（基础数学专业论文）一类整函数的唯一性.pdf

云南师范大学硕士学位论文 攘要 本文擞要研究亚纯函数论中两个方面的内容荫先探讨了擞函数的唯一憔问 惩，露一炎缀较，l 、豹整添数，褥到鞠下绩采： 定理1 设，与g 魑两个超越整函数，若，与g 有2 个有穷的i m 分担值，且 满足磊墅嬖丝篓盆。心，则，。g ，一+ 。 i o g r 定理2 设，与g 是两个非常数熬函数，一t i l 若，与譬有2 个有穷的i m 努整篷，剜，t 苫。 其次讨论了w b e r g w e i l e r 在文f 3 】中提出的个猜想，得别； 定理3 设t ( z ) 怒复平面口上的超越亚纯函数，且，0 ) 愿多有有限个极 熹。若鼹警v z g ，蠢夕硌一l ，粼越，：一0 粥 ：g 鼙国一。 无赛。 推论：设g g ) 是复平面口上的超越亚纯函数，_ g g ( z ) g 多材有限个极点若 g 没奏零窳，鼷存在一个熹残秘- 1 ，2 ，3 , - - 毒，使褥： g ( z 一) 。z 0 - 1 ，2 ，3 ，) 而且1 i r a i g 瓴) i _ + 。 关键 i i o ：溉魏西数，熬瓣数，i m 势攒值，难一悛，级，正规旅 云南师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ec o n s i d e rt w op r o b l e m si nt h et h e o r yo fm e m o 翠h i cf u n c t i o n s f i r s t ，w es t u d yt h eu n i q u e n e s st h e o r e mo fe n t i r ef u n c t i o n s w ec o n s i d e rc e r t a i n e n t i r ef u n c t i o n so fs m a l lo r d e ra n d g e t ： t h e o r e m ll e t f a n dgb et w ot r a n s c e n d e n t a le n t i r e f u n c t i o n s ， ，甄鬻c l 咖d 曲a v e 啪。触e i ms h a r i n g v a l u e s , 心 t h e o r e m 2l e t ，粒矗掌k 姗0n o n c o n s t a n te n 蛀r 8 f u n c t i o n s , 所言 i f fa n d g h a v e t w o f i n i t e i m s h a r i n g v a l u e s ，f 。g s e c o n d , w es t u d yac o n j e c t u r ew h i c hb e l o n g st ow b e r g w e i l e ri nd o c u m e n t 3 】a n d g e t ： t h e o r e m 3 l e t ，以) b eat r a n s c e n d e n t a lm e m m o i p h i cf u n c t i o ni nt h et - m i t e p l a n e 口a n d ，0 ) h a sf i n i t ep o l e si nn u m b e ra tt h em o s t i ff 0 ) # l v z 秽) ， t h es e t m ， ，( z ) l z 谚a n d f ( z ) - 0 i sn o tb o u n d e d c o r o l l a r y l e tg o ) b cat r a n s c e n d e n t a lm e r o m o 删cf u n c t i o ni nt h ef i n i t e p l a n e 口a n dg ( z ) h a sf i n i t ep o l e si nn u m b e ra tt h em o s t i fg h a sn oz e r o si n 口， e x i s tp o i n t s z o - 1 ，2 ，3 ，) s u p p o s e t h a t g ( z 一) 。乙伽_ 1 ，2 ，3 ，+ ) a n d ! 