（计算数学专业论文）偏微分方程曲面造型方法的若干问题.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 用偏微分方程( p o e ) 构造曲面是一种新兴的曲面造型方法。它由英国l e e d s 大 学的mi jb l o o r 和j w ii s o n 于上世纪8 0 年代末将之引入到c a g d 领域，其思想源 于将过渡面的构造问题看作一偏微分方程的边值问题。 与传统的曲面造型方法，如：c o o n s 曲面片构造方法、b 6 z i e r 方法以及b 样条 方法、n u r b s 方法等( 它们都是通过控制内点来达到控制曲面的目的) 不同，p o e 方 法却是通过参数、边界条件或者右端项来控制曲面。p d e 方法生成的曲面光滑，而且 求解偏微分方程也有许多成熟的方法，实现起来相对比较容易。 本文首先总结了国内外一些经典的由散乱数据实现曲面重建的算法，对p d e 曲 面造型的原理和应用进行了概述。接着，重点描述了一种根据偏微分方程曲面造型 的特点，利用? d e 方法进行散乱数据曲面重构的方法。 作为最具普遍性的曲面重建问题，散乱数据曲面重建无论在理论上还是在实用 上都有重要意义。散乱数据可以包括点，线，甚至曲面片。本文应用p d e 方法进行 散乱数据曲面重构方面的研究和数值实验。首先对散乱数据进行三角剖分，计算各 三角网格中每一顶点的法矢，然后计算各空间三角网格上的边界条件。最后，根据 确定的这些边界条件构造满足这些边界条件的偏微分方程，其解便是满足边界条件 并插值于三角形三个顶点的三角曲面片。整个过程中，关键是边界条件的确定( 方 程的求解已有差分、有限元等方法) 作者采用三次b 4 z i e r 曲线构造边界，避免了 曲于采用二次b 4 z i e r 曲线而产生的尖点，并利用顶点法矢构造边界上的跨界导矢。 最后，对重建方法的后续工作进行了展望。 关键词：p o e 方法，过渡曲面，自由曲面，p o e 曲面，n 边域曲面 偏微分方程曲面造型方法的若干问题 s o m eq u e s t i o n so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( p d e ) m e t h o di n s u r f a c em o d e l i n g a b s t r a c t i ti san e wm e t h o dt o g e n e r a t es u r f a c e sw i t hp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( p d e ) t h e m e t h o dw a si n i t i a l l yp r o p o s e da n dw a sl e a d e di n t oc o m p u t e ra i d e dd e s i g na n dc o m p u t e r g r a p h i c sb ym i jb l o o ra n dj w i l s o n , i nt h ee n do f1 9 8 0 s ，w h oa r ef r o ml e e d su n i v e r s i t y u kt h em a i ni d e ao fp d em e t h o di sr e g a r d i n gb l e n d i n gs u r f a c ea sb o u n d a r yp r o b l e mo f p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dt h es o l u t i o no f e q u a f i o ni sw h a tw e n e e d t h ep d em e t h o dw a sd i f f e r e n tf r o mt h ec o n v e n t i o n a lm e t h o d s n l ec o n v e n t i o n a l m e t h o d s ，s u c ha sc o o n ss u r f a c em o d e l i n gm e t h o d , b 6 z i e rm e t h o d ，b s p l i n em e t h o da n d m 7 i b sm e t h o d , m o d i f i e dt h es h a p eo fs u r f a c eb yc h a n g i n gc o n t r o lp o i n t s w h i l et h ep d e m e t h o da a j u s t sp r o p e rc o e f f i c i e n t sa n db o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dt h er i g h tt e r m so nt h