（通信与信息系统专业论文）量子ldpc纠错码算法及应用方案研究.pdf

摘要 量子纠错码技术是量子信息处理中对抗信道退极化噪声以及环境噪声影响的一项 重要手段，对于量子通信、量子计算机、量子存储等领域的研究具有重要的指导意 义。将现代纠错码理论中可逼近s h a n n o n 容量限的l d p c 码技术推广至量子信息领 域，量子l d p c 码已成为当前量子纠错码领域的一个热点研究问题。本论文就二元和 多元量子l d p c 码的构造及迭代译码算法等方面展开研究工作，得到主要成果如下。 ( 1 ) 研究了二能级量子系统下二元量子l d p c 码的构造及其基于稀疏图模型的迭代译 码算法。针对标准稳定子形式的二元量子l d p c 码t a n n e r 图中存在较多四环的 特点，提出了一种采用联合校验思想的迭代译码算法，选择将t a n n e r 图中构成四 环的部分校验节点进行联合信息更新，从而使置信传播算法具有更好的收敛性。 对c s s 结构和非c s s 结构二元量子l d p c 码的迭代译码性能分别进行了m o n t e c a r l o 仿真，结果表明采用联合校验的方法可提高其迭代译码性能。 ( 2 ) 针对多能级量子态系统，研究了标准稳定子形式下多元量子l d p c 码的原理及其 f o r n e y 因子图模型的相关理论。基于q 2 进制稀疏因子图模型，提出了q 进制量子 l d p c 码的迭代译码算法。采用q 进制稀疏循环矩阵，构造了一类对偶包含c s s 结构的准循环q 进制量子l d p c 码，并对其性能进行了m o n t ec a r l o 仿真。与现 有二元量子l d p c 码的性能结果相比，所构造的多元量子l d p c 码具有更好的迭 代译码纠错性能。 ( 3 ) 将二能级量子态系统下的纠缠辅助纠错码理论推广到多能级量子态系统，提出了 多元纠缠辅助量子纠错码的相关理论。并采用代数有限域方法，构造了一类准循 环结构的多元纠缠辅助量子l d p c 码。在退极化信道模型下对该类码的迭代译 码性能进行了m o n t ec a r l o 仿真，获得了比现有二元量子l d p c 码更好的纠错性 能。 ( 4 ) 将纠缠辅助量子l d p c 码技术应用于量子安全直传通信中，研究了量子通信系统 中的量子纠错码设计问题。基于p i n 争p o n g 协议原理和量子密集编码思想，提出 一种采用纠缠辅助量子l d p c 码作为前向纠错码，同时以量子检错码构成后向 a r q 的量子直传通信方案。该方案可提高纠缠资源的利用率，同时保障量子直传 通信系统在噪声量子信道下的传输可靠性。 关键词：量子信息论量子纠错码稀疏图码l d p c 码迭代译码 a b s t r a c t q u a n t u me r r o rc o r r e c t i o nc o d i n gi sa ni m p o r t a n tt e c h n i q u et op r o t e c tq u a n t u mi n - f o r m a t i o na g a i n s td e c o h e r e n c ea n de n v i r o n m e n t a ln o i s e s ，w h i c he x i s ti na n yq u a n t u m i n f o r m a t i o np r o c e s s i n gs y s t e ms u c ha sq u a n t u mc o m p u t e r ，q u a n t u mc o m m u n i c a t i o n ，a n d q u a n t u ms t o r a g ee t c b yg e n e r a l i z i n gt h el o w - d e n s i t yp a r i t y - c h e c k ( l d p c ) c o d ei n m o d e r nc h a n n e lc o d i n gt h e o r yt oq u a n t u mi n f o r m a t i o nf i e l d ，q u a n t u ml d p cc o d eh a s b e e nah o tr e s e a r c ht o p i ci nr e c e n ty e a r s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h ea u t h o rf o c u s e so n t h ec o n s t r u c t i o nm e t h o d sa n di t e r a t i v ed e c o d i n ga l g o r i t h m so fb i n a r ya n dn o n - b i n a r y q u a n t u ml d p cc o d e s a n do b t a i n sm a i nr e s u l t sa sf o l l o w s ( 1 ) t h ec o n s t