觋i 譬瓴) i - + ”- k e yw o r d s ：船髓溯键砖i cf i m c t i o n ，e n t i r ef u n c t i o n ，i ms h a r i n gv a l u e ，o r d e r , u n i q u e n e s s ，n o r m a lf a m i l y 1 i 独创性声明 丫7 7 5 4 3 s 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进 行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经标 明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：景器 w 年f 月2 7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文 的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权云 南师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存和汇编本学位论文。 学位论文作者签名：蒜翠 砷年f 月7e l 指导教师签名：歹鑫华 d 2 时年，月矽日 云南师藏太学硕士学位论文 预备翔谖及主要结果 本文童要研究两个方面的内容，首先研究了一类按函数的唯一性问题，其次探 讨了与燕簸簇彝铡终壤骞关浆氏令淘题。在遂秀令方嚣，主要豹聚巍王其是 r n e v a n l i n n a 创立的值分布理论以及e m o n t e l 建溉的正规族避论为此，先对这些 理论作简单介绍( 以下知识可参阅文献f 6 】，【1 2 】，【1 3 】，【1 4 】，【1 7 】，【1 8 】，f 1 9 】) 1 1n e v a n l i n n a 值分布理论介绍 1 1 。1 基本符号 如无特鄹说明，激下我们总骰设，0 ) 是菱平瑟妒上豹堑纯函数，n e v a n l i n n a 弓i 进以下几个竭数 定义1 1 对于善0 ，定义正瓣数 吣- m a x o o g x ，o ) _ f x , x 2 l 虬 当嚣，0 辩，显然毒l o g x - l o g + 并一l 裙+ 三。 定义1 2 胁p ，) ：一云? l o g + f ( r e ”) l d o ，( o 薯，+ m ) m ( ，。，) 也可记为 m ( r ，一o o ) 或m ( r ，* ) ，它表示l ，0 ) | 鲍正对数在l _ 誊l - ，上的警均傻；对予嚣s g ， m ( r ，7 兰。一- f o1 0 9 + 口，( 。兰r t + * ) 州( r ，7 兰_ ) 也记为 掰乳f 一撑) 戢喇? ，口，窘表示占引熬歪对数在l 霉扣r 主懿警璃毽。 定义1 3 对- t r 【o ，+ m ) ，n ( r ，) 表示，0 ) 谯i z k ，上的极点个数，其中重级 极点按重数计，若重畿极点只计一次，瓣用蠢p ，) 表示；当，秘) 乎。时，掉( ，争表 示，) 在i z 晦r 上的零点个数，其中霪级零点按敷数计，若鬟级零点只计一次，则 雳双r ，寸1 被不- - 云南师范太学硕士学位论文 定灿4 定3 c n ( r ，卜- 亟攀删，f ) l o g r ，( 嘶t ， n ( r ，) 也记为j v ( r ，ftm ) 或l v ( r ，o o ) ，称为，( # ) 极点的密指量或计数瀚 数p ，多，：；f 竺! 芝；! 堕出+ 。 争，。g ，。譬，。+ 。，p ，争也记为 ( ，。0 ) ，称为，扛) 零点购密指爨或计数函数；类似( r ，) 和以手) 蛇定义， 由露以，) 襄豫，争驰定义，势别拣j 铲簪，) 粒勋，争失，( 磅援点我零点黪糖麓密攒 量或计数函数( 即羹级点只计一次) 定义1 5r ( r ，) 1 m ( r ，) + 妒，) ，( o s r t + * ) t ( r ，) 称为，乜) 酌特征硝 数。荔见r ，) 0 ，? 轨， 是r 豹递增丞数量当，q ) c o n s t 瓣，夔r 憝予* 嚣憝 定义1 6 设，。) 为复平丽口上的照纯溺数，则称p ，_ ；缎警为，乜) 的 级，易见。譬p ，0 0 - 若p ，* ，则称，0 ) 为有穷缀旺纯函数；若p ，- * ，则称，q ) 为无穷级亚纯函数并称群t 一面墅必为，秘) 的上级，p _ 一 -r l i m l o g * r ( r , f ) 。 ，。l o g ，叫_ l o g r 为，伽) 的下级 定义l 。7 对予熬函数，弘) 及羹鼗r ，我稍矮蛰号珑+ p ，f ) y s i t m ( r ，) 努鬟表拳 ，q ) 予圆周l z l 一，上的最小模及最火模。 