er i g h to f p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n n l es u r f a c eg e n e r a t e dw i t hp d em e t h o di ss m o o t h , a n di ti se a s yt o s o l v ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nf o rt h e r ea r eal o to f a r i t h m e t i cm e t h o d st os o l v e i t t h i sp a p e rc o l l e c t ss o m ec l a s s i c a la l g o r i t h m so fs u r f a c er e c o n s t r u c t i o na n dd e s c r i b e st h e p r i n c i p l e so f t h ep d e m e t h o df o rs u r f a c e sm o d e l i n g t h e nt h ea u t h o rd e s c r i b e sa r ta l g o r i t h mo f s u r f a c er e c o n s t r u c t i o nb a s e do nt h ep d em e t h o d t h et e c h n i q u eo fs u r f a c er e c o n s t r u c t i o nf r o mu n o r g a n i z e dd a t ai sv e r yi m p o r t a n tb o t h t h e o r e t i c a l l ya n dp r a c t i c a l l y n l ed a t as e tm i g h tc o n s i s to f p o i n t s c u r v e sa n d o rs u r f a c ep a t c h e s n ef i r s ts t e po ft h ea l g o r i t h m si st oc o m p a r t m e n t a l i z et h er e g i o no fu n o r g a n i z e dd a t at ob e t r i a n g u l a rm e s h e s ，t h e nc o n f i r mt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n so f e a c hd o m a i n w ec a nc h o o s et h e t y p eo fe l l i p t i cp d et h a ts a t i s f i e da l lt h e s ec o n d i t i o n s ，t h es o l u t i o no fe l l i p t i cp d ei sw h a tw e n e e d n ec r i t i c a lp o i n t ，i nt h ew h o l ep r o c e s s ，i st oc o n f i r mt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n so f e a c h d o m a i n ( w ec a nu s et h ed i f f e r e n c e m e t h o da n dt h ef m i t u d ee l e m e n tm e t h o dt os o l v ee q u a t i o n ) t h ea u t h o ra d o p tc u b i c - - b 6 z i e rc u r v et oc o n s t r u c tb o u n d a r y w h i c ha v o i d sp r o d u c i n g s i n g u l a rp o i n tw h e na d o p t i n gq u a d r a t i cb 6 n e rc h i v e ，a n dc r e a t et h ec r o s s - b o u n d a r yd e r i v a t i v e v e c t o ro nb o u n d a r y 晰mt h en o r m a lv e c t o r f i n a l l y ，t h ea u t h o rs u g g e s t st h ef u t u r ew o r k t od oi nr e l a t e dr e s e a r c hf i e l d s k e yw o r d s ：p d em e t h o d ；b l e n ds u r f a c e ；f r e e - f o r ms u r f a c e ；p d es u r f a c e ；n - s i d e s p a t c h e s 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 大连理工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一。