（工程力学专业论文）力电失效中的若干问题研究.pdf

摘要 摘要 结构的失效、破坏大多源于由裂纹、圆孔、界面等缺陷所导致的局部应力集中， 因而含缺陷体的应力问题已为大家所关注。目前对弹性体的工作己深入到对理想模型 求准三维显示解，而压电体理想模型的求解则仍然局限于二维情况。 本文的工作一部分主要基于k a n e 和 i i i n d l i n 在考察板的动态问题时，为了考虑 板的横向应变所提出的e a n e - m i n d i n 假设，求解了弹性体的准三维问题。另部分 工作则是建立在l e k h n i t s k i i 的弹性体工作的基础上的，采用了 m u s l d a e l i s h v i l i l e k h n i t s k i i 的复变函数法求解了两个问题。俱体内容包括如下： ( 1 ) 对弹性体的工作 本文采用k a n e - l f i i n d l i n 假设分别以应力法、位移法求解了含有圆形空洞、 夹杂的有限厚度板准三维问题，给出了全场的应力解析解，分析了孔或界 面附近的应力集中，并讨论了三维效应，给出了一些量的变化曲线，并通 过在板厚很小情况下与平面应力解的比较，证明本文所获得的解是正确合 理的。 ( 2 ) 对压电体的工作 首先本文参考了l e k h n i t s k i i 的弹性体工作及s o s a 的一些工作，解出了含 椭圆孔的压电体平面问题。讨论了孔边的应力集中问题，给出了一些量的 变化曲线，从而描述了应力集中随椭圆孔外形的变化情况。然后求解了含 椭圆孔形弹性夹杂的压电体平面应变问题。本文直接不加证明的引入了 l e k h n i t s k i i 在其著作中用到的个结论，从而避开了椭圆孔内保角映射非 单值函数的问题，顺利的解出了该问题。；户一 关键词板厚、行藻面蔺而蕊而影 板黔( 壅垄! 垒! ! ：蜓! ! ! ! ! 堡i 矿 压电体、 a b s t r a c t a b s t r a c t g e n e r a l l y , t h ef a i l u r e so rt h eb r e a k a g eo f s t r u c t u r e sd u et ot h ec o n v e r g e n c eo fl o c a l s t r e s sw h i c hw a si n d u c e db yd i s f i g u r e m e n t s ，s u c ha sc r a c k s ，h o l e s ，n o t c h e s ，i n t e r f a c e s a n ds oo n s ot h ep r o b l e m so ft h eb o d yw i t hd i s f i g u r e m e n th a v eg a i n e dg r e a ta t t e n t i o n f o re l a s t i c m a t e r i a l s m a n yt w o d i m e n s i o np r o b l e m sh a v eb e e ns o l v e da n dal o t o f t h r e e d i m e n s i o np r o b l e m sh a v eb e e nw o r k i n go n s o m ep r o b l e m sh a v eb e e ns o l v e di n c l o s e df o r m s o nt h eo t h e rh a n d ，f o rt h ep i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l s ，o n l yt w o d i m e n s i o n p r o b l e m s c a l lb ew o r ko u ta tt h e p r e s e n t i nt h i sp a p e r , t h ef i r s tp a r ti so nt h eb a s i so f k a n e - m i n d l i n t h e o r y , w h i c hw a sb r o u 曲t f o r w a r db yk a n ea n dm i n d l i ni nt h e i rw o r k i n go nd y n a m i cp l a t ep r o b l e m s t h es e c o n d p a r t i so nt h eb a s i so ft h el e k h n i t s k i i s t h e o r y f o re l a s t i cm a t e r i a l s t h e m u s k h e l i s h v i l i - l e k h n i t s k i i sc o m p l e xp o t e n t i