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浙江工业大学硕士学位论文 高性能格型数字滤波器结构设计 摘要 随着计算机技术和各种电子技术的发展，数字信号处理( d i g i t a ls i g n a lp r o c e s s i n g d s p ) 技术得到了高速的发展和广泛的应用。在数字信号处理中，数字滤波器占据十分 重要的地位，它有着模拟滤波器不可比拟的优越性，如高精度、高可靠性、易大规模集 成。因此，数字滤波器的结构设计已成为数字信号处理领域的一个重要课题。 同一个数字滤波器的传输函数日( z ) 具有各种不同的实现结构。由于有限字长 ( f i n i t ew o r dl e n g t l l f 、7 儿) 效应的存在，不同结构的数字滤波器具有不同的性能，设计高 性能、低复杂度的数字滤波器结构成为人们近几年的研究热点。结合抽头式分子滤波 器结构和注入式分子滤波器结构，本文提出了一种新型的基于格型结构的无限脉冲响 应( i n f i n i t ei m p u l s er e s p o n s e i 瓜) 数字滤波器结构。对于一个阶滤波器，该结构具有 2 个不同的位置供信号选择注入，通过寻找合适的注入位置可以使滤波器的信号功率 比最小化。另外，新结构每一级的格型模块可以采用两种单乘法器格型单元中的任意 一种，不仅降低了滤波器的实现复杂度，使该结构只需2 + 1 个乘法器便能实现一个 阶的数字滤波器，而且使滤波器结构性能得到进一步的优化。 本文利用m a = r ia b 仿真软件进行了大量仿真实验，以信号功率比和结构参数灵敏 度为滤波器结构的性能评价指标，将我们提出的新结构与已有数字滤波器结构进行对 比。结果表明新结构不仅具有更低的实现复杂度，而且对有限字长效应具有更高的鲁 棒性。 关键词：数字滤波器，格型结构，信号功率比，灵敏度分析，有限字长 浙江工业大学硕士学位论文 d e s i g no fl a t t i c en e t w o r kb a s e dd i g i t a l f 1 1 月e r sw i t hh i g hr o b u s t n e s s a b s t r a c t w i m l ed e v e l o p m e n t0 fc o m p u t e r 卸de l e c t r 0 i l i ct e c h n o l o g y ，d i g i t a ls i g n a lp r o c e s s i n g ( d s p ) t e c h n o l o g yd e v e l o p sq u i c l ( 1 ya n dh a sb e e ne x t e n s i v e l yu s e di nm a n y 丘e l d s i nd i g i t a l s i g n a lp r o c e s s i n g ，d i g i t a lf i l t e r sa r ep l a y i n ga ni m p o r t a n tr 0 1 ef o rt h e i rs u p e r i o 订t ) ，0 v e ra n a l o g f i l t e r s ，s u c ha sh i 曲p r e c i s i o n ，h i g hr e l i a b i l i 哆a i l de a s yl a 略e - s c a l ei n t e g r a t i o n s t n l c t u r ed e s i g n o fd i g i t a lf i l t e r si sa ni m p o r t a n ts u b i j e c ti nd s pa r e a i ti sw e l lk n o w nm a taf i l t e rc a nb ei m p l e m e n t e dw i mm a n yd i 仃c ：r e n ts t m c t u r e s h l f l u - e n c e db yf i n i t ew o r d1 e n g me f l f e c t ，f i l t e r si m p l e m e n o e dw i t l ld i 能r e n ts t n l c t u r e sm a yy i e l dv e r y d i 能r e n tf i g u r e so fp e 怕珊a n c e s o ，d e s i g no fd i g 黼f i l t e r sw i ml l i g hr o b u s t n e s s 锄dl o w c o m p l e x i t yh a sb e e n 