r u c t i o nm e t h o d so fc s ss t r u c t u r a la n dn o n - c s ss t r u c t u r a lb i n a r yq u a n - t u r nl d p cc o d e sa r ep r o v i d e dt o g e t h e rw i t ht h e i rs p a r s eg r a p hm o d e l s d u et ot h e u n a v o i d a b l es h o r tc y c l e s ( e s p e c i a l l yc y c l e - f o u r s ) i nt h eg r a p h so fq u a n t u ml d p c c o d e sw i t hs t a n d a r ds t a b i l i z e rf o r m a l i s m ，aj o i n t l y - c h e c km e t h o di sp r o p o s e dt o i m p r o v et h e i ri t e r a t i v ed e c o d i n gp e r f o r m a n c e su n d e rs t a n d a r db e l i e f - p r o p a g a t i o n a l g o r i t h m b yc h a n g i n gt h ei t e r a t i v eu p d a t i n gm e s s a g e so fs o m ec h e c kn o d e si n - v o l v e di nc y c l e - f o u r s ，t h ed e c o d i n gp r o c e s so fq u a n t u ml d p cc o d e sc a nb ee f f i c i e n t l y c o n v e r g e dt ot h ec o r r e c to u t p u tr e s u l t s a f t e rs i m u l a t i n gt h ep r e s e n tb i n a r yq u a n - t u r nl d p cc o d e sw i t hv a r i o u sd e c o d i n ga l g o r i t h m s ，i ti ss h o w nt h a tj o i n t l y - c h e c k m e t h o dc a ni m p r o v et h ep e r f o r m a n c eo fs t a n d a r db pa l g o r i t h m ( 2 ) b a s e d o nn o n b i n a r ys t a b i l i z e rc o d i n gt h e o r yo v e rm u l t i - l e v e lq u a n t u ms y s t e m ，s t a l l - d a r ds t a b i l i z e rq - a r yq u a n t u ml d p cc o d e sa x ed e p i c t e dw i t ht h e i rq 2 - a r ys p a r s e g r a p hm o d e l so v e rf i n i t ef i e l dg f ( q 2 ) b yu s i n gq - a r ys p a r s ec y c l i cm a t r i xo v e r f i n i t ef i e l dg f ( q ) ，ac l a s so fq - a r yq u a n t u ml d p cc o d e si sc o n s t r u c t e dw i t hd u a l - c o n t a i n i n gc s ss t r u c t u r e s b yi t e r a t i v e l yd e c o d i n gt h e s eq - a r yq u a n t u ml d p c c o d e sw i t hq - a r ys u m - p r o d u c ta l g o r i t h m s ，t h e i re r r o rc o r r e c t i n gp e r f o f i n a n c e sa r e s i m u l a t e do v e rd e p o l a r i z i n gc h a n n e l s t h es i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h ep r o - p o s e dn o n - b i n a r yq u a n t u ml d p cc o d e sh a v eb e t t e rp e r f o r m a n c e