（应用数学专业论文）最优风险管理模型.pdf

o p t i ma l r i s k ma n a g e me n t mo d e l x i o n g d e h u a i n s t i t u t e o f ma t h e ma t i c s n a n k a i u n i v e r s i t y a p r i l , 1 9 9 9 ab s t r a c t v a r mo d e l i s a m e t h o d o f a s s e s s i n g p o r t f o li o s r i s k w h i c h u s e s s t a n d a r d s t a t i s t i c a l t e c h n i q u e s . r e c e n t l y , v a r m o d e l i s b e c o m i n g m o r e a n d m o r e p o p u l a r i n r i s k ma n a g e m e n t a r e a . i n t h i s p a p e r , w e s t u d y a o p t i m a l r i s k m a n a g e m e n t p r o b l e m i n a s i m p l e m o d e l , i n w h i c h w e h e d g e t h e r i s k e x p o s e d a s s e t b y p u t o p t i o n . we p r o v i d e t h e o p t i m a l e x e r c i s e p r i c e w h i c h m i n i m i z e t h e v a r a n d c o s t , t h e n fi n d o u t t h e o p t i m a l r i s k - c o s t f r o n t i e r . mo r e o v e r w e a n a l y s i s t h e r e l a t i o n s b e t w e e n t h e o p t i ma l s o l u t i o n a n d i t s p a r a me t e r s . k e y w o r d s : v a l u e - a t - r i s k ( v a r ) , p o r t f o li o , h e d g e , e x e r c i s e p r ic e 1 最优风险管理模型 熊德华 南开大学数学研究所 1 9 9 9 年 4 月 摘要 v a r模型是一种利用标准统计技术评枯资产组合的风险的方 法。 近年来， 它在风险管理领域变得越来越流行。 本文讨论一个公 司风险管理的数学模型，其中提棋一种使用看跌期权进行套期保 值降低v a r的方法，并导出问题的最优解，即，使 v a r和成本最 卜 化的最优执行价格以及最优的风险管理策略集: 风险 一 成本组合 前沿。另外，我们分析了最优解与其各参数之间的关系。 关键字: 风险值v a r，资产组合，套期，执行价格 1 引言 在最近二十年中， 随着世界金融市场的不断发展变化， 特别是金融 业务的全球化，证券化，电子化，以及金融衍生品的不断创新，一 方面使得公司的资本管理更加灵活与多样化， 而另一方面， 也使得 各个金融机构与公司面临更大的金融市场风险。由一九九七年东 南亚金融危机引发的全球范围的金融震荡至今余波未平，而它在 给金融及其他相关行亚带来巨大阵痛的同时，也使得人们将更多 的目 光投向金融风险的评枯、 预测与防范。 金融风险管理问题已成 为金融行业普遇关注的焦点。 所谓金融市场风险， 是指由于市场价格波动所引起的资产组合 木来收益的不确定性。v a r ( v a l u e - a t - r i s k )作为资产组合风险的 一种统一标准的度圣， 它不但给出风险的数值大小， 也指明风险发 生的可能性。因此，v a r模型的在最近的几年里， 被越来越多的金 融机构与会司所采用。