（基础数学专业论文）关于椭圆型半变分不等式问题解的存在性及多解性问题的研究.pdf

关于椭圆型半变分不等式问题解的存在性及多解性 问题的研究 摘要 这篇硕士论文集中了作者在攻读硕- 上学位期间的主要研究成果 在第二章我们首先考虑关于以下p l a p l a c i a n 型q l a p l a c i a nt y p e ) 方程非 平凡解及多解的存在性 d i v ( a ( x ，v u ) ) o j ( z ，u ( z ) ) ， 乱( z ) = 0 ， z q ， z a q 对于带有p l a p l a c i a n 算子的椭圆拟线性半边分不等式问题，为应用非光滑 的山路引理证明解的存在性，在证明方程所对应的能量泛函满足非光滑的p s 条 件时，需利用s o b o l e v 空间的一致凸性，但是对于具有更一般形式的算子的p l a p l a c i a n 型方程，不具备上述性质，在文中为克服这一刚难，本人对位势泛函做 了一致凸的假设，从而证明了解的存在性，并应用推广的r i c c e r i 定理，证明了方 程三个解的存在性 在第三章我们研究如下p ( x ) l a p l a c j a n 椭圆方程多重j 下解的存在性问题 d i v ( 1 v u l p ( z ) 一2 v u ) + m ( x ) l u l p ( 。) 一2 仳入乃( z ，u ( z ) ) ， z q ， u ( x ) = 0 ， z a q 难点在于p ( x ) - l a p l a c e 算予比p l a p l a c e 算子具有更复杂的性质本文应用了 定的技巧来进行不等式的放缩，克j i l t 变指数p ( x ) 带来的困难，从而在非光滑 临界点理论的基础上，证明了此问题多重正解的存在性 在第四章，我们考虑一个无界域上具有非光滑位势泛函的s c h r s d i n g e r 方程， 即 一u + v ( x ) u ( z ，u ( z ) ) ，z r ， 其中v 0 ，是连续的周期泛函，j ( x ，u ) 是关于变量u 的局部l i p s c h i t z 连续泛 函由于该方程的解就是其所对应的能量泛甬的临界点，通常都要在一些紧型条 件( ! i i p s 条件、c 一条件) 的基础上来证明其所对应的能量泛函临界点的存在性， 但当我们在无界域上考虑该椭圆方程解的存在性时，s o b o l e v 空问硪2 ( 冗) 到 l 2 ( 冗) 的嵌入非紧，从而导致所对应的能量泛函失去紧性，本章在非光滑临界 点理论的基础上，应用周期逼近的方法证明该问题非平凡解的存在性 关键词：非光滑临界点理论；s c h r s d i n g e r 方程；半变分不等式；山路引理；非光 渭p s 一条件 i i e i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yr e s u l t sf o rs o m e e l l i p t l ch e m i v a r l a t i o n a li n e q u a l l t l e s a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nc o l l e c t st h em a i nr e s u l t so b t a i n e db yt h ea u t h o rd u d n gt h ep e r i o d w h e ns h eh a sa p p l i e df o rt h em d t h ec o n t e n t sa r et h ef o l l o w i n g ： i nc h a p t e rt w o ，t h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yr e s u l t sf o rt h ef o l l o w i n ge q u a t i o no f p l a p l a c i a nt y p ea r eo b t a i n e d ：_ 让) ) 乃( z j u ( z ) ) z q 。 