同工 作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢 意。 作者签名：鲎生、 日期： 偏微分方程曲面造型方法的若干问题 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 t 堙 作者签名： 穗 导师签名 刎年幽卫日 一3 8 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 引言 曲面造型( s u r f a c em o d e l i n g ) 是计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i c d e s i g n ，c a g d ) 平 i 计算机图形学( c o m p u t e rg r a p h i c s ) 的一项重要内容，主要研究在计 算机图形系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。随着c a d c a m 技术的迅 猛发展，曲面造型技术在产品设计中的应用臼益广泛。近年来，以n u r b s 曲面为代表 的自由曲面造型技术已经成为多数c a d c a m 软件的核心技术之一。这一技术的出现 无疑为人们在计算机内部进行创造性的外形设计提供了极大的可能性。然而随着c a d 技 术的发展和日益普及，人们对几何造型技方法也提出了越来越高的要求。相继的，不断 有学者提出新的方法，p d e 曲面造型方法方法就是其中之一。 另一方面，对于那些本来就以实物为制造基础的产品，为了使它们有可能在设计和 制造过程中充分利用c a d c a m 等先进的设计与制造技术，又必须将现实世界的形 体，在一定的精度内，准确地重建于计算机内部。如果需要导八计算机内部的实物具有 平面或圆柱面等简单而规则的表面，则在计算机内部重建这一形体并不复杂。但是，如 果需要导入计算机内部的实物具有相对复杂或自由的曲面外形，则重建这一形体己被实 践证明是一个比较复杂的问题。例如：对于航天和汽车领域中的机身或车身外形等一些 自由曲面，其数学模型很难建立，不可能靠人工绘图的方法拟合出原来的曲面，只能对 模型表面进行数据测量，重构曲面。这实际上是个反向工程的问题。反向工程技术是随 着计算机技术的发展和成熟以及数据技术的进步而迅速发展起来的- - 1 新兴学科与技 术。它为产品的快速开发以及快速原型化设计提供了一条新的途径。三维重建是反向工 程中最重要的问题，也是反向工程研究中的热点。 三维重建就是从表示物体三维属性的采样数据集中构建出合理的三维自由曲面。三 维重建技术在艺术品及考古文物复制、假肢制造以及仿生外形设计等领域都是不可或缺 的支撑技术。此外，在科学计算于工程分析可视化、地形地貌分析、地质地矿分析、医 学诊断、气象预报等领域，三维重建也有相应的应用。 偏微分方程曲面造型方法的若干问题 1 2 散乱数据三维重建方法综述 一般情况下，三维物体形状的数据都是通过物体形状测量设备获得，这些数据点 集可分为两种形式：散乱数据和结构数据。散乱数据仅包含点在空间的位置信息，数据 分布没由规律，有时也称为“点云”，重构时没有任何附加信息可以利用，是最通用的 数据形式：结构数据除了含有点在空间的位置信息以外，还含有其它附加信息，如由 c t 、m p d 等采集的数据，数据点之间在重构时有邻接关系等拓扑信息可以利用。本文 研究的对象是散乱数据。 从待建曲面上测取一系列的离散样点并将其输入计算机，再从这些样点出发，完成 实物表面的重建，这样一个曲面重建的问题，我们称之为散乱数据曲面重建，根据重建 曲面和采样点集之间的关系可将三维重建分为两大类：插值法和逼近法。用数学术语描 述为： 对区域d 上给定的散乱分布的型值点毛= ( ，* ) ，f = l ，2 ，n ，求定义于区域d 上的某函数空间中的函数z ( x ，y ) ，使得 z ( 一，y ，) = t ，i = 1 ，2 ， ( 1 ，1 ) 或者按最小二乘意义，使得 口。( z ( t ，y 3 - z 3 2 = m i l l q ( 向( 薯，m ) 一弓) 2 ( 1 | 2 ) 若还己知给定点处的偏微商d 2 z 或方向导数d k , z , ， = ( ， ) ，丑o ，i = l ，2 ，k 0 ，m = ( _ ，h 2 ) 时，则在( 1 1 ) 上还要附加相应的条件 d 。z ( x 。，y f ) = d 。2 。 或 磷z ( t ，m ) = 谚毛 ( 12 ) 也要相应的修改为 口，o ( ，儿) 一互) 2 + ( d 2 z ( t ，咒) 一d 。) 