（基础数学专业论文）加权bergman空间上的复合算子.pdf

加权b e r g m a n 空间上的复合算子 摘要 在本篇硕士论文中我们探讨了加权b e r g r n a n 空间上的紧算子，紧复合 算子以及h a r d y 空间上一个复合算子与另一个复合算子的伴随的紧乘积 第一章我们对复合算子的发展作了简单介绍，给出了本文常用的定义 和主要结果 第二章证明了在单位圆盘d 上的加权b e r g m a n 空间印( 1 ，) ( 1 p o o ) 上 的满足一定可积条件的有界算子s 是紧的当且仅当其b e r e z i n 变换在边界趋 向于零 第三章证明了在一定条件下。伊中单位球上的加权b e r g m a a 空间 a ( ) ( 1 p 0 0 ) 上的复合算子。是紧算子的充要条件是当h 一1 一时 ( 1 一i ：1 2 ) ( 1 一i 妒( z ) 1 2 ) ，0 第四章证明了对满足一定条件的晶上的解析白映射仍妒，若一1 时， ( 心( 妒( 。) ) 心( 妒( z ) ) ) ( 1 0 9i 南l o g 赤h ) 一0 则c ；g 在h 2 ( 毋) 上是紧的 关键词 加权b e r 删m 空间；紧算子；b e t z i n 变换；复合算子；h a r d y 空间；角导数 c o m p o s i t i o no p e r a t o r so nt h ew e i g h t e d b e r g m a ns p a c e s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ec o m p a c to p e r a t o r so nt h ew e i g h t e db e r g - m a ns p a c e ，t h e c o m p a c tc o m p o s i t i o no p e r a t o r so nt h ew e i g h t e db e r g m a ns p a c ea n dt h ec o m p a c tp r o d u c t 0 fac o m p o s i t i o no p e r a t o rw i t ha n o t h e ro n e sa d j o i n to nt h eh a r d y s p 捌c e i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n to ft h ec o m p o s i t i o no p e r a t o rt h e - o r y , g i v e8 0 l n ed e f i n i t i o n sw h i c hw i l lb eu s e di nt h ep a p e r ，a n dg i v et h em a i nr u t so f t h ep a p e r i nt h es e c o n dc h a p t e r w ep r o v et h a ti fab o u n d e do p e r a t o rss a t i s 6 目s o m ei n t e g z a b l e c o n d i t i o n s ，t h e ns i sc o m p a c to nt h ew e i g h t e db e r g m a ns p a c ea p ( q ) o ft h eu n i td i s kf o r 1 p i fa n do l yi ft h eb e r e z i nt r a n s f o r mo fs 啪i s h 圈o nt h eb o u n d a r yo ft h eu n i t d i s k i nt h et h i r dc h a p t e r ，u n d e rs o m ec o n d i t i o n sw es h o wt h a ta c o m p o s i t i o no p e r a t o rc 0 i sc o m p a c to nt h ew e i g h t e db e r g