由以上定义，对于p 个溉纯函数 0 ) ( j - 1 ，2 ，p ) ，由正对数的性质，当 0 兰，+ 时，有 掰以螽矗) 薹删阢元) ，m 妒，蠢五) 骘喜搠p ，f t ) + i o g p ； 抖( r ，螽凡) s 薹抖仃，矗) ，撑( r ，凳 ) 凳一( ， ) ； 云南师范大学硕士学位论文 所以 p r ( r ，囊，) s 善t ( r ， ) ，r ( r ，善 ) 墨善f ( ，j ) + l 。g p 定义1 8 设4 ，( ，一1 ，2 ，口) 为q 个判别的有穷复数，k e n ，定义 毗，) 。薹m ( ，尚删 1 1 2n e v a n l i n n a 两个基本定理及5 ( ，) 的特性 在n e v a n l i n n a 理论中，下述p o i s s o n - j e n s e n 公式起着十分重要的作用 定理1 1 设函数，0 ) 在l z 悻r ( o rc * ) 上亚纯，4 。似一1 ，2 ，m ) ， k p 一1 ，2 ，) 分别为，o ) 在i z i c r 内的零点和极点若z r e ”为 。k r 内不与 a 。，札相重的任意一点，则 l o g i l ( z ) i - # l o g 懈扩) l 万慕南如 + 薹，叫矧一羹- 叫蚓 淀：在定理1 1 的条件下，若，o ) 在l z k r 上没有零点和极点，则对乎任意点 z - r e ”( i z 卜r 矗) ，有 l o g l ，( ：) i _ 占l o g i f ( r ) | 瓦熹杀奶 这就是p o i s s o n 公式。若，秭- 0 ，鬟l j 这就是j o n s o n 公式。 1 。n e v a n l i n n a 繁一蒸本定壤 设f ( z ) - 7 ：i z l t r g 。) 内亚纯，若n 为任一有穷复数，则对于o c ，r 有 聊，由甜( ，) “o g hm ( 口i r ) ， 云南师范丈学硕士学位论文 其中q 为j 隶程原点蛇k u r e n t 展式的第一个 零系数，且 l s ( 口，) k l o g + l 牙l + l 0 9 2 。 2 。n e v a n l i n n a 第二纂本定联( 精简i 陲式) 设，( g ) 为开平两上的非常数豫纯函数，a j u l ，2 ，q ) 为g 仁3 ) 个判别的炱 数 ，则 缈“，) 当善承r 寿( ， ，) 3 s ( r ，) 的性质 s ( ，) 一l o 。( ( 1 l o 。g g ( ，r ) 丁( ，( r ，- * ) ) ) o o ) ( , ，p 。， 设移秘鸯为嚣壤d 蠹瓣一族受缝逶数，鲡栗簸这个羧 中的键一个溅数序列l ( z ) ( n - l ，2 ，) 中可以选出一个子膨烈厶q ) 媾- i ，2 ，) 满 足下列两个条件之一： ( 1 ) 气0 p l ，2 , - - ) 农区域d 上内耀一致牧敛懿一令鼗纯函数； ( 2 ) 厶。0 ) ( 七一1 , 2 ，) 在区域| d 上内闭一致趋于* 云南师范太学硕士学位论文 则称 ，0 ) ) 在区域d 内正规 定义1 1 2 ( 球面距离的概念) 设z ，z 为任意两个复数，则 d 暖：，) 扣 z ，z 曩g ， 牟， ：毒，：，。+ 而 ”一“+ 称为z 和z 之阔麴球箍距离， 定义1 1 3 ( 球面导数的概念) 设，0 ) 为区域d 上的亚纯函数，则称 ，。产害舌器为，( z ) 的球面导数 器见亚纯函数黝的球蕊导数具有如下性震：烨户【志) 。 1 3 一些基本定理 h u r w i t z 定理：糟蕊鼗謦梦拜l ( z x n - 1 ，2 ，) 在酝域d 内是解析的，并且在d 肉 蠹翅一致l 发敛剥不蠖为零夔瓣数，) ，y 是嚣域d 凑可求长鼹攀凌熬线，冀内邦嚣 于j d ，且不经过，g ) 的零点，则存在正整数，使褥当厅兰时，农y 内部矗0 ) 秘 ，0 ) 恩有相阍个数的零点 m a r r y 惩规定列：设分仔碍为送城d 肉的一族鼗纯函数，爱i j 族移蝴在d 内芷 援戆楚要条传是：瓣经一毒器逮壤拶c d ，存在一燕数掰一掰磅，楚褥慰每令 ，0 ) ，0 ) ，恒有 斯器蒯 。面， 即f 。蟥m m 一 云南师范太学硕士学位论文 1 4 本文主要结论 本文主要研究两方面的内容 1 4 1 一类级较小整溺数翡曦一性 照纯函数的唯一性理论童要探讨唯一确定亚纯激数的好的充要条 睾，本文蚨李 玉华在文【7 】中的一个结果出发，证明了下述： 窥瑾1 竣f 与g 蓬嚣个越越整避数，若，与g 蠢2 令鸯穷豹l m 势撵稳，莹满 足蠢l o g m 戈( r , 一f ) + * ，煲| l ，g ，- + ”( 1 0 9 r 4 熙一般地，我们霸如下结果： 定理2 设，与营悬两个非常数撼函数，乃t i l - 若，与譬有2 个有穷的i m 分 攫蕊，剡f g 。 