（金融学专业论文）MCMC在企业财产险产品定价中的应用.pdf

硕士学位论文 摘要 在财产保险公司中，纯保费法是企业财产险产品定价中的一种重要方法，纯 保费法定价中的一个重要环节是经验估费，其估计是否准确直接影响到保险公司 的产品定价，并对公司经营的其他相关环节产生重要的影响，因而历来都受到了 保险公司和监管机构的重视。b n h l m a n n s t r a u b 信度模型估费方法是目前广泛应用 于费率厘定的一种方法，这种方法由于原理简单、操作相对简便而受到了保险公 司的青睐。但是b t l h l m a n n s t r a u b 估费法也存在很多缺陷，当历史赔付数据不全 时，该法通过对历史数据的统计推断得到的未来年度的保费具有很大的不可靠性， 没有客观地反映出现实状况的随机性，并且得到的估计结果是确定的点估计值， 没有给出相应的置信区间分布。b n h l m a n n s t r a u b 信度模型估费法定价的不足促使 人们寻找其他更有效的方法来对它进行改进。 随着统计与计算机技术的发展，随机模拟的方法被引入到风险保费定价法中 来。本文采用了马尔可夫链蒙特卡罗( m c m c ) 模拟方法，以传统的 b n h l m a n n s t r a u b 信度模型为基础，建立了d a g 随机模型，结合企业财产险业务 的实务数据，利用w i n b u g s 软件来进行模拟，完成了对未来年度企业财产险平 均赔付额、风险暴露量、信度因子以及信度保费的预测估计，通过纯保费法厘定 出预测费率。与在传统的信度估费基础上的纯保费法相比较，这种方法能够比较 客观地模拟出各保单组合未来年度的赔付情况，反映出现实状况的随机性，计算 精度较高，为财产保险公司准确厘定企业财产险费率提供了更大的参考空间。 关键词：企业财产险定价；经验估费；b 曲i m a n n s t r a u b 信度模型；马尔可夫链 蒙特卡罗模拟 a b s 留a 战 l 臻p p e 建yi 簸s 醢豫鑫e ec o 趣p 鑫爨i e s ，f i 呔p f e 糙h i 爨燃e l h o di sa 娃i 撵p o 娃鞠乏毽e 耄h o d 耄o p r i c ee n t e r p r i s ep r o p e r t yi n s u r a n c e s i n c ee x p e r i e n c er a t i n gi sav e r yl m p o r t a n tp a r to t 正呔p 薹e 趣醢i mm 戡h o d ，b o t 量li n s u f e r s 翘dg o v e f n m e 嫩sf o c u s ni t b 娃h l m 强舢s 专r a u b c r e d i b i l i t vm o d e lm e t h o dh a sb e e nw i d e l yu s e di ne x p e n e n c er a t l n g ，w h i c hl sv e r y s i m p l e ，a n dm a n yi n s u r e r sp r e f e r i t 。1 y 欲b n h l m a n n s t r a u bc d i b i l i t ym o d e lm e t h o d 羽s o 董l a sm a n y 纛i s a ( 1 v a n 协g e s f 。rc o m p u t i n gt 量l ep r e m i u mi nt h e t u r e ，w h e nt h e p a v m e n td a t ai si n s u f n c i e n t ，t h ee s t i m a t e de x p e r i e n c ep r e m i u md o e s n tf e f l l e c t t h e s t o c h a s 专i ec h 氍a 髓e f i 懿i c 鑫稿i s 藏雠d e p e 纛d 处l e 。觚鑫矧辩巍， h eb 浊l m 雒蕤_ s 乏f 越b c r e d i b i l i t vm o d e lm e t h o dp r o v i d e st h ev a l u e o fp o i n te s t i m a t i o n ，p e o p l ec a nn o tg e tt h e d i 鼗r i b 躐i o no ft h ee s t i 擞撕o ni n l e a l ，l no 斑e rl os o l v el h ep b l e 搬，王ml 秽i 娉t o m o d i f vt h eb n h l m a n n s t r a u bc f e d i b i l i t ym o d e lm e t h o di nt h i st h e s i