（基础数学专业论文）wulff流及关于平面凸曲线的一些新等周不等式.pdf

；，、y 一 盥丝硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位 备注 眈兕踢钍摇辂峥影薅勰 主席 郄章致摇裕【l 带钛弓豁i 予， 考崇孝吾) 钍撩 年鲡 稚大罾孰i 系 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其 他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均- 已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：胜口期：型! 留 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使门j 学位论文的规定，学校有 权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸 质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆被查阅。有权将学位论义的内容编入有关数据库进行检索。有权 将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规 定。 学位论文作者躲席卷远导师躲( 墟j 日期：巫醇! 五：z 。 口期：碰：笸：乏。 a b s t r a c t t h ew u l f ff l o wa n ds o m en e wi s o p e r i m e t r i ci n e q u a l i t i e sa b o u t c o n v e xc u r v e si nt h ep l a n e b yt a n gx u e y u a n i nt h i st h e s i sw ew i l lc o n c e r n e dw i t ht h ew u l f ff l o w so fc u r v e si nt h ep l a n e m o s to ft h er e s u l t sa r ee x t e n s i o n so fp r e v i o u sr e s u l t so fm g r e e na n ds o s h e r b u tw eu s ean e wm e t h o d st od e s c r i b et h ef l o w b yt h i s w a y , w ec a no b t a i n t h ed e t a i l so ft h ee v o l u t i o no ft h ef l o w ，t h u s ，w ee a i 5p r o v et h et h e o r e m1 1 i n f a c t ，t h ei n e q u a l i t yh a sb e e ne x p r e s s e di nt h ep a p e ro fm a r kg r e e na n ds t a n l e y o s h e r ，b u tt h e yd o n tg i v et h ed e t a i l s i no n ec h a p t e r ，w ed e s c r i b es o n l ef l e w i s o p e r i u l e t r i ei n e q u a l i t i e sf o rc l o e s dc o n v e xc u r v e si nt h ep l a n e k e yw o r d s ：w u l f ff l o w ，i s o p e r i m e t r i ci n e q u a l i t i e s ，e v o l u t i o ne q u a t i o n 2 摘要 w u l f f 流及关于平面凸曲线的一些新等周不等式 唐学远 在这篇文章中，我们着手处理平面上w u l 行曲线流。我们可以发 现我们得到大部分结果是mg r e e n 和s o s h e r 结果的推广，只不过 我们使用的是一种新的方法即曲线流的方法丽已，尽管如此，我 们还是获得了一些新的结果，主要是搞清t w u l f f 流演化的各种细 节，通过它我们证明了mg r e e n 和s o s h e r 义章中提到的而没给出 证明的不等式。