（机械制造及其自动化专业论文）计算机辅助设计与工程分析中的数值流形方法.pdf

垦堕塾耋丝垄奎童堑窒童堡堂堡篁塞 摘要 针对现代工业对c a d c a e 技术的要求，文章通过对现有的几种数值方法进行分析和 比较，结合复杂c a d 曲面内在的流形结构和弹性力学中的相关理论，提出了一种新的数值 计算方法面素元法。该方法综合了有限元法、边界元法、无单元g a l e r k i n 法的全部 优势，并在一定程度上避免了各自的局限性，直接面向c a d 模型，是一种实用的数值方 法。文中还详细推导出了对面素元法中的有限元一边界元耦合、有限元一无单元o a l e r k i n 法耦合等具体算法及实现过程，并给出了面素元法的一个线弹性问题实例。与a n s y s 的 分析结果对照表明，本文方法具有正确性和有效性。 具体地，本文有以下几个方面的研究成果： 给出了组合c a d 曲面的流形表达。c a d 曲面模型是分片连续的组合曲面，其实质是 三维e u c l i d e a n 空间的一个二维流形：本文依据c a d 曲面模型的这一特征，结合流形 结构局部解析和全局连续的本质特性，分析了组合c a d 曲面的相关性质，给出了c a d 模型的流形表达方式； 提出了面素元法。在充分分析复杂c a d 曲面流形结构的基础上，本文提出面素元法 ( p u m ) 。p u m 以构成c a d 模型的简单曲面片为计算单元，通过曲面片的数学边界将 单元分为内外两个计算域；通过有限元边界元、有限元一无网格g a l e r k i n 之问的耦 合关系建立单元内部与外部之间的关联；通过局部有限元耦合建立单元与单元之间的 关联，最终建立位移法求解的控制方程。 基于加权余量法推导了有限元一边界元耦合、有限元一无网格g a l e r k i n 耦合的控制方 程，同时给出相应的数值算例，并与a n s y s 分析结果比较，验证了面素元法的正确 性和有效性。 关键词：c a d c a e ，数值方法，有限元，边界元。流形 第l i i 页 a b s t r a c t f o l l o w i n gas u r v e yo fc l a s s i c a ln u m e r i c a lm e t h o d s ，t h i st h e s i sp u t sf o r w a r dan e wn u m e r i c a l m e t h o d - - p a t c hu n i tm e t h o d ( p u m ) b a s e do ne l a s t i c st h e o r ya n dt h ei n n e rm a n i f o l ds t r u c t u r eo f c o m p o s i t ec a ds u r f a c e s p u mi n h e r i t sa l lt h ea d v a n t a g e so ff i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) ， b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ( b e m ) a n de l e m e n t - f r e eg a l e r k i nm e t h o d ( e f g m ) ，a n da v o i d st h e i r l i m i t a t i o n st os o m ee x t e n t p u mi sap r a c t i c a ln u m e r i c a lm e t h o dd i r e c t l yo r i e n t e dt ot h ec a d s u r f a c em o d e l s a l g o r i t h m sc o n c e m i n gt h ec a l c u l a t i o n so fp u m ，s u c ha st h ec o u p l i n go f f e m b e m ，f e m e f g ma r ea l s od e d u c e di nd e t a i l i nt h ee n d ，an u m e r i c a le x a m p l eo fp u m i sg i v e no u ta n dac o m p a r i s o no ft h en u m e r i c a lr e s u l t sw i t ha n s y si sp e r f o r m e d ，w h i c hs h o w s t h a tp u mi sv a l i da n dr e l i 曲l e t h ek e y n o t e si nt h et h e s i sa r ea sf o l l o w s ： am a n i f o l de x p r e s s i o no fac a ds u r f a c em o d e li sp r e s e n t e d ac