st h a nt h ep r e s e n t b i n a r yq u a n t u ms p a r s eg r a p hl d p cc o d e s ( 3 ) g e n e r a l i z i n gt h ee n t a n g l e m e n t a s s i s t e ds t a b i l i z e rc o d i n gt h e o r yt om u l t i l e v e lq u a n - t u r ns y s t e m ，n o n - b i n a r ye n t a n g l e m e n t a s s i s t e ds t a b i l i z e rc o d e sa r ep r o p o s e d b y u s i n ga l g e b r a i cf i n i t ef i e l dm e t h o d ，ac l a s so fq u a s i c y c l i ce n t a n g l e m e n t a s s i s t e dq - a r yq u a n t u ml d p cc o d e si sc o n s t r u c t e d w i t hs i m u l a t i o nr e s u l t s ，t h ec o n s t r u c t e d e n t a n g l e m e n t a s s i s t e dq - a r yq u a n t u ml d p c c o d e sh a v es h o w nb e t t e rp e r f o r m a n c e s t h a nt h ep r e s e n tb i n a r yq u a n t u ml d p cc o d e s ( 4 ) b yu t i l i z i n gt h eq u a n t u ml d p cc o d i n gt e c h n i q u et oq u a n t u mc o m m u n i c a t i o ns y s - t e r n a ne f f i c i e n tq u a n t u ms e c u r ed i r e c tc o m m u n i c a t i o n ( q s d c ) s c h e m e i sp r o p o s e d t oi m p r o v et h ec o m m u n i c a t i o nr e l i a b i l i t yo ft h ep r e s e n tp i n g - p o n gp r o t o c o lo v e r n o i s vq u a n t u mc h a n n e l s e n t a n g l e m e n t a s s i s t e dq u a n t u ml d p cc o d ei su s e da s af o r w a r de r r o rc o r r e c t i n gc o d et op r o t e c tt h ee n c o d e dq u a n t u ms t a t es e q u e n c e a g a i n s tt h ec h a n n e ln o i s e s ，w h i c hi m p r o v e st h er e l i a b i l i t yo ft h eq s d cs y s t e m f u r - t h e r m o r e ，aq u a n t u ma r qp r o t o c o lw i t hq u a n t u me r r o rd e t e c t i o n c o d ei su s e dt o d e t e c tt h es t r o n gc h a n n e ln o i s ee f f e c t ，w h i c hi m p r o v e st h ec o m m u n i c a t i o ne f f i c i e n c y a n dt w os t e p so fe a v e s d r o p p i n gd e t e c t i o na r et a k e nt oe n s u r et h es e c u r i t yo ft h e p r o p o s e dq s d cs y s t e m k e y w o r d s ：q u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r yq u a n t u m e r r o rc o r r e c t i n gc o d e s p a r s e g r a p hc o d e l d p cc o d e i t e r a t i v ed e c o d i n g 作者简介 邵军虎，山西永济人。