（统计学专业论文）一类相依索赔离散风险模型的研究.pdf

摘要 在经典离散风险模型中，风险过程的平稳独立增量假设在模型分析中是一个 十分重要的条件。但在实际风险运作过程中，这个假设条件是过于理想化的。 本文将经典离散风险模型推广到相依索赔离散风险模型，考虑将理赔额随机 变量由独立同分布推广到索赔额相依情形，推广了k c y r u 和j y g u o ( 2 0 0 1 ) 的工作，研究了一类更广泛的索赔时间相依的离散时间风险模型。 第二章提出了索赔额相依的离散风险模型。利用全概率公式，我们得到了生 存概率所满足的递推公式，以及单位时问区间( ，n + l 】内索赔总额的概率函数 户( 墨。= 力。然后利用所求得的概率函数，得到了相依情形下折现函数，( t ) ，；o ) 及相依情形下折现罚金函数( g e r b e r s h j u 函数) 研矿厂“of 硼r o ) = “】。 第三章讨论了带红利的相依索赔离散风险模型。为了使模型更有实际应用价 值，我们引入了红利，考虑了带红利的相依索赔离散风险模型。利用全概率公式， 得到了折现罚金函数所满足的迭代更新方程。 第四章得到了不带利率情形下，破产概率所满足的迭代方程及最终破产概率 所满足的积分方程；并且得到马尔科夫利率下破产概率所满足的迭代方程，最终 破产概率所满足的积分方程，及所满足的最终破产概率的一个l u n d b e 喀型卜界， 并利用m a t l a b 数学软件随机模拟说明了该结果。 关键词；离散风险模型；索赔；副索赔；全概率公式；分红 a b s t r a c t i l lm ec l 嬲s i c a ln l i nt l l e o r y ，t 1 1 es t a t i o n a r y 锄di n d 印e n d e n ti n c r e i i l e n ta s s u m p t i o m o n 让i es u r p l u sp r o c e s so f 孤i i l s 嘲n c ec o m p a n yp l a y 姐i m p o r t a n tr o l e 1 0 w c v e f ，t h e a s s u m p t i o n sa r ev e r yr e s m c t i v e i nt h i sp 印e r ，w ec o n s i d e rt h en 妇p r o b a b i l i t i e sf 缸t i m e - c o 仃c l a t e dc l a i m si n 也e d i s c r e t c t i m er i s km o d e l ，w l l i c he x t e n d st ot 1 1 ew o r ko f k c y u e na n dj y g u o ( 2 0 0 1 ) i nc h 印t e r2 ，w em a k es o m ei m p r o v e m e mo nt h em o d e lo fk c y u e na n d j y g u o ( 2 0 0 1 ) b yl a w so f t o t a lp r o b a b i l 咄w eo b t a i nr c c u r s i v ef o 肋u l a sf o rt h e s u r v i v a lp r o b a b i l 蚵锄dt h ep r o b a b i l i t y f i l l l c t i o no ft l l et o t a l c l a i m s 最卅i i n ( n ，h + 1 】t h e n ，m ed i s c o u n t c dp r o b a b i i i 哆，o ，y ；o ) a n de v ，一州。