（机械制造及其自动化专业论文）斜齿轮强度的三维参数化有限元分析.pdf

山东大学硕七学伊论文 摘要 齿轮传动作为工程中最为常见的传动形式，其强度设计和强度校核十分必要 和重要。但由于影响齿轮强度的因素众多，齿轮强度计算衍变为一个涉及多学科 的复杂工程问题。本文在研究有限元理论和接触问题算法的基础上，在a n s y s 软件中基于a p d l 语言实现了渐开线斜齿轮“三维建模、网格剖分、载荷施加、 求解计算”的全过程参数化，实现了c a d 与。气e 的一体化，极大地提高了工 程设计效率。 本文实现了斜齿轮的三维参数化精确建模。尽管很多研究人员在有关 c a d c a m c a e 软件上实现了“参数化”的斜齿轮建模，但这个“参数化”是 在“事先手动参与”后的实现的“参数化”，并不是完全的全过程参数化。另外 很多研究文献忽略了齿轮根部的精确造型，而这是进行轮齿根部弯曲强度有限元 计算的重要前提。本文建立斜齿轮的完整的实用的数学模型，所谓“完整”，既 包括渐开线齿廓，也包括过渡曲线齿廓；所谓“实用”，是指以齿厚中心线为对 称轴建立了齿廓的数学模型，这有利于三维o d 建模。并基于a p d l 语言实现 了斜齿轮的三维参数化精确建模。 本文实现了斜齿轮的参数化三维建模与参数化有限元分析的集成，这必将提 高工程设计的效率。很多研究人员是在有关c a d 软件上得到斜齿轮的三维模型， 然后再导入到有关的c a e 软件上进行有限元分析。这样做一方面无法实现 c a d c a e 的有效集成，另外很重要的一方面就是三维参数化模型导入到c a e 软件中后，不再具备“参数化”特征，从而在。址软件中无法对几何模型进行 参数化控制，无法实现网格的参数化精确化剖分，无法实现复杂载荷和边界条件 的精确施加与求解，无法实现参数化后处理，无法实现与a n s y s 数据库的适时交 互，无法实现参数化有限元分析的全过程。 本文实现了斜齿轮轮齿齿根弯曲强度和齿面接触强度参数化有限元分析，相 对于传统计算方法，过程简洁，结果更接近理论和实际。传统方法设计齿轮时需 要查阅手册及大量的图表，并且整个过程有时需要大量的试算和反复，十分繁琐。 而采用参数化的有限元法则比较简洁，只需将有关参数代入编弓好的程序上就可 v l i 山东大学硕七学位论文 以很快得到结果，计算精度同时也会在一定的范围内得到保证。在大量计算的基 础上分析了模数、齿数、螺旋角、刀具齿顶圆角半径等参数对齿轮根部和齿面接 触v o nm i s e s 应力的影响。 本文的研究工作为齿轮的结构优化、轮齿修形、多物理场耦合分析、疲劳强 度分析等奠定了基础。鉴于齿轮强度计算的复杂性，应当说本文的研究仍属于基 础性的工作。在本文研究基础上，可以方便地进一步研究齿轮的结构优化、轮齿 修形、多物理场耦合分析、疲劳强度分析、概率设计( 可靠性设计) 等。 关键词：斜齿轮；齿根弯曲强度：齿面接触强度：有限元法； p d l 语言 v j i 山东大学硕+ 学何论文 i nc a l c l l l a t i n gg c a rs t r c n g t l l ，m a n yf a c t d r sm u s tb et d k e ni n t oc d n s i d e 豫t i o n s oi t i sa ni l l v o l u t e d 、o r kf o rm e c h a n i c a le n 百n e e r s d 印e n d i n gu p o nf i n i t ce l e m e n tt l l o o r y 卸da p d ll a n g i i a g c ，t h i sp a p c rr e a l i z e dt h cp a r a m e t 血c a l c u l a t i o no fb e n d i n g s t r c n 舀ha n dc o n t a ds t r c n 昏ho fi n v o l u t eh e l i c a lg c a r s i n t e g r a t i 伽o f ( a da n dc a e 0 fh e l i c a lg e a r sa r er e a l i z e di na n s y ss o f n v a r ch n dt l l ew o f ke 墒c i e n c yi sc n h 彻c e d b a s e do nt l i e p r i n c i p l e s o fg e a rm e s h i n ga l l dc o o r d i n a t e 仃柚s f 0 册a t i o n ， m a t h e m a t i 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论文作者签名：猩至垄导师签名：兰2 垄垒：日期：2 望z 乒 山东大学硕十学位论文 1 1 课题的研究背景 1 1 1 齿轮强度计算的复杂性 第l 章绪论 齿轮传动作为工程中最为常见的传动形式，其强度设计和强度校核十分必要 和重要，但同时齿轮强度计算又是一件非常复杂、充满不确定性的工作。