1 9 9 8 年9 月至2 0 0 2 年7 月就读于山 西大学电子系，获应用电子技术专业学士学位。2 0 0 2 年8 月至 2 0 0 5 年7 月就读于山西大学光电研究所，在量子光学与光量子 器件国家重点实验室，获光学工程专业硕士学位。2 0 0 6 年9 月 至2 0 1 2 年0 3 月就读于西安电子科技大学通信工程学院，在综 合业务网理论与关键技术国家重点实验室，攻读通信与信息系 统专业博士学位，导师：白宝明教授。 主要研究方向：信道编码调制技术、量子纠错码、量子信 息论。 代表性成果：攻读博士期间发表的论文中s c i 收录1 篇，e i 收录2 篇。 j u n h us h a or e c e i v e dh i sb ed e g r e eo ne l e c t r o n i ce n g i n e e r i n gf r o ms h a n x iu n i v e r s i t y i n2 0 0 2 ，m ed e g r e eo no p t i c a le n g i n e e r i n gf r o ms h a n x iu n i v e r s i t yi n2 0 0 5 h ei sc u r r e n t l y ap h d c a n d i d a t eo fx i d i a nu n i v e r s i t y ，x i a n ，c h i n a 。h i sr e s e a r c hi n t e r e s t si n c l u d e c h a n n e le r r o rc o r r e c t i n gc o d e s ，q u a n t u me r r o rc o r r e c t i n gc o d e s ，a n dq u a n t u mi n f o r m a t i o n t h e o r y 第一章绪论 第一章绪论 本章从量子信息论的角度出发，引出量子纠错码在量子通信和量子计算机等领 域中的重要作用筒述了二能级量子比特、多能级量子符号、量子稳定子码( 加性 码) 以及非加性量子纠错码等基本概念接着对现今量子l d p c 码技术的研究 现状及所面临的问题进行归纳总结，并给出量子纠错码研究中常用到的量子信道模 型最后，对本论文各章节的主要内容及编排作以陈述 1 1 研究背景和意义 量子信息论是研究以量子态为信息载体的量子信息编码、存储、传输与处理的技 术，是结合量子力学原理、经典通信技术以及经典信息理论的一门新兴交叉学科。2 0 世纪5 0 年代l a n d a u e r 提出了信息的物理本质观点，指出信息来源于物理状态在时间与 空间中的变化，信息传输是物理状态的传输，信息处理是物理系统的受控状态演化， 信息的提取则是对物理状态的测量等概念。虽然量子通信中的信息载体量子态具有与 宏观电子脉冲完全不同的特性，但无论是经典通信还是量子通信，其目的都是为了在 信源和信宿之间进行可靠有效的信息传输 1 】。量子信息论便是解决量子信息的度量、 编码、纠错以及发送与接收等信息处理中的相关理论。 在现今的量子信息领域中，量子通信方案大致可分为量子密钥分发( q u a n t u m k e yd i s t r i b u t i o n ，q k d ) 和量子安全信息直传通信( q u a n t u ms e c u r ed i r e c tc o m m u n i - c a t i o n ，q s d c ) 两大类。q k d 的成功在于解决了传统密码学中仅依靠数学算法无法完 成的密钥保密传递问题，具有量子力学原理所保障的绝对安全优势，在未来的保密通 信中具有巨大的应用潜力。量子保密通信的相关理论和实验研究已经逐渐成熟，然而 受限于单光子源、单光子探测器、以及光量子器件的高成本等因素的制约，其走向实 用化还面临着许多的技术挑战。将经典通信中的纠错编码技术推广到量子信息领域， 量子纠错码技术的突破，无疑将成为量子保密通信走向实用化的重要环节。 近年来，量子安全信息直传通信受到国内外许多研究小组的广泛关注2 ，3 1 。与 q k d 系统中采用对量子态信号进行随机测量、协商、筛选从而建立安全密钥的方式不 同，q s d c 的目标是实现通信方之间确定性信息的传输。然而由于实际量子信道中必 然存在着噪声，量子信息直传的通信方案更离不开量子纠错码的冗余保护以对抗实际 信道噪声的影响。 除了量子通信，量子计算机是量子信息领域的又一项重要应用。不同于经典计算 机中的串行计算过程，量子计算机的并行计算特点可使其所需操作次数更少，运算速 度更快。另一方面，在量子计算机中一个量子位可以存储两个数据，n 个量子位可以同 时存储2 n 个数据，因此具有更高的存储能力。量子计算机的优越性主要体现在量子迭 加态的关联效应，然而根据量子力学原理，环境对迭加态的影响以及迭加态之间的相 互作用，会使得这种关联效应减弱甚至丧失，即量子力学中的消相干效应。与经典计 2 量子l d p c 纠错码算法及应用方案研究 算机中的数据纠错不同，量子计算机中不可对量子态进行直接测量以及量子态不可复 制等特性，决定了经典计算机中的纠错方法不能直接被移植到量子计算机中。