a lh a sb e e nu s e di n s o l v i n gt h ep r o b l e m t h em a i nc o n t e n t so f t h i sp a d e ri n c l u d e s ： ( 1 1t h ew o r ko nt h ee l a s t i cm a t e r i a l s i nt h i sp a p e r , o nt h eb a s i so ft h es u p p o s eo f k a n e - m i n d l i n ，t h es t r e s sm e t h o da s w e l la ss t r a i nm e t h o dw e r eu s e df o r s e e k i n g t h es o l u t i o n so ft h e q u a s i t h r e e d i m e n s i o n a l p r o b l e m so f ac i r c u l a rh o l ea n da c y l i n d r i c a l i n c l u s i o n e m b e d d e di na ni s o t r o p i ce l a s t i cp l a t eo ff i n i t et h i c k n e s s a 1 lt h ea u d i e n c e c o m p o n e n t so f s t r e s sw e r eo b t a i n e di ne x p l i c i t t h es t r e s sc o n c e n t r a t i o nn e a r t h e h o l eo ri n t e r f a c ew a sa n a l y z e d a n dt h et h r e e d i m e n s i o n a le f f e c th a sb e e n d i s c u s s e d t h ec u r v e so fs o m e q u a n t i t i e sw e r eg i v e n t h ep r e s e n ts o l u t i o n sf o r v e r yt h i np l a t ea r ep r o v e dt o b ec o i n c i d e dv e r yw e l lw i t ht h ep l a n es t r e s s s o l u t i o n s t h i sp r o v i d e sv a l i d a t i o no f t h e p r e s e n tw o r k s ( 2 ) t h e w o r ko nt h ep i e z o e l e c t r i cm a t e r i a l s f i r s t ，o nt h eb a s i so ft h el e k h n i t s k i i st h e o r yf o re l a s t i cm a t e r i a l sa n dt h ew o r k o fs o s a ，t h ep l a n ep r o b l e mo f p i e z o e l e c t r i cp l a t e sw i t ha l le l l i p t i ch o l eh a s b e e n s o l v e d t h es t r e s sc o n c e n t r a t i o n sn e a rt h eh e l ew e r ed i s c u s s e d t h e nc u r v e so f s o m ec o m p o n e n t sw e r eg i v e n s ot h ev a r i e t yo ft h es t r e s s c o n v e r g e n c ea l o n g w i t ht h ef o r m a lo f e l l i p t i ch a sb e e nc h a r a c t e r i z a t i o n s e c o n d ，t h ep l a n es t r a i n p r o b l e mo fp i e z o e l e c t r i cp l a t ew i t ha ne l l i p t i ce l a s t i ci n c l u s i o nh a sb e e ns o l v e d f o rt h em a p p i n gf u n c t i o ni sn o tao n e t oo n em a p p i n g f u n c t i o n ，w ei n t r o d u c ea l l a s s u m p t i o n ，w