（应用数学专业论文）广义bloch空间上的复合算子与微分算子的乘积.pdf

中文摘要 本文主要研究了单位圆盘上广义b l o c h 空间之间及小b l o c h 空间之间的复合 算子与微分算子的乘积算子的性质，给出了它的有界性和紧性的充要条件，全文 共分为六部分： 第一部分，简要介绍了本文需要用到的一些基本概念，并指出了近些年在这 个领域内的一些主要工作，相当于是一个前言同时，还在本部分给出了主要的 结果 第二部分，给出了本文所需要的一些引理及证明 第三、四、五、六部分，给出了本文的主要定理的证明 关键词：广义b l o c h 空间；小b l o c h 空间；微分算子；复合算子；紧性； 有界性 a b s t r a c t s o m ep r o p e r i t i e sf o rt h ep r o d u c t so ft h ec o m p o s i t i o no p e r a t o ra n dd i f f e r e n t i a t i o n o p e r a t o rb e 协傥ng e n e r a l i z e db l o c hs p a c e si nt h eu n i td i s k a r ed i s s c u s s e di nt h i sp a p e r a bt h em a j nr e s u l t 8o ft h i sp a p e r ，as u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o ni sg i v e n f o rt h e p r o d u c t st ob eb o u n d e d a n dc o m p a c tb e t w e e ng e n e r a l i z e db l o c hs p a c e s ，a sw e l la sl i t t l e b l o c hs p a c e s t h ep a p e ri sm a i n l yd i v i d e di n t os i xc h a p t e r s t h e 缸s ts e c t i o ni 8t h ei n t r o d u c t i o no ft h ew h o l ep a p e r w h i c hi n c l u d e st h eb a c k - g r 0 1 1 d da n ds o m en o t i o n so ft h i sp a p e r ，a n dt h em a i n r e s u l t sa r eg i v e nh e r et o o n e ) ( t8 e c t i o no ft h ep a p e r ，s o m ei m p o r t a n tl e m m a s ，w h i c ha r er e l a t e dt ot h em a i n t h e o r e m s ，a r ep r o v e d t h el e f tf o u rp a r t sa r et h ep r o o v e so ft h em a i nt h e o r e m s k e yw o r d s ：g e n e r a l i z e db l o c hs p a c e ；l i t t l eb l o c hs p a c e ；d i f f e r e n t i a t i o no p 盯船； c o m p o s i t i o no p e r a t o r ；b o u n d e d n e s s ；c o m p a c t n e s s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得盘洼盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名： 阳口7 年 学位论文版权使用授权书 岁月彬 本学位论文作者完全了解苤洼盘茔有关保留、使用学位论文的规定。 