锄i m p o r t a i l tt o p i ci nr e c e n td e c a d e s mm i st l l e s i s ，an o v e l l a t t i c ef i l t e r s t l l l c t u r ei sd e r i v e db yc o m b i i l i n gt l l et a p e dn u m e r a t o r 柚di n j e c t e dn u m e i a t o rl a t t i c e s o n e r e m a r k a b l ef e a m r e0 ft l l ep r o p o s e ds t n l c t u r ei st l l a t ，f o r 柚mo r d e rf i l t e r t l l ei n p u ts i g n a l c a nb ei n j e c t e da t2 n o d e s 曲i l y w h i c ha l l o w su st oo p t i 血z et 1 1 es 缸u c t u r ew i t l lr e s p e c t t ot h e s ei n j e c t o rp o i n t s t h et w o 哆p e s0 ft l l eo n e - m u l t i p l i e rl a t t i c e sa r cc h o s e n 舶i 州i ya t e a c hs t a g eo ft l l en e ws 协j c t u r e ，i tc a nn o to m yr e d u c et 1 1 ei m p l e m e n t a t i o nc o m p l e x i 吼b u ta l s o o p t i n l i z et h en e ws 仇1 c t u r ef u r 山e r s i m u l a t i o n sa r cc 删e do u to nm a l l a bp l a t f 6 肌t 0c o m p a r et l l ep e 晌珊锄c eb e t 、) l ，e e n o u rn e ws t n l c t u r e 锄dt l l o s e 心a d i t i o n a ls m j c t i l r e s0 ns i g n a lp c w e rr a t i o 觚dp a r a m e t e rs e n s i 一 咖i 够i ti ss h o w nd l a tt l l ep r o p o s e ds n l j c t u r ei sn o to n l yc 柚0 n i ci nt t l e 肌m b e r o fm u l t i p l i e r s b u ta l s op o s s e s s e sm u c hi m p r o v e df i n j t ew o r dl e n g mp r o p e n i e ss u c h 硒v e 巧1 0 wp a r a m e t e r s e n s i t i v i 哆卸dv e 巧u n i f o ms i g n a lp o w e r r a t i oa c r o s ss i g i l a ln o d e s k e yw b r d s ：d i g i t a lf i l t e r s ，l a t t i c es t m c t u r e s ，s i g n a lp o w e rr a t i o ，s e n s i t i v i t ) ra n a l y s i s ，f i n i t e w o r dl e n g t h u 浙江工业大学硕士学位论文 插图 2 1 离散时间信号的图形表示 5 2 2 运算器：( a ) 加法器：( b ) 调制器；( c ) 乘法器；( d ) 延时器： 6 2 3 离散时间系统 7 2 - 4低通滤波器的技术要求1 0 2 5四种类型的模拟低通滤波器的平方幅频响应曲线：( a ) 巴特沃斯滤波器； ( b ) 切比雪夫i 型滤波器：( c ) 切比雪夫型滤波器；( d ) 椭圆滤波器 1 l 2 6 双线性变换法映射关系 1 2 2 7 常见的窗函数形状 1 4 2 8i m 数字滤波器的直接型实现 1 5 2 9 抽头式i r 数字滤波器结构 1 7 2 一l o 格型结构基本单元 1 7 2 1 1 陬直接型结构 1 8 2 - 1 2 陬数字滤波器格型结构 1 8 2 - 1 3 状态变量分析法 1 9 3 1 模拟信号数字处理框图 2 l 3 2量化噪声s 仍) 的概率密度曲线：( a ) 截断法；( b ) 舍入法 2 2 3 3 d c 功能原理图 2 3 3 - 4 系数量化前( 实线) 和量化后( 虚线) 全频带增益响应 2 4 3 - 5零极点图：( a ) 量化前；( b ) 量化后2 5 禾1 日( z ) 的直接转置型结构 2 8 4 2 一种抽头式分子滤波器结构 2 9 4 3 格型单元：( a ) 单乘法器格型单元i ：( b ) 单乘法器格型单元； ( c ) 双乘法器格型单元；( d ) 四乘法器格型单元 2 9 4 4 一种注入式分子滤波器结构 2 9 v 浙江工业大学硕士学位论文 4 5 基于格型结构的新型滤波器结构 3 0 4 - 6 计算喙( z ) 的格型结构。