l u ( o ) = 甜】a r e o b 忸i n e d b y p ( 量m = s ) hc h a p t c r3 ，t h et i m e c o r r e l a t e dc l a i m si i lm ed i s c r c t c t i m ed s km o d e lw i t l l r a n d o n l i z e dd e c i s i o n so np a y i n gd i v i d e n d sa r ec o n s i d e r c d b yl a w so f t 0 1 a 1p r o b a b i l 时 w e0 b t a i nr e c u r s i v ef 0 册u 1 8 sf o r t h ep e n a l t yf h n c t i o n 中( “) i l lc h a p t c r4 ，m ea u t h o 硌c o 璐i d e rac l a s so fd i s c r c t e - t i m er i s km o d c lw i 也a m a r k o vc h a i ni i l t e r c s t ，i nw h i c he v e r ym a i nc l a i mc a i lg e n e r a l i z eab y c l a i mi ft l l e 锄o l i n to ft l l em a i nc i a i mi sl a 唱e rt h a nm f i r s t l y ，ai m e g r a lc q u a t i o ns a t i s f i e db y s u i v a lp r o b a b i l 毋i so b t a i n c d ，w h e n = 0 0 = o ，l ，2 ) w h e n o ，t l l ea u t h o r sp r o v c t h a cm e 八l i np r o b a b i l i t y 甲( ”。) f i l l m sai n t e g r a le q l l a t i o n ，a n dd 甜v eal u n d b e 玛 i n e q u a t i o nb ym e a n s o f m em a r t i n g a l ea p p r o a c h k e y w o r d s ：d i s c r e t c r i s km o d e l ；m a i nd a i m s ；b y c l a i m s ；t h el a w s o f1 0 诅l p r o b a b i l i 哆；p a y i n gd i v i d e n d s ； i i 西北工业大学 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻凄 学位期间论文工作的知识产权单位属于西北工业大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电予版。本人允许论文被查 阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库迸 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和征编本学位论文。 同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作 者单位为西北工业大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名： 了口1 湃 指导教师签名： 沙叼年 一趑， 弓玛 sb 西北工业大学 学位论文原创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明：所呈交的 学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。尽我所 知，除文中已经注明引用的内容和致谢的地方外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成果，不包含本人或他人己 申请学位或其它用途使用过的成果。对本文的研究做出重要贡献的个人 和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人学位论文与资料芳有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 学位论文作者签名： 量垂【坠 乙，却年，月f f 日 一日 一 ， j 杖一 l 选月 一， 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 本章主要综述了风险理论的研究现状，并对破产理论背景知识做了介绍。最 后对本文所要研究的问题作了精要说明。 