特授权鑫鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 签字日期：沙7 年s 具弼b 第一章背景知识简介 第一章背景知识简介 在这篇文章里，我们用d 表示复空间c 上的单位开圆盘；用h ( d ) 表示 d 上解析函数的全体用b 口( q 0 ) 表示广义b l o c h 空间，玩表示小b l o c h 空间 对于任意的，日( d ) ，我们说，b a ( q o ) ，如果它满足： 川伊= s u p ( 1 一iz1 2 ) 口i ，k ) l 0 ) 空间的一个范数，在此范数定义下，b 口( q 0 ) 是一个 b a n a c h 空间为了区别不同的b o ( q 0 ) 空间，在这篇文章里我们仍用l i 肿 来表示b 口( q 0 ) 空间的范数 如果，b q 满足： l ( 1 一lz | 2 ) ai ，k ) l = 0 ， 则称，彤空间 珊空间是b q 空间的闭子空间当o l = 1 时，b 1 = b 就是一般地b l o c h 空间，磁= 岛就是小b l o c h 空间 设妒是任意取定的单位圆盘d 上的解析自映射，记为关于妒的复合 算子，定义为： c 妒| = | 0 节，| h ( d 、 复合算子吼在不同空间上的紧性与有界性与其表征函数妒有密切关系。关 于这方面的讨论，目前已经有了很多很好的研究成果例如，朱克和在【5 】 中给出了复合算子在h a r d y 空间和b e r g m a n 空间上范数界的估计 令d 是一个微分算子则复合算子和微分算子乘积的定义如下： d c 0 ( ，) = ( ，o 妒) 7 = ，7 ( 妒) 妒7 ，h ( d ) 复合算子是一个有界线性算子，但是，微分算子在很多解析函数空间中却 是无界的 1 第一章背景知识简介 近几年，人们开始研究乘积d o 在不同空间上的性质，主要是有界性 和紧性例如，h i b s c h w e i l e r 和p o r t n o y 最先在文章【9 中给出了d o 从h a r d y 空间到b e r g m a n 空间的有界性和紧性；之后o h n o 在【1 1 】中也作了同样的研 究而李颂孝在文章【6 】中讨论了d 从h a r d y 空间到o t b l o c h ( a 0 ) 空间 的性质，对h a r d y 空间上任意的函数，有： l 八z ) i c 糯， l 州z ) i 0 ) 空间的乘积d 劬，并给出了其紧和有界的充分必要条 件下面是本文的主要结论。 定理1 1设0 0 ，妒是d 上的解析自映射那么d o ： b p b q 是有界的当且仅当； 舢s u p 嶝黼 。， 舢s u p 嶝鬻 定理1 2设0 0 ，妒是d 上的解析自映射那么d 。 b p b 口是紧的当且仅当： ( o )m x = s u pl 妒7 ( 石) 1 2 ( 1 一iz1 2 ) 9 0 ，妒是d 上的解析自映射那么d 郇：b o 一瑶是紧 的当且仅当： ( a ) ( b ) ( d ) 怨( 1 一i z1 2 ) 口矽( 石) i = o ， 加l i r a l ( 1 一坩) 叮i 此) 1 2 = o 舢s u p 等料 ， 舢s u p 嗡糌 o o 推论1 1 设0 0 ，妒是d 上的解析自映射那么d o ：懿一b q 是有界的当且仅当： 御s u p 警辫 ， 御s u p 等锵 3 第二章基本概念和定理 第二章基本概念和定理 在文章接下来的部分，我们用c 和m 表示一个有限地正数，与z 的选 取无关，却有可能随着一些范数以及某些参数，如p ，q ，n ，等的变化而发生 变化，不同的情况下可能有不一样的值用c ( 面) 表示在闭单位圆盘d 上连 续的函数的全体；岛( d ) 是c ( 面) 的闭子空间，它表示c ( 面) 空间中满足在边 界上趋于0 的函数的全体 用”一”表示等价关系即若a j e i ，则存在常数c ，使得罢a c b 成 立 为了证明这篇文章所得出的几个结论，我们需要给出下面几个定义、 性质及引理，并给出部分证明 定义2 1( 三个空间) 日= ，h ( d ) ：s u p ：di ，( z ) l o ) 显然，瑶是妒的闭子空间 定义2 2( 有界线性算子) 设x ，y 是赋范线性空间，称线性算子t ： x 一】，是有界的，如果存在常数m 0 ，使得 t xi i t 0 ，任一闭集kc 邵是紧的当且仅当它是有界的，并且 满足： i 将倒s u p ( 1 一i z | 2 ) ql ，他) i = o 引理2 3设n 1 ，y l ：如果有y ( 0 ) = ，( o ) = = ，( 2 n - - 2 ) ( o ) = 0 成 立，那么对vz d 有： m ，= 刍厶搿嘶i 引理2 4假设z d ，c 是实数，t 一1 ，并且。 