a ds u r f a c em o d e li sa p i e c e w i s ec o m p o s i t es u r f a c e ，w h i c hi se s s e n t i a l l yat w o - d i m e n s i o n a lm a n i f o l di n t h r e e - d i m e n s i o n a le u c l i d e a ns p a c e s ot h a tam a n i f o l de x p r e s s i o no fac a ds u r f a c em o d e l i sp r e s e n t e da n da n a l y z e da c c o r d i n gt ot h em a n i f o l d sp r o p e r t yo fl o c a la n a l y t i c i t ya n d g l o b a lc o n n e c t i v i t y p a t c hu n i tm e t h o di sr a i s e do u t b a s e do nt h ef u l l ya n a l y s i so ft h em a n i f o l ds t r u c t u r eo f c o m p o s i t ec a ds u r f a c em o d e l s ，p u ma d o p t sas i m p l es u r f a c ep a t c hw i t hi t sn a t u r a l m a t h e m a t i c a lb o u n d a r ya sac o m p u t a t i o n a lu n i t ，a n dr e g a r d st h eu n i ta sa ni n n e rp a r ta n da n o u t e rp m t ，t h e nb u i l d su pr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ei n n e ra n do u t e rv i af e - b e e f g - f e c o u p l i n g ，a n dt h er e l a t i o n s h i pa m o n gu n i t sb yl o c a lf ec o u p l i n g t h u st h et o t a lg o v e r n i n g e q u a t i o nc a l lb eb u i l du p a l g o r i t h m so ff e b e e f g - f ec o u p l i n ga r eg i v e no u t u s i n gt h ew e i g h t e dr e s i d u a l a p p r o a c h ，t h eg o v e r n i n ge q u a t i o n so ff e b ea n df e - e f gc o u p l i n ga r ed e d u c e d t h i s t h e s i sa l s og i v e sc o r r e s p o n d i n gn u m e r i c a le x a m p l e s ，a n dt h ec o m p a r i s o no ft h en u m e r i c a l r e s u l t sw i t ha n s y ss h o w st h ev a l i d i t ya n dr e l i a b i l i t y k e yw o r d s ：c a d c a e ，n u m e r i c a lm e t h o d ，f e m ，b e m ，m a n i f o l d 第1 v 页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文题目： 盐簋狃辅助选进复兰焦盆盘主鲍数值沆星左洼 学位论文作者签名：豸；z 金豁 日期：埘年，月矽日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定。本人授权 国防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。) 学位论文题目：盐簋狃箍豇遮让生至焦盆堑主煎熬焦逾型左鎏 学位论文作者签名 作者指导教师签名：垂邈 日期：7 卯厶年月歹乒日 日期：虞。6 r 年r ，月砂p 日 一： 垦堕塾兰垫垄奎兰堑室圭堕兰堡垒窒 第一章绪论 本章将就本文的研究背景、课题来源、研究目的及主要的研究工作进行介绍，同时， 阐述了本文的体系结构。 1 1 引言 c a d ( c o m p u t e r a i d e dd e s i g n ，计算机辅助设计) 技术产生于2 0 世纪5 0 年代末，核心 内容是曲线曲面设计与造型。