（基础数学专业论文）经典组合序列的行列式计算.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 本文利用经典分析方法和组合计算技巧研究s y l v e s t e r 型三对角矩阵的特征向 量、二项式系数行列式、p a s c a l 矩阵行列式以及c a u c h y 行列式和v a n d e r m o n d e 行列 式的推广形式具体内容如下： 1 受a s k e yf l j 和h o l t ze 2 j 的窟发，作者通过观察数据及计算机代数验证，观确地 给出s y l v e s t e r 型三对角矩阵和一些正交多项式f k r a w t c h o u k 多项式、h a h n 多项 式、对偶h a h n 多项式、r a c a h 多项式和q - p r e f a b 多项式) 的- - 3 寸角矩阵的特征 向量，并通过发生函数技巧及有限和式的计算给出严格的证明 2 利用部分分式分解的方法证明形式升阶乘分式的行列式公式，并得到大量二项 式系数的行列式恒等式，其中包含a m d e b e r h a n - z e i l b e r g e r 3 】的一些结果 3 结合l a p l a c e 展开公式及差商运算，不仅证明v a n d e r m o n d e 行列式的推广形式， 而且建立广义c a u c h y 行列式的递归关系，从而得到几种特殊情况下的行列式等 式进一步，利用差分计算的极限公式重新推证了k r a t t e n t h a l e r 【4 】及z a k r a j e k - p e t k o v e k 【5 】中p a s c a l 矩阵的行列式结果 关键词：三对角矩阵；特征向量；差商；v a n d e r m o n d e 行列式；c a u c h y 行列式 d e t e r m i n a n t a le v a l u a t i o n s l 9 e t e ri n a n tv a l u a to n s o fc l a s s i c a lc o m b i n a t o r i a ls e q u e n c e s a b s t r a c t b ym e a i l so fc l a s s i c a la n a l y t i cm e t h o da n dc o m b i n a t o r i a lc o m p u t a t i o n a lt e c h n i q u e ， t h i sd i s s e r t a t i o ni n v e s t i g a t e ss o m ee i g e n v e c t o r so ft r i d i a g o n a lm a t r i c e so fs y l v e s t e rt y p e ， b i n o m i a ld e t e r m i n a n t a lf o r m u l a e ，g e n e r a l i z a t i o n so fc a u c h ya n dv a n d e r m o n d ed e t e r 1 i n a n t sa sw e l la se v a l u a t i o n so fd e t e r m i n a n t so fp a s c a lm a t r i c e s t h ec o n t e n ti ss u m m a r i z e d a sf o l l o w s ： 1 i n s p i r e db ya s k e y 1 】a n dh o l t z 【2 ，e i g e n v e c t o r so ft h et r i d i a g o n a lm a t r i c e so fs y l v e s t e r t y p ea r ee x p l i c i t l yd e t e r m i n e db ym e a n so fo b s e r v a t i o na n de x p e r i m e n t a t i o nt h r o u g h c o m p u t e ra l g e b r a ，w h i c ha r ec l o s e l yr e l a t e dt oo r t h o g o n a lp o l y n o m i a l sn a m e da f t e r k r a w t c h o u k ，( d u a l ) h a h na n dr a c a ha sw e l la sq - r a c a hp 0 1 y n o m i a l s t h e nt h er i g o r o u sd e m o n s t r a t i o n sw i l lb ef u