蜊= of 剿名丽， 那么我们有： ( 1 ) 如果c 0 ，那么 驯名) 一南( 州- ) ( 3 ) 如果c = 0 ，则 i o , t ( z ) 一f 凹f 辛( 一1 ) 下面再介绍本章需要用到的关于b l o c h 空间的性质 性质2 1对于空间b 和日，我们有日cb ：即对v f h 。，满足 l ifl i b _ i ifi f 。 性质2 2b o 空间是b 空间中多项式全体的闭包，即对v f b o ，都存 在一列多项式 p n ) n ncb ，使得i i ，一p nl i b - - - 0 ( n _ 0 0 ) 成立并且，玩空 间是可分的 性质2 3 p 之1 ，n 1 ，日( d ) ，则f 髓当且仅当( 1 一i 。1 2 ) - f n ( 名) l p ( d ，d a ) 第二章基本概念和定理 性质2 4设整数佗1 ，则下面几条是等价的： ( 1 ) f6b o ； ( 2 ) ( 1 一lz1 2 ) “，( n ) ( z ) 6 岛( d ) ； ( 3 ) ( 1 一lz1 2 ) n ，( n ) ( z ) c ( _ ) 以上引理2 3 ，引理2 4 以及性质2 1 到性质2 4 ，在参考文献【5 】中第四章 和第五章都有详细地证明，并且是比较著名地结论，这里我们就直接引用 其结果，不再作证明 性质2 5设0 p 1 ，则对v f6b p 有下面的估计式成立： ( 1 ) f i 2 尚柴， ( 2 ) i 州芒旆 证明：根据b p ( 0 p 1 ) 空间的定义，显然有护b 对于v f b p b ，有( 1 一iz1 2 ) l ，协) l o o 对v z6d 都成立则根据性 质2 3 有：，l ： ( i ) 若，( o ) = 0 ，根据引理2 3 有： m ，= 厶哥掣嘶， 对，求几次导得到s 八z ) = l x2x3x - x ( 州) 丘号紫酬毗 由引理2 4 的结论可以得出当n = 1 时： i ，( z ) i 掣厶型业等产卿)- ，dl 1 一，。 2 尚烯 同理可得当n = 2 时： ，”( z ) l 面( 1 一iw1 2 ) l - p ( 1 一lwl p ) f 7 ( t ，) ( 1 一z 面) 4 6 棉 6 d a ( w ) 第二章基本概念和定理 则，满足估计式( 1 ) 、( 2 ) ( i i ) 若，( o ) 0 ，我们令9 ( z ) = ，( z ) 一，( o ) 此时有g ( o ) = 0 ，则g 满足估计 式( 1 ) 、( 2 ) 由于9 f ( z ) = f t ( z ) ，( 名) = ，( z ) 并且| ig1 1 8 ，- o ) ，根据空间范数的定义，可以得到： l ld ，l i 毋 = i ，( 妒( o ) ) 妒7 ( o ) i + s u p ( 1 一lz1 2 ) 。l ( d c 妒，( z ) ) 7 = l ，( o ) ) 妒，( 0 ) | + s u p ( 1 - iz 附l ，( 妒( z ) ) ( 妒他) ) 2 + ，( z ) ) ( z ) i ( 3 1 ) ( 1 ) 首先证明充分性 对v ，b p ，由式子( 3 1 ) 及性质2 5 有： ( 1 一jz1 2 ) 9i ( d c 妒i ) 化) i ( 1 一iz1 2 ) 9l 妒7 ( 。) 1 2 l ，( 妒( z ) ) i + ( 1 一iz1 2 ) 4i 妒”( z ) | | ，7 ( 妒( z ) ) i 6 攀尚爿鬻掣+ 2 迎喾描帑划 慨2 ， 对上面的不等式，在整个圆盘d 上取上确界，同时由于式子( a ) 、( b ) 成立，可以得到d ：b p b q 是有界的 ( 2 ) 下证必要性 假设d o ：伊一b 口是有界的，那么有： i id l b p - - * b q ( 1 制i 2 ) 口| 器+ 高 1 0 ( 1 一ia1 2 ) 9l 妒( a ) | | 妒7 ( a ) 1 2( 1 一ia1 2 ) 9l 妒( a ) ( 1 一l 妒( a ) 1 2 ) 1 + p( 1 一i 妒( 入) 1 2 ) p 。 