s w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs t a t i s t i ca n dc o m p u t e rt e c h n o l o g y s t o c h a s t l cs l m u l a t l o n h a sb e e nu s e di n 砖s 重【p f e m u i m 俄i n g ，l nt h i st h e s i s ，w ec o n s l m c t t h ed a g c f e d i b i l i t y m o d e lt og e tt h ep a y m e n t sp a l t t e r n si nt h ef u t u r ey e a r so nt h eb a s i s o ft r a d i t i o n a l b 曲l m 鑫勰& f 描b嚣e d i b i l l 宝y m o d e lb yu s i 鑫gm c m ca l 鬈o f i | 蠹m s 鑫埘f i 专h 也e i m p l e m e n t e du s eo fw i n b u g s c o m p a r i n gw i t h r i s kp r e m i u mm e t h o db a s e do n 妇d 赴i o 蹦b 曩h l 擞a n n s 童f a 拉be r e d 谂i l i l y 搬o d e lm 蠛h o 南专h e 菠o c h a s t 沁s i m 毽l 鑫t i o n m e t h o dc a no b i e c t i v e l ys i m u l a t et h ea v e r a g ec l a i m s ，“s ke x p o s u r e s ，c r e d i b i l i t yf a c t o r a n dc r e d i b i l i t yp r e m i u mi nt h e 如t u l l ey e a r sa sw e l l a si m p r o v et h ep f e c i s i o no ft h e 哪m e r 氇毫i o n w h i c hp f o v i d e sm o f ei n f o f m 贰i o n 曲o l l t 泌s u f e f p f i c el n a 硒n gf o rp r o p e 或y i n s u r a n c ec o m p a n i e s k e yw o r d s ：e n t e r p r i s ep r o p e r t yi n s u r a n c ep n c i n g ；e x p e “e n c er 砒i n g ；b n h l m a n n _ s t r a u b c r 醚i b i l i l ym o d e l ；m a 威o v c 量l a i nm o 挝ec a f bs i 黜l 鲢i o n m 硕士学位论文 插图索引 图4 。董部分经验风陵暴露量的历史骂尔可夫链孰迹。3 5 图4 2 经验风险暴露量的自相关性图3 6 图4 ，3 风险暴露爨模型霹条马尔可夫链的运动轨迹，3 7 图4 4 风险暴露量模型g e l m a n 黜b i n 检验图3 8 图4 5贝叶斯保费的密度函数圈4 l 鬻4 5 部分贝叶新傈费的历史马尔霹夫链轨迹4 2 图4 7 贝叶斯保费的自相关性图。4 3 图4 s 平均赔付额模型鳃条马尔可夫链的运动鞔迹。4 碡 图4 9 平均赔付额模型g e l m a n r u b i n 检验图4 5 m c m c 在企业财产险产品定价中的应用 附表索引 表4 19 组地区8 年内的赔付额历史数据3 0 表4 29 组地区8 年内的平均赔付次数、风险暴露量历史数据一3 l 表4 3 平均赔付额模型的参数代码3 2 表4 4 拟合优度参数代码3 2 表4 5 赔付次数模型的参数代码一3 3 表4 6 风险暴露量模拟结果的统计表3 5 表4 7 风险暴露量模型拟合优度检验统计量3 9 表4 8 企业财产险风险暴露量随机模拟预测值3 9 表4 9贝叶斯保费模拟结果的统计表4 0 表4 1 0 平均赔付额模型拟合优度检验统计量4 6 表4 1 l 企业财产险平均赔付额随机模拟预测值4 7 表4 1 2 企业财产险平均赔付额传统法预测值4 8 表4 1 3 信度因子z ，与信度保费p 的后验估计：4 8 表4 1 4 两种方法下信度保费的比较分析4 9 表4 1 5 参数口i 的后验估计一5 0 表4 1 6 参数和，的后验估计5 0 表4 1 7 目标赔付率5 l 表4 1 8 最终赔款预测值5 2 表4 1 9 费率厘定5 2 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名：弓；段播日期：砂铝年。