（基础数学专业论文）abel分部求和法与经典超几何级数.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 将a b e l 分部求和法用于超几何级数计算，不仅证明了超几何级数众多的封闭性 求和公式，而且系统地研究了级数3 f 2 ( 1 ) 的邻近关系式，据此我们成功地构造了无 穷多个r h i n - v i o l a 猜想的反例 1 2 0 0 6 年，初文昌首次提出利用a b e l 分部求和法来研究超几何级数作为这一方 法的完善和扩充，我们不仅重新证明了众多已有的终止型超几何级数求和公式， 而且建立了许多新的关于超几何级数的封闭性求和定理由于a b e l 分部求和法 简捷实用之优势，所以在超几何级数的研究中尚有极大的发展空间 2 将a b e l 分部求和法应用到级数3 f 2 ( 1 ) ，得到四类新的关于3 f 2 ( 1 ) 的三项邻近关 系式通过对这四类邻近关系式进行参数变换和对照比较，我们进一步建立了 1 0 个二项邻近关系式和1 8 个奇异邻近关系式，其中包括k r a t t e n t h a l e r 和r i v o a l 发表于2 0 0 6 年论文中的所有主要定理和命题， 3 以我们所建立的3 f 2 ( 1 ) 的二项邻近关系式为基础，进一步成功地构造出三类超 几何级数形式的反例关系式，其中含有四个独立参量的反例关系式从本质上推 广了k r a t t e n t h a l e r 和l r i v o a l ( 2 0 0 6 ) 的相关结果，并目这三类关系式为我们提供了 无穷多个r h i n - v i o l a 猜想的反例 关键词：超几何级数；a b e l 分部求和法；求和公式；邻近关系式；奇异邻近关系式； r h i n v i o l a 猜想；r h i n - v i o l a 猜想的反仞 a b e l 分部求和法与经典超几何级数 t h ea b e ll e m m ao ns u m m a t i o nb yp a r t s a n dc l a s s i c a lh y p e r g e o m e t r i cs e r i e s a b s t r a c t b ym e a n so ft h ea b e ll e m m a o ns u m m a t i o nb yp a r t s ，t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e ss y s t e m - a t i c a l l yc o m p u t a t i o no fc l a s s i c a lh y p e r g e o m e t r i cf 1 6 口i e f l s e v e r a lt e r m i n a t i n gh y p e r g e o m e t t i cs u m m a t i o nf o r m u l a ea r ee s t a b b s h e d n u m e r o u sn e wc o n t i g u o u sa n de x o t i cr e l a t i o n s f o r3 f 2 ( 1 ) 一s e r i e sa r ed e r i v e d ，w h i c hp e r m i tu st oc o n s t r u c tf u r t h e rc o u n t e re x a m p l e st o r h i n - v i o l ac o n j e c t u r e 1 r e c e n t l y , c h u ( 2 0 0 6 ) h a sp r o p o s e dt h ea b e ll e m m a o ils u m m a t i o nb yp a r t sa sas e w c o m p u t a t i o nm e t h o dt oi n v e s t i g a t ec l a s s i c a lh y p e r g e o m e t r i cs e r i e s t h i sa p p r o a c h i sf u r t h e re x p l o r e di nt h i sp a p e rt od e r i v es e v e r a lt e r m i n a t i n gs u m m a t i o ni d e n t i t i e s ， i n c l u d i n gt h o s ew e l l - k n o w no n e sd u et od o u g a l l ，w h i p p l e ，g a s p e r ，c h u ，g e s s e la n d s t a n t o n ，w h i c hh a v