伴随着计算机技术的发展和存储管式图形显示技术的出现， c a d 技术广泛应用于现代工业生产之中，影响着现代工业的各个方面，使得传统的产品技 术、工程技术发生着深刻的变革。c a d 系统已经成为设计人员从事产品设计的基本工具。 c a d 技术的使用，极大地提高了产品质量，缩短了产品从设计到生产的周期，实现了设计 的自动化，使设计人员从繁琐的绘图中解放出来，集中精力进行创造性的劳动。 如果说c a d 技术解决了产品的设计问题，那么，c a e ( c o m p u t e r - a i d e d a n a l y s i s ，计算 机辅助分析) 技术则要解决产品的质量分析、寿命预测等问题，进一步缩短了工业产品的 生产周期。c a e 以计算机为基本工具，以数学、力学的相关知识为理论基础，采用各种数 值方法对特定产品进行性能分析、预测和优化，以实现产品的技术创新。现有c a e 软件 种类繁多，主要有德国的a s k a 、英国的p a f e c 、法国的s y s t u s 、美国的a b q u s 、a d i n a 、 a n s y s 、b e r s a f e 、b o s o r 、c o s m o s 、e l a s 、m a r c 和s t a r d y n e 等等。它们大多以有限元分析 技术为基础，同时增加前、后处理的辅助功能，如网格划分、分析结果的可视化表达等等。 这些c a e 软件在现代工业生产中起到了巨大的作用，解决了大批有意义的问题。但是， 随着现代工业的发展，对c a e 软件提出了越来越高的要求，如更简单易用的前处理技术、 更加快速准确的计算方法、更直观简洁的后处理技术等等。同时，现代工业也对c a d 、 c a e 系统的集成，提出了更高的要求，以便更好的服务于生产实际，缩短产品的生产周期 和生产成本。 另一方面，工业生产中有大量的即时仿真问题，如冲压件成型过程动态模拟、工件裂 纹形成、扩展乃至于断裂过程的预测等等。对于这些问题，由于在分析过程中网格发生严 重的畸变，因此仅仅采用传统的基于网格的有限元法、有限差分法难以取得好的处理结果。 鉴于此，人们也提出了许多的解决方法，主要可以分为两个方向，其一是引入双坐标系， 第1 页 垦堕型耋丝垄奎茎堡室篁堕堂篁垒塞 通过定义参考构形、当前构形、变形梯度等概念来描述研究对象，分析其在不同构形下的 几何、物理属性及其对应关系，同时在分析过程中不断的更新网格，以满足动态模拟的计 算要求。最终形成和发展了许多新的学科和理论，如有限弹性变形分析1 】f 2 j 、非线性有限 元分析等【3 l ；另一个方向是降低数值方法对网格的依赖性，发展新的数值计算方法，其结 果是几十年来各种新的数值算法如雨后春笋般的出现，如边界元法、应用于岩体分析的数 值流形方法以及各种无网格方法等等。 本文从复杂c a d 曲面模型的流形结构入手，在充分分析现有几种数值算法( 有限元、 边界元、无单元g a l e r k i n 法以及应用于岩体分析的数值流形方法) 的优缺点的基础上，提 出一种新的数值方法面素元法，直接面向c a d 曲面模型的数据文件( i g e s 文件) ， 分析复杂c a d 曲面在承受载荷时的变形。 1 2 常用数值分析方法及其研究进展 用于c a e 的各种数值方法发展十分迅速，先后出现了有限元法( f e m ：f i n i t ee l e m e m m e t h o d ) 、边界元法( b e m ：b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ) 、无单元方法( e f g m ： m e s h l e s s g r i d l e s s e l e m e m f r e em e t h o d s ) 和用于岩体分析的数值流形方法( n m m ： n u m e r i c a lm a n i f o l dm e t h o d ) 等多种方法。下面对这些方法的基本思想、研究现状及最新 发展进行综述： 1 2 1 有限元方法 有限元法的基本思想是将一个连续域离散化为有限个单元并通过有限个节点相连接的 等效集合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同的形状， 因此可以对几何形状复杂的求解域进行求解。有限元法利用在每一个单元内假设的近似函 数来分片地表示全求解域上待求的场函数，单元内的近似函数由未知场函数在单元的各个 节点的数值及插值函数来表达。于是，一个问题的有限元分析中，未知场函数在各个节点 上的数值就成为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问 题。一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算各个单元内场函数的近似值，从而 得到整个求解域上的近似解。显然，随着单元数目的提高，也即单元尺寸的缩小，或者随 着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进，最终近似解将收 敛于精确解。 