r 月铝日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 导师签名： 嘭；怕 日期：瑚年护s 月“日 日期：砂8 年万月彤日 硕士学位论文 1 1 选题背景与意义 第l 章绪论 众所周知，保险业作为一项比较特殊的金融行业，与一般企业的最大的不同 就在于其经营过程是先取得收入( 保费收入) ，后发生支出( 保险金给付) ，公司 在某项业务上所取得的最终收益在保单签发时并不确定，必须在保单终止后才能 够确认，而且，保险公司所保障的风险具有很大的不确定性，被保险人提出索赔 的时间与金额也具有很大的随机性。保险的这一特性，使得人们越来越关注保险 业的稳定发展。伴随着入世，我国保险业将面临着外资保险公司的严峻挑战，在 资本金实力、管理水平和专业技术都不具有明显优势的情况下如何同外资企业竞 争，从而保持自身的稳健发展已是保险业所关注的热点。 保险产品定价是财产保险公司经营过程中的一个重要的环节，保险产品定价 过程可分为两个方面建立充分费率与设定实际价格。充分费率是满足保险公 司长期利润目标的费率，而保险公司设定实际产品价格则还需要考虑公司的市场 份额目标与竞争环境等多方面因素。保险产品价格是建立在充分费率的基础上， 却不一定等于充分费率，公司可根据其自身的行销目标设定出比充分费率更低或 更高或与充分费率相等的价格。 充分费率的厘定是由纯保费、费用附加及风险与利润附加三个部分组成，索 赔的期望损失金额，也称为纯保费，它是风险暴露量和平均赔付额的乘积，企业 财产险具有普遍的差异性和一定的可信性，是个体风险的特征。在用纯保费法定 价中，由于保险公司在保险产品中所面临的最大的风险就是未来赔付额的不确定 性，即使是从事费率厘定工作多年的精算人员也无法准确衡量这种不确定性。但 是平均赔付额的估计对产险公司的很多方面都产生影响，如果平均赔付额被高估， 则产险公司保险产品的定价可能会偏高，将导致该公司保险产品的竞争力下降， 产品的市场萎缩；如果平均赔付额被低估，则产险公司保险产品的定价可能会偏 低，将导致该公司的利润下降，所以本文把研究的重点放在对未来赔付金额的估 计上。 信度模型( c r e d i b i i i t vm o d e l s ) 在经验费率厘定系统中的应用一直十分广泛， 依据经验数据在费率厘定过程中的利用方式，信度模型主要被区分为有限波动信 用( 1 i m i t e df l u c t u a t i o nc r e d i b i l i t y ) 和最大精度信用( g r e a t e s ta c c u r a c yc r e d i b i l i t y ) 两种不同的途径。b n h l m a n n s t r a u b 模型是现今最为基础的最大精度信用模型，它 在均方差最小的意义下导出信度保费( c r e d i b i l i t yp r e m i u m ) 计算公式，在某种意 m c m c 在企业财产险产品定价中的应用 义下是一种最接近真实风险保费的估计，贝叶斯方法的应用提高了模型的有效性。 尽管如此，该模型仍保持简单的线性估计和经验贝叶斯估计的特点，结构参数的 估计依赖于现有的历史数据，在数据资料不足的情况下很难得出结构参数的无偏 后验估计；此外，长期以来高维数值计算的困难，也在很大程度上制约了贝叶斯 方法的应用，因此，保险公司都在不断寻求新方法来提高对未来信度保费预测的 准确性。 从某种程度上来讲，保险公司的精算人员就是负责处理公司的各种数据，为 公司的稳健经营提供专业的分析和技术支持。而统计理论与计算机技术的发展， 为保险行业的数据处理提供了强有力的支持，表现之一就是随机模拟的思想被引 入到保险行业，越来越多的应用到保险公司各种数据的处理和分析中。在平均赔 付额、风险暴露量的估计方面，就是通过大量的模拟，力图使得信度保费的厘定 更接近真实情况，提高预测的准确性。采用随机模拟方法之一就是利用贝叶斯方 法，通过实际观察的数据来调整先验信息，在不断的调整中，使得预测结果更加 接近真实情况。当精算人员拥有某些信息，如相似业务的索赔数据，可以对参数 构建先验分布，利用实际观测到的数据，如赔付额、风险暴露量等对先验分布进 行调整，充分利用已有的信息来提高预测的准确性，并利用软件，通过随机模拟 的方法生成随机变量或参数，不断地进行迭代运算而得到模拟结果。由于保险事 故发生具有不确定性，因此采用随机模拟的方法可以更好的拟合现实情况。这也 是本文的出发点合尝试进行的工作，从而为我国的非寿险保险产品的保险定价提 供一种比较新颖的方法。 1 2 文献综述 在企业财产险定价中，纯保费法广泛应用于保费定价，而信度理论也常应用 于纯保费法中的经验估费。依据经验数据在估费过程中的利用方式，信度模型可 以分为有限波动理论和最大精度理论，前者着眼于经验数据的稳定性，而后者更 注重区别保单组合数据的非同质程度。