l f i l l e dt h r o u g hg e n e r a t i n gf u n c t i o n sa n dm a n i p u l a t i o n s o nf i n i t eb i n o m i a ls u m s 2 b ym e a n so fp a r t i a lf r a c t i o nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ，w ee v a l u a t eav e r yg e n e r a ld e - t e r m i n a n to ff o r m a ls h i f t e df a c t o r i a lf r a c t i o n s ，w h i mc o v e r sn u m e r o u sb i n o m i a ld e - t e r m i n a n t a li d e n t i t i e s ，i n c l u d i n gs e v e r a li n t e r e s t i n go n e sa p p e a r e di na m d e b e r h a n z e i l b e r g e r 障 3 a p p l y i n gl a p l a c ee x p a n s i o na n dd i v i d e dd i f f e r e n c e s ，t h ea u t h o re s t a b l i s h e sag e n e r a l i z e dv a n d e r m o n d ed e t e r m i n a n ti d e n t i t ya n ds e v e r a lr e c u r r e n c ef o r m u l a eo ft h e e x t e n d e dc a u c h yd o u b l ea l t e r n a n t s s e v e r a ls p e c i a ld e t e r m i n a n t sa r ec o n s e q u e n t l y c o m p u t e d f u r t h e r m o r e ，b ym e a n so ff i n i t ed i f f e r e n c ee x p r e s s i o n i l e wp r o o f sa r e p r e s e n t e df o rt h ed e t e r m i n a n t so fp a s c a lm a t r i c e sd u et ok r a t t e n t h a l e rf 4 1a n dz a - k r a j e k p e t k o v g e kf 5 1 k e y w o r d s ：t r i d i a g o n a lm a t r i x ；e i g e n v e c t o r ；d i v i d e dd i f f e r e n c e s ：v a a d e r m o n d ed e t e r r l l i n a n t ：c a u c h y sd o u b l ea l t e r n a n t i i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 2 t _ 作所取得的成果尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢驹地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申 请学位或其他用途使用过的成果与我一同工作约同志对本研究所做的 贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任 学位论文题目：主垒亟盔瞳盎兰。i 互立到蛊过聋 作者签名：型蛔l 一 魄碎年上月毕日 大连理工大学博士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定：在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阂学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 学位论文题目：建! 