z 0 q f o rt h ee l l i p t i cq u a s i l i n e a rh e m i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yi n v o l v i n gt h ep - l a p l a c i a no p e r a - t o r , i no r d e rt ou s et h em o u n t a i np a s st h e o r e mp r o v i n gt h ee x i s t e n c er e s u l t ，t h ea u t h o r s u s u a l l yn e e dt ou s et h eu n i f o r mc o n v e x i t yo ft h es o b o l e vs p a c et op r o v et h ee n e r g y f u n c t i o ns a t i s f i e st h ep sc o n d i t i o n b u tf o rt h ep - l a p l a c i a nt y p ee q u a t i o nm e n t i o n e d a b o v e ，t h i sm e t h o di sn ou s e t oo v e r c o m et h i sd i f f i c u l t y ，t h ep o t e n t i a lf u n c t i o ni sa s s u m e dt ob ec o n v e x ，t h e nip r o v et h ee x i s t e n c er e s u l ta n db yu s i n gt h ee x t e n s i o no ft h e r i c c e dt h e o r e m ，t h em u l t i p l i c i t yr e s u l tf o rt h ep r o b l e mi so b t a i n e d c h a p t e rt h r e es t u d i e st h em u l t i p l i c i t yo f p o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h ef o l l o w i n gd i r i c h i i i l e tp r o b l e m i n v o l v i n gp ( z ) 一l a p l a c i a no p e r a t o r ：i 二i ：_ 如) 一。2 v u ) + m ( z ) i 乱r 扣) 一2 乱入a _ ( z u ( 罗) ) 二二： t h em a i nd i f f i c u l t yi st h a tt h ep ( z ) 一l a p l a c i a no p e r a t o rp o s s e s s e sm o r ec o m p l i c a t e d n o n l i n e a r i t i e st h a nt h ep - l a p l a c i a n t oo v e r c o m et h i sd i f f i c u l t y , o u ra p p r o a c hi sv a r i a t i o n a lb a s e do nc r i t i c a lp o i n tt h e o r y , a n dt h em u l t i p l i c i t yo fp o s i t i v es o l u t i o n si sp r o v e d b yu s i n gs o m es p e c i a lt e c h n i q u e s c h a p t e rf o u rd e a l sw i t ht h ee x i s t e n c er e s u l tf o rt h ep r o b l e ma b o u tt h es c h r r d i n g e r e q u a t i o nw i t hn o n s m o o t hp o t e n t i a li nu n b o u n d e dd o m a i n ，t h a ti s ： 一a u + v ( x ) u 却( z ，u ( z ) ) ， z r 。 w h e r ev 0 ，i ti sac o n t i n u o u sp e r i o d i cp o t e n t i a lf u n c t i o n ，t h ef u n c t i o nj ( x ，u ) i s l o c a l l yl i p s c h i t zi nu s i n c et h es o l u t i o n so ft h i sp r o b l e ma r et h ec r i t i c a lp o i n t so f t h ea s s o c i a t e de n e r g yf u n c t i o n o n eg e n e r a