b n h i m a n n s t r a u b 信度模型是现今最为基础 的最大精度信度模型，它在某种意义下是一种最接近真实风险保费的估计。 成世学( 2 0 0 2 ) 【l 指出该模型可视为由多个互相独立、且具有相同结构函数的。 b n h l m a n n s t r a u b 单合同模型相嵌而成，这种组嵌方式使得估计未知结构参数成为 可能。在阶段性地展示了建立此模型基本假设的过程后，给出了纯保费与预测值 的信度估计的简明公式。刘乐平、袁卫( 2 0 0 2 ) 嗡出该模型的信度估计是贝叶斯 估计的最佳线性近似，因其允许将误差估计的不确定性融入到研究过程中而提供 出更为完整的问题分析框架。 m o w b r a y ( 1 9 1 4 ) 硎在c a s ( c a s u a l t ya c t u a r i a ls o c i e t y ) 的学报中第一次提出并 2 硕士学位论文 建立了关于历史赔付数据的完全信度的标准，也就是有限波动信度理论。其核心 思想是仅依据投保人自身的赔付经验来确定其保费，从大数原理考虑，为使这样 确定的保费是可信的，必要求自身的索赔经验数据是稳定的，即要求自一周期至 另一周期索赔经验数据出现的起伏是适中的。 当认为完全信度是不合理的时候，则需要确定合适的信度因子z ，也要根据风 险情况的新变化加以调整。这是由非寿险经营的连续性所决定的。同时，在非寿 险精算中，一般不要求所有的估计都是无偏的，这就是需要采用信度方法对各个 估计进行合理的加权。信度理论就是研究这种加权过程的理论，包括信度权重公 式的推导，以及对公式中出现的参数进行估计等内容。 信度理论有两种基本方法：有限波动信度( i i m i t e dn u c t u a t i o nc r e d i b i l i t y ) 与 最大精度信度( g r e a t e s ta c c u r a c yc r e d i b i l i t y ) 。这两种方法的区别主要在于：有限 波动信度方法旨在控制数据中的随机波动对估计韵影响，丽最大精度信度方法则 试图使估计误差尽可能的小；前者着眼于经验数据的稳定性，后者则更注重甄别 保单组合数据的非同质程度。 下面本文将从这两种信度方法入手，分别介绍在实际应用中的一些信度模型， 并在本章最后引入贝叶斯估计方法在信度模型中的应用。 2 3 1 有限波动信度理论 有限波动信度是对信度问题进行定量分析的第一次尝试，最先由m o w b r a y ( 1 9 1 4 ) 提出，随后是w h i t n e y ( 1 9 1 7 ) 。还有另一篇经典的文章是由b a i l e y 于 1 9 5 年发表的，其后的许多文章将一些经典的统计方法应用到了信度理论中，包 括贝叶斯分析、最小平方近似和回归分析等。最近关于有限波动信度中使用近似 方法的研究是g o u l e t ( 1 9 9 7 ) 毗他提供了三种近似方法：经典的正态近似，正 态幂i i 近似以及e s s c h e r 近似。在这里，先简单回顾一下正态近似。 假设一个团体在过去的时间f ( f l ，2 ，3 ，z j ) 里已经历了损失k ，也可以把 z 看作是一个团体里的第f 个保单的经验或费率表中某一类别的第f 个成员的经 8 硕士学位论文 验。假定e ( r ) = ，砌r ( z ) = 仃2 ，歹= ( i + 艺+ + 耳) 丁，从而e ( 歹) = ， 附( f ) = 盯2 。 一、 2 3 1 1 完全信度 通常索赔较少的被保险人希望自己以后所交的保费能够以他过去的信息为基 础来厘定，当被保险人的经验大到一定程度时z = l 。另外一种定义就是当相对稳 定的歹与的偏差很小，这种概率较大时，这时可以取完全信度，用数学公式表 达如下： 尸( - 厂歹一掣) p ( 2 8 ) 标准化后得到 尸 1 剽学 p 定义 y ：业 仃 一州 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) y h 他 尸( 1 剥铒卜 那么完全信度的条件就是厂歹矗y p ，或者 丢毒打= 层 这里气= ( y ，厂) 2 ，等价于 哳( 歹) = 等等 9 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) m c m c 在企业财产险产品定价中的应用 丁埘 当n 足够大时，由中心极限定理可得 貉母( 0 1 ) ( 2 1 2 ) 可以表达为 2 3 1 2 部分信度 尸( i z j i y ，) = p ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 当认为完全信度是不合理的时候，则需要确定合适的信度因子z 1 时，贝j 得到一个完全信度，因此，总结前面司 z 叫缛) ( 2 2 0 ) 2 3 2 最大精度信度 b n h l m a n n ( 1 9 6 7 ) 提出了另一种估计方法e ( i o = 曰) ，p 是描述每一个保单 持有人在费率分级中的风险水平的风险参数。