因此研 究量子纠错码技术，使量子逻辑门电路具有更高的容错计算阈值，对于量子计算机领 域的研究同样具有着重要的指导意义。 无论是量子通信还是量子计算机，量子纠错码( q u a n t u me r r o rc o r r e c t i n gc o d e ， q e c c ) 已成为保护量子态信号对抗环境噪声、消相干噪声、以及非理想量子器件噪声 影响的一项重要技术。1 9 9 5 年s h o r 提出第一个9 量子比特纠错码【4 】，使量子计算机的 实现成为可能。伴随着量子纠缠提纯以及量子离物传态等实验的成功，具有安全性优 势的量子通信亦得到了科学界的普遍关注和研究。将经典信息论中的纠错编码技术推 广至量子信息领域，量子纠错码已成为当前量子信息理论及相关应用中一个非常重要 的研究课题5 7 1 。 1 2 量子信息的基本概念 经典信息可以确定性表示为0 或1 两种状态，其基本单位为比特( b i t ) 。而对于 量子信息，其基本单位为量子比特( q u b i t ) ，并且量子比特的错误类型既有幅度错误 又有相位错误。由于量子力学原理限制下量子态信息的特殊性，使得量子纠错码与经 典纠错码有以下三个截然不同的特征。 ( 1 ) 经典纠错码中引进冗余的本质是将信息进行复制，从而具备纠正一定位数上错误 的能力。而在量子力学中，量子态不克隆定理限制了量子态的复制，即不能采用 简单的重复码操作来纠量子错误。 ( 2 ) 经典纠错码中，通常需要测量信道的输出比特以获得初始软判决( 或硬判决) 信 息来进行纠错译码。但在量子情形下，直接测量将引起量子态不可逆的扰动或蹋 缩，导致量子信息的丢失，无法恢复。 ( 3 ) 经典纠错码中，比特错误只有一种类型，即“0 和“1 ”之间的改变。但在量子信 息情形下，对于一个确定的信道输入态，其输出态可以是二维复空间中的任意 态，即量子态的错误类型是连续和多样的。 量子码字的错误类型存在连续错误以及不能以单个量子比特错误张量积来描述的 错误。现已证明，只需考虑比特翻转、相位翻转、比特和相位同时翻转这三种类型的 离散错误，则任何能纠正这三类错误的量子码，将能够纠正任意的连续量子比特错 误，即量子错误的离散化【8 】。 1 2 1二能级量子系统 不同于经典信息比特的高低电平表示方法，量子信息比特是一个处于叠加态的量 子系统状态。对于二能级的量子系统，对应的量子信息位称为量子比特( q u b i t ) ，可 第一章绪论 3 l 矽) = 口l o ) + b 1 1 ) ，( 1 - 1 ) 这里a ，b 为复数，且满足l n l 2 + | 6 1 2 = 1 。所有的二进制单量子态张成一个酉内积运算下 的复向量空间c 2 即h i l b e r t 空间。 对于单量子比特，其离散化后的q u b i t 错误, - i p a 用p a u l i 矩阵 ，x ，z ，y ) 来描述， 见公式( 1 2 ) 中所示 ，= ( 三呈) x = ( 呈三) z = ( 三二) y = ( ；：) c 1 2 ， p a u l i 矩阵 ，x ，z ，y ) 组成了所有2x2 矩阵空间的一组基，其作用于量子比特i z ) 后 的结果表示如下 ，l z ) = l z ) ，x l z ) = l z + 1 ) ，z l z ) = ( - 1 ) l z ) ，y i z ) = ( - 1 ) i x + 1 ) ，( 1 - 3 ) 这里z o ，1 ) 。p a u l i 矩阵 ，x ，z ，y 】乘以全局乘性因子仕1 ，士口之后，在矩阵乘法 运算下构成一个一阶p a u l i 群9 1 。礼长量子比特序列的p a u l i 群瓯定义为单量子比特 p a u l i 矩阵的r t 阶张量积乘以全局因子 4 - 1 ，士讣。 ： 如表1 1 中所示，p a u l i 算子既可以用二进制序列( o | 6 ) 来表示，其中a ，b 分别对 应x 和z 部分；也可以用g f ( 4 ) 上的元素a + b 来表示，此时p a u l i 算符之间的乘 法操作转换为g f ( 4 ) 域元素之间的加法操作。这里u 为g f ( 4 ) 的一个本原元且满足 国= u 2 ，该域的本原多项式为z 2 + x + 1 = 0 。 1 2 2多能级量子系统 对于一个g 能级量子系统，则其相应的量子态信息称为g 进制量子符号( q u d i t ) ， 表示为 i 矽) = p z m ( 1 4 ) 这里是复数，且z f 。i 1 2 = 1 。所有的q 进制q u d i t 张成一个满足内积的复向量 空间c 口。 有限域( 又称g a l o i a s 域) 通常用符号g f ( q ) 或f 口来表示，这里q = p m ，p 为 一素数，m 为一正整数。