f = 0 l ，一1 - 3 l 4 7 计算吃( z ) 的格型结构，f = ，2 一1 3 3 4 8 计算啻m ( z ) 的格型网络+ 3 7 5 1 毋= 1 0 时的幅度响应比较：( a ) 实线一理想情况： ( b ) 点线一s f 4 p ；( c ) 虚线一s 埘；( d ) 点划线一s 。删 4 3 5 2 眈= 1 0 时的幅度响应比较：( a ) 实线一理想情况；( b ) 点线一s 一；( c ) 点划线一s d ，4 3 浙江工业大学硕士学位论文 表格 3 1 输入为i l o ，0 ，0 ，o ，j 时的极限环输出响应 2 5 5 1 传输函数参数 口。l 、 k 和 l 的值 5 - 2 s 却和s 蜘结构系数 l 砂m l 的值 5 3 新结构系数 艮l ， 1 5 - 4复杂度和信号功率比均方值的比较 5 5s d m 的灵敏度分析 5 - 6 s 叫的灵敏度分析二 5 7 s 埘。的灵敏度分析 5 8 s ，。的灵敏度分析 5 - 9 s 泖和s 州结构系数 li l 的值 5 1 0 新结构系数 如 ， “ 5 1 l 复杂度和信号功率比均方值的比较 5 1 2s d ，f 的灵敏度分析 5 1 3s 加，的灵敏度分析 5 - 1 4s 细p 的灵敏度分析 5 - 1 5s 一的灵敏度分析 9 o 0 l 2 2 2 2 4 4 5 5 5 5 5 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 浙江工业大学硕士学位论文 1 1 选题背景和意义 第1 章绪论 随着计算机技术和大规模集成技术的高度发展，数字信号处理技术备受人们关注， 并被广泛应用于语音、图像通信、谱分析、模式识别和自动控制等领域【l 】。在数字信 号处理中，数字滤波器占有十分重要的地位，被广泛应用于各种信号处理系统中。数字 滤波器是由数字乘法器、加法器和延时单元组成的算法或装置，它的功能是通过对采 样数据信号进行数学运算处理以达到频域滤波的目的。由于电子计算机技术和大规模 集成电路的发展，数字滤波器不仅可以用计算机软件实现，还可以用大规模集成数字 硬件实时实现。相比于模拟滤波器，数字滤波器没有漂移，能够处理低频信号，且具有 高精度、高可靠性、便于集成等优点【l 】【2 】。 同一数字滤波器的传输函数具有各种不同的实现方式( 结构) 。从无限精度的角度 来看，这些结构完全等价，然而，在有限精度的实时实现中，由于有限字长效应的存在， 实际滤波器的性能往往偏离于理想滤波器，而滤波器的性能很大程度上取决于它们的 设计结构【3 】，不同的结构直接影响系统的运算误差、运算速度以及复杂程度和成本。 虽然，随着科技的发展，硬件的成本越来越低，计算机的位数大大增加，有限字长效应 得到了一定的改善。然而，我们知道，当采样频率加大或滤波器阶数增大时，有限字长 对系统的影响会变得更加显著。因此，对于高阶系统，一味增加字长的方法并不适用。 一些有成本要求的工程，需要使用定点算法和低字长、低复杂度的硬件，以提高运算速 度，降低生产成本。可以看出，设计对有限字长效应有高鲁棒性的数字滤波器结构仍然 具有重要的意义。 1 2 国内外的研究现状及趋势 由于滤波器的结构直接关系到滤波器的性能和经济成本，滤波器的结构优化问题 以及与之相关的有限字长效应问题已成为近些年的数字信号处理领域的重要研究课 题。 在数字滤波器的定点实现中，要求使用定点算法实现低字长、低复杂度、高性能的 系统，有限字长效应成了影响数字滤波器性能的主要因素。从实现复杂度的角度来看， 浙江工业大学硕士学位论文 传统的直接型结构式最简单的结构，人们基于直接型结构做了大量的研究【4 】 9 】。在文 献【4 】和【5 】中，k a u r a j l i e 面和l a a k s o 等人提出了直接型d e l t a 结构，该结构相对于传统 直接型结构具有较小的舍入噪声增益，因而得到广泛应用。后来，w r o n g 和n g 对直接 型d e l t a 结构进行了变化，采用反d e l t a 的方法去实现滤波器【7 】【8 】，进一步降低了直接 型i m 数字滤波器的舍入噪声。