v a r已 逐渐地成为金融风险管理的一种业 界标准。 应用v a r主要涉及两方面的内容: 第一，风险评枯， 就是如何 计葬资产组合的v a r。在这一方面已经有了 很多优秀的模型和软 件包。 许多国 外著名的站点提供了 相应的工具; 例如: 采用d e l t a - n o r m a l 方法的j .p .m o r g a n的r i s k m e t r i c s 站点，采用m o n t e c a r l o 才 法的b a n k e r s t r u s t r a r o c 2 0 2 0 站点等。第二，风险管理，也就是 如何控制自 身的资产组合的v a r。本文将主要讨论有关第二方面 的问题，介绍一种利用看改期权降低 v a r的方法，并在一定条件 下，给出最优风险管理问题的最优解。 本文的余下部分是这样安排的: 第二部分提出问题并简单介绍 相关的基本概念， 第 三部分讨论最优风险问题及其最优解， 第 四部 分用静态比较方法讨论最优解与各参数的关系，第五部分总结全 文 。 2 问题的提出 风险与收益是广大投资者最关心的两个问题， 它们作为投资问题的 两个方面是相互制约的， 高期望收益往往伴随着高风险。 无套利原 则是整个现代金融研究的核心彼设之一。但选择适当的策略却能 使得在确定的高收益水平下具有最小的风险，或在确定的风险范 围内 得到最大的期望收益。 早在1 9 5 2 年，m a r k o w i t : 就提出了 他著 名的资产组合选择的期望一方差模型，以及那条著名的曲线一 - 资产组合前沿。 在他的模型中， 一个基本假设就是使用资产未来收 益的方差来度量风险。如果我们使用v a r作为度量风险的标准， 情况将会怎样呢? 本节先介绍有关v a r的知识，然后从介司风险 管理的角度出发，提出一个关于风险优化的问题。 2 . 1 基本概念 v a r是资产组合未来收益潜在变化的不确定性 ( 即风险)的一种度 量。它涉及以下两个要素: 1 . 这种潜在变化的时问范围二 ， 二 0 ; 2 . 风险管理者关于风险的选择的呈信程度a , 0 。1 在t 期， 我们把它记为v a r t + , ( a ) 。 用统计语言描述即为: 在 + 二 期， 有1 一 a 的可能性，资产组合的最大损失不会超过v a r 、 二 ( a ) 。 举一个简单的例子: 如果一公司的今天的资产组合的盯市价格是￥ 1 ,0 0 0 ,0 0 0 ， 到明天 该资产组合的收益值的分布如图1 ， 即有2 . 5 %的可能性，该资产组 合的价格至少要降低￥ 1 0 0 ,0 0 0 . 那么该资产组合的笠信度为2 .5 07 o 的 风险值v a r l ( 2 .5 % ) =v 1 0 0 ,0 0 0 . fm - 1 0 0 , 1 0 0 !1 0 0 , s ( n 禾来收益值 图1 :资产未来收益的频率分布 一般地说，v a r t + * ( a ) 的计茸有以下几个步骤: 1 . 计耳资产组合的盯市价值v t ; 2 . 预测资产组合在未来t 十 二 时刻收益的概率分布; 3 . 计算该分布在选定的笠信度a下的值v t 、 二 ( a ) 4 . 最后由v a r t + , ( a ) = v e * r 一v + r ( a ) 计界出该资产组合的风险 值，其中， 是无风险短期利率。 2 . 2 问题的提出 假设公司 在t 期有一种风险慕露的资 产a( 如: 股票 ，商品期货 外汇等 ，其价格过程 s t ，满足标准的r 6 过程 d s t =又( , t d t +o d z t ) , 其中产和 。分别为资产 a的收益率和波动率， : : 为概率空间 ( 6 2 , f t , 尸 ) 上的一个标准布朗运动。 假设公司将持有该资产到t 十 : 期， 并 使用 笠信 度为。 ( 0 a 1 ) 的v a r 度it其 风险 ， 那么由v a r 的定义，可得 v a r t+ , ( a ) = s t e r t 一 s t e o ( ) , 其中b ( a ) 为s t + ， 分布的a 一 分位点。 设c ( a ) 为标准正态分布的。 一 分位点，即 1 0 ) 。 一 ， / 2 * 二 。 . v2 a j 一 二 8 (a ) 一 (; 一 2 a z )z + c (a )o f . 假设公司风险管理的成本为c ， 则公司面临以下优化问题: 采 取什么风险管理策略，使得 1 . 给定最大成本c , 最小化风险值v a r。即 mi n v a r t + , 满足 c 1 ) 种到期日 均为t + 二 欧式看跌期 权的多头组成。记它为。 ，则 0 二( x i , h i ) j ; 0 ) 为第i 种看跌期 权的套期比率。套期比率是持有期权头寸大小与风险慕露资产头 寸大小之间的比率。我们假设风险慕露的头寸只有一部分被套期 保值，即 入 。艺1=1 3 . 1 v a r的计算 根据第一节有关计算v a r的步骤，我们计算套期策略 0 的v a r a 由b l a c k - s c h o l e s 期权定价公式，第i ( 0 i n ) 种欧式看跌期 权的价格 p t 满足: p t =x i e - r r 到d l ) 一s t 到d 2 ) 其中 ， 、 二 、 =1 l 。 一 :2 / 2 tit . 斌2 1 r j _ - d l二 l n ( x i i s ) 一 ( ， 一z )2 t ， 沂 d 2 =d ， 一， 沂 . 我们记整个资产组合的价值为v t ，则 v二 v t 十 二 二 s t + 艺 h i p it s t + 二 + 艺h i x i 一 s t+ r + 幼而 由于v t + 二 是s t + ， 的严格增函数， ,- ( s t + * ) 、n ln ( s t ) +(“ 一 切t , t1 j f 所以 v t + r ( a二s t e o a + e h i !(二 一 。 。 “ 。 ， ) + 最后我们求出风险值 v a ft t + r ( a ) 二( s t + r h ip ,t )e 一 s te 6(0 ， 一 e h i !二 一 。 。 “ 。 ， 、 ( 3 . 1 ) 3 . 2 问题的化简 首先，才 长 据方程 ( 3 . 1 ) 我们注意到套期策略中选取的期权应该在 s t + 二 s t e o m, 1 n , b k 而 v a t t+ r (a ) = s te 一 s te e (0 ， 一e h i x * 一 s te e (0 ， 一 p it e -.( 3 .2 ) 再由上式可知 龙全 负 e e ( . ) + 只 t e - , 1 n , 因为只有满足上式的期权才能有效地减小风险值。 引理3 . 1欧式看跌期权的价格关于执行价格是凸的。 证明:由风险中性定价方法，知 p t =e e t ( x一s t + = ) + 其中e表示风险中性世界中的期望值。 因为e - ( x - s t 、 二 ) 、 是x的 凸函数，由j e n s e n不等式知 八是x的凸函数。口 直观上，因为一种权益总是有扑负价值的， 如果一个资产组合 的期权与一个同时执行的资产期权的组合 ( 具有相同的交割日 ) 收 益相同， 那么后者由于比前者多了可以分散执行的权益，自 然其价 格也应该高于后者。 定理3 . 1原最优问题的策略集等价于它的一个由单一多头看跌欧 式期权构成的套期保值子策略集。 证明: 我们只需证明对原策略集中的每一种策略。 都能在它的 子策略集中找到一种策略b ， 使得策略b 优于策略0 . 令 0 三( x h ; ) i t n 选取策略 0 ， 三( x , h ) 其中 h = 艺h ; , x 1 0 显然b 满足条件。 由( 3 .2 ) 式， 得 1 . 策略 0 时的风险值: v a r t + 二 ( 。 )= s te ，一s te e 0 ， 一 y-“ x 、 一 s te e (0 一 。 to 一 s t e - ( 1 一 、 ) s t e e (0 ， 一 h x + 又h t p .t e r r 2 . 策略 b 时的风险值: v - r t t ( a ) = s te ? 一 ( 1 一 h ) s te e (0 ) 一 h x+ h p t e - 根据引理 3 注，比较上面的两个风险值，知策略 0 , 优于策略 。 。 口 这样， 我们只需要考虑由一种欧式看跌期权构成的套期保值策 略 。记 。 