g f ( q ) 为扩域，g f ( p ) 为基域，从有限域g f ( q m ) 到有限域 g f ( q ) 的迹映射函数定义为t r q , , , 口( z ) = 留x q ，从扩域g f ( q ) 到其基域c f ( p ) 的迹 函数可省略下标，表示为t r ( x ) = 括m - 0 1z 矿i 表1 1p a u l i 算子与二进制序列和g f ( 4 ) 域元素之间的对应关系 p a u l i 算子 ixzy 二进制序列 ( o j o )( 1 1 0 )( o f l )( 1 1 1 ) g f ( 4 ) 域元素 01u( 0 2 4 量子l d p c 纠错码算法及应用方案研究 对于一个q 进制量子态i z ) ，幅度翻转错误算子x ( a ) 和相位翻转错误算子z ( b ) 作 用之后的结果为 x ( a ) i z ) = l z + 口) ，z ( 6 ) f z ) = u 打( k ) i x ) ，( 1 - 5 ) 这里a ，b ，ze g f ( q ) ，u 为有限域g f ( q ) 单位元1 的一个本原p 次根u = e x p ( 2 ，r i p ) 。集 合= x ( o ) z ( 6 ) ) 为张成所有单q u d i t 错误的一组完备基矢量，同理佗长g 一进制量子 符号的一组完备基矢量可以表示为 n = ( x ( a ) z ( b ) l a ，b f ；) ， ( 1 - 6 ) 这里x ( a ) = x ( 口1 ) ox ( a 2 ) 圆x ( o n ) ，z ( b ) = z ( b 1 ) oz ( b 2 ) o z ( k ) 。由n 可以 得到其对应的q u d i t 错误群g n 为 g n = u 。x ( a ) z ( b ) l a ，b f 孑，c f ( p ) ) ，( 1 - 7 ) 这里有限群g n 的阶数为p q 轨。需要指出的是，选取不同的基矢量表示，其所对应的错 误群表示亦不相同 9 】。 1 3量子纠错码 量子纠错码的设计目标是为了能够纠正任意的随机量子错误以及突发量子错误。 设在时间内进行n 次纠错操作，则在两次纠错间隔时间内，量子位的出错概率与t n 成正比，纠正一位错误后，剩余错误概率将正比于t 2 n 2 ，完成礼次纠错后累计剩余错 误概率与t 2 1 n 成正比。所以只要n 足够大，亦即两次纠错的时间间隔足够小，就可以 使累计剩余错误概率任意小。 1 3 1 稳定子码 稳定子码( s t a b i l i z e rc o d e ) 是由g o t t e s m a n 首先提出的一类量子纠错码，其特点 是利用群论的方法来研究和分析量子纠错码【5 】。对于n 阶p a u l i 群吼的一个子群s ， 定义k 为在子群s 中所有算符元素作用下保持不变的n q u b i t 量子态序列集合。k 称 为由s 所稳定的向量空间，s 称为空间k 的稳定子群。对于一个非零空间k ，其稳定 子群s 需满足的充要条件为s 中所有元素彼此对易，并且s 中不包含元素一j 。二元量 子稳定子纠错码的定义表示如下 q = n t ，( c 2 ) 肌j m v = t ，) ( 1 - 8 ) v m e 3 对于二元扎一q u b i t 错误群瓯中的任意两个算子日，岛，如果e 1 e 2 = 易e 1 ，则称 算符e 1 和易彼此对易，以【日，e 2 】= 0 来表征；如果e 1 e 2 = 一e 2 e 1 ，则称研和易 彼此反对易，以 e l ，e 2 ) = 0 来表征。 对于二元量子纠错码，如果以( a l b ) g f ( 2 ) 分别表示p a u l i 算子的x 部分和z 部 分，则错误算子e 1 = ( a i d ) ，e 2 = ( a i b 7 ) 之间的对易关系等价于其对应二进制向量之间 的偶对内积( 以符号“o ”表示) ( o i b ) o ( o i b ) = a b ，+ 口b ( r o o d2 ) ，( 1 - 9 ) 第一章绪论5 这里口，b ，a 7 ，f ，“”为标准向量内积运算。 稳定子群s 的所有元素可以由一组生成元集合s 在乘法运算下来生成。对于m 维 的生成元集合s = s i ，岛，) ，其展成的稳定子群s 所对应的稳定子码q ，可由 一个大小为m 2 n 的二进制矩阵来描述 2 ( s ( x ) i s ( z ) ) m 2 竹( 1 - 1 0 ) 对于q 进制q u d i t 错误的p a u l i 群鲰的任意两个算子，其对易关系可转换为高阶 有限域上向量间的迹偶对内积形式，如下公式所示 t 。- - - - t r ( b a 一b i a ) = 0 ，( 1 1 1 ) 这里( a l b ) ，( a 7 i b ) f 。2 n 。更多关于多元稳定子码的相关理论将在第四章中进行详细论 述。 1 3 2非加性量子纠错码 二进制量子稳定子码的p a u l i 算子错误，若以有限域g f ( 4 ) 上的元素来描述时，其 运算为加法运算，因此稳定子码是一类加性码。稳定子量子纠错码的码空间可被描述 为a b e l i a n 子群的一致本征空间，严格意义上说它是一类次最佳码。而非加性量子纠错 码是另外一类重要的量子纠错码，在特定场景下比同等参数的加性量子码具有更强的 纠错能力【1 0 】。s m o l i n 等人于2 0 0 7 年给出了一系列码长为奇数且结构简单的非加性量 子纠错码，与同等参数的加性量子纠错码相比，其可编码的维数更高 1 1 1 。