塑组丝壶到壶约至一蛊进簋 作者签名：圣堕型 日期：2 翌l 年尘月二习日 导师签名：五熬牡魄珥年月4 日 大连理工大学博士学位论文 1 绪论 线性代数作为现代代数的重要组成部分，其中最重要的内容就是矩阵和行列式 它们不仅活跃在数学的各个分支，同时也是现代物理及其它一些科学技术领域中不 可缺少的工具行列式是方阵的一个重要数值特性，在矩阵理论、计算数学和解析 几何中都起着重要作用计算机的广泛使用，特别是m a t l a b 、m a p l e 、m a t h e - m a t i c a 等数学计算软件的迅猛普及，为矩阵和行列式的应用和发展开辟了广阔的 前景 经典组合序列一直是组合学界的热门课题之一，在组合数学中起着非常重要的 基础性作用，众多离散数学问题的解决都与组合序列函数有着紧密的关系近年来， 分析组合学和代数组合学的发展经常要求计算各类组合序列的行列式，例如对称函 数计算、平面分拆枚举和格路计算等k r a t t e n t h a l e r 【6 ，7 】不仅介绍了行列式的计算 方法，而且还给出大量组合序列的行列式公式c h u 【8 1 2 】对经典组合序列的行列式 做了深入的研究这些工作表明，组合序列的行列式计算是一项非常重要而有意义 的工作 本文利用经典分析方法及组合计算技巧，如：差商运算、有限差分运算、发生函 数、l a p l a c e 展开公式、部分分式法等，给出并证明许多有趣的行列式恒等式 首先回顾一下行列式的定义及性质 定义1 1 ：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于 后面的数，那么它们就称为一个逆序一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆 序数排列1 j 2 九的逆序数记为 定义1 2 ：逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列 经典组合序列的行列式计算 定义1 3 ：设a = 扎n ，把 d e t 州= i l s i ，j r l 。 a l l a 2 1 ： a n l a l n a 2 n a n n 称为a 的他阶行列式，它等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积 的代数和，这里j l j 2 矗是1 ，2 ，n 的一个排列其中( 1 1 ) 每一项都按下列规则 带有符号：当j l j 2 a 是偶排列时，( 1 1 ) 带有正号；当j l j 2 a 是奇排列时，( 1 1 ) 带有负号这一定义也可写成 1 热nh = ( 一1 ) r ( j z j 2 j , 1 _ ) a l 俨耵0 味， 7 1 3 2 j ” 这里舀。j ：j 。表示对所有n 级排列求和 在计算行列式时，我们通常利用行列式的性质进行化简比如说：转置运算不改 变行列式的值；一次对调变换使行列式的值变号；倍加变换不改变行列式的值等等 除此之外，我们还会利用三角化法、递推法、加边法、拆项法和l a p l a c e 展开式法等 来计算行列式 定义1 4 ：在行列式 a l l ： 啦l ： 1 a u a i j a l n a i n a n n 中划去元素a j 所在的第i 行与第j 列，剩下的( 扎一1 ) 2 个元素按原来的排法构成一 个礼一l 阶行列式 a l l o l ，j 一1 a l , j + l a l n a i 一1 ，1 0 一1 ，j 一1a - z ，j + z a 4 - 1 ，n 0 4 + 1 ，1 a i + l d 一1n i + l ，j + i o i + l ，n ： ： l ，j 一1j + 1 n 称为元素的余子式，记为元素a i j 的代数余子式记为a ，且a 巧= ( 一1 ) 件j 尬j 2口 毗吻咖 大连理工大学博士学位论文 关于行列式按第j 列展开，有如下l a p l a c e 展开公式：设a = n 巧 n n ，则 d：ent【卅=。ijaijl ；7 n 。- 关于乘积的行列式有下述熟知结论：设a = o 巧 n n ，b = b i t n x n ，c = a b = ： 礼x n ， 则 凡 d e t c 】= d e t a b - d e t a 】d e t b ，其中c 4 3 = 乏：a i k b k j 惫= 1 即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积 除了行列式，特征值也是方阵的一个重要数值特性特征值及其特征向量不仅对 矩阵理论的发展起很大作用：而且在其它数学分支( 如微分方程和几何学等) 、物理、 力学、电子学、机械学、土木学和动力学等科学工程中具有广泛的应用 定义1 5 ：设a 是数域p 上线性空间y 的一个线性变换，如果对于数域p 中一数入o ， 存在一个非零向量，使得越= 入o ，那么入。称为a 的一个特征值，称为a 的属于 特征值入。的一个特征向量 在行列式的发展过程中，数学家们得到了众多行列式的计算公式，比如下面两个 著名的行列式 v a n d e r m o n d e 行列式 多s 兰n 一1 = d e 。lz x ；一l ，z x ；一2 。 