t a n tp r o b l e m si nc o n c e r n i n gw i t ht h ef o r m t o l e r a n c ee v a l u a t i o ns y s t e m ，s u c ha st h es e l e c t i o na n dt e s to f o p t i m i z a t i o na i g o r i t h m ， 1 a b s t r a c t v i s u a l i z a t i o no ff l a t n e s sa n dc y l i n d r i c i t y ，a n dt h ee d i t i o na n dr o m a n c eo ft h eg r a p h i c s t h r o u g hm a t l a bg r a p h i c h a n d l e s t h ef i n a lt e s t si n d i c a t et h ev a l i d i t yo ft h e o p t i m i z a t i o na l g o r i t h m ( 4 ) i nr e f e r e n c et ot h ee v a l u a t i o ns o r w a r ei nc m m af r i e n d l ya n de f f e c t i v e h u m a n - c o m p u t e r i n t e r f a c ei s d e v e l o p e da c c o r d i n g t ot h e r e q u i r e m e n t s o ft h e s o f t w a r e p r o g r a m t h e n , t e s t s a l em a d er e s p e c t i v e l yo ns t r a i g h t n e s s ，f l a t n e s s ， c i r c u l a r i t y ，c y l i n d r i c i t ye v a l u a t i o ns u b s y s t e m st oc o m p a r ew i t ht h ee v a l u a t i o nr e s u l t o ft h ec m m ，w h i c hi n d i c a t e saf a i r l yg o o da c c u r a c ya n de f f i c i e n c yo ft h er e s u l t so f 1 es y s t e m k e y w o r d s ：f o r m t o l e r a n c e ，c m m ，o p t i m i z a t i o na l g o r i t h m s ，m a t l a b 2 第一章绪论 1 绪论 自从6 0 年代初期，第一台坐标测量机诞生至今，人们就一直致力于在坐标 测量机上进行测试形位误差理论和其评定方法的研究。而随着精密制造技术和 在线测量技术的发展，很多领域都需要形状误差的评定。在本章中，首先阐述 了课题研究的意义和行为误差评定国内外现状，然后讨论了三坐标机测量方法 及其运用和m a t l a b 软件简介和优点，最后阐述课题的来源及内容。 1 1 形状误差评定软件系统的研究意义 随着机械产品质量要求的日益严格，机械零件几何要素的形位公差也日益 提高。技术的进步，工业生产水平的提高，微型计算机技术的日趋发展和计算机 的普及应用，特别是坐标测量机日益广泛应用于生产、科研等各个领域，使检测 手段发生了质的变化。由于对机械产品几何参数互换性要求的日臻完善，形位公 差在机械工业中应用非常普遍，如何正确快速测量和评定形位误差，对提高生 产率和产品质量。对现有设备的合理充分使用都起着十分重要的作用。因此国际 上一直对形位误差检测进行着研究。 根据国标g b l l 8 3 8 0 的规定，形状误差包括：直线度、平面度、圆度、圆 柱度。