在另外一章中我们给出了一些关于平面上凸| | ；| 线 的新的等周不等式。 关键词：w u l f f 流，等周不等式，演化方程。 3 w u l f f 流及关于平面凸曲线的一些新 等周不等式 1 前言 在本文中，我们将取代传统的凸体方法转而运刖曲率流方法来描 述w u l 蹴。进而得n w u l 蹴的各种几何不变量的具体演化方程， 然后通过它们去证明下面的定理： 定理1 1 对于严格凸的平面集合k ，w 满足：对任意的实数t 和向量才，k t w + - d 那么 阳。 。 - - r e 一去 - r i t l - - p m i n 曼。 ( 这些记号的定义在下面给出) 实际上，这个事实在m a r kg r e e n 和s t a n l e yo s h e r 的文章中已经 出现，但是他们仅在是单位圆盘这种特殊情形下给出了定理的 详尽证明，我们希望能够利j f j 曲线流的方法对一般的严格凸集 给出上述不等式的详细证明 在这之后，我们将提出并证明一些关于平面闭凸曲线的新的等 周不等式其实这些结果的主要部分是m a r kg r e e n 和s t a z l l e yo s h e r 结果的扩展和推论，我们认为这些结果有可能在某些新的简线流 4 研，i 中会发挥钗微作，i ，比力那个者名明g a g e , 等瓦飘是共甲= 乙 一g a g e 不等式的内容为： f o 。：k 2d s 百l r l 这个不等式在平面嵌入闭曲线的缩短流研究中起到了关键的作 用 事实上，在m a r kg r e e n 和s t a n l e yo s h e r 的文章中，他们也已提出 下面的等周不等式： f o 。：k 3 d s 学， f o kk4凼7rl3_r37r2alk ， ” f o kk l o g ( 女等) d s 。( 熵不等式) 他们也获得了w u l 嘴形下的相应的不等式 z o k 墙，出挚z t k ，j z 。啪蛇业业， f o k k w l o g ( w 历d s 。( w u 蚴不等式) 我们将获得的新的关于平面曲线的等周不等式如下 定理1 2 如果k 是有界严格凸的平面区域，其面积记为a ，边界 周长记为l ，边界o k 的弧长元记为d s ，曲率记为，那么： ( ，) f o i 1d s l z - f 2 ”a ， ( h ) f o d s ll 2 - - ，3 业”a ， ( ) k 矗d s 出生等嵝咝+ ( j v ) b k 矢d 8 2 丌 a i ， ( v ) 厶。t 磊d s 旦等 警牟熊， ( v ，) 如1 ( 1 + k ) 2 d s 再 ( y ，) 厶孤d s 以而 这里所有不等式的等号成立当且仅当是一个圆舶 定理1 3 女果k 是有界严格凸的平面区域，其面积为”，边界a 的弧长元记为d s ，曲率记为，那么： ( ，) ，m - c t 广a n d s 矿1 2jok ， i ) z 。矗再蛇等 这里等譬成立当且仅当是一个单位圆 对于w u l f f 情形，我们也有下列关于w u l f f 曲率的积分等周不 等式： 定理1 4 设w 是一个有界对称凸平面区域，其边界o w 的支撑 函数记为1 ，k 是一个有界凸的平面区域，其边界o k 的支撑函数 记为p ，其中w “f ，曲率= 搿那么我们有： ( ) 如kk - 7 d s l 2 - 可2 a f w a k ， ( j ，) k 专w 7 d s 型铲， ( ) 巧1 ，d s 业丝糍掣， ( ，y ) 厶k 了霉1 蒂1d s 2 a 矗， 盖， ( y ) k 南7 d s 譬端寒半， ( v i i ) 1 8 kv 而t d s 量蕊而， 这里所有不等式等弓成立当且仅当对某个t 和曹，k ：t w + 寸 6 2w u l f f 流和w u l f f s t e i n e r 多项式 这一节的1 3 的是叙述一些关于平面凸f f f 线：和1 w u l f f 流的基本事实 这些事实有助于我们进一步分析w u l l f 流；我们也将在这里给出平 面闭凸曲线o k 沿着其法向量场以另一平面凸区域w 的边界曲线 的支撑函数为速率的演化问题 我们首先给出一些后面要川到的基本概念设c ( o ) = c o ( o ) ： s 1 _ 舻是平面有界凸区域k 的边界f i 线的参数表示，使得其单 位外法向量为 n ( o ) ：( c o s 目，s i n 口) 于是其单位切向量可表示为 t ( o ) = ( 一s i n 目，c o s 口) 定义2 1 设平面有界凸区域k 的边界曲线a 蜀的参数表示为 e ( 口) ，定义o k 的支撑函数v ( a ) 为 那么，我们有下列事实 性质2 2 设k 是一平面有界凸区域，其面积、边界周长、弧 元素和边界曲线的f i 率分别记为a 、l 、d s 、k ，位置向量g 佃) ： ( z ( 口) ，( 口) ) 其中边界f i f | 线的单位外法向量为”( 日) = ( c o s , s i n 口) ，那 么我们有： ( 1 ) g ( 目) = ( 。( 口) ”( 目) ) = p ( 口) ( 日) + p ( 目) t ( 口) ，i e ， x ( o ) = p ( a ) c o s 0 一p ( 目js i n 口 ”( 口) = p ( o ) s i n 目+ p j ( 口) c o s 目 ( 2 ) 女( 口) = 丽南啊； ( 3 ) a = b 。p ( 日) ( p ( d ) + f f ( 口) ) 瑚； 7 ( 4 ) l = j j 。( p ( o ) 十p l ( 口) ) 础= bp ( o ) d o 证明：参见f 1 1 现在我们来考虑一放平面曲线e ( 日，r ) ：s 1 ( 0 ，o 。) ，r 2 满足 c ( o ，0 ) = 岛( 目) = g ( 目) ，这里r 表示时间参数，日为f i i 线的空间参 数使得其单位外法向量为t z ( 口) = ( c o s 8 ，s i l l 口) ，单位切向量为t ( 口) = ( 一s i n 0 ，c o s o ) 实际上，参数0 表示曲线法向与一个固定方向的夹角 同时，时间参数r 和空间参数0 是彼此独立的，即满足丽。瓦o = 两。丽o 通过上面的性质2 2 ，我们得到下面的公式： 性质2 3 设c ( o ，r ) 是一族闭平面凸曲线，且对固定的r 其单位外 法向n ( 目) = ( c o s o ，s i n o ) 那么 ( 1 ) c ( o ，r ) = 扛( 口，r ) ，y ( o ，r ) ) = p ( o ，r ) n ( 口) 十器( 日，r ) t ( 口) ， ( 2 ) 啦7 ) 2 丽丽1 ， ( 3 ) 4 ( r ) = ；矗- v ( o ，r ) ( p ( 口，r ) + 象( 口，r ) ) 甜， ( 4 ) l ( r ) = b ，( p ( 口，r ) + 貉( 日，r ) ) 枷= 止p ( o ，r ) d o 这里p ( 口，r ) 是f 时刻曲线c ( o ，r ) 的支撑函数，目p p ( o ，r ) = c ( o ，r ) m ( 口) ； c ( o ，r ) 的曲率为女( 日，r ) ，包围的面积为a ( r ) ，弧长为l ( r ) 这些性质的证明和前面的性质2 2 类似，不过为了更好地理解 它们，我们在这里仍然给出其证明 证明：因为 p ( 口，r ) = c ( o ，r ) n ( 口) ， 两边微分，则 知扯筹恻) + c ( o ，r ) f ( 盯 因此我们得到 c ( o ，r ) = 旭r ) n ( 口) + 丽o p ( 口，r ) 这就证明了( 1 ) 再两边微分，则 丽o c ( ) = 丽o p ( 盯) 删) + p ( 0 ，7 - ) f ( 口) + 象( ) f ( 日) - 。a 。p ( or ) 邮) 那么，我们有 砌，扣五d o2 丽可靠丽 所以， d s = ( p ( 口，r ) + 瑚0 2 p 2 、( 目，r ) ) 枷 对该等式两边秘分，我们得到 砷) - f s t ( 砌，卅黧u f f 嘲胡 j 。 