1 4 2 涉及导数例外值的几个结论 谯本文的第三章，我们研究了w b e r g w e i l e r 在文【3 】中的下述猜想：设，0 ) 是谚 上豹黼越亚纯蕊数，蓿对v z e g ，宥，缸) * l ，弼嬲，：一 ，( z ) i z e 谚g f ( z ) - o 无 赛。 关于b e r g w e i l e r 的上述猜想，我们得到如下特殊情况下的结果： 宠毽3 设，q 怒窖主懿熬越蓝纯函数，nf ( z ) 至多育褥陵令檄煮菪辩予 v z 职， f ( z ) - 1 ，则材，；t ，( z ) l 眶够- g o ) 一o 无募 撒论：设g 仁) 是够上的超越亚纯函数，凰9 0 ) 至多有有限个极点若g 没有零 点，则存在一个点列石伽一1 ，2 ，3 ，) ，使得： g 瓴 2 秘il ，2 ，3 , - - 毒嚣基i 瓷 暑毡) 扣+ c o 云南师范太学硕士学位论文 一类级较小整函数的难一性 2 。l 问题的提出及主要结果 在本章中我们探讨一类增长级较小的擞函数的唯一性设，是口上的非常数 亚纯蕊数，所谓函数的唯一往理论就是探讨在什么情况下只存在一个函数觞满足 所给条传。激数毂礁一性瑾谂是复交悉数谂豹一令黧要分支，在这一领域辽毒谗多 丰富的成果我们已经知道，多项式除了一个常数因子外，由其零点( 即取零值的 点集) 丽定，毽对越越整丞数以至簸纯函数虢不然了如醋数矿和嚣”，它们取 l ，0 ，m 值的患集摆阂，僵e 。垂e ，邈姥，翔俺采嚷一确定一令亚缝遗数墩裁曼褥 有趣而复杂了 在本搴审我察建立了一炎增长缀较枣豹整番鼓漆一性静死个定疆，推广了裁入 在这一方面的若干结果涉及i m 分担值的溉纯函数的唯一性，数学工作者们已经 褥虱了许多事富豹成果，在邀方面，r n c v a n u n n a 所訇立的值分布理论是主要豹研 究工具，他本人也傲了开创性的工俸，他在1 9 2 9 年诞明了下述定理： 窳理a l 1 4 1 两个# 常数驻纯两数，与g 若有5 个d 喱分掇值，则，g 。 n e v a n l i n n a 夏蓬定理说翡菲攀数鼹缝嚣数糍全鑫蠢夸纛羲遂象巢掰难一确定寄 例子栽眼定理a l 中的结论誉能再改遴 俐翔：设群( 力为菲常数熬函数，( 力- e 4 ，髫( 力- e ”，则，0 ) 与嚣( 力以 一l ，l ，0 ，* 舞i m 努撼壤，毽f g ， 上述例子袭眠对浆些级为正整数蛾无穷的驻纯遴数，s 个i m 分攫傻是不础少缒， 毽是对嚣芷整数级魏柯穷级溉纯瓣数来说，瓣件是番还可 ；主稃改进秣? 如果桶上菜 些象锋，那么瓣个亚缝函数楚器可由4 个，3 夸甚至2 个i 醛分擅渣箍定喔? 逛魏窟 发我们考虑非正整数缴的有穷级亚纯瀚数的精形在本文我们尝试解决级小予1 的 整透黢的唯一牲瓣嚣。 对有理函数而言，w w a d a m s 和e ，g s t r a u s 在文f l 】中得剿如下结果： 定溪矗z 掰强争 常数煮璨丞敷，与苫若窍4 令魏畦癸援辍，粼f - g 云南师范犬学硕士学位论文 定理a 2 中4 个i m 分担慎的要求不能减少例如：设 坤，一南，荆= ， 梅易验证f ( z ) - - i 与g ( o 以1 ，o ，* 为l m 分搬值，但，产g ；这表明定理a 2 的结论 是耱磺熬 攀玉华在文【7 】中将定理a 2 推广到增长级小于1 的亚纯函数，得到下述结果： 定理a 3 翻两个缀小予1 豹菲常数亚纯函数，与g 若有4 个t m 分担值，粥，i g 定理a 3 是定理a 2 鲍一个推广，它表骧缀小于1 的超越距纯函数和菲常数有理 函数一样，可由4 个点的逆魏集唯一确定 a d a m s 秘s t r a u s 述考瘩7 多项式瓣难一瞧，褥劐魉下结浚： 定理a 4 a 1 若两个非常数瘳项式，与g 有2 个有穷的i m 分担值，则，m g 溺样，定理a 4 中两个膏穷的丑懂分撞氆的要求不能减少例如：设 ，乜) 一o 一1 ) 0 2 ) 2 ，g g ) 一0 1 ) 2 0 2 ) 。 则0 鼹f ( z ) 尚g 仁) 的蹦分掇值，但， g 定理a 4 褒裙对菜一类特殊翡藏蔽数中豹溺数，廷需2 个有穷悫的两个遵象集 就可噍一决定它李运华在义【7 】中推广了定理a 4 ，证明了： 定理a s 粥若两个级小予1 的非常数整两数，与g 有2 个有穷的i m 分搬值a 和 b ，嚣存在委零数8 鞠t 使 盼吠 r ：嚣剖篓g 或砖蚓q 则f g 。 定理a 5 的条件式较濉验证，这给它的应用带来一些不便。本文从定理a 5 褥羁穗发，试图愆一穗较好验证的条件取代p ) 我们篱先考虑满是增长往条件 i 溢。