l l yn e e d ss o m ec o m p a c t n e s ss u c ha sp s c o n d i t i o no rc c o n d i t i o nt op r o v et h ee x i s t e n c eo fc r i t i c a lp o i n t so ft h ee n e r g yf u n c - - t i o n ，b u tw h e nw es t u d yt h ee l l i p t i ce q u a t i o ni nr ，t h ec o m p a c t n e s sc o n d i t i o nd o e s n o ta l w a y sh o l ds i n c et h ei m b e d d i n go ft h es o b o l e vs p a c e 硪2 ( f 2 ) i n t ol 2 ( q ) i sn o t c o m p a c t i nt h i sc h a p t e r , b a s e do nt h en o n s m o o t hc r i t i c a lp o i n tt h e o r y , a n db yu s i n gt h e a p p r o x i m a t i o nt e c h n i q u ew i t hp e r i o d i cf u n c t i o n ，t h ee x i s t e n c eo fn o n t r i v i a ls o l u t i o ni s o b t m n e d k e yw o r d s ： n o n s m o o t hc r i t i c a lp o i n tt h e o r y ；s c h r 6 d i n g e re q u a t i o n ；h e m i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ；m o u n t a i np a s st h e o r e m ；n o n s m o o t hp s c o n d i t i o n i v 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作放取得 的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其他 机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均 已在论文中作了明确的声明并表示了谢意。 研究生签名： 学位论文使用授权声明 日期：9 芦占2 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影 印、缩印或扫描等手段保存、汇编学位论文。同意浙江师范大学- 日j 以用不同方 式在不同媒体上发表、传播论文的全部或部分内容。保密的学位论文在解密后 遵守此协议。 研究生签名： 韩颍 导! j i | j 签名：口期：o7 、6 z 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 我承诺自觉遵守浙江师范大学研究生学术道德规范管理 条例。我的学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成 果、数据、观点等，均已明确注明并详细列出有关文献的名 称、作者、年份、刊物名称和出版文献的出版机构、出版地和 版次等内容。论文中未注明的内容为本人的研究成果。 如有违反，本人接受处罚并承担一切责任。 承诺人( 研究生) ：掀 指导撕：f 。脚 1 1 国内外研究现状 1 绪论 目前，变分不等式理论的发展已经日臻完善，它的研究与能量泛函的凸性密 切相关如果对应的能量泛函非凸、不可微，这类不等式被称为h 半变分不等式， 半变分不等式的发展时间不是很长，是由p d p a n a g i o t o p o u l o s 于1 9 8 1 年提出来的， 它来源于现实生活中对力学和工程学的研究，关于半变分不等式在力学和工程 学中的具体应用参见i l 】【2 】在1 9 8 1 年，张恭庆在文【3 】中，借助于c l a r k e 广义梯 度( 参见文【4 】) ，把光滑情形的临界点的概念、尸s 条件、形变引理等都推广到了 非光滑情形，从而为几类半变分不等式的研究提供了理论基础由于任何自由边 界和阻碍( o b s t a c l e ) 问题都可以转换为非连续、非线性的偏微分方程进行研究，而 且近年米椭圆型半变分不等式在科学的各个领域得到了广泛应用，对各种实际问 