2 + i 蛐1 ( 研z ( ，y 。) 一磷0 ) 2 = r n i n 其中。4 = 害若，研= ( 强瓦0 + 言r 2 一 大连理工大学硕士学位论文 一般来说，重建的曲面并不是唯一的，这就要求我们寻找局部最接近散乱点的曲 面。 散乱数据曲面重建一般需要三个步骤。 1 拓扑重建拓扑重建作为曲面重建的第一步，其任务是重建各样点之间的拓扑 关系。重建的结果是得到与原曲面拓扑等价的多边形网格，最常采用的是三角形网格。 这一点是曲面重建的关键步骤，也是难点和研究热点。 2 网格优化网格优化从拓扑重建生成的多边形网格出发，在保持拓扑不变和几 何精度许可的前提下，构造一个质量更高或规模更小的网格，为后续处理提供便利，它 并不是必需的。当样点规模较小或需要构造插值样点的几何重建时，优化就不必了。 3 几何重建几何重建从优化后的多边形网格出发，重建光滑的曲面以近似的再 现原曲面。几何重建可以看成是一种特别的曲面造型技术，即从多边形网格出发构造插 值或逼近的光滑曲面的造型技术。一般采用参数曲面的方法。作为曲面重建的最后一 环，这一技术得到了相当深入的研究。 近年来，随着计算机技术、数据测量及处理技术等的长足进展，作为三维中比较 有挑战性的工作，散乱数据曲面重建技术也得到了迅猛发展。根据重建曲面的表现形式 不同可以将重建方法分为以下几类： 1 参数重建 长期以来，参数曲面一直是描述几何形状的主要工具，它起源于飞机、船舶的外 形放样工艺，由c o o n s 、b e z i e r 等大师于上世纪6 0 年代奠定其理论基础。n u r b s 曲面 已被作为工业产品数据交换的s t e p 标准，也作为描述工业产品几何形状的唯一数学方 法。1 9 9 6 年e c k 等人提出了用b 样条曲面对任意给定拓扑网格进行重建的方法。1 9 9 7 年c m o 提出了一种具有任意拓扑形状的参数三维重建方法，他首先构造简单曲面m 使 之反映出原曲面的拓扑结构，然后在此基础上重建出一曲率连续的参数曲面作为重建曲 面。f l o a t e r 提出一种新的b 一样条曲面三维重建方法。它通过将原始数据点投影到平面 参数域上进行参数化后，用b 一样条曲面对原始数据点进行最小平方逼近，所得到的曲 面就是重建曲面。作为描述几何形状的主要工具，参数三维重建是最常见的曲面重建方 法。 2 隐式重建 在数学和科学计算中，通常也用隐式曲面来定义几何物体，不等式f ( x ，y ，z ) 0 描 述了空间中的半空闻，等式f ( x ，y ，z ) = 0 可定义为该半空间的边界，这种曲面表示方法 一3 一 偏微分方程曲面造型方法的若干问题 在几何造型和图形学中也得到了诸多的应用。参数化表示具有许多优点，如计算曲面的 几何量简单，曲面的显示方便等优良性质等。然而，在另外一些几何操作，如判断一个 点是否载曲面上以及在哪一侧时，参数表示曲面极为不变，但隐式化表示给这些操作带 来了极大的方便，同时，隐式化表示在曲面求交方面也有极其重要的应用。因此，在三 维重建中，也越来越多的使用曲面隐式化表示。m u m k i 在1 9 9 1 年进行的人头三维重建 中，借助势函数的概念，提出了用网格隐士曲面作为工具进行三维重建的方法。1 9 9 5 年，s a p i d i s 等给出了基于区域增长的多项式三维重建方法，用数目尽量少的具有 _ ，【。，弘2 ，表示形式的函数曲面片来逼近三维采样数据点。2 0 0 t 年，c a r r 等人提出了用 多项式径向基函数( r b f ，r a d i c a lb a s i sf u n c t i o n ) 重建曲面的方法。z h o u 等人提出了 一种用带指数函数的超二次曲面进行三维重建的方法。 3 变形重建 这种方法先定义一封闭曲面，然后对其进行变形，使其逐步与数据集吻合，即在 内力( 各种平滑条件、曲率约束) 、外力( 数据分布) 作用下，使能量达到最小。t u r k 在 8 中提出了一类利用二维物体隐式变形技术对接片数据进行三维重建的方法。它的数 据点来源于医学图像的c t 切片，通过建立各切片问的过渡曲面来实现整张曲面的重 建。 4 网格重建 网格曲面由h o p p e 于1 9 9 2 年提出。通过各采样点的局部信息自动计算各点处的法 向信息，用切平面线性逼近待建曲面的局部模型，建立离散点集的距离函数，然后利用 实现等值面抽取的m c ( m a r c h i n gc u b e ) 算法的到它的三角面片逼近曲面，并以此曲面 作为所需的重建曲面。a m e n t a 等提出了一种基于v o r o n o i 图的网格三维重建算法。 b r a d l e y 提出了一种依赖于种子增长的网格三维重建算法。网格曲面作为一种曲面表示 形式具有简单、统一的优点，己成为一种重要的曲面表示方法。 5 细分重建 细分曲面是一类采用组成曲面的多边形网格的点、线、面及拓扑信息完整的描述 曲面。它从初始多边体网格开始，按照某种规则，递归的计算新网格上的每个顶点，这 些顶点都是原网格上相邻的几个顶点的加权平均。随着细分的不断进行，控制网格被逐 渐磨光，在一定的细分规则下，细分无穷多次后多边形网格将收敛到光滑曲面，细分 曲面的最大优点就是算法简单，并且几乎可以描述任意复杂的曲面。