第2 页 ： 垦堕塾堂垫垄奎堂堑窒生堕堂堡篁塞 利用有f 艮元法进行问题求解般要经过以下几个步骤： 1 、网格化。将连续的求解域分割成许多单元，同时确定单元的数量、类型、大小及其 分布。 2 、从区域中取出一个单元进行研究，选择适当的插值模式或位移模式近似地描述整个 单元的场函数。一般情况下，插值函数选取宜于计算的多项式形式，同时要满足一 定的收敛要求。 3 、推导单元的刚度矩阵和载荷向量。根据选取的插值函数，利用平衡条件和适当的变 分原理，推导单元p 的刚度矩阵隧 俐和载荷向量一，结合节点位移一，可列出 如下形式的单元平衡方程 【k p u 8 = p 。 4 、集合单元刚度矩阵，形成总体有限元基本方程。求解域是由许多个单元组成，因此， 把所有的单元刚度矩阵按照相邻单元公共节点处位移和载荷相同的原则集合，可以 得到求解域的全局刚度矩阵，其形式如下 【k u = p 其中，嘲为求解域的整体刚度矩阵，u 为总的节点位移列阵，为总节点载荷 列阵。该方程为线性代数方程。 5 、施加位移或力的边界条件，求解总体方程，得到节点位移。 6 、后处理。根据单元节点位移计算应力和应变，同时考虑分析结果的可视化处理。 作为一种经典的数值计算方法，有限元也在不断的发展1 4 】i5 1 ，主要体现在两个方面：一 个是计算单元的发展。最早的有限元法主要用于分析杆系结构，其计算单元是类似于弹簧 的杆元模型，然后很快出现了计算弹性体平面的三角和四边形单元，为了提高其计算精度， 人们又发展了平面四节点等参单元和八节点曲边等参单元，以及适用于三维问题的四面体 常应变单元、直六面体单元，甚至于二十节点的三维等参单元等；另一个是采用不同的变 分原理，推导不同的有限元计算格式。最早的也是应用最广泛的是基于最小势能原理的位 移元，也叫协调元；1 9 7 2 年，p i a nt hh 采用基于最小余能原理的平衡模型 6 】该模型要 求相邻两单元的边界上，表面力必须平衡，更进一步，p i a nthh 提出，将该平衡条件作 为约束引入，同时引入相应的拉格朗日乘子，由此可以得出另一个平衡模型，该泛函的极 值可称为修正余能原理。在此基础上，人们还提出杂交应力模型、杂交位移模型m 和混合 模型等。 第3 页 里堕墅堂堇垄叁耋堑窒尘堕堂堡篁塞 在过去的半个世纪里，伴随着计算机技术的发展，有限元得到了长足发展和广泛应用， 许多大型的通用有限元程序和专用程序投入了实际应用，并成功地解决了一大批工业生产 中的实际问题。但是有限元方法对网格的严重依赖性制约了其在工程分析中的良好表现。 原因有二： 1 、网格划分是一个非常耗时且极为复杂的问题，可以说有限元法成功的关键就在于网 格划分的质量。但是，很多情况下，对求解域的网格划分十分困难，极为耗时，另 外，现代工程实践中存在着许多涉及到大变形的复杂问题，这种情况下，为了保证 解的精度和收敛性，需要不断的更新网格，这无疑又增加了计算量； 2 、有限元方法是建立在对连续域进行离散、而后对单元进行集合的基础上的，如果求 解域本身就是不连续的，存在裂缝，此种情况下，应用有限元方法就较为困难，有 时候甚至是不可能的。 1 2 2 边界元方法 边界元法是在经典的积分方程基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算 方法。它的根本思想是解的叠加，所选用的基本解已经满足求解域的泛定方程，因为该基 本解本来就是一种特殊问题的解析解，最后在边界上划分单元，以单元节点上的值代替单 元的边界值，即用有限个节点的边界值代替无限多个边界点上的边界值，然后用有限个解 的叠加来满足这些节点上的边界条件，并据此求出解中的待定量。此后，域内各点的近似 解，也有这些已定的解叠加求得。与有限元法相比，它只需要在边界上划分单元，“边界 元法”由此而来。 最早的边界元法由r i z z o l 8 1 于1 9 6 7 年提出，c r u s e 9 】于1 9 6 9 年也完成了边界元法若干重 要公式的推导，给出了弹性体区域内部应力的求解公式。1 9 7 8 年在英国s o u r t h a m p t o n 召丌 了第一届边界元法国际会议，并出版了第本有关边界元方法的文集【”1 ，标志着边界元法 得到公认并蓬勃发展起来。早期的边界元法都是利用边界上的位移和面力表达区域内的位 移，可称之为边界元法的位移法。1 9 8 6 年，我国学者胡海昌【l l j 提出另一种计算思路，他将 弹性体中某点的应力用边界上的位移和面力表示，得到的边界积分方程与r i z z o 及c r u s e 所得方程在类型上恰好互补，称之为应力型边界积分方程，相应的，称该方法为边界元的 应力法。 从边界元法计算格式形成的全过程来看，关键问题有三个：其一为基本解的选定。一 第4 页 垦堕墼耋：丝垄查竺墅塞篁堕兰堡篁奎 般都是利用前人已经得到的某个特殊问题的奇异解，例如，在无限大的弹性介质中的某一 点受到集中力作用是的k e l v i n 解等。基本解的选定是边界元法的关键所在；第二个问题是 问题的边界化，即将给定区域上的定解问题化为只考虑边界的问题，其实现主要依据格林 公式，这是边界元法的基础；第三个问题是边界的离散化，其离散化技术和有限元的网格 划分技术并无区别。 