b n h l m a n n 定义。的分布为万( 臼) ， 1 0 硕士学位论文 把它看作是一个结构方程，而b a y e s i a n s 把它看作参数o 的先验分布。 b n h i m a n n 给出了e 所+ 。( 臼) ik ，耳 的最小期望平方差的近似公式，这里 所+ 。( 目) = e ( 写+ i o = 口) ，最小期望平方差的近似公式为 e 黔酬2 ) 2 - ， 这就是b n h l m a n n 的信度估计。 2 3 2 1b n h l m a n n 模型 对每一个风险参数为。的团体，过去的损失】，= ( k ，写) 有相同的条件均值 和条件方差 ( 目) = e ( rio = 臼) ( 2 2 2 ) u 妒) = 附嘶l o = 日) ， ( 2 2 3 ) 定义 = 皿p ) 】， ( 2 2 4 ) d = 研( u ( 臼) 】， ( 2 2 5 ) 口= 哳阻( 占) 】 ( 2 2 6 ) 通过推导可得b n h l m a n n 信度保费的表达式 ( 1 一z 址+ 万， ( 2 2 7 ) 这里 z ：一旦一 ( 2 2 8 ) u ，+ 一 如果定义 七：竺：里堕型q 三墼 ( 2 2 9 ) 口哳【e l = 6 j 那么信度因子为 z ：j l ( 2 3 0 ) 需要被估计。 m c 轰莲c 在金渡赋产险产品定价中我应愿 2 3 2 2b n h l m a n n s t r a u b 模型 在b n h l m a n n 模型里没有考虑过去保单年里不同数量的风险暴露单位或者赔 付额度的不同分布，为了解决这些问题，转曲l 撤a n n 和s l 怒u b ( 1 9 7 0 ) 提出了广义 的b n h l m a n n 模型即b t l h l m a n n s t 跚曲模型，他们假设 露 10 = 曰) = ( 静) ， ( 2 31 ) y 函( 1 0 = 学) = u ( 移) ， ( 2 3 2 ) 织是在第 个保单年度里的风险暴露量。 在b n h l m a n n 模型里，已经得出单个团体在每个保单年度里的赔付额均值 ( 臼) 和方差u p ) ，在b n h l m a n n s t r a u b 模型里，用姣作为第，个保单年度里的样 本规模，这样，模型就建立在样本均值哥避的基穑上了。为了定义的方便，用来 表示样本均值，( 目) 为总体均值，u ( 矽) 加，为第，个保单年度里的样本均值的方差。 与b n h j m a n n 模型里的定义一样，z 的均值，方差以及协方差为 e ( z ) = ， y 函( 誓 = 耖，磁+ 盘， v ( 乓，z ) = 口。 同样，可以定义 彬= m + + 坼， 这是总的风险暴露量，透过推导可得b 曲l 搬鑫鞋娃s t f 雒b 信度保费的表达式 ( 1 一z 址+ z y z ： ! w + x ， j | = 竺 这里y 是l 的加权平均值，权重为q ，这样有 ，= 喜警， 需要被估计。 2 3 ，3 贝叶斯统计分析 2 3 3 1 贝时斯方法的回顾 在现实生活中，人们要做出决策时会面临缀多不确定的因索，通常人们都利 1 2 硕士学位论文 用统计的原理对这些不确定因素进行分析推断，称为统计推断。统计推断通常可 以利用三种信息：总体信息、样本信息和先验信息圈。仅仅使用前两种信息的统 计学称为经典统计，三种信息都使用的是贝叶斯统计。 贝叶斯统计方法起源于英国学者贝叶斯( b a y e s ，t r 1 7 0 2 l7 6 1 ) 的一篇论 文论有关机遇问题的求解。在此文中，贝叶斯提出了著名的贝叶斯公式和一种 归纳推理的方法。此后，数学家拉普拉斯用贝叶斯的方法导出了重要的相继率， 贝叶斯方法逐渐为人们所重视。伴随着近代概率论的发展，贝叶斯方法从2 0 世纪 3 0 年代起逐渐发展为一个有影响的统计学派，在工业、经济、管理等领域中得到 广泛应用。圈 假设已观察到的数据为x ，未知参数为臼，x 的分布类型为f ( x ，臼) ，在连续情 形下相应的密度函数为，( x ，p ) ，估计参数9 的贝叶斯方法与经典的数理统计方法 的一个基本区别就是把参数目看作为随机变量而不是普通变量，这样口本身应该有 一个概率分布。贝叶斯公式可简化为： ( 曰j x ) 芘( 臼) ( x 1 秒) ( 2 3 3 ) 其中，( i ) 和( ) 分别表示条件概率分布和边缘概率分布。从( 2 3 3 ) 式可以看到 后验分布是成比例于似然函数( xi 臼) 与先验分布厂( 秒) 的乘积的。这个后验分布 就是建立在先验分布的基础上，经过实际观察数据调整得到的。 2 3 3 2 贝叶斯方法在信度模型中的应用 由前面了解到，占表示某一特定对象的风险特征的风险参数，万( 臼) 为它的分 布函数， 无i e ( 儿i 乡) 为损失或索赔关于目的条件分布函数。