l o g * m ( r , f ) + 。 肇1)(1o g r ) z 、 戆一炎整蘧数，令s 一 f ；，是瀵足( 2 1 ) 毂整函数。本文攀l 媛关予s 类整添数懿 一个饿质以及其他学者的一些成果，得到如下结论： 云南师范太学硕士学位论文 定理1 设，与g 是两个超越整黼数，若，与g 肖2 个霄穷的i m 分担德，且满 , 足= 甄l i r a 背c 妣吣 由于s 类整函数是一类性态比较好，许多数学正作者都很关注的一类熬函数， 本文l 尊论宅懿唯一瞧疑舂一定懿理谂意义荚手s 类整丞数瓣经矮鹣更多讨论胃参 阅文献【2 】，【1 l 】等等 注意羁s 类整溺数楚零缀整函数类豹子费，掰 ；主定理1 得蓟了关于一粪特殊酌 零级超越整函数的瞧一性定理又由于多项式是零级整函数，丽且满足( 2 。1 ) 式结 合定理a 4 可知，本文得到豹定理1 也是定瑗a 4 的推广 遴一步，我们采用类似的处理方法，剥用由凌湖蛉一个结果，褥到下述雯广泛 的结论： 定霪2 设，与g 是嚣令 常数赘丞数，p l c 主羞，鸯g 有2 令毒穷瓣i m 努 担值，则f g 哉们拟采用证明溉纯函数唯一性常用的方法来谶明定理1 和定璁2 ，基本思路 是：絮果特懋麓整薅数，与g 其骞著予个分据筐，粼梅逵一个与，与g 有关懿稔当 的辅助函数妒0 ) ，遴过证明妒g ) - o 米证明f ( o - g ( z ) 。 2 2 定理1 的证明 本苇孛我织绘蹬一系列零| 瑾来谖鞠定理1 弓l 理2 1 若，o ) 为努平匿上瓣超越甄纯函数，则珏m ! 皇也。特别地， 7 辞l o g r 若，o ) 为超越整逶数，熨瓢l n 垫哮貔盟。忡褥当，) 为菲豢数多璞式酵， r 4 ”l o 殳r | i 融墼墼边。蜊， l o r r 攀l 理2 0 搠若， 为缀p ，c + m ) 量苓燃秀零豹整丞数，剃 掰为 l i m 毒一m a x p - i , 0 1 ”l o g r 云南师范大学硕士学位论文 引理2 j 硎设 ( z ) ( ，一l 2 ，) 是非常数亚纯函数，如果 m a x p ，i ，p h ， 式2 7 ( r g ) + s p ，) ，。2 ) 所以p ，- p 。 又若 1 t m 。眢+ ，这时必商s ( r ，) _ 。( 1 0 9 r ) ( ，峥o 。) 因为对于任懑的整醋数 0 ) 有： p ，五) s l 。g + m ( r ，五) g r 代+ 一r r t ( r ，1 ) ( r ，) ( 2 3 ) 龆2 ) ，( 2 3 ) e p 籀t 甄帮t 一 霉l 瑾2 7 设集会e 帮f 是震+ 懿两个胃铡予集，置矗岱) 一盎) * 1 粼 e n f # t 且矗氍n f ) 一1 。 诳明 假设e n f - p ，则肼甜僻u f ) - m e s ( e ) + r u e s ( f ) 设tm e n i l ，r 】，露- fn 【l ，r 】，则耳n c 一妒所以也有 艄氍u 霉) 。榴溉) 艄辑) 获嚣窍_ a ( e u f ) 。逛蚌凝掣麓2 ，耱。 获嚣窍 一逛墼型 - 凝窭。字l 麓，矛盾。 ，呻r 一工，rl 联戬e a f # 簪 设lf - u ，r l ，e ：一l f e 。，f ：* i | 一f r ， 由题设有鲁咄鲁一o ( ，叫 因为e 。n f r ；i ，一e ：u f ：。 所以a ( e n f ) 1 i m m e s ( 1 , - e i ：u f ) 2 1 一l i m m e s ( e ：) + m e s ( f ) 警l ， r * ，一l r 呻o r i 云南师范大学硕士学位论文 又因为否陋n f ) s 1 ，所以a ( e n f ) ；1 定理1 的证明：我们采用2 1 定义的符号s ，s 表示满足( 2 1 ) 的整函数的集合， 由定理1 的条件及引理2 5 、2 6 知：，与g 均是零级超越整函数，且f e s ，g e s 不妨设0 ，1 为，0 ) 和占q ) 的i m 分担值( 否则对，( z ) 和g o ) 作一线性变换可 化归为这一情形) 令 妒。幽，妒：丛曼塑 f ( f - 1 ) g ( g - 1 ) 易见妒和妒均为整函数事实上，由于妒的极点只会在，与g 的极点，的零 点，的1 值点处产生又因为，与g 都是超越整函数，所以只需考虑后两种情形 ( 1 ) 设毛是，的p 重零点，则是，的p 一1 重零点，又因为f 与g i m 分担0 ，所以 z 。是，一g 的至少是1 重零点所以是分母的p 重零点，是分子的至少 0 1 ) + 1 i p 重零点，从而不是伊的极点 ( 2 ) 设z 。