（应用数学专业论文）太阳射电频谱精细结构的特征提取研究.pdf

摘要 在太阳射电频谱中，精细结构是一个很重要的观测现象，其参数的特征有助 于揭示太阳射电爆发的本质。但是，精细结构通常因为种种强烈干扰而被噪声淹 没。小波变换是一种高效的多尺度分析工具，具有良好的时频局部性和多分辨率 性等特点，特别适合于进行信号的特征提取和去噪处理。 首先，采用小波变换从动态频谱图中提取出了精细结构所在的主要频带，并 对其进行了去噪处理；然后，提出了连片搜索算法来确定整个爆发区域中所有的 精细结构；最后，给出了精细结构的瞬时带宽、频漂率、偏振等参数的统计结果。 针对m a l l a t 算法处理有限长信号而产生的边界问题，构造了一种有限小波滤 波器组及其相应的算法，能够有效地解决边界失真。这种构造方法保证了滤波器 组是理想重构的，且具有规范正交性和独立性；相应的算法简洁而巧妙。采用它 们进行了精细结构时间轮廓的小波平滑去噪和高斯拟合。 提取出了太阳射电频谱图中精细结构所在的其它频带，并比较了几种基于小 波闽值估计方法的去噪结果。 关键词：小波变换特征提取连片搜索算法有限小波滤波器组 a b s t r a c t f i n es t r u c t u r e sa r ei m p o r t a n tp h e n o m e n ao b s e r v e di nt h es o l a rr a d i os p e c t r a , a n d c h a r a c t e r i s t i c so ft h e i rp a r a m e t e r sa r eh e l p f u lt ou n d e r s t a n dt h en a t u r eo fs o l a rr a d i o b u r s t s h o w e v e r , f i n es t r u c t u r e su s u a l l ya r ei n t e r f e r e da n de v e ni n u n d a t e dw i t hn o i s e s w a v e l e tt r a n s f o r mi sa ne f f i c i e n tm u l t i - s c a l ea n a l y t i c a lm e t h o d i th a sf a v o r a b l el o c a l t i m e f r e q u e n c ya n dm u l t i - r e s o l u t i o np r o p e r t i e s t h e r e f o r e ，i ti se s p e c i a l l yf e a s i b l et ot h e p a t t e r nr e c o g n i t i o na n dd e - n o i s i n go f s i g n a l f i r s t ，w a v e l e t t r a n s f o r mi s a d o p t e d t o r e c o g n i z e t h e f r e q u e n c yb a n do ff i n e s t r u c t u r e s s e c o n d ，ap a t c h s e a r c h i n ga l g o r i t h mi sp r e s e n t e d t od e t e r m i n ea l lf i n e s t r u c t u r e si nt h ew h o l eb u r s tr e g i o n f i n a l l y , t h es t a t i s t i c a lr e s u l t so ft h e i rp a r a m e t e r s ， s u c ha si n s t a n t a n e o u sb a n d w i d t h ，d r i f tr a t ea n d p o l a r i z a t i o n ，a r eg i v e n t oo v e r c o m et h eb o u n d a r yp r o b l e mw h e nf i n i t e s i g n a l p r o c e s s e dw i t h m a l l a t a l g o r i t h m ，a s i z e l i m i t e dw a v e l e tf i l t e rb a n ka n di t s c o r r e s p o n d i n ga l g o r i t h m a r e c o n s t r u c t e d t h e yc a l l r e s o l v et h eb o u n d a r yd i s t o r t i o