m a ns p a c e 舻( ) f o r1 p ( 0 0o ft h eo p e nu n i tb a l li n c ”i f a n do n l y i f ( 1 一川2 ) ( 1 一i 妒( z ) 1 2 ) 一0a s h 一1 一 i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，f o rt w oa n a l y t i cs e l f - m a p so f 风u n d e rs o m ec o n d i t i o n sw e 8 l 脚t h t i f ( 心( 妒( 2 ) ) ( 妒( 2 ) ) ) ( 崦南l o g 赢w ) 一oa s 一1 ，t h e n o nt h ew e i g h t e d h a r d ys p a c e 2 ( 晶) 四g i sc o m p a c t k e yw o r d s w e i g h t e db e r g m a ns p a c e ；c o m p a c to p e r a t o r ；b e r c 2 i nt r a n s f o r m ； c o m p o s i t i o no p e r a t o r ；h a r d ys p a c e ；a n g u l a rd e r i v a t i v e 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其他机 构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在 论文中作了明确的声明并表示了谢意。 研魈名：髟、趣期： 学位论文使用授权声明 w 7 i 、 啾魏名、撼臌：孑坛吼川，f 厂 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 我承诺自觉遵守浙江师范大学研究生学术道德规范管理 条例。我的学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成 果、数据、观点等，均已明确注明并详细列出有关文献的名 称、作者、年份、刊物名称和出版文献的出版机构、出版地和 版次等内容。论文中未注明的内容为本人的研究成果。 如有违反，本人接受处罚并承担一切责任。 7 ： 0么髟 。早修 囊一寸 蛳师究0唰教人导 诺 承漕 一、绪论 ( 一) ，背景 复合算子的研究是解析函数论和算子理论结合的产物复合算子的研 究是利用经典解析函数论中的结论探讨线性算子理论中的一些最基本的问 题，同时也利用算子理论作为工具研究函数论中的经典问题；复合算子的 研究给解析函数论中古老课题的研究以新的方法，给泛函分析增添了一类 十分有趣的具体算子复合运算是函数间的一种基本运算，一个固定的函 数与某个函数空间上的函数复合作为该空间上的一线性算子进行研究则是 不久的事情，这可追朔到上世纪6 0 年代e a n o r d g r e n 的工作i ”近3 0 年来， 关于复合算子的研究引起了许多数学家的注意，大量非常深刻的结果不断 涌现，常常出现多篇文章从各种角度研究复合算子的同一个问题的情况 而且，许多有趣又十分基本的问题还未得到解决，新的研究课题则不断提 出复合算子涉及许多领域且在各种问题中自然地出现它们出现在乘法算 子和更一般算子的交换子的研究中，在动力系统理论中也起着重要作用 随着关于复合算子的专著1 2 3 4 1 的出现，该领域的研究正日趋深入 目前对复合算子的研究主要表现在以下几个方面 1 有界性在h a r d y 空间上复合算子的有界性的研究中，l i t t l e w o o d 从 属原理i s l 起了关建作用实际上他给出了更一般的结论，证明了嘲对d 的 解析自映射仍i p ( o ) = 0 及任意0 p 0 r 一1 ) 上是有界的1 4 】；其 中。把加权b e r g m a n 空间船( 权函数g 在【0 ，i ) 上非增且r i 一时g ( r ) 一0 ) 有界地映射到自身这一问题被广泛地研究t l k r i e t e 和b d m a c c l u e r 在i s l 中有如下结果：若 i i ，m 8 。