三角形全等的证明专题与初中数学定理公式汇编

作者： su.15 整理 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 CEODBA21CEDBA2143COBA 三角形全等的证明专题 三角形全等是证明 线段相等 ， 角相等 最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？ （ 1）条件充足时直接应用 在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等 例 1 已知：如图 1， CE AB 于点 E， BD AC 于点 D， BD、 CE 交于点 O，且 AO 平分 BAC 那么图中全等的三角形有 _对 （ 2）条件不足，会增加条件用判别方法 此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分， 需要补充使三角形全等的条件解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步 分析，探索结论成立的条件，从而得出答案 例 2 如图 2，已知 AB=AD， 1= 2，要使 ABC ADE， 还需添加的条件是（只需填一个） _ （ 3）条件比较隐蔽时， 可通过添加辅助线用判别方法 作者： su.15 整理 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 GA BFDECODACB在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加 辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用 全等三角形的判别方法证明两个三角形全等 例 3 已知：如图 3， AB=AC， 1= 2 求证： AO 平分 BAC 分析：要证 AO 平分 BAC，即证 BAO= BCO， 要证 BAO= BCO，只需证 BAO 和 BCO 所在的两 个三角形全等而由已知条件知，只需再证明 BO=CO 即可 （ 4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法 有些 几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等， 一般需要作辅助线来构造 全等三角形 例 4 已知：如图 4，在 Rt ABC 中， ACB=90， AC=BC， D 为 BC 的中点， CE AD 于 E，交 AB 于 F，连接 DF 求证： ADC= BDF 说明： 常见的构造三角形全等的方法有如下三种 ： 涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形 ； 涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形 ； 证明两条线段的和等于第三条线段时，用 “ 截长补短 ” 法可以构造一对 全等三角形 （ 5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法 新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视 例 5 要在湖的两岸 A、 B 间建一座观赏桥，由于条件 限制，无法直接度量 A， B 两点间的距离请你用学过的数 学知识按以下要求设计一测量方案 (1)画出测量图案 (2)写出测量步骤（测量数据用字母表示） 图 5 (3)计算 A、 B 的距离 （写出求解或推理过程，结果用字母表示） 分析：可把此题转化为证两个三角形全等第 (1)题，测量图案如图 5 所示第 (2)题，测量步骤：先在陆地上找到一点 O，在 AO 的延长线上取一点 C，并测得 OC=OA，在 BO 的延长线上取一点 D，并测得 OD=OB，这时测得 CD的长为 a ，则 AB的长就是 a 第 (3)题易证 AOB COD，所以 AB=CD，测得 CD 的长即可得 AB 的长 解： (1)如图 6 示 (2)在陆地上找到可以直接到达 A、 B 的一点 O，在 AO 的延长线上取一点 C，并测得 OC OA，在 BO 的延长线上取一点 D，并测 得 OD OB，这时测出 CD 的长为 a ，则 AB 的长就是 a 作者： su.15 整理 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 FCEDBAAO QMCPBNA DCPBHFEGADCBCEDBAADCB(3)理由：由测法可得 OC=OA， OD=OB 又 COD= AOB， COD AOB CD=AB=a （注意书写格式和书写过程，一定要严谨！） 图 6 评注：本题的背景是学生熟悉的，提供了一个学生动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力，培养了 学生用数学的意识 练习 1已知：如图， D 是 ABC 的边 AB 上一点， AB FC， DF 交 AC 于点 E， DE=FE 求证： AE=CE 2如图，在 ABC 中，点 E 在 BC 上，点 D 在 AE 上，已知 ABD= ACD， BDE= CDE 求证： BD=CD 3用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种方法：如图所示，先在 AOB 的两边上取 OP=OQ， 再取 PM=QN，连接 PN、 QM，得交点 C，则射线 OC 平分 AOB你能说明道理吗？ 4 如图， ABC 中， AB=AC，过点 A 作 GE BC，角平分线 BD、 CF 相交于点 H，它们的 延长线分别交 GE 于点 E、 G试在图 10 中找出 3 对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明 5已知 ：如图，点 C、 D 在线段 AB 上， PC=PD请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明所添条件为 _，你得到的一对全等三角形是 _ _ 7如图，在 ABD 和 ACD 中， AB=AC， B= C求证： ABD ACD 作者： su.15 整理 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 AODCBAFCGBEAF DCB E 8如图 14，直线 AD 与 BC 相交于点 O，且 AC=BD， AD=BC求证： CO=DO 9已知 ABC， AB=AC， E、 F 分别为 AB 和 AC 延长线上的点，且 BE=CF， EF 交 BC 于 G求证： EG=GF 10已知：如图 16， AB=AE， BC=ED，点 F 是 CD 的中点， AF CD求证： B= E 11 如图 17，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块， 现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，那么 最省事的办法是（ ） (A)带和去 (B)带去 (C)带去 (D)带去 12 有一专用三角形模具，损坏后，只剩下如图中的阴影部分 ，你对图中做哪些数据度量后，就可以重新制作一块与原模具完全 一样的模具，并说明其中的道理 初中数学定理 公式汇编 一、数与代数 作者： su.15 整理 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 1 数与式 （ 1） 实数 实数的性质： 实数 a的相反数是 a，实数 a的倒数是a1（ a 0）； 实数 a的绝对值： )0()0(0)0(aaaaaa 正数大于 0，负数小于 0，两个负实数，绝对值大的反而小。 