1 1 背景介绍 风险理论作为应用数学的一个重要分支，它借助概率论和随机过程理论构造 数学模型，来描述保险、金融，证券投资以及风险管理等领域的各种风险业务过 程。 投资者常常会选择那些损失小，但收益大的项目。保险公司作为一个大的投 资者，其收益是投保人交纳给公司的保费，但同时承担着投保人所面临的未知风 险。为了科学地投资决策，就需要对这种风险进行定量分析。这就形成了一个重 要的研究领域：破产论。 破产论作为风险理论的主要研究课题，已经得到飞速的发展，其原因在于： 一方面应归功于破产概率在保险公司的测度风险中的实践应用：另一方面归功于 近现代的计算机和计算技术的发展。实践中，人们通常选择破产概率、破产持续 时间、破产时的亏空的概率函数等易于使用的方法度量风险，预测经营者的所面 临风险，从而对投资决策起到指导性作用。通过对破产概率、破产持续时间、破 产时的亏空的概率函数等量的估计和预测。可决定是否对这项目进行投资或者对 这项目如何投资。通过对某一险种的上述数量进行估计和分析，可决定如何调节 保费来达到减少经营过程的破产可能性，亦可决定如何进行保险分红等等。当然 这就要求所选的风险测度方法简便可行，另一方面也要求所考虑的风险模型接近 于现实。 关于风险模型中破产概率的研究，可以依据风险模型的不同提法，在针对保 险公司运作中遇到的种种问题，通过对概率或统计模型进行修正，附加种种条件， 使得模型更接近保险公司的实际运作这使得破产概率的研究变得非常富有挑战 西北t 业大学硕士学何论文第一章绪论 性，所以破产概率的研究在国际上一直是人们关注的一个焦点但在国内，从事 这方面研究的人员还比较少，有关破产概率的发展和研究现状的综述性文献和有 关破产概率的专著有： g e r b e “1 9 7 9 ) ”，g r a n d e l l ( 1 9 9 1 ) o ”等 现已公认，破产论的研究起源于瑞典精算师f i l i pl u n d b e 唱于1 9 0 3 年发表的 博士论文，至今已有百余年的历史。破产论的研究既有其实际的应用背景，也有 其概率上的兴趣。事实上，一类霞要的随机过程，即p o i s s o n 过程，正是l i l i l d b e 唱 在这篇论文中提出的。不过，l u n d b e 曙的工作不符合现代数学的严格标准。它 的严格化是以h a r a l dc m m e r 为首的瑞典学派完成的，是c 舢e r ”将l 瑚曲e 唱 的工作奠定在坚实的数学基础之上，与之同时，他还发展了严格的随机过程理论。 现已公认，l i l n 曲e r g 和c r 咖e r 的工作为经典破产论的基本定理。 为了给出经典风险模型的数学描述，我们首先给出l u n d b e 唱在论文中所提 出p o i s s o n 过程的定义： 定义1 1 1 称取非负整数值的随机过程h ，f o ) 为p o i s s o n 过程，如果它满足： ( 1 ) 协) 是独立增量过程； ( 2 ) 对任o s ，一以具有参数为五( f j ) 的p o i s s o n 分布，即 尸( 一= | i ) = 墨二与i 丛e x p 一五( ，一s ) ) ，a o 经典风险模型即l i l l l d b e 瑁和c r a m e r 所讨论的模型是最简单的一种模型，该 模型是基于以下几条假设： ( 1 ) 索赔到达过程为时齐的点过程： 用随机过程| v o ) 表示( o ，f 1 时间段内理赔发生的次数，即 ( f ) = s u p 月l ：瓦f ) ，f o 且s u p 中= o 这里中表示空集，且经典模型中( f ) 是参数为五( 五 o ) 的p o i s s o n 点过程。 ( 2 ) 索赔额过程为一列i i d 的l v 列： 用随机变量置表示第f 次的理赔额，理赔额序列 z ) 忙叫是非负f d 随机变 量序列，服从共同分布f ( ) ( 且满足，( o ) = 0 ) ，均值为以，方差为仃2 * 。 2 西北t 业大学硕士学付论文第一章绪论 ( 3 ) 点过程与索赔额过程相互独立。 ( 4 ) 保费的收取率为常数且考虑相对安全负载。 