三 (x , h )ix : 、 。 ” 。 ， + 。 。 二 ， 下面我们在策略集e中考虑风险优化问题 0 ” 1 对策略0 =( x , h ) e o ， 我们知道其风险值与成本分别为 v a r t + 二 ( a ) c ; 。 一s te e (0 ， 一 h x ， 一 。 。 ” !， 一 。 e,1 h 只 人 人 而 v a r t + 二 ( a ) =s t e*r - s :一 ， 一 葺 x 一 、 !一 。 ， 一 。 ( 3 . 3 ) 这样， 在一定条件下， 风险值与成本满足线性关系: 每增加一个单 位 的 成 本 ， 将 减 小 x t rt 誉 q a 0 ) 一 。 ”单位的风险值 rt 3 .3 优化问题的最优解 下面我们解最优风险管理问题: 任 问题一习给定最大成本百 ， 最小化风险值v a r，即 m in v a r t + 二 ( 。 ) 一 s t e r r 一 s t e e (. ) 一 、 x * 一 s r e e i ， 一 p t e r r i ， ( 3 .4 ) e一 、 了-一l-一 满足 : h p t c. 假设给定的最大成本c足够小，由方程( 3 .3 ) 知上面的约束条件应 取等式，即 h 只 =c. 代入才程( 3 .4 ) 得 m in v arx :一、 一、 “ ， 一 畏 二 一 s tee(0 ， 一 。 。一 (3 .5 ) 我 们先看一下方程件5 ) 的图形 ( 见图2 ) ， 其中 参数s t = 1 0 0 , p 二 0 . 1 a=0 . 1 5 , r 二。 0 5 , ,r 二1 , a=2 . 5 % . 于 广一 一 字 名l e ci d 民飞 d ， 行 价 路书 图 2: v a r - x 对不同的成本百 ， 方程 件4 ) 有相同的最优解x - = 8 7 .5 9 1 .由 ( 3 .5 ) 式直接求解得 x = a r g nu n x v a r t + r 一a r g m in s t。 一s te e (0 ， 一 早 x : 一 s te o (0 ， 一 。 。 一 x厂云 =a r g ma x x x一s t e e ( . ) p t 最优解 x ， 与c的选取无关。 匡 问题二刀给定公司所能或愿意承受的最大风险值v a r , 最小 化风险管理成本c，即 mi n c 二 o v a r一s t e * t +s t e o ( n ) x一又e e ( ) p t ( 3 .g ) +e r ， 本文中的数值计算与 作图均由m a t l a b ” 完成。 使得 v a r t + 二三v a r 当成本达到最小时，由方程( 3 .3 ) 知上面的约束条件应该取等式。 即 v a r t + * = v a r 代入方程( 3 .6 ) ， 得 mi n c = v ar 一s t e -+s t e o (+ ) x一从e e ( . ) p t ( 3 . 7 ) 十e - 我们再看一下方程( 3 刃的图形 ( 见图3 ) ,其中 参数s t = 1 0 0 , ,u 二 0 . 1 , 0 =0 . 1 5 , r 二0 . 0 5 , 7二1 , a=2 . 5 % . o k丁燕; 1，、 ，.术弓 d公.u 曰长说 o , (飞 “ 、 _ _ _ _ ， 一 ， 韵 、卜- 于 口 - - - - -一- 毛 q色 弓3n 图 3: c - x 对不同的风险值var ， 方程( 3 . 6 ) 有相同的最优解x ， 二 8 7 . 5 9 注意到 v a 豆s t e 一又 。 “ 由( 3 . 7 ) 式，得 x = a r g m i n c var 一 一s t e w+s t e e (0 1 =a x 黔n 一 反 _ s t e e ( ) p t +e - x一s t e o ( . ) a r g m a xx 一 一 p t 一一 最优解 x 与 var的选取无关。 这样，问题一与问题二的有相同的最优解: = a r g ma x x x一s t e e ( 0 ) p t 由一阶条件，知 x 满足方程 ll ( d z ) -p ( d i ) 二, 6 ( u ) 一 ， ， ( 3 .8 ) ( 3 . 