h i c hh a sb e e np r o p o s e di nl e k h n i t s k i i sl i t e r a t u r e ，w i t h o u tp r o v e d t h e nt h i sp r o b l e mw a s s u c c e s s f u l l ys o l v e d k e y w o r d s ：s t r e s s c o n v e r g e n c e t h r e e d i m e n s i o n a le f i e c t s t h et h i c ko f p l a t e i n c l u s i o n t h es u p p o s eo f k a n e m i n d l i n e l l i p t i ch o l e o r t h o t r o p i c p i e z o e l e c t r i c “f 南京航空航天人学硕| 二学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景和意义 材料或结构在制造和使用中将会不可避免的产生各种缺陷，如圆孔、孔洞、缺口、 夹杂、裂纹等等。材料的失效与破坏将会由此而发生。这是因为这些缺陷将会导致强 烈的应力、电场集中。如在弹性结构中，由于圆形螺栓孔的大量存在，将导致孔边显 著的应力集中，极大削弱了弹性结构的承载能力。压电材料中也同样存在这些问题。 目前，由于弹性材料已广泛用于航空、航天、机械、建筑、交通等现代工业中， 而且由于问题本身的普遍性和典型性，使得人们很早就已开始研究和解释其失效和破 坏的机理，在这方面已取得了显著的理论和实践成果。但是由于孔边三维效应的存在， 大大增加了对真实模型进行理论分析的难度。对各种缺陷导致材料失效、破坏的机理 仍然没有得到统一的描述，弹性材料结构的失效、破坏问题仍然没有得到彻底解决。 压电材料可以因机械变形产生电场，也可因电场作用产生机械变形。由于它具有 这样一个独特的特性，使得压电材料在电子、机械电子等现代工业中得到了广泛应用。 例如，压电材料常被用来制作各种传感器或换能器。近年来。压电材料已被用来制作 智能复合材料结构，如在纤维增强复合材料结构基体中埋入一定比例的压电纤维或在 复合材料层板结构中置入一定数量的压电薄片铺层，从而形成了具有“神经网络”的 智能复合材料结构。因而压电材料具有十分诱人的应用前景。然而，压电材料多为脆 性材料，对裂纹夹杂等缺陷特别敏感。这些缺陷的存在破坏了材料本身的几何或物理 连续性，因此在这些缺陷附近将产生应力集中和电量非均匀性，从而引起材料和结构 的失效、破坏。因此，压电材料的失效、破坏问题引起了研究者的广泛关注。 力也失效中的若干问题研究 1 2国内外研究发展情况 近些年来，对弹性材料、结构的失效破坏问题的分析，己不再局限于相对简单的 模型或一些经典的二维情况，而开始逐渐考虑复杂应力状态和复杂环境下的情况，即 开始采用与真实情况比较接近的模型来探讨这些问题。我们称这一学科为三维破坏力 学。 在这一领域的工作，断裂问题和缺口问题是大家所关注的焦点之一。对断裂问题 的研究始于g r i f f i t h ，随着i r w i n ，o r o w a n ，d u g d a l e ，b a r e n b l a t t 以及r i c e ， h u t c h i n s o n ，r o s e n g r e n 等人的努力，断裂机理逐渐被揭示出来。新的理论学科一断 裂力学就这样产生了。断裂力学在工程实际中取得了显著的成就，也极大地改变了人 们的观念。然而这方面的前期工作主要局限于对平面问题的研究，对三维破坏问题的 研究，由于数学上的困难而一直没有建立起完整的理论描述。但是实际中的材料、结 构的破坏均具有明显的三维特征，许多理论和实验研究都表明了这一点，疲劳裂纹扩 展则更是受厚度、载荷等影响裂端应力状态的因素的巨大影响。因此需要建立与真实 情况比较接近的模型来进一步精确的分析材料和结构的破坏问题。 缺口问题的研究，目前主要是通过数值模拟来进行，而现有理论也都是建立在平 面假设韵基础上。由于裂纹和缺口在几何上的可拓扑性，近年来人们一直努力试图将 裂纹和缺口的力学描述统一起来。但是由于弹性缺口弹塑性场以及三维场尚未建立， 因此统一描述仍不具有理论基础。三维缺口问题主要是缺口的三维效应问题。对于穿 透厚度缺口，三维效应集中反映在厚度效应上。圆孔是最典型的缺口，最初s t e r n b e r g 和s a d o w s k y 作了带圆孔有限厚度板的理论分析并给出了一组级数解。之后， y o u n g d a h l 和s t e r n b e r g 给出了半无限体中圆柱孔的应力场。再后来f o l i a s 和w a n g 对这一问题作了进一步的研究，通过解三维n a v i e r 方程给出了一组半解析解。但是 这些复杂的数值过程使得工程应用并不方便。