与有限元相比，边界元具有如下优点： 1 、只需对边界离散，降低了求解域的维数，前处理简单； 2 、求解域内的解根据解析公式得到，误差只存在于边界上，精度相对较高； 3 、易于处理无限域或半无限域的问题。 其不足为： 1 、边界元的应用很大程度上取决于其基本解，而对于尚未发现基本解的复杂区域， 边界元无能为力； 2 、不适合于处理非线性问题，其处理结果不如有限元； 3 、刚度矩阵一般不具有稀疏性，计算较为复杂。 1 2 3 用于岩体分析的数值流形方法 数值流形方法( n m m ：n u m e r i c a lm a n i f o l dm e t h o d ) 是石根华博士【1 2 】于1 9 9 1 年在美 国明尼苏达召开的关于应用数学与计算的第九届陆军大会会议上提出，在随后的两年里， 石根华又将其应用于岩石断裂及岩石节理的分析和模拟中i i f j 。在1 9 9 6 年和1 9 9 7 年在美 国召开的第一届和第二届“不连续变形分析和不连续介质模拟国际研讨会”上，美国、日 本、中国台湾等地的研究者也发表了应用数值流形方法的文章 1 5 - 1 9 1 ，清华大学的周维垣等 学者也参加了会议f 2 0 圳】，自此数值流形方法在中国的研究和应用蓬勃发展起来。1 9 9 7 年， 王芝银等1 22 】建立了岩石大变形分析的数值流形方法的一般计算格式。与此同时，武汉岩石 所的王水林、葛修润【2 3 1 将数值流形用于模拟裂纹扩展，并给出了相应数值算例。骆少明等 人【2 4 】将数值流形方法应用于金属成型过程的模拟，并给出齿轮毛坯模缎成型的数值模拟过 程。还有些学者对物理覆盖系统的构成、网格的自动剖分和重分技术及程序设计等问题 2 5 - 3 3 进行了系统的研究，也有学者介绍和研究了数值流形方法的变分原理及其应用前景 1 3 4 1 1 3 5 】。另一方面，也可以利用流形概念对传统有限元方法进行改进，建立可具有任意高阶 多项式插值函数的广义自由度有限元法【3 6 j ，如王芝银利用数值流形方法中的惯性力概念 第5 页 对传统流变分析的有限元格式进行了改进，此外，王芝银子2 0 0 3 年还对数值流形方法的 研究现状进行了综述【3 8 j 。 数值流形方法是利用流形理论中的有限覆盖技术建立起来的一种数值方法。它的根本 特点在于采用独立的双重网格：数学网格和物理网格。数学网格可以任意选取，一般选用 规则的格子如矩形、圆形或有限元网格，主要用于构造形函数，定义近似解的精度，数学 网格可以直接转换为数学覆盖；物理网格由分析域的边界、节理、块体及不同材料的分界 面组成，用于定义积分区域。数学覆盖和物理网格组成物理覆盖，物理覆盖的交集( 公共 区域) 形成流形意义下的计算单元。数值流形方法就是在每个物理覆盖上建立覆盖位移函 数，在几个覆盖的公共区域( 即单元) 内，将其上所有覆盖位移函数加权求和即可形成适 用于该区域的总体位移函数，以此根据总势能变分原理建立待求解问题的数值流形方法计 算格式。 数值流形方法首次将有限元方法、非连续变形分析方法和解析方法统一起来，特别适 合处理像岩石这样具有多结构、广泛存在断裂、边界及需要处理大量接触问题的地质体。 与有限元只能取常函数作为形函数相比，它的覆盖位移函数更为灵活，可以选取任意级数， 虽然处理上略显复杂，但却可以得到精度更高的结果。 作为一种广泛用于岩体工程分析的新的数值方法，数值流形方法确有其先进之处，但 是，对于其用于其它领域的工程分析，如机械产品c a e ，它却并未尽如人意。第一，和有 限元一样，数值流形方法也需要对模型进行网格划分，对于复杂的曲面模型这依然是一个 十分困难且耗时的作业；其次，据王芝银的分析 3 8 】，数值流形方法在分析小变形、静力问 题时并不占优势；另外，其边界处理、数值积分等许多问题还需要进一步研究。 1 2 4 无网格方法 由于网格划分比较困难，现有基于网格离散的数值方法，如有限元，面临着许多难以 处理的问题，例如，在仿真挤压和模压等加工过程中，必须处理非常大的网格变形；在铸 造的模拟计算中，固体和液体之间的界面的变化非常重要；在仿真材料失效过程时，需要 模拟裂纹在各个方向上的扩展等等。有限元在处理这些问题时，就遇到了困难，其主要原 因是网格的存在妨碍了处理和原始网格不一致的不连续界面。从根本上讲，问题源于有限 元对网格的高要求。因此，自上个世纪中期开始，人们一直在寻求部分或彻底取消网格的 数值方法。曹国金【3 9 1 、c a r m a n d od u a r t e 【4 0 1 、g e n k iy a g a w a | 4 1 1 、b e l y t s c h k o 【4 2 1 等人对无单 第6 页 垦堕墼耋丝垄奎耋墼塞尘堕童篁篁塞 元法的研究和应用现状进行了综述，在此，本文对主要的无单元法进行简单回顾。 从2 0 世纪7 0 年代开始，人们提出了许多不用单元和网格的计算方法，至今已经出现 了十多种形式 3 9 。