ne f f i c i e n t l y t h i s c o n s t r u c t i n g m e t h o dc a ng u a r a n t e et h ep e r f e c tc o n s t r u c t i o n ，o r t h o g o n a l i t ya n di n d e p e n d e n c eo ft h e f i l t e rb a n k m o r e o v e gt h ea l g o r i t h mi sc o m p a c ta n ds h l l n l f o rt h et i m e p r o f i l e so f f i n e s t r u c t u r e s ，t h ea b o v em e t h o di sa d o p t e df o rt h e i rw a v e l e t - b a s e da p p r o x i m a t i o n sa n d g a u s sf u n c t i o nf i t s o t h e r f r e q u e n c y b a n d so ff i n es t r u c t u r e sa r e r e c o g n i z e d f r o mt h e d y n a m i c s p e c t r o g r a m f u r t h e r m o r e ，t h e i rd e n o i s i n gr e s u l t sw i t hs e v e r a lw a v e l e t b a s e dt h r e s h o l d e s t i m a t i o n sa r ec o m p a r e d k e y w o r d ：w a v e l e tt r a n s f o r mp a t t e r nr e c o g n i t i o np a t c h - s e a r c h i n ga l g o r i t h m s i z e 1 i m i t e dw a v e l e tf i l t e rb a n k 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果：也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：毯囝西日期兰! ! 兰：z ! ， 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定。即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文 在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 本人签名 导师签名 欹丽两 e 1 期兰! ! ! l 。 日期! j 莶! 第一章绪论 第一章绪论 小波分析是傅里叶分析的发展和突破，它是一种多尺度分析工具，既包含着 丰富的数学理论，又是工程应用中强有力的方法和工具，因此被广泛地应用于数 学理论研究和工程应用领域。 从数学的角度看，小波分析属于调和分析的范畴；从计算的角度看，它是一 种近似计算的方法；从工程应用的角度看，它是一种高效的信号处理工具。在小 波分析中，小波基取代了传统的三角函数基，它能够对函数进行分解与重构。小 波基很简单，它是由相应的小波函数通过伸缩与平移而得到的。部分小波函数的 性质很好，不仅光滑且衰减速度很快。与傅里叶变换和加窗傅里叶变换相比，小 波变换具有时频局部化性质，其时频窗的形状随着频率的变化而改变。当频率较 高时，时频窗的视野就变窄；当频率较低时，时频窗的视野就变宽了。但是，品 质因数总是保持不变。这些性质使得小波变换能够对函数( 信号) 进行多尺度细 化分析及特征提取研究。 1 1 小波的发展历史和应用 小波思想的萌芽可以追溯到本世纪初。1 9 1 0 年，h a a r 构造了紧支撑的规范正 交基h a a r 基，这是最基本、最简单的小波f 1 】；1 9 4 6 年，g a b o r 提出了加窗f o u r i e r 变换( g a b o r 变换) 理论i 2 j ，从而对信号的分析具有了时频局部化性质，但其缺点 是窗函数的大小和形状均与时间和频率无关而保持固定不变，从而不利于分析短 时高频现象。八十年代，关于小波理论的研究才真正开始了。g r o s s m a n 和m o r l e t 首次提出了小波变换( w a v e l e t t r a n s f o r m ) 的概念 3 】，并给出了按照某个确定函数 妒( f ) 的伸缩平移系来表示信号的新思想；s t r o m b e r g 构造了一组具有指数衰减性质 且有限连续可微的小波基【4 j ：m e y e r 构造了具有一定衰减性质的光滑小波 妒( f ) 1 1 1 5 1 ，其二进伸缩平移系缈“( x ) = 2 1 胆妒( 2 x k ) i ，k z ) 能够构成r ( r ) 空 间的规范正交基；d a u b e e h i e s 构造了一类紧支撑的光滑正交小波函数f l l ，该小波函 数得到了许多工程技术工作者的青睐，应用非常广泛。 