而形状误差评定又是位置误差平行度、垂直度、同轴度、位置度等评定 的基础。随着精密加工技术和超精密加工技术以及计算机技术的发展，在机械 行业中很多领域都需要形状误差的数据处理软件。如：圆度仪和三坐标机需要 形状误差处理软件进行数据处理；机床几何精度的测定中的重要部分导轨直线 度的测定也用到形状误差的评定。另外在精密加工和超精密加工领域，实时测 量系统也同样需要开发系统误差的评定软件。 笔者在进行曲面壳体精密加工方法研究过程中。认识到需要一套自己的形 状误差评定软件，以进行壳体的轮廓度评定，进而实现对壳体加工误差的分析， 以保证曲面壳体的系统误差的补偿和精密加工精度。目前，中物院机制所使用 的圆度仪和三坐标机的控制计算机和软件都比较陈旧，计算速度慢且数据图示 粗糙，如本软件开发成功，一方面可以为精密加工中所需数据处理提供自己的 1 第一章绪论 平台，同时还可为圆度仪和三座标机的评定程序升级奠定一定的基础。 1 2 形位误差评定方法的国内外研究现状 形位公差i s o 标准指出：形位误差是指被测实际要素( 实际形体) 对理想 要素( 理想形体) 的变动量。确定理想要素方位的唯一正确评定方法是：最小区 域法、近似的最小二乘法、贴切法和简易法等。从掌握的资料来看 1 4 l 国外几 十年前已将最小二乘法成功地应用到产品形位误差的评定，如国际上以生产坐 标测量机而著名的德国l e i 乜、日本m i t u t o y o 等公司，其生产坐标的测量机中 形位误差数据处理软件都是使用的最小二乘法。符合i s o 标准的最小条件评定 形状误差技术也日臻成熟，但是把最小条件应用在位置误差中有关基准理想要 素的判定，尚未实际应用。 形位误差评定中采样点对其结果也有影响文献芦j 提到其算法中采样点对 同一种算法的影响指出：“重叠采样对其算法处理结果要优于均匀的和随机的 采样”。作者理解应为按被测曲线、面曲率变化进行非均匀采样对其算法的处理 结果要优于均匀采样和随机采样的结果。西安交通大学对采样方式、采样点数 量进行的研究指出：n i q u i s t 采样定理不适用于形位误差测量的采样，采样点数 与要求的不确定度有关嘲；还有入提出自适应采样方式【刀。以上研究都值得参考。 近年来随着国内三坐标测量机的引进和研制，在形位误差评定的理论与方 法的研究中，有许多方面的研究水平已与国际水平相当，某些研究甚至处于国 际领先地位。目前形位误差的评定方法除了最小二乘法和常用优化法外，还有一 些较为新颖、精确的方法，如：最小向量范数评定形状误差的方法，他们是根据 国家标准的公差定义，“给出了向量范数最小化原理评定形位误差的数学模型， 向量范数最小法可获得最优化的评价结果” s l 。但其结果与最小条件的评价结 果如何，文中没有给出。又如，线性鞍点规划与形位误差的包容评定 9 1 。它是将 形位误差的评定模型略去高次项而得到线性模型再进行线性规划求解，但这样 势必带来所谓“少许模型误差e ”，放大了数据处理的结果误差。文献【i 叫提出 了“数据处理的小偏差假设”， 旦文献 】对“数据处理的小偏差假设”能否用 于坐标测量机提出了质疑。还有“用最小条件求解直线度、平面度的目标函数 单谷性证明”【12 1 ，以及用些精确的评定单项形状误差的方法等等口卜1 9 1 。上述 研究主要集中在直线度、平面度、圆度等形状误差的评定上，至于对圆柱度、轮 第一章绪论 廓度、同轴度、位置度等项目，其评定理论与方法尚嫌不足。以上一些评定方法 虽然取得了一些可观的成果，但是还普遍存在一个问题，即只用了一些特定数 据验证，用大量数据验证不足，以至造成对推荐的特定数据处理结果良好，但难 以适用一般。 目前，最 b - - 乘法评定形位误差已经成熟，可满足一般精度要求，其评定方 法的简单快速，因而广泛地应用于生产领域；最小区域法评定形位误差国内发 表不少优化算法，并各自验证过所能达到的精度，但未在实际生产中推广应用。 总之，以最小二乘法处理形位误差结果可靠，但明显不能满足高精度评定 需要。用最小区域( 即最小条件) 法求解，既有理论上的难点，又有方法上的困 难，甚至还有一些学术观点上的分歧。将最小条件法用于判定位置误差中基准要 素的方位还停留在研究阶段。