h o p p e 等人提出了 用细分曲面进行三维重建的方法。 d 大连理工大学硕士学位论文 实际上还有其它的散乱数据曲面重建的方法，如根据神经网络技术进行重建等 等。 1 3p d e 曲面造型方法的发展现状 p d e 曲面造型方法由l e e d s 大学的b l o o r 等人于上世纪8 0 年代末将之引入c a g d 领 域。其思想起源于将过渡面的构造问题看作一偏微分方程的边值问题，而后发现使用 该方法可以方便地构造大量实际问题中的曲面形体。b l o o r 和w i l s o n 在文献 1 中详细 讨论了用调和方程、类双重调和方程生成过渡面的方法。随后他们在文献 3 中讨论了 生成自由曲面的p d e 方法，绘出具有周期边界条件的解析解方法。并将p d e 方法应用于 功能曲面设计中，比如船体、螺旋桨叶片以及电话机手柄等复杂曲面。另外，在文献 2 中，他们还讨论了n 边域曲面的p d e 方法。这些都为后来的学者开创了一个研究领域。 自b l o o r 等人于上世纪8 0 年代末将p d e 方法引入c a o d 领域，国内外的学者就p d e 方法的基本理论和应用进行了有益探讨。1 9 9 2 年至1 9 9 3 年间，m i t 完成了用p d e 构造 自由曲面的研究。类似的工作亦在m i c h i g a n 大学进行并已加入i m a g e w a r e 的 “s u r f a c e r ”模块中。国内，北京航空航天大学制造工程系的朱心雄教授等人 9 1 3 成 功的将p d e 复杂曲面造型应用于各个领域。朱心雄在自由曲线曲面造型技术一书中 还给出了一种构造n 边域曲面的方法，该方法避免了b l o o r 等人构造n 边域曲面时的一 些缺点。谭永基等人 8 探讨了曲面交互设计时如何通过控制参数来达到控制曲面的目 的，指出p d e 曲面设计的便捷性。台湾的z i c a il i 等人 1 4 一1 6 给出了p d e 曲面造 型中处理周期边界条件的边界惩罚有限元法，并详细讨论该方法的误差估计、收敛性及 稳定性。他不仅考虑了方程的边界条件、形状参数，还考虑了方程的右端项对生成曲面 的影响。 总之，由于某些偏微分方程解的光滑性，可以用p d e 方法构造出较传统造型方法有 着更良好光顺性的曲面，而且用p d e 方法构造曲面方法简单，引进的参数少，便于形状 控制，所以p d e 方法在几何造型上有着极为广阔的应用前景。 偏微分方程曲面造型方法的若干问题 1 4本文的结构 全文的组织结构如下： 第一章即本文的绪论部分，对国内外关于散乱数据曲面重构的方法和p d e 方法的 原理和应用进行了综述。 第二章介绍了p d e 曲面造型方法的原理及几个应用的方面，和在这几个领域取得的 进展。 第三章简单描述了用p d e 曲面造型方法进行散乱数据曲面重构的过程，对其优缺点 进行了评述。 最后是结论和对将来工作的展望。 6 一 大连理工大学硕士学位论文 2偏微分方程( p d e ) 曲面造型方法 p d e 曲面使用一组椭圆偏微分方程产生曲面，由l e e d s 大学的b l o o r 等人于8 0 年代术将之引入c a g d 领域。其思想起源于将过渡面的构造问题看作一偏微分方程的边 值问题，而后发现使用该方法可以方便地构造大量实际问题中的曲面形体。他们探索 了p d e 方法在构造过渡面、自由曲面及n 边域中的应用。同时也探索了这种方法在功 能曲面设计中的应用。船体、飞机外形、螺旋浆叶片等外形都可由p d e 方法构造。 2 1 偏微分方程构造曲面的基本原理 实际应用中，我们通常是在三维欧几里德空间构造一张曲面。设 x ( u ，v ) = ( x ( u ，v ) ，y ( u ，v ) ，z ( u ，v ) ) 表示曲面上的点，参数( “，v ) 可看作平面区域q 中的 点，x 可以视为由q 到三维空间r 3 的映射x ：q - - r 3 。当“，v 为常数时，曲线就定义 了曲面的坐标系。 一般来说，用偏微分方程曲面造型方法生成曲面是通过解参数平面( “，v ) 上适当选 取的偏微分方程来给出曲面的方程。假设所求曲面x = x ( u ，v ) 满足偏微分方程： 瑶，( x ) = r ( u ，v ) ( 2 1 ) 其中l , 7 。表示以“，v 自变量的m 阶偏微分算子，f 表示以“，v 为自变量的矢值函数。对 偏微分方程的选择并没有什么特殊的限制，但到目前为止，在曲面几何造型中仅考虑椭 圆型偏微分方程的边值问题。然而，到目前为止用偏微分方程进行曲面设计时，人们常 采用如下形式的椭圆型偏微分方程： ( 芝+ 口2 鲁) “z = 厂( ) ( 2 2 ) a “o v 其原因可归结为： 1 只要边界条件足够光滑，则构造出的p d e 曲面是光滑的； 2 该类型的方程有其相应的物理意义； 3 许多学者在研究散乱数据插值、图像处理、曲面光顺及自由曲面造型时采用 了该类型的变分形式。 