eo r i g i n a l l yb e e nd i s c o v e r e dt h r o u g hs e r i e sr e a r r a n g e m e n t s ，c o i l l - b i n a t o r i a li n v e r s i o n s ，h y p e r g e o m e t r i ct r a n s f o r m a t i o n sa n ds y m b o l i cc a l c u l u so nc o n l - p u t e ra l g e b r a 2 t h ea b e ll e m m ao ns u m m a t i o nb yp a r t si ss y s t e m a t i c a l l ye m p l o y e dt os t u d yr e c u r - f e n c er e l a t i o n so fc l a s s i c a lh y p e r g e o m e t r i c3 f 2 ( 1 ) 一s e r i e s w es h o wf o u rt y p i c a lp a t t e r n s o fc o n t i g u o u sr e l a t i o n s ，f t o mw h i c ht e nc o n t i g u o u st w o - t e r n 1r e l a t i o n sa n de i g h t e s n e x o t i ct h r e e - t e r mr e l a t i o n sa r eo b t a i n e d t h e yc o n t a i na l lt h em a i nt h e o r e m sa n d p r o p o s i t i o n sd u et ok r a t t e n t h a l e ra n dr i v o a l ( 2 0 0 6 ) a sv e r ys p e c i a lc _ a s e s 、 3 b a s e do nt h ec o n t i g u o u st w o - t e r mr e l a t i o n so n3 f 2 ( 1 ) 一s e r i e sf o u n di nt h i sp a p e r ，t h r e e d a s s e so fi n f i n i t e l yc o u n t e r - e x a m p l e st or h i n - v i o l ac o n j e c t u r ea r ef u r t h e rc o n s t m c t e d o n eo ft h e s ec l a s s e sg e n e r a l i z e ss u b s t a n t i a l l yt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l td u et ok r a t - t e n t h a l e ra n dr i v o a l ( 2 0 0 6 ) w i t ha ne x t r af r e ep a r a m e t e r k e y w o r d s ：h y p e r g e o m e t r i cs e r i e s ；a b e ll e m m a o ns u m m a t i o nb yp a r t s ；s u m - m a t i o nf o r m u l a ；c o n t i g u o u sr e l a t i o n ；。e x o t i c ”c o n t i g u o u sr e l a t i o n ；l ：u = l l n - v i o l ac o n j e c t u r e ；t h ec o u n t e r - e x a m p l e st or h i n - v i o l ac o n j e c t u r e 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工 大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料与我一同工作的同志对 本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 作者签名：垂盔受日期：圃：1 2 ：9 a b e l 分部求和法与经典超几何级数 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教炜完全了解。大连理工大学硕士、博士学位论文版权 使用规定。