当今国内外如何快速准确地检测和评定形位误差 已日益显得非常重要。 1 3 三坐标机测量方法及其运用 1 _ 3 1 三坐标机测量方法与常规方法的差别 现代工业的发展，对机械零部件的形状要求愈来愈复杂，随之也要求 有快速可靠的测量方法与之配合。三坐标测量机r c m m ) 作为一种高效率的精 密测量仪器，顺应了这一要求周而广泛应用在机械制造、仪器制造、电子工业、 航空和国防各部门。特别适合于测量箱体类零件、模具、精密铸件、汽车外壳、 发动机零件、凸轮及飞机型体等带空间曲面的零件。但由于其在几何尺寸和形 位误差的测量等方面与常规方法不一致，因而三坐标测量机并未得到充分利用。 为此本文将就三坐标机测量方法与常规测量方法的区别进行分析。对工件几何 尺寸和形状的测量，常规方法一般需独立进行，特别是在工件形状的测量中，对 工件的调整要求很苛刻，往往比实际测量还费时。如在平板上测量平面度，需 要调整被测表面最远三点，使其与平板等高。与常规方法不同的是，三坐标机可 同时测量尺寸和形状。三坐标机测量时，把被测对象作为离散点的集合，对不 同的被测量对象和要求，通过测量从该集合中采集数目不等的若干离散点以代 替该被测对象，经过计算确定被测对象的尺寸和形状。测量工件前，首先要将 探针在标准球上校准，以消除由于环境条件变化所产生的探针半径误差对测量 结果的影响。然后根据工件的设计基准或工艺基准，找正工件坐标系。而对工 第一章绪论 件的装夹和调整几乎没有要求，只要在测量中工件能保持稳定即可。 在测量效率方面，常规测量方法不仅测量重复性差，而且测量效率低。而 三坐标机的精度不断提高( 如德国z e i s s 公司生产的c 7 0 0 型测量机的测量重 复性精度为l u m ) ，测量速度、数据处理速度不断加快，因而大大地缩短了测量 时间。尽管三坐标测量机比常规测量器具的使用较难掌握，但它能同时测量工件 的几何尺寸和形状，在位置误差的测量中，毋须用辅助装置模拟基准，特别在带 曲面零件的测量中具有常规方法所不能比拟的优点，而且数据处理迅速、简便， 测量精度和测量效率高，因而认识其测量方法与常规测量方法的区别，对于熟 练地使用三坐标机具有很大的意义。 1 3 2 三坐标测量机的运用 三坐标测量机的主要优越之处在于：万向测头；三坐标运动；联机( 指计算 机) 铡控及数据处理等。这使得其具有众所熟知的多种检测功能，如除一般零件 外，测箱体、叶片曲面、复杂模具等等很得手。因而，在生产车间、计量室、以 及生产线上均得到广泛应用。然而，对于分度盘、齿轮、丝杠等采用坐标法测量 则未必简便，仍有不足。况且在测量的运动稳定性、准确度和速度上均有待提高 且其功能也有待扩展。 柔性制造与检测更适合于当前产品频繁更新换代的需要，是机械制造与测 试技术的发展趋势之一。三坐标禊4 量机也宜向柔性化方向发展，且采用标准化组 合式更合乎我国当前科技与生产的需求，也更经济。 三坐标测量机实现组合式柔性化可经济这扩展其甩途，使之更具有灵活性 ( 按需要组合成任一几何量测量) ；多能性( 由单纯检测扩展至c a d 、反求工程、 精度分析、仿真分析等多种功能) ；先进性( 可组合应用薪型先进测试技术及数 据处理方法，以及其它功能的新型现代方法) 。显然，这样更适于我国目前生产 水平及市场经济发展的需求。 1 4m a t l a b 软件简介和优点 1 | 4 。l 数学软件简介 现在主要有m a t l a b 、m a p l e 、m a t h e m a t i e a 、m a t h c a d 等四种数学软件， 而m a t l a b 占接了数值计算软件的主导地位。 在国际学术界，m a t l a b 已经被确认为准确、可靠的科学计算标准软 4 第一章绪论 件。在许多国际一流学术刊物上，( 尤其是信息科学刊物) ，都可以看到m a t l a b 的应用。在设计研究单位和工业部门，m a t l a b 被认作进行高效研究、开发的 首选软件工具。如美国n a t i o n a lt n s t n t m e n t s 公司信号测量、分析软件l a b v i e w ， c a d e n c e 公司信号和通信分析设计软件s p w 等，或者直接建筑在m a t l a b 之 上，或者以m a t ia b 为主要支撑。