s i x i a y u 等 人采用图态思想，构造了一个可纠任意一位q u b i t 错误而维数为1 2 的( ( 9 ，1 2 ，3 ) ) 非加 性量子纠错码，其码空间为9 - q u b i t 上h i l b e r t 空间的1 2 维子空间，通过实例证明了非 加性码可具有比加性稳定子码更优的性能【1 2 】。另外，r u i t i a n l a n g 和s h o t 等人针对幅 值阻尼信道下构造了一类互补结构的自适应非加性量子纠错码，该类量子码具有非常 高的码率，因此适用于量子计算以及量子隐形传态等系统 1 3 】。 然而，由于非加性量子码不具有错误伴随式表征等特性，故无法采用类似加性稳 定子码的译码操作来进行恢复。非加性量子纠错码的译码算法、译码线路设计等问题 仍然是一个具有挑战性的研究课题。关于最优非加性量子纠错码的问题，w e n - t a iy e n 等人针对最小距离为2 的量子纠错码，寻找到一类具有最大码字空间的非加性量子纠 错码【1 4 】。 无论是加性码还是非加性码，关于判定纠错码的好与坏，这里给出经典纠错码理 论中关于纠错码好与坏的简单定义f 1 5 1 。 定义1 1 ( 好码的定义)在给定信道中，能够以任意小的错误概率完成任意小 于信道容量的非零速率通信的码，就称为好码( g o o dc o d e s ) ，否则称为坏码( b a d c o d e s ) 。 定义1 2 ( 实用码的定义)在给定信道中，能够以码长多项式的时间和空间复杂 度完成编码和译码的纠错码，就称为实用码( p r a c t i c a lc o d e s ) 。 6 量子l d p c 纠错码算法及应用方案研究 1 4量子l d p c 码 自s h o r 于1 9 9 5 年提出第一个【9 ，1 ，3 】量子纠错码以来，很长一段时期关于q e c c 的研究主要聚焦在短码上，即编码一个或几个量子比特信息的短码以及短码的级连等 技术。短码长量子码的纠错能力有限，为了达到高的纠错能力，每量子比特需要编码 为非常大数量的量子比特，编码效率很低，对实际量子信息处理线路的设计要求也会 增加。现代纠错码理论中的稀疏图码( 包括t u r b o 码和l d p c 码) ，在码字长度佗趋 于无穷时，可以实现最大速率地以趋于零的错误概率达到s h a n n o n 限。并且t u r b o 码 和l d p c 码均已有快速有效的迭代译码算法，t u r b o 码的b c j r 算法( 最大后验概率 译码算法) 和l d p c 码的置信传播算法( 和积算法) 等。 将现代纠错码中的技术推广至量子信息领域，寻找具有强的纠错能力、且存在有 效迭代译码算法的量子l d p c 码，已引起了国内外学者们的广泛关注和研究【5 7 】。本 论文将就这一课题展开研究，结合自己的研究结果，力争给出现今量子l d p c 码领域 的主要成果以及未来的发展趋势。本节首先简要回顾量子l d p c 码的起源及研究现 状，接着分析了这一课题所面临的技术挑战，以及当前这一课题研究中所亟待解决的 一些问题。 1 4 1量子l d p c 码的研究现状 低密度奇偶校验( l o w - d e n s i t yp a r i t y - c h e c k ，l d p c ) 码的概念是由g a l l a g e r 于 1 9 6 3 年在其博士论文中提出，并且证明了这类具有非常稀疏校验矩阵的码具有很好的 汉明距离特性 1 6 】。然而受限于当时的计算以及硬件实现能力，这一方案并未受到重 视。1 9 8 1 年，m i c h a e lt a n n e r 首次提出以二部图模型来研究和表示纠错码，这一工作 奠定了迭代可译码的图模型( 称为t a n n e r 图) 理论基础【17 】。纠错码的图模型表示是 现代图码的一项重要研究成果，图模型在纠错码的性能分析和优化设计中起到了至关 重要的作用。1 9 9 3 年t u r b o 码的问世及其所带来的巨大性能优势【1 8 】，促使l d p c 码也 相应被许多学者再发现并重新认识。m a c k a y 和n e a l 关于稀疏随机图上定义的l d p c 码能够接近容量限的结果以及s i p s e r 和s p i e l m a n 的线性复杂度扩展图码使人们重新 认识到g a l l a g e r 之前的工作内在的巨大潜力f 1 9 ，2 0 】。研究结果表明，非规则图上的多 元l d p c 码具有更好的收敛性。r i c h a r d s o n 等人举例构造了一类l d p c 码，其仿真得 到的译码性能已经相当接近s h a n n o n 容量陲t 2 1 1 。总之粗略地讲，l d p c 码理论上的 主要成果可以归结为两大部分：一是t a n n e r 、k s c h i c h a n g 、f r e y 、l o e l i g e r 、w i b e r g 和 f o r n e y 等人关于图模型方面的工作；二是r i c h a r d s o n 等人关于迭代译码性能分析方面 所做的工作，即密度进化理论【2 2 ，2 3 。此外还有许多关于l d p c 码的有效编译码算法 软硬件实现、以及适应不同应用环境的l d p c 码设计等等【2 4 ，2 5 】。 