冉由杀仵b 成互知： 止措糍铲s 斟 ；譬器秽 ；掣鼎删掣 o o ( i i ) 若i 妒( a ) i s ；，取函数 ，1 ( z ) = z ，h ( z ) = z 2 容易验证函数 和，2 是属于伊空间的根据( 3 1 ) 范数的定义以及l | d o i j 脚 和| jd ，2i l b a 的有界性得到： s u pi 妒z ) i ( 1 一iz1 2 ) 9 o 。， ( 3 4 ) z e d 9 第三章定理1 1 的证明 s u p ( 1 一iz1 2 ) 。i2 ( 妒7 ( z ) ) 2 + 妒( z ) 妒( 名) l ( 3 5 ) 由妒的有界性，及( 3 4 ) 、( 3 5 ) 可推得： s u p ( 1 一lz1 2 ) 9i 妒亿) 1 2 。o 从而可以得到： ( 1 一la1 2 ) 。l 妒7 ( a ) 1 2 s u p 瞄1 可刁万 ( 芸) 1 + ps u p ( 1 一ia1 2 ) 。l 妒7 ( 入) 1 2 o l 妒( a ) i 兰 ( 芸) 1 + ps u p ( 1 一l 入1 2 ) 4i 妒7 ( a ) 1 2 0 ，都存在一个 6 ( 0 ，1 ) ，使得对v6 i 妒( z ) i 1 ，有 斜 e ，( 1 一l 妒( z ) 1 2 ) p 一 ( ! 二! 生! ! ! 竺! 盟罡fp ( 1 一i 妒( z ) 1 2 ) 1 + p 一 令k = z d ：l 妒( z ) l n 则k 是d 的一个紧子集我们设： 其中 0d c o al l 且a = i 以( 妒( o ) ) 妒7 ( o ) l + s u p ( 1 一iz1 2 ) gi ( d c c p f k ( z ) ) 7l ：u = i 以( 妒( o ) ) 妒7 ( o ) i + s u p ( 1 一iz1 2 ) 口l 髭( 妒( z ) ) ( 妒( z ) ) 2 + 髭( 妒( z ) ) 妒( z ) 2 u = 1 1 + 2 ( 4 1 ) ( 4 2 ) = i ( o ) ) 妒7 ( o ) i ， 2 = s u p ( 1 - iz1 2 ) 9i 髭( 妒( 名) ) ( 妒7 ( z ) ) 2 + 以( 妒( z ) ) 妒 ( z ) 1 由于在d 的任意紧子集上满足 _ 0 ( 后一) ，所以五一0 ( k 一。) 下 面来看2 ，由性质2 5 ，条件( a ) ，以及式子( 4 1 ) 和( 4 2 ) 可知 2 s u p ( 1 - iz1 2 ) 9i 彭( 妒( z ) ) ( 妒7 ( z ) ) 2l + s u p ( 1 一iz1 2 ) 9i 髭( 妒( z ) ) 垆z ) i s u p ( 1 - l 21 2 ) ql 髭( 妒( 名) ) ( 妒7 ( 名) ) 2i + s u p ( 1 一iz1 2 ) 9f 以( 妒( z ) ) 妒( z ) i + s u p ( 1 一1 名1 2 ) 口i 髭( 妒( z ) ) ( 妒7 ( z ) ) 2i + s u p ( 1 一1 名1 2 ) 9i 以( 妒( z ) ) 妒z ) i z e d kz e d k 5s u p ( 1 - lz1 2 ) 9i 髭( 妒( z ) ) ( t ( z ) ) 2l + s u p ( 1 一iz1 2 ) 。i 以( 妒( z ) ) 妒( z ) i ：品警黼s p + c ：蒜等黼i i al i b , s u p 饥i 簏( 妒( z ) ) i + s u p 如l 丘( 妒( 2 ) ) i + 2 c e0 i j b ， 第四章定理1 2 的证明 因为 一0 ( k o o ) 在d 的任意紧子集上成立，则根据柯西定理， 丘一0 和髭一0 ( 后_ o o ) 也在圆盘d 上内闭一致成立于是，, - tv g 由上面 的不等式得到1 2 0 ( k o o ) 所以 1 i ml | d o i i b m = 0 根据前面的引理2 1 即证明d 是紧的 ( i i ) 再证必要性 假设d ：b p b q 是紧的，那么d o ：b p b q 一定是有界的， 根据定理1 1 可以得到条件( a ) 是成立的 令 铅) 七n 是d 中的数列，满足 l 妒( 钆) i 一1 ，k o o 取 脚) = ， 当k _ 时，a 在圆盘d 上是内闭一致收敛于0 的，并且 删tz = p 翠拱， 肌m 刊雩裂 容易看出九b