齿轮强 度计算之所以复杂，主要原因是影响齿轮强度的实际因素太多，而且这些因素往 往有很大的不确定性。目前世界主要工业国，包括国际标准化组织，均公布了齿 轮强度的计算公式，但是正如日本学者仙波正庄【1 】所言，“各国发表了许多强度 计算公式，但我认为，其中任何一个都不能正确地计算出齿轮的强度，这是因为， 在齿轮强度计算公式中，有许多影响因素没考虑进去，即使是考虑到了，如动载 系数等，也难以计算得非常准确。”齿轮强度计算要考虑齿轮几何尺寸、材料、 加工误差、安装误差、轮齿轮体刚度、轴的刚度、轴承变形、接触变形、热变形、 热处理工艺、润滑油的性质、润滑方法、轮齿表面状况、实际工况、传递载荷等 近3 0 余种影响因素。由于影响齿轮强度的因素众多，齿轮强度计算衍变为一个 涉及多学科的复杂问题。现在工程实际中齿轮强度的确定方面依靠半经验半理 论的齿轮强度计算公式，另外很重要的一方面是依靠工程实际的使用检验，另外 工程师的个人经验也是不可忽视的。也不否认，很多齿轮的强度设计是通过简单 的“类比”完成的。 从工程应用实际来看，齿轮传动的失效形式主要由轮齿折断和齿面损伤两 类，所以齿轮强度的计算主要包括两方面的内容：齿面强度和齿根弯曲强度。2 0 世纪以来的齿轮大多是铸造成型的，精度较低，其主要损伤形式是齿轮折断，因 此用弯曲强度计算齿轮的强度。后来随着齿轮加工技术的进步，提高了齿轮的精 度，并采用了闭式软齿面齿轮传动，因此当模数不太小时，通常齿根的弯曲强度 是没有1 u j 题的。但随着齿轮热处理技术( 如渗碳淬火、高频淬火和氮化处理等) 和 齿轮磨削技术的发展，使齿轮的齿面接触强度显著地提高， l 近代工业的发展 山东大学硕士学位论文 要求齿轮传递的功率增大和趋向小型化，于是齿轮弯曲强度再度成为重要的问 题。 1 1 2 齿轮强度计算方法的发展 ( 1 ) 齿根弯曲强度 轮齿弯曲强度的近似计算方法主要有材料力学法、弹性力学法、有限差分法、 有限元法、边界元法等，其中前两者属于解析法，后三者属于数值法。材料力学 法使用最早。1 8 9 2 年，l c w i s 基于材料力学的抛物线梁理论，把轮齿视为等强度 悬臂梁，首次提出了“齿形系数”的概念，并推导出著名的k 】l ，i s 公式，这个公 式虽然比较粗糙，但是直至现在依然是轮齿弯曲强度计算的理论基础。1 9 8 2 年， a g m a 在k w i s 公式的基础上，经过不断的修正，提出了考虑弯蓝和压缩效应 的弯曲强度设计公式。至此，齿根应力计算中的“平截面法”为i s 0 及绝大多数 国家所采用。后来由大量实验得知，齿根弯曲疲劳裂纹发生在局部应力最大的地 方，且裂纹是沿着过渡曲线的法线方向，因此，着重研究折截面a d b 上的应力 变化规律更合适，即“折截面法”1 2 】1 3 1 。 材料力学法由于模型与实际齿形相差较大，因而较难准确地反映复杂齿形、 过渡曲线以及传动系统对轮齿应力和变形的影响。于是，以保角映射法为代表的 平面弹性力学法应运而生。保角映射法的实质是将轮齿曲线边界映射为直线边 界，由作用在半平面上集中力复变函数求解出半平面的位移场，从而得到轮齿受 载点的应力和变形，其计算的精确性关键在于适当地选取映射函数及其项系数。 保角映射法在轮齿应力与变形的精确求解中，虽然取得了一些进步，同时也存在 一定的局限性【2 】。 随着计算技术和计算机的迅速发展及广泛应用，以有限元法为代表的数值计 算方法使齿轮应力和变形分析变得方便、可靠、准确。目前齿轮工程中实用的数 值解法主要有三种，有限差分法( f d m ) 、边界元法( b e m ) 和有限元法( f e m ) 。有 限差分法的特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似值，但它用于几何形 状复杂的问题时，精度将降低，甚至收敛困难，因此在复杂齿轮系统强度分析方 面应用不多。边界元法则是先将求解域内的控制方程用数学方法转化为求解域边 界上的边界积分方程，再用数值解法求出边界结点上待求量的近似解，然后根据 山东大学硕十学位论文 边界结点量计算得到区域内任意点的待求量。这种方法输入数据少，直接性较好， 适合于大应力梯度的边界问题：但由于所用的矩阵通常为稠密阵，求解效率较低， 求解规模也受到限制。