，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印，缩印或扫描等复制手段保 存和汇编学位论文 保密口，在年解密后适用本授权书 本学位论文属于 不保密口 ( 请在以上方框内打”、，p ) 作者签名。王逝篮 导师签名：迅乏 地年坦月卫日 大连理工大学博士学位论文 1 绪论 超几何级数是特殊函数的一个重要分支，它与组合数学密切相关超几何级数求 和公式和变换公式在超几何级数这一领域起了非常重要的作用，因此发现和证明求 和公式和变换公式一直是组合学家及特殊函数学家感兴趣的问题寻找求和公式和 变换公式的方法有很多种，如t 级数重排、组合反演、计算机代数的w z 方法、微分 算子及围线积分等等 本文的主要内容是利用a b e l 分部求和法来发现和证明一些超几何级数求和公 式和变换公式，其中包括初文昌利用组合反演的方法所得的求和公式、g e s s e l 利用 w z 方法所得到的一些求和公式、以及k r a t t e n t h a l e r r i v o a l 最近所发现的邻近关系 式等等a b e l 分部求和法简便明快、自成体系，在使用时不需要建立在已有公式的基 础之上，所以证明过程比以往的级数重排、组合反演等方法都更加直接了当 1 1 历史背景 我们首先来回顾一下超几何级数及其发展历史关于参变量z 的幂级数 - 押日pa l ：疆a p = 薹警舻署 u ， 称为超几何级数，其中a o ，n 1 ，o p 和b l ，5 2 ，b q 分别称为分子参量和分母参数， ( o ) 。：= a ( a + 1 ) 扣+ n i ) = r ( a + n ) r ( n ) 称为n 的n 次升阶乘这里的r 一函 数是利用e t f l e r 积分给出的 当吼( 。) 0 时r ( z ) = u z 一- e 一“d j o 为了叙述的简便，我们用下面的表达式来表示升阶乘的分式和r 一函数的分式 医缸：矧。= r 阮参：吲= 塑! 塑! ：! ! ) ! ( a ) 。( b h ( d ) 。 r ( q ) r ( 口) r ( ，y ) r ( a ) r ( b ) r ( d ) a b e l 分部求和法与经典超几何级数 1 6 5 5 年，j o h nw a l l i s 在他的著作( ( a r i t h m e t i c ai n f i n i t o r u m ) ) 中第一次使用了。超 几何的( h y p e r g e o m e t r i c ) ”术语，并研究了如下的级数 1 + o + 口+ 1 ) + a ( a - k 1 ) ( d + 2 ) + - 一 在接下来的一个半世纪中，很多数学家研究了超几何级数的最简单情形； z 叭印】= = ：日小= 薹精扩 称为g a u s s 超几何级数，e u l e r 曾经给出了这类级数的很多结果，例如，著名的关系式 2 f 1 卜n ，k 。；z 】= ( 1 一z ) 。+ “一6 2 f 1 c + n ，c 一6 ；c ；司 1 7 7 0 年，v a n d e r m o n d e 给出了如下的二项式定理推广形式- 删一，咖1 】= 蛀等等等等等尸 1 8 1 2 年，g a u s s 在他的著名博士论文。d i s q u i s i t i o n e sg e n e r a l e sc i r c as e r i e t ni n f i n i t a m ” 中，给出了含有三个参量的超几何级数的定义并引入了记号f a ，b ；c ；z 】他证明了著 名的求和定理，现称为。g a u s s 求和定理。( 见【9 ，1 2 】和 4 5 ，1 7 1 ) 。 z 毋 。! 1 1 = 可r ( i c ) r 五( c 厅- 两a - b ) ，其中9 t ( c - a - b ) o ， ( 1 1 2 ) 也给出了很多这类级数间的相互关系1 8 3 6 年，k u m m e r 证明了二阶微分方程 = ( 1 一z ) 象+ c ( 1 + 口+ 6 ) 名) 云d y 一吻= o 的解是g a u s s 函数2 f 1 p ，6 ；c ；习，同时还指出一共有二十四个这种类型的解( 称为 k u m m e r2 4 解) 使用积分表示g a u s s 函数应当追溯到e u l e r ，他给出了g a u s s 函 数的第一个积分表示； ：f 、 一“：iz = ：i i j ? i y ：，f 。ot - n - 1 ( 1 一t ) 。