广l1 c a u c h y 行列式： d e t j 二1 - d e t| 二一l = 1 i ，j s 几l x i + 协j 三 ? l = n ( 巧咱) z ，j 坯k 珏n 这两个行列式在对称函数理论 1 3 一1 5 】、常数项等式【1 6 - 1 8 和椭圆超几何级数 1 9 等方面都有重要的应用鉴于它们的重要性，很多数学家都将这两个行列式进行 了推广，这方面内容可参见文献 1 0 ，1 1 ，2 0 - 2 4 3 = ，一中一一。一一。一申一一。一一 经典组合序列的行列式计算 2 s y l v e s t e r 型三对角矩阵的特征向量 s y l v e s t e r 【2 5 1 8 5 4 】f 参见 2 6 】) 宣布了下面这个三对角矩阵行列式的计算结果， 但并没有给出证明 螈( o ) = z1 nz 0n l 00 00 00 00 0 20 0 z3 o o0 z o0 2 00 0 00 oo o0 n lo z 礼 lz 它的行列式：d e t ( z ) = 兀o ( z + n 一2 k ) a s k e y 【1 利用初等变换证明了上述行列式由于正交多项式满足三项递归关系， 所以很自然地可以将它们表示成三对角矩阵的行列式基于这种想法，a s k e y 1 】还计 算了k r a w t c h o u k 多项式、h a h n 多项式、对偶h a h n 多项式、r a c a h 多项式和q - r a c a h 多项式 2 7 ，c h a p t e r6 ( 参见( 2 8 】) 三对角矩阵的行列式同年，h o l t z 【2 通过确定矩阵 中某一个最明显的特征向量以及分块三角化法证明了这些行列式 这一章，我们将通过观察数据和计算机代数验证，明确地给出上述三对角矩阵的 全部特征向量，并利用发生函数技巧及二项式系数和的计算给出严格的证明 下面介绍一下基本概念和记号：对于任意变量z ，定义z 的升阶乘为 ( z ) o = 1 ，( z ) n = x ( z + 1 ) ( z + n 一1 )其中九n 对于任意两个变量z 和q ，定义z 的口- 升阶乘为 ( z ；q ) o = l ，( z ；q ) n = ( 1 一z ) ( 1 一x q ) ( 1 一。g n 一1 ) 其中n n 对于任意两个非负整数k n ，g a u s sq 二项式系数定义为 m( q n - k - + , l ；q ) k ( g ；q ) 九 【k j( g ；q ) k( g ；g ) 七( g ；g ) n k 有关g a u s sq 一二项式系数以及g 一级数终止型的恒等式参见f 2 9 4 大连理工大学博学位论文 2 1 s y l v e s t e r 型三对角矩阵 这一节我们将利用发生函数技巧确定两个s y l v e s t e r 塑三对角矩阵螈( o ) 和 鼠( o ) 的全部特征向量 2 1 1 s y l v e s t e r 三对角矩阵( z ) 将矩阵蜴( 0 ) 写成如下形式： 螈( o ) = r n i , j o i ，j n 其中 那么它的特征向量由下面的定理给出 定理2 1 ：对于任意的0 尼凡，定义向量 则有 诹= ( u 是，j10 j n ) 其中 f 盹 j = 【 讯螈( 0 ) = ( 佗一2 k ) 五k j j i = 1 ： n j ，i j = l ； 0 ，否则 由上述定理可知，矩阵( 0 ) 的第k 个特征值为a k = n 一2 k ，其对应的左特征 向量为诹特别地，当k = 0 和k = 几时，不难得到 u o ，歹= 1 ， j = ( 一1 ) 其中歹= 0 ，l ，礼 以及 奶( o ) = n f i o ，锄螈( o ) = 一扎锄。 h o l t z ( 2 】正是利用也。和证明递归关系 d e tm n ( x ) = ( z 2 一礼2 ) d e ta 靠一2 ( z )其中 礼= 2 ，3 ， 得到矩阵( z ) 的行列式下面我们来证明这个定理 证明：定义序列 u 七，j ) ：o 的发生函数为 。 f j ( y ) = y 惫u 幻其中j = 0 1 ，凡 k = o 5 、 一一n 七 ，、l ， 一 啦渤 m = 惫 u 经典组合序列的行列式计算 通过交换求和次序和二项式定理，函数f j ( y ) 有封闭形式 f j ( y ) = ( 1 一y ) ( 1 + y ) n j 具体的计算细节如下： f j ( y ) = y 恐圣( _ 1 ) i ( ) ( 凳二 ) n m l n l 托，7 考察线性组合 j ( 一 i = 0 ：( 1 + 扩一，圭( ；) ( 刊t = ( 1 一y ) ( 1 + 可) n 一 j b 一1 ( 耖) + ( 亿一j ) f j + l ( y ) = j ( 1 一可) 一1 ( 1 十可) n j + 1 + ( 7 2 一歹) ( 1 一y ) j + 1 ( 1 + 可) n j 一1 = j ( 1 一可) ( 1 + 可) n 一+ 2 j y ( 1 一可) j 一1 ( 1 + y ) n 一 + ( n j ) ( 1 一可) ( 1 + y ) n 一一2 ( n j ) y ( 1 一可) ( 1 + 可) n 一一1 = 礼( 1 一可) j ( 1 + 可) n j 一2 y ( 1 一可) 一1 ( 1 + g ) n j 一1 礼( 1 一y ) 一2 歹) 对函数i j ( y ) 关于y 求导，有 三乃( 秒) = ( 1 一可) h ( 1 + 耖) 俨似l 一可) 一2 办 我们得到函数关系 j 乃一1 ( y ) + ( 礼一j | ) 疗+ 1 ( 可) - - n 乃( 可) 一2 器疗( 可) 比较上式左右两端扩的系数，有递归关系 u 缸仉严j u k j 一1 + ( n - j ) u 七，j + l = ( ”2 k ) u k 加 七，j = 0 ，l ， = o 上式等价于 面向a 死( 0 ) = ( n 一2 k ) 也k 其中七= 0 ，l ，礼 由于 礼一2 恐) z ：o 是矩阵螈( o ) 的全部特征值，我们不难得到s y l v e s t e r ( 1 8 5 4 ) 给出的 矩阵螈( z ) 的行列式 6 k y 、， 一 一n 七 ，一 n 减 大连理工大学博士学位论文 2 1 2 三对角矩阵玩( z ) 三对角矩阵 b 凡( 。) = o g ( a - 1 ) o o o a 00 o 一12 a0 ( n 1 ) ( o 一1 ) o 一23 a 0oo 0oo 0 0 0 z 一( n 一1 ) o l a s k e y 【1 】和h o l t z 【2 得到 亿 d e tb 碍( x ) = z + ( n 一后) ( o 一1 ) 一七d ) k = 0 类似地，将矩阵既( o ) 写成如下形式： 0 o 0 n o z n 鼠( o ) = 茂 o g n 其中兢2 莩二扎，c - 一。，j 兰翥- i 三：； p 江元 那么它的特征向量由下面的定理给出 定理2 2 ：对于任意的0 七礼，定义向量 c 蚓哟纠其芦熬二；) 南 则有 。七b 钉( o ) = ( 佗一七) ( 口一1 ) 一k a o k 由上述定理可知，矩阵b n ( o ) 第忌个特征值为k = ( 凡一砖) ( o 一1 ) 一七口，其对应 的左特征向量为珏特别地，当k = 0 时， v o ，j = 1 其中j = o ，l ，n h o l t z 【2 】正是利用锄计算出矩阵风( z ) 的行列式下面我们来证明这个定理 证明：定义序列 ，】z ：o 的发生函数为 n 乃( 可) = y k v 惫，j 其中歹= 0 ，l ， k = o 7 l o o o卜o 2 那么乃( 妙) 有封闭形式 上式的计算细节如下： 经典组合序列的行列式计算 乃( 可) = ( 1 + y 户( 1 + 而a y ) g j ( y ) = 觚戥绷二 ) 禹 对函数g j ( y ) 关于y 求导，得 毛咖h 1 刊州。1 ( - + 兰) 卜1 c 州，+ 掣掣) 化简后不难得到 歹。劬一1 ( 可) 一j g j ( y ) + ( 礼一j ) ( q 1 ) 乃+ 1 ( 可) = n ( n 一1 ) 乃( 耖) + ( 1 - 2 a ) 笔y g j ( 可) 比较上式左右两端y 七的系数，有递归关系 上式等价于 n m bj = j a v k 卜1 + ( n - j ) ( a 一1 ) j + l - j - - - - 0 = ( 凡一尼) ( n 1 ) 一七o ) u 七，j ， 尼，j = 0 ，1 ，扎 西七b n ( o ) = ( n 一七) ( 口一1 ) 一k a 匆k 其中k = 0 ，l ，一，n 因此， ( 礼一k ) ( a - 1 ) 一k a l o 是矩阵鼠( o ) 的全部特征值，这样便得到矩阵晶( z ) 的 行列式 利用矩阵b n ( x ) 的行列式值，a s k e y 1 】和h o l t z 【2 还得到下面两个等式 a e t 蛐) = 舰等掣= 直c 地) ， d e ta 礼( z ) = 2 n + 1d e t b , z ( z 2 ) 1 口： = ( z 一他) n + 1 ， 8 n 减 而 岛 y，一 n譬，铷 带够 一、2一一堞啬 ，一 i ，以渤 + + 大连理工大学博士学位论文 其中三对角矩阵 a n ( o ) 兰 z1 一死x - 2 0 一( n 一1 ) oo 00 00 2 2 正交多项式的三对角矩阵 00 2o z 一43 00 00 00 ， 0 o 0 x - - 2 ( n - - 2 ) 一0 o 0 o o 0 凡 。一2 n 这一节，我们将得到一些正交多项式的三对角矩阵的特征向量为此，首先回顾 一下正交多项式的概念及性质 定义2 1 ：设，夕c a ，6 】，p 为【0 6 】上的权函数，若满足 ( ，g ) = p ( z ) ，( z ) 夕( z ) c b = 0 ， 则称，与g 在 a ，b 】上带权p 正交 定义2 2 ：设( z ) 是【a ，6 上首项系数a n 0 的n 次多项式，p 为【a ，b 上的权函数， 如果多项式序列 ( z ) 】n o 满足 c 妒t ，叻，= z 6 p c 。