有限元法是一种通用的工程数值分析方法，应用最为广泛。 同传统的计算方法相比，有限元法能处理复杂的载荷工况和边界条件，较全面地 反映齿轮体的应力场、位移场、齿根应力集中与轮齿变形等1 2 1 。 目前世界各国在工程上判断齿根强度的方法，通常还是把齿轮作为悬臂梁用 平截面法计算齿根应力，而引入一些系数考虑载荷分布的不均匀、应力集中、短 悬臂梁等的影响。斜齿轮啮合过程中，接触线和危险截面位置在不断的变化，要 精确计算其齿根应力是很难的，只能近似地按法面上的当量直齿圆柱齿轮来计算 其齿根应力，并引入螺旋角系数k ，即可得到斜齿圆柱齿轮的最大弯曲应力的 计算公式。具体推导过程不再详述，下面给计算公式1 4 l 为： 唧一砜e 匕嚣。 m 1 ) 式中 齿形系数，大小取决于齿数和变位系数； 比应力修正系数，用以综合考虑齿根过渡曲线处的应力集中和除弯曲 应力以外的应力对齿根应力的影响的系数； t 重合度系数； k 螺旋角系数，是考虑接触线倾斜有利于提高弯曲强度的系数； 互传递的扭矩，n m m ； k 一载荷系数，考虑工况、动载荷及载荷分布均匀程度对接触应力的影响； 6 齿宽，m m ； d - 小齿轮分度圆直径，m m ； m 。斜齿轮的法向模数，m m 。 ( 2 ) 齿面接触强度 轮齿接触问题是一种高度的非线性行为，涉及复杂的动力学、表面技术、材 山东大学硕士学位论文 料科学等方面的工程背景。到目前为止，用于求解轮齿接触强度的方法主要有赫 兹法、有限元法、边界元法和有限差分法。其中赫兹法是经典的解析法。传统上 齿面载荷的计算方法将齿面接触状况近似认为与两圆柱体的接触状况相当，从而 用赫兹公式进行计算。过程不再详述，下面直接给出斜齿圆柱齿轮的齿面最大接 触应力计算公式【4 】： ”缮 z ，鬻1 ( 1 2 ) 式中 z ”节点区域系数，考虑节点齿廓形状对接触应力的影响： z s 弹性系数，考虑材料的弹性模量和泊松比对对接触应力的影响； z ，重合度系数，考虑重合度对单位齿宽载荷的影响。 “齿数比，。垒： 、 z 1 乙螺旋角系数，z ，一；5 万，是考虑斜齿轮的接触线倾斜导致接触强 度有所提高而引入的系数； 其他符合意义同前式。 在过去的几十年中，用于接触问题的数值方法有了很大的发展，例如载荷增 量迭代法、数学规划法等。用到的离散模型有：有限元法和边界元法。用到的数 学模型有：约束法、柔度法、罚函数法以及拉格郎日乘子法【6 j o 采用有限元法求 解接触问题的关键是如何处理接触边界条件，应用比较广泛的方法有间隙单元法 和数学规划法。间隙单元法的基本思想是把接触边界之间的间隙区域处理成虚拟 单元，这样两个物体之间的接触系统就可以看成是一个整体，都可以进行有限元 网格划分，通过迭代调整间隙单元的弹性模量求出结果。然而在处理接触边界问 题上最有代表性和影响力的方法是将接触约束问题考虑为有约束的最小值问题， 用数学规划法和有限元相结合求解问题。无论是增量迭代法还是数学规划法都是 4 山东大学硕士学位论文 基于能量变分原理，仅是求解方法不同。 空间连续场的确定可以归结为泛函变分问题，也可归结为边界积分方程问 题。对泛函变分离散即为有限元法，对边界积分离散即为边界元法。边界元法的 基本求解步骤是首先根据弹性力学的控制微分方程建立边界积分方程，然后采用 边界元对边界区域进行离散得到线性方程组，最后求出结果。对接触问题而言， 边界元法与有限元法相比有以下几个显著优点：能直接求得区域边界上的面力、 位移和应力等参数；只对区域边界以及塑性区划分单元，故方程数目较少，计算 效率较高；对处理应力集中问题更为有效。近年来对于接触问题边界元法的研究 越来越受到学术界和工程界的重视【5 】1 6 1 。 1 2 斜齿轮造型方法的研究现状 斜齿轮的三维实体造型是进行三维有限元分析的基础，造型的关键问题是如 何精确形成渐开线螺旋面，即齿廓曲面。据公开发表的文献，斜齿轮的造型方法 从几何造型技术【7 l 的角度来看主要有以下三种。 方法一：构造实体几何法。构造实体几何法( c 0 n s t n l c t i v es o l i dg c o m e t 黟一 c s g l ，其主要思想是任何复杂的实体都可以通过简单体素在满足一定位置关系 下的集合元算得到。该方法通过刀具实体和齿轮毛坯实体之间的布尔运算模拟齿 轮实际加工过程，最终得到齿轮三维实体。文献【8 1 0 】在a u t o c a d 平台上，采 用狐或者a l u t o i j s p 开发工具，利用布尔运算，根据仿形法齿轮加工原理，对 斜齿轮加工过程进行三维动态仿真，最终生成斜齿轮实体。