l i 结合前面两种直接型结构提出了一种新型的直接型 转置结构，以及相对应的状态空间实现结构，具有较小的舍入噪声增益【9 】。直接型结 构虽然具有较简单的结构，但是相比于状态空间实现结构，具有较大的舍入增益噪声， 所以在二十世纪七十年代，很多人开始研究状态空间实现结构【1 0 】- 【1 2 】。为了减小舍入 噪声，m u l l i s 和r o b e n s 【1 0 】，h w a u l g 【1 l 】分别于1 9 7 6 年和1 9 7 7 年提出和解决了最佳舍 入噪声的状态空间问题。然而经典的状态空间实现需要( + 1 ) 2 个乘法器来实现一个 阶的r 数字滤波器，随着的增大其结构复杂度会急剧加大。 格型结构在数字滤波器的设计中起着非常重要的作用，它不但便于实现高速 并行处理，而且对于有限字长效应具有低灵敏度，是滤波器研究领域的_ 一大热点 【1 3 】【2 0 】。g m y 和m a r k e l 在1 9 7 3 年首次提出了基于格型网络的滤波器结构【1 3 】，即所 谓的g r a y m 破e l 型网格结构( 抽头式分子格型结构) ，它的输出是自回归( 卸t or e g r e s s i v e a r ) 格型网络状态的线性组合。该格型网络结构在减小有限字长效应方面明显优于直 接型结构。然而它的信号动态范围相当大，容易造成字长浪费。此后几年，人们在该方 面的研究不断深入，得到了很多有意义的结论【1 6 】【1 9 】。1 9 8 4 年，l i m 【2 0 】提出了另一 种格型结构，称为注入式分子结构。该结构与抽头式结构不同之处在于，它的注入参数 决定信号的动态范围，而且具有更好的溢出特性。然而，它的信号动态范围仍比较大， 这意味着寄存器的位数不能得到有效的利用，并容易造成溢出。相比于归一化格型结 构【2 l 】，抽头式分子格型滤波器和注入式分子格型滤波器虽然简化了滤波器的结构，但 是以牺牲滤波器性能为代价的。 在对系统结构的优化研究中，常用的性能评价指标是结构对有限字长效应的鲁棒 性。有限字长效应主要表现在两个方面：二进制表示引起的系统参数的扰动和信号量 化所带来的舍入误差，分别用灵敏度和舍入噪声增益来衡量。因为有限字长效应对系 统结构的重要影响，人们在这方面做了大量的研究【2 2 】【2 9 】。针对系数量化对系统性能 的影响，文献【2 2 】【2 4 】研究了状态向量数字滤波器中系数灵敏度的最小化问题。人们 对基于灵敏度分析的二维系统优化也有展开研究【2 8 】【2 9 】。在降低各种系统中的舍入噪 声增益方面，文献【4 】【5 】、【2 5 】- 【2 7 】有深入的研究和探讨。 在离散空间设计滤波器结构是滤波器结构优化研究另一个重要的方面【3 0 】【3 4 】。在 离散空间设计有限脉冲响应( f i i l i t ei m p u l s er e s p o n s e f 佩) 滤波器时，人们提出了多种频 2 浙江工业大学硕士学位论文 率逼近的优化方法，如混合整数线性规划法【3 0 】、加权最小二乘法【3 l 】以及局部搜索 法【3 3 】等等。 综上所述，数字滤波器的设计是一个复杂而综合的问题，研究对有限字长效应具 有高鲁棒性并具有低实现复杂度的滤波器是人们的主要研究方向。 1 3 本文的研究目标和内容 1 3 1 研究目标 本文的研究目标可以总结为以下两点： 1 设计一种新的数字滤波器结构，使之与已有滤波器结构相比，在不增加复杂度的 前提下，性能远远优于它们。 2 在m 棚a b 平台上仿真测试该结构的性能，比较新结构与其他结构在舍入噪声、 参数灵敏度、实现复杂度方而进行对比，从而说明新结构的优越性。 1 3 2 研究内容 根据设定的研究目标，我们的研究工作展开如下： 第一，通过对国内外研究现状的了解，以及参阅各种文献，概括地呈现数字信号处 理和数字滤波器设计的基本原理和基础知识。 第二，分析几种已有数字滤波器的结构原理，包括直接型结构、抽头式分子滤波器 结构和注入式分子滤波器结构，分析它们的结构特点和存在的不足。 第三，立足已有结构，提出一种新型的数字滤波器结构。对于一个阶滤波器，该 新型结构具有2 个不同的位置供输入信号选择注入，并且，格型结构中的个模块可 从两种单乘法器格型模块中自由选择，通过选择合适的注入点和构建模块使信号功率 比最小，从而达到优化滤波器结构的目的。 第四，建立滤波器系数与结构参数之间的关系，利用m 棚，a b 仿真获得各种结构 的信号功率比和参数灵敏度，对比它们的性能。 3 浙江工业大学硕士学位论文 1 3 3章节安排 论文的具体章节安排如下： 第1 章介绍了本文的研究背景、数字滤波器结构优化在国内外的研究现状及趋势 以及本文的主要工作。 第2 章主要介绍了离散时间信号与系统的基础知识，并简单介绍了数字滤波器的 基本概念，数字滤波器的设计，以及数字滤波器的实现结构。 