9 ) 3 . 4 模型的进一步讨论 通过以上推导， 我们知道最优执行价格x ， 与公司的风险值一成本 选择无关， 给定参数0 二( a , a , r ， 二 ， a ) 和s 。 的值， 即可求出最优执行 价 格x . 从而得出 最优风险值一成本组合前沿( v a r - c , f r o n t ie r ) v ar !二 ， 一 s tern - s teo(0 ， 一 c !鬓 一 鬓 “。 ， 一 (3 .10 ) 我们先看一个例子s t =1 0 0 , ”二0 . 1 , a二0 . 1 5 r=0 . 0 5 , r 1 , a = 2 . 5 % . 则x = 组合前浩( 如图4 ) : 取参数 8 7 . 5 9 , 只0 . 7 4 . 代入方程( 3 .3 ) ,得最优 v a r 一 v a r , + 1 ( 2 . 5 % ) =2 3 . 6 8 一7 . 2 3 c 江润少创公叮 、 、 之匕 图4:最优 v a r - c组合前沿 从图中 我们可以看出 每1 单位的成本， 可以降低7 . 2 3 单位的风 险值，套期保值的效果还是显著的。因此，公司可以根据自己的要 求，在最优风险值一成本组合前沿( 3 .1 0 ) 上进行适当 的选择。 在模型应用中，有三点是值得注意的: 1 . v a r的计算问题，它主要牵涉到资产未来收益的概率分布的 计界。对数正态分布是现代金融研究中一种常用的也是标准 的概率分布，被广泛地应用于资产定价的理论研究与实际操 作。因为对大部分资产来说，它们的分布都可以近似地认为 满足对数正态分布， 如: 商品期货， 股票， 汇率等等。虽然现 在有很多的文章指出，该分布与实际数据不符，并提出很多 修正。但很难找到一种更好的分布，能更确切地拟合实际数 据。 因此， 在大多 数情况下就直接假设资产未来收益的分布满 足对数正态分布。 其实对于其他的概率分布， 按照本文的思路 也可以进行类似的分析。 2 . 多种风险幕露资产问题。 在本模型中 ， 我们只讨论了一种风险 泰露资产。当公司持有由多种风险慕露资产构成的资产组合 时，一般公司都要计算其总风险值以及各资产的风险值。如 果总风险超出其愿意承受的范围，那么他一般有两种选择: 一是改变其资产组合的结构，减小风险大的资产的头寸或在 资产组合内 部进行套期保值，调整相关性强的几种资产的头 寸， 使其风险相互抵消。 二是引进新的资产进行套期保值。 我 们可以对其中风险大的资产分别进行套期保值，也可以对整 个资产组合进行套期保值。 随着金融衍生品的日 新月异， 场外 交易 越来越普遮。 美国在最近的十年中就创造了2 0 0 多种的金 融衍生品，而且大部分是场外交易。这就使得对资产组合的 一揽子期权成为可能。我们知道，单一期权比分散的期权的 成本更低，因而更有利于减小风险值。如果能采取一揽子期 权的套期保值策略， 则问题又回到了我们的模型。 不过，由于 各资产之间的相关性使得对资产组合的未来收益的计算更加 复杂。 因此， 在多数情况下， 还是尽量对重要的和风险大的资 产进行套期保值。 3 . 最优执行价格x 对参数0 = ( n , q + t ， 二 ， a ) 的灵敏度。 这一点我 们将在下一节讨论。 4 静态比较分析 由上一节中我们知道，最优执行价格x 只与资产a的价格 5 和 参数p二( f t , o, , r ， 二 ， a ) 有关。当 应用此方法时，考虑最优执行价格 x 对各参数的灵敏程度是很重要的。知果它对某一参数过度灵敏 的话， 那么该参数在套期保位期问的大小变化就会直接影响最优执 行价格x二 的选取，从而使得套期策略不可行。在这一节中，我们 将利用静态比较分析的方法讨论一下各参数对x ， 的影响。 我们使 用与 上一节同 样的参数值， 即: 取参数s t 二 1 0 0 , il = 0 . 1 , a 0 . 0 5 ， 二 =1 , a=2 . 5 %. 考虑 x 三x ( s t 3 ) , 月=( a , ju , 0. , r , t ) 对方程( 3 .9 ) 两边对0 求导，由隐函数定理得: a x * a p 二 、 fn (dl) ad,li (di) a # 一 n (d2) ad2i (d2) 5 p + 49 ( 8 ( 0 匕r 7 ) 1 a ll =0 . 