文献【1 1 】根据范成法 加工齿轮的原理，在a u t o c a d 平台上实现了斜齿轮的仿真加工。加工仿真造型 法可以直观地再现斜齿轮的加工过程，可以实现参数化控制，可以反映出加齿型 加工误差等加工信息，实现了c a d 与c a m 的一体化。该方法的缺点是为了得 到精确的齿廓曲面，必须采用足够小的进给步长，需要大量的布尔运算，非常耗 时，效率低。另外，生成的齿廓曲面总是多边形的，表面质量不好，不适合用于 有限元分析。 方法二：扫略成型法。扫略造型法( s w e e pr e p r e s e n i a t i o n ) 是基于一个基体 5 山东大学硕士学位论文 ( 一般是一个封闭的平面轮廓) 沿某一路径运动而产生特定几何体的方法。扫描 表示需要两个分量，一个是运动的基体，另一个是基体运动的路径：如果是变截 面的扫描，还要给出截面的变化规律。斜齿轮轮齿可以看作是由端面齿廓螺旋扫 略运动得到的，所以可以采用扫描造型法建模。斜齿轮的端面齿廓有相应的数学 函数表示，再加上a 山c a m c a e 软件所提供的扫略、拉伸、混合等造型方法， 就可以方便地生成轮齿实体。文献【1 2 1 5 】分别在s o l i de d g e 、u g 、p r o e 和a n s y s 等软件上通过该方法实现了斜齿轮的三维参数化造型。该方法的关键是如何精确 地建立端面齿廓的渐开线与齿根过渡曲线，如何构建螺旋轨迹，这在不同软件中 实现起来大同小异。该方法可以实现斜齿轮的三维参数化建模，生成模型的效率 较高，精度能够满足要求，可以用于有限元分析。 方法三：边界表示法。边界表示( b 0 u n d a r yr e p r e s e m a t i o n ) 认为实体的边 界是由面的并集来表示，而每个面又由它所在的曲面的定义加上其边界来表示， 面的边界是边的并集，而边又是由点来表示的。用该方法实现斜齿轮建模关键是 如何找到两组合适的参数曲线u 线和v 线，使网格划分尽可能均匀，并可方便 地求得每一个相应的交点坐标。文献【1 6 】借助于a u t o c a d 的二次开发工具a 实现了斜齿轮的表面模型和实体模型的建模。文献【1 7 】在a u t o c a d 中绘制出轮 齿两端的齿廓曲线及通过齿廓曲线两端点的齿根螺旋线后，用a u t o c a d 的“边 界曲面”命令，构造出了斜齿圆柱的轮齿表面模型。用该种方法实现斜齿轮的三 维建模，可以实现参数化控制，精度也可以控制，可以用于有限元分析，并且该 方法建模可以方便地附加各种非几何信息，如精度、表面粗糙度等。 1 3 斜齿轮有限元分析的研究现状 斜齿轮的有限元分析是伴随着有限元技术的发展而发展的，尤其是近年来随 着计算机技术的快速发展，有限元技术发展很快。从目前公开发表的文献来看， 斜齿轮有限元分析的研究主要集中在以下几个方面。 ( 1 ) 接触应力( c o n t a ds t r e s s ) 分析。接触问题属于典型的边界非线性问 题，是长期以来困扰工程界的一个难题。从公开发表的文献来看，很多人运用有 限元技术研究了齿轮的接触变形和接触应力问题。文献【1 8 】提出了实现快速求解 三维弹性接触问题的有限元一线性规划法，并首次分析了一对斜齿轮在对载荷分 铂不加任何假设的条件下，载荷沿斜齿轮接触带的分布。文献【1 9 】提供了一种有 6 山东大学硕十学位论文 摩擦的三维弹性接触有限元分析方法及其前处理和后处理技术，并成功地用于处 于啮合状态的斜齿轮。文献【2 0 1 提出了一种参数化啮合斜齿轮三维有限元网格自 动生成方法，并编制了相应的计算机程序。文献【2 1 】针对宽斜齿轮采用混合标架， 建立了轮齿在各个不同位置啮合时的有限元网格自动生成算法。文献【2 2 】针对建 立斜齿轮接触应力有限元模型所涉及的若干问题进行了分析，在此基础上编制了 包含内、外啮合并计及轮体结构的斜齿轮接触应力分析有限元建模程序。文献【2 3 】 提出了一种斜齿轮轮齿有限元网格自动生成的方法，并可以对生成的网格进行细 化。文献【2 4 】首先用范成自由生成有限元网格并计算齿面结点柔度阵，然后按啮 合过程生成齿面接触点，用二元插值获得齿面接触点柔度阵。文献【2 5 2 6 】在p f o e 中实现了了斜齿轮的精确建模，并一对齿轮进行标准安装生成啮合模型。把啮合 模型的几何数据导入a n s y s 中，并转化成有限元模型，运用完全牛顿拉普森方法 进行接触应力的静力学求解。文献【2 7 2 8 】研究了修形斜齿轮接触应力和弯曲应 力的分布情况。文献【2 9 】对斜齿轮传动进行了动态和静态的有限元分析，研究了 侧隙对轮齿冲击的影响。文献【3 0 】采用三维有限元法计算了斜齿轮轮齿的接触应 力，并分析了接触应力和齿廓修形量的关系。