最早的无网格方法是光滑粒子流体动力学法【4 3 1 1 4 4 1 ( s p h ：s m o o t hp a r t i c l e h y d r o d y n a m i cm e t h o d ) ，它被用来模拟无边界域的天体物理和宇宙进化现象，如爆炸的星 群；再生核质点法【4 5 j ( r k p m ：r e p r o d u c i n g k e r n e l p a r t i c l e m e t h o d ) ，它主要基于再生核思想 和小波变换理论，采用窗口函数和傅立叶变换建立新的形函数；模糊单元法i 4 6 j ( d e m ： d i f f u s ee l e m e n tm e t h o d ) ，其最大的亮点是将滑动最小二乘法引入边值问题求解；无网格伽 辽金法1 4 7 1 ( e f g m ：t h e e l e m e n t f r e e g a l e r k i n m e t h o d ) ，它在d e m 的基础上，采用l a g r a n g i a n 乘予处理本质边界条件，还进一步推导了d e m 所忽略的形函数导数项；此外，还有无网 格局部伽辽金法【4 ”( m l p g m ：m e s h l e s sl o c a lp e t r o v g a l e r k j nm e t h o d ) 、局部边界积分方程 无网格法4 9 1 ( m l b i e m ：m e s h l e s s l o c a l b o u n d a r y i n t e g r a l e q u a t i o n m e t h o d ，) 、单位分解法【5 0 j ( p u m ：p a r t i t i o no f u n i t ym e t h o d ) 、自然单元法f 5 l 】f 5 2 】( n e m ：n a t u r a le l e m e n tm e t h o d ) 以 及我国学者田荣在其博士论文中提出的有限覆盖无单元法1 5 3 】( f c e f m ：f i n i t e c o v e r e l e m e n t f r e em e t h o d ) 等等。其中，人们对无单元g a l e r k i n 方法尤为感兴趣，自该方法于 1 9 9 4 年问世以来，很多研究者对e f g m 的理论进行了研究，并将其应用于许多领域的工 程问题中，如裂纹扩展、断裂模拟、电磁场数值计算等等 5 4 - 5 8 l 。 虽然无单元法的种类繁多，但其根本思想是一致的，即：摆脱单元的束缚，采用节点 信息及其局部支撑域上的权函数实行局部精确逼近，然后通过配点法或g a l e r k i n 法对偏微 分方程进行求解。无单元法主要依靠形函数逼近来实现，按照形函数的逼近方式，无单元 法可大体分为三类：积分核近似估计类，如s p h 、r k p m 等；滑动最小二乘逼近类，如 d e m 、e f g m 等；单位分解类，如p u m 。现阶段应用比较广泛的无单元法是无单元g a l e r k i n 法，它的特点是以滑动最小二乘法构造插值基函数，从微分方程的弱变分原理出发，导出 求解的偏微分方程。它的求解精度较高，但计算量大，每一点都要进行矩阵求逆等耗时较 多的运算，需要背景网格作为数值积分的积分域，且不稳定，需要进一步完善。 还有其它一些数值方法，如有限差分法、界面元法【5 9 1 、有限体积法1 6 0 1 【6 l 】、微分求积法 6 2 1 6 3 】及离散元法 6 4 - 6 6 】等等，这些方法本文涉及不多，这里不一一介绍。 1 3 课题来源与研究目的 本课题源于在研的国家自然科学基金项目“基于工作型面几何物理内蕴特征的冲压模 篇7 页 垦堕型耋堇垄奎堂堑窒圭堕堂堡鎏塞 具优化与评估”( 编号为5 0 1 7 5 1 0 6 ) 。该基金项目主要研究冲压模具结构优化和科学评估的 理论方法，其根本思路是依据冲压模具工作型面的几何一物理内蕴特征，建立其数理模型， 分析型面几何物理内蕴特征的不均匀性对模具本身以及冲压件质量的影响，同时，利用计 算机仿真技术，对模具作业过程进行拟实仿真，开发虚拟冲压系统，实现对模具精度和寿 命的科学预测，从而对模具工作型面进行结构优化，提高精度，延长寿命。模拟模具工作 过程，开发虚拟冲压系统的关键在于寻求一种适合于即时仿真的数值方法，但现有数值方 法，如有限元方法、边界元方法、应用于岩石力学的数值流形方法及无网格方法等均存在 一些不足之处，难以直接应用于模具作业过程的模拟，不能满足即时仿真的应用需求。但 事实上，现代工业生产中存在着大量的即时工作过程，如冲压件成型过程、材料失效过程 仿真等等，模拟这些工作过程需要更好的数值方法。 此外，模具工作型面一般为复杂c a d 曲面，形状比较复杂，难以直接应用f e m 、b e m 或e f g m 进行分析。这是一个普遍的问题，因为复杂曲面是产品c a d 模型的一个基本组 成部分，随着c a d 、c a e 技术的发展，实践中将面临大量分析曲面力学属性的计算工作， 这也需要更适应于曲面分析的数值分析方法。 工程实践的需求是科学技术发展的根本推动力，而相关的理论基础及技术积累则为某 一种新技术产生、发展提供了可能性。现代工程实践呼唤着新的、能够更好地满足曲面力 学属性分析的数值方法出现，而基于几何内蕴关系的数学、力学变形理论以及有关数值计 算方法的完善与计算机技术的发展则奠定了本课题研究的现代理论基础。 