u p 揣 o o ，m ( r 妒) = 曷彗i 妒( 圳 则g 把a 刍有界地映射到自身但上面的条件是否是必要的呢? t l 。k r i e t e 在【9 】9 中给出了详细的讨论后来m m j o n e s 在 1 0 】中对这一问题作了进一 步的研究对单位球上的复合算子，有如下结论：若妒：b n b n 是单叶 的且n c z ) = 怡j 样在岛中有界，则对所有p ，o 在胪( 风) 上有界( 见 1 3 , t h e o r e m 3 4 1 】) 2 紧性复合算子紧性的研究由h j s c h w a r t z l l i i 开始 j h s h a p i r o 和 p d t a y l o r 文章【1 2 j 使复合算子的紧性的研究更深入一步，他们研究了紧性 与角导数的关系，表征了h i l b e r t - s c h m i d t 算子，给出不是h i l b e r t - s c h m i d t 算子 的紧复合算子的例子，并证明了。在俨紧当且仅当。在：中紧等重要 的结果，引起了许多人的兴趣 b d m a c c l u e r 和j h s h a p i r o 进一步研究了 b e r g n u m 空间上角导数与复合算子的紧性的关系，提出了虽然在2 ( d ) 中， o 的紧性蕴含妒无有限角导数，但妒无有限角导数不是。在h 2 ( d ) 中紧 的充分条件i i s l 经过研究，j h s h a p i r o 等发现要使得h z ( d ) 上的复合算子。成为紧算 子，妒( z ) 靠近a d 的速度不能太快，接触d d 的点不能太多，为把这关于。 的紧性的直观原理描述清楚，j h s h a p i r o 终于找到了一种工具，即他引用 的n e v a n l i n n a 计数函数心( u ) ，他在1 1 4 】中利用心) 给出了俨( d ) 上的复合 算子的本性范数公式： i i c , i i ：= l i m m ”s u p 一i 。g ( w i 珂) ，i _ l 6l i 从而证得g 为h 2 ( d ) 上紧算子得充要条件为 l i m 掣：0 ， i _ 1 一一l q g i “，i 使得表述g 的紧性特征的问题得到较为理想的结果目前复合算子的紧性 被广泛的研究其中具体的进展我们会在本文的三四部分给出 3 谱1 9 6 8 年，e a n o r d g r e n 在f 1 】1 中首先考虑了可逆复合算子的谱， 由于q 可逆的充要条件是妒为m s b i u s 变换，他分三种不同的类型求出了可 逆复合算子的谱对于h ：( 阮) 上的复合算子，当妒为g 中的单位球阮的 自同构时。o 的谱有着与月：( d ) 情形类似的结构，这结构由b d m a c c a u e r 在1 9 8 4 年得到证实j 捌1 9 7 5 年，j g a u g h r a n 和h s c h w a r z 开始研究2 ( d ) 上 的紧复合算子的谱i m ，1 9 8 4 年b d ，m a c c l u e r 在h 2 ( 风) 情形得到了与俨( d ) 上 2 复合算子相应的结果1 9 8 9 年，m z o r b o s k a 将部分结果推广到加权h a r d y 空 间的情形吼 一般情形，日2 ( d ) 上的复合算子g 的谱的研究始于h k a m o w i t z 于1 9 7 5 年发表的论文i 坩】，他在假设妒在百上解析的条件下，得到了许多漂亮的结 果1 9 8 3 年，c c c o w e n 在他的论文【19 】中将k a m o w i t z 的结果作更一般性 的推广，在仅设妒在d 内解析的条件下，利用他的s c h r & l e r 函数方程的解 的研究及由他给出的迭代模型f 驯研究妒的谱复合算子的谱的研究中， 解决的较好的是可逆算子，紧算子及符号为内函数的复合算子o 的谱 的结构与妒的不动点的位置及性质有复杂的联系，在不动点中最常用的是 d e n j o y - w o l f f 点对于d e n j o y - w o l f f 点在d 内的符号妒，有许多未解决的问题 可以说，关于复合算子的谱的研究还刚刚开始，许多问题的解决还有待于 