第3 章讨论了数字信号处理实时实现中的有限字长效应，分析了三种主要的量化 误差。将滤波器系数量化的影响作为系数灵敏度问题进行了讨论。 第4 章对几种典型的滤波器结构进行对比分析，提出了基于格型结构的新型r 数字滤波器。推导了滤波器传输函数系数与结构参数之间的关系，以信号功率比和参 数灵敏度为评价指标展开讨论。 第5 章是基于m a t i a b 平台的仿真测试部分。在第4 章的理论基础上，用新结构 和其他结构分别实现一个理想的低通滤波器，对比它们的信号功率比、参数灵敏度、实 现复杂度，分析得出结论。 第6 章对本文的工作进行了总结，并对今后的研究给出了建议。 4 浙江工业大学硕士学位论文 第2 章离散时间系统和数字滤波器介绍 2 1 离散时间信号与系统 信号通常是单个或多个变量的独立函数，而系统则以某种方式对特定信号做出响 应产生另外一些信号。按照信号的自变量和函数值的取值，信号分为模拟信号、时域离 散信号和数字信号，按照系统的输入输出的信号类型，系统也可分为模拟系统、时域离 散系统和数字系统【3 5 】。数字滤波器的设计包含了离散信号与系统理论在信号处理领 域的具体应用，因此，在研究数字滤波器结构设计问题之前有必要先介绍一下数字信 号处理的一些基本概念，如离散时间信号的分类和运算、离散时间系统的基本性质。 2 1 1 信号的时域表示 在数字信号处理中，信号用数字序列来表示。为了得到离散时间信号，需要对模拟 时问信号进行数字处理，数字处理的第一步是信号采样。用而( d 表示被采样的模拟信 号，则对( d 进行等间隔采样，得到： 而( f ) i f = 甩7 = 而伽丁) 一o o 疗 ( 2 1 ) 其中，丁表示采样间隔，l 为整数。对应于不同的甩值，而( n 丁) 的序列值为：而( 一丁) ，( 0 ) ， 而( 丁) ，该数字序列就是时域离散信号，表明这些信号在离散时间，l 丁点上出现。在实 时信号处理中，这些数字序列将被储存在存储器中，根据需要取用。为简化起见，而丁) 直接写成缸n ) ，数值上有 砌) = 而( n 丁) ， 一 刀 ( 2 - 2 ) 离散时间信号用图形描述时，如图2 一l 所示。 图2 1离散时间信号的图形表示 5 浙江工业大学硕士学位论文 2 1 2 信号的运算 在实际工程应用中，为了得到满足某种特性的信号，常需要对不同类型的信号进行 运算处理。设砌) 和y ( ，1 ) 是两个已知序列，以下主要讨论信号处理中的一些基本运算。 ( 1 ) 加法运算 两个序列样本值的加法是指将它们的同序号样本值逐点对应相加得到一个新的序 列w l ( n ) ，数学表达式如下： w l ( ，1 ) = 工( ，z ) + ) ，( n )( 2 3 ) 实现加法运算的器件叫做加法器，用符号。表示，其运算功能的框图如图2 2 ( a ) 所 示。 ( 2 ) 积运算 积运算是指把两个序列工何) 和y ) 的同序号的样本值逐点对应相乘得到新的序列 w 2 ( n ) ，数学表达式如下： 圪( ，1 ) = “，1 ) ) ，( ，1 )( 2 4 ) 在很多应用中，积运算也叫做调制。实现调制运算的器件叫做调制器，用符号。表示， 其运算功能的框图如图2 2 ( b ) 所示。 帕+ y ( 帕 ( 口) 石性， ( c ) h 一】 ( 6 ) 了恍， ( 由 图2 2运算器：( a ) 加法器：( b ) 调制器：( c ) 乘法器；( d ) 延时器 ( 3 ) 标量乘法 标量乘法是指序列缸n ) 的每个样本乘以一个标量a 产生一个新的序列忱) ，数学 表达式如下： w 3 ) = a x 仍)( 2 - 5 ) 实现乘法的器件称为乘法器，其运算功能的框图如图2 2 ( c ) 所示。 6 浙江工业大学硕士学位论文 ( 4 ) 延时运算 延时运算产生原信号的一个延时复制信号，其数字描述为： w 4 ( ，1 ) = x ( 万一1 ) 实现延时一个样本的器件称为单位延时，其运算功能如图2 2 ( d ) 所示。 2 1 3 系统的定义 ( 2 6 ) 系统可以看做是一个过程，以某种方式对输入信号做出响应。离散时间系统相应 的功能是对一个输入信号进行特定的处理得到一个输出序列。单输入、单输出离散时 间系统如图2 3 所示。其中，砌) 为输入序列，w ( ，1 ) 为输出序列。若运算关系用丌】表 示，输入输出的关系由下式表示： w ) = 丁【缸，z ) 】( 2 7 ) 在离散时间系统中，最常用的是线性时不变系统。本文我们主要研究的就是线性时不 变的离散时间系统。 2 1 4 系统的特性 图2 3离散时间系统 ( 1 ) 线性系统 线性系统满足线性叠加原理，如果系统的输入为x 。( ，1 ) 和娩( n ) ，输出分别为w 1 ( n ) 和耽( ，1 ) ，那么当输入为 缸n ) = 口x l ( 以) + 6 砘( 玎) 时，其对应的响应为 w 伽) = 口w 1 伽) + 6 m ，2 ( 咒) 其中，a 、b 为任意常数。