，妒ir z ，c z ，d z2 三0 ，：兰三： 则称多项式序列( ( 。) ) n o 为在【o ，6 】上带权p 正交，并称为【a ，6 上带权p 的n 次正交多项式 定理2 3 ( 递推关系) ：设 妒n ( z ) ) n o 为在 a ，纠上带权p 的正交多项式序列，则对于 礼21 有 妒n + l ( z ) = ( a n z + 风) 妒n ( z ) + y n - 1 妒几一1 ( z ) ， 其中o t n ，磊和h 一1 与z 无关 接下来，我们将分别给出k r a w t c h o u k 多项式、h a h n 多项式、对偶h a h n 多项 式、r a c a h 多项式和q - r a c a h 多项式的三对角矩阵的全部特征向量 9 o o o 州挑。 铲 经典组合序列的行列式计算 2 2 1k r a w t c h o u k 多项式的三对角矩阵 定义三对角矩阵 ( z ) = x + p np n 0 000 1 - p 正+ p n + ( 1 2 p ) p ( n 一1 ) 0 0o 0 2 ( i - p )。+ p n 2 ( 1 2 p ) p ( n 一2 ) 00 000 0 n ( 1 一p ) x + n ( 1 一p j a s k e y 1 和h o l t z 2 得到 d e tj 毛( z ) = ( z ) n + 1 将矩阵珞( 0 ) 写成如下形式： ( o ) = o ，j s n 其中- 4 , 严 2 i ) ，i = j ； j i = l ： i j = 1 ： 否则 那么它的特征向量由下面的定理给出 定理2 4 ：对于任意的0 危sn ，定义向量 虻( 伽站雌渤) 其中琊= m i 萎n i , k ( 妒j ( ；) ( z 二抄， 则有 ( o ) 西2 = 后面2 由上述定理可知，矩阵( o ) 的第七个特征值为入七= 尼，其对应的右特征向量 为列向量面2 h o l t z 2 】利用特征值a o = 0 对应的特征向量面6 = ( 1 ，一l ，士1 ) 。推 导了矩阵( 。) 的行列式满足的递归关系下面我们给出这个定理的证明 证明：定义序列 w i ，七) 琶。的发生函数为 礼 ( 可) = 可七w i ，七其中i = 0 ，l ， k = 0 那么心( 耖) 有封闭形式 h - 刊 。 1 0 一 ， ，”d 砖 烈 一 一 + m 1 ， 弘 烈“q ，ililjc、-ii【 大连理工大学博士学位论文 上式的计算细节如下： 啪) ：n 矿m i n i k ( 一1 ) 一( ；) ( 2 二乡) p 一， k = o j = o i n = ( 一1 ) 扛( ；) p - i ( z 二；) 秒凫 j = ok = j 我们不难得到 ( 1 + 可) n j = o r ( 1 + y ) 俨叫 l ( 一1 ) 扣j ( ；) y p ( 1 + y ) p 卜 p ( n i ) h i + 1 ( y ) + i ( 1 一p ) 一1 ( y ) + i + p ( n 一2 i ) ) ( 可) ：p y - ( i - 叩q - - n y - - 酬刊州。1 攀掣r 对函数h i ( y ) 关于y 求导，有 扣沪1 一叩h - n y - 酬1 妒 鼍掣r 进一步得到函数关系 p ( n 叫k 砌) 州1 刊( 可) + ”p ( n - 2 i ) h ( 可) = 鸶讹) 比较上式左右两端y 七的系数，有递归关系 = k w i 工， 七，i = 0 ，1 ，礼 上式等价于 ( o ) 面2 = 恐面其中k = 0 ，1 ，几 由于 七) 2 ：o 是矩阵如( o ) 的全部特征值：我们便得到了a k ( z ) 的行列式 _ 到此为止，利用发生函数方法已经证明了矩阵( 0 ) ，b n ( 0 ) 7 ( o ) 的全部特征 向量：但这个方法却不适用于下面的三对角矩降在接下来几小节中，我们将通过计 算二项式系数和的方法给出证明 1 1 七 似 、，n ：、 2 一 n p + r j l + 七 一 谢 p l “ + k+ 叫 力 一几 印女 加 q n 脚 经典组合序列的行列式计算 2 2 2 对偶h a h n 多项式的三对角矩阵 其中 定义三对角矩阵 日n ( a ( 。) ) = a ( z ) n ( 7 + 1 )凡(一y+1)0 0 n + 6 入( 。) + n ( 1 + 3 ) 一( 7 6 + 2 )( 凡一1 ) ( 一y + 2 ) 0 0 2 ( n + 6 1 )a ( 。) + 几( 7 + 5 ) 一2 ( 7 6 + 4 ) ( n 一2 ) ( 一y + 3 ) ： o0 a s k e y 【1 】和h o l t z 【2 】2 得到 a ( z ) ：= - x ( x + 7 + 6 + 1 ) n ( 6 + 1 ) d e t 三k ( a ( z ) ) = ( - x ) 礼+ l ( x + 7 + 6 + 1 ) n + 1 将矩阵( 0 ) 可以如下形式 a ( o ) + n ( 1 + 6 ) 巩c。