p 且s u p l i a i l 8 ，4 p ，因此 ) 是一致有界的 由于d ：b p b q 是紧的，根据引理2 1 有 1 i mi id o i 旧= 0 ( 4 3 ) 另一方面， i id o al i b a = f 以( 妒( o ) ) 妒7 ( o ) i + s u p ( 1 一f21 2 ) qf ( d o r a ( z ) ) i ( 一i 钆1 2 ) a p 互至戛￥兰亍窖是铲+ p ( + p ) 亟亟蔓夏磊竺彳告篆墨渺 州( 1 _ 恢门m 翠吼铲i 1 2 第四章定理1 2 的证明 刊堋叱坪川亟糌糟潲掣i l = i 妇( 一iz 七1 2 ) a i 譬竺黜一p ( ，+ p ) ( 一i 钆1 2 ) q 七鲁尘彳粼i 1 联合式子( 4 3 ) ，可以得到 m 鼽。p 盟警谎掣 、。础刊盟警糍铲 ( 4 4 ) 如果上面的极限有一个存在，则上式成立 对与上面同样选取的数列 钆) ，讨论函数列 鲰( z ) = 耳( 1 - 葡i 妒荪( z k ) 两1 2 ) 2 p + 1 ( 1 一i l v ( z k ) 1 2 ) 那么，当k o o ，也有 夕七) 在d 上内闭一致趋于0 并且是一致有界的 靠c z ，= c + p ，互写芋兰筹一c + p ，至雩芋圣拶， 特别地，有 巩( 妒( 铋) ) = 0 ，( 4 5 ) 醛( z ) = ( + p ) ( 2 + p ) 垦丞乏享兰号拶一( 1 + p ) 并且 2 ( 两丽) 2 ( 1 一i 妒( ) 1 2 ) 鲥俐) _ ( 1 + p ) f 黔 再由d ：b p b q 的紧性，同样有 h m | id c 妒g ki i b q = 0 另一方面，由( 4 5 ) 和( 4 6 ) 式可得 l | d c 妒g ki l 脚 ( 1 一妒( 钆) z ) 2 + p = i9 i = ( 妒( o ) ) ( o ) i + s u p ( 1 - - iz1 2 ) 9i ( d c 0 玑( z ) ) 7 七， ( 1 一iz k1 2 ) qi ( d 玑( 钆) ) 7 刈刊盟警糍拶 1 3 ( 4 6 ) ( 4 7 ) 第四章定理1 2 的证明 由( 4 7 ) 式可得 m 引l i r a 妒+ p ) 盟警畿铲一o 再由f 4 4 ) 式知 m 鼽。盟警磁掣一o 1 妒( 钆) i - 1( 1 一i 妒【z k ji 尸 由妒( 钆) 的有界性上面两极限可写为 l 妒( z u m k ) l - , 1 掣赣鞘掣- i - p - o ，【l l 妒【钆) 1 m 鼽，带姘笋一o 1 妒( z ) i + 1( 1 一i 妒【z k ) i ) p 条件( b ) 和( c ) 得证 宰砸沛些 1 4 第五章定理1 3 的证明 第五章定理1 3 的证明 ( i ) 必要性 假设d o ：岛一懿是有界的，则由琊c b q ，显然有 d ：玩叫b g 是有界的 取函数 ( 名) = z ；f 2 ( z ) = z 2 则j f l ，丘b o 由磁空间的定义有： n m 。l ( 1 一i z1 2 ) 9l ( d c 妒j f l ) 7 ( z ) i = o ， l i r a ( 1 一) ql ( d c 妒f 2 ) 亿) | ：0 计算可得 l i r a ( 1 一) 9 z ) i = o ， l ：l i i r a 1 ( 1 一i z1 2 ) 4 2 ( 妒7 ( z ) ) 2 + 妒7 7 ( z ) 妒( z ) l = o 由妒的有界性及上面两式可知 z l 普l ( 1 一i z 降i 妒协) 1 2 = o 条件( a ) 、( b ) 得证 ( i i ) 充分性 假设题设条件均成立对每一个多项式p ( z ) 有： ( 1 一1 名1 2 ) 4i ( d c 妒p ) 7 ( 名) i ( 1 一iz1 2 ) 9i 妒7 ( z ) 1 2 lp ，( 妒( z ) ) i + ( 1 一lz1 2 ) 。