又如t i p 公司的v x i 硬件，t m 公司的d s p ， g a g e 公司的各种硬卡、仪器等都接受m a t l a b 的支持。 1 4 2m a t l a b 软件数值计算 m a t l a b 自问世起，就抱定一个宗旨：其所有数值计算算法都必须是国际 公认的、最先进的、可靠算法；其程序由世界一流专家编制，并经高度优化； 而执行算法的指令形式则必须简单、易读易用。m a t l a b 正是仰赖这些高质量 的数值计算函数赢得了声誉。 m a t l a b 数值计算函数库的另一个特点是其内容的基础性和通用陛。 它正由于这一特点，而适应了诸如自动控制、信号处理、动力工程、电力系统 等应用学科的需要，并进而开发出一系列应用工具包。 在对形状误差的评定软件的开发过程中，就使用了m a t l a b 的优化工 具箱中的优化函数( 如：f m i n s e a r c h ，f i n i n u n c ，f m i n i m a x ) ，其算法先进、收敛速度 快、求解精确、鲁棒性强，同时其算法可以适应低维到高维的函数优化，如 f m i n s e a r c h 所用n e l d e r m e a ds i m p l e xm e t h o d 可用于给定平面内或给定方向上的 直线度求解；而f i n i n u n c 所用拟牛顿法可用于平面度和圆度的优化求解计算： 而f m i n i m a x 的逐步二次规划算法则可用于圆柱度与任意方向上直线度的优化求 解。从而使本软件的开发得以避开令人头疼的优化算法的编制。 1 4 3 m a t l a b 软件强大的图形可视化功能 m a t l a b 的图形可视能力在所有数学软件中是首屈一指的。m a t l a b 的图 形系统有高层和低层两个部分组成。高层指令友善、简便；低层指令细腻、丰 富、灵活。一般说来，不管二元函数多么复杂，它的三维图形，仅需1 0 条左右 指令，就能得到富于感染力的表现。数据和函数的图形可视手段包括：线的勾 画、色图使用、浓谈处理、视角选择、透视和裁剪。m a t l a b 有比较完备的图 形标识指令，它们可标注：图名、轴名、解释文字和绘画图例。而正是由于其 强大的图形可视化功能，降低了形状误差可视化的难度，这也是本研究使用 嚣一章攮渣 m a t l a b 俸为开发平台的原戮。 1 ，4 4m a t l a b 与应用程序的接口 m a t l a b 的卓越性能粤f 发了用户的新需求：希望把在m a t l a b 环境中 编制的程序开发能脱离m a t l a b 独立运行的程序；希望能在外部稷潆中调用 m a t l a b 雩罄为诗冀雩 擎。恧谤始m e d i v a 等商品软傍，把n l k t l a b 瓣m 文搏 转交为独立予平台费e x e 可执行文徉；既癸，还露缀多专露软俘把m a t l a b 直接当计肄引擎用。 m a t l a b 还可以和其他编襁语言一起使用，可以调用f o r t r a n 蹒c 程序。 反过来，f o r 飘i n 或c 程序也可以调用m a t l a b 程序。这样，快速的编译程 彦藏可以铡麓m a t l a b 孛强大靛矩终或霉形螽令，邋遗编写部分程黪，势送行 编译，这梯簸霹馥避免m a t l a b 程序的瓶颈褒象。 丽被m a t l a b 调用的程序必须在编译后被转按为m e x 文件，这辑才能被 m a t l a b 调用。在编译时他们幂口m 文件一样使用。另外，用户可以把w i n d o w s 环境下建立的m a t 文件读取剽1 烈i x 环境中。 露这些众多戆接口，满足了举勰使趸者魏要求，从惹也蕊得m a t l a b 懿搜 霜范嚣鑫益广泛。 1 5 课题来源和研究内容 1 。5 1 课题来源 课题涞源于中国工程物理研究院机械制造工教研究所曲面壳体精密加工。 