可以看出，早期的研究主要集中斜 齿轮的三维有限元网格的自动生成和合理化剖分、边界约束和载荷的有效施加等 方面。近期的研究主要集中在利用成熟的c a d c am f o 垣软件进行斜齿轮静态 和动态接触分析。 ( 2 ) 齿根弯曲应力( f i l l e ts t r e s s ) 分析。文献【3 1 】应用三维有限元法，确定了 最恶加载线位嚣载荷沿接触线上的分布状态，计算了这种载荷分布下斜齿轮的变 形及齿根应力，提出了精确、迅速计算最大齿根应力的方法。文献【3 2 】在a n s y s 中实现了齿根应力的参数化计算。文献【3 3 】采用有限元法研究了螺旋角、齿宽等 对斜齿轮轮齿齿根应力分布的影响。文献【3 4 】对齿根应力计算的i s o 公式和a g m a 公式进行了比较，并采用有限元法进行了验证。 ( 3 ) 模态( m o d u l e l 分析。模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是 系统辨别方法在工程振动领域中的应用。模态是机械结构的固有振动特性，每一 个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。文献【3 5 】采用有限元方法，研 究了斜齿轮的固有振动特性，分析斜齿轮的主要振动类型。 ( 4 ) 温度场( t e m p e r a t u r ef i e l d ) 分析。文献 3 6 】研究了：根据齿条型刀具加工 7 山东大学硕士学位论文 齿轮的切制原理，用解析法求得斜齿轮端面齿廓坐标，用坐标截面旋转法进一步 计算轮齿上各点的坐标，从而建立了一套适用于齿轮温度场分析的轮齿三维有限 元网格自动生成方法。文献【3 7 】基于对斜齿圆柱齿轮本体温度场的导热方程及其 等价的泛函分析，根据斜齿轮不规则几何形状及温度场复杂边界条件所做的合理 简化，建立了适用于斜齿轮本体温度场研究的有限元数学分析模型，提出了针对 斜齿轮稳态和非稳态本体温度场计算的分析方法。文献【3 8 】分析了轮齿热弹性变 形、载荷分配及综合刚度随啮合位置而变化的规律以及热弹性变形引起的基节差 与啮合位置的关系等。 1 4 课题的研究内容 本文主要研究内容是在通用的大型有限元分析软件a l l s v s 上，基于a p d l 语言实现斜齿轮弯曲强度和接触强度进行参数化三维有限元分析。主要内容如 下： ( 1 ) 斜齿轮的三维参数化精确造型。这部分主要解决的问题包括：根据坐 标变换原理建立以轮齿齿厚中心线为对称轴的渐开线齿廓数学模型；根据空间啮 合原理，建立过渡曲线的数学模型；基于a p d l 语言实现斜齿轮的参数化造型。 ( 2 ) 斜齿轮齿根弯曲应力的参数化有限元分析。这部分主要解决的问题包 括：采用c a d 方法确定最危险的加载位置；实现参数化加载；基于a p d l 语言 实现齿根弯曲应力参数化有限元分析全过程。 ( 3 ) 斜齿轮轮齿参数化接触应力分析。这部分的内容包括：共轭齿轮副模 型的建立；接触分析有限元模型的参数建立；接触算法的研究；基于a p d l 语言 实现轮齿接触应力参数化有限元分析全过程。 1 5 课题的研究意义 ( 1 ) 本课题将实现斜齿轮的三维参数化精确建模。由文献回顾部分可知， 尽管很多研究人员在有关c 雠a m c a e 软件上实现了“参数化”的斜齿轮建 模，但这个“参数化”是在“事先手动参与”后的实现的“参数化”，并不是完 全的全过程的参数化。另外很多研究文献忽略了齿轮根部的精确造型，而这是进 行轮齿根部弯曲强度有限元计算的重要前提。本文将建立斜齿轮的完整的实用的 数学模型，所谓“完整”，既包括渐丌线齿廓，也包括过渡曲线齿廓；所谓“实 用”，是指的以齿厚中心线为对称轴建立了齿廓的数学模型，这有利于三维c d 8 山东大学硕十学位论文 建模。并基于a p d l 语言实现了斜齿轮的三维参数化精确建模。 ( 2 ) 本课题将实现斜齿轮的参数化三维建模、参数化有限元分析的集成， 这必将提高工程设计的效率。由文献回顾部分可知，很多研究人员是在有关的 。狮软件上得到斜齿轮的三维模型，然后再导入到有关的。址软件上进行有限 元分析。这样做一方面无法实现c a d ，c a e 的有效集成，另外很重要的一方面就 是三维参数化模型导入到c a e 软件中后，不再具备“参数化”特征，从而在。垣 软件中无法对几何模型进行参数化控制，无法实现网格的参数化精确化剖分，无 法实现复杂载荷和边界条件的精确施加与求解，无法实现参数化后处理，无法实 现与a n s y s 数据库的适时交互，无法实现参数化有限元分析的全过程。 ( 3 ) 本课题实现斜齿轮轮齿弯曲强度和接触强度参数化有限元分析，相对 于传统计算方法，过程简洁，结果更接近理论和实际。