，=ch，。氲，n其中，=参量：主：y一6+现l蠹；：i 那么它的特征向量由下面的定理给出 定理2 5 ：对于任意的0 尼佗，定义向量 讯叱川0 一i 驯其中= m i n , k ( 矿，( ；) ( 凳二；) 等尚 讯= ( 晰l 一n ) 其中= ( 一圹( ；) ( 凳二；) 竖带素半 则有 证明：由于 u i 一1 k u i + 1 k 风( o ) = k ( k + + 占+ 1 ) 砭 驴广( 趴i n 尼一- - 乡) 锴孚， 莓( 妒州 ( 凳二乡) 鼍高 1 2 大连理工大学博士学位论文 我们有如下计算： h i , z u 。, 惫= 亿( 1 + 2 i + 1 ) 一i ( 7 6 + 2 i ) h 忌 + i ( n + 6 一i + 1 ) u i i ，七+ ( 礼一t ) ( 一y + i + 1 ) + l ，七 2 莩( 计( 撇二乡) 鬻( n - i + 6 + 1 ) ( 2 1 a ) + ( _ 1 ) 扣，( j 三1 ) ( 2 二乡) j 根据线性关系 ( i 一礼) ( 7 + i + 1 ) = ( i j - 4 - g ( i + j n + 7 ) 一( n j + 1 ) ( 歹+ - g ， 那么( 2 1 b ) 可以写成两部分求和，对于后者将求和指标j 换成j + 1 ，化简后得到 驴广( 趴i n - j ) 背砌) + 驴广( 趴in - j ) 锴 = 七( 尼+ 7 + 6 + ) ( 一1 ) 一( ；) ( 凳二；) 上式右端恰好为k ( k + ，y + 6 + 1 ) u i 惫，即 ( k 一歹) ( 尼+ j + - y + 6 + 1 ) ( 七+ ，y + j + 1 ) j ( 7 + 1 ) j ( o ) 五l = k ( k + 1 + 6 + 1 ) 云2其中k = 0 ，l ，礼 由于矩阵巩( o ) 的全部特征值为 儿= 七( 七+ + j + 1 ) ) ：o ，我们有 2 2 3h 出m 多项式的三对角矩阵 三对角矩阵 已( 入( z ) ) = a 扛) 一b 0a o c 1a ( z ) 一b 1 0 c 2 o0 0 0 0 0 0 1 0 a ) 一6 2 0 0 o 1 3 一 一1 0 o 0 o a ( 寡) 一6 。一1 c 竹 0 0 0 0 竹一1 a ( x ) - 6 t l = 七毗 n 御 +n 1 + f d + 1 +z +n z一 = 、， z一+ 入 rj、 n i i z，巩ted ，。，l 经典组合序列的行列式计算 其中参数口七，b k ，c k 满足：a k + b 碚+ c 忌= 0 定义h a h n 多项式的三对角矩阵为 系数满足 冗n ( 入( z ) ) ：= 死( a ( z ) ) ，其中a ( z ) = 一z ( n k ) f 1 + k + q ) ( 1 + 居+ q + 3 1 钆2 百i 豇瓦干两西习再丽 尼f 尼+ 3 1 ( 1 + k + q + 8 + n 1 。2 一( 2 k 十q 十j ) ( 1 + 2 k + q + ) a s k e y 1 和h o l t z 【2 得到 将矩阵冗n ( o ) 写成如下形式： d e t n ( 入( z ) ) = ( - x ) 几+ 1 咒n c 。，= 也胡。幻n 其中盔，2 ：a i j + c 4 ；二三三：； i 叫； i o ，否妣 地k ：m i n i , k ( 矿，( ；) ( 凳二乡) 雠 地k = ( 一1 ) 卜( ；) ( 凳二；) 坚篙罴边 = u 。 肌蛐。莩c 寸( 撇二乡) 等挚孚， 阱蛐2 驴) 1 + 叫 ( ! ；) + ( j 训( 等； 1 4 大连理工大学博士学位论文 我们有如下计算： 盔，：地，七= ( 瓯+ 龟) 纯，七+ 色胁一1 ，膏+ 锄地+ i ，詹 l - - - - 0 = ( 叫川( ；) ( 凳二；) 等等 一( 矿歹( ；) ( 鼍二乡) 譬警 毋嵩黼 ( 2 2 a ) ( 2 2 b ) ( 2 2 c ) ( 2 。2 d ) ( 2 2 d ) 司以写成线性关系 j ( 1 + i + j + 0 ：+ p ) j ( 2 i + q + 口) 歹o i 百万i 丽了再厕毗2 石巧了i 南岛一再i 而 i j ( 歹+ q ) ( 1 + n j ) ( 1 + i j ) ( i + j + q + p ) 。 