随着小波理论的进一步发展，m a l l a t 把计算机视觉领域中的多分辨分析方法引 入到了小波基的构造中1 6 1 ”，为正交小波基的构造提供了一般的途径，统一了 s t r o m b e r g 、m e y e r 、l e r m a r i e 等人提出的小波函数的构造方法，促进了小波理论的 发展：构造了常用于图像边缘检测的样条小波 8j 【9 】；采用多分辨分析构造了实现小 波变换的快速算法，即m a l l a t 塔式算法。塔式算法把小波分析的应用推向了更加 广阔的发展空间，使得小波分析这一复杂的数学理论成为了一种易于实现的、高 太阳射电频谱精细结构的特征提取研究 效的数学分析工具，它在小波变换中的地位相当于f f t 在傅里叶变换中的地位。 1 9 9 0 年，崔锦泰和王建忠构造了基于样条的单正交小波函数【2 】【” ；k o v a c e v i c 和 v e t t e r l i 提出了双正交小波理论旧，其分解小波函数和重构小波函数采用的是两 种不同的函数系。 由于小波分解仅对每层分解的低频分量作进一步细化，而对高频分量不再进 一步细化，从而限制了分解的结果。为了对小波分解的高频分量也作进一步细化 分析，小波包理论应运而生。c o i f m a n 和w i c k e r h a u s e r 提出了小波包理论f l ”，将 m a l l a t 算法进一步深化，得到了小波包算法，并给出了最佳小波包基准则【h 1 ，其 全局的频率细化估计突破了小波分析的等q 结构，从而使得分析结果更加精确， 更加符合实际需要。 v e t t e r l i 和h e r l e y 给出了尺度函数、小波函数与相应滤波器之间的对应关系： 在一定的条件下，不仅能够从小波函数得到相应的滤波器组，而且也能够从滤波 器组出发得到相应的小波函数 1 “。从而提供了构造小波函数的一般框架，得到了 一系列性质良好的小波函数，这些小波函数更加接近工程设计的要求。 由于小波变换具有多分辨率特性，因此，它能够由粗及精地逐步观察信号。 只要选择的基本小波函数使得g ( t ) 在时域上为有限支撑，沙) 在频域上也比较集 中，小波变换就能够很好地表征信号的局部信息，从而可以进行信号的瞬态或奇 异点检测。基于这些特性，小波变换被誉为分析信号的显微镜。与一维小波变换 相比，二维小波变换不仅具有显微能力，而且还具有极化能力( 即方向选择性) ， 目前是各个学科关注的热点。 一方面，由于大多数小波函数都具有良好的性质，我们可以根据实际问题来 选择不同的小波函数：另一方面，m a l l a t 塔式算法使得小波变换易于实现。因而， 小波分析倍受数学家和工程设计人员的青睐，已被广泛地应用于理论研究和工程 开发等领域。例如，函数逼近、分形理论、混沌动力学、微分方程和积分方程的 数值解、数字信号处理、数字图像处理、信号去噪、瞬态检测、模式识别、故障 诊断、语音合成、数字水印、地震勘探、雷达成像、图像数据压缩、计算机图形 学、计算机视觉与编码、扩频通信、自适应均衡、分形调制等诸多领域。而且， 小波理论与工程技术上一些已经发展起来的问题也密切相关【i5 1 ，这些问题都可以 看作是小波理论的特例。例如数字信号处理中的多采样率滤波器组、数字图像处 理中的金字塔式压缩编码、通信和语言处理中的子带编码、计算机视觉中的多分 辨分析等等，它们都可以用小波分析作为其理论基础。这些工程应用不仅扩大了 小波分析的应用范围，也进一步促进了小波分析的理论发展。 小波分析的发展推动着许多学科和领域的共同发展，具有多学科相互结合、 相互渗透的特点。小波理论及其工程应用的进一步研究是一个富有挑战性的领域， 蕴含着极大的发展潜力。 第一章绪论 1 2 本文研究背景 太阳为人类提供了一个适合生存和发展的环境。但是，太阳剧烈活动时，常 常伴有x 射线和紫外线辐射增强，高能离子流暴涨和日冕物质抛射等现象。这些 现象给人类带来了诸多不便，甚至灾害， 且过早陨落、无线电传播受到强烈干扰、 例如，人造卫星和宇宙飞船受到损坏并 电磁遥感测量发生错误、电网超载中断 以及g p s 定位导航产生误差等等。随着空间技术、航空航天技术的迅速发展，以 及通讯系统、电力系统、管道输送系统的日益庞大，人类受太阳活动影响的面越 来越广。因此，对太阳剧烈活动的研究越来越重要了，需要掌握它的活动规律。 这样可以促使我们采取相应的预防措施，尽量减少它对人类的危害。 太阳射电天文学，是利用太阳射电望远镜来观测研究太阳的射电辐射，并结 合太阳的其它电磁波辐射和粒子发射的资料，而进一步揭示太阳物理本质的一门 自然科学。