（基础数学专业论文）广义ushiki映射中倍周期分支的混合控制.pdf

广义u s h i k i 映射中倍周期分支的混合控制 摘要：本文研究了广义u s h i k i 映射，证明了存在倍周期分支 文中采用混合控制方法控制倍周期分支 关键词：广义u s h i k i 映射，混合控制，倍周期分支 t h e h y b i r dc o n t r o ls t r a t e g yo fp e r i o d - d o u b l i n gb i f u r c a t i o n i n g e n e r a l i z e du s h i k im a p a b s t r a c tt h eg e n e r a l i z e du s h i k im a pi si n v e s t i g a t e d ，i ti sp r o v e dt h a t t h e r ei sp e r i o d d o u b l i n gb i f u r c a t i o n i nt h i sp a p e r , w eu s ean e w h y b r i d c o n t r o ls t r a t e g y p r o p o s e db yl u oe t a 1 i nw h i c hs t a t ef e e d b a c ka n d p a r a m e t e rp e r t u r b a t i o n a l eu s e dt oc o n t r o lt h e p e r i o d - d o u b l i n g b i f u r c a t i o n sa n dt os t a b i l i z eu n s t a b l e p e r i o d i co r b i t se m b e d d e di nt h e c h a o t i ca t t r a c t o ro fad i s c r e t ec h a o t i cd y n a m i c a ls y s t e m k e y w o r d sg e n e r a l i z e du s h i k im 叩，h y b r i dc o n t r o ls t r a t e g y , p e r i o d d o u b l i n g b i f u r c a t i o n i i l 1 引言 控制混沌是当前自然科学基础研究的热门课题之一。j o h nv o nn e u - m a n n 在1 9 5 0 年左右曾指出：很小的，仔细选择的，有计划的大气扰动，经过 一段时间后，可以在一个大尺度范围内引发预期的变化。这样，利用混沌敏 感性的基本思想已由j o h nv o nn e u m a n n 清楚地提出了。1 9 8 7 年，h u b l e r 和l u s c h e r 也曾引入一种控制混沌的思想，在系统的驱动力上加一个合适 项，使系统行为变成稳定的周期轨道。但所得到的运动不一定是系统原运 动方程的解。在后来的研究中，通过对各种混沌现象产生的机理的分析，不 断加深和统一了对混沌的理解。同时，也逐渐认识到混沌运动对一些系统 带来的危害，如混沌运动会是机电系统或电路产生不规则的振荡，导致系 统运动完全偏离目标，一些混沌甚至会给系统带来灾难性的后果。因此在 某些实际系统中，控制混沌是非常重要的。 1 9 9 0 年，o t t ，g r e b o g i 和y o r k e 基于有无穷多的不稳定周期轨道嵌 入在混沌吸引子中这一事实，提出了一种混沌控制运动的具体办法。o g y 等人通过对系统参数做小扰动并反馈给系统，实现了把系统的轨道稳定在 无穷多不稳定轨道中预期的一条特定轨道上。1 1 】从o g y 方法控制混沌的 基本步骤可以获得控制混沌轨道的初步概念。目前虽然控制混沌的理论主 要应用于有少数几个变量定义的混沌动力学，高自由度的系统不易于控制， 然而在高维( 或无穷维) 系统情况下其吸引子可能是低维的。