该模型可以表达为： u ( f ) = “+ d 一置，f o l ，) 其中u 是f 时刻保险公司的资本盈余，“ o 表示保险公司的初始资产；常数 ( n c o 是单位时问保费收入( 保费率) ；s ( f ) = 蜀是总理赔量过程，为一复合 p o i s s 过程，其中( f ) 为一随机点过程，( f ) 表示( o ，妇内理赔到达次数为一参 数为五 o ) 的p o i s s o n 过程，当( f ) = o 时，s ( ，) = o ；理赔额五，f = 1 ，2 ，是n j 非负随机变量，具有共同的分布函数f ( 工) 和均值段，方差为盯2 一；且 ( f ) ，f 0 】与 置，f ) 相互独立 定义破产时刻r = i n f p o l u ( f ) o 】，表示公司的盈余小于。的时刻。特别 地如果r = 一，则认为保险公司永不破产。此处的“破产”仅是从数学的角度而 言。事实上，“破产”只能说明公司的经营状况不佳，但通过经济和经营等手段 仍可维持公司的运转，甚至能最终盈利。但研究和7 有关的变量无疑对公司的财 务具有参考价值。如定义甲( ) = 尸仃 * i u ( o ) = “) 表示公司在给出了初始准备金 为的条件下最终破产的概率，即终极破产概率。 经典的风险理论在近百年来一直是概率统计学家和其他数学家的研究热点， 例如：b e e k m a n ( 1 9 7 4 ) 1 1 j 给出了著名的b e e k m a n 卷积公式，这是后人作破产概率 估计的基础；f e l l 呱1 9 7 1 ) 【1 0 j 证明了与破产概率对应的生存概率( s u r v i v a l p m b a b i l i t y ) 满足亏损更新方程( d e f e c t i v er e w a le q u a t i o n ) 。 l u n d b e 玛和c 舢e r 的工作的结果主要有以下的几点： ( 1 ) l 王，( o ) = # ：口为相对安全负荷。 l + f ( 2 ) l 蚴d b e 学c r a m e r 近似表达式：存在正常数c ，使得 l l ，0 ) c 矿“，“- * 两北t 业大学硕十学何论文第一章绪论 此处的r 为c 豫m e 卜l u n d b e 唱指数 ( 3 ) l u n d b e r g 不等式： 甲( ) e “， 即调节系数。 v 甜0 此处的r 为c m m e r l i | n d b e 辖指数，即调节系数。 近年来，对经典风险模型，除了以上的研究结果外众多的学者还得到了更深 入的成果。如g e r b e r 和s h i u 对经典风险模型破产问题的另一重要贡献是引入了 另外的两个刻划保险公司破产情况的量x = u ( r _ ) 和y = i 【，( r ) l = u ( r ) ，即石表 示破产前的瞬间盈余，y 表示破产时的赤字，而且对于破产时刻、破产时的赤字 和破产前的瞬间盈余三者联合分布问题的研究也成了破产论研究的重要方面，如 文献【2 9 捌，更值得一提的是h a i l s u g e r b c r 和s h i u ( 1 9 9 8 ) 【16 】又提出了折现罚金函 数( g e r b e r - s h i u 函数) ： 中 ) = f lp 一打“u ( r 一) ，j ( ，仃) i ) ，。】i u ( o ) = ”i 函数一提出就显示了其强大的威力，利用此函数就可以一并解决破产概率问 题、破产盈余分布问题，破产时刻的各阶矩等一系列问题，因此对这个函数的研 究也占据了重要的地位 除了关于破产概率方面的研究外，最近关于分红险种问题的研究也越来越成 为风险破产论的研究热点，即考虑保险公司以一定的红利策略向投保人支付红 利，其中对红利支付策略的研究是一重要的研究课题人们研究最多的是边界红 利策略而衡量一个红利边界策略的一个重要参考量是投保人所得总红利贴现值 的分布g e r b e ra i l ds h i u ( 1 9 9 8 ) 【16 1 和d i c l 【s o n 锄dw a t c r s ( 2 0 0 4 ) 【9 】在经典风险模型 下研究了总红利贴现值的期望值和最优红利策略问题得到了总红利贴现值的期 望值所满足的积分一微分方程，证明了当利率因子为0 时的总红利值的分布为退 化分布和指数分布的混合分布，并讨论了在不同优化标准下的最优红利边界策 略l i ( 2 0 0 5 ) 【3 9 l 也进一步研究了到干扰项的复合p o i s s o n 风险模型的红利贴现分 布问题 另外，对经典风险模型本身也作了许多推广，例如将保单到达过程或索赔额 到达过程推广为一般计数过程、模型中包含不相关或相关的两类或多类索赔额到 达过程，这些推广使模型更符合实际情况。