将经典信息领域中的现代l d p c 纠错码思想进行推广，研究使用量子信息特征的 l d p c 纠错码方案，具有重要的研究价值和意义。最早提出将经典信息领域中的l d p c 码技术思想应用到量子信息领域的是p o s t o l 在2 0 0 1 年的一个技术报告【2 6 】，简单指出 第一章绪论 7 可采用c s s ( c a l d e r b a n k - s h o r - s t e a n e ) 结构的稳定子码来构造量子l d p c 码。紧接着 m a c k a y 等人于2 0 0 4 年系统地研究了稳定子形式的对偶包含c s s 结构量子l d p c 码， 提出针对该类码的四种构造方法，并在退极化信道下对该类量子l d p c 码的迭代译码 性能进行了仿真f 2 7 】。之后关于稀疏图量子l d p c 码的研究得到了人们的广泛关注，涌 现出了许多方案和研究结果，例如基于稳定子生成元图表示的量子l d p c 码构造和译 码f 2 8 1 、组合数学方法构造的准循环量子l d p c 码2 9 】、有限几何量子l d p c 码 3 0 】等 等。除了c s s 量子纠错码这种特殊的结构，对于非c s s 结构量子l d p c 码的构造和 译码方面的研究也逐渐有结果提出来。2 0 0 8 年t a n 等人给出了一种采用矩阵置乱方 法生成标准形式量子l d p c 码的方法f 3 1 】，之后在2 0 1 0 年又提出了一种系统构造非 c s s 结构量子l d p c 码、量子卷积l d p c 码的方法f 3 2 1 。不同于c s s 结构量子l d p c 码的分量码独立译码策略，针对非c s s 结构( 即一般稳定子结构) 量子l d p c 码的 译码，p o u l i n 等人从经典置信传播算法出发，提出了一种可改进迭代译码性能的方 法【3 3 】。 在经典信息领域中，中短码长的多元l d p c 码比同等参数的二元l d p c 码具有 更好的性能，但是其译码复杂度较高。研究多元l d p c 码的有效译码算法，保持较 强纠错性能的同时，尽量降低算法的实现复杂度，成为时下工业界最为关注的焦点 问题3 4 ，3 5 】。因此除了上述基于二能级量子态系统的纠错码即二元量子码外，基于 多能级量子态系统的多元量子稳定子纠错码理论也相继被提出。1 9 9 6 年k n i l l 提出非 二元( 也称多元或多进制) 量子码的完备错误基矢量描述、错误算子的群表示等概 念3 6 ，3 7 1 ，接着1 9 9 9 年r a i n s 提出非二元量子纠错码的概念f 3 8 1 。对于稳定子形式的 多元量子纠错码的构造也逐渐有各种方法被提出，例如有限域上的多元稳定子码构 造9 ，3 9 、矿状态量子系统的量子纠错码构造 4 0 - 4 2 等等。关于多元稀疏图量子l d p c 码的构造和译码等问题，也是近期刚刚有研究成果被提出【4 3 ，4 4 】。本论文中的部分工 作，便是针对多元量子l d p c 码的构造和译码问题，提出了一些自己的方法以及仿真 结果。 除了采用标准稳定子形式来研究量子纠错码之外，在2 0 0 6 年的s c i e n c e 杂志上 b r u n 等人提出采用纠缠辅助( e n t a n g l e m e n t a s s i s t e d ) 的方法来降低标准稳定子码较强 的对易约束条件，扩大量子纠错码校验矩阵的可选择范围，从而易于寻找具有更好纠 错性能的量子好码4 5 1 。借助纠缠辅助形式恰好可以解决标准量子l d p c 码选择范围较 小的缺陷，因此当前关于纠缠辅助二元量子l d p c 码，已有不少相关的研究结果被提 出f 4 6 ，47 】。并且已有学者正在开展多元纠缠辅助稳定子码方面的研究工作f 4 3 】。然而这 里需要指出的是，纠缠辅助形式的量子纠错码，是以通信双方事先共享有一串纠缠比 特粒子( 称为e b i t ) 为前提条件的，并且假定这些共享的纠缠比特不发生错误。 1 4 2 存在的问题 基于上述量子l d p c 纠错码的研究现状，针对目前这一研究领域中所亟待解决的 8 量子l d p c 纠错码算法及应用方案研究 一些问题，本论文选择从以下几个方面作为切入点，展开相关的研究工作。 ( 1 ) 针对量子l d p c 码的稀疏双向图中通常存在较多短环( 尤其是四环) 的特点，设 计有效的迭代译码算法，提升该类码的译码纠错性能。另外，对于c s s 结构的量 子l d p c 码，其译码可采用分量码独立译码的策略，操作简单但纠错性能一般且 码的可选择范围较小。因此有必要寻找非c s s 结构稀疏图量子l d p c 码的有效构 造方法。 ( 2 ) 在经典信息领域中，l d p c 码的优势在于其具有次最优的可实现复杂度译码算法 即置信传播算法。而对于量子纠错码而言，当两个错误算子相差一个稳定子乘性 因子时，则这两个错误算子具有相同的错误伴随式。在采用基于伴随式的译码算 法时，这两个错误算子没有办法被区分开来。因此如何利用量子纠错码的简并性 特点，寻找适用于量子纠错码陪集结构特点的有效译码算法，具有十分重要的意 义。 ( 3 ) 在经典信息领域中，中短码长的多元l d p c 码比相同参数