传统方法设计齿轮时需要 查阅手册及大量的图表，并且整个过程有时需要大量的试算和反复，十分繁琐。 而采用参数化的有限元法则比较简洁，只需将有关参数代入编写好的程序上就可 以很快得到结果，计算精度同时也会在一定的范围内得到保证。 ( 4 ) 本课题将为齿轮的结构优化、轮齿修形、多物理场耦合分析、疲劳强 度分析等奠定基础。鉴于齿轮强度计算的复杂性，应当说本文的研究仍属于基础 性的工作。在本文研究基础上，可以方便地进一步研究齿轮的结构优化、轮齿修 形、多物理场耦合分析、疲劳强度分析、概率设计( 可靠性设计) 等。 1 6 本章小结 ( 1 ) 本章首先介绍了论文选题的背景：齿轮强度计算的复杂性和轮齿强度 计算方法的发展史。 ( 2 ) 对有关斜齿轮三维造型和有限元分析的文献进行了回顾和介绍。 ( 3 ) 确定了本文的研究内容及研究方法，并阐述了研究价值。 9 山东大学硕士学位论文 第2 章斜齿轮的数学模型及三维参数化造型 2 1 引言 如第一章所述，应当说在现有的c a d 平台上建立斜齿轮三维几何模型并非难 事，但是仍存在以下问题。 ( 1 ) 几何建模的精确性。这主要体现在对过渡曲线的处理上，很多文献均 是采用圆弧来作为过渡曲线的，这既不符合生产实际情况，也不利于对齿根弯曲 应力进行有限元分析。本章将在建立过渡曲线数学模型的基础上，对其进行精确 化处理。 ( 2 ) 有限元分析的参数化。在其他c a d 平台上进行几何建模，然后再导入到 a n s y s 中进行有限元分析，尽管这样做有利于充分利用不同软件的优势，但是这 样做将导致在a n s y s 中无法对几何模型进行参数化控制，无法实现网格的参数化 精确化剖分，无法实现复杂载荷和边界条件的精确施加与求解，无法实现参数化 后处理，无法实现与a n s y s 数据库的适时交互，无法实现参数化有限元分析的全 过程。鉴于此，本章将采用a p d l ( a n s y sp a r a m e t r i cd e s i g nl a n g u a g e ) 语言叫， 即a n s y s 参数化设计语言，实现斜齿轮的参数化建模。 2 2 渐开线齿廓的数学建模及绘制 2 2 1 渐开线方程 如图2 1 所示，当一直线在圆周上作纯滚动时，直线上任意一点的轨迹称为 该圆的渐开线，这个圆称为渐开线的基圆，它的半径用 表示；直线b k 称为渐 开线的发生线；k 为渐开线上的任意一点，它的向径用表示，渐开线a k 段的 展角用吼表示；渐开线在k 点的压力角用口。表示。掘文献 3 9 可写出渐开线的 极坐标方程式和直角坐标方程式。 渐开线的极坐标方程： 1o 山东大学硕十学忙论文 仨二蠹。飞 图t 一1 渐开线的定义 渐开线的直角坐标方程： 占：2 = 嚣： 其中参数u 与吼的关系为： 球- t a l l 口t yj 群& 、，) k n 训 i-l o x 幽2 2 直角坐标系中的渐升线 l1 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 山东大学硕士学位论文 2 2 2 渐开线齿廓的方程 为了便于计算机绘图，现以齿轮的圆心为原点，以齿厚的对称线为y 轴，建 立直角坐标系，如图2 3 所示。通过坐标变换推导出渐开线齿廓的方程为： p 2 瓴8 i n “一“c 0 5 ) 。0 s 6 + ( r 6c 0 8 “+ “8 协h ) 8 m 6( 2 4 ) i y i 一( 吃s i n l l 一吃h c o s “) s i n 6 + ( c o s “+ “s i n “) c o s 6 式中， 6 ，三一t 卸口+ a( 2 5 ) 歹ji 、b ， c o 叉 图2 3 直角坐标系中的渐开线齿廓 由于齿轮的基本参数确定之后，齿轮的模数和齿数不变，可见齿廓坐标z 、 y 的变化仅与齿廓的压力角吼有关。根据齿轮的基本参数可以求出口。的变化范 围。 在齿根圆处的压力角为： 确定 口r 。a r c c o s 量：a 舢s 筹! 罢i ( 2 6 ) ，z 一2 + c ) 在齿顶圆处的压力角为： 铲a r c c o s 詈一等 z + 功 ( 2 7 ) 由于齿数影响齿根圆与基圆的相对位置，压力角q 的变化范围可根据下式 l2 山东大学硕十学位论文 。跑s a 一等2 + 掳 2 c 0 s az c o s 口 8 5 云丽蚰一3 万万 2 2 3 渐开线齿廓的绘制流程 式4 1 ) ( 2 8 ) q z4 2 ) 渐开线齿廓是轮齿参与工作的部分，进行精确的参数绘制十分必要。当齿轮 的基圆半径确定以后，其齿廓范围可由压力角吒来决定。