近年来，l f 和g u o ( 2 0 0 1 ) 、c h a n g 和 g u o ( 1 9 9 8 、1 9 9 1 、2 0 0 1 ) 做了卓有成效的工作，这将在后面章节中具体论述。 对于压电材料、结构的破坏问题，由于力电耦合及各向异性，极大地增加了数学 上的求解难度。因而当前的理论分析都还局限于二维情况。并且，在一些具体问题上， 如裂纹面的电边界条件、电场对裂纹扩展的影响等，还存在着争议。在各种文献和专 著中也可以看到这些不同的意见。 在1 9 7 6 ，p a r t o n 公布了他的压电材料断裂力学的基本结果，提出了导通裂纹假 设。在1 9 8 0 ，d e e g 分析了压电体中的位错、裂纹和夹杂问题。为了简化数学推导， d e e g 提出裂纹上下表面电位移的径向分量可以认为等于零。为了验证这一假设的合 理性，p a k ( 1 9 9 0 ) 详细讨论了忽略裂纹内电位移时的情况。这种电边界条件被称作d - p 边界条件。当前，在压电材料的断裂力学研究中d - p 边界条件被大量采用。s o s aa n d p a k ( 1 9 9 0 ) 用特征函数分析法研究了一个很一般的裂纹尖端问题。s h i n d oe t a l 南京航空航天火学硕士学位论文 ( 1 9 9 0 ) 采用积分方程法分析了压电层中的裂纹问题。k u oa n db a r n e t t ( 1 9 9 1 ) 进行了 裂尖轴对称分析。p a k ( 1 9 9 2 ) 和s u oe ta 1 ( 1 9 9 2 ) 再次分析了有限裂纹的弹性场和电 场。通过对孔加以限制，z h a n ga n dt o n g ( 1 9 9 6 ) 和z h a n ge ta 1 ( 1 9 9 8 ) 讨论了裂纹 几何形状和介电常数的影响，他们发现对控制变量的不同限制将导致不同的裂纹面边 界条件。g a o 和f a n ( 1 9 9 9 ) 等做了大量工作，这将在具体章节中详细介绍。h a oa n d s h e n ( 1 9 9 4 ) 考虑了裂纹内空气或真空的电导通性，提出了一种新的电边界条件。 p a k ( 1 9 9 2 ) 考虑了总能量释放率的准则，证实了电场通常会阻止裂纹的扩展。p a r ka n d s u n ( 1 9 9 5 a ，b ) 运用应变能释放率准则，观察到正电场将使断裂载荷下降，而负电场将 使其变大。k u m a ra n ds i n g h ( 1 9 9 6 ) 运用最大环向应力准则，报道了正电场作用下裂 纹扩展变缓而在负电场作用下加速的情况。关于施加电场所产生的影响的矛盾的实验 观察结果在一些专著中也可以看到( s i n g ha n dw a n g ，1 9 9 5 ：p a r ka n ds u n ，1 9 9 5 a ) 。由 以上可见，对压电材料失效机理的研究还远远没有弄清，需要进一步的探索。 力电失效中的若干问题研究 1 3 本文的研究内容 本文是这两年半以来所做的主要工作的汇总，可分为对弹性体所做的工作和对压 电体所做的工作。其主要内容是作如下安排的： 第一章简要介绍了本课题的研究背景和意义、历史和发展现状。 第二章介绍的是对弹性体的工作。本章的工作可分为三个部分，第一个是采用应 力法求解了含圆孑l 的有限厚度板问题，第二个是采用应力法求解了含圆孔形夹杂的有 限厚度板问题，第三个是采用位移法求解了含圆孔的有限厚度板问题。其中，第一个 工作在此以前e r i s h n a s w a m y e ta l 己作过，只是在确定系数时出现了错误，因而得 出了不切实的结论，本文则给出了正确的应力场表达式。第二个工作的相关工作在此 以前也有介绍，但以应力法求解该问题，应该还是第一次。第三个工作则是建立在 c h a n gt 等人工作基础上的，其工作得出了和有限元结果吻合较好的解，但数学上仍 有一些不妥之处，本文则完善了他们的工作。 第三章介绍了对压电体所做的工作。本章的工作都是建立在l e k h n i t s k i i 的弹性 体工作的基础上的，采用了m u s k h e l i s h v i l i - l e k h n i t s k i i 的复变函数法求解了两个 问题。第一个是含椭圆孔的各向异性压电体问题，第二个是含椭圆形弹性夹杂的各向 异性压电体问题。第一个问题，在c u n - f ag a o 和w e i - x u nf a n 、s o s a 等人的一些工 作基础上，主要参考了l e k h n i t s k i i 的弹性体工作，解出了该问题，探讨了新的现象， 得出了新的有益结论。第二个问题则完全基于l e k h n i t s k i i 的弹性体工作，不加证明 的引入了其书中的一个结论，从而解出了此问题，发展了这一领域的理论。 第四章对本文工作作了总结，并对下一步可以开展的工作提出了一点看法。 4 南京航空航天大学坝_ 上学位论文 第二章含圆孔形缺陷的有限厚度弹性板问题 2 1 概述 工程中所用的材料、结构不可避免的含有各种缺陷。如在航空、船舶、汽车等结 构中，由于经常用到铆接件或螺栓连接件，普遍存在着大量的圆孔。