综合起来，主要有以下几个方面： 4 西北工业大学硕十学位论文第一章绪论 ( 1 ) 对经典风险模型证明方法的改进： c m m e r 所采用的w i e n e r - h o p f 方法很繁杂，而f e l l e rw 的“更新技巧”和 g e r b e fh u 的“鞅方法”则大大简化了其证明。时至今日，“更新技巧”和 “鞅方法”仍是研究破产理论的重要方法。 ( 2 ) 对经典模型的修改： ( i ) 对保费的收取方式的改变：保费的收取率c 不再是一成不变的常数，而 是以随机变量，或是公司的盈余相关，或是与索赔额相关，是时间的函数。 ( i i ) 考虑通货膨胀或者利息率：如b j o ms u n d t 和j l t e u 9 1 s 将常数的利息力引 入风险模型中，c a i j 考虑了带随机利率的风险模型。 ( i i i ) 索赔额的到达过程用更一般的点过程来描述，索赔额变量不同分布：例如 用一般的更新过程或者非时齐的过程来描述到达过程。c o x 过程便是一非 时齐的泊松过程，只是其强度过程也是一个随机过程，故又称之为双泊松 随机过程。g e r b c rh u 研究了到达过程为时齐p o i s s o n 过程时的模型。 r e l l l l a r d 求出了当强度过程为两状态的马氏过程时c o x 模型的破产概率的 显示表达式。a s m l l s s e n 研究了当强度过程为m 状态的马氏过程时c o x 模 型的c r 锄e r l u n d b e 曜逼近。 ( i v ) 索赔相关：例如考虑索赔额是一列滑动平均或自回归的时间模型；考虑保 费的收取与索赔存在某种线形关系。 1 _ 2 离散风险模型 经典风险模型大部分的研究是关于时间连续的。称之为连续风险模型。但在 现实中保险公司的运营不是连续的。例如保险公司在夜间一般并不运作，且在实 际中一般总是以年，月或日作为计算周期的。在时间上说，这些模型都是离散的。 这样一来，离散时间的风险模型比连续风险模型的更有实际利用价值。并且保费 的收取率和保险金的支付在选取适当的货币单位之后可以认为取正整数值。 g e r b e rh u 率先讨论了完全离散风险模型。该模型的盈余过程由下式给 出： f m 【，( 门) = “+ 册一五，h o j e i 5 西北t 业大学硕十学位论文第一章绪论 其中初始准备金为非负整数，个体索赔额墨为任取正整数值的i i d 的随 机变量序列。( 胛) 表示前 个时段所发生的索赔的次数，假定( 功是概率p ( o p 1 ) 为参数的二项分布序列，且与 蜀，i 相互独立。所以完全离散 风险模型也称之为复合二项风险模型。而至时刻，z 为止保险公司所支付的总索赔 足则由下式给出 最皇五+ 五+ + 瓦( 。)( 约定岛= o ) v ”o 不失一般性，讨论时也可以假定保费的收取率p 为单位l 。即为了维系保险 公司保险业务的正常运营上，要求在每一单位时间区问的始端收取1 个钱币单位 的保险费。 这样一来，保险公司在时刻”的盈余乩可表为 乩= “+ 以一最 记 p = p r ( 己= 1 ) ，v 月l p ( 肝) = p “= 胛) ，v 胛1 户( 疗) = p ( 后) ，v 疗l 尸( 行) = l 一尸( 竹) ，v 盯o 皇目瓦】 o o 其中，假定x 与诸以同分布，且假定e 【墨】= o ( 1 1 2 ) p 牡 称为相对安全负载( r e l a t i v es e c 谢哆l o a d i n 西 易见 掣( 1 + 曰) = l 由齐次独立增量性和模型的独立性假设，可知 c 玎一s ( ”) ：即o 为平稳独立 增量过程，由相对安全负载假定条件，利用强大数定理可知 6 西北t 业大学硕十学位论文第一章绪论 舰【，( ”) = 扣o ，a j 不过，这并不排除在某一瞬间盈余过程可能取负值，这时称保险公司“破产”， 以下恒记r 为保险公司的首次破产时刻，简称破产时刻( m i l l 衄1 e ) ，则有： 定义1 2 2 经典风险模型的破产时刻r 为： r = i n f ”o i u ( 栉) o ) ，i n f = 。 ( 1 1 3 ) 特别地如果r = 一，则认为保险公司永不破产 l 眦d b e r g 和c 舢e r 研究的主要问题是保险公司最终破产概率，也简称破产 概率( n l i l lp r o b a b i i i 劬，因为这对于保险公司运营资本的稳定性分析具有重要的参 考价值 定义1 2 3 经典风险模型的最终破产概率为： 甲 ) = p ( r 叫u ( 0 ) = ”) ，v “o ( 1 1 4 ) 相对应的最终生存概率为中( “) = l 一甲 ) 定义1 2 4 经典风险模型的有限时间f 内的破产概率为： 、壬 ，f ) = p ( r f l u ( o ) = “) ( 1 i 5 ) 如果令f 一一则 蛩甲 ，f ) = 磐! p ( r l ，称之为调节系数。 调节系数的存在性与个体索赔的尾概率性状有关。 对上述模型，g e r b e rh u 得到了该盈余过程在初始准备金为0 时的破产概率 以及破产前盈余的分布。许多学者对该模型也产生了浓厚兴趣。随着计算技术的 进步，也得到了很好的模拟结果。成世学，伍彪得到了在任意给定初始准备金“ 的情况下的破产概率以及破产前盈余分布的显示解。成世学，朱仁栋( 2 0 0 1 ) 在假定调节系数存在的前提下，借助离散更新方程的一个极限定理，对于充分大 的初始盈余导出了最终破产概率、破产前一刻的盈余和破产时的赤字的概率规律 的渐进解。此外，还对任意的初始盈余余值，利用鞅论的技巧导出了最终破产概 率的一个l u n d b e r g 型的上界。 杨向群，龚日朝则研究了该盈余过程的生存到固定时刻、并且在此时刻 一的盈余为某数z “0 ) 的概率分布公式以及生存到固定时刻”的概率公式。 杨善朝对理焙为一般随机变量，给出了复合二项风险模型破产概率y ( o ) 的近似 计算公式。并且在理赔量为连续型随机变量时，给出了一些数值计算的例子。 成世学，g e r b e rh u 和e l i a ss ws h i u 在个体索赔额为非负整数情况下， 研究了破产概率的折现函数，0 ，；“) 。张立红，杨海亮研究了带有随机利率的完 全离散的经典风险模型。得到了该模型盼破产概率所满足的一个微积分方程，并 求出了破产概率，破产前盈余，破产时赤字的联合分布。孙丽娟等人也该模型展 开了研究。 谭激扬，杨向群考虑了复合二项风险模型下的随机分红问题，得到了罚金函 数所满足的迭代公式，破产概率的逼近表达式以及破产前的瞬时盈余概率函数， 破产严重程度概率函数。 离散时间风险模型还存在着另外一种形式，其盈余过程为： 【，( 肝) = + c 竹一蜀，胛o( 1 1 8 ) ，= l 其中个体索赔额置为任取正整数值的i i d 的随机变量序列。这种形式的离 西北二r 业大学硕士学位论文第一章绪论 散模型研究也有大量文献。如h g ( 1 9 9 8 ) 、l i j 啪s 吼a n dh y 肌g ( 2 0 0 0 ) 。 s h u 锄g n l i n g “a n dg a r r i d o ( 2 0 0 2 ) 【3 7 】讨论了破产时亏空和破产前的瞬时盈余的折 现矩函数。柳向东，杨向群( 1 9 9 9 ) 【5 1 则证明了以上两类离散时间风险模型的 等价性。 1 3 本文的工作 本文将经典离散风险模型推广到相依索赔离散风险模型，考虑将理赔额随机 变量由独立同分布推广到相依索赔情形，推广了k c y u e n 和j y g u o ( 2 0 0 1 ) 【4 7 l 的工作，研究了一类更广泛的索赔时间相依的离散时间风险模掣。 在第二章中，我们提出了索赔额相依的离散风险模型。利用全概率公式，得 到了生存概率所满足的递推公式，以及单位时间区间( 玎， + 1 】内索赔总额的概率 函数p ( 最，。= j ) 。然后利用所求得的概率函数，得到了相依情形下折现函数 厂( j ，y ；o ) 及相依情形下折现罚金函数( g e r b 昏s h i u 函数) 研v 。r “。i u ( o ) = “】。 在第三章中，为了使模型更有实际应用价值，我们引入了红利，考虑了带红 利的相依索赔离散风险模型。利用全概率公式，得到了折现罚金函数所满足的迭 代更新方程。 在第四章中，得到了不带利率情形下，破产概率所满足的迭代方程及最终破 产概率所满足的积分方程；并且得到马尔科夫利率下破产概率所满足的迭代方 程，最终破产概率所满足的积分方程，及所满足的最终破产概率的一个l u n d b e 曜 型上界，并利用m a t l a b 数学软件随机模拟说明了该结果。 9 西北工业大学硕士学位论文第二章相依索赔风险模型 第二章相依索赔风险模型 在经典风险模型中，风险过程的平稳独立增量假设在模型分析中是一个十 分重要的条件在实际风险运作过程中，这个假设条件是过于理想化的，因此很 有必要研究在非平稳独立增量条件下更一般的保险风险模型，在寿险和非寿险的 研究领域中，有许多的作者考虑了索赔额以不同形式相关的各种模型。