根据前面建立的渐开 线齿廓方程( 2 4 ) ，可以先绘制一侧渐开线然后通过a n s y s 中的镜像复制命令得 到另一侧的齿廓。绘制流程如图2 4 所示，绘制实例如图2 5 所示。 输入 比口 + c l - 匝过公或8 ) 确i 定口。的变化稠并按一定步长离款 l 通过公式( 3 计算“，通过公式( 5 计算6 j 通过公式( 4 ) 计算一系列离散点( x 。只) i j 蟹离敌点用样条曲线命令进行拟台。得至i 一侧齿廓 j 通过镜像复制命令得到另一侧齿廓 圈2 4 渐开线齿廓绘制流程幽 13 山东大学硕士学位论文 图2 5 渐开线齿廓绘制实例 2 3 齿根过渡曲线的建模及绘制 齿根过渡曲线形状取决于两个因素，一是刀具与齿坯的相对运动关系( 加工 方法) ，二是取决于刀具顶部的刃形。齿轮加工方法不同或采用刀具不同，加工 出的齿根过渡曲线则不相同。即使采用同一种加工方法用同一类刀具加工，若切 齿刀具的齿顶圆角半径不同，所得到的齿根过渡曲线也不相同。尽管过渡曲线在 齿轮工作中不参与啮合，但是它却对齿轮根部的弯曲应力有着重要影响。精确地 绘制齿轮根部过渡曲线是进行齿轮根部弯曲应力有限元分析的先决条件。 目前在齿轮生产中，根据采用的切齿加工刀具以及刀具齿顶圆弧形状，所切 出的齿根过渡曲线大致可分为以下5 种【3 】o ( 1 ) 采用齿条型刀具( 如滚刀) 加工齿轮时，如果刀具齿廓的顶部具有两个圆 角，则切出的齿根过渡曲线如图2 6 一a 所示，i ，i i 两段为延伸渐开线的等距曲线， i i i 段为齿轮的根圆圆弧。 ( 2 ) 采用齿条型刀具加工齿轮时，如果刀具齿廓的顶部只具有一个圆角，则 切出的齿根过渡曲线如图2 6 岫所示，i 段为一整段延伸渐开线的等距曲线。 ( 3 ) 采用齿轮型刀具( 如插齿刀) 加工齿轮时，如果刀具刀齿的顶部具有两个 圆角，则切出的齿根过渡曲线如图2 6 一a 所示，i ，i i 两段为延伸外摆线的等距曲 线，i i i 段为齿轮的根圆圆弧。 ( 4 ) 采用齿轮型刀具加工齿轮时，如果刀具刀街的项部只具有一个圆角，则 14 山东大学硕十学位论文 切出的齿根过渡曲线如图2 6 _ b 所示，i i i 段即为一整段延伸外摆线的等距曲线。 ( 5 ) 采用齿顶为整圆弧的成形铣刀加工齿轮时，切出的齿根过渡曲线如图 2 6 - b 所示，i i i 段即为一整段圆弧。 ( a )( b ) 图2 6 齿根过渡曲线 本文以第二种情况为研究对象来分析齿轮根部的弯曲应力。 2 j 1 刀具数学模型 图2 7 一a 为双圆角刀具的基准齿形，其参数的关系式如下： 4l j j l ：加+ c + ，雄一，o 6 - 等+ j i l 知t a n a + 忡s 口 c 朋 。f ：忑 式中： 4 刀具圆角中心到中线的距离； 6 刀具圆角部分的高度： r 0 刀具齿顶的圆角半径； 图2 7 七为单圆角刀具的基准齿形，其参数的关系式如下： 4i i l ：，竹+ c ，雄一r o 6 ：竺 2 删一4 ：t a n o 。1 = f l5 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 擎 山东大学硕士学位论文 式中符号意义同前式。 = 干。7 j彰鼗 2 3 2 过渡曲线的方程 ( a ) 图2 7 刀具的基准齿形 ( b ) 图2 8 过渡曲线的生成原理 如图2 8 所示，过渡曲线是节线在节圆上纯滚动时齿角画出的轮转曲线，其 方程可以通过啮合原理和坐标变化求得【删。据前文，当采用齿条型刀具加工齿轮 时，如果刀具齿廓的顶部具有两个圆角，则过渡曲线为延伸渐开线的等距曲线 其参数方程式f 3 l 如下。 l6 山东大学硕十学位论文 其中 唧一( 志甘n h ) 沦m 川蜘妒一( 志+ ) c o s 妒) 妒。三( 一+ 6 ) ，i a n a 口- 为变参数，其取值范围为： a a 三 2 2 3 3 过渡曲线的绘制流程 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 绘制过渡曲线必须先求出过渡曲线与渐开线的交点，从交点到过渡曲线与齿 根圆的切点之间的部分即为实际的过渡曲线。过渡曲线绘制流程如图2 9 所示， 绘制实例如图2 1 0 所示。 输入m 工盘 + f l 通过公式或( 1 吼计算出刀具参数 l 根据公式( 1 3 ) 对a 进行离散化处理 i 通过公式( 1 1 ) 计算一系列离散点( x ，；) l i 将离散点用样条曲线命令进行拟台，碍到一侧过渡曲线 l 通过镜像复制命令得到另一恻过渡曲线 图2 9 过渡曲线的绘制流利 17 山东大学硕士学位论文 图2 1 0 过渡曲线的绘制实例 2 4 斜齿轮三维实体的生成 2 4 1 端面齿廓的生成 有了前面生成的渐开线齿廓和过渡曲线，再加上齿顶圆弧和齿根圆弧就可以 生成一个完整的齿廓了。