是，- 1 的口重零点，则它是分母的g 重零点，是分子的至少国一1 ) + 1 - q 重零点，所以z l 也不是妒的极点 由( 1 ) ，( 2 ) 可知妒是整函数同样对妒讨论占的零点和1 值点可知妒也是整函数 若妒和妒均不为常数，则 地咖m ) 朋( r 争+ 肼“白州r ，) + 小( ， g ) + 5 1 l o g + m ( r ，) + l o g + m ( r ，g ) + s ( r ，) ( 2 4 ) 又 r ( r ，妒) 薯l o g + m ( r ，d 等等r 僻，妒) ( r ，r ) ，s ( r ，) 一o ( 1 0 9 r ) ( ，一* ) ( 2 5 ) m ( 2 4 ) ，( 2 5 ) 及定理的条件得 所以妒s ，同理妒s 甄掣( 1 0 9 r ) c r _ + 砷 z ( 2 6 ) 云南师范大学硕士学位论文 下面证明妒和妒中至少有一个恒等于0 假设妒和妒均是非常数整函数，则妒和妒满足引理2 4 的条件，由引理2 4 得 j e ，c 震+ ，皈) - 1 ，使 l o g m 。( r ，妒) 一l o g m ( r ，妒)( ，一，r e e ，) j 目cj c + ，厶( 毛) ；1 ，馕 l o g m + ( r ，妒) 一l o g m ( r ，妒)( ，一，r e b ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 由引理2 7 知b n 目_ 乃，i a ( e n & ) 1 ，这表明b n 毛中有无男多个 点，且是无界集 任取无界数列n 耳( | | - 1 ，2 ，3 ，) ，令 j k 一0 ：一【0 h 】，k 纯) | 主i ，以e ”) | ) ，五一【o ，h 卜j k ，( 七一1 ，2 ，3 ，) 不妨假设有无穷多个七t 茜足= m e s y 。苫m e 皈( 为叙述方便，下标仍记为七) ，且设 i n e 蚶k 一4 ( 石) ( 相反的情形用妒取代妒讨论即阿) 因为 妒- 粼- 南陆】 所以 所以，妒) 一未f l o g + p 瓴) 睁8 一拼1i f 。l o g + i 妒( 凇口+ 矗l o g + 扣以啦拶】 s ( ，? 兰) + 1 0 9 2 + ( 1 一务l o g + 榭以，d ，( k - 1 , 2 , 3 , - - ) ( 2 9 ) 又由丘的取法知 b g m 瓴，妒) 一l o g m ( r t ，妒) 叫箨瓴，妒) 瓴一* ) 。 # 1 0 ) 所以，对充分大的七，由( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) 得 c ，一。，o s m 以，功蠛署p 以，南+ ，0 9 2 s2 卜以，南+ 崦2 由引理2 2 得l i m 垫彰型。0 ，豳引理2 1 ，这岛妒是非常数整函数矛盾，所阻 云南师范犬学硕士学位论文 妒和妒中至少有一个为常数函数 不失一般性，不妨设伊( z ) ic o ( 常数) ，如果c 0 0 ，即伊s0 ，则必有厂一g 若 c 。* 0 ，那么| 妒0 ) l m | 岛p 0 ，又由萼| 理2 3 知鄯越格递增的无界数歹| j 擘。 耘使得： t ；- 惑。；l m i , t - 一, 剑f ( z ) - a l 畦涮卜 又酬小矧( t + 舻获丽结锥埘媳 啦俐一帅一) ， 由上式和l 叫刊爿) 躲m 揣 臀i 妒0 ) 卜。伽一* ) - 献 i 霆盛有妒1 0 ，馥可褥，i g 。定攥1 诞肇。 注：最飚的讨谂对于妒秘妒之中至少考一个为多项式的情况，弈霹透避。 下而稳们粟用相同的诫明恿路裳证明帘耀2 绉1 1 ) 2 3 定理2 的证明 为证明定理2 ，我们需要如下引理 攀l 理2 8 闼设，囊) 是一令超越熬番数，其缀为妒，0 羞pt 1 ，鬟l 对予满是 p 搿1 的馁意数a ，有 r i l o s m u 加撒一m - ) 氛1 - - - p ， p p ，尹1 s m 笔z al o g m ( r 棚卜詈 洼：弓| 理2 8 巾粒符号掇瓯，) ，脚，鲡本文之翦熬定义，窀爨与文献【1 5 】 墨查墅整查堂堡主茎垡堕塞 中所用的符号不同，但意义是一致的 引理2 9 设集合e 和f 是皿+ 的两个可测子集，且饵卜丢，( f ) i i 则 e n f 妒，且( e n f ) 0 - 证明：假设e n ft 妒，贝t j m e s ( e u f ) i m e s ( e ) + m e s ( f ) 设e ，l e n l r 】，ei f n i l ，r 】，则en t i 所以也有朋四( 臣u e ) i m 酣但，) + r u e s ( f , ) ， 脯螂。