但是 z 翥c o , r ) d e - o 这就得到了( 4 ) 对于面积a ( r ) ，因为 a ( r ) = ；p ( 口，r ) d s ， 利 f 】( 2 ) ，我们就获得了( 3 ) 现在，我们可以着手考察w u t f 流了 定义2 4 设k ，w 是平面上有界的凸区域，其各自边界o k ，c o w 的 支撑函数分别为p ，1 ，g ( ，) 是一族凸的闭曲线，w u t h 流定义为： j 署= 7 ( n ) n 1c ( ，o ) ：o k 其中n = ( ，t ) 是t 时刻单位外法向量 在给t t l w , , t f f 流的各种几何量的演化方程之前，我们先列出一 些业已熟知的关于f l i 线流的公式 我们设c ( u ，t ) ：s 1 ( o ，0 0 ) 月2 ，w u l f f 流的演化方程可表示为 j 筹( ，t ) = 7 ( n ( u ，) ) ( ，) 1 c ( “，o ) ： o k 9 性质2 5 ： 1 令”= i 箦| 1 弧长s ( “) = f g ”( 西) 赢，n j l l d s = v d u 2 t = 面o c 是沿着曲线的单位切向量，其曲率满足 警= 丝= 一k n o s ： ， a 3 这里是f f f l 线的单位外法向量 3 百o n = k t( 证明：观察岳j v ) = 0 4 等= 研” ( 证明：计算鑫( 鬻，器) ) 5 蕊。丽o = 丽。丽。一幻岳 ( 利用袅是= 丽0k i l 丽0 ) ) 6 蛊d 8 = k t d s ( 证明：因为d s = u d u 因此蚴d t = f o k t d s ) 7 丽8 7 = 盟o s n ( 证明：酉o t = 岳( 鬻) = 击筹一研丽o f = 竽一k t t = 象) 8 蔷= - k 2 7 一窘 证明： 9 而d a = 尼( ) 7 出 证明： 一ok：五0(oto，一一) t - n 一2 瓦口s ， j = ( 0 0ats，一)+(一ot，o。ns)oto s a s l ，、 o s = ( l a r h 一0 7 o so to s ，一) 。“j1 ， = ( 萨0 丽0 7 ) + 2 7 ，一) = 一( 象+ k 2 7 ) 1 0 因为a = j 尼( f 1 ( g ，n ) d s = ；b ，( g ) 池 那么 d a _ _ 疵 抬( 署，堋邶，和邶，”等m 飘邶，枷) 堋，一”鲁t ) 胁 z 6 ( 07 u 咖 | c l j 仙 注意，在这里我们使用了分部积分和前面已有的结论 下面我们使用新的参数( 口，r ) ，以致r = f ，0 使得( u ，t ) = ( c o s 0 ，s i n 日) ： n ( 口) ，t ( u ，) = ( 一s i n o ，c o s o ) = ( 口) ；那么，一k n = 箬= 器器= 器( 一c o s 0 ，一s i n o ) 的确，我们可以看到器= 设7 ( n ( u ，) ) = - r ( o ) ，那么 引理2 6 旦：旦一塑旦 0 ta ra sa p 证明：由性质2 5 中的( 7 ) ： 一鬻= 筹= 窑 那么， a 疗a 1 一瓦2 丽。 又 a r 丽。1 所以 00 0 70 瓦2 爵一丽丽 一旦我们有了这个公式，我们就很容易将“z ，流的演化方程写成 如下的形式： 1 1 筹=酱+ 鲁筹 = 7 ( p ) n ( 口) + 自器丽o c = 1 ( 口) n ( p ) + , 9 ，丽o o 丽o c = 7 ( 目) 札( 目) + 吖( 日) ( 臼) 因此，定义2 4 可改写为： j筹= 7 ( 日) n ( 日) + 1 ) ( 口) 1c ( g ，o ) ： o k 现在，我们使坩新参数( 口，r ) 去描述在u ，流下的曲率，弧长 及面积的演化 引理2 7 ( ，) 等( 盯) = 球( 盯) ( 们) + 7 1 1 ( 剐 一 7 ( 目) + 矿( 口) ( p ( 日，r ) + 器( 口，r ) ) 2 ) 筹= f s l 7 ( 删= l “， d 筹= f s , 7 ( 州p 卅( 象州) 枷 = 2 a w r + l 。 这里l w ，a w 分别是的弧长和面积，l ，被定义为l ，= 厶7 d s ，等 价于l ，= b - 7 ( 日) o ( 目，o ) + ( 韶( 目，o ) ) ) 啪( 这由性质1 3 看出) 证明：根据引理2 6 ， 塑：塑+ 塑塑 a r 口0 8a 口 通过利用性质2 5 中的公式8 挑 。0 2 k 面2 “一面 和暑= 女品，我们得到 塑=磕(m丽okos2，= m 。豢+ * 等嚣一2 。