7 偏微分方程曲面造型方法的若干问题 而方程的阶数选择是根据对函数本身及其在边界上的条件的个数来确定的，例如要 求边界上满足函数及其一阶导数条件时，则选择四阶偏微分方程，而要满足二阶偏导数 条件时则要选择六阶偏微分方程。x 的边界条件确定曲面片边界曲线的形状，同时也确 j y 定其参数化过程。二的边界条件确定曲面离开边界曲线的方向和速度。 o n 然而，到目前为止用偏微分方程进行曲面设计时，人们通常采用如下形式的类重调 和方程： ( 可0 2 + a 2 罢) z x ：m ，v ) j 万石_ ) 2 八“，” ( 2 3 ) 其中b l o o r 等的文献以及国内的一些文献中，通常将右端项厂( 地v ) 取为零，而仅 通过调节形状参数a 及边界条件来达到调节生成曲面形状的目的。然而，由于重调和方 程有其实际的物理意义，它描述了薄板的弯曲程度，方程的解表示位移，因而我们可以 利用f ( u ，v ) 直观的改变薄板的弯曲程度，在我们研究的问题中贝调节了生成曲面的形 状。在z i c a il i 等人的文献中研究了右端项非零的情况，并给出了一些数值例子说 明了调节右端项f ( u ，v ) 对所生成的曲面形状的影响。值得指出的是j 方程( 2 2 ) 中的 偏微分算子表示了一种光滑化过程，即曲面内任意点的函数值是其沿边界的某种意义下 的平均，所得曲面是边界曲线之间的光滑过渡。参数控制着两个参数方向的相对光顺 率。参数a 控制着两个“，v 参数方向的相对光顺率。 假设p d e 曲面为管状的。那么我们可以考虑如下的具有一类周期边界条件的类重 调和方程的边值问题： m 20 2 ( 寺+ a 2 寺) 2 脚= 0 ，f 2 = o 甜 1 ，o v 2 石) ( 2 4 ) 周期边界条件为： i x ( o ，v ) = g o ( v ) ，( 1 ，v ) = g ( v ) 鼍( o ，v ) = s o ( v ) ，以( 1 ，v ) = s 。( v ) ( 2 5 ) i x ( u ，0 ) = x ( u ，2 万) 式中x ( u ，v ) 为所求曲面，g 0 ( v ) 和g l ( v ) 为给定的边界曲线s o ( v ) 和s ( v ) 为对应边 界曲线处的法向量值，口为光滑参数。 通过分离变量法求得如上边值问题( 2 4 ) 和( 2 5 ) 的形式解如下： x ( “，v ) = 4 ) + ( 4 ，( u ) c o s h v + e ( u ) s i n n v ) ( 2 6 ) 一8 大连理工大学硕士学位论文 其中 f a o ( “) = 嘞。+ 嘞【“+ 2 “2 + 口0 3 “3 4 ( “) = ( 口。1 + a n 2 “) e x p ( a n u ) + ( a n 3 + 4 u ) e x p ( 一g n u ) i 最 ) = ( “1 + “2 u ) e x p ( a n u ) + ( “3 + 以4 u ) e x p ( 一口n “) 具有如上形式的解称为周期解或闭带解，式中4 ( “) 、以( u ) 、e ) 的系数由方程 的边界条件确定。由解的形式可以看出p d e 方法生成的曲面是由曲面参数的超越函数表 示的。因而所得曲面是光滑的，并依赖于参数的选择。上述形式解具有一定的理论意义 在某些特殊的条件下( 如边界条件仅含有有限项f o u r i e r 级数) ，可以求得形式较为简单 的解对于较为复杂的边界条件，用上述形式解去计算将会遇到一些困难，此时需要用数 值方法求解。 显然，若要用上述方法作为一种设计工具，那么我们就有必要了解边界条件及方程中 的有关参数是如何影响曲面的几何性质的边界曲线的选取虽然是任意的，但却很直观。 我们主要来分析下边界跨界导矢和形状因子a 是如何影响曲面的形状的。 若边界条件中的g 0 ( v ) ，g 1 ( v ) ，s o ( v ) 和s 1 ( v ) 为常向量，那么形式解中将只含有 a o ( u ) ，它表示位于g o ( v ) 和g i ( v ) 之间的一条参数u 的三次多项式，一般称为曲面的脊 线。 对于一般的边界条件，f o u r i e r 系数4 ，( “) 和e ( u ) 将不再为零。若边界条件和跨界 导矢只含有第一频率项，则解也只含有第一频率项，即解有如下形式： g ( u ，v ) = a o ( “) + ( 爿l ( u ) c o s v + b i ( u ) s i n v ) 此时边界曲线是广义圆锥曲线，两圆锥曲线的中心分别位于4 ( o ) 和4 ( 1 ) 。则此时 的解曲面在两边界曲线之间形成一个光滑的过渡面。由前面的解释得知4 ( “) 表示位于 a d o ) 和4 ( 1 ) 之间的三次多项式脊线。x ( u ，v ) 可看成圆锥曲线在空间中的扫成面，这 些圆锥曲线的中，心位于鼻 ) 。我们知道，圆锥曲线的形状是其在空间的位置函数，过 脊线上任意一点的圆锥面可由其法向量( 4 ( “) 尽( “) ) 来定义。因此曲面上一点的位置 向量x ( u ，v ) 可看作由脊向量4 ( u ) 和一个“半径”向量( a , ( u ) e o s v + b 。