i 妒( z ) i | p 7 ( 妒( z ) ) 1 由多项式的性质有： s u pl ) i o o ；s u pp 7 ) i o o 1 5 第五章定理1 3 的证明 因此有 1 i m ，( 1 一iz 即l ( d c 妒p ) 亿) i = 0 i i 即d c i o p 懿 由性质2 2 知，多项式的全体在岛空间中稠密，即对任意的，玩，都 存在一列多项式切) 七n 满足i i ，一p kl i b d _ 0 ( k o o ) 再由d o ：玩一磁 的有界性，可以得到 i ld ，一d c 妒p ki i b q | id oi | 玩b a i i ，一mi l b 0 _ 0 因为瑶空间是b a 空间的闭子空间，因此得到 d o ( s o ) c 瑶 所以d o ：岛一磁是有界的 定理证毕 1 6 第六章定理1 4 的证明 第六章定理1 4 的证明 ( 1 ) 充分性 若条件( c ) 、( d ) 成立，则存在常数尬，m 2 ，使得对任意的z d 有 警1 黼 尬，( 一ll i 口( z ) 1 2 ) 2 1 嗡糌 m 2 对于v f b o ，根据性质2 4 对所有的礼1 有 ( 1 一1 名1 2 ) n ，n ( z ) c o ( d ) ， 即 弛( 1 一lz1 2 ) n f n ( 名) = 0 ， l z i l 也有 l i n t ( 1 一i 妒( z ) j 2 ) n ，n ( 妒( z ) ) = 0 i q o ( z ) l - - - , x 、 。、。、。、。 则 ( 6 1 ) ( 1 一izi 。) 9l ( d c q o f ) 7 ( z ) i ( 1 一lz1 2 ) 。i 妒7 ( 石) 1 5 1 ，( 妒( z ) ) l + ( 1 一iz1 2 ) 口i 妒( z ) | | ，7 ( 妒( 名) ) l = 塑l ；裂f ，( 妒( z ) ) l ( 1 一i 妒( z ) 1 2 ) 2 + 生l = _ 鼍兰群i ，7 ( 妒( z ) ) i ( 1 一妒( 名) 1 2 ) ( 6 4 ) ( i )若当izl _ 1 时有i 妒( z ) l _ 1 ，那么由( 6 1 ) 、( 6 2 ) 和( 6 4 ) 以及( 6 3 ) 当n ：1 n ：2 时的结论可知： m l i r a ( 1 一) 4i ( d c q o f ) k ) i + 尬l 妒鼯li ，( 妒( 名) ) i ( 1 一i 妒( z ) 阡 尬j 妒鼯li ，( z ) ) l ( 1 一i 妒( z ) 1 2 ) _ o ( i i )如果i 石i 一1 时i 妒( z ) l 竹1 ，那么存在一个常数o ，使得 l i r a 。f 高q ， 1 7 动 砷 第六章定理1 4 的证明 l 罂f 而丽q 再由性质2 5 的估计，存在常数q 使得： ( 1 一iz1 2 ) al ( 。c 妒，) 7 ( z ) i q ( 史二石皇 辫+ 塑二爿 裂) 1 1 i i b 于是联合条件( a ) 、( b ) 可得 帅( 1 一iz | 2 ) gi ( p c ：y ) ) i l ：l _ 1 c l c 2 ( h m ( 1 一i21 2 ) 9i 妒7 ( 名) 1 2 + 。坤丑，( 1 一i z1 2 ) 9 q d ( z ) i ) i i ，i i b = 0 1 z l + 1i 引+ l 综合( i ) 和( i i ) ，由，的任意性可以得到： 1 i r a ，s u p ( 1 一i zj 2 ) 口i ( d c l ，o f ) 亿) l = 0 吲一1 川b s l 根据引理2 2 可知d o ：玩一邵是紧的 ( 2 )必要性 若d ：b o 一掰是紧的，那么d q ：b o 一瑶是有界的则由定理1 3 知条件( a ) 、( b ) 成立 因为懿cb a ，则d ：b o b q 也是有界的，根据推论1 1 ，条件( c ) 、 ( d ) 也成立 定理证毕 1 8 第七章结束语 第七章结束语 本文首先通过性质2 5 ，利用b p ( 0 0 ) 空间紧性和有界性的充分必要条件 由于性质2 5 的估计只对0 1 ) 空间 和瑶 o ，p 1 ) 空间以及在其它空间上的性质，等等 1 9 参考文献 参考文献 【1 张恭庆，林源渠，泛函分析讲义，高等教育出版社，1 9 8 7 2 】周民强，实变函数论，北京大学出版社，2 0 0 1 3 余家荣，复变函数，高等教育出版社，2 0 0 0 【4 徐伟民，复合算子理论，高等教育出版社，2 0 0 1 【5 】k h z h u ，o p e r a t o rt h e o r yi nf u n c t i o ns p a c e s ，p u