对于特定的一组团体， 观察到y = 少，】，= ( i ，耳) 。刚，假设关于该团体的风险参数是未知参数口，而且 在不同的风险暴露期团体的经验是相互独立的，用统计语言来描述就是以口为条 件的平均损失或平均赔款z ，写，耳+ ，是相互独立的圈。 定义r 的条件分布为 五| e ( 只l 目) ； f = l ，丁，丁+ l ( 2 3 4 ) m c m c 在企业财产险产品定价中的应用 通过推导，b a y e s i a n 保费为 e ( 写+ 。陟= y ) = ，h “氏1 r 似+ ，涉) 嘞q ， ( 2 3 5 ) 或者 e 辑+ 。陟= y ) = ，佴+ 。( 臼) 唧( 乡i y ) 棚 ( 2 3 6 ) 因此，b a v e s i a n 保费是关于假设均值的期望值。 2 3 4 参数估计 在b n h l m a n n s t r a u b 模型里，参数，u ，口由样本估计值所替代，而这些样 本估计值是通过无参数，半参数以及参数化的方法得来的。一般而言，结构密度 函数万( 乡) 中的未知参数被称为结构参数嘲。当得不到先验信息或者得到的先验 信息很少时，可能需要使用数据来估计结构参数，通常情况下，万( 臼) 和五l e ( 只f 曰) 没有被确定，如果假设五f e ( 儿i 乡) 有一个参数形式( 如泊松分布，正态分布等) ， 而刀( 曰) 没有，则称这种方法为半参数估计；如果假设五i e ( 儿1 日) ，万( 臼) 都有参数 形式，则称这种方法为完全参数估计圈。半参数估计有一个优点，它可以适用于 更广泛的条件，在这里，主要讨论半参数估计。 首先，扩展数据的形式，对( 1 ) 个团体的每一个合同，已经观察到了单位风 险单位的平均损失巧= ( 巧，) ，_ ，= l ，2 ，。假定随机向量 一，= l ，) 是相 互独立的，关于第个团体的风险参数为臼，= l ，2 ，同时假设目，_ ，= l ，2 ， 是相互独立且有相同结构密度函数万( q ) 的变量o 的真实值，当歹固定时，假设 随机变量。i o ，相互独立且具有概率密度函数丘i e ，( y 声i q ) ，f = 1 ，乃。在这里， 和f 有两种解释，第一种解释，歹代表一个团体，f 代表某个团体中的一个人； 第二种解释，j 代表一个团体，f 代表年份，夕打表示团体歹在第f 的平均损失。 对于团体j ，_ ，= l ，2 ，可能有一个己知的风险暴露向量 m = ( _ 。，) ，如果= l ，可得b n h l m a n n 模型。方便起见，定义 1 4 硕士学位论文 ltjf 【 彤= ；彬= 比= ； ( 2 3 7 ) - l- l= lr 1 乙= 罴；z 一勃； z ，= l ：z 一 | z ，； 。训，+ 1 ，石。 踣喜曩= ； t = 喜 w j 表示团体- ，过去总的风险暴露量，矿，表示团体_ ，过去的平均损失，歹。为总 平均损失，z ，表示团体_ ，的信度因子，z 表示总的信度因子，j ，z 是团体样本均 值的信度加权平均值，兰为权数。 互 考虑b n h l m a n n 。s t r a u b 模型， y 的无偏估计为 经推导得到的无偏估计为 丘= r 壹兰k ( 匕一歹，) z 移= 旦旦厂一 ( 乃一1 ) ，= l 关于口的无偏估计为 a = ( 彬一考- 喜以 。 薹_ c 矿，一歹。，2 一移c j 一， 至此，已经得出了，y ，口的无偏估计，它们都是无参数且没有分布的假 设，但是，它们却不是唯一可用的无偏估计。另外，a 有可能小于零即a 强一q 1 专薹弘 3 4 - 2 2 p ( 哆i 叭甜，) 的完全条件分布 一口j ) 由( 3 。1 7 ) 式可知p ( 呜l 歇气) 成比例子 ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) e x p 怯小e x p 陆喜( 训2 2 ， 由( 3 2 1 ) 可推导得 因此有 e x p 一掣卜 、a c e x p ，r 2 2 7 _ ( ，+ 乃) 2 巧( 五一 ( r + 弓) i ( 珏) ( ，+ t ) ( 3 2 2 ) 嘶叫 南( 酬，南 ， 2 3 ) 百 鹋。硼 咿 吖 x ， 胪 、u 弋 = 1 _ _ i 川 置 2 互 1：； 硕士学像论文 越= 阱 3 4 。2 3 p ( i ) 的完全条件分布 由( 3 1 7 ) 可知，p ( l 纵) 成比例于 l 虿 螟= ( 嚷，。，) ，由( 3 2 4 可得 怯阱方麟p ， 2 4 ) 附鲁， ， 2 争； z 服从c h i - s q u a r e 分布，自由度为。 3 。4 。2 。4 p ( r 、的完全条件分布 ，p 、) 懿推导与夕( | 矿、) 类僦，毒( 3 。差了) 霹褥 盘此可 ! 