题的数学模型的建立起着至关重要的作用，因此研究非光滑情形的具有d i r i c h l e t 边界问题的椭圆型偏微分方程解的存在情况及其性质便显得尤为重要 另一方面，在近几年来由于实际应用中对非线性流变学( e l e c t r o r h e l o g i c a l f l u i d s ) 和弹性力学( e l a s t i cm e c h a n i c s ) 问题的研究，使得在数学领域对变指数问题 的研究越来越引起人们的重视在国内，主要是兰州大学的范先令教授等人研 究这个问题，它包括了很多方面，应用的方法也很多，但主要研究的是变分不等 式的问题，对半变分刁i 等式的问题并未涉及，所以一个自然的问题就是当带有 p ( z ) l a p l a c e 算子的椭圆方程所对应的能量泛函非凸、非光滑时，方程解的存在 情况如何? 这个问题既是对光滑情形的带有p ( z ) l a p l a c e 算子的椭圆方程的变分 不等式问题的推广，又是对带有p l a p l a c e 算予的椭圆型半变分不等式问题的推 广，因此，对这个问题的研究具有一定的理论意义和实际意义 本文拟从事三方面的工作，一是研究具有更般形式的椭网算子的椭圆型半 变分不等式方程非平凡解及多解的存在情况，二是研究p ( z ) 变指数椭圆方程狄利 克雷问题，证明其多重正解的存在性三是研究_ 兀界域上具有非光滑位势泛函的 l 1 绪论 s c h r s d i n g e r 方程非平凡解的存在性 1 2 一些定义与定理 整篇文章中，设x 是b a n a c h 空间，x + 是它的对偶空间”0 表示空间x 中 的范数，”忆表示牢间x + 中的范数， 表示 中的元素我们用q 表示冗中的具有光滑边界的非空、有界开子集，曙( q ) 表示q 上具有紧支集 的光滑函数全体，嘣p ( q ) 表示曙( q ) 在w 1 ，p ( q ) 中的闭包在空间喇”( f 2 ) o ， 定义范数 ， ， 恻l ：= ( | w ( x ) l p 出) 寺 ，q 并且在文中始终假设p 2 ，p 7 = 占，p + ：= n p ( n p ) ，q ( p ，p + ) 定义1 11 p 0 ，使得对 于任意的名，可u ，有 i 妒( z ) 一妒( 可) 0 尺0 i l z 一! 0 x 成立，则称妒：x _ r 满足局部l i p s c h i t z 条件真的、凸的并且下半连续的泛 函虫：x _ 虎：= r u + o o ) 在区域d o m e ：= z x ：皿( z ) ， z x 若妒c 1 ( x ) ，则比x ，a 妒( z ) ； 妒( z ) ) ， 定义1 6 ( 非光滑p s 条件) 设z 。x ，若 妒( z n ) 。1 有界，并且当扎一o o 时， m p ( ) ：= m i n l l x 恢：矿a 妒( z 。) ，_ o 蕴涵( z 。) n 三l 有强收敛子列，则称泛 函妒：x _ r 满足非光滑的p s 条件 3 l 绪论 下面这两个定理就是著名的非光滑山路引理和r i c e r r i 三临界点定理，它们 常被应用于证明微分方程非平凡解的存在性及多解性 定理1 1 3 1 设x 是一个自反的b a n a c h 空问，圣：x _ r 是局部l i p s c h i t z 泛函，设 西满足非光滑p s 条件，并且 ( n 1 ) 存在o l ，p 0 ，使得中i o n 。q ， ( a 2 ) 存在岔x 岛，使得m a x 西( o ) ，西( 圣) ) 口成立 定理1 2 【5 】令x 是一个可分的、自反的实b a n a c h 空间，泛函圣，j ：x 一刷局 部l i p s c h i t z 连续若存在u 0 x ，使得西( u o ) = j ( u o ) = 0 ，并且v u x ，有 西( u ) 0 另外，存在u l x ，r 0 使得 ( i ) r 圣( u 1 ) ； ( i i ) s u p 中( 札) 0 ，p p ，使得 0 0 ，使得 心，半) 丢，) + 丢，砂刊刊p ，比q ，铜 6 2 具有非光滑位势的p l a p l a c i a n 型方程解的存在性与多解性 ( i v ) 比q ，r n ，a 满足： 0 o ( z ，) f p a ( 。