+ n 一1 ( 1 一t z ) 一6 d t 使用r 一函数的围线积分表示超几何级数的思想来自p i n c h e r l e 和r i e m a n n ，后来 r m e u i n 和e w b a r n e s 发展并完善了这一思想在二十世纪初，b a r n e s 给出了 k u m m e r 二十四个函数的积分表示，并且证明了g a u s s 定理的积分模拟： 刍仁脚删r ( 6 + s ) r ( c 叫r ( d 叫幽= 堕锷等等等幽 在这期间一些数学家想到了推广g a u s s 级数，当然g a u s s 级数有很多推广方法c l a u s e n ( 1 8 2 8 ) 首先用增加参数个数的方法扩展g a u s s 函数概念，并研究了三个分子参量两个 分母参量的一类级数接下来，一般形式的超几何级数的很多著名求和定理逐渐地由 2 大连理工大学博士学位论文 s a a l s c h i i t z ( 1 8 9 0 ) ，d i x o n ( 1 9 0 3 ) 和d o u g a l l ( 1 9 0 7 ) 等给出推广超几何级数的另一个方法 是让级数在正负两个方向上求和，这就产生了双边超几何级数( d o u g a l l ，1 9 0 7 ) 1 9 2 6 年a p p e l l 研究了含有两个变量的二重级数，称为a p p e l l 级数b a i l e y 和w h i p p l e 在 二十世纪初期的一系列论文完成了整个超几何级数理论的彻底分析和完善b a i l e y 9 】 在1 9 3 5 年出版了他的专著g e n e r a l i z e dh y p e r g e o m e t r i cs e r i e s ，作为对b a i l e y 著作 的补充和完善，s l a t e r 4 5 于1 9 6 6 年出版了g e n e r a l i z e dh y p e r g e o m e t r i cf t m c t i o n s 推广g a u s s 函数除了上面提到的几种方法之外，另一种不同的观点是由e h e i n e 提出的它定义了一个基数a 。：= ( 1 一q a ) ( 1 一q ) 这里，q 和a 都是实数或复数显 然，当q 一1 时，a 。一o 使用这个概念，h e i n e 定义g a u s s 函数的口一模拟为 = 薹器器扩 其中，( o ；q ) o ：= 1 ，( n ；g ) 。：= ( 1 一o ) ( 1 一a q ) ( 1 一a q n - 1 ) ，( n = 1 ，2 ，) 这种类型的 级数我们称为基本超几何级数或q 级数它在代数、数论、统计力学、组合学和物 理学等方面都有广泛的应用【1 ，4 】 伴随着超几何级数的发展，基本超几何级数的研究相对缓慢1 8 4 6 年，h e i n e 系 统地研究了基本超几何级数2 咖1 ，接着j a c k s o n 发展了q 一微分、g 积分理论并且推导 出了一些乎模拟公式后来w a t s o n 和s l a t e r 从围道积分的观点发展了基本超几何 级数理论在这个理论逐步完善的同时，双边基本超几何级数理论也逐步形成再后 来，g e a n d r e w s 的研究工作让人们看到基本超几何级数在分拆理论上的应用在 上世纪7 0 年代中期，他同r a s k e y 在基本超几何级数这一领域取得了丰硕的成果 也正是由于他们的研究工作才有今天基本超几何级数的蓬勃发展 此外，印度的天才数学家r a m a d a j a l l 在基本超几何级数方面做出了重要的贡 献通过对r a m a n u j a n 的遗稿的研究，使得全世界拥有大量超几何级数的追随者 r a m a n u j a l l 的- 妒。求和公式3 9 1 被认为是双边基本超几何级数中最著名的公式之 一，它的证明方法有很多种，如h a h n 2 8 】，j a c k s o n 3 1 ，a n d r e w s 【2 ，3 】及u m a j l 3 0 ，其 它的证明方法我们可以在参考文献f 5 ，6 ，1 1 ，2 2 等等中找到利用基本超几何级数 中的一些基本变换公式之间的关系，作者在综述论文 1 6 】中，不仅分析了已有的对 r a m a n u j a n 的。妒1 求和公式的典型计算证明方法，同时给出了新的证明在文章 1 7 】 中，作者利用级数重排的方法重新证明了s h u k l a 4 4 1 的双边基本超几何级数8 讥求 和公式，以及m i l n e 3 8 1 更一般形式的2 6 饥+ 2 。求和公式另外，初文昌和作者 1 8 】 合写了介绍基本超几何级数求和公式的介绍性论文 3 a b e l 分部求和法与经典超几何级数 1 2a b e l 分部求和法 2 0 0 6 年，初文昌首先将a b e l 分部求和法应用到了超几何级数领域，用它证明了 双边基本超几何级数中最著名的公式之一：b a i l e y 1 0 的6 妒6 求和公式，这一公式的 证明方法有十几种，如：s l a t e r 和l a k i n 4 6 ，a n d r e w s 1 ，a s k e y 和i s m 削【8 】ig a s p e r 2 4 ， j o u h e t 和s c h l o s s e r 3 2 ，s c h l o s s e r 4 3 等等在本文中，利用a b e l 