可以看出，对于线性系统，如果输入是由多个信号的加权和组 成，则输出就由系统对这几个信号的每个响应以相同的加权和组成。系统的线性包括 可加性和齐次性两个性质。 7 浙江工业大学硕士学位论文 ( 2 ) 时不变系统 若系统的响应与外部激励施加于系统的时刻无关，即系统的运算关系不随时间而 变化，则称该系统为时不变系统。对于一个时不变离散时间系统，若w l ) 为输入石l ( 拧) 的响应，那么，当输入为 颤，1 ) = 工l ( n 一，z o ) 时，其对应的响应为 w ( ，1 ) = w l 仍一，z o ) 式中，l o 为任意整数。 线性时不变( 1 i n e a rt i m ei n v 撕a n t ) 离散时间系统同时满足线性和时不变性。 用矗( ，1 ) 表示系统的单位取样响应，则对于线性时不变系统，当输入信号为工( n ) 时，其 输出信号是x ( ，1 ) 与| z ( ，1 ) 的卷积： 矿( ，z ) = 工( 甩) 幸 ( 疗)( 2 8 ) 若x ) 、w ( ，1 ) 和 ( n ) 的傅里叶变换存在，且分别为飘p 弘) 、( 砂。) 和日( e 脚) ，则输入输 出的频域关系为 w u ) = x ( ) 日( )( 2 - 9 ) 其中，日( 沙) 叫做该系统的传输函数，其对应的z 变化为日( z ) 。 ( 3 ) 因果系统 因果系统的定义：如果系统在n 时刻的输出，仅仅取决于n 时刻以及甩时刻之前的 输入，而与n 时刻之后的输入没有关系，则称该系统为因果系统。否则在时间上违背了 因果关系，因而是非因果系统。对于因果系统，如果有疗 ，l o ，工l 伽) = 娩) ，则万 _ ，l o 时，) ，l ( n ) = 弛伽) 。 线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位取样响应满足 ( n ) = o ， 咒 o ( 2 1 0 ) 系统的因果性即指输出的变化不先于输入的变化，它表明系统的可实现性，而非 因果系统在时间上违背了因果性，无法准确实现。模拟系统的非因果系统确实无法实 现，但是对于一些非因果数字系统，如果不是出于实时处理的需要，或者允许存在一定 的延时，如在语音处理、气象学等应用中，可以把将来的输入贮存起来备用，然后用具 有延时的因果系统去逼近非因果系统。 8 浙江工业大学硕士学位论文 ( 4 ) 稳定系统 所谓稳定系统是指有界输入产生有界输出( b o u n d e d - i n p u tb o u n d e d - o u t p u t b i b 0 ) 的系统。系统的单位取样响应绝对可和是系统稳定的充分必要条件，用公式表示为 i ：j z ( d 工( ，l d ( 2 3 5 ) 七= o 从式中可以看出，输入信号缸n ) 经过次延时后分别与传输函数的系数加权相乘并求 和得到输出信号y ( 聆) 。阶的陬数字滤波器需要+ 1 个乘法器和个延时器实现， 这样的实现结构称为直接型。图2 1 l 为r r 数字滤波器的一种直接型结构。 图2 1 l瓜直接型结构 类似于r 数字滤波器，瓜数字滤波器的格型结构如图2 1 2 所示。输入信号“，1 ) 同时进入第一级网络单元的两个输入端，输出端则仅取最后一级网络单元的上面输出 端做为整个格型滤波器的输出信号) ，( 甩) 。 图2 1 2f 瓜数字滤波器格型结构 前面分析时域离散系统时，用差分方程、系统函数和单位脉冲响应来描述，这种方 法称为输入输出法。输入输出法是把研究的系统看成一个黑盒子，通过分析系统输入 信号与输出信号之间的关系来研究系统的外部特征。但现实中有不少情况需要研究系 统的内部结构以及内部变量随外部输入变化的特性，如系统的稳定性分析、最优化设 计等等，这时就需要采用以系统内部变量为基础的状态变量分析法。相比于输入输出 法，状态变量分析法是一种内部分析法，它用状态变量分析系统内部特性，并通过状态 变量将系统的输入和输出信号联系起来，用于描述系统的外部特性。 18 浙江工业大学硕士学位论文 状态变量分析法具有两个基本方程：状态方程和输入方程。状态方程把系统内部 的状态变量与输入信号联系起来；输出方程则把输出信号与内部的状态变量联系起来 【l 】。若一个线性时不变系统的传递函数由公式( 2 一1 2 ) 给定，状态方程和输出方程分别 为： w ( ，l + 1 ) = a w ( n ) + 夙( 疗)( 2 3 6 ) ) ，( ，1 ) = c w ( n ) + d x ( ，1 )( 2 - 3 7 ) 其中，砌) 和y ( ，1 ) 分别为系统的输入、输出信号，w ) 为状态变量，a l f ) ( j v ，b l l ，c r 1 x ，d r ，称为参数矩阵。我们称( a ，b ，c 力为日( z ) 的状态空间实现。状态变 量分析法可用图2 1 3 表示。 