丽【8 丽j - 丽+ 2 丽丽 1 2 嬖：一k 2 ( e ，r ) ( 1 ( p ) + 7 ，( 口) ) 这就是( i ) 再则，通过利用性质2 5 中的公式6 ，我们有： 丽o l = 争f ck 7 如= 小州w ， 这就完成了( i i ) 对于( i i i ) ，因为 而o a = 面o a = c f t ) 7 d s = 正。们m 即) + ( 象r ) ) 嘏 这就是( i i i ) 的前半部分( 注意这里我们使用了性质2 5 中的公式9 和 性质1 3 中的( 2 ) ) 现在我们着手解微分方程( i ) ，我们有 可丽1= 取丽1+ ( 们) “即) ) r = ( 7 ( 日) “”) ) r + ，o ) + 象( 邮) ) 因此，我们得到 郴，r ) 2 鬲靠2 丽再而旷而1 丽i 丽丽 所以，我们可以看出 p ( 口，r ) + 洲0 2 p ( 8 小：( 俐+ 似咿+ ( p ( 口，。) + 洲0 2 p c o 。) ) 然后我们可以推出 e 打a = f s , 7 ( ( ) + 象眠r ) 枷 =r，1(7(目)+7it(日)dp+，1(口)(p(日，o)+a0口2p2(js j s t 、目，。) 1 d f = 2 a w t + l ， 这就完成了证明 1 3 纵观这一引理，我们可以发现w u z ，流的一些重要结果，关于这 一点我们在下面将给以描述在我们罗列这些有趣的结柴前，有 必要再澄清一下w u t f 流的一些基本概念 定义2 8 设k ，w 平面上有界的凸区域，各自的面积为a x ，4 w ， 边界o k ，o w 的支撑函数分别为p ( o ，o ) ，7 ( 日) ，凸闭f i f i 线族g ( r ) = c ( o ，r ) 满足： j筹 = 1 ( p ) n ( 日) + 7 ( 日) t ( 目) 1c ( o ，o ) = o k g ( r ) 相对于w 的w u l t f 长度定义为“( r ) = 如7 d s ；w u l f f 曲率定义 为 嘲扣嵩筠； w u i f f 半径由p w ( o ，r ) = 丽1 给出另外我们记w u l f f - s t e i n e r 多 项式a k ，w ( r ) = a ( f ) 现在，我们通过前面的引理2 7 就很容易得到下列结果： 推论2 9 1 ( 口，小= d 辫罂币 2 k w ( o ，f ) = 再面1 1 丽 3 p w ( 0 ，订= r + p w ( p ，0 ) 4 ，l ( r ) = l w t + l k 5 a k w ( r ) = a k + l 1 f + a w r 2 6 l ，( r ) = 2 a w r + l ， 7 ，工；( r ) 一4 a w a k ，( f ) 三l ；一4 a w a kv r 即等周差是不变量这里“= 厶7 幽= “( o ) 表示o k 的w u l f f 长 度，表示其弧长 定义2 1 0 设l t 。是w u t f f s t e i m r 多项式a ，的两个根 w 一内半径定义为： = m a x t l k 包含了t w 的某个平移 _ 夕 半径定义为： 1 4 ，c = m i n t 1t w 的某个平移包含了k ) p 和p 是i v u l f f 半径p w ( 日，o ) 的最小和最大值因此，我们有： t 。= 兰尘厦2 a 兰w 塑堑 t 。= 士型鬟! 业 此外，我们可以发现如果n = 心或p 。= p ，那么存在某个t 乖 吾使得k = t w + 口 下面，我们证明定理1 1 提到的不等式： 定理2 1 l 对于严格凸的平面区域k ，w ，如果对于任意的t 和才 k t w - i - 甘那么 一p m 。 t 2 - - r e 一2 墨a l w - - r i l 下一步我们将证明： f - - r e 一赫 o ，使得m 仍位于o k 的 内部，以致我们能稍微增大o k 的一内半径，这与m 的最大性矛盾 现在我们证明定理的余下部分，我们选择一些o m 与o k 相切 的其参数对应于妒。，在o m 上的点，以使得o m 上每个其 法向量参数对应于如= 眠0 + ”】的弧段包含一个切点，这里目s 1 是 任意的；显然由引理21 2 这是可以傲到的 因此， a k w ( - r i ) = a k l t r i + a w r ； 1 6 = ；正。( 帅) 一2 r i 7 ( 踟( p ( 咖) + 筹( 邺) ) + 秭( 州7 ( 目) “”) ) 】瑚 = ；疋， ( p ( 邺) 一。