磐喾：磐喾+ 磐喾划聃鲋，挣， 这与陋n f ) s 1 矛盾 所以e n f - 妒 设j ，- 1 , r l ，e ：一j ，一e ，f - ，一c ，由已知条件及上、下极限的定义，有 天) c i l ，列) c 三 又因为e ，nf ri j e ：u ，则有 衅嗍磐譬小面, - 。虹l o g r d t d t ， 暑1 一( x 但：) + 天) ) ，1 一i 1 + 1 - o ， 所以饵n f 卜0 引理2 9 证毕 引理2 1 0 u 砚设，( 力是一个级小于1 的超越整函数，则，( z ) 有无穷多个零点 定理2 的证明：不妨设0 ，1 为，0 ) 和9 0 ) 的i m 分担值( 否则对，0 ) 和9 0 ) 作 一适当的线性变换可化归为这一情形) 令 驴一粼，妒- 篱 易见妒和妒均为整函数( 见定理1 的证明) 云南师范大学硕士学位论文 若妒和妒中至少有一个为多项式，则由定理1 的证明过程可知f g 下面，我 由已知条件和引理2 6 得p ，；nc i l ，n i i 七由( 2 4 ) ，( 2 5 ) 易见岛c i l ，nc 1 4 ， 从而妒和妒满足引理8 的条件，于是由引理8 可知： 对于满足几t 口t 1 的任意数o ，有 ，i - o g m + c r 翮，翮咄翮c r ， 苫，一鲁 q - 动 同样，对于满足凡c 卢c 1 的任意数卢，有 p 耐“咖筇c 删帅斟小鲁 仁功 令e 。 r l l o g 胁( r ，计，嬲咏翮( r ， ， n r | l o g m 卜筇删眦 选取口与卢使印，( 口c i i ，2 一t 卢i 1 ，则有嬲嘲嬲 o ，矽咖祁) o 令 k - m i n 缸c l g j r a ，够c 留带 ， 当r e n f 时，f l ( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) 得 l o g m ( ，咖，剧( r ，争 ( 2 1 4 ) l 。g m ( r ，妒) k ( r ，二) 1 ( 2 1 5 ) 并且 i 1 ，( f ) ，吾， 二 二 从而由引理2 9 知，n ，) 0 任取无界正数列( e n f ) ( 七一1 ，2 ，3 ，) ，令 0 ：口【o ，扫】，k 纯扩) 卜i r c r , 。 1 1 ，五。【o h 卜 ，( 七。1 ，2 ，3 ，) 云南拜莛麦学醺士学篷延文 不妨假设谢无穷多个m 满足m 巴叽a 删皂斌( 为叙潍方便，下木辞仍记为k ) ，臌设 煺黻矗一碡( 麓帮) * ( 辐波的祷形露垆取代擎讨论静霹) 妒一黜4 南( 卜舟 去勰。fl o g + b 机凇口s 三五，o s + 净拶+ 主 z 皑2 d 口+ 三以- 蹭+ l 爿始 s 删以，智十l 0 9 2 ( 2 1 国 另一方强 魏l o g + 妒( r k d a ) 0 苫- l o g m + 以，办( 素乩2 3 ，) ( 2 - 1 7 ) 绪含( 2 1 6 ) ，( 2 1 7 ) 得 - - 叁l o g m 敝，奶勰瓴，南+ l 0 9 2 , ( k - 1 , 2 , 3 , - - - ) ( 2 1 8 ) 由( 2 1 4 ) ，( 2 1 8 ) 得 翩纯，争攒玩，矗) + 堍2 ，( k - i , 2 , 3 一曩 弘l 璐 其中霞为一个犬子零的绝对常数 奁( 2 1 鲤式嚣逑鬻除浚l o g r k 褥 掣s _ m ( r k , 南_ 1 ) + l 0 9 2 础乩2 3 ) 。 _，f 堍稳糖& 、 由引理2 2 可知当七一m 时，( 2 2 0 ) 式右端趋子0 ，黼由引理2 1 0 可知当七一* 时 ( 2 + 2 0 ) 式左端趋乎+ 。这就产生矛盾 所疆妒是 鬻数多瑗式，鸯定婺1 瓣涯秘遘程鬻翔擎一0 或妒一0 ，簸嚣搽鸯 云南师范大学硕士学位论文 2 4 小结 本文均是对i m 分担值讨论唯一性，若考虑c m 分担值的情形，我们有如下平 凡的结果： 命题2 1 设，与g 为非常数整函数，其级均小于1 ，若，与g 有2 个有穷的c m 分担值a 和b ，则f g 上述结论是显然的事实上，不妨设，与g 以。，1 为c m 分担值，则日o ) 一善若 为无零点的整函数，所以日( z ) 形如：h ( o e 排，i l g ) 为整函数d a t - p ，一p 。