在这些缺陷处就 会产生高度的应力集中，从而导致材料或结构的破坏。而这种发生在缺陷处，如在孔 边、裂尖、界面附近不仅会产生应力集中，在有限厚板内还会导致强烈的三维效应区 的产生。三维效应区和结构的相对厚度紧密相关，会对结构的断裂、疲劳等力学特性 产生较大影响。因此，长期以来，人们对这些问题进行了广泛而深入的研究。然而， 由于求解三维问题时所遇到的数学困难，问题未获圆满解决。 起初对带孔板的研究主要利用k i r c h h o f f l o v e 理论或r e i s s n e r 理论来进行。这 些理论由于没有考虑横向应变的影响，因此不能真正反映三维效应。后来，s t e r n b e r g 和s a d o w s k y ( 1 9 4 9 ) 作了带圆孔的有限厚度板的理论分析并给出了一组级数解，运用 了改进的r i t z 法，采用数值过程得到了一些结果。但是他们的方法是相当粗糙的。 接着，y o u n g d a h l 和s t e r n b e r g ( 1 9 6 6 ) 得到了含圆柱孔的半无限板问题的数学上比较 严格的解，并将最后结果总结成第二型f r e e d h o l m 积分方程的形式，以数值法解此方 程，将此解代入指定方程即可获得所要求的应力应变场。但是这样也使得实际应用起 来不太方便。f o l i a s 和w a n g 后来对这一问题作了进一步的研究，通过求解三维n a v i e r 方程给出了一组半解析解。同样的，这组解由于数值过程的繁琐，不易于在工程实际 中的应用。 近些年来对含圆孔的有限厚度板的研究，大多基于k a n e 和m i n d li n 在考察板的 动态问题时，为了考虑板的横向应变所提出的所谓k a n e m i n d l i n 理论。先是￥a n g 和 f r e u n d ( 1 9 8 5 ) 运用渐进匹配的方法求解了含i 型穿透裂纹的有限厚度板问题。后来 j i n 和h u a n g ( 1 9 9 0 ) 运用f o u r i e r 变换的方法比较圆满的解出含i 型穿透裂纹的有限 厚度板问题。k r i s h n a s w a m ye ta l ( 1 9 9 8 ) 基于应力法理论分析了含圆孔的有限厚度 板的应力集中现象。但是他们的结果中存在着数学错误，导致其得出了k a n e - m i n d l i n 理论不能运用于带孔厚板问题的错误结论。c h a n g t 等指出了这一错误，并基于位移 法重新求解了该问题，得到了能与有限元结果较好吻合的解。 由于复合材料( 比如纤维增强复合材料) 的广泛使用，夹杂问题受到了人们的关 注。g o o d i e r 和e s h e l b y 最早研究了弹性无限体中椭圆夹杂问题。自此以后，人们开 始认识到夹杂对结构破坏的重要影响，并进行了深入的研究。先是y o u n g d a h l 和 5 力电失效中的若干问题研究 s t e r n b e r g ( 1 9 6 6 ) 利用p a p k o v i c h 应力函数求解了半无限体中的圆柱形夹杂。接着 h a s e g a w a ，l e e 和m u r a 通过本征应变法得到了半无限体中的圆柱形孔洞和夹杂的轴对 称弹性解。后来，w u 和d u 有借助g r e e n 函数得到了半无限体圆柱形夹杂的应力场和 位移场。p e n a d o 和f o l i a s 通过求解三维n a v i e r 方程给出了有限厚度板圆孔夹杂的 半解析解，但还是由于其数值过程的繁杂，用于解决实际工程问题时并不方便。最近， c h a n g 和g u o 运用位移法得到了有限厚板圆i l 夹杂问题的解析解，分析了三维效应， 并进行了有限元验证。 本文将在以上工作的基础上，分别运用应力法和应变法重新求解了有限厚度板圆 形孔洞及夹杂问题。首先基于应力法求解了含圆孔的问题，得到了精确的应力场全场 解、应力强度因子随板厚的变化规律以及板厚对圆孔附近三维效应区的影响。接着基 于应力法求解了含夹杂的问题，得到了精确的应力场全场解、离面应力约束因子的变 化规律以及板厚对圆孔附近三维效应区的影响。最后基于应变法求解了含孔洞的问 题，完善了c h a n ge ta l 的工作。 南京航空航天人学硕j ：学位论文 2 2圆孔问题应力解 摘要本文利用k a n e - m i n d l i n 关于弹性平板面内问题位移的基本假设，求 解了含圆柱孔的无限大板的应力集中问题，得到了精确的应力场全场解、 应力强度因子随板厚的变化规律以及板厚对圆孑l 附近三维效应区的影响。 1引言 本文采用应力法求解了考虑板厚影响的含圆孔的无限大板问题，得到了圆孔附近 应力位移场解，同时讨论t t l 边的三维效应。文中将在第二节给出本问题的控制方程 和边界条件，第三节中对本问题进行求解，得到各待定系数的解，在第四节中将对孔 边的三维效应加以讨论，并取板厚很小的情况与平面应力解进行比较，可知二者完全 吻合，从而得出本文的解是正确的结论。 