如图2 1 1 所示。 幽2 1 1 单个端面齿廓 18 山东大学硕十学竹论文 2 4 2 螺旋线绘制 乍多；s ， 协 2 4 3 斜齿轮三维实体的生成 在前面建立的端面齿廓和螺旋线基础上生成三维实体就比较简单了，可以通 过v d r a g 命令使端面齿廓沿螺旋线拖拉，就可以得到三维实体。如图2 1 2 为单 齿的三维实体，对单齿进行阵列复制并合并便得到完整的斜齿轮实体模型，如图 2 1 3 所示。 幽2 一1 2 单齿三维+ 戈体 l9 山东大学硕士学位论文 图2 一1 3 斜齿轮的三维模型 2 5 本章小结 ( 1 ) 本章基于a p d l 语言在a n s y s 环境下实现了斜齿轮的三维参数化精确建 模，这为后续的齿根弯曲强度和齿面接触强度全过程参数化有限元分析奠定了基 础。 ( 2 ) 通过坐标变换原理，建立了渐开线齿廓的数学方程；根据齿轮啮合原 理和坐标变化原理，建立了过渡曲线的数学方程。并在同一直角坐标系中实现了 两者的参数化绘制。 ( 3 ) 本章所确定的渐开线、过渡曲线、螺旋线的绘制流程和方法，具有一 定的通用性。可以在其他的c a d 平台上通过计算机语言编写程序实现斜齿轮的精 确建模。 2 o 山东大学硕十学位论文 第3 章斜齿轮轮齿弯曲强度的参数化有限元分析 3 1 引言 为了便于求解，在保证求解结果精确性和合理性的条件下，本文对斜齿轮轮 齿弯曲强度求解模型作了如下假设或者条件限制： ( 1 ) 考虑到计算的效率，根据圣维南原理和齿轮啮合的周期性，将整个区 域缩小到直接参与啮合的轮齿，并合理确定求解域范围和边界位移约束。 ( 2 ) 虽然实际上参与啮合的齿数总大于1 ，但考虑到真正起作用的是单齿， 取一个轮齿作为分析对象。 ( 3 ) 分析过程中时，不考虑温度变化和齿间摩擦力对弯曲应力的影响。 ( 4 ) 齿轮材料是连续的、线弹性的和均匀的，即在本章分析的载荷范围内， 齿轮的应力和应变间呈线性关系。 ( 5 ) 轮齿间的作用力在接触线的分布假设为均匀分布。 3 2 网格划分 网格划分是生成计算所需的节点和单元，是建立有限元模型的一个重要环 节。它要求考虑的问题较多，需要的工作量较大，是利用有限元法求解的最繁琐 的一步，而且所划分的网格形式对计算精度和计算规模将产生直接影响。a n s y s 中网格划分主要分为三个步骤：定义单元属性、设置网格控制参数、生成网格与 修正网格。网格划分的关键问题有：单元类型的选择、网格划分方法的选择、合 理的确定网格密度、网格质量的改进。下面分别进行阐述。 3 2 1 单元类型的选择 单元类型决定单元的自由度设置、单元形状、维数、位移形函数。在a n s y s 数据库中有2 0 0 余种不同单元类型可供选择。因此根据具体的工程问题确定单元 类型是很重要的。a m s y s 单元类型库中的三维实体单元有s o l i d 4 5 、s 0 1 i d 9 5 、 s 0 1 i d 9 2 、s o l i d l 8 5 、s o l i d l h 6 、s 0 1 i d l 8 7 等。它们的区别主要在于单元的节点 2l 山东大学硕十学位论文 数目不同、单元的阶次不同，另外在大变形适应能力、沙漏控制、积分控制等方 面也有差异。考虑到计算精度和计算经济性，在分析轮齿弯曲强度时。选择 s 0 1 i d l 8 5 单元。该单元通过8 个节点来定义，每个节点有3 个沿着x 、v 、z 方向平 移的自由度，单元具有超弹性、应力刚化、蠕变、大变形和大应变能力，还可采 用混合模式模拟几乎不可压缩弹塑性材料和完全不可压缩超弹性材料。 3 2 2 网格划分方法 a i l s y s 中的网格划分方法主要有自由网格划分、映射网各划分和体扫掠网格 划分三种。自由网格划分是自动程度最高的网格划分技术。它对所有划分的模型 没有特殊的要求，可以应用于任何模型的网格划分。在面上( 平面、曲面) 它自动 生成三角形或四边形网格，在体上它自动生成四面体网格。在自由网格划分时可 以应用a n s y s 内置的一个专家系统智能尺寸控制系统对网格的疏密进行控 制，也可以手工控制。尽管应用自由网格划分技术划分网格省时省力，效率很高， 但是由于它只能将体划分成四面体网格，这样造成有限元模型网格数量过大，降 低了计算的精度和速度，所以在对体进行网格划分时尽量不使用自由网格划分。 如果由于模型比较复杂，必须使用自由网格划分时，则尽量选用二次四面体单元 ( 如s o l i d 9 2 单元) ，不要选用线性六面体单元如( s o l i d 4