基于以上分析，可见本课题研究的必要性与充分性完全寓于工程实践的需求和现代科 学技术发展之中。 国家自然科学基金项目一般对探索性、创新性有着较高的要求，本课题来源于此，亦 本着这一原则，主要应用现代流形理论，结合现有的几种数值方法，探索能够更好的满足 c a d 、c a e 应用需求的数值方法。研究目标至少包括以下三个方面： 1 学习和掌握现代流形理论，并以之为工具，研究和阐述复杂c a d 曲面； 2 充分理解现有的几种常用数值计算方法，并分析其在应用中的优缺点； 3 应用流形理论，探索新的、更适合于复杂c a d 曲面力学属性分析的数值方法。 1 4 课题的研究思路及论文的体系结构 本文首先运用现代数学理论，详细分析了复杂c a d 曲面的流形结构，得出复杂曲面的 第8 页 望堕墼堂垫垄占堂堑窒圭堕堂堡垒塞 流形表达式，同时分析了与流形结构相对应的性质局部的可解析性和整体的可连接 性，在此基础上，结合对有限元、边界元法和无单元g a l e r k i n 方法的分析，提出有限元一 边界元、有限元一无网格g a l e r k i n 耦合的面素元法( p u m ：p a t c hu n i tm e t h o d ) 。本文详细 分析和推导了面素元法的控制方程及其离散格式，同时给出了相应的数值算例，并将数值 算例的分析结果与通用有限元分析软件a n s y s 的计算结果进行比较，以验证该方法的正 确性和有效性。 基于以上研究思路，本文的主体分为三个部分，共七章： 第一部分包括第一章、第二章及第三章的内容，主要是分析现有的几种数值方法的优 缺点，应用现代流形理论分析复杂c a d 曲面的结构，从总体上阐述面素元法的基本思想 和特点； 第二部分包括第四章、第五章及第六章的内容，第四章详细分析并推导了面素元法的 有限元一边界元耦合，第五章则阐述了面素元法的有限元一无单元g a l e r k i n 耦合，第六章 则给出了对一个简单而又典型的复合曲面进行分析的数值算例，并将分析结果和a n s y s 分析结果进行比较，以验证面素元法的有效性； 第三部分由第七章构成，主要对本文研究内容的几个关键问题进行总结，同时结合本 人对课题的认识，阐述进步完善文中所提出的面素元方法所需要解决的几个问题，此外， 亦对由本课题引发的几个值得研究的问题进行展望。 第9 页 = 垦堕型兰丝查垄兰堡塞生堕堂堡篁塞 第二章复杂c a d 曲面的流形结构分析 本章首先回顾了c a d 技术中曲面表示方法的发展历史，而后结合流形理论中的相关概 念，对复杂c a d 曲面进行分析，并得出其流形表达式，在此基础上，演绎出复杂c a d 曲 面的两个性质局部可解析性和全局可连接性。 2 1 引言：c a d 技术的发展及其与流形理论的关系 自1 9 5 8 年b e z i e r 第一次运用曲线曲面模型描述汽车曲面研究以来，c a d 技术已经发 展了将近半个世纪，其核心技术曲线曲面表示理论，亦随着微分几何理论及工业需求 的发展而不断发展，趋于完善。上个世纪6 0 年代，c a d 技术的主要成就有两个方面：一 个是函数曲线曲面的概念拓广为参数曲线曲面6 7 j ；另一个就是具有划时代意义的两种曲线 曲面模型的问世d ec a s t e l j a u 与b e z i e r 所创的b e z i e r 曲线曲面1 68 】【6 9 1 以及c o o n s 所创的 c o o n s 曲面模型。后者经g 。r d o n 【7 1 1 推广到组合曲面( c o m p o s i t es u r f a c e ) 造型以后，成 为一种基本的c a d 模型。7 0 年代中期，g o r d o n 和r i e s e n f e l d 将d eb o o r 、c o x 等人关于 b 一样条函数的研究【7 2 】1 7 3 1 【7 4 】例拓广到参数b 样条曲线曲面i ”1 ，并引入到曲线曲面造型领 域，自此对参数曲线曲面、样条曲线曲面及其造型特征的研究成为7 0 年代c a d 研究的主 题，并产生了大量利用参数曲线曲面造型的理论成果【7 8 1 【7 9 】，如快速稳定的算法【8 l 】【8 2 1 1 8 3 1 ， b e z i e r - b s p l i n e 曲线曲面的内在性质( 如导矢8 4 1 8 5 1 、曲率1 8 6 1 8 7 1 ) 等。另一方面，7 0 年代出 现了实用的造型和制造系统，如法国的e u c l i d 、c a t i a 系统和美国的u g 系统等等。8 0 年代 是曲线曲面理论和应用多极发展的时期【8 8 j 【8 9 l 【9 0 】。随着对b e z i e r 、b s p l i n e 曲线曲面理论认 识的加深和实践的需求，人们的研究对象和研究方法也逐渐多元化，从对b e z i e r 、b s p l i n e 的研究进入对有理b e z i e r 、b s p l i n e 乃至n u r b s 曲线曲面的研究【9 2 1 9 3 】m 1 ，传统的基于 函数理论的参数连续概念1 9 5 1 1 ”1 被拓广为具有几何意义的几何连续卯1 。