该课题豹开黢蓑要避行数控率粼蓉绕误差的预标是耱偿，丽这需要对加点靛曲 瑟进行译邃，嚣整蚕轮癣凄豹译定窥形装谟差静译怒楚稠逶静，霾嚣笺菇开发 了这一套形状误差的评定软件。该软件的直线度和平面度评定模块也w 陂用于 镜面加工过程的系统误差的分离和补偿。 1 5 2 研究内容 课题的掰究茸据是摄据国家檬准串形状误差的定义鞍译定标准，构造数学 模鳌，然嚣羧摆模壅瓣维数，筏獯不嚣翡霞氆求菸方法。本文要述孬戆工终： ( 1 ) 根攒形状误差的定义和译定标准，建立形状误差评定的优化数学模鼙； ( 2 ) 对器种优化算法进行测 箴，从中选择正确的忧化算法求解形状谡麓。该 求解算法既疆保证求解的速度，也要保证求解的精度； 晷 第一章缝谂 ( 3 ) 在形状误差数据的可横化实现方面，对予卷线度和圆度来说，使用数据 的一维桶值( 如：线性插值，三次样条插值，b 样祭插值，分段三次样条插值) 实现离散点的数据插值和加密，而对与平面度和圆牲度，则使用数掇二维插值 ( 如：线性，样条，双三次样絷) 然螽使用m t a l a b 的数据图示化黼数类库， 实瑗鼗攥貔踅示晓器渲染。 ( 4 ) 参照三坐标机形状误麓谱定软件，开菠赛磷发好、使用方便、便于理解 的人机界面。 ( 5 ) 以三坐标机求解结果为标准，测试形状误麓评定系统的求解精度。 第二章形状误差评系统相理论及数建模 2 形状误差评定系统相关理论及数学建模 在形状误差的评定和可视化中，所涉及的数学理论主要是优化算法和插值 理论。由于优化算法的复杂性，本章首先引入在形状误差评定中所用优化算法 的概念及其算法流程，然后引入形状误差可视化中所用的插值概念。然后按照 国家标准的规定进行直线度、圆度、平面度、圆柱度的数学建模工作。 2 1 优化算法概念 最优化理论与方法是一门应用性很强的年轻学科，它研究某些数学上定义 的问题的最优解，即对于给出的实际问题，从众多的方案中选出最优方案。在 本文所涉及的形状误差求解问题中，实质上最后都归结为函数的优化问题，因 而在本节引入最优化的相关理论。 最优化问题的一般形式为 m i n f ( x ) ( 2 1 ) s t x x ? 其中工r ”是决策变量，f ( x ) 为目标函数，z c r 4 为约束集或可行域，特 别地，如果约束集x = 胄“，则最优化问题称为无约束最优化问题： m m i n ，( 石) ( 2 1 ) x e 约束最优化问题通常写为： r a i n f ( j t c ，( z ) = 0 ，i e( 2 - 3 ) c a x l 0 , i i 这里e 和j 分别是等式约束和不等式约束地指标集，q ( 工) 是约束函数。当 目标函数和约束函数均为线性函数时，问题称为线性规划，当目标函数和约束 函数中至少有一个是变量x 的非线性函数时，问题称为非线性规划。此外，根 据决策变量、目标函数和要求的不同，最优化还分成了整数规划、动态规划、 网络规划、非光滑规划、随机规划、几何规划、多目标规划等若干分支。 另外，进行最优化问题求解时，应注意极小点的类型有局部极小点合总体 第二章形状误差评系统相理论及数建模 极小点两种。而实际可行的只是求解一个局部( 或严格局部) 极小点，而非总体极 小点。因为求解总体极小点一般来说是一个相当困难的问题。在很多实际应用 中，求局部极小点已能满足问题的要求。仅当问题有某种凸性时，局部极小点 才是总体极小点。而在求解形状误差时，由于误差较小且目标函数的特性依赖 与测点的坐标值，因而求解其局部极小点己能满足要求。 最优化方法通常采用迭代方法求它的最优解，其基本思想是：给定一个初 始点工。r “，按照某一迭代规则产生一个点列k ) ，使得当扛。) 是有穷点列时， 其最后一个点时最优化模型问题的晟优解。当 “ 是无穷点列时，它有极限点， 且其极限点是最优化模型问题的最优解。一个好的算法应具备的典型特征为： 迭代点以能稳定地接近局部极小点x + 的邻域，然后迅速收敛于x 。当给定的某 种收敛准则满足时，迭代即中止。 设 为第k 次迭代点，以为第l 】 次搜索方向，为第七次步长因子，则 第七次迭代为 “= 耳+ 啄以 ( 2 - 4 ) 从这个迭代格式可以看出，不同的步长因子吼和不同的搜索方向以构成了 不同的方法。在最优化方法中，搜索方向d 。