引入一些特殊的方法和工具 4 拓扑结构在1 9 9 0 年，c s u n d e r g 和j h s h a p i r o 在【2 1 1 中提出了复合 算子集c ( h ：) 的拓扑结构，并且寻找条件来刻划c ( h 2 ) 中的连通区和孤立元 素这是比较难的问题在【2 2 ，2 3 】中，c ( h * ) 中的道路连通区和孤立点被 完整刻划t h o s o k a w a 和s o h n o 在m 】中研究了作用在b l o c h 空间8 与小 b l o c h 空间玩上的两个复合算子的差的性质，在此基础上，他们在1 2 5 j 中研 究了c ( b ) 和c ( 玩) 的拓扑结构目前这方面的专著有【2 6 】 随着复合算子研究的发展，单位圆盘d 的h a r d y 空间h 2 ( d ) 上的复合算 子的研究已被众多作者推广到b e r 耶m n 空间，d i f i c h l e t 空间及各种加权的函 数h i l b e r t 空间；单位圆盘d 也被更一般的区域，如复平面中的上半面，有 界多连通区域，伊中的单位球或有界对称域等所代替，并得到了许多相应 的结果 ( 二) 一些记号与定义 我们将不加声明地使用下列记号及定义 定义1 2 1 令为f o ，1 ) 上的正连续函数，称妒为正规的，如果存在两个 常数o b ( o o 0 3 定义1 2 2 每个解析函数妒：风一风引导出爿( 既) 上的线性算子 巳f = f o l p ， 称为h ( 晶) 上由妒导出的复合算子 在本文中我们对加正规权b e r g m a n 空间上的紧算子，紧复合算子及h a r d y 空间上一个复合算子与另一个复合算子的伴随的乘积的紧性做了探讨，得 到如下结果： a 设1 m ( m 如2 2 1 所示) ，满足 s u p0 最1 1 1 k p 6 ( 在本部分，我们总设o b ) ，令妒( f ) = ( 1 一t 2 ) a ( f ) ，则 显然妒为与两常数q 一6 和。一n 相对应的一个正规函数，且( ) 妒( ) = ( 1 一t 2 ) o ，这时称 毋，纠为正规偶与妒一样，对q 【1 ，o o ) ，可定义b a n a c h 空间l q ( d j ) 及小( 妒) ，其模记为”l l 。弗 在本部分，我们总设1 p 1 ，以l ：t 记胪( d ，d 嘲) ，其模为 ，、l | | ，l i 钿一= ( oi , ( z ) f 川( z ) ) 磕口中解析函数组成的闭子空间记为月知 文献【2 7 】之定理1 证明了圮上的满足一定可积条件的有界算子是紧的 当且仅当其b e r e z i n 变换在边界趋向于零2 0 0 4 ，李颂孝和胡俊云在【3 5 】中将 此结果推广到日( b ) 上本文将此结果推广到a ，( 毋) 上 ( 一i ) ，预备知识 对z d 令为d 上的m 6 b i u s 变换： 仇【伽j 2 i _ = 面 我们将常用的仇的几个性质： 妒；。m ( 卸) = w ；1 - i ，：( ”) 1 2 = 史二二告掣 对于，l 1 ( 毋) ，有下面的公式： 厶m ) d m p = 厶胍) 警告谔挎等d t n ( n 由0 ( a ) = a ，可见上面的公式可写成如下形式： f df ( q ( 训嘲= 加，警锔桨乎圳 对z d 定义k 为 一( ) 上的算子： ( 1 4 f ) ( w ) = ( ，o 妒：) ( 似) 七z ( w ) i g _ - 里也( 硼) ： 云害：藩文献【3 6 j 之引理li y 日5 1 y x 寸比d ，k 为( ) 上 的有界算子，且吁= ，对于f 加( 妒) ，g 印( 妒) ，有( k ，g ) = ( f ，k 9 ) 对 s b ( a ( ) ) ，令最= v ：s v , 引理2 2 1 设( x ，q p ) 为任一测度空间，i p ，若k ：x x f 是 0 n 一可测函数，且： ( ( i 七( z ，v ) i ，d p ( z ) ) ；d p ( ，) ) 。 。 