j 图2 1 3状态变量分析法 用状态变量分析系统时，需要关注系统内部状态的变化，通过外部系统的控制输 入来改变系统的动态变化行为，并通过观测系统输出获取系统的状态信息，这就是系 统的能控性和能观性【4 1 】。 能控性当系统用状态方程描述时，给定系统的任意初始状态，如果可以通过输入 作用，在有限的时间内把系统的所有状态恢复到状态空间的初始状态，即零状态，则称 系统是完全能控的。而如果只有对部分状态变量可以做到这一点，则系统不完全能控。 能观性给定控制后，能在有限的时间间隔内根据系统输出唯一确定系统的所有起 始状态，则系统是完全能观。如果只能部分确定其实状态，则系统不能观。 对于能控和能观可以用两个特殊的矩阵职，表示，它们叫做可控格莱姆矩阵和 可观格莱姆矩阵，它们满足以下两个l y a p o u n o v 等式： 其中，厂为矩阵的转置。 w 产a w c 灯+ b b 丁 w ：= a 7 w 4 + c 7 。c 1 9 ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) 浙江工业大学硕士学位论文 2 3 本章小结 本章先介绍了数字信号处理的一些基础知识，如离散时间信号的定义分类和基本 运算，离散时间系统的定义和特性。信号在数字信号处理中有着重要的作用，结合各种 数学运算，可以得到其他信号以及更复杂的系统。数字滤波器是离散信号与离散时间 系统理论在信号处理领域的具体应用。 然后介绍了r 数字滤波器和f 瓜数字滤波器的设计和实现。滤波器的设计是指 生成一个满足设计指标的传输函数。i 取数字滤波器的设计方法主要有两种，一种是利 用设计好的模拟滤波器设计数字滤波器，另一种是采用最优化设计技术。h r 数字滤 波器的设计方法主要有三种：窗函数法，频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。对于同 一个数字滤波器的传输函数，可以有各种不同的实现结构。r 滤波器和陬滤波器的 实现结构主要包括直接型和格型结构以及网络结构的状态空间实现。 浙江工业大学硕士学位论文 第3 章数字滤波器的量化效应 数字信号处理技术相对于模拟信号处理技术有许多优点，通常人们都希望将模拟 信号转变成数字信号再处理。模拟信号的数字处理包括三个步骤【l 】：第一，将模拟信 号经采样、量化编码后形成数字信号；第二，采用数字信号处理技术进行处理；第三， 将处理过的模拟信号转换成模拟形式。其原理框图如图3 1 所示。 图3 1模拟信号数字处理框图 在数字信号的处理过程中，信号序列值、参加运算的各个参数以及运算的中间值 都必须以二进制的形式储存在有限字长的寄存器中，从而与无限精度的理想化实现形 成误差，称为量化误差。这种量化误差产生的原因是用有限字长的寄存器来存储序列 值而引起的，所以也把这种因量化误差而引起的各种效应叫做有限字长效应。 3 1 有限字长效应分析 有限字长造成的影响主要表现在以下三个方面【3 6 】： 1 系统的运算误差。在数字运算过程中，为限制参与运算的数字的位数而进行尾数 处理，以及为防止溢出而压缩信号电平而产生的累积误差。 2 输入信号的量化误差，即模拟输入信号经模数( 锄a j o g d i g i t a l a d ) 变换器后变换 成一组离散电平时所产生的量化误差。 3 滤波器系数的量化误差，即把滤波器的系数用有限位的二进制数表示时所产生的 量化误差。 3 1 1 截断和舍入效应 由2 1 2 节知道，数字滤波器中的基本运算操作有加法运算、积运算等四种。而在 运算过程中，会遇到定点制和浮点制两种算术运算。在定点制运算中，二进制乘法的结 2 l 浙江工业大学硕士学位论文 果尾数可能会变长，需要对尾数进行截断或者舍入处理，从而引起量化误差。而在浮点 制运算中，乘法和加法都有可能使最终运算结果的位数加长，都会引入量化效应。在这 里，我们只介绍定点运算带来的量化效应。 用曰+ 1 位二进制数来表示信号值，用g 表示代表能表示的最小单位称为量化阶， 即鼋= 2 一。尾数的处理方法有舍入法和截断法两种，前者是将尾数的第b + l 位按逢1 进位，曰+ l 位后的数略去；后者是将尾数第b + 1 位及以后的数全部略去，从而使实际 数值偏离理论数值。 信号颤，1 ) 量化后用q 缸，1 ) 】表示，量化误差用d 疗) 表示， ( 刀) = q 【x ( ，1 ) 】一x ( 咒) 设文，1 ) 是与顶厅) 不相关的平稳随机序列，而且是均匀分布的白噪声。当采用定点制时， 对于两种不同的尾数处理方法，量化噪声的概率密度曲线如图3 2 所示。 i 烈打 一 i “ 一口 o ( 口) 。趴f 一 厂_ r 咖 图3 2量化噪声咖) 的概率密度曲线：( a ) 截断法；( b ) 舍入法 3 1 2 输入信号量化效应 在实际的滤波器实现中，a d 变换器为其中的一个组成部分，它的作用是将模拟 信号转换成有限位的数字信号，其功能原理如图3 2 ( a ) 所示。