分部求和法来研究一 般超几何级数中的求和公式和变换公式，作者不仅证明了一些已有的求和公式和变 换公式，并且得到了一些新的求和公式和变换公式因为a b e l 分部求和法是贯穿全 文的主要思想方法，我们在此详细介绍 对于任意的复数序列，我们定义向后和向前差分算子v 和分别为：v = 一一1 和= 一+ 1 必须指出，在这里所用的向前差分算子与以往我们 所熟悉的差分算子不一样，它与以往的向前差分算子相差个负号这样经a b e l 引理推广所得到的a b e l 分部求和法可以表示为下面的等式 引理1 1 ( a b e l 分部求和法) ： f 巩k = u - i v 0 + 1 k v 巩 k - - - - 0k = 0 对于非终止型无穷级数，上面这一等式要成立，还必须满足下面的两个条件 1 上式左右两边的级数至少有一个收敛； 2 当k 一时，巩k + 1 0 证明：n 为任意的一个自然数根据向前差分算子的定义，有： nnnn 巩k = v k v k v k + 1 ) = 巩u u k y k + l k = 0k - - - - - 0 k = ok = 0 将上式最后求和项中的变量k 替换为k 一1 ，我们便得到了下面的表达式： u a v k = k = 0 = u - 1 v o 一+ 1 + k v 巩 k = 0 当n o o 时，上式所得到的就是a b e l 分部求和法 一 要注意的是，对于在此论文中所提到的所有终止型一般超几何级数，多余项u 二都 为零这是因为在我们所选取的差分因子巩的分母参量中，都有一项为1 这时，利 用削= r ( k + 1 ) 和r 一函数的定义，便得到了u - l = 0 下面我们来证明这一引理 4 、， 一巩 一巩 ，【 咋 。脚。 + 一 n 大连理工大学博士学位论文 2 经典超几何级数求和公式 a b e l 分部求和法在超几何级数中的应用最初是由初文昌f 1 3 1 提出的，他利用 a b e l 分部求和法重新证明了双边超几何级数中最著名的公式之一：b a i l e y 1 0 1 的6 妒6 求和公式接下来初文昌【1 4 ，1 5 】利用a b e l 分部求和法重新证明了超几何级数中许多 经典的、基本的求和公式在这一章中，我们进一步应用a b e l 分部求和法证明了一些 特殊的终止型一般超几何级数求和公式，这些公式最初是由d o u g a l l 、g a s p e r 、g e s s e l 、 初文昌、g e s s e l - s t a n t o n 和w h i p p l e 等利用级数重排，组合反演、计算机代数的w z 方法等得到的同时，我们还利用a b e l 分部求和法得到了很多新的终止型一般超几 何级数的求和公式 2 1 差分模式【1 1 1 1 引理2 1 ( b - 4 - c + d + e = 2 a ) v 。 吉兰 吉兰；吉兰a ，。+ l + 。一e 。 。 = ，+ j a ，- + 2 一。，+ ：一d ，- + 。e 一。 。 。! ! 塑! ! 二! 二! ! 垫二! 二虫! ! 二! 二翌 b c d e 。兰三。，。兰d ，。一e 。 。 = - + j 一。，+ 2 一。，+ ：一d ，+ 。e 一。 。 。 + 2 k ) ( a b c ) ( n b d ) 一c d ) f a b ) ( a c l f o d l m b c d 1 5 ( 2 1 1 a ) ( 2 1 1 b ) ( 2 1 1 c ) ( 2 1 1 d ) ( 2 1 1 e ) ( 2 1 i f ) a b e l 分部求和法与经典超几何级数 2 1 1 d o u g a l l 完全匹配的终止型7 f 6 ( 1 ) 求和公式 对于任意五个复数，6 ，c ，d ，e ，满足条件1 + 2 a = b + c + d + e + f ，我们用 n ( o ；b ，c ，d ，e ，) 来表示下面完全匹配的超几何级数： 吣 c i d ，吖) ：= ，r 卜1 + ：经。土亲州0 o “忏f ，l1 首先给出下面的两组数列： ak= 岛= + n ，1 + e ， 1 ，1 + a e ，1 b ，c + n b ，1 + d 一 通过引理2 1 ，我们可以很容易地计算出它们的差分： v 钆= t a + 2 k 盼+ ：岛1 + ! - 工a 1 + - 。e + - 殂f 吼= 【2 + j 一6 ，2 + 0 c ，2 + n d ，一d ，1 + l + n e + e f ，1 jk ( 1 + n + 2 k ) o + 一6 一c ) ( 1 + 口一b d ) ( 1 + n c d ) ” ( 1 + o b ) ( 1 + o c ) ( 1 + o d ) ( 1 + 口一b c d ) 这时利用a b e l 分部求和法，我们来计算下面完全匹配的一般超几何级数 i l ( a ；，d i e ，) = 竿瞪 七2 0 = b k a k 知0 b ，c ，d ， e ，1 l + a b ，l + a c ，1 + o d ，l + a e l + a f jk = a k a b , k k o ( 1 + o ) ( 1 + o b c ) ( 1 + a b d ) ( 1 + 口一e d ) 2 ( 1 + a - b ) ( 1 。