二项式定理的课件.ppt

欢迎指导,二项式定理开始教学,制作人:龙南中学赖祝华,E-mailyhblzh,某企业欲投资100万元,有两种获得可拱选择,一种是年利率11%,按单利计算,10年后收回本金和利息;另一种是年利率为9%,按每年复利一次计算,10年后收回本金和利息,试问,哪一种投资更有利?这种投资比另一种投资10年后可多得利息多少元?,分析：,第一种；100（1+11%10）=210,第二种：100（1+9%）10,问1：,问2：,(a+b)2=(a+b)3=,a2+2ab+b2,=,a3+3a2b+3ab2+b3,下一页,=,不借助计算器,如何求(1+9%)10？,不难发现,符号右边的积的展开式的每一项是从每一个括号里任取一个字母的乘积,因而在(a+b)4展开式中,各项都是4次式,有如下形式的项:a4、a3b、a2b2、ab3、b4.发现a的指数依次减少,b的指数依次增加,观察(a+b)4的展开式,发现什么?,根据以上发现,归纳猜想(a+b)n=？,(a+b)4=,a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4,=,一般地，对于任意正整数n，都有,这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式。,叫做二项式系数,叫做二项展开式的通项,注：1、二项展开式有以下特征：共有n+1项.展开式中a的指数从n起依次减小1，直到0为止；b的指数从0起依次增加1，直到n为止.每一项里a、b的指数和均为n.b的指数与二项式系数的上标相同。,2、二项展开式的通项：,注：,1、通项是展开式中的第r+1项，非第r项。2、定理中，用-b代替b有,用a=1,b=x时有，,令x=1时,有,思考?(a+b)n的通项公式与(b+a)n的通项公式有什么不同？,例1：展开下列各式：,解：原式=,=,解：原式=,例2,求（x+a)12的展开式中倒数第2项？并求此项的系数和二项式系数？,析：,（x+a)12的展开式共13项，倒数第2项是它的第12项。,解：展开式的第12项是：,二项系数为,系数为,练习,（1）求（1+2x)7的展开式的第4项的系数？,解：,解：,通项是,根据题意，得,9-2r=3r=3,所以x3的系数是,（2）求的展开式中x3的系数？,例3,用二项式定理证明：（1）（n+1)n-1能被n2整除？,（2）9910-1能被1000整除？,解：,解：,能被1000整除,能被n2整除,练习,1、求的展开式中第r项的系数()A、B、C、D、,2、的展开式中的常数项是第几项？,解：,依题意，得,15-5r=0,得r=3,所以常数项是第4项,C,3、求多项式（x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中x2的系数,解：,原式=,只有在（x-1)6中有x2的系数，才会使展开式中产生x2项.,故其系数为,小结,1、二项式定理,2、二项式展开式的通项：,3、二项式展开式的特征：,共有n+1项,展开式中a的指数从n起依次减小1，直到0为止；b的指数从0起依次增加1，直到n为止.每一项里a、b的指数和均为n.,4、注意“系数”与“二项式系数”等概念