是，在以点处的下降方向，则巩满 足 v k ，d o ，使得 1 i i n b ! 二剑：。 i l x k 一叫。1 ( 2 9 ) 则称算法产生的迭代点列k ) 具有q - 口阶收敛速度，特别地， 当a = 1 ，g 0 时，迭代点列扛。 叫做具有q - 线性收敛速度； 当1 1 如果岛= o ，则称迭代点列k 是置超线性收敛于z ；如果o 噩 l ，则称迭 代点列k 是胄一线性收敛于j ；如果r l = l ，则称迭代点列k ) 是胄一次线性收敛 于工。 类似地，如果9 2 = o ，则称迭代点列k 是置一超平方收敛于工+ ；如果o s ：时，采用 s ( 2 1 5 ) l i x , 。一t l l 蜀，1 ，b 。) 一厂o + 】毛 ( 2 - 1 6 ) 对于由一阶导数信息，且收敛不太快的算法，例如共轭梯度法可以采用如下终 止准则： 慷0 毛 ( 2 1 7 ) 其中g 。= g k ) = 百y g 。) 。但是，由于临界点可能是鞍点，因此，在有 些情形单独使用这个准则也是不适当的。h i m m e b l a u 建议可以将( 2 1 5 ) 和 ( 2 - 1 6 ) 结合使用。一般地，可取毛= 晶= 1 0 ，邑= 1 0 4 。 大多数最优化方法是从二次函数中导出的。这种类型的方法在实际上常常 是有效的。其主要原因是一般函数在极小点附近常可用二次函数很好地进行近 似。所谓二次终止性是指当算法应用于一个二次函数是，只要经过有限步迭代 就能达到函数的极小点工。因此，对于一般函数而言，具有二次终止性的算法 可望在接近极小点时具有很好的收敛性质。而不同的下降方向和步长因子的确 定就构成了不同的方法。 以下介绍软件中所使用的算法。这些算法不仅具有极高的迭代求解效率， 而且鲁棒性也很好。本节主要介绍在平面度和圆度评定中所使用的拟牛顿法。 2 2 插值 在完成形状误差求解后，需使用m a t l a b 的可视化函数输出测得数据。 而为了更好的反映被测直线、圆、平面、圆柱面的实际形状，需对所测得数据 加密，而这就涉及到数值分析中最重要的一部分：插值。下面引入插值法的相 关理论迸行分析。 许多实际问题都用函数y = 厂b ) 来表示某种内在规律的数量关系，其中相 当一部分函数是通过试验或观测得到的。虽然厂0 ) 在某个区间融占】上存在，有 掣 第二章形状误差评系统相理论及数建模 的还连续，但却只能给出阻6 上一系列的点x i 的函数值m 制( f = 以，月) ，这只 是一张函数表。而有时我们需要这一系列点x i 之间点的函数近似值，这就是插 值函数问题。下面我们给出有关插值法的定义。 设函数y = 厂0 ) 在区间k 6 上有定义，且己知在点口x 。互s b 上 的值y o , y “挑若存在一简单函数月，使 p k ) = 儿g = o ，1 ，n ) ( 2 2 2 ) 成立，就称j 协) 为，g ) 的插值函数，点，x l ，一，称为插值节点，包含插 值节点的区间【a ，6 】称为插值区间，求插值函数，的方法称为插值法。若曰 是次数不超过n 的代数多项式，即 p ( x ) = 口o + a 】x + - + a n x ” ( 2 - 2 3 ) 其中，研为实数，就称月为插值多项式，相应的插值方法称为多项式插 值。若p 为分段的多项式，就称为分段插值。若雌) 为三角多项式，就称为 三角插值。在形状误差的可视化中，直线度和圆度来说，使用数据的一维插值 ( 如：线性插值，三次样条插值，b 样条插值，分段三次样条插值) 实现离散 点的数据插值和加密，而对与平面度和圆柱度，则使用数据二维插值，算法具 体细节此处不再详述。 2 3 直线度建模 2 3 1 直线度定义和直线度评定方法 实际直线对其理想直线的变动量，理想直线的位置应符合最小条件。直线 度误差分为： ( 1 ) 给定平面内的直线度误差( 图2 - 1 ) 白口箬夕夕 图2 1 给定平面内的直线度误差 ( 2 ) 给定方向上的直线度误差( 图2 2 ) 第二章形状误差评系统相理论及数建模 白口莲纱 图2 - 2 a 给定一个方向 叁甄口矽 图2 2 b 给定两个方向 ( 3 ) 任意方向上的直线度误差( 图2 - 3 ) 图2 3 任意方向上的直线度误差 直线度的评定方法有：最小包容区域法、最小二乘法和两端点连线法。 