二次根式： 积与商的方根的运算性质： baab （ a 0， b 0）； baba （ a 0， b 0）； 二次根式的性质： )0()0(2aaaaaa （ 2）整式与分式 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即nmnm aaa （ m、 n为正整 数）； 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即nmnm aaa （ a 0， m、 n为正整数， mn）； 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 nnn baab )( （ n为作者： su.15 整理 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 正整数）； 零指数： 10 a （ a 0）； 负整数指数：nn aa1 （ a 0， n为正整数）； 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，即 22)( bababa ； 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2倍，即 222 2)( bababa ； 分式 分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，即mb maba ；mb maba ，其中 m是不等于零的代数式； 分式的乘法法则：bdacdcba ； 分式的除法法则： )0( cbcadcdbadcba； 分式的乘方法则：nnnbaba )(（ n为正整数）； 同分母分式加减法则：c bacbca ； 异分母分式加减法则：bc cdabbdca ； 2 方程与不等式 一元二次方程 02 cbxax (a 0 ） 的 求 根 公 式 ：)04(2 4 22 acba acbbx 一元二次方程根的判别式： acb 42 叫做一元二次方程 02 cbxax作者： su.15 整理 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 （ a 0）的根的判别式： 0 方程有两个不相等的实数根； 0 方程有两个相等的实数根； 0 方程没有实数根； 一元二次方程根与系数的关系：设1x、2x是方程 02 cbxax （ a 0）的两个根，那么1x+ 2x =ab，1x 2x=ac； 不等式的基本性质： 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变； 不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 不等式两边都乘以（或除以）同一个 负数 ，不等号的方向 改变； 3 函数 一次函数的图象：函数 y=kx+b(k、 b是常数， k 0)的图象是过点（ 0， b）且与直线 y=kx平行的一条直线； 一次函数的性质：设 y=kx+b（ k 0），则当 k0 时， y随 x的增大而增大；当 k0 时， y随 x的增大而增大； 当 k0，则当 x0 时或 x0 时， y分别随 x的增大而减小；如果 k0 时或 x0时，抛物线开口向上，当 a0 时，如果abx 2，则 y随 x的增大而减小，如果abx 2，则 y随 x的增大而增大；当 a0 时，如果abx 2，则 y随 x的增大而增大，如果abx 2，则 y随 x的增大而减小； 二、空间与图形 1 图形的认识 (1)角 角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，角的内部到两边距离相等的点在角平分线上。 (2)相交线与平行线 同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等； 对顶角的性质：对顶角相等 垂线的性质： 作者： su.15 整理 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 直线外一点有与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短； 线段垂直平分线定义：过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线； 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线； 平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线； 平行线的判定： 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行； 平行线的特征： 两直线 平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补； 平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。 (3)三角形 三角形的三边关系定理及推论：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于 180 ； 三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和； 作者： su.15 整理 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 三角形的外角和定理推理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角； 三角形的三条角平分线交于一点（内心）； 三角形的三边的 垂直平分线交于一点（外心）； 三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半； 全等三角形的判定： 边角边公理（ SAS） 角边角公理（ ASA） 角角边定理（ AAS） 边边边公理（ SSS） 斜边、直角边公理（ HL） 等腰三角形的性质： 等腰三角形的两个底角相等； 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一） 等腰三角形的判定： 有两个角相等的三角形是等腰三角形； 直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角互为余角； 直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半； 作者： su.15 整理 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）； 直角三角形中 30 角所对的直角边等于斜边的一半； 直角三角形的判定： 有两个角互余的三角形是直角三角形； 如果三角形的三边长 a、 b 、 c 有下面关系 222 cba ，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。 (4)四边形 多边形的内角和定理： n边形的内角和等于 180)2(n （ n 3， n是正整数）； 平行四边形的性质： 平行 四边形的对边相等； 平行四边形的对角相等； 平行四边形的对角线互相平分； 平行四边形的判定： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 矩形的性质：（除具有平行四边形所有性质外） 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等； 矩形的判定： 作者： su.15 整理 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 有三个角是直角的四边形是矩形； 对角线相等的平行四边形是矩形； 菱形的特征：（除具有平行四边形所有性质外 菱形的四边相等； 菱形的对 角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角； 菱形的判定： 四边相等的四边形是菱形； 正方形的特征： 正方形的四边相等； 正方形的四个角都是直角； 正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角； 正方形的判定： 有一个角是直角的菱形是正方形； 有一组邻边相等的矩形是正方形。 等腰梯形的特征 : 等腰梯形同一底边上的两个内角相等 等腰梯形的两条对角线相等。 等腰梯形的判定： 同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形； 两条对角线相等的梯形是等腰梯形。 平面图形的镶嵌： 作者： su.15 整理 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面； (5)圆 点与圆的位置关系（设圆的半径为 r，点 P到圆心 O的距离为 d）： 点 P在圆上，则 d=r，反之也成立； 点 P在圆内，则 dr，反之也成立； 圆心角、弦和弧三者之间的关系：在同圆或等圆中，圆心角、弦和弧三者之间只要有一组相等，可以得到另外两组也相等； 圆的确定：不在一直线上的三个点确定一个圆； 垂径定理（及垂径定理的推论）：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧； 平行弦夹等弧：圆的两条平行弦所夹的弧相等； 圆 心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数； 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理及推论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等； 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等； 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半； 圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，反过来， 90 的圆周角所对的弦是直径； 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ； 作者： su.15 整理 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径； 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点到两切点的线段相等，它与圆心的连线平分两切线的夹角； 弧长计算公式：180Rnl （ R 为圆的半径， n 是弧所对的圆心角的度数， l 为弧长） 扇形面积： 2360 RnS 扇形或 lRS21扇形（ R为半径， n是扇形所对的圆心角的度数， l 为扇形的弧长） 弓形面积 SSS 扇形弓形 (6)尺规作图（基本作图、利用基本图形作三角形和圆） 作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角；作已知角的平分线；作线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线； (7)视图与投影 画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图（主视图、左视图、俯视图）； 基本几何体的展开图（除球外）、根据展开图判断和设别立体模型； 2.图形与变换 图形的轴对称 轴对称的基本性质：对应点所连的线段被对称轴平分； 等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆是轴对称图形 ； 图形的平移 图形平移的基本性质：对应点的连线平行且相等； 作者： su.15 整理 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 图形的旋转 图形旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等； 平行四边形、矩形、菱形、正多边形（边数是偶数）、圆是中心对称图形； 图形的相似 比例的基本性质：如果dcba，则 bcad ，如果 bcad ，则 )0,0( dbdcba 相似三角形的设别方法： 两组角对应相等；两边对应成比例且夹角对应相等；三边对应成比例 相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等；相似三角形的对应边成比例；相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方； 相似多边形的性质： 相似多边形的对应角相等；相似多边形的对应边成比例； 相似多边形的面积之比等于相似比的平方； 图形的位似与图形相似的关系：两个图形相似不一定是位似图形，两个位似图形一定是相似图形； Rt ABC 中， C= 90 ， SinA=斜边 的对边A， cosA=斜边 的邻边A, tanA=的邻边的对边AA, CotA=的对边的邻边AA 特殊角的三角函数值： 30 45 60 作者： su.15 整理 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 Su.15 豆丁网 -欢迎大家 更多内容尽在 /susuh15 Sin 21 22 23 Cos 23 22 21 tan 33 1 3 Cot 3 1 33 三、概率与统计 1统计 数据收集方法、数据的表示方法（统计表和扇形统计图、折线统计图、条形统计图） （ 1）总体与样本 所要考察对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体数目叫做样本的容量。 数据的分析与决策（借助所学的统计知识，对所收集到的数据进行整理、分析，在分析