2 基本方程及边界条件 三维弹性体力学的基本方程为： 平衡方程( 无体力) = o ( 1 ) 应力一应变关系 几何关系 6 q = t l + v 。q 一毛vg 。6 6 q2 百o u 一1 0 0 n 白= i 1 ( “+ “川) ( 2 ) ( 3 ) 以上各式中，e 为弹性模量，v 为泊桑比，拉丁字母f ，j 等取值1 ，2 ，3 ，并采用求和 约定。 下面我们将采用m i n d l i n 板理论考虑一个含穿透圆孔的有限厚度板两端受远场拉 伸时的情况( 见结构示意图) 。假设板厚口= 2 ，孔径2 r ，以孔心为原点，板的中心 面为z j ，平面，并且载荷方向为x 方向建立坐标系。m i n d l i n 假设可描叙为： “。= u ( x ，y ) “，= v ( x ，y )( 4 ) 也= w ( x ，y ) 打 j 屯失效中的若f 问题研究 n n ! j 汊0， l 结构示意图 n n 这里“，“，甜：分别代表z ，y ，z 方向的位移。 平板中实际的三维变形状态和( 4 ) 不尽相同。但由于我们主要关心板厚效应对 二维平面应力场的扰动范围，此时，各场量沿板厚方向如何变化并不占主导地位。故 m i n d l i n 假设有可能使我们较细致的讨论板厚对孔附近的应力应变场的变化。并且， ( 4 ) 显然包含了平面应力状态，这也是该假设的一个优点。所以，在含圆孔的平板 孔附近处三维效应区的讨论中，m i n d l i n 假设是可取的。 引入以下各应力及变形分量： ( w o e ，虬，r 。) = 1 1 h ( e r a # z z 口。) 出 ( 丽，云，i ) = 厶( 铘岛，2 z e z a ) & 希腊字母口，等取值l ，2 ，并有求和约定。这里用上式及( 4 ) ，从( i ) 导出平板面内问题的基本方程： n 印j b = 0 r ：。8 一n 。= 0 ( i ，云写) = 丁l + v ( ，虬，2 ) 一考( ，l 。) 5 妇； ( “。口+ 。) 屯= 2 w ( x ，y ) _ 2 h 2 ：d 2 了w 口 ( 5 ) 一( 3 ) 可 ( 8 ) ( 6 ) ( 7 ) 南京航卒航天大学坝上学位论史 此时板内应力应变场有三个平衡方程、三个协调方程，共计六个方程所共同决定。引 入应力函数，使满足： = v 2 庐一砂印 ( 9 ) 上式中审2 为l a p l a c e 算子。则( 6 ，) 式自行满足。再引入应力函数妒，使满足： r ：口= ( 1 0 ) 则： 虬= v 2 妒 ( 1 1 ) 于是最后得到的控制方程形为： v 4 口= a v 2 口 田：驴矧；一4 妒 n 2 其中的常数分别为： 4 2 孚扣半，4 2 连 ， 4 本问题的边界条件为： 可= - ( 1 + c o s 2 8 ) ，瓦= n 0 - c o s 2 0 ) ，瓦= 一譬s i n 2 目，( ，斗。) ，= o ， n r p = 0 ，j r ，= 0 ，( r = r ) ( 1 4 ) 由边界条件可知，本问题在极轴下求解最方便，而已得的控制方程式( 1 2 ) 便是极轴 下的形式，因而本问题在极轴下的数学表述已经完整。 3 问题的求解 由边界条件( 1 5 ) 可知，可以取应力函数的形式为： o ( r ，0 ) = 丸( ，) + 杰( r ) c o s 2 0 妒( ，0 ) = e a r ) + 妒2 ( r ) c o s 2 0 于是可求得控制方程( 1 2 ) 的解的形式为： 妒( ，0 ) = c 2 0 k o ( 4 a r ) + c 3 0 l i l ，+ c 蚰 + c 2 2 k 2 ( 爿r ) + q 2 r 2 + c 4 2 r 一2 ) c o s 2 目 考虑基体无穷远处应力和位移的有界性，则上式最后可化简为 ( 1 5 ) ( 1 6 a ) 9 力电失放中的若十问题研究 p ( r ，臼) = c 2 0 k 。( 盈) + c 。+ ( c 2 2 k ：( 盈) + c 4 2 r 一2 ) c o s 2 0 ( 1 6 b ) 代入方程( 1 2 ：) 即可得应力函数的解 c k ( r , o ) 咄托。h r + 等c 2 。k o ( x f a r ) 一 砉v c 4 0 r 2 + ( d ，z r z + 咖+ 兰c 2 2 k ：( 4 - 2 , i + - - 砉v c 4 ：) c 。s 2 p 因此可得各应力分量的形式为： r 2 丽1 ( r 2 ( 一2 风 4 - a r ( 4 一a 2 ) c 2 0 - a r = 4 c 4 。 2c o s 2 0 ( ( , f a r k , , f a r + 6 k 2 x a r ) ( a 一) c 2 2 + a ( 4 c , 2 + 2 r 2 v d l 2 ) ) + 2 a v d 2 0 ) 一1 2 a v c o s 2 0 d 2 2 ) n o 。