r ea n da p p l i e dm a t h e m a t i c s1 3 6 ，m a e c e ld e k k e r ，i n c ，n e wy o r k - b e s e l ，1 9 9 0 【6 s x l i ，p r o d u c t so fc o m p o s i t i o no p e r a t o ra n dd i f f e r e n t i a t i o no p e r a t o rf r o m h a r d ys p a c et oo 一b l o c hs p a c e ，t oa p p e a r 【7 】j a r a z y , m u l t i p l i e r so fb l o c hf u n c t i o n ，u n i v e r s i t yo fh a i f am a t h e m a t h i c s p u b l i c a t i o ns e r i e s5 4 ，1 9 8 2 8 c c o w e na n db d m a c c l u e r ，c o m p o s i t i o no p e r a t o r so ns p a c eo fa n a l t y t i c f u n d c t i o n s ，c r cp r e s s ，b o c ar a t o n ，f l m ，1 9 9 5 9 r a h i b s c h w e i l e r a n d n p o r t n o y ,c o m p o s i t i o n f o l l o w e d b y d i f f e r - e n t i a t i o nb e t w e e n b e r g m a n a n d h a r d ys p a c e ，r o c k ym o u n t a t i o n j m a t h j ，2 0 0 5 ，3 5 ( 3 ) ，8 4 3 - 8 5 5 【1 0 】k m a d i g a na n da m a t h e s o n ，c o m p a c tc o m p o s i t i o no p e r a t o r so i lt h eb l o c h s p a c e j ，t r a i l s a m e r m a t h s o c 1 9 9 5 ，3 4 7 ( 7 ) ，2 6 7 9 2 6 8 7 1 1 】s s k o h n oa n dr z h a o ，w e i g h t e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r sb e t w e e nb l o c h - t y p es p a c e s j ，r o c k ym o u n t a i nj m a t h 2 0 0 3 ，3 3 ( 1 ) ，1 9 1 - 2 1 5 【1 2 】b r c h o e ，p r o j e c t i o n s ，t h ew e i g h t e db e r g m a ns p a c e s ，a n dt h eb l o c hs p a c e ， p r o c a m e r m a t h s o c 1 0 8 ( 1 9 9 0 ) ，1 2 7 - 1 3 6 1 3 j c i m a ，t h eb a s i cp r o p e r t i e so fb l o c hf u n c t i o n s ，i n t e r n a t i o n a lj m a t h s c i 2 ( 1 9 7 9 ) ，3 6 9 - 4 1 3 【1 4 j c i m a ，j t h o m s o na n dw w o n g e n ，o nb o u n d e d n e s so fc o m p o s i t i o no p e r a - t o r s ，i n d i a n au n i v m a t h j 2 4 ( 1 9 7 4 ) ，2 1 5 - 2 2 0 【1 5 t l k r i w t ea n db d m a c c l u e r ，c o m p o s i t