( u ) s i n v ) 的和， 其中脊向量4 ( “) 确定了曲面的三次多项式脊线的位置， “半径”向量 ( a ，( u ) c o s v + 蜀( u ) s i nv ) 确定了x ( u ，v ) 相对于脊线的位置。 假定我们进一步修改边界条件，使其具有第二频率项，则解将具有如下形式： 9 偏微分方程曲面造型方法的若干问题 2 x ( u ，v ) = 4 ( “) + ( a ( u ) c o s n v + b ( u ) s i n n v ) n = i 此时向量x ( u ，v ) 可描述为由脊向量4 ( “) ，主“半径”向量( 4 ( “) c o s v + 且( “) s i n v ) 和 第二“半径” 量：( 4 ( u ) c o s 2 v + b 2 ( u ) s i n 2 v ) 组成。 依次类推，当边界条件中出现更高频率项时，解的表达式中也出现同样高的频率 项，由此可知，曲面的形状依赖于边界条件。 2 2 用p d e 方法构造过渡曲面 在工程设计中，根据某些特定的条件来生成曲面是个基本的任务。在具体问题中， 这些条件可以是下列三类中的一类或几类： 功能上的限制 实际生产上的限制 美学的角度 我们可以称满足既定条件的曲面为过渡曲面，当然这种对过渡曲面的定义是很粗糙 的。在数学上，过渡曲面可以视为如下问题的求解：给定边界为a q 的有界区域q 求解 在该区域q 上满足给定边界条件的函数( 曲面) 。典型的边界条件是以x 及其偏导数 在a q 上的值的形式给出。给定的偏导数的阶数取决于过渡曲面和被连接曲面问的连续 阶的要求。此外，对过渡面还可以作进一步的限制，如：光滑、不振荡及与原实体不相 交等。 p d e 几何造型方法最初的应用就是用来构造过渡面，一般可由偏微分方程的边值问 题得到。这种方法简单易行，只要选定原型曲面上的过渡线并计算出过渡线处原型曲面 的跨界导矢，就可用偏微分方程方法构造出所要求的过渡面，同时可通过调整跨界导矢 的长度( 为保证g c l 连续性，不能调整跨界导矢的方向) 或者光滑参数口来调整过渡面的 形状。如果过渡线和跨界导矢可表示为一个参数的三角多项式( 周期函数) ，则过渡面可 用解析公式求出。与其他方法相比p d e 方法比较简单，而且生成的曲面光滑，如构造两 个不相交椭球之间的一阶连续过渡面，需要事先确定两个椭球上的过渡线以及沿过渡线 的跨界导矢，就可以通过求解偏微分方程得到所需要的过渡面。需要指出的是，随着所 求过渡面连续阶数的提高，偏微分方程的阶数也随着提高，比如，过渡面二阶连续时， 应该采用六阶偏微分方程，依次类推。 一1 0 大连理工大学硕士学位论文 用求解偏微分方程边值问题的方法来构造过渡曲面，其具体步骤如下： 1 根据过渡曲面与原曲面之间的连续阶来确定合适的椭圆型偏微分方程。例如： 若要两曲面之间进行g c l 拼接，可采用四阶椭圆方程： 3 2j 2 ( 击+ 鲁) 2 z ( “，v ) = 0 吲 若要两曲面之间进行g c 2 拼接则采用六阶椭圆方程： a 2j 2 ( i + - ) 3 z ( ) ；0 a “c 叩 2 确定所需的过渡曲线，把过渡曲线作为过渡曲面的边界，然后根据偏微分方程 的阶数以及原曲面来确定应采用什么样的边界条件以及相应的边界条件值。 例如：对四阶椭圆型方程，可采用未知函数在边界线的值和一阶偏导数值作为 边界条件；而对于六阶椭圆偏微分方程，再加上未知函数在边界线上的二阶导 数值作为边界条件。 3 通过解析方法或数值方法求解偏微分方程来产生此过渡曲面。 下面用实例来说明如何通过求解偏微分方程来构造所需的过渡曲面。 构造g c 。连续的过渡曲面 1 半圆闻过渡面的构造 我们先看一种比较简单的模型：假定参数“和v 分别为欧几里德空间中的x ，y 坐 标，待生成的过渡面以( x ，y ) 平面上的高度：来表示，即：z = z ( x ，y ) 。我们是想在区域 q = f ( x ，y ) l o - x s 4 ，o y 4 ) 上求得z ，使其满足如下边值条件： 偏微分方程曲面造型方法的若干问题 z 恤，u j = 0 ， z ( x ，0 ) = ( 1 一( 工一2 ) 2 ) 只， z ( t o ) = ( 1 4 一( x 一) 2 ) 咒， z ( x ，4 ) = ( 一( 工一必) 2 ) 必， z ( l 4 ) = ( 一( z 一) 2 ) 必， z ( o ，y ) = 0 ， z ( 4 ，y ) = 0 ， o x 1 1 x 3 3 x 4 0 z 1( 2 7 ) l x 兰4 0 y 4 0 y 4 由于只要求g c o 连续，所以我们可以采用如下的调和方程： a z ( x ，y ) = 0 用差分法( 采用五点差分格式) 求解，可得所求的过渡曲面如图( 2 1 ) 图2 1 由于调和函数具有很好的光滑性，所得过渡面也很光滑。改变边值条件，用类似的 方法可以获得很多具有单值性质的曲面。 一1 2 一 大连理工大学硕士学位论文 构造g c l 连续的过渡曲面 由于要求g c l 连续，所以我们可以采用如下的四阶椭圆型方程 寿材导归v ) - o ， x ( u ，v ) = f ， o x ( u , v ) ：。 