6 则由 ( k f ) ( x ) = ，( f ) | 扛，咖缸( ) 定义的积分算子k 在p ( p ) 上是紧的( 【3 7 1 中1 7 7 页习题7 ) 下面的结果被称为s c h u r 定理，是判别积分算子有界性的有力工具，参 见文献【3 8 】中定理3 2 2 引理2 2 2 令( x ，p ) 为测度空间， ( ，) 为x x x 上可测函数，且t 是 扩( x ，弘) 上由k ( ，) 诱导的积分算子， ( t f ) ( x ) = l ，( z ”) ，( m ( 9 ) v f 胪( x p ) 对1 p ( p 一1 ) b ，容易验证： m a c 一! ，一p - b ，一竺一! + 2 d ，2 d p - b 一! ) m 1 ，存在相应的常数c 使得 厶旧酬训铲删蚓小c b 加。， 7 对每个。d ，且 厶l p 虬) ) i 旦嘉是萨 ( z ) 一d 承z ) g i i 氏l 队。咄 ) ， 对每个”d 成立 引理2 , 2 4 如果s b ( 月( 妒) ) ，z d 则 雪。忱( 删) = 丽研丽( s i , k 孤w k 孤w ) 丽， 证明参见文献f 3 6 j 引理7 引理2 , 2 5 设s 是舻( ) 上的有界算子，若存在t 1 使得s u p ：e d0 咒1 忆，口 0 0 ，且z a d 时，雪( z ) 一0 则对任意c 【1 ，) ，：一o d 时，i i s , a l l 。；一0 证明先证对任意的非负整数叱有( 1 ， ”) 一0 0 一o o ) 设入d ，由引 理2 2 4 s o ( a ) i k ( a ) 。( ) 忆0 k 。( ) 忆十= ( 咒 ，h j ) 虬的t a y l o r 展式为 、f t ，1 ：手如f 。颤1 m 如：! 竺! ! ! ! ! ! ：! ! 竺! 虬( t ，) 2 互如( 赢) ”，风= 竖型业专手翌型 m = u 而且有( 参见文献【3 8 】，引理4 2 2 的证明) 厶2 m c f f ( 1 一d m ( ) = 瓦1 因此 ( 8 , k a ，风) = 如岛最矿，) r 从 m j = o 对任意给定的非负整数n ，及r ( 0 1 ) 有 ，雪。亿( a ) l 也( a ) 一i 心。( ) 0 鼬) p o ( r 2 一”) ”1 d m ( a ) ，r 工， = m = 0 风风州i s w m t o m + n ) j ( 。2 m + 2 n a ( r 2 一m a - l d m ( a ) ( 2 删 作变量代换a = 嘈，则 j ( 。咿”训。( r 2 _ m d m ( a ) = 厶r 2 ( m + n + a - 1 ) 铲”圳口( 1 一。一1 拥( f ) = r 2 ( ”+ ”“一1 风 r 所以，( 2 2 1 ) 的右端= 箍or 2 如+ n + 。一1 阮( w ，w m + n ) = r 2 ( n + a - 1 ) ( ( s z l ，w “) + r “卢击( 足叫，“) ) ，t t = l 容易看出z a d 时，忱( a ) 在r d 上一致趋向于o d ，因此由z o d 时， 雪( z ) 一0 ，雪o ( a ) 在r d 上一致收敛于零而( 2 2 2 ) 左端之积分的模 i 雪。忆( a ) | i 也( a ) 1 2 0 f 0 。( ) 0 p ，十0 心。( ) i i q p i i r n ( r 2 一i a l 2 ) 。一1 d m ( a ) ，r 工， 由文献1 3 1 】中命题2 2 知存在常数c ，使得 l 也( a ) m 耳p ：( ) 口j 0 ，( ) 忆p c l k ：( 帅l 一似啪。而( 1 一啪 而 = g 揣阳高阿 c 2 面邛而鬲 又因 i d 口( r 2 一2 ) 0 。1 d m ( a ) + m ， 由l e b e s g u e 控制收敛定理，有( 2 2 2 ) 之左端一0 0 一a d ) ，所以 ( 1 ，加“) + r 饥f k ( s z 俨，t 一”) 一o ( i z 一1 - ) ( 2 2 3 ) i = 1 对每个r ( 0 ，1 ) 都成立而 ( 最t ，”，t ，“+ “) = ( s ( w ”o 妒：也) ，t ，。+ ”o 妒。k ；) d o s 0 也f f p 一i 也口砷 = a ( 1 一川2 ) ”1 i i s l l l l k 。