们) ) ( ( 朋，0 ) + 翥( 邺) ) - r 湘( 口) “m = ，邺) 1 ；仰) ) 2 一( 丽o p ( 叩) 一( 2 l e o，s 1u 口 这里的第三个等号成寺是因为有下列等式： 止，7 ( 日) 貉( 日，o ) a o = 一b 。r ( p ) ) 器( 口，o ) d o = b 。p ( o ，o ) ，y ”( o ) d 8 再利用p o i n c a r 6 引理：若，是一定义在i o ，n 】上且使得l 。( 【o ，。】) 并满足，( o ) = ，( n ) 的函数，那么 扁，。】，( 。) 2 d x ( ：) 2 o 。 ，( z ) 2 d x 而且，等号成立当且仅当，( 。) = a c o s ：x + bs i n ：z ，这里a ，b 为常数 ( 实际上只要将，在【o ，。】上展开成f o u r i e r 级数就能得到这一不等式) 因此，我们得到 o ) - r i 7 ( 咿一( 丽o p ( 口，o ) - - r i 7 t ( 咿】硼 川(邮)咱1(2一(舅(邺)咄72doi+ lj 。” 这里l p 一， 是前面选择的o m 与o k 相切点对应的参数，它们 显然满足对于任意的i ，忧+ - 一忱( o ，”) ，而 + 1 = 2 + 妒，对应的切 点与妒t 对应的是同一切点 那么根据p i o n e a r 6 引理，我们有：a j f 。，( 一n ) s0 而且当等。s 9 2 j 1 时，必须满足 p ( o ，0 ) 一r 1 7 ( o ) = oc o s 0 + bs i n 0 ， 这里n ，6 为常数，然而由性质2 3 ，o k 的参数方程可写成： ( 硼i o ) ，胛，0 ) ) = i o ) c 。s 日一赛( 帅) s i n 帅( 邺) s i n 口+ 器( 邺) c 刚) 所以，我们得到 ( z ( 日，o ) ，v ( o ，o ) ) = ( + n ( 7 ( 口) c o s 0 一一( 目) s i n 曰) ，6 + n ( 7 ( 目) s i n 0 + 一归) c o s o ) ) 1 7 也 厶。 1 2 1 2 这说明若上述等号成立，k = n + ( n ，b ) 因此，得到a ，w ( 一n ) 0 对于我们可通过与上面相似的讨论得到结论，因此： 下面我们仍然像引理2 1 2 一样选择原点，那么对所有的0 ，p ( e ，0 ) n 7 ( 日) 且等号成立时0 取值为切点对应的参数，因此我们得到 p ( e ，o ) ( 7 ( 日) 十7 ”( 日) ) t i t ( o ) ( 7 ( 鳓4 - ”( 口) ) 两边在s 1 上积分，得 l ，2 a w r i ， 其中上面利用了分部积分 z 。p ( 目，。) ( 7 ( 目) 4 - , y l t ( 口) ) 枷= 正，7 ( ( p ( 口，0 ) + 黎( e , o ) ) d e = z 。7 d s = k 容易看出若等号成立，则对所有的0 ，n 7 ( = p ( a ，o ) ，这将导致k ： f i w 通过一个类似的讨论( 可能要选择不同的原点) ，我们将得到 r 。i ，因此，我们证明了： 一n 一j 缶 一n 为了获得一p 0 ，因而我们得到一p 4 丌a v f k ：d s 兰以磊 j o k 2 1 如果我们取a ；z ，我们将获得下而两个有趣的不等式 定理3 4 对丁有界严格凸的平而区域k ，如果它的而秋为7 r ，那 么 厶孚如兰j 1 ”2j a k f q z ) f o 。志如2 雨l 2 _ 2 n 2 且等号成立当且仅当k 是一个单位倒盘 证明：对于( ，) 1 我们只要取f ( z ) = a r c t a n z ；而对于( ，n 我们令 f ( z ) = 南，然后注意到事实a = ”，通过定理3 2 ，就得到了结论 4 w u l f f 情形的等周不等式 在本章中我们给出几个在般w u t f f 情形下的等周不等式首先 我们描述 下w u l f f 流的几个已有的主要结果，然后我们给我 们的不等式 下面是已有的基本定理： 定理4 1 设k ，w 都是有界的平面凸区域，且w 是对称的，o w , o k 的支撑函数分别为p ，1 ，“f ，曲率女= ；拶，那么对于任何的凸函 数f ，有 r1 上。