+ a - c ) ( 1 + a - d ) ( 1 + 。a - b - c - d ) 。可l + a + 百2 k 1 铲。0 o 啦亲正擞搿 。 这样，上式便转化为下面的递推关系式 f l ( a ；b ，c ，d ，e ，f ) = n ( i + o _ 6 ，c ，d ，1 + e ，1 + ，) 筹驾爿昌替高等篇 重复上面的运算m 次，我们便得到下面的变换公式 定理2 1 ( 完全匹配型变换公式：1 + 2 a = 6 + c + d + e + ，) n ( o ；b ，c ，d ，e ，f ) = n ( a + ”；b ，c ，d ，e + m ，+ m ) 6 七 七 1j 1j ， ， 一，+ 一 e + e ee + 一 o + 1 o + l 吐 1 ， 吐o ，一 + o l ，+ 岛 奎堡里三盔兰堡主兰垡堡奎 l + + 。a ，一1 a + ，a + - 。b 一- 。c ，, 。l + + 。a 一- a b ，- - d + , 1 0 + - 。b 一- c c - 一2 】。 当定理2 1 中的参量，：一m 时，我们就可以立即得到d o u g a l l 完全匹配的终止型 7 f 6 ( 1 ) 求和公式( 参考b a i l e y 9 ，4 3 1 ) 推论2 2 ( d o u g a l l 2 0 ) 1 + 2 a + m = b - + e + d + e ) ： t 晶 。，1 + 。a z 2 ，, ，+ ：一a ，+ 2 一。，。+ ：一面，+ 毒一。，。+ - 。m + 。i ， 1 + 口，1 + o b e ，1 + a b d ，1 + a c d 1 一1 1 + o 一6 ，1 + o c ，1 + 口一d ，1 + 口一b c 一圳仇 2 1 2 w h i p p l e 匹配的终止型6 b ( 一1 ) 求和公式 对于任惹的= 个复效n ，c ，e ，我们用o ( a ；c ，e ) 来表示下面匹配的一般超几何级 数； q ( 。；c ，e ) ：= 6 bl 吼1 + n a 2 2 ，, 1 + 。a 一。，1 + ：一e ，1 + a 2 c - ，1 + 2 c 2 a + - - 。一2 c 。- 8l 一1 1 首先给出下面的两组数列： 4 一1 + a ，1 + e ，2 + a 一2 c ， 2 c e 1 n 一 【1 ，1 + 口一e ，2 c ，2 + a 一2 c + e l 风= 1 + 2 a + - e 一2 c - ，e + n c , - c 2 2 c a 1 + 2 c ! e 堡托1 卜1 ) 。 一 【+ e 一，+ n c ， 一一 l 。l 一j 。 通过引理2 1 ，我们可以很容易地计算出它们的差分： v a = 竿 “1 , 1 + 。e 11 + 2 c 7 a - 红z 譬五乩， 风= 1 + 2 a 一2 e e ， e ， 2 + a 一2 c 十e 1 【1 + 2 c + e n ，2 + o c ， 2 c e j ! 二12 1 f ! 竺! 12 f ! ! 1 2 1 1 二! 1 2 ( 1 + o c ) ( 2 c + e o ) ( 2 c e 一1 ) 。 这时利用a b e l 分部求和法，我们来计算下面匹配的一般超几何级数： 嘛，e ) = 萎警雌，+ l 。+ 一a - 2 i c1 + 凇2 a 一- 2 c 。- 8 。 女2 0 。“ = b k v a k k 0 = a k & b k k o ( 1 + n ) ( 1 十e ) ( o e ) ( 1 + a c ) ( 2 c + e a ) ( e e e 一1 1 。篆筹阿z + 2 + a - ，2 q2 拼兹；譬 。 7 垒! ! ! 坌墅蔓塑望兰丝些望些盟塑墼 上式所表示的便为下面的递推关系式： n 扣；c ，e ) = q ( + n ；c ，z + e ) 刁_ f i ! ：；莲芋兰 ；兰毒禹 重复上面的运算m 次，我们便得到下面的变换公式 定理2 2 ( 匹配型变换公式) ： 嘶叫a + m ；c , e + 2 m ，【。世州，狸啦e 一- - a 。 。 在定理2 2 中，当e = 一 且满足n = 2 m + 6 和6 = 0 ，1 时，注意到f l ( a ；c ，一= 1 6 这时，我们便得到w h i p p l e 匹配的终止型求和公式 推论2 3 ( w h i p p l e 【5 0 ，e q 5 2 s 1 ) ： e 最 如1 + 。，a 。，2 , 。+ 。c , 一q 1 + a 。q - 2 c 1 + ：。2 a 一- 。