9 0 年代c a d 研究的 重心在于和c a m 、c a e 技术的集成【9 引，人们不仅仅要求产品的设计是“美”的，同时对 产品的可制造性、工作寿命等提出了更高的要求。 许多工业产品( 如冲压模具及相应的冲压件) 的工作型面都表现为复杂的曲面，这些 曲面由许多片简单曲面片在满足_ - 定的光滑性要求( 如g c l 、g c 2 连续性) 下联接而成。 这种结构恰好契合了现代微分流形理论的基本特点，即由对局部坐标系下光滑结构的研究 过渡到对整体结构的研究。由此不难想到，可以根据这个契合点，寻求一种更适合于分析 第1 0 页 国堕挝堂篮盔苤鲎婴窒生睫堂焦丝塞 复杂曲面力学性能的数值方法。本章首先引入流形理论的一些相关概念，并在此基础上结 合c a d 曲面的数学表示分析复杂曲面的流形结构，在以后的章节里将基于该流形结构讨 论相应的数值方法。 2 2 微分流形理论的基本概念 为便于对复杂曲面流形结构的分析，首先，我们对有关流形的几个概念进行回顾： 1 拓扑流形：设m 为一个h a u s t d o r f f 拓扑空间，若m 上的每一点p 都有一个开邻域 u c m ，使得u 和”维欧氏空间f 中的一个开子集存在同胚驴：u 寸f o ( u ) c r ”，则称膨 是一个”维拓扑流形，简称月维流形。 2 坐标卡：对于拓扑流形m ，任意一点p m 存在开邻域u 与n 维欧氏空间的一个开集 妒( 同胚，则称( u ；p ) 为流形m 的一个坐标卡。流形上点p 对应的像点p ( p ) 在r ”中的坐 标( ( 妒( p ) ) 7 ) 称为点p u 的坐标，记为x 。( p ) = ( 尹( p ) ) 。也称( u ；工) 为流形时的一个局部 坐标系。 对于n 维流形m 上的两个坐标卡( 妒) 、( 以妒) ，若u n v 空集函，则u n 矿为流形 m 上的非空开集，且其上存在两套坐标系，显然，对于v p u n 矿，p 点在两个坐标系中 的坐标x4 ( p ) = ( 妒( p ) ) 和y = ( 庐( p ) ) 5 必然是相互依赖的。事实上，因为 妒ir ，。r ：u n 矿寸伊( ，n v ) c r ” 庐i u r 、v ：u n v 妒( u n v ) c r “ 则p 点的两套坐标函数x 1 ( p ) = ( 妒( p ) ) 和y 。( p ) = ( 矽( p ) ) 这间必然存在映射关系，将其记为 xj ( p ) = ( p 。妒一1 ( ( p ) ) 。= 厂。( y 1 ( p ) ，y2 ( p ) ，y ”( p ) ) ( f = ，2 ，一 ) y 1 ( p ) = ( 庐。伊_ 1 ( p ( p ) ) 4 = g 。( x 1 ( p ) ，x2 ( p ) ，x ”( p ) ) ( f = ，z n ) 显然，二者均为n 维欧氏空间内的多元函数，由高等数学理论可以分析其连续性和可 微性。这种映射关系如图2 1 所示 第1 1 页 图2 1 映射关系图 3 c r 相关：对于 维拓扑流形肘，若( u ；伊) ，( r ；痧) 是它的两个坐标卡，当ur 3 v 空集庐时， 庐。p ，妒。庐。都是c ，的( 其中r 为正整数，或0 0 ，或) ，则称坐标卡( u ；妒) ，( 矿；) 是 c ，相关的。 当u n v = 空集西时，称坐标卡( u ；妒) ，( 矿；) 对于任意，都是c r 相关的。 4 微分结构：设肘是胛维拓扑流形，假定厅= ( u 。；吼) ：口d 是凹的坐标卡的一个集合， 并且满足条件： ( 1 ) u 。：口，) 构成流形m 的一个开覆盖； ( 2 ) 属于7 的任意两个坐标卡都是c ，相关的； ( 3 ) 万是极大的，即：如果( u ；p ) 是m 的一个坐标卡且( u ；p ) 和y g 中每一个成员都是 c ，相关的，则( u ；妒) 必属于万。 则称坐标卡集万为流形m 上的一个( ，微分结构；当y = o o 时，7 1 称为m 上的一个光滑 结构。 5 微分流形：对于一个n 维拓扑流形m 若在其上存在一个c ，的微分结构万，则称( m ；r t ) 为个盯维微分流形，属于7 的坐标卡( u ；p ) 称为该微分流形的容许坐标卡。 y = o 。时，称( m ；z ) 为光滑流形。 第1 2 页 一 7 旷p 垦堕塾重垫垄奎堂堑蜜生堕堂堡垒塞 总的来说，微分流形的研究对象是一种空间形式，该空间在局部上可以和相同维数的 欧氏空间建立起一对一的映射关系，通过对局部坐标系的定义以及坐标函数之间微分关系 的阐述，最终可以借助于对欧氏空问的研究分析该空间的性质。根据微分流形的相关理论， 可以很容易的解释所谓的“球面几何”等“弯曲的”空间形式。通过下一小节的分析，我 们可以看到，三维欧氏空间中的一个曲面就是一个二维流形。 2 3c a d 应用中的曲面表达技术 历史上存在着多种曲面表达技术，如f e r g u s o n 曲面通过分别构造“向、v 向的f e r g u s o n 曲线帅1 ，而后，利用曲线的顶点位置及切矢量信息形成；c o o n s t l 删【1 0 l j 【1 0 2 】运用插值技术， 通过对四个角点或边界插值，构造多种形式的c o o n s 曲面。这两种表示技术的共同特点是 通过插值型值点来构造曲面，事