，) ( v ) 坛q ，f r ，a 满足椭圆条件，即存在常数c 0 ，使得 a ( x ，) 2c l l p h g ) ：j ：f l x r 呻r ，在f ll j ( x ，u ) 满足：歹( z ，0 ) = 0a e 成立，并月 ( i ) 对于任意的t 正r ，q 弓z 一歹( z ，让) r 可测 ( i i ) 对于几乎所有的z f l ，r 9uh j ( z ，u ) r 局部l i p s c h i t z 连续 ( i i i ) 对于几乎所有的z q ，对于任意的u r 和w o j ( z ，u ) ) ， i w l c 1 ( z ) ( 1 + i u l q - 1 ) ， 这里c l ( x ) l ( ) ，并且2 p p 使得下面不等 式成立 0 0 定义问题( 2 1 ) 的能量泛函圣：w o p ( q ) hr 如下： 圣( 也) = 上a ( z ，v u ) 如一上歹( z ，u ) 如 ( 2 3 ) 并且记a ( u ) = f oa ( z ，v u ) d z ，j ( u ) = 上2 ：( z ，乱) 如由假设h ( j ) ( i i i ) 易知j ： w j p ( q ) hr 是局部l i p s c h i t z 泛函从而能量泛函圣是局部l i p s c h i t z 连续 的 7 2 具有非光滑位势的p l a p i a c i a n 型力程解的仔在性与多解壁 定义2 1若算子a ：x x + 满足对于任意的序列 z n ) ，z n z 并且 l i m s u p ( a ( x n ) ，x n z ) 0 蕴涵z 。一z ，则称算子。满足( 乳) 一条件 命题2 1 若定义泛函a ：x 一冗，a c 1 ( q ) ，局部一致凸并且局部有界， 则o = d a ：x x + 满足( 肆) 一条件 命题2 2由条件h ( a ) 和局部一致凸泛函的定义及命题2 1 ，易知泛函a 具有如下 几条性质： ( i ) a 是局部一致凸的 ( i i ) a ，满足( 4 ) 一条件 ( i i i ) a 弱连续可微，并且 d a ( 仳) ( ) = a ( x ，v u ) v 口如，讹，钉懈p ( q ) ，q ( i v ) 对于任意的( z ，毒) ( q r ) ，有a ( x ，s ) a ( x ，) s p ，v s 1 ( 参见 【8 】r e m a r k3 3 ) 为了证明解的存在性定理，首先证明一些辅助性的结论 引理2 1 若条件h ( a ) 和h ( j ) 成立，则由( 2 3 ) 式定义的泛能量泛函圣：嘲p ( q ) 一 冗满足非光滑p s 条件 证明：设a 矗 0 ，对于任意的住1 ，令序列 仳n ) 。1 哪p ( q ) 满足西( u 。) a 缸， 并且当n o 。时，m ( u 。) 一0 下而将证明 i t 。) 。之1 有界 i j l l 于集合a 西( u 。) ( 嘣，p ( q ) ) = 町1 ( q ) 是弱紧的，由b a n a c h 空间中的范 数的弱下半连续性可知，存在u n a 西( 缸。) ，使得m ( u 。) = l | 乱训。( v n 1 ) 从而有 乱：= a ，( 。) 一 。， 这里w n l ( q ) ，j i ：且“，。( z ) o j ( x ，t 。( z ) ) 8 ( 2 4 ) 2 具有非光滑位势的p l a p l a c i a n 型方程解的存在性与多解性 由 ) 的定义和( 2 4 ) ，有 芦圣( t ) + ( t 正：，一) u m l + | l ( t k ) 0 ， 这里e nj 0 即 上阻a ( z ，v 钍n ) 一n ( z ，v “n ) v u n d x f c u j ( z ，让) 一乱。) 如p m + n 1 1 ( 让n ) i i ， 由h ( j ) ( i v ) ，有 ( p p ) a ( x ，v u n ) d x p 尬+ e n l i ( 钆。) 0 + ( u j ( x ，) 一j o ( z ，u n ，一仳n ) ) 如 j nj n 从而有 一p ) a ( x ，v u n ) 如 肛舰+ e n i i ( t 厶n ) j l + - j 。扛，t 正n ；一t 上n ) + u j ，t 上。) 如 j q n x l u n m ) + - j 。( z ，仳。；一) + 力( 岳，“n ) 如 ，q n 霉i u n m p 尬+ 氏l l ( ) l i + q 这里c 1 0 由最后的不等式可知 u n ) 忭l 有界 因此，可取 u 仡) 的子序列，不妨仍记为 u 。) ，满足在空间时p ( q ) 中u n u ， 在空间p ( q ) 中，u n 一仳，从而有 即 ( u n 4 ，u n 一乱) i e n i l u 。一u ( a 7 ( u 。) ，u n 一乱) ，u n 一“) 一u 。