霉 ( 3 2 5 ) 婶、) 芘赤糕p 隅嘉酗吵卅t 经2 6 l 啊等， ( 靠一一呼) ， 霹= 立上l 磊一，2 弓 o 乒l 至此把( 3 。1 5 ) 式中的d a g 模型与上面推导( 从( 3 1 6 ) 到( 3 。2 6 ) ) 得来的 完全条件分布合并在一起，可看到对d a g 模型进行抽群模拟莳适程： 令矿= 从暾，吒，旌，；，攒篇( ，y ， m c m c 在企业财产险产品定价中的应用 1 、给从q ，q ，设定初始值 2 、从p ( i 矿) 得到 3 、从p ( 吩i 矿、吩) 得到吩，= l ， 4 、从p ( 以i 叭以) 得到霞 5 、从p ( 以p ) 得到 3 4 3 贝叶斯d a g 赔付次数模型 在b n h l m a n n s t r a u b 模型里，d a v i dp m s c o l l n i k 对贝叶斯d a g 赔付次数模 型做如下假设，每一个团体包含了不同数量的合同w 一它表示团体，经历在t 期 的风险暴露量，。表示团体j 在第t 期的赔付次数。利用泊松分布来模拟各事故 年的赔付次数模式，所有的打是相互独立的且以w 打和曰，为条件的，即 耻r 栅f 册m f 臼) _ ，= l ，：f = 1 ，丁。口f 表示团体j 每单位风险暴露的赔付次数。 这里假设g 肜册，撇位，) ，w 矿肜研嬲( 口，6 ，) ， 其中口鲷聊撇( c ，d ) ， 觥( p ，) ，口，堋咖删( o ，g ) ，6 ，绷咖删( o ，办) ，c 、d 、e 、f 、g 和h 为常数 值。 3 4 4 赔付次数模型完全条件分布的推导 由3 1 6 及3 1 7 式可知，按照这种方法，可以推导赔付次数模型的完全条件 分布。 令矿= 岛，易，口，刀，矽= ( 儡，钐) ，矿y 表示集合矿中除了v 之外其他所有 节点。 由( 3 17 ) 式可知 p ( e i 矿q ) r l p ( 以1 w 声q 汩( 易i 口，夕) ( 3 ，2 7 ) 鲫嬲 + 虬，+ ) ( 3 2 8 ) f = lf = 1 由于该分布不依赖于够以外的其他乡，所以p ( bp 嘭) 可写成p ( qi ，瓯) 采用同样的方法可得，p 扛p 、口) 即 硕士学位论文 p ( 州肌垂旭旧刚小 怎九垂盯矿q 州砒】 ( 3 2 9 ) ，= i1 、u ，= l 该分布不是标准的分布形式，通过对密度函数取对数，。司以达到w i n b u g s 抽样模拟的要求。 同理，p ( i 矿) 即 ， p ( i ，臼，口) 甜”1e x p ( 一【g + 厂】) j = 1 ， 一娜嬲( 儿+ e ，b + 厂) ( 3 3 0 ) j = l 从而把( 3 1 5 ) 式中的d a g 模型与上面推导( 从( 3 2 7 ) 到( 3 3 0 ) ) 得来的 完全条件分布合并在一起，可看到对d a g 模型进行抽样模拟的过程： 令矿= q ，易，口，) ，秒= ( 岛，易) ， 1 、给，b ，易，口，夕设定初始值 2 、从p ( gy 巳) 得到够，_ ，= 1 ， 3 、从p ( 口f 矿、口) 得到口 4 、从p ( i 矿夕) 得到 2 9 m c m c 在企业财产险产品定价中的应用 第4 章对企业财产险产品定价的实证分析 4 1 企业财产险随机模型的取数与建立 4 1 1 企业财产险随机模拟的取数 某保险公司企业财产险9 个地区8 个观察年度的平均赔付历史数据l ， _ ，= l ，9 ，f = 1 ，8 ，如表4 1 所示，括号内注明了当年该地区参与投保的企业数 目，记为缈一n a 表示缺失观测值。保险公司希望利用这些数据来预测出每个地 区第9 年的风险保费y ，。，并进一步识别出各地区的风险级别，由于缺失一些观测 值，单纯地使用传统的信度估费模型，将忽视缺失数据对结构参数估计的有效性。 表4 19 组地区8 年内的赔付额历史数据 第1 年第2 年第3 年第4 年第5 年第6 年第7 年 第8 年 2 5 6 0 62 3 7 6 0 2 7 4 2 62 3 3 3 7n an a9 l1 0n a 地区l ( 9 8 9 )( 8 1 2 )( 8 4 9 )( 8 7 1 )( 7 5 0 )( 1 3 9 1 )( 2 0 2 8 )( 4 1 7 0 ) n an an an a1 6 9 7 4n a1 0 2 4 49 6 0 2 地区2 ( 1 0 2 8 )( 9 5 5 )( 8 2 2 )( 9 9 0 )( 9 5 0 )( 9 6 8 )( 1 0 3 9 )( 1 1 8 4 ) 7 4 4 38 8 2 61 1 2 8 97 1 7 l1 5 1 0 31 0 0 7 01 3 0 0 69 9 2 5 地区3 ( 1 8 0 4 )( 1 5 1 3 )( 1 3 8 8 )( 2 0 2 3 )( 1 2 0 3 )( 2 0 6 9 )( 1 7 6 4 )( 1 6 8 8 ) n al l l 