将上式代入求和公式( 2 2 c ) 和( 2 2 d ) 中，并对线性关系最后一个分式对应的求和作 指标变换：j _ j + 1 ，有 擎眠七2 莩( - 1 广( 撇二乡) 繁 一莓c 矿( ；) ( 瑟二；) 篙产毋高鞣 = 七军川( ；) ( z 二乡) 等警产 即 九 f 也以七= 七批，七 上式等价于 冗几( o ) 破= 七雠其中南= 0 ，l ，礼 由于矩阵冗n ( 0 ) 的全部特征值为 k = k l ：o ，我们有 d e t 7 - t n ( 入( z ) ) = n + a ( z ) ) = ( 一。) n - 1 5 经典组合序列的行列式计算 2 2 4 r a c a h 多项式的三对角矩阵 定义r a c a h 多项式的三对角矩阵为 r ( 入( z ) ) ：= 死( 入( z ) ) ，其中入( z ) = - x ( x + 一y + j + 1 ) ，l + p + 6 + n = 0 系数满足： ( n 一七) f 1 - f - 惫+ q ) ( 14 - 忌- f - ，) f 1 + k + o t + 3 ) 2 市再豇酝；丽西瓦再i i f ， 一尼( 庇+ 3 ) ( 1 + k + q + 3 + n ) f 岛+ + 3 一一y ) 。 瓦i 再丽百疆万忑了万一 a s k e y 【1 和h o l t z 【2 】得到 d e tr n ( a ( z ) ) = ( - z ) n + l ( z + 7 + 占+ 1 ) 几+ 1 将矩阵r ( 0 ) 写成如下形式： r ( 0 ) = 画i j 。幻n ，其中吨，j 2nci印,；一-ji：=11ai c i i ； l + ，= j ； 他。! 警斛f 11 叫f ，i 、f ，? 一j f 、i ( ! 生竺型! 坌2 塑! 蛳= 喜。( 计j ( ；) ( 2 二多) 业箐搿铲 睢蛐2 驴) 1 ( 撇二；) 业群警孚， u ；+ t ，七2 莩( 一，) 1 + i 一。 ( ；) + ( 歹三1 ) ) ( 2 二；) 垦2 上生三盖 星手& 铲； 1 6 我们有如下计算： 大连理工大学博士学位论文 = 莓( 矿( ；) ( 瑟二；) 业苇舞学仁3 a ) ( 2 3 d ) 可以写成线性关系 箬蔫嵩q 一志 ) ( 2 二；) ( 1 + i + q + 3 ) 5 ( 1 + k + ，+ 6 ) ( 1 + q ) j ( 1 ，) j 者茜篇 拦靠器。i = 髯蔫q 一志 一j ( 1 + 歹+ 7 + 6 ) + 端 7 ) ( 1 + n j ) + j + q + p ) ( 2 3 b ) ( 2 3 c ) ( 2 3 d ) 将上式代入求和公式( 2 3 c ) 和( 2 3 d ) 中，并对线性关系最后分式对应的求和作指标 变换：j 一歹十1 ，得 由于 那么 = 驴广俐业昔皆 j ( 1 + 歹+ ，y + j ) + ( 七一歹) ( 1 + 七十j + + 6 ) ) 歹( 1 + j + 7 + j ) + ( 七一歹) ( 1 + k + j + + 6 ) = k ( z + k + 1 + 6 ) ? j 亡+ 口 眦 + 七一 ” q + k 口 q + 0 = 口d n 御 0 ，一 l 一 ， ) + )习习 n 七 卜n 忌 小 )斗) t j 0 i j ，一了，一 d d 一 一 ， ， = 一 吼一也 n 御 七 可f 0+ 7 +k + 1 上七 = 七 口 反 n 础 经典组合序列的行列式计算 上式等价于 f k ( o ) 矛2 = k ( 1 + 尼+ 7 + 石) 矛2其中忌= o ，l ，n 由于矩阵( o ) 的全部特征值为 入七= k ( 1 + 庇+ 7 + 占) ) ，我们有 d e tp 吼( a ( x ) ) = r l 入惫+ a ( z ) ) = ( 一z ) n + l ( x + 7 + 6 + 1 ) n + 1 _ k = 0 值得一提的是，h a h n 多项式和对偶h a h n 多项式都是r a c a h 多项式的极限情况，即： l i m d e tp j 再( a 广( x ) ) ：( - z ) n + 1 ， 7 一0 0 n 十l 7 “ 坐恐d e tr n ( a ( x ) ) = ( 一z ) 竹+ 1 ( z + ，y + 6 + 1 ) n + 1 2 2 5 q - r a c a h 多项式的三对角矩阵 定义三对角矩阵 矾( a ( z ) ) ：= 矗( a ( z ) ) ，其中a ( z ) = ( q 一一1 ) ( 1 一q z + l c d ) ，q l + n b d = 1 系数满足： 它的行列式为 。k = 堕等勰导掣芋盟， 钆= 嚅堕吗等篝裂产塑 d e tq n ( a ( 。) ) = ( 一1 ) n + 1 口一( “孝1 ) ( 口一z ；g ) n + 1 ( 矿+ 1 c d ；q ) n + 1 注意到，a s k e y 【1 和h o l t z 2 证明的结果中遗漏了q 指数因子q - ( “孝1 ) 将矩阵q 几( o ) 写成如下形式： f a i + c i , 待j ； q 九c 。，= 包 j 。s 谢n