它诞生于2 0 世纪4 0 年代，是射电天文学和太阳物理学之间的一个新 兴的交叉学科。在短短的半个多世纪中 技术方法目臻完善，资料积累与日俱增 太阳射电天文学发展极快。观测仪器和 理论探讨逐步深化，取得了许多重大成 果。尤其是最近一两个太阳周期间，微波及分米波快速精细结构的观测研究取得 了丰硕成果，为太阳射电天文学锦上添花。但是，目前还有许多重要的观测特征 未能得到正确的理论解释，有一些理论上预期到的现象尚未得到发现证实，有些 关键性的理论课题迄今还未突破【1 “。 太阳活动时，高能粒子在磁场、等离子体中的高速运动能够产生无线电辐射， 其频率与电子密度和磁场有关，太阳射电动态频谱正是由不同频率的无线电辐射 而组成的。太阳射电频谱仪是研究太阳射电爆发动态频谱的最重要的设备，它能 够记录太阳射电爆发频谱随时间的变化，从而，采用它可以研究太阳大气以及日 地空间中一定高度范围内的动力学过程和物理参数。例如，太阳新耀斑理论( “微 耀斑、磁元”) 和空间灾害性天气预报是当前国际太阳物理的前沿课题。我国新 近完成的o 7 7 6 g h z 太阳射电宽带动态频谱仪【1 7 】，其性能优于当前国内外的同 类设备，能够在较宽的频率范围内观测到不同类型的射电爆发及精细结构。仪器 的工作原理是通过射电望远镜接收来自太阳的射电辐射，接收到的信号经滤波、 放大处理后以一定的格式记录下来。以上步骤所采集的数据中，不可避免地掺杂 了大量干扰，例如地面及空间的其它电磁波干扰、热辐射干扰、仪器自身存在的 干扰、采集数据过程中的量化误差以及舍入误差等等。不管是对大量事件的统计 分析，还是对单个事件的分析研究，都要求去掉动态频谱图中的干扰，这样才能 够保证分析结果的精度和可靠性。因此，需要对动态频谱图进行处理，尽量消除 其干扰，以得到特征清晰的频谱图。 太阳射电频谱精细结构的特征提取研究 本文涉及的太阳射电爆发事件，观测到了纤维爆发和斑马纹爆发等精细结构， 其结构比较复杂，有噪声污染，并且部分精细结构的强度很弱，排列也很细密， 不易区分。精细结构是太阳射电爆发在动态频谱图中一个很重要的观测现象，其 特征参数对于理解太阳射电爆发的本质很重要1 1 。为此，需要利用计算机自动搜 索出整个爆发区域中所有的精细结构。由于太阳射电爆发是叠加在宁静太阳射电 之上的，并且宁静太阳射电对于太阳射电爆发来说是一个很大的量，所以精细结 构通常淹没于强背景和诸多干扰之中。为了精确地确定整个爆发区域中所有的精 细结构，必须先得到其清晰的特征。由于小波变换的时频局部化性质使得它能够 聚焦到信号( 图像) 的细微变化之处，而且它的多分辨率性质使得它能够对信号 ( 图像) 进行多尺度细化，常用于微弱图像的检测、目标提取等，因此，本文采 用了小波变换对动态频谱图进行去噪、特征提取等处理，结果得到了特征清晰的 精细结构。在此基础上，发展了一种自动搜索算法来确定整个爆发区域中所有的 精细结构。本文还提出了一种有限小波滤波器组及其相应的信号处理算法，可用 于精细结构时间轮廓的小波平滑去噪和高斯拟合。 1 3 本文主要工作 2 0 0 2 年4 月2 1 目，发生了x1 5 级耀斑日冕物质抛射事件，在其峰值时刻 观测到了纤维爆发和斑马纹爆发等精细结构。本文的主要工作是结合小波变换， 对此事件对应的动态频谱图进行去噪、精细结构的特征提取及精细结构特征参数 的统计分析等。对精细结构进行特征提取时，本文提出了连片搜索算法( p a t c h s e a r c h i n ga l g o r i t h m ) 来确定整个爆发区域中所有的精细结构。针对m a l l a t 算法处 理有限长信号而产生的边界问题，提出了一种有限小波滤波器组( s i z e 1 i m i t e d w a v e l e tf i l t e rb a n k s ) 及其相应的算法，它能够有效地解决边界失真问题。本文的内 容安排如下： 第一章绪论部分，简要介绍了小波分析的发展历史和应用，以及本文的研究 背景和主要工作。 第二章小波分析基本理论，分析了小波变换的特点，给出了由多分辨分析构 造正交小波函数的一般框架及小波变换的快速实现算法m a l l a t 塔式算法。 m a l l a t 算法通过滤波器把相邻两尺度间的离散小波系数联系了起来，从而把小波变 换从复杂的数值积分转换为简单的矩阵运算或卷积运算，促进了小波变换的工程 应用。 第三章太阳射电频谱精细结构的特征提取和参数统计，首先介绍了太阳剧烈 活动对人类的影响、太阳射电辐射有三种迥然相异的分量和我国新近完成的 o 7 7 6 g h z 太阳射电宽带动态频谱仪，并分析了本文数据的特点。然后，给出了 第一章绪论 二维小波变换的定义以及m a l l a t 算法的卷积实现形式，并采用小波变换从动态频 谱图中提取出了精细结构特征清晰的频带；最后，提出了连片搜索算法自动确定 整个爆发区域中所有的精细结构，并对其特征参数进行了统计分析。 