所以低维混沌 系统的控制问题仍具有一定的普遍意义。 从控制种类的角度看，我们可以把控制混沌的方法分成两类：一种是 2 反馈控制，另一种是非反馈控制。在非反馈控制中，通过周期扰动或参数扰 动来压制混沌。我们要控制混沌，必须从产生混沌的机理出发，采取不同的 方法。 在混沌产生多种情况中，有一类是由倍周期分支产生的，具体情况是 这样的：参数6 在某一范围内时系统有一个周期为t 的稳定的周期轨，随 着参数的变化，当6 = 魂时，发生了倍周期分叉，原来稳定的周期轨失去 了稳定性，产生了新的周期为2 t 的稳定的周期轨随着参数的变化，当 巧= 以，k = 2 ，3 ，o o 时，出现了无穷序列的倍周期分叉，产生周期为 2 t 的稳定的周期解，当此周期解失去稳定性时，出现了新的周期为2 k + l t 的稳定的周期解随着倍周期分叉的进一步发生，当6 = 站时，系统陷入 混沌状态 这里我们控制倍周期分支的目的就是为了控制由倍周期分支产生的混 沌现象。本文运用陈关荣等提出的混合控制方法把参数扰动和状态反馈结 合起来控制倍周期分支，从而来控制由倍周期分支产生的混沌。 本文通过两个命题证明了广义u s h i k i 映射存在倍周期分支，并采用 混合控制的方法控制倍周期分支。在证明过程主要应用了下述中心流形定 理：1 2 】 考虑映射： x n + 1 = a 2 + ，( z n ，) ，y n + l = b x n - 4 - 9 ( z n ，y n )( a ) ( x n ，y n ) 属于形r 5 ，其中，g 是的，f ( o ，0 ) = 0 ，g ( o ，0 ) = 0 ， d f ( o ，0 ) = 0 ，d g ( o ，0 ) = 0 a 是c c 矩阵，它的所有特征值的模为1 ； 3 b 是s 8 矩阵，它的所有特征值的模都小于1 定理1 系统( 1 ) 存在一个c 7 中心流形，可局部地表示为： i 币7 。( o ) = ( 茹，y ) r 。r 8 l y = 危( $ ) ，i z i a u + ，( u ， ) )( b ) 决定，其中u 属于彤充分小 定理2 1 ) 如果系统( b ) 的零解是稳定( 渐进稳定) ( 不稳定) 的，那么系统( a ) 的零解也是稳定( 渐进稳定) ( 不稳定) 的： 2 ) 设系统( b ) 的零解是稳定的令( ，y n ) 是系统( a ) 的一个解，且 初始值( x o ，y o ) 充分小，那么存在( b ) 的一个解，使得对任意的n 都有 i x 。一u 。i 后矿，l 鲰一 ( ) l 0 和0 p 1 是常数 2 混合控制方法1 3 1 考虑离散的几维非线性动力系统 x k + l = f ( x k ，弘) ， ( 1 ) 其中x k i v ，k z p r 是系统( 1 ) 的分支参数假设当参数在一定 范围内变动时系统( 1 ) 有一系列倍周期分支 4 我们的目的是把参数p 的范围扩大，使得系统( 1 ) 在这个尽可能大的 范围内能够保持它的稳定动态行为，并且倍周期分支被推迟了甚至是被完 全消除了，或者是被稳定到一个预先指定的镶嵌在系统的混沌吸引子当中 的不稳定的周期轨道上为此，对系统( 1 ) 同时进行参数扰动和状态反馈 z 七+ m = a ，( m ) ( z 七，p ) q - ( 1 一o ) z 七，( 2 ) 这里0 a 1 时，完成，( ) 的m 次迭代后控制才会被用到原系统一次 因此。这一控制模式是脉冲的控制的结果是一个m 周期轨 现在讨论原系统( 1 ) 的不动点的稳定性对系统( 1 ) 来说，它在不动 点矿的 j a c o b i 矩阵五为 ，：of(丹x，k,p)j1 f 。 ( 3 ) 2 a z 女 k ”+ l 训 系统( 1 ) 在。的线性化的特征方程是： a i j l = 0 ( 4 ) 若j 九i 1 ，t 一1 ，n ，那么不动点矿是稳定的1 4 1 根据这一稳 定条件，可以通过保持矿的稳定性得到参数p 的最大可能范围 类似地，对系统( 2 ) 来说，它在矿的j a c o b i 矩阵以为 j 2 ：口o f f ( x k , 比) d - ( 1 一a ) i 。 ( 5 ) d z 显然，由于也中参数q 的介入，当参数在一定范围内变动时，即使在原系 统( 1 ) 的不动点不稳定的情况下，也可以选取适当的a 值使得当参数在同 样的范围内变动时如的所有特征值都满足h i 1 ，0 b 1 ，b 2 1 a 1 是分支参数 为了得到映射的不动点，令 x k + l 2z 奄2 z ， ( 6 ) 鲰+ 12 鲰2 圻 我们得到4 个不动点 x l f = y l l ，x u i = 0 ，y 2 i = a 2 1 ，z 3 ，= a 1 1 ，y 3 i = 0 ，x a ! = 丛瓷舻，y 4 f = 丛臻铲 ( i ) 若i a i i 1 ，i a 2 l 1 ，则原点( 0 , 0 ) 是稳定的 ( i i ) 不动点( 0 ，a 2 1 ) 是稳定的，若1 a 2 3 且b i ( a 2 1 ) 一1 a 1 1 + b i ( a 2 1 ) ( i i i ) 若m a x 1 ，乌 + 1 ) a 1 m i n 3 ，笋+ 1 ) ，则不动点( a 1 1 ，o ) ( i v ) 不动点( 址龟基舻，址气鑫竽) 是稳定的，若0 b l ，岛 m a x l + b l ( a 2 一1 ) ，2 - - a = - 1 = b i + 酉a 2 一b i - - b 2 ，矿) a i o ( ( 一帮帮) o ) 时周期2 点位于 p = 0 的右边( 左边) 由以匕分析得到如下命题： 命题2 若a 2 a 生2 也- - 4 一a 2 l o + 3 ， 1 0 _ r b x = 再丽2 a 2 2 - - a 6 手二五瓦，a 3 0 ，2 a 2 + a 2 c l 0 ，则当a 12 妒时映射( 1 ) 在( 址冬矗舻，址气嚣舻) 处经历倍周期分支 3 2 控制倍周期分支 根据( 2 ) 所描述的控制方法，当m = 1 时得到如下被控制的广义u s h i k i 映射 k x k + l 茗二：二篡二：二翥 映射( 1 0 ) 在其不动点( z 知，城，) 处的j a u c o b i 矩阵以为 以：f 1 。卅a ( a 1 - - 2 x ： 出曲吨历嘞 l a 玩嘶1 一口+ a ( a 2 2 嘶一 由定理3 可知，z b = x a i ，蛎= y 4 1 将。4 ，= 址龟器舻，y 4 f = 垃气备舻代入( 1 1 ) 中得 ( 加) 以：f 业唑器产业一业铲1 ( 1 2 ) 以2i 坦。! 三= 幽尘止幽茎：世；鱼j0 2 ) i 一生些- - 鲥1 - - b 划i b z 尘止崔雀爱业j 一l + 日1 玩 若以的两个特征值a 1 ，2 满足i a l ，2 i 1 ，m a x o ， 2 a - i - - a 2 2 口a 2 2 a 2 a 2 + 口2 a l 4 一a 2 + o r 2 a 2 ) b 2 1 ， 1 1 一 一 一4 4 a a 2 + 2 0 e a 2 + a 2 a 2 + 2 0 c b 2 + o t 2 岛 1 0 b 1 面n 1 ，一五干孑= 瓦石= 瓦砀i 丙夏= 孑瓦干甭石瓦， m a x 1 一b 1 ( a 2 一1 ) ，塾尘七号马砉里亡旦，叩7 ) a 1 r a i n ：铲，南，7 ) ， 这里 e = 4 b i b 2 4 2 q + a a 2 + a b l 一a a 2 8 14 - a b 2 ， 叼= 夏南酝( 叼14 - 而；一4 a 2 8 2 t 2 ) ， 矿= 甄( 叩1 一而 一4 口2 8 2 r 2 ) ， 叼1 = 一a ( 2 + a a a 2 2 8 2 2 0 e b 2 + a b i b 2 一a a 2 8 1 8 2 ) ， 叼2 ：一4 4 a o t 2 + 2 0 e a 2 + 口2 a 2 - k - 2 0 t b l - - - o t 2 b x - - 2 a a 2 8 1 - - 2 0 r 2 a 2 8 1 + q 2 a ；b l + 2 0 i b 2 + o t 2 岛4 - 4 b x b 2 一口2 b i b 2 + a 2 a 2 