图中的戈仍) 是量化编码 后的输出信号，如果用砌) 表示未经量化的二进制编码，其中产生的量化噪声则为 咖) = 就，1 ) 一工( 玎) ，因此，量化噪声影响下的a d 变换器的输出颤n ) 为 瓤，1 ) = “疗) + s ( n )( 3 - 1 ) 考虑a d 变换器中量化编码带来的量化效应，其原理方框图如图3 2 ( b ) 所示。由于量 化过程中引入噪声d 咒) ，从而使输出端的信噪比有所降低。 假定输入到a d 变换器信号( 力没有噪声，对于输出信号殳( n ) 仅考虑量化噪声 文，1 ) ，信号而( 力和咖) 的平均功率分别用一、一表示，则输出信噪比s n r 为 s 凇= 1 0 冶写扭( 3 2 ) u ； 2 2 浙江工业大学硕士学位论文 图3 3 ，d c 功能原理图 假定a d 变换器中的舍入运算采用定点制，s ( ，1 ) 的统计平均值= o ，方差 一= 老矿，代入式( 3 2 ) 可得 s 尺= 6 0 2 b + 1 0 7 9 + l o 如徊 从上式可以看出，a d 变换器的字长b 越大，信噪比越高；而每增加一个字长，输出信 噪比约增加6d b 。 通过上述分析可以看出，增加a d 变换器的字长，可以增加输出端信噪比，但是 a d 变换器的成本它会随着字长b 的增加而迅速增加，另外，过长的字长是没有必要 的，因为d 变换器的量化噪声比输入信号本身的噪声电平更低是没有意义。因此，应 该根据实际应用要求的需要，选择合适的a d 变换器的位数。 3 1 3 滤波器系数量化效应 由第2 章已知，数字滤波器的传输函数用下式表示： 砌= 黄鲁 理论上的数字滤波器系数是无限精度的，但实时实现时，上式中的系数巩和鲰必须量 化成有限位二进制数后贮存在有限字长的寄存器中，若分别用占，和氲表示经过量化后 的系数，用所和鲰表示量化误差，则有 啡= 以+ 以，氲= 鲰+ 鲰 滤波器系数数值的偏差会引起滤波器零极点的位置发生偏移，滤波器的特性随之发生 变化。这容易造成使已设计好的滤波器特性因系数的有限字长效应不能满足期望要求， 甚至有可能造成极点移动到单位圆上或者单位圆外，系统就会不稳定，滤波器就无法 使用了。 滤波器的传输特性取决于传输函数零、极点的位置分布，因此，可以用零、极点分 布偏移来衡量系数的有限字长效应。下面通过考察传输函数的极点变化来说明系数量 2 3 术，嗒 譬 ， 一 浙江工业大学硕士学位论文 化效应的影响。如果用只来表示传输函数极点，由于系数鲰的量化效应，引起极点野 偏移纪，用a 表示实际极点，则有 野= 8 + 纬 ( 3 - 3 ) 对于一个阶数字滤波器，个系数鲰都会产生量化误差鲰，每个系数的量化误差 都将影响第f 个极点纡的偏移，累积偏移会造成滤波器性能较大的偏差。可以推导出 辨喜南舰 ( 3 - 4 ) 不难看出，极点的偏移和系数量化的误差大小有关。为减小极点的偏移，增加系统的稳 定性，应加大寄存器的字长。 下面用一个截止频率为o 4 丌、通带波纹为o 4d b 、最小阻带衰减为5 0d b 的5 阶低 通椭圆滤波器的实现来说明系数量化带来的有限字长效应。图3 4 显示了具有无限精 度理想滤波器的增益响应( 实线部分) 和传输函数的系数被截断到5 位的增益响应( 虚 线部分) 。从图中可以看出，系数量化的影响在通带边界附近尤为严重，具有更高的通 带波纹和更小的过渡带，最小阻带衰减变小。图3 5 中的( a ) 和( b ) 分别显示了系数量 化前后的滤波器传输函数的零点和极点的位置。不难看出，系数的量化会引起极点和 零点偏移其原始位置。 图3 4系数量化前( 实线) 和量化后( 虚线) 全频带增益响应 浙江工业大学硕士学位论文 3 2 极限环振荡 ( b ) 图3 5零极点图：( a ) 量化前；( b ) 量化后 前面所讲到的舍入误差和截断误差都假定是不相关的，而当数字滤波器的输入时 零或者常数时，定点有限字长的舍入误差不能被假设成不相关的随机变量，此时舍入 噪声对输入信号具有极大的依赖【2 】。 考虑以下差分方程： 。 ) ，【，l 丁】= 一o 9 3 y 【( ，l 1 ) 丁】+ x 【以丁】( 3 - 5 ) 输入是 1 0 ，o ，0 ，l ，起始条件畎一l r ) = 0 时，该滤波器的极限环响应如表3 1 所示。 表3 一l 输入为 1 0 ，0 ，0 o l 时的极限环输出响应 ，l 舍入前的) ，o 丁) 量化后的y 研丁) m 母 8 刁 7 刁 7 m 躬 蝴 州 硼 似 o l 2 3 4 5 6 浙江工业大学硕士学位论文 3 3 溢出效应 在定点制网络系统中，两个数的算术加法的结果可能会产生溢出，数字滤波器表 现出非线性性能。文献【4 2 】【4 3 】针对溢出效应，提出了一些改进的方法。这里我们只对 一般防止溢出的方法做简单介绍。