( z ) ( u n u ) d x ise n | l 一牡i i - ( 2 5 ) - ，l 9 2 具有非光滑位势的p l a p l a c i a n 型方程解的存在性与多解性 由于_ ( 钆佗) 2 1 有界，从而由h ( j ) ( i i i ) u - - 知，在( q ) 上，o ) n 是有界的故由( 2 5 ) 式， l i ms u p ( a ，( u 。) ，一让) 0 n + o o 由命题2 2 ( i i ) ，在空间孵p ( q ) 上，u n 一饥因此，西满足非光滑p s 条件 引理2 2 若h ( a ) 和h ( j ) 成立，则存在常数p 0 ，使得q ：= i n f u o b 。西( 乱) 0 证明： 南l e b o u r g 中值定理( 见c l a r k e 4 ) 萌 知，对于任意的n l 和几乎所有的 z q ，存在w ( x ) 却( z ，亡u ) ) ( 0 p ，最斤的不等式说明当l i o 。时，以( u ) 一一0 ( 3 从而 结论成立 引理2 3 若h ( a ) 和h ( j ) 成立，则存在点豇w d p ( q ) 戽使得西( 面) l 使得i i 入u o l i p ，西( a u o ) 叱则泛函也：= a u o 虽p 满足引理中的条件 定理2 1 若h ( a ) 和h o ) 成立，则问题( 2 1 ) 在空间哪p ( q ) 中存在非平凡解u 1 1 ! 垦塑! ! 堂塑垡垫塑竺：墨竺! 堡垒璺翌型垄：矍堡盟堑垄笪墨墨堡：坠 证明：由于西( o ) = 0 ，由上面的引理，应用定理1 1 可知存在乱l 哪p ( q ) ，u 1 0 ，使得0 a 西( 钍1 ) 由a 的定义，存在u l ( q ) ，使得a ，( u ) = u ，且对于任意 的2 7 q ，w ( x ) 旬( z ，u ( z ) ) 从而v 妒曙( q ) 有 z ( 。( z ，v u ) ) v 妒如= 上u p 如， 故u 是问题( 2 1 ) 的一个非平儿解 2 3 多重解的存在性 在这部分，我们将改变在第二部分对位势泛i g j 的假设，应用定理1 2 证明如 下方程多重解的存在性 一d i v ( a ( x ， 乱( z ) = 0 , x o j ( z ，u ( z ) ) ， z q ， z a q ( 2 8 ) 这里，a r + 是正的参数，a ：q r 叫冗 这里，对j 的假设如下： h t j ) 7 ：j ：q r r 在q 上歹( z ，乱) 满足j ( x ，0 ) = 0 ，并且 ( i ) 对于所有的札r ，q 弓zh j ( x ，u ) r 是可测的 ( i i ) 对于几乎所有的z q ，r 9uh j ( x ，u ) r 是局部l i p s c h i t z 连续的 ( i i i ) 对几乎所有的z q ，对于任意的u r 和w o j ( z ，让( z ) ) ，有 这卫c l ( x ) l o 。( r ) ，p 0 1 2 2 具有非光滑位势的p l a p l a c i a n 型方程解的存在性与多解性 定义问题( 2 8 ) 的能量泛函西a ：w o ，p ( q ) hr 如下： 西a ( 让) - = a ( u ) 一a j ( u ) 这里a 和j 与前面的相同从而有下面的定理成立： 定理2 一若h ( a ) 和h c j ) 7 成立，则存在开区问ac 【0 ，+ o 。】和正实数c 使得对于 任意的入a ，能量泛函垂 至少存在三个范数小于z 的临界点 为证明定理2 2 ，先证明下面两个引理 引理2 4 对于任意的入r ，泛函垂a ：w o p ( q ) h 冗是序列弱下半连续的 证明：l i = ll c b o u r g 介值定理，可知对于任意韵亿1 和几乎所有的z q ，存在 w ( x ) o j ( o ，t 钆( z ) ) ( 这里0 0 固定z o q ，选取 0 使得 b ( x o ，r o ) cq ，并胃 姒砂= b 卜蚓，茎：x ef l 黧b ( = o , r o ) , 连砒 易证u 嚼，p ( q ) ，并且讹q ，l u + ( z ) i l u o ( x ) 1 从而由铭+ 的定义，有 叫卜zl v 叫k 鬻如= 等c 1 一c 妒 这里，表示维单位球b ( o 1 ) 的体积且 m ) = t 枷，m ) 蚺厶m 洲z 弛，仳。) ( 譬) u i 躐li j ( 刊i ( 1 一( 去) ) r o u = “。) 一m m | | a 训xi j ( 训) i ( 2 一1 ) 1 ( 譬) 蛳 1 4 2 具有1 卜光滑位势的p l a p l a c i a n 型方程解的存在性与多解性 另一方而，由( 2 1 0 ) 式和条件h ( a ) ( v ) ，易知当p 呻0 时， p 翌陋丝业坠丝q c 一；p ；一o p 一 故，取( 0 ，1 ) 使得 l ，a r + 是一个正参 数，彩( z ，u ) 表示关于变量z 的广义次微分 当p ( x ) 三2 ，m ( x ) 三。