1 5 , r二 ( 4 . 1 ) 下面我们分别讨论最优执行价格x ， 与各参数之间的关系。 4 . 1 期望收益率f t x ， 与“ 的关系 如图5 。直观土，当 期望收益率l a 变大时，则资产 a的未来收益的分布将向右平移。这就要求x 也要相应地变大， 以保持对资产a的套期保值的效果。 石 o , o 花 二 三 瓦万 下-一 x - i l 由于 二0 , 鞍一即竹 亡冲一 图dl a 哟一即 代入才程( 4 . 1 ) ， 得 , 7 x- t 3 / 2 二n ( d 2 ) n ( d i ) 1 ( d 2 ) 1, ( d i ) ( 4 . 2 ) 因为n ( d ) / f ( d ) 单减2 ，所以 即x ( a ) 单增。 “ 证明见附录一 4. 2 x 宜 期望波动率 。 与。的关系如图6 。 期收益的分布更加分散， 直观上，较高的期望波动率使得资产的预 这也就使期权的价格更高，从而执行价格 就会较低。另一才面，当。比较小时， 相对分散的概率分布也使得 资产 a的凤险值更大，从而也要求使用执行价格较小的期权进行 套期。 【 公 动 官 二 n ， 、一 :到川!1 图 6: x - o 由于 业厅 另一方面，期限越长，则期望波 动率越高，收益分布就越分散， 从而要求较低的执行价格。囚此， 对不同的参数，期限的影响是不同的。 一!.一 图 8: . 日切. x一 丁 由于 诚一加 d d , a r 49 ( 0 ( 0 ) 一: 下 ) _ 人 0 - 了t d r 。 一 1 。 2_ q + 乙 其中 o d e a d , 7 i 二 2 f十 r ， 1 2 一 2 7 1 十 r 代入方程( 4 .1 ) ， 得 乡 x dr _ _ ( n( d ， ) n( d , )一1 ，c ( c 0 ) o. l 入 l 4 ( d 2 ) y2 一 前i ) “ 一 “ % / r (it - 乏 “ + 2 f 一 ” 月 n ( d 2 ) w 2 ) n ( d , ) 4 ( d i ) ( 4 一 5 ) x( 动非单调。 4 . 5 置信度 。 x 与。的关系 如图9 。直观上，呈信度越大，则受保护的幕露部 分就越多，从而要求执行价格就越高。 11 盯 一一 一 下月 归。1月，沁 图 s: x - a 由于 a d , a s a ( e ( a ) -， 二 ) as a 行 $ 一 代入方程( 4 . 1 ) , 得 a x* 一二 : a s a l x- , - ,t - l n( d 2 ) k ( d 2 ) n( d i ) b ( d i ) ) 0 ( 4 . 6 ) 即x ( a ) 单增。 5 总结 金融风险管理问题是一个内涵非常丰富的问题;关于它的讨论与 研究已经成为全球金融业最热门的话题之一。这一方面是由于它 内在的复杂性与多样性，另一方面就是它的日 趋重要的实际应用 价值。 本文力求用简单的模型和数学工具， 从公司的风险管理的角 度出发， 分析讨论了利用期权套期减小风险值的方法。 我们在一定 条件下， 通过解公司的最优风险管理问题， 知道期权的最优执行价 格x 、 只与资产价格s 和参数a =( p , o ， 二 ， r 司有关。 给定参数0, 即可计耳出期权的最优执行价格， 从而得出最优套期保值策略。 而 公司可以根据本身情况在风险一成本组合前沿( v a r , 必 上选择一 个合适风险一成本。有意思的是风险与成本组合前沿( v a r , c ) 是 一条直线。 在一定范围内， 每增加一个单位的成本，即可减小固定 单位的风险值。 在这个理想的模型中， 通过实际计算分析， 我们得出利用这种 方法能够有效地减小风险值。 所以说，利用期权套期的方法减小风 险值是具有一定的实际意义。 对于具休的实际问题， 根据本文的思 路，可以具体问题具体分析，综合考虑。 参考目录 1 h u ll ,j ., 1 9 8 9 . o p t io n s , f u t u r e s , a n d o t h e r d e r i v a t i v e s e c u r i t i e s