其中最小包容区域法的评定结果小于或等于其他两种评定方法。 第二章形状误差评系统相理论及数建模 2 3 2 在给定方向或给定平面内直线度评定数学模型 ( 1 ) 最小包容区域法 以最小区域线1 m z 作为评定基线的方法，按此方法求得直线度误差f m z 。 图2 _ 4 最小区域直线度评定示意图 f m z = d 。一d m 2 2 4 ) 式中：d 。d 州n _ 一各测得点中相对最小区域线1 m z 的最大、最小偏离值。 d i 在1 。：的上方取正值、下方取负值。而求解最小包容区域法直线度的过程实质 上是求解最小区域线l u z 方程参数问题。 直线标准方程为( 假设给定平面为x o y 面或给定方向平行于x o y 面) ： 血+ 毋+ c = 0 ( 2 - 2 5 ) 测得直线上n ( n 3 ) 个点，各点坐标为x i 、y i ，( i = 1 ，n ) ，各点到该直线距离 为： d f = ( 2 2 6 ) 根据各点距离构造以下目标函数，该函数实质是求解关于变量a 、b 、 c 的函数极小值问题，求解结果即为最小区域线方程的三个参数值： f ( a ，b ，c ) = k l k k = m i n ( 2 - 2 7 ) 式中【d i 。、 d i 州。分别为m 中的最大值和最小值。 ( 2 ) 最小二乘法 以最小二乘中线l l s 作为评定基线( 或基线方向) 的方法，按此方法求得 直线度误差值f b 。 第二章形状误差评系统相理论及数建模 y 图2 - 5 最r i t z 乘直线度评定示意图 厶= d 一一d “。 ( 2 2 8 ) 式中：d 一、d 1 1 1 j 1 _ 各测得点中相对最小二乘中线l l s 的最大、最小偏离值。 d j 在1 l s 的上方取正值、下方取负值。该评定问题实质为如何求解最小二乘中线 1 l s 参数问题。 根据最小二乘法定义，构造以下数学模型： 2 ，( 爿，b ，c ) = d ；= m i n ( 2 2 9 ) i = 1 注：式中a 、b 、c 为最小二乘直线的普通方程参数，d i 参见式( 2 2 6 ) 为测 得各点至该直线距离。 ( 3 ) 两端点连线法 以两端点连线l b e 作为评定基线( 或基线方向) 的方法，按此方法求得 直线度误差值f b e 。 y 图2 - 6 两端点连线法直线度评定示意图 兀。= d 。一d 。 ( 2 - 3 0 ) 第二章形状误差评系统相理论及数建模 式中：d 一、d m i 。各测得点中相对两端点连线l b e 的最大、最小偏离值。 d i 在l b e 的上方取正值、下方取负值。而求解两端点连线1 e e 的过程实质上是如 何搜索直线的端点问题，这比最小包容区域法和最小二乘法要容易的多，因而 本文不再详述。 2 4 平面度建模 2 4 1 平面度定义及评定方法 用平面度最小包容区域的宽度f 表示的数值，见图2 7 口 图2 7 平面度定义 平面度误差的评定方法有：最小包容区域法、最小二乘法、对角线平面法 和三远点平面法。其中最小包容区域法的评定结果小于或等于其他三种方法。 而应用于三坐标机的平面度评定的方法主要是最小包容区域法和最小二乘法。 2 4 2 最小包容区域法 以最小区域面s m z 作为评定基面的方法，按此方法求得平面度误差值f m z ， 见图2 - 8 。 图2 8 最小区域法平面度 k = d 一一d 。( 2 3 1 ) 式中：d 。、d 。i 为各测得点相对最小区域面s m z 的最大、最小偏离值。 第二章形毓漩麓评系装棚理论及数建模 d l 在s m z 上方取正值，下方取负值。 根据平面的标准方程，用最小包客区域法推导出计算公式。平面的一般方 程为： a x + 鲫+ c l + d = 0( 2 3 2 ) 三坐标测褥n ( n 3 ) 个点，备点坐标为x i 、m 、z i ，( 毋l ，r o ，各点到平面的躐 离为： f 2 3 3 ) 根据各点距离构造以下函数，该甄数即为最小包察区域平面应该满足的方 程 。