锄 ” 加q o l l a q( 2 8 ) d n a q 其中触是q 的边界，胛为弛的单位外法向量，厂和g 是边界上给定的函数，用以保 证曲面的连接条件和光华性条件的满足。 1 两圆柱面之间过渡面的构造 管状曲面是一类以柱面为主体，在柱面与柱面之间利用过渡曲面进行光滑拼接的曲 面。他们主要以两个垂直柱面为主体，然后进行光滑拼接。 假设两圆柱面的方程分别为x 2 + y 2 = 2 和y 2 + z 2 = 碍，过渡面与该两圆柱面的交 线分别为x 2 + y 2 = r t 2 , z = 墨和y 2 + z 2 = ，x = 。则其参数化方程为： f x ( o ，v ) = c o s v ，y ( o ，v ) = _ s i n v ，z ( o ，v ) = h i l x ( 1 ，v ) = h 2 ，y 0 ，v ) = r zs i n v ，z ( 1 ，v ) = c o s y 根据一阶连续的过渡条件，可得法矢条件如下： i x u ( o ，v ) = o ，儿( o ，v ) = 0 ，z 。( o ，v ) = 五 【x o ( 1 ，v ) = s 2 咒( 1 ，v ) = 0 ，z u ( 1 ，v ) = 0 另外，还得加上周期边界条件 x ( ，0 ) = x ( ，2 厅) ，y ( u ，0 ) = y ( u ，2 j r ) ，z ( u ，0 ) = z ( u ，2 7 r ) ( o 兰“兰1 ) 易知，可根据上节讲述的解析方法求得解析解，满足上述方程和边界条件的解可以 表示为如下形式： x ( u ，v ) = ( 3 h 2 5 2 ) “2 + ( s 2 2 皿) “3 + 管( h ) c o s v y ( u ，v ) = 群( u ) s i n v z ( u ，v ) = ( + 3 q ) ( “一1 ) 2 + ( + 2 h 1 ) ( “一1 ) 3 + 4 i ( “) c o s v 式中的系数可由边界条件确定。下面我们给出上述方程组的差分解法。 1 3 偏微分方程曲面造型方法的若干问题 图2 2 圆柱面之间g c l 连续的过渡曲面 上述方程组的求解实质可归结为求解三个拟重调和方程。事实上，我们只需要如下 拟重调和方程的求解： 寿材2 m ，v ) 扎 f ( 0 ，v )= ( v ) f ( 1 ，v )= 吼( v ) 工( o ，v )= 纯( v ) 工( 1 ，v )= 西( v ) f ( u ，0 )= f ( u ，2 石) “( o ，1 ) ，v ( o ，2 n ) v ( o ，2 7 r ) v ( o ，2 石)( 2 9 ) v ( 0 ，2 n ) v ( 0 ，2 a - ) “( 0 ，1 ) 由于任意一个矩形 巴= t ，一+ a x ；y j ，y j + 缈 = ( 五y ) i 一z + k x ；y j y y j + a y 都可以通过仿射变换 孝义一，叩少一 转化为单位正方形i = o ，l l x o ，1 1 4 堑堡王奎堂堡主堂垡堡奎 故可取方形网格，取步长而= 二将区间 0 ，1 等分，则离散网格点为 ( “，v ，) ，i ，j = o ，1 ，2 ，聍。先将方程离散化，方程的表达式为： 掣化4 帮“挈= 。 我们采用中心差分近似，以，表示，( “，v ) 在( “，v ，) 处的值，对f ，：2 ，3 ，月2 有 ! ! ： ，n ，一4 ，“，+ 6 z ，一4 a ，+ 正u ! ! 兰：【z 。+ ：一4 z ，“+ 6 z ，一4 f , ，+ 。： o v 4h 4 1 妥： 厶川一2 a 一+ z 州一2 ( z 州一2 五，+ 毛一，) + 丘。- 2 f _ u + 矗川】 c 。c i v 一 h 4 代入原方程可得： (6+：8。a2+川6a+4)zj一-4+(1+a2)(+f厶+lj+2a二0 乞冀蔓篡耘二：j z 护0 c 2 2 ( 厶u + l + 丘i ，i + 正+ 1 + 兀l ，一1 ) + z 乜，+ 2 ，+ 口4 ( z j 2 + z + 2 ) = 上式对内节点f ，= 2 ，3 ，n - 2 成立。由于问题的解对v 具有周期性，该差分方程对 仁2 ，3 ，n 一2 ，= 0 ，1 ，月一i 成立。仅当下标不在 0 ，n l 范围内时，才需对下标取模为 月的运算，如当= 0 时，一1 = 疗一1 ，一2 = 甩一2 等。由此可得到力0 3 ) 个方程。 设厂( “，v ) 对应的边界条件为 f ( o ，v ) f ( 1 ，v ) 工( o ，v ) 工( 1 ，v ) 厂( “，o ) = ( v ) = 红( v ) = 丸( v )( 2 1 2 ) = 以( v ) = f ( 甜，1 ) 为了与方程的离散误差相同，将“向节点各向外延伸一排，即f 可以等于一1 和。+ l ， 并设方程对f _ 1 和i = ”一1 成立。 对剐，气乒砘，即厶，：z , s - 2 h 虬 对z = 挖，訾= 珐，目吐，= 工吐，+ 2 破， 将以上两式分别代a i = 1 和i = n 一1 的差分方程并利用边界条件便可得到 1 5 偏微分方程曲面造型方法的若干