f 击) 7 ( 1 + 1 ”) d 。a w ( f ( - - t 1 ) + ，( 一亿) ) ， 这里t i ，7 - 2 是w u l f f s t e i n e r 多项式a k , w ( f ) = a k + l ，t + a w r 2 的 两个根 显然，这个不等式可改写为： ，1 五f 赤) 七了如兰以w ( f ( - - t 1 ) + f ( 一幻) ) ( 证明看) 下丽我们可以得到类似下第三章的结果 定理4 2 设w 是有界刘称的平_ f f i f 凸区域，o w 有着支撑函数 7 ，k 是另有界3 卜凸区域，o k 有看支撑函数p 及w u l f f f | i 率w 那么我们有： ( r ) f o 雨17 d s l 垡- 2 a 。w a i , ；， ( ) 专仙型学， ( m ) f o 。巧1 ，d s 业垫糍掣， ( j y ) j ；h 了b 1d s 2 4 玉 ， ( y ) kl + - 七7 d s 譬裟学， ( v t l ) f o 狐丽d s 、压i 而 等弓成立当且仪当对丁菜个实数t 和向量才满足k ：t w + 才 这个定理的证明和第三章的定理3 3 完全类似在这里我们略去 参考文献 【1 】m g r e e n so s h c r ，s t e i n c rp o l y n o m i a l s ，w u l 开f l o w s ，a n ds o m en e w i s o p e r i m c t r i ci n e q u a l i t i e sf o rc o n v e xp l a n ec u r v e s ，a s i ajm a t h ，3 ( 1 9 9 9 ) 【2 lm e g a g e ，a ni s o p e r i m e t r i ce x p a n d i n go fc o n v e xa p p l i c a t i o n st oc u r v e s t r i c t l y , d u k em a t h j ，5 0 ( 1 9 8 3 ) ，1 2 2 5 - 1 2 2 9 【3 】m eg a g e ，c u r es h o r t i n gm a k e sc o n v e xc u r v e sc i r c u l a r i n v e n t m a t h 7 6 ( 1 9 8 4 ) ，3 5 7 - 3 6 4 【4 | l a s a n t a l o ，i n t e g r a lg e o m e t r ya n dg e o m e t r i cp r o b a b i l i t y , e n c y c l o p e d i a o fm a t h e m e t i c sa n di t sa p p l i c a t i o n s ，v 0 1 2 ，a d d i s o nw e s l e y , 1 9 7 6 【5 】m eg a g e ，r sh a m i l t o n ，t h eh e a te q u a t i o ns h r i n k i n gc o n v e xp l a n e c u r v e s ，j d i f f ig e o n | 2 3 ( 1 9 8 6 ) ，6 9 9 6 【6 j r o s s c r m a n ，t h ei s o p c r i m e t r i ci n e q u a l i t i e s ，b u l l a m e r m a r l l s o c 8 4 ( 1 9 7 8 ) ，1 1 8 2 - 1 2 3 8 f 7 】r o s s e r n l a n ，b o n n e s e n s t y l ei s o p e r i m e t r i ci n e q u a l i t i e s a m e rm a t h m o n t h l y _ 8 8 ( 1 9 7 9 ) ，1 - 2 9 【8 】dj ，o l o u g h l i n ，n o n - l i n e a rc u r v a t u r ef l o w si nt h ep l a n e d e g r e eo f