l l ，一i i k 。l l 。p c 忪叭 上面第二步根据h 6 1 d e r 不等式及 i t p mo l p # j 1 ，i 加m + “o 妒：i 1 9 最后一步应用了文献【3 1 】中命题2 2 取整数i ，使i 1 ， 厶【j ( 最1 ) ( a ) i c i l d 弼( a ) = o ( 1 ) ( a ) | | 2 s ；。u 。pl l ( & i ) ( a ) i ：。4 因此“最l i 。) ：e d 一致可积由1 3 9 】中1 3 , 3 - 1 3 4 页习题1 0 可得 ：l i f oi i ( 最i ) ( a ) i i c ，p 一。0 ： 证毕 ( 三) 、主要结果 1 0 定理2 3 1 设1 m ( m 如( 2 2 1 ) 所示) ，满足 s 。u 。pi i s 。1 i i p 一 ，8 z “e d pi i s ：1 i i m 。j d 则8 在舻( 妒) 上是紧的当且仅当z a d 时，雪( z ) 一0 ， 证明设s 是紧算子因蠼在舻( ) 中随着川一1 一而弱收敛于零1 3 1 故2 一a d 时，i l s k * 1 1 ，十一0 再由h 6 1 d e r 不等式知：z a d 时，雪( 。) 一0 若。一d d 时，雪( 。) 一0 ，我们证明s 为紧算子因 ( s ，) ( ) = ( s f ，“) = ( ，s ) = 口：) 雕) 万研i ( 卜”1 d m ( z ) = n ：，( 。) ( s k ：) ( t ”) ! - ! ；i i ；萨d ，n ；( z ) ， 故s 为以o ( s 亿) ( 1 l ，) 解为核的积分算子对r ( o 1 ) ，定义印( ) 上算子 5 1 ，i 如下： ( ( ”) _ 0 ，。他) ( s 酬叫) 舻螂 s m 为以口( s 虬) ( 叫) 艺旁擀骼d ( = ) 为核的积分算子我们用引理2 2 1 证明s i f t 为舻( 咖) 上的紧算子由文献【3 1 1 中命题2 2 知。存在常数c ，使得 所以t 疥丐俨= 巷黔 z 。( 肌洲叫) 铲惭；( ”) ) 5 d i n ；( z ) _ 口口厶努( 加酬刮嘲( ”) ) ；嘲 纠i l s l l 。z 。锚等- l ，q 一芒瑞蜊 ( 删s i i ) 。j r r d 亭蒜 因此，s l d 为舻( ) 上的紧算子而s s l d 为以n ( s 也) ) 艺帚衅x d ，。( z ) 为 核的积分算子对固定的c ，且m c 女，由假设可知， g = 眦p l l 最z l l 。 ：r h 1 ) 0 0 ，岛= s u p i i s ；1 1 1 。m 十 ， ：d 将引理2 2 3 中i ( s 忆) ) 1 1 ；茜酵换为f ( s 虬) ( ”) i 鼍乒蹄x ，j ，”( 。) ，有： j ( ，i ( s f ( ：) ( m u ) l ! - ! ；i ；i 5 ；! = x 。、，z ，( z ) ( m u ) 。d ，n ；( m u ) o ) 是指f ，( 既) 中满足 厶j m ) j 咖( z ) 0 0 的函数所组成的空间 对定义1 2 1 所给出的正规函数，我们定义单位球上的加正规权b e r g n u m 空间以础表示风上加权l e b e s g u e 测度： 坼) = 器d r ( 巩 易见其为晶上有限测度对1 b ) ，令1 ；f | ( ) = ( 1 一t 2 ) 。( ) ，则显然1 ；f ，为与两常数口一b 1 3 和。一a 相对应的一个正规函数，且( ) 妒( ) = ( 1 一2 ) 。，这时称协妒 为正 规偶与一样，对口【1 ，o 。) ，可定义b a n a c h 空间l 。( 妒) 及 a ( 妒) ，其模记为 | i p 在本部分，若无特别说明，我们总设1 o ) 上紧当且仅当g 在h 2 ( d ) 上紧1 9 8 6 年，b d m a c o l u e r 和j h s h a p i r o 在【1 3 】中证明了若g 在 俨( 晶) ( p o ) 上紧。则l i m k i 1 一芒若繇= o ；同时证明了若l i m 。