而1 ( 2 r 4 ( k o g - a d + x 2 f a r ) ( a 一4 ) + r 4 ( 届】 + 2 k 2 - 4 t a r + k 4 - - a r ) c o s 2 0 ( a 一4 ) c 2 2 2 r 4 4 c 4 。 + 8 r 4 v c o s 2 0 d 1 2 4 r 2 v d 2 0 + 2 4 v c o s 2 0 d 2 2 ) 2 丽1 ( s i n 2 0 ( ，2 ( 一4 ( a r k t b j r + 3 k ： 届 ) ( 爿一4 ) c 2 2 一a a z c 4 2 + 4 a r 2 y 吐2 ) 一1 2 a v d 2 2 ) ) p 一2 s i n 2 0 ( r 2 k 2 4 a r c 2 2 + c 4 2 ) n ，4 一一一 ( 1 7 ) ( 1 8 ) r 户一尿t 届 c 2 0 + 芦12 口( 一, - 2 ( x 。 x a r + 吲届】) 铲吾c 4 ： 虬= a ( k o 1 r a r c 2 。+ k 2 x a r c o s 2 0 c 2 2 ) 将上面的解代入边界条件式( 1 4 ) ，可求得各待定系数的解为： 屯= 一婴 c 2 0 2 c 3 0 2 c 3 2 20 c 2 2 = - 4 a n r v ( 4 x a k , x a r + r ( 2 k o x a r + q a r k , q - a r ) a = ) c 4 ：= ( a n r 4 v ( k 胁 + 墨】 f a r ) ) ( 4 a k 庙 + ( 2 4 彳r k o , f a r + a r 2 k i 庙 ) 4 ) ( 1 9 ) 0 咖一4一4 一 一 = = o 2 q t 南京航空航天大学坝l 学位论文 d ：= ( n r 3 ( 4 a r k ， q r a r 一再r ( 4 + a r2 ) k ，【颤r 】 + 2 ( 8 + a r 2 ) k ： 顿r ) 4 ) ) ( 1 6 a k ， 打尺 + 4 一r ( 2 鼠 以r + 打瓯 打尺】) 4 至此各待定系数均已确定。再将上式代入式( 1 8 ) 即可求出各应力分量的最终表达式 为： ，= ( 4 a n ( r ( 2 r 2 ( j a r k 。 _ ，】+ 6 足： 盈 ) 一3 x - a r 3 x 3 , f a r ) c o s 2 0 + 4 ，2 k ， x a r ( r 2 一r 2 + ，2c o s 2 0 ) ) + n r ( 2 ( - 4 r 2 ( v f a r k , 4 ，】 + 6 k 2 爿r 】) + r 2 ( 2 4 4 a r 2 + 3 a r2 ) k z f a r ) c o s 2 0 + 2 a r 2 民 4 r ( ，2 一r 2 + r 2 c o s 2 0 ) + 4 k t , f a r ( a r 2 ( ，一r ) r ( r + r ) + r ( a r 4 4 ( 一3 + 爿r 2 ) r 2 + 3 a r 4 ) c o s 2 0 ) ) 4 ) ( 2 r 4 ( 4 a 2 墨 4 r 】十a r ( 2 k o 彳j r + 4 r k 。 爿r ) 4 ) ) = = ( ( r 4 + r 2 r 2 一r 4c o s 2 0 + ( 2 r 4 r ( k o v - a r + 2 k 2 【爿r 】 ， + k 4 , j a r ) c o s 2 8 ( - a + 4 ) ) ( 4 4 a k 。 4 a r + r ( 2 4 a r + - , - 2 r & 4 - j r ) 4 ) 一( 3 r 3c o s2 0 ( - - 4 a ”2 r 墨 爿r 】+ ( 爿尺 ( 4 + a r2 ) 足。 矗r + 2 ( 8 十a r 2 ) x 2 u a r ) a ：) ) i ( 4 a k l 历尺】 + a r ( 2 k o 4 a r 】+ , a r k , 4 月 ) 4 ) ) ) m = ( n s i n 2 0 ( - 8 a ( - 4 爿一尼l 爿r + 爿( r 4 + 3 r 4 ) k , x f a r 一1 2 r 2 r k 4 ，】+ 1 2 r 3 k ： 4 r 】) 一( 3 2 彳，r k i 爿r + 彳( 一8 r 4 + a r 4 r 2 + 2 ( 一1 2 + 爿r 2 ) r 4 3 a r 6 ) k i 4 r + r ( 9 6 ( r 2 托 彳， 一r 2 k 2 爿r 】) + 爿3 ( ，- r ) r ( r 十r ) ( ，2 + 3 r 2 ) 蜀 盈 ) ) 4 ) ) ( 4 r 4 ( 4 爿”2 k 【4 尺 + a r ( 2 k o v r a r + 一r k 。 j 4 胄 ) 4 ) ) r = - ( 4 n r v ( a r 3 墨【a r 】- 2 r 2 k 2 ( r + 2 r 2 k 2 v - a r ) s i n 2 0 ) ( r 3 ( 4 x - a k 。 