第四章精细结构时间轮廓的高斯拟合，首先，直接对精细结构的时间轮廓进 行了高斯拟合：然后，针对m a l l a t 算法处理有限长信号而产生的边界问题，提出 了一种有限小波滤波器组及相应的信号处理算法以消弱边界效应；最后，我们采 用了另一种方法来进行精细结构时间轮廓的高斯拟合，首先利用上述有限小波滤 波器组及相应算法来去除精细结构时间轮廓中的噪声，以得到其发展趋势，然后 再进行高斯拟合。 第五章精细结构特征提取结果的分析，首先，采用小波变换从动态频谱图中 提取出精细结构在各个频带中的信息，对其进行比较和分析，确定了最适合本文 数据的频带。然后，通过比较、分析几种去噪方法的结果，得到了适合本文数据 的去噪方法及阈值估计方法。 太阳射电频谱精细结构的特征提取研究 第二章小波分析基本理论 小波理论是一门发展相当迅速的新兴学科，一开始就引起了众多数学家和工 程界人士的高度重视。经过十多年的发展，其数学理论已经基本成熟。本章主要 讨论小波分析的基本理论，并给出了它与多分辨分析、滤波器组之间的联系。 2 1 ，1 小波函数的定义 2 1 小波变换 定义2 1 设( f ) l 2 ( r ) n 三1 ( 月) ，且满足容许条件 c ，= l 陟( ) n 彩r d o ) ( 2 - 5 ) 吖 “ 那么，当变量f 和参数a ，f 均连续变化时，称式( 2 - 5 ) 为连续小波 取离散值d = d ：，f = k a j o r 。时，n e o n 离散小波 v j , k ( f ) = a o - j 12 9 t ( a 0 7 t - k r 。) ， ，k z 当参数a ，f ( 2 6 ) 特别地，当a 。= 2 ，f 。= 1 时，就得到了二进小波 i ，m ( f ) = 2 - j 2 i f ，( 2 t - k ) ， ，k z ( 2 7 ) 第二章小波分析基本理论 2 1 2 小波变换及其时频局部化性质 定义2 2 设函数x ( t ) l 2 ( r ) ，函数族 妒。o ) ：1 = 1 少( 三二三) jd r + ，r r ) ( 2 8 ) - 4 d a 是基本小波y ( f ) 的伸缩和平移，则称 w r x ( 叩) = ( 碱“r ) ) = 击妒+ ( 等渺 ( 2 - 9 ) 为z ( f ) 的连续小波变换。 小波变换呢( n ，f ) 在频域中的相应表示为 w l ( 町) = 鲁l ) 州a g o ) 矿。d ( 2 - 1 0 ) 因此，小波变换岷( a ，f ) 还可以看成为用基本频率特性为妒洄) 的带通滤波器在不 同的尺度a 下对信号x ( f ) 进行滤波。 由文献 2 中的定义可知，基本小波妒( f ) 是一个窗函数，设其中心和半径分别 为f + 、，那么妒。( f ) 的中心为a t + f ，半径为a a ，。从而，函数x ( f ) 的小波变 换h t ( a ，f ) 仅给出了x o ) 在时间窗 a t + + f a a ，a t + + f + 口p ( 2 - 1 1 ) 中的信息。 设妒( 国) 的中心和半径分别为+ 、口，那么矿。( ) = 8e i r 6 0 妒0 ) 的中心为 e o + a ，半径为口a 。同样，暇( ，f ) 仅给出了函数x ( f ) 的频谱是( ) 在频率窗 + 口一，g o n + 口 ( 2 1 2 ) 中的信息。由式( 2 1 2 ) 可以看出，随着尺度因子n 的变化，驴。( ) 的中心频率 和带宽( 半径) 也不断变化，但其品质因数( 中心频率带宽 = a - i + ( 2 口。口) = 国2 a p = c o n s t ) 不变。基于这种性质，小波分析已广泛应用 于语音特征提取、计算机视觉等诸多领域。 综上所述，小波变换聊：( d ，f ) 在时域和频域都具有表征信号局部特征的能力， 其局部时频窗为 口f + + f a a p ，a t + + r + a a f 】x 国+ 一驴a ，+ a + 矿n ( 2 1 3 ) 由式( 2 1 3 ) 及图2 1 可以看出，小波变换的时频窗随着尺度因子a 的变化而 改变，但其面积不变：4 a ，a p 。当n 逐渐减小时，时频窗的宽度2 口，变窄、高度 2 a p 加增加，中心频率+ a 也增加，即时轴上观察范围逐步变小，相当于用高频 太阳射电频谱精细结构的特征提取研究 小波作细致观察；当a 逐渐增大时，时频窗的宽度2 口，变宽、高度2 口a 减少， 中心频率国+ 屈也降低，即时轴上观察范围逐步变大，相当于用低频小波作概貌观 察。基于这种特性，小波变换被誉为分析信号的显微镜。在实际应用中，我们可 以选择合适的小波函数，使得g t ( t ) 在时域上为有限支撑，驴( ) 在频域上也比较集 中，这样，就能够检测到信号的瞬态或奇异点。 2 1 3 小波反变换 2 2 0 图2 1小波变换时频窗的示意图 小波变换区别于某些常用变换( 例如傅里叶变换、拉普拉斯变换等) 的一个 特点是，小波变换没有固定的核函数，而这些常用变换的核函数都是固定的。基 本小波函数很多，我们可以根据需要解决的问题的特点和要求，合理地选择小波。 