其中，有 代表性的如g c r b e rh u ( 1 9 8 2 ) 【14 】研究了在保费额以自回归模型和滑动平均模型 等时间序列的形式相关的情形下的破产问题。g o o v a e f t 和d h a e n e ( 1 9 9 6 ) 给出 了独立风险组合的复合泊松逼近。a m b a g a s p i t i ”和p a r t r “2 q 考虑了在理赔计数 过程相关情况下总理赔额的分布函数和矩母函数。而r e i l l h a r d ( 1 9 8 4 ) 1 3 6 】和 a s m u s s e n ( 1 9 8 9 ) f 3 4 】考虑了另一种形式相关模型，即马尔科夫修正模型。 k 。c ，y u e n 和j ，y g u o ( 2 0 0 1 ) 【3 0 1 则研究了时间相依索赔的复合二项风险模型。 把索赔分为主索赔和副索赔两类。并且假定每次主索赔发生必然引发一副索赔， 而这一副索赔或在主索赔发生的同一时段内发生，或是被延迟下一时段。得到了 有限时间的破产概率的迭代公式。 本章将经典离散风险模型推广到相依风险模型，考虑将理赔额随机变量由独 立同分布推广到索赔额相依情形，推广了k c y u 朗和j y g u o ( 2 0 0 1 ) 的工作，研 究了一类更广泛的索赔时阃相依的离散时间的风险模型，得到了生存概率所满足 的递推公式，相依情形下折现函数，( 工，_ ) ，；0 ) 及折现罚金函数( g e r b 盯- s h i u 函数) 研 ，f ，“i u ( o ) = “】。 2 1模型引入 在经典离散风险模型中，风险过程的平稳独立增量假设在模型分析中是一个 十分重要的条件但在实际的风险运作过程中，这个假设条件是过于理想化的， 因此很有必要研究在非平稳独立增量条件下更一般的保险风险模型 a m b a g a s p i t i y a 【3 0 “1 和p a r t r “3 3 1 等研究了在理赔计数过程相关情况下总理赔 j o 两北工业大学硕十学位论文第二章相依索赔风险模型 额的分布函数、矩母函数以及模型的最终破产概率问题；k 锄c y u e n 【2 8 捌、 g u o i 铷等研究了有副理赔发生时的保险风险模型对理赔额或理赔计数过程相 关情况下风险模型的研究已成为风险理论界研究的热点之一 在以上文献及文献【3 5 ，6 9 】等的基础上，本章考虑在经典风险模型的基础上， 当每次理赔发生时，将理赔额随机变量取值与一阙值随机变量的取值进行比较而 随机产生一延迟的副理赔，使每次的理赔额随机变量由独立同分布推广到时间相 依情形，即将经典模型推广到了相依风险模型 本章中，考虑一类离散时日j 模型，包含了两种索赔：主索赔和由它产生的副 索赔。离散时间单位用i = o ，l ，2 ，表示。类似于复合二项分布模型中处理方法， 我们设任一时段( 玎，栉+ l 】( ，l = o ，1 ，2 ) 内发生一次主索赔的概率为g ，不发生主 索赔的概率为p = 1 一g ，并假设不同时段内的主索赔的发生相独。当产生的主索 赔如果小于m 副索赔不发生，反之当产生的主索赔如果大于或等于m 就会相应 地产生一次副索赔。继而副索赔以概率，与跟它相联系的主索赔在同一时段内发 j 生，而以概率( 1 一，) 延迟到下一个时段发生。 设所有的索赔额为相互独立的正整数随机变量。所有的主索赔额墨，置为 独立同分布的随机变量。取x = 置，记共同的概率函数为厂( 所) = p “x = 所) ，其 中所正整数，相应的母函数和期望分别为灭z ) = 厂( 小) z ”和以= 彤( 所) 。同 lm - i 样，令x ，e 为独立同分布的副索赔额序列，类似地，取巧= y ，则共同的概率 函数为苫( 胛) = p “j ，= 栉) ，其中一正整数，相应的母函数和期望分别为 ；( z ) = g ( n ) z ”和所= 昭( n ) 。 n = ln = l 上述模型在实际中有其应用背景。在保险业务中，一次意外的灾难引发的索 赔可视为主索赔，而当主索赔额较大时，就可能产生与之相关的副索赔灾难。同 时副索赔灾难的影响可能在本时段内显现出来，也可能不在本时段内显现，而会 将这种影响延迟到下一时段因此我们需要确定一个闽值必，当理赔额大于或 等于必时，认为理赔额较大，要引发一次副理赔；当理