b i b 2 当a l 在一定范围内变动时，即使原系统( 6 ) 的不动点是不稳定的，我们 也可以选取适当的a 值使得a l 在相同范围内变动时如的特征值满足 i a l ，2 i 1 4 数值模拟 参考【5 1 中的取值，取a 2 = 3 1 ，b 1 = 0 0 6 ，b 2 = 0 4 ，则广义u s h i k i 映 射变为 r z 女+ 1 2 ( a 1 一z 七一o 0 6 弧) z 七， ( 1 3 ) 【y k + l = ( 3 1 一讥一0 4 x k ) y k 被控制的广义u s h i k i 映射为 z 七+ l 玑+ 1 a ( a l - - x k 一0 0 6 弧) z 女+ ( 1 一n ) 。七， ( 1 4 ) q ( 3 1 一鲰一0 4 x k ) y k + ( 1 一a ) 鲰 当1 3 8 8 1 a 1 2 9 8 7 9 时，不动点( x 4 i ，y 4 f ) = ( - - 0 1 0 2 4 5 9 ( 1 1 2 6 。 1 2 a 1 ) ，一1 0 2 4 5 9 ( 一2 5 + o 4 a 1 ) ) 是稳定的，当啦= 2 9 8 7 9 时，广义u s h i k i 映射经历第一次倍周期分支但是，如果取q = 0 8 ，那么当a i = 3 5 1 9 4 5 时广义u s h i k i 映射经历第一次倍周期分支控制结果见图1 ( a ) 由0 a a 4 ，我们能得到如下结论：如果o 7 8 6 6 9 4 a 1 ，那么当a t ( 0 ，4 】 时不动点( 一o 1 0 2 4 5 9 ( 1 1 2 6 一a 1 ) ，- - 1 0 2 4 5 9 ( - - 2 5 + o 4 a a ) ) 是稳定的 相应的控制结果见图1 ( b ) 从图1 ( - ) 和( b ) 中可以看出，经控制后的广义 u s h i k i 映射中的倍周期分支被推迟了，甚至是完全消失了类似地，可以考 虑镶嵌在混沌吸引子中的2 ，4 ，8 ，2 n _ 周期轨道的稳定条件这里，由于 理论分析太复杂，我们仅给出一部分数值模拟的结果控制结果见图2 ( a ) 和( b ) ( a ) ( b ) 1 3 ( a ) 当a 2 = 3 1 ，b 1 = 0 0 6 ，b 2 = 0 4 ，口= 0 8 时第一次倍周期分 支的控制结果，初始值为( o 0 0 1 ，0 0 0 1 ) ( b ) 当q = 0 5 时第一次倍周期分 支的控制结果，其它参数取值同( a ) 中 ( a ) ( b ) 1 4 ( a ) 当a 2 = 3 1 ，b t = 0 0 6 ，b 2 = 0 4 ，a = 0 6 时第二次倍周期分 支的控制结果，初始值为( o 0 0 1 ，0 0 0 1 ) ( b ) 当o t = o 0 2 时第二次倍周期 分支的控制结果，其它参数取值同( a ) 中 参考文献 【1 】王光瑞；混沌的控制、同步与利用，北京，国防- r j k t j 版社，2 0 0 1 【2 】s w i g g i n s ，a ni n t r o d u c t i o nt oa p p l i e dn o n l i n e a rd y n a m i c sa n dc h a o s ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ，1 9 9 0 【3 】3x s l u o ，g r c h e n ，b h w a n ga n dj q f a n g ，h y b r i dc o n t r o lo p e m o d - d o u b l i n 9 b i f u r c a t i o na n dc h a o s 伽d i s c r e t en o n u n e a rd y n a m i c a ls y s t e m s ，c h a o ss o f i t f r a c t ， v 0 1 1 s ( 4 ) ，2 0 0 3 ，7 7 5 - 7 8 3 【4 1 r ud i g g