例如，为了使信号随着尺度的增大而起伏减小或极值点减少以便于分析，需要选 择正则度高但消失距小的小波函数或滤波器；为了使信号的小波变换衰减得快， 且表示紧凑，往往要选择消失距较高的小波函数；而处理长度较短的信号时，为 了减少失真，需要选择正则度和消失距都很低的小波函数或长度很短的滤波器f ”1 。 小波变换的核函数虽然不固定，但不是任意函数都可以作为小波变换的核函数， 如果小波函数选择得不恰当，其反变换就不存在。定义2 3 给出小波变换存在反 变换的条件。 定义2 3 设( f ) l 1 ( r ) n l 2 ( r ) ，且满足容许条件( 2 1 ) ，则函数x ( t ) l 2 ( r ) 的小波变换呢( a ，f ) 存在反变换 坤) = 丰r 。等e 呢( 叩) 嘣删r 1 4 ) 一w 上述小波变换和反变换的定义都是以连续形式给出的。但是，在实际应用中， 尤其是数字信号处理领域，为了减少计算量，常常要将a ，f 离散化。二进小波具 第二章小波分析基本理论 有许多良好的特性，是一种最常用的离散形式。由定义2 2 知，二进小波变换为 w t x ( j ，女) = ( x ( f ) ，妙( f ) ) = 2 叫2i x ( f ) y ( 2 1 一k ) a t ( 2 1 5 ) 如果 妒卅ij , k z ) 构成三2 ( r ) 的一组规范正交基，则二进小波反变换为 x ( f ) = 呢( ，女) ( f ) ( 2 - 1 6 ) 2 z 2 2多分辨分析与正交小波基 从式( 2 1 6 ) 可以看出，规范正交小波基缈f 工k z ) 可以实现空间f ( r ) 的 正交分解，是最理想的基函数。本节主要讨论多分辨分析和规范正交小波基之间 的关系。 2 2 1 多分辨分析的定义 定义2 4 设 y ，) 。是l 2 ( r ) 的一串闭子空间，如果满足 单调性：c kc - kcv oc lc 眨2c ； 渐进完全性：n 。_ = o ) ，u 。= 三2 ( 尺) ； 二进伸缩相关性：f y ，f ( 2 。- ) ，v j z ； 平移不变性：厂营厂( - k ) v o ： r i e s z 基的存在性：存在函数g ( t ) ，使得塘( r 女) lk z ) 构成的 r i e s z 基。 则称 y ， 。为r ( r ) 的一个多分辨分析。 引理2 1 2 0 1 设妒( f ) r ( r ) ，则劬( f 一后) jj | z ) 是规范正交基的充要条件 是 。；：弦( 国+ 2 露厅) 1 2 = 1 ( 2 1 7 ) 由这个引理知，令 庐( ) = ( 。雪( + 2 j i 丌) j2 ) 一”2 量( ) ( 2 1 8 ) 则和( f 一七) lk z ) 构成的一组规范正交基。我们称妒( f ) 为尺度函数。 引理2 2 ”设妒( f ) 是多分辨分析的一个尺度函数，且假定痧 ) 在原点连续， 则旧( o ) 卜1 。从而，妒 ) 是一个低通滤波器。 太阳射电频谱精细结构的特征提取研究 由引理2 2 知，尺度函数妒( f ) 是中的低通平滑函数，且函数族 妒。( f ) 陋z ) 构成的一组规范正交基，即有( 妒。，。( f ) ，妒，( f ) = 瓯，) 。因此，v o 中的任意函数都 可表示为f 。( 圳七z ) 的线性组合。g x ( t ) 表示函数x ( ，) 在v o 上的投影，则有 p o x ( t ) = m 工呲( f ) ( 2 - 1 9 ) 我们把p o x ( t ) 称为x ( r ) 在分辨率= 0 下的逼近函数，x 。称为x ( f ) 在分辨率 j = o 下的离散逼近。并且由函数族 妒。，。( f ) k z ) 的规范正交性可得各权重x 为 x o , k = ( 只x ( f ) ，p 。，。o ) ) = ( 只x ( f ) + 胃x ( f ) ，p 。( f ) ) = ( x ( f ) ，妒呲( f ) ) ( 2 2 0 ) 根据多分辨分析的二尺度伸缩性可知，妒( 2 f ) _ 。；并且 p “ ik z ) 是以。的 规范正交基。同理可得 己x ( f ) = 。妒- l t ，其中x - l k = ( 戈( f ) ，。( f ) ) ( 2 2 1 ) 则只。x ( f ) 是z ( f ) 在分辨率= - 1 下的逼近函数，x 。t 是z ( f ) 在分辨率j = 一1 下的离 散逼近。由于c 圪，故有 删= 压。h 。o ( 2 t 一尼) 相应的频域表示为 g o ( c o ) = h ( c o 2 ) b ( c o 2 ) ，其中h ( c o ) = i 1 m h 女p “。 、，z ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 式( 2 2 2 ) 和( 2 2 3 ) 在l 2 意义下均是收敛的。日( 国) 是一个以2 万为周期的函数， 它是低通滤波器h = 阮k 。