时，文献【1 5 】假设j ( x ，) = 歹( ) c 2 ( q ) ，j7 ( 札) = ，( u ) ， 并且令厂( “) 满足 ( 1 ) ，( o ) = o ，1 i m u 。掣= 0 ( 2 ) 厂( o ) 0 ，并且存在p 0 ，使得v o 乱 0 ( 3 ) f 在定义域内是甲调递增的 运用上下解的方法，作者证明了存在实数和天，使得当a 0 时，方程至少有两个非平凡解存在 本文把文献【7 】的结果推广到了具有非光滑位势泛雨的p ( z ) 一l a p l a c i a n 方 程具有交指数v ( x ) 的偏微分方程和变分问题来源于非线性流变学和弹性学理 论( 见【1 7 】) ，因此研究这类方程解的存在性及多解性具有一定的理论意义和实际 意义本文在非光滑临界点理论的基础上，证明问题( 3 1 ) 多重正解的存在性 3 2 预备知识 下面介绍广义空间l p ( 2 ) ( q ) 和w 1 ，p 恤) c a ) 的性质详见参考文献【1 8 】 记 l # ( q ) = plp l o o ( q ) ，e s si n f p ( x ) 1 ) ， 对于任意的p 三 ( q ) ，记 p 一。瓣p ( z ) ，p ls 锄u p p ( z ) 对于任意的p ( 。) ，g ) l ? ( q ) ，p ( x ) q ( x ) 表示i n f 霉n ( g ( z ) 一p ( z ) ) 0 ， 定义 l p ( z ( q ) = 钍l u 是可测的实值泛函且满足，i 钆( z ) l p ) d x 。lz l 掣| p ( 如 1 ) 从而( p ( 。( q ) ，l l p ( 2 ) ) 是b a n a c h 空间，我们称这个空问为广义的l e b e s g u e 空问 定义广义的l e b e s g u e s o b o l e v 空问w 1 , p ( 。) ( q ) 为 1 ，p ( 尘( q ) = t l p ( 。( q ) i i v 训l v ( 窭( q ) ， ! 墨塑堂堂塑：焦塑望堕塑翌l 兰2 ：鱼竺! 璺垡竺翌鱼型垒重垂堡塑堑垄丝 并赋予范数 l l u l i = l 乱l p ( 霉) + i v u l p ( 茁) 记喇p ( 霉( q ) 为曙( q ) 在w 1 ，p ( z ( q ) 中的闭包下面我们列出在文章证明过 程中将用到的一些主要命题 命题3 1 空f - j l p ( $ ( q ) 和w l t p ( 。( q ) 是可分的、自反的b a n a c h 空问 命题3 2 若q ( x ) l # ( f i ) 并且g ( z ) 矿( z ) ，则空问w 1 , p ( 石( q ) 到l q ( 。( q ) 的 嵌入是紧的、连续的。这里 州加 亍 ，p ( x ) 1ji u 曙二) p ( u ) l 仳瞄：) ， ( 3 ) m p ( 。) o l 厶掣p + m ( z ) i 掣p 出1 ) ， t ，q 、 则易证1 1 i i7 是空间耐p ( 2 的等价范数 1 8 3 具有非光滑位势泛函的p ( x ) 厶叩z d 西n 扎方程多重正解的存在性 记 日( u ) = _ ( 1 v u ( z ) p ) + m ( z ) l u ( z ) 严) 如 ，q 则有 ( 2 ) 若f l u l l 1 ，则gl l u l l p 一g ( u ) 冬q l l u l l p 十， ( 3 ) 7 若i l u l i 1 ，则岛l l u l l p + 日( 乱) a l l u l l 尸一。 这里g ( z = 1 ，2 ，3 ，4 ) 是不依赖于乱的正常数 在文中为书写方便，记e = 耐p ( 霉) 定义j ：x r 为 m ) = 上志( i v u l 烈功+ 嘶) i 缸i p c z ) ) d x ，v uee 则j c 1 ( x ，咒) ，并且 ( j n ) ，u ) = ( i v u l , ( 霉) - 2 v u v v + m ( z ) i 乱p ) u v ) d x ，v 仳，钉e ，n 类似于参考文献【1 9 1 的证明，有 命题3 4泛函j ：x r 是凸的j ，：x x 是一个严格单调的有界同胚 映射，并且是( 4 ) - 型，即 一u 且l i r as u p ( ) ( u n 一) 0 蕴涵_ u 3 3 主要结论 这部分我们丰要讨论问题( 3 1 ) 多重正解的存在性 文中关于非光滑位势j ( x ，乱) 的假设如下： h c j ) ：j ：q r r 对于几乎所有的z q 满足j ( z ，0 ) = 0 ，且 ( i ) 对于任意的u r ，泛函q 弓zhj ( x ，u ) r 。口j 测 1 9 生具有非光滑位势泛两的