9 28 6 7 09 1 6 49 l 1 68 3 0 5 6 7 8 3 6 3 5 8 地区4 ( 1 5 1 9 )( 1 1 3 4 )( 11 9 5 )( 1 1 3 7 )( 7 7 6 )( 1 3 2 3 )( 1 5 5 5 )( 1 5 5 0 ) n an an a2 2 3 4 01 4 7 4 2n an a2 1 0 9 0 地区5 ( 8 4 )( 9 2 )( 8 9 )( 1 1 4 )( 9 4 )( 1 0 4 ) ( 1 1 0 )( 9 1 ) 5 0 7 l1 1 0 3 81 3 9 9 41 4 2 2 51 1 3 2 96 8 8 57 8 3 9 8 7 5 3 地区6 ( 1 8 2 7 )( 7 5 7 )( 6 9 5 )( 6 5 7 )( 6 3 0 )( 9 9 0 )( 1 l o o )( 1 0 6 1 ) 1 3 8 9 31 4 2 0 9 2 8 8 0 l2 0 6 3 71 2 6 6 01 3 2 2 81 3 2 6 2 2 5 0 2 7 地区7 ( 1 7 7 2 )( 1 3 2 3 )( 11 0 9 )( 1 0 6 7 )( 1 5 4 6 )( 1 8 4 4 )( 1 3 4 7 )( 1 3 5 3 ) 9 6 9 21 2 1 6 61 4 4 5 31 2 1 7 51 0 1 5 9 n a 3 6 5 59 7 3 5 地区8 ( 1 3 8 3 )( 1 0 0 9 )( 1 1 0 0 )( 1 3 4 5 )( 1 0 9 9 )( 5 6 0 2 )( 2 5 3 5 )( 1 1 3 0 ) 1 3 4 5 5n an an a n a 2 9 2 2 6 ， 3 5 9 1 63 2 8 2 8 地区9 ( 1 0 0 4 )( 5 8 4 )( 9 5 5 )( 4 4 2 )( 4 5 7 )( 3 9 5 )( 4 5 5 ) ( 6 4 9 ) 硕士学位论文 表4 29 组地区8 年内的平均赔付次数、风险暴露量历史数据 第1 年第2 年第3 年 第4 年 第5 年第6 年第7 年第8 年 7 0 2 6 9 87 3 97 7 l 1 1 2 51 1 2 81 0 3 38 1 4 地区l ( 9 8 9 )( 8 1 2 )( 8 4 9 ) ( 8 7 1 ) ( 7 5 0 )( 1 3 9 1 )( 2 0 2 8 )( 4 1 7 0 ) 8 4 37 4 97 9 08 1 88 7 65 9 25 3 65 2 8 地区2 ( 1 0 2 8 )( 9 5 5 )( 8 2 2 )( 9 9 0 )( 9 5 0 )( 9 6 8 ) ( 1 0 3 9 ) ( 1 1 8 4 ) 5 9 31 4 3 l 6 0 25 3 95 9 6 6 4 26 6 97 0 4 地区3 ( 1 8 0 4 )( 1 5 1 3 )( 1 3 8 8 )( 2 0 2 3 )( 1 2 0 3 )( 2 0 6 9 )( 1 7 6 4 )( 1 6 8 8 ) 5 7 96 7 36 9 67 5 75 4 78 4 81 0 2 78 9 8 地区4 ( 1 5 1 9 )( 1 1 3 4 )( 1 1 9 5 )( 1 1 3 7 )( 7 7 6 )( 1 3 2 3 )( 1 5 5 5 )( 1 5 5 0 ) 9 26 l5 86 53 96 l 4 54 8 地区5 ( 8 4 )( 9 2 )( 8 9 )( 1 1 4 )( 9 4 )( 1 0 4 )( 1 1 0 )( 9 1 ) 3 6 73 1 72 9 83 5 24 3 03 8 04 3 33 3 6 地区6 ( 1 8 2 7 )( 7 5 7 ) ( 6 9 5 )( 6 5 7 ) ( 6 3 0 )( 9 9 0 )( 1 1 0 0 )( 1 0 6 1 ) 7 4 85 7 l6 2 45 7 l6 8 96 8 66 3 66 9 4 地区7 ( 1 7 7 2 )( 1 3 2 3 )( 1 1 0 9 )( 1 0 6 7 )( 1 5 4 6 )( 1 8 4 4 )( 1 3 4 7 )( 1 3 5 3 ) 4 8 45 1 35 0 l5 2 04 5 92 3 92 6 53 2 4 地区8 ( 1 3 8 3 )( 1 0 0 9 )( 1 1 0 0 )( 1 3 4 5 )( 1 0 9 9 )( 5 6 0 2 )( 2 5 3 5 )( 1 1 3 0 ) 3 7 33 1 72 5 92 5 02 2 l 2 3 6 ， 3 2 44 8 3 地区9 ( 1 0 0 4 )( 5 8 4 )( 9 5 5 ) ( 4 4 2 ) ( 4 5 7 )( 3 9 5 )( 4 5 5 )( 6 4 9 ) 注：1 - 数据范围为某公司企业财产险中财产保险综合险9 个省份地