2 一c 。+ ，n , 。+ - - 。n + 。f t = x ( n = 2 m ) m 1 2 , ，1 嘏( ，q 劫狻，l 刊+ a - 。- c j 2 c 。 当6 = 0 时，上式所表示的是c , 1 1 2 6 ，e q 1 9 5 1 利用w z 方法所得到的结果 2 2 差分模式 1 1 2 2 】 引理2 4 ( b + c + d + e = 2 1 ) 1 + c ， 1 + n e ， c 1 + o e ， 1 + 1 + 譬jk 1 + 警jk 坠型型兰笔 堕必 。二。，毒，乳 =1b o k 。岛，岛 。 、， + 3 女) ( n b c + k ) 一b d ) 一c d ) ( n b 1 陋一c 1 ( a d 1 一b c d ) 8 ( 2 2 1 a ) ( 2 2 。l b ) ( 2 2 1 c ) ( 2 2 1 d ) ( 2 2 1 e ) ( 2 2 i f ) 譬冬 1 1 i d d 以一 一 + d k 口 l + + 1 1 -【-_-1-l 可 = 大连理工大学博士学位论文 2 2 1 g e s s e l 的终止型6 f 5 ( 1 ) 求和公式 对于任意的三个复数n ，b ，d ，我们用n ( n b ，d ) 表示下面的一般超几何级数 晰n 瑙 n i 譬1 2 a ，一2 b , 吼一2 d , 杰1 + 渺2 a - 2 + b d - 丛i ， 首先我们给出下面的两组数列： 4 k b k 1 + 口，1 + 2 b ，1 + 2 d ，1 - 4 - n b d 1 l 1 ，1 + d b ，1 + d d ，1 + 2 b + 2 dj t 1 1 2 + o ，1 + 2 b + 2 d 2 0 一2 6 2 d i 【1 + 2 a ，o b d 1 2 + b - 4 - dj k 利用引理2 1 ，我们可以很容易地计算出它们的差分t d( 2 a + 3 ) ( 2 0 一2 b 一2 d + 七) r o ， 2 b ，2 d ， 口一b d1 v = j i 西i = j i = 忑虿广【1 ，1 + n b ，1 - 4 - n 二d ，1 + 2 b + 2 d j 七， 风= 等1 2 + a 揲吉劲i 磊捌。 这时利用a b e l 分部求和公式，我们计算下面的一般超几何级数。 咐加篆警骷麓，一2 b , 一2 d , d ，l + 2 a - 2 + b d - 纽 。 = 玩v m = a k x b k = 脚l + 2 a 4 一- 3 k 。r 1 抖1 恼2 + a 上式所表示的便为下面的递推关系式t 1 + 2 b ，1 + 2 d ，缸一2 6 2 d l 1 + 口一b ，1 + 8 一d ，2 + 6 + dj 。 q 1 6 ，回= f ! ( 1 2 + 口1 2 + b ，1 2 + d ) 重复上面的运算m 次，我们便得到下面的变换公式 定理2 3 ( 变换公式) ： n 恤；b ，d ) = n 缸+ m 1 2 ；6 + m 2 ，d + m 2 ) 当定理2 3 中的参量6 = 一m 时，我们就可以得到g e s 8 e i 的终止型6 f 5 ( 1 ) 求和 公式 推论2 5 ( g e 镕e l 2 6 ，e q1 9 4 a 】) ： 。忍r 譬1 ，意h 1 + 知2 一d 。+ 咖| 1 = ， 9 a b e l 分部求和法与经典超几何级效 这一求和公式是由g e s s e l 【2 6 1 利用w z 方法最先得到的 另外，我们还可以利用a b e l 分部求和法得到另一个终止型6 见( 1 ) 求和公式对 于任意的复数n ，c ，e ，我们用n ( n ；c ，e ) 来表示下面的一般超几何级数： n c ，e 卜e 晶 口1 1 + 摹弦。宅二荛举，峄- 2 e1 1 】 首先我们给出下面的两组数列： f 1 - 4 - n 1 + d - 4 - e ， 1 + c ， 1 + d 一2 c e1 k 2 l1 ，1 + 2 a 一2 c ，( 2 - 4 - n e ) 2 ，1 - i - 缸- i - e ) 2 + 。i 巩= i ，兹1 1 紫1 五捌弦。i 。 通过引理2 4 ，我们可以很容易地计算出它们的差分 w a k = a b k = ( 2 a + 3 k ) ( 2 c + k ) i 口，n + e ，c ， 口一2 c e i 夏磊一【i ，l + 2 a 一2 c ，( 2 + d e ) 2 ，1 + ( 口+ e ) 2 + c j 七 ( 2 + 2 a + 3 k ) ( 1 2 + c4 - e ) ( n 4 - e 一2 c ) ( 1 + 2 c ) ( 1 + d e ) ( n 一2 c e ) 。兹，。圪拦，1 右哗捌弦c 。 这时利用a b e l 分部求和法，我们来计算下面的一般超几何级数 咐= 薹警r 乏一- - 缸- a 咄- - c , 攀 = 风可以= a k a b k ( 1 + o ) ( 1 + 2 c - - 2 e ) ( 口- i - e 2 c ) 2 ( l 。