：的传递函数，且具有如下性质 l ( ) i2 + 1 日( + 石) 1 2 = 1 ( 2 2 4 ) 2 2 2 由多分辨分析导出规范正交小波函数 定理2 1 川脾1 设 _ ) 脚是一个多分辨分析，其尺度函数为妒( f ) v o ，令 p ( 国) = e i o 2 u ( c o ) h + ( o 2 + 盯) | ( b ( c o 2 ) ( 2 2 5 ) 其中u ( m ) 是一个2 ；r 周期函数且i v ( c o ) i = 1 几乎处处成立。则上，并且 。jk z ) 是w o 的规范正交基。从而，妒( f ) 是一个正交小波函数。 令式( 2 2 5 ) 中v ( c o ) = 1 ，则小波函数y ( f ) 的频域和时域表示分别为 p ( ) = i i m ( 一1 ) “1 叫2 ( c o 2 ) ( 2 2 6 ) y o ) = i ( 一1 ) ：妒( f + + 1 ) ( 2 2 7 ) 令- g ( c o ) = i 1 。( 一1 ) 硌删，即g 。= ( 一1 ) 坼则 第二章小波分析基本理论 g ( c o ) = e i w h + ( c o + 丌) ( 2 - 2 8 ) 且式( 2 - 2 6 ) 可写为 矿( ) = g ( 叫2 ) p ( o , 2 ) ( 2 - 2 9 ) 同样，g ( ) 是一个以2 ，r 为周期的函数，它是高通滤波器g = g 。 。的传递函数， 且满足 i g ( ) i2 + f g ( + 石) i 2 = 1 ( 2 3 0 ) h ( m ) g + ( c o ) + h ( o + z c ) g ( c o + 万) = 0 ( 2 - 3 1 ) 至此，我们得到了尺度函数妒( f ) 、小波函数g ( t ) 及二尺度方程( 2 2 3 ) 和( 2 2 9 ) ， 它们是小波理论的核心，然而在工程实现时并不直接采用妒( f ) 和y ( f ) ( 一方面，计 算量大，不易实现；另一方面，大多数缈( f ) 和y ( f ) 根本就没有显式表达式) 。通常， 这两个函数是以低通滤波器传递函数h ( m ) 和高通滤波器传递函数g ( c o ) 给出的， h 。和g 。分别是相应的低通滤波器和高通滤波器的冲击响应。 2 2 3 多分辨分析和小波变换的联系 由于 y 。( f ) 陋z ) 是w o 的一组规范正交基，设d 。x ( o 表示z ( f ) 在上的投 影，则有 d 。x ( f ) = m dt ( f ) ，且d 呲= ( x ( f ) ，( f ) ) ( 2 - 3 2 ) 因为w o = k ，一，故有 d o x ( t ) = p l x ( t ) 一只x ( t ) ( 2 - 3 3 ) 易知，d 。x ( f ) 反映了z ( f ) 在分辨率j = 0 和j = 一1 两级平滑逼近之间的细节差 异，故称其为分辨率，= 0 下的细节函数，d 。称为，= 0 下的离散细节。d 。实际 上就是= 0 时，x ( f ) 的小波变换叨：( 0 ，尼) 。 由以上分析可知：给定一个多分辨分析，可以导出小波函数：离散细节d ，。即 为x ( f ) 在分辨率，下的小波变换，这样，多分辨分析和小波变换就联系了起来；小 波变换具有多分辨率特性，能够给出不同尺度下的离散细节和离散逼近，从而可 以由粗及精地逐步观察信号。 太阳射电频谱精细结构的特征提取研究 2 3 m a l l a t 算法及其应用 上一节给出了多分辨分析和小波变换之间的联系。本节将离散逼近x 。和离散 细节d 。之间的关系用滤波器的形式表示出来，从而便于采用数字信号处理技术分 析信号，这就是著名的m a l l a t 算法f 2 3 。 2 3 1m a l l a t 分解算法 令 h 。= ( 妒 m 妒( f ) ) = 压扣( 2 f 一足) 9 ( t ) d t g t = ( 妒。m 妒( f ) ) = 压p ( 2 f 一女) y ( o a t 那么 ( p 扎。( f ) ，妒叭( f ) ) = 。 ( 妒吐。o ) ，妒。o ) ) = g 。一：。 由式( 2 - 3 6 ) 和( 2 3 7 ) ，分别得到 x 。= = 。：h 。一：。x 一。，。 d 。，。= = 。：g 。一：。x 一。，。 式( 2 - 3 8 ) 的证明过程为 ，。= ( 只x ( f ) ，p 雌( f ) ) = ( p o x ( t ) + d 。z ( f ) ，妒。，。( f ) ) = ( 只。x ( f ) ，妒。，。( f ) ) = z n e g x - l , n p “。( f ) ，妒。，。( f ) ) = 。( p “。( r ) ，妒( f ) h 。 = 。h 。正 同理可证式( 2 3 9 ) 。 仿照上述步骤推导，易得m a l l a t 分解算法为 “= 。h 。 。 ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) 第二章小波分析基本理论 d ，+ l ，i = = 。zg 。一2 t x j 。 ( 2 4 1 ) 可见，由x 分解得到。毗、d 。，女的步骤与由。“( ，z ) 分解得到。川，。、d 川， 的步骤完全相同，且滤波器系数 h 。) 。、 g 。) 。也不变。由文献 6 、 7 及 2 4 可知，m a l l a t 分解算法( 2 - 4 0 ) 、( 2 4 1 ) 的示意图如图2 2 所示。 2 3 2 m a l l a t 重构算法 图2 2m a l l a t 分解算法的示意图 由p j x ( t ) 2 0 + l x u ) + 三0 + l x ( f ) 口j 得 x 。= ( 弓z ( r ) ，妒加( f ) ) = ( 弓。工( f ) + d ，+ x ( f ) ，p ，。( f ) ) = = ( 。：x ，+ ，。妒，+ 。，。( f ) ，r p i , ( r ) ) + ( 。d + 。，。￥，+ 。，。( f ) ，妒，。( r ) ) = 。( 妒川，。( f ) ，妒。( f ) 净川，。+ 。( 矿川，。( f ) ，p 。( 咖h 。 又有 ( ( p j + 1 k ( f ) ，妒。( f ) ) = 珏：。 ( 2 4 2 ) ( 妒。o ) ，妒，( f ) ) = g ：一：t ( 2 4 3 ) 故m a l l a t 算法的重构公式为 x ，。= = 。： ：一：。工，+ ，。+ 。g ：一：。d + 。，。 ( 2 - 4 4 ) d x j = 詈二船一 + l + + | 卜j 图2 3m a l l a t 重构算法的示意图 从式( 2 4 0 ) 、( 2 4 1 ) 和( 2 - 4 4 ) 可以看出，函数z ( f ) 在尺度+ 1 下的离散逼 近x 川，t 和离散细节d 川，t 与尺度j 下的离散逼近x 如之间的关系采用滤波器坛) 。 和 g 。) 。表现了出来。从而，把小波变换和数字信号技术联系了起来。 ：宝 一 太阳射电频谱精细结构的特征提取研究 m a l l a t 算法分解计算的最初输入是x 。，只要其能量有限，即。l x 。l + * ， 我们就可以把它看作某函数在尺度j = o 被平滑后的致采样。这由下述引理来保 证。 引理2 3 【8 】设 孔 。是能量有限的离散信号，即。i x 。1 0 ，使得c 。i 驴 + 2 k 厅) i2 c 2 v c o r ，那么，存在一个 函数f ( t ) l 2 ( r ) ( 不唯一) 使得：v k z ，e o f ( k ) = x 。 由式( 2 - 4 0 ) 、( 2 - 4 1 ) 和( 2 - 4 4 ) 可以看出，m a l l a t 算法不是通过尺度函数伊( f ) 和小波函数v ( t ) 的内积表达式，而是分别通过相应的低通滤波器 。) 。和高通滤 波器 g 。) 。来进行小波变换，从而把相邻两尺度之间逼近系数和离散系数的关系 用滤波器 h 。) 和 g 。) 。表达了出来。这样，m a l l a t 算法使得小波变换从繁杂的 数值积分运算转化为简单的卷积或矩阵运算，易于实现，从而被广泛地应用于诸 多工程领域。例如，小波变换的矩阵实现形式特别适合于数字图像处理中的压缩 编码以及积分方程求解过程中系数矩阵的稀疏化等领域；而采用卷积实现形式时， 小波分解不会减少信号的长度，从而信号细节保持得很好，可用于信号的奇异性 检测和去噪等处理，以及计算机视觉、图像处理等领域。 2 4 小结 本章介绍了小波变换及其时频局部化性质和多分辨率性质，这些性质对其工 程应用特别有用。接着给出了多分辨分析的概念，以及由多分辨分析构造小波函 数的一般框架。这样构造的小波函数具有许多良好的性质，而且更加接近工程设 计的要求。 m a l l a t 算法是通过低通滤波器 h 。 。和高通滤波器 乳) 。来表达相邻两尺度 中逼近系数和离散系数之间的关系。从而，它把小波变换从繁杂的数值积分运算 转化为简单的卷积或矩阵计算，促进了小波分析的工程应用。 第三章太阳射电频谱精细结构的特征提取和参数统计竖 第三章太阳射电频谱精细结构的特征提取和参数统计 太阳剧烈活动给人类带来了诸多不便，甚至灾害。随着科技的迅速发展，人 类受太阳活动的影响面越来越广了。因此，对太阳射电频谱的研究越来越重要了。 太阳射电频谱仪是研究太阳射电爆发动态频谱最重要的设备。我国新近完成的o 7 - - 7 6 g h z 太阳射电宽带动态频谱仪，其性能国际领先，已观测到了许多新现象， 积累了丰富的资料。本章的数据就来自其观测结果。本章的研究对象是动态频谱 图中的一类精细结构纤维爆发和斑马纹爆发，其结构比较复杂且受到了噪声 污染。本章的目的是利用计算机自动将整个爆发区域中所有的精细结构分别提取 出来。为了解决这一问题，采用了小波变换从动态频谱图中提取出包含精细结构 信息的主要频带，并对其进行去噪处理；在此基础上，提出了连片搜索算法来确 定整个爆发区域中所有的精