t 1 ， 所以p h ，扶藤部分鳞捩7 食艇2 2 云南师范大学硕士学位论文 涉及导数例外值的几个结果 3 1 引言及主要结果 在本部分我们讨论与正规族和例外值有关的几个问题1 9 3 5 年，m i r a n d a l 6 1 指出 一个正规定则：对于区域d 内的一个全纯函数族 ，0 ) ) ，k 为一正整数若族 ，( z ) ) 中的每个函数，( z ) 在d 内都满足，g ) 一0 ，o ) 一1 ，则族 ，0 ) ) 在d 内正规 对亚纯函数而言，1 9 5 9 年h a y m a n 【3 】获得一个十分重要的结果：对于口上的亚纯 函数y ( z ) ，若对所有的z 6 口，y ( z ) 一0 ，( z ) 1 ，则f ( z ) 1 c o n s t 我们知道，著名的b l o c h 法则1 6 】认为：如果具有某种性质n 的开平面上的亚纯 函数必恒为常数，那么在一区域d 内均具有性质的任一亚纯函数族 厂0 ) ) 就在d 内正规人们常常凭借这条b l o c h 法则来猜铡新的正规定则 顾永兴f 3 】在1 9 7 9 年建立了亚纯函数族的相应于m i r a n d a 正规定则的一个正规定 则：对于区域d 上的贬纯函数族 ，( z ) ) ，k 为一正整数，若族 ，0 ) 中的每一个函数 ，o ) 在d 内都满足，g ) 一0 ，g ) 一1 ，则族 ，o 疗在d 内正规 b e r g w e i l e r 在文f 3 1 中考虑意- 1 的情形，允许，蠢零点，健对，谯，零点处的取 值作一定限制后得到了一个新韵正规定则： 定瑾班溯设参( c 怒一令嚣壤，k ，是垂数，f 燕d 主豹溉楚遁数族若 对予f 中任懑函数f ( z ) l t g t t i 足下列条件： ( 1 ) ，0 ) _ 1 ( z d ) ； ( 2 ) 着z d 瓶，( z ) 一o ，i i , 1 0 o ，使得m ，c d ( o , k ) 因为，( 2 ) 是无穷级亚纯函数，由引理3 2 知j 一个点列 以 0 。c 口，一m 疑毒舜范丈学碳士学链论文 ( k 一) ，使得 垫妻参字，。 一* ) 。 ( 3 2 ) 令 ( z ) 一f ( z k + z ) ( 七一1 ，2 ，3 ，) 考虑函数族f 一 a l 。 因为我们有 露 4 器一描鼢 又幽3 2 ) 式知，瓴) 一* ( k 一* ) ，所以由上式可知定( o ) 一* 由m a r r y 定则可知f 一 甘- t 在原点的邻域不礞规进而由碍l 道3 1 ，存在 毗 ：l ，一0 ( 囊一* ) ；正实数列 版 之。，p 。一0 ( k o 。) ；函数列不妨仍 谲为 五 厶；移上静非常数溉纯函数g 扛) ，使褥当素一* 辩， a ( w k + p t z ) 。g 仁) ( 按球灏度量在c 内内闭一致收敛) ， 最 苫0 g ( o ) - k + i 因此窖o ) 为滋长级不超过2 的非常数亚纯函数 记坼+ a 嚣一文( z ) ，奴+ 鼠q ) - 鼠驰) 辑一1 ，2 ，3 ，) 函袭壤一0 ，珐一o ( 囊一* ，所默，当# 住手g 中戆一个任意给定的育赛阏 予巢q ，且七充分大时， 6 。o ，使得i 墨6 。 义嚣蔻磊”。( 妻_ ) ，舞浚，姿霆充分丈辩，敷物扛簿京季穷运熹稳锦 城内取值而【p ；1 ( w i + 凤：) 】一，瓯q ) ) ( k 充分火) 由h u r w i t z 定理，有 m f c d ( 0 , k ) 啼m j c d ( 0 ，嚣) ， ，0 ) 不取l 烯g7 ( z ) 不取1 i 蠡定理b 2 , 苫。) 形翔( 1 ) 苫。) i 。+ 球+ 丽b 。，瓤c 等砍f h 或( 2 ) g ( ：) 一口z + 芦( a ，芦口，甜* 1 ) 妇栗9 0 ) 嶷肖a 能澎式，刘由h u r w i t z 定理可知，) 在* 静强意邻域内都寄凝 云南师鞯大学硕士学位论文 点，这又将导致，( 2 ) 必有无穷多极点，这与已知，( 。) 至多只有有限个极点棚矛盾 如果g q ) ；联z + t 则g + ( = 且1 + 1 芦1 2 s 吲，这岛g 。( o ) _ 1 + 相矛盾，所以肘， 无界这就诚明了定理3 下瑟证鞠定毽3 静接论： 推论的凝晴：令，扛) 一孑一g ( z ) ，烈f 0 ) - 1 - g q ) 由于g 0 ) _ 0 ( v z e 矿) ，则有，0 ) 1 ( v z 四) ，所以，0 ) 满足定域3 的条 件，戳而由定理3 得；m ，一 ，( z ) ：z 口且，( z ) - o 无弄 爨戮王一令。蠢嬲秘- 1 ，2 ，3 ，”夺，镬褥：f ( z ) - o r 麓l ，瓯) | i + * * 由，q ) 的取法可躲：对上述点刿z 。0 - l ，2 ，3 ，) ，有 g ( z 。) 一岩( 1 , 2 川