+ 2 c ) 。( l + a - 1 e ) ( a - - 2 c 。- - e ) 磊丝2 - 4 - 型2 a 肾1 2 1 麓1 t 2 a 。二象1 攀，e 1 乳， 岛 【，+ 2 c ， + 一2 c 学，+ 譬j 七 上式所表示的为f 面的递推关系式， n ( n ；c ，e ) = f l ( 1 + a ；l + c , e ) 。百( 1 + 疆a ) 丽( 1 + 耳2 c 不+ 硕2 e ) 再( a + 珂e - 2 c ) 重复上面的运算m 次，我们便得到下面的变换公式 定理2 4 ( 变换公式) ： n ( 。；c = n ( 。+ m f c + m i e ) 1 1 髯：，1 f e - e + e 2 2 。c + - - a 。一- - 。e l 1 0 大连理工大学博士学位论文 当定理2 4 中的参量c = 一m 时，我们立即就可以得到g e s s e l 的6 f s ( 1 ) 求和公 式 推论2 6 ( g e s s e l 【2 6 ，e q ( 1 9 3 a ) 】) ： 。 e f 5 p拙届：-一2rn，12+a+m，,2a3 2 m 1 - 4 - 2 a2 m ( 1 麓) 2 ，( 2 + ：21 ”5 i， +，( + 口一e ) 2 ，( + 口一e ) 2 j =1苏1，t1+。a叫+e)2，2,1+(8(a叫+e)例24-1 1 。 一ll 2 ，l + 口e ，t + 口一) 2 ，+ ( 8 一e ) ，2 f 一 这一求和公式是最先由g e s s e l 【2 6 】利用w z 方法得到的 同时，当定理2 4 中的参量e = - - g t m 时，我们便可以得到另一个终止型的 6 f 5 ( 1 ) 求和公式 推论2 7 ： 。凡i o ，1 - 4 - 2 a 3 ， c 1 2 + o c ，一m ， 2 a - 4 - 2 r n l1 i 6 ，5 【2 0 3 ，2 c , 1 4 - 2 a 一2 c ，( 1 4 - 2 a - i - m ) 2 ，1 + o + m 2i l j i1 + 2 a ，c ，1 2 + 口一。i 一【1 2 + n ，2 c ，1 + 2 a 一2 c 。 利用a b e l 分部求和法，我们又得到了g e s s e l 的终止型7 晶( 1 ) 求和公式 对于任意的复数8 ，6 ，c ，d ，我们用f l ( a ；b , c ，d ) 来表示下面的一般超几何级数t n 硝= ，r p + 乳2 b , ，+ & 。苎1 胁- 2 州d , ，5 鼍竺1f ， 首先我们给出下面的两组数列， d r l + 2 a ，1 + 2 0 一4 b 一2 c ， 14 - c ， 1 + 2 , 1 “t 2 【l ，1 4 - 2 a 一2 c ，1 4 - 2 a 一4 b ，1 + 2 b 4 - c j 女 风= 【2 。一2 4 d 6 , 一2 。，1 2 1 + - 。2 d + , d ，1 1 2 一+ 2 。2 a + - 4 6 2 b + - 2 c c , i 1 + + 2 。b 一+ d c l j 。 通过引理2 4 ，我们可以很容易地计算出它们的差分 v a = ( 2 a 币+ 3 顼k ) ( 萌k - 瓦2 a 了+ 4 i b 云厂4 - 2 c ) r 2 a ，缸一曲一2 c ， c 2 b 1 【1 ，1 + 2 a 一2 c ，1 4 - 2 a 一4 6 ，1 4 - 2 自+ c jk 口 ( 2 + 2 a 4 - 3 k ) ( 1 + 2 a + ) ( o 一2 b c d ) ( 1 2 一o + 2 6 + c d ) 一。2 一 ( 1 4 - 2 a 4 - 2 d ) ( 1 + o d ) ( 1 2 a 4 - 4 b 十2 c ) 一2 b c ) 、， 2 d ，1 2 d ，1 2 + 2 a 一2 b c ，1 + 2 6 4 - c 1 5 1 1 4 - 2 a 一4 b 一2 c ，3 2 4 - a + d ，2 2 a 4 - 4 6 + 2 c ，2 - 4 - n di 。 这时利用a b e l 分部求和法，我们来计算下面的一般超几何级数： n ( 蚋，c ，d ) = 赢警1 2 1 i l a , 他2 b 啦, 。+ o 。，。”2 d , 吐。1 2 + - 。：2 “a , + 2 a 驴- 2 缸b c j 。 1 1 垒皇! ! 坌塑垄塑鲞皇丝墨塑些笪丝墼 = 风v a t = a t , ：& b k 七0 七三0 ( 1 + 2 n ) ( 1 + d ) ( o 一2 b c d ) ( 1 2 一a + 2 b + c d ) 一( 1 2 + n + d ) ( 1 + d d ) 一2 b c ) ( 1 2