v r a r + r ( 2 k o , , - a r + , , j r k , - , - a r ) a 2 ) ) 。= 一( 4 a n r v k 2 爿r 】c o s 2 p ) ( 4 爿墨 4 r + r ( 2 k 。 4 a r + 4 a p k l 【a r ) 4 ) 一生! ! 鲞塾! 竺墨塑望至壅 r = ，= ( 4 a n r v ( r 3 ( k 、，盈 + k 3 盈 ) 一r 3 ( k 。 4 7 r + k 3 - f a r ) ) c o s 2 0 ) ( 8 a r 3 k 打r + 2 届3 r ( 2 胁】+ 衄 胁 4 几个重要力学量的求解 ( 1 ) 应力比：足盟 ( 2 0 ) k = 2 r 去( r 4 - t - r 2 r 2 _ r c o s 2 0 + f 2 r 4 r ( k o q r - a r + 2 k ： , f - a r + 瓦 盈 ) c o s 2 臼( 一爿+ a 2 ) ) i ( 4 - f a k 。 x a r + r ( 2 k o v - a r + 4 - i p o c , i 4 r ) 4 ) 一( 3 r 3c o s 2 0 ( 一4 ，：瞄 胁 + ( 劢( 2 1 ) ( 4 + a r 2 ) k , - 4 r a r + 2 ( 8 + a r 2 ) 墨 打尺 ) 4 ) ) ”k l 庙】 + a r ( 2 k o b - a r + u i - a r k , 吖r a r ) a 2 ) ) ( 2 ) 离面应力约束因子r ：丝 。 n ，+ n 日 t = ( 4 爿，2 r v k ： d 2 r c o s 2 0 ) ( 一4 盈2 k 。 i r + 4 j r - r x ： f 2 , - i c o s 2 0 + r ( 一2 r 2 x o , f a r + 4 ( - r 2 k s , f a r + r 2 k 2 拓r 】) c o s 2 8 ( 2 2 ) + 颤脒。 洳 ( 一，2 + 2 r 2c o s2 8 ) ) 4 ) ( 3 ) 面内应力比：r ：盟 3 2 十京航空航天大学硕士学位论丈 c = ( 4 a r ( 一2 r 2 ( f a r k i 彳r 】+ 6 k 2 爿， ) + 3 一r3 k 3 q 彳r ) c o s 2 0 4 a 3 ”r 2 k 1 【4 r 】( r 2 一r 2 + r 2c o s 2 0 ) + r ( 2 ( 4 r2 ( - l a r k l 4 a r + 6 k 2 爿r 】) 一r 2 ( 2 4 - 4 a r 2 + 3 a r 2 ) k 2 a r ) c o s 2 0 2 a r 2 k o j a r i ( r 2 一r 2 + r 2c o s 2 0 ) + 爿k , - d r ( 4 r 2 r ( 一r 2 + r 2 ) 一r ( a r 4 4 ( 一3 + a r 2 ) r 2 + 3 a r 4 ) c o s 2 0 ) ) a 2 ) 2 a “2 ( 尺( ，( 爿r r 。、 ( 4 ，】+ 3 如 爿r ) + 6 k 3 爿r ) 一6 r 3 & 4 r ) c o s 2 0 + 2 r 2 k i 爿r ( 一r 2 一r 2 + r 2c o s 2 0 ) ) + r ( 一2 ( a r 4 蚝 4 ， + 2 a r 4 k 2 爿r 一3 r 2 ( 8 + a r 2 ) k 2 4 r + a r 4 托 爿， ) c o s 2 0 + 2 a r 2 x o f 2 r ( 一，2 一r 2 + ，2c o s 2 0 ) + 4 - j xb f 2 r ( 一a r 2 r ( r 2 + r 2 ) + r ( 1 2 r 2 + a ( r 4 + 3 r 4 ) ) c o s 2 0 ) ) a 2 、 5孔边三维效应的讨论 5 1 三维解和二维解的比较 平面应力情况下圆孔附近的应力场为： q = 弘一争c t 一等+ 等徊渤， = 弘+ 争- ( 1 + 7 3 r 4 ) c o s 2 0 ) ( 2 4 ) c r r 。= 号( 1 + 等一警s i n 2 p 现在计算三维模型在板厚很小时向二维解退化时的解。不妨取板厚h = 0 o l ，圆孔半 径r = i ，则e h 上面式( 2 0 ) 可得到各相关应力分量随距离，、角度0 的变化情况，如 图一所示。可以看出两种情况的曲线完全重合。并且本文所获得的三个应力解在薄板 情况下，与平面应力解的差值是完全可以忽略的。如取h r = o 0 1 时，一其差值是，、0 的函数，但其系数的量级都是在10 - s 左右，而贝塞尔函数酌收敛要比幂函数的收敛快 得多，由此可见所求得的解是能够精确的向平面解退化的。 力咆失敛中的若十问题研究 鐾 畏 型 旧 牛 = * 饕 杖 ! 奇 10 15202 530 r 尺 图一：本文解( 方框