l 一订l - 卉z 却2 = 0 ， 则g 在加权b e r g r m m 空间砧( d ) 上紧1 9 9 2 年，t l k r i e t e 和b d m a c c h e r 在f 4 1 】中证明了若g 为正则快速权，则。在船( d ) 上为紧算子的充要条件 是u m k i - 1 一磊= 0 2 0 0 1 年，d d c l a h a n e 在 4 2 】中证明了若。在加权 b e r g m a n 空间 。( 风) 上有界且l i r a 。一( t ! 帚孙) “”桫( z ) 1 1 2 = 0 ，则。在加权 b e r g m a n 空间a ( 玩) ( 岛隗) 上紧最近，k z h u 在1 2 8 】中证明了在假设复 合算子g 在a t ( 一1 o t 0 ) 上有界的条件下，g 在加权b e r g m a n 空间j 4 ；( 岛) 上是紧的当且仅当1 i m h - - 一t 兰i ； 挤= 0 本文在单位球上的加权 b e r g m a n 空间舻( 妒) 上讨论该问题，得到类似的结论对于一般的正规函数 以a 2 ( 妒) 不是h i l b e r t 空间，因此我们的证明方法与【2 8 】有所不同 本文中c 表示正常数，但出现在不同的地方可能不同称两个量q 。和 q 是等价的是指存在正常数a ，g ，使得c 1 q t q ：g q 。，记为q t q 。 ( 二) ，预备知识 对z 风，风上的m 6 b i u s 变换仍定义为 咖，= 等笋t t ，风 1 4 其中只为伊到由。生成的子空间h 的正交射影，q = ，一只，如= ( 1 一h ：) 风上的伪双曲度量p 定义为 p ( o ，”) = i 妒：( t ，) i 对z 晶和0 r 1 ，伪双曲度量球d ( z ，r ) 定义为： d 如，r ) = t t ，b n ：p ( z ， ) r 关于m 6 b i u s 变换和伪双曲度量球的详细的讨论可见f 4 0 ，4 3 】 引理3 2 1 1 4 0 设0 r 1 ，则对p ( ：， ) 足有 ( 1 一l t l ，f 2 ) 一( 1 一l ：1 2 ) 一1 1 一( t b ，。) i 由正规函数的定义，可见当川z 时， 掣吲笋矧眺错， 而当川l z i 时， 错酬眺等 因此对非负实数s ，有 州，锷笋+ 掣笋 仕z ， 引理3 , 2 2 设0 r 1 ，则对“。t ，) 0 ，扬 0 ，一1 一1 ，t 0 ，则。在确上有界当且仅当 涩( - 咔1 2 ) 厶f 意耘 ( 三) 、主要结果 设1 p ，在正规偶的定义中选择适当的n ，使得p ( b n ) o ，则易见 存在卢满足如下条件； 一1 一m i n p a ，扫一1 ) 8 p 0 ，g 在月5 上有界，则。在舻( ) 上 紧当且仅当 l i 。r a 古- o ( 3 s - 2 ) ”= 莜奔刮7 婷。七 1 6 证明印( 妒) 的再生核为 虬( 加) 2 矿靠， 因 g 亿= 心( 。) ， 故由推论3 2 1 ，引理3 2 3 及( 3 2 1 ) ，有 厶l c ；( 糕) f 蜘，= 志厶。研 、c ( 1 一阡) “( ) 曲q ( i z i ) 7 妒“妒0 ) 1 ) ( 1 一l 妒( z ) 1 2 ) “( r 1 c ( 击躲n ( q - x ) 妒( 业鹕1 瓣华+ 业黔1i * 擀1 坦( 一2 ) 和( 一2 ) 4 0 = 簪l - z 2 l + ( 布御) “ 由推论3 2 2 在印( 砂) 中虬川亿忆p 随着i z l 一1 一而弱收敛于0 ，于是c = 在 加( 妒) 上紧蕴含( 3 3 2 ) ，从而g 在俨( 妒) 上紧蕴含( 3 3 2 ) 反之，若( 3 3 2 ) 成立，下面证明。是( 妒) 上紧算子 对r 舻( 庐) ，：既，由印( 毋) 的再生核的性质有 ( 。，) ( z ) = ( ， k ) = c 口- l 厶矿丽( w 而) ( 1 痧- 1 w i 硒1 2 ) 1 而8 t j ：( ”) ( 3 删 对r ( o ，1 ) ，令骼为d 俨r i z l 1 上的特征函数定义扩( ) 上的 积分算子露如下： ( 耳，) ( 。) 