f ( a ；b ，c d ) = 陋l 胁k = r a i n ( 2 3 4 ) 式中添】。，【磊】州。分裂为d i 孛静簸犬值黏最小值。 2 4 3 最, j 、- - 乘法 教最枣二乘串心警面s l s 作为译窥基面辩方法，羧蘧方法求得乎蕊度误藏 值f l s ，见图2 - 9 。 闰2 9 最小二乘法平面度 磊= 矗一一露。 缮。3 5 ) 式中：d 。，、d m i 。为各测得点相对摄小二乘中心平丽s l s 的最大、最小偏离 篷。磊在s l s 上方褒正篷，下方褒受毽。 根据平蕊标准方程式( 2 。3 2 ) 及测得1 3 点距离西式( 2 - 2 6 ) 构造以下函数，该 丞鼗郄鸯最d , - - 黍中心平嚣应该潢是懿关系式。 翻嚼： 第二章形状误差评系统相理论及数建模 f ( a ，b ，c ，d ) = d ，= m i n ( 2 - 3 6 ) i = l 2 4 4 对角线平面法和三远点平面法 以对角线平面s i ) l 作为评定基面的方法，按此方法求得平面度误差值 f d l 。三远点平面s a p 作为评定基面的方法，按此方法求得平面度误差值f t p 。算 法实质为求解测量数据的两对角线和三远点问题，用搜索和排序算法即可解决， 本文不再详述。 2 5 圆度建模 2 5 1 圆度的定义和评定方法 被测圆轮廓与评定基圆的偏差值即为圆度。圆度误差的评定方法有：最小 区域圆法、最小二乘圆法、最小外接圆法、最大内接圆法。其中按最小区域圆 法得出的园度误差要小于或等于其它三种评定方法。当发生争议时，以最小区 域圆法评定结果为准。 2 5 2 最小区域圆法建模 以最小区域圆m z c 作为评定基准圆的方法，按此方法求得园度误差值 z z 。 图2 1 0 以最小区域圆圆心评定圆度误差a z z z z = 胄一一足m ( 2 3 7 ) 式中：r 。、r m i 为各测得点相对最小区域圆m z c 的最大、最小偏离值。 根据圆的标准方程，用最小区域圆法推导出计算公式。圆的一般方程为 f 假设圆在x o y 平面或在平行于x o y 的平面上) ： 第二章形状误差评系统相理论及数建模 g t ) 2 + 一y 。) 2 = r 。2( 2 3 8 ) 测得圆轮廓线上n ( n 3 ) 个点，各点坐标为x i 、y j ，( 滓1 ，n ) ，各点到该圆圆 心的距离为： g = 一t ) 2 + 一n ) 2 ) ( 2 3 9 ) 按最小区域法构造以下函数，该函数实质上是求解关于圆心坐标x c 、y c 的极小值问题，该式求解结果即为最小区域圆圆心坐标值： f k ，y 。) = 【r 。l 。一【r 。k 。= m i n ( 2 4 0 ) 式中： r i ：、限】。分别为各点距评定圆圆t ：, g l i 离的最大值、最小值。马在 最小区域圆m z c 外侧取正值，内侧取负值。 2 5 _ 3 最小二乘圆法建模 以最小二乘圆l s c 作为评定基准圆的方法，按此方法求得圆度误差值a z 。， 见图2 - 1 1 。 图2 - 1 1 以最小二乘圆圆一t l , 评定园度误差a z 。 乙= 咒。一五i n j n ( 2 4 1 ) 式中：r 。、r 。i 。为各测得点相对最小二乘圆l s c 的最大、最小偏离值。 r l 在最小二乘圆l s c 外侧取正值，内侧取负值。 按最小二乘法构造以下目标函数，该函数实质上是求解关于圆心坐标x c 、 y c 和圆半径r c 的极小值问题，该函数求解结果即为最小二乘圆圆一t l , 坐标值和半 径： 第二章形状误差评系统相理论及数建模 f 0 。，虬，r 。) = r 2 = m i n ( 2 - 4 2 ) 2 5 4 最小外接圆法建模 以最小外接圆m c c 作为评定基准圆的方法，按此方法求得圆度误差值 z 。 一 图2 1 2 以最小外接圆圆心评定园度误差z c 乙= r 一一丑。h ( 2 4 3 ) 式中：r 。、r m j n 为各测得点相对最小外接圆m c c 的最大、最小偏离值。 r 在最小外接圆l s c 外侧取正值，内侧取负值。 按最小外接圆法构造以下函数，该函数实质上是求解关于圆心坐标)