2 厶珥( z ，叫) 伽) 螂( 加) ， 其中 眦= 煮黯端 设 m r = 蚓s u 水p 1 南1 躲r (一l 妒i zj i - 令t = n 一+ 1 ) 加，由于厣满足( 3 3 1 ) ，可知 m a x o ，b a p t m j n a ，n 口，( 3 3 4 ) 设 ( ) = ( 1 一l 1 2 ) 一，贝0v z ， 厶眦，州州蜘，= 厶掣畿茏端；撕) 锑厶篙糕希蛐， c i x ，( z ) ( 1 一l 妒( 。) 1 2 ) 一， 上面最后的不等号得自引理3 2 3 和( 3 3 4 ) 再由m 的定3 t - - i g 厶珥( z w ) h 9 ( ) 螂( t u ) c 岬 。( 。) ( 3 3 5 ) 为控制耳的范数，还需要下面一些估计 厶帅川怍蝴加以巡掣蝌翳斟焉字型撕) 铺c ”，铡竽厶掣筹蝌 由( 3 2 1 ) ，上式中最后的积分小于或等于 鸹1 黔厶掣1 错w ) l+ 高1w l 正。譬1 群w ) l - + o 邛3 。，( 一i 埘1 2 ) 砷，且。j 一( 妒( z ) n + o 。( 一i2 ) 舯，8 。j 一( 妒乜) ， 。、小m ”， 令厉：如一p t 一1 则 - 1 卢= 肿一一1 厉， 由假设g 在砧上有界以及引理3 2 4 ，g 在a 盏上也有界 3 2 5 ，( 3 3 6 ) 式小于或等于g 矿( ) ( 1 一1 w 1 2 ) 一o i 一因此 上研( ：，叫) 旷( z ) 螂( 。) c h 9 ( 埘) 故由( 3 3 5 ) ，( 3 3 7 ) 和引理2 2 2 ，露在( 妒) 上有界，且 由( 3 3 4 ) 和引理 ( 3 3 7 ) i l t , l i c 彬 ( 3 3 8 ) 设协) 为舻( ) 中的弱收敛于0 的序列，则 ) 是有界序列且在晶的 任一紧子集上一致收敛于0 由( 3 3 2 ) 可得如下分解， ( o ) ( z ) = bz ) + g i ( 。) ：既 1 8 其中。 眦) - k 掣端蜘) ， ，- 厶哿筹撕， 因 ) 在r 上一致收敛于0 ，故 恕厶。i 最( z ) 1 9 螂( 山) = o ( 3 3 9 ) 由于妒将巩的紧子集映为既的紧子集，可见o 在晶的紧子集上一致 收敛于0 ，再由( 3 3 9 ) ，可见在风的任一紧子集上，瓯一致收敛于0 因此 舰k ，协i 螂- + o ( 3 3 1 0 ) 由霉的定义， 厶f 瓯r 螂丘陋i c , 1 9 螂+ c 口一t 厶i 露( 1 i ) i 螂 因 在扩( 妒) 中有界，由( 3 3 8 ) 可知 j 8 。1 7 ，( i f k l ) p 螂cm t 联合( 3 3 1 0 ) 可得 “m s u p ， 巩i c , l 螂龟一l c 彬 由假设( 3 3 2 ) 知r 一1 一时，肛一0 故 恕厶l g l 川- + o ( 3 3 1 1 ) ( 3 3 9 ) 和( 3 3 1 1 ) 导致 舰厶l o i 螂= 0 所以。是 ，( 妒) 上紧算子定理证毕 1 9 四、日2 ( 玩) 上的复合算子 ( 一) ，预备知识 记伊中的单位球面为s d a 记s 上的h a a r 测度若，为单位球反内 的函数，0 r 1 ，以 记，的膨胀函数，定义为l ( z ) = f ( r z ) ，z b n 对于 0 p o o ，记 h 2 ( 取) = ( ，( 风) ：牌上 d a o 。) t 称之为h a r d y 空间h 2 ( 晶) 为h i l b e r t 空间，内积为 ( ，9 ) = 1 i mj sf ( ：) 口( 。) 曲( z ) - 兀( t l ，) = ( 1 一( ”，z ) ) 一为h 2 ( 晶) 的再生核，即对任意的f h 2 ( b ) ，有f ( z ) = l j 。k 0 以出记晶上的正规的l e b c s g u e 测度在本部分，对一1 口 0 ，由假设，存在0 r 1 使得 l 鹎笔鬻等 0 ，